Tartalomjegyzék. Analizis A) gyakorló feladatok megoldása.................... Egyenl tlenségek, matematikai indukció, számtani-mértani közép....... Számsorozatok............................... 5... Számorozatok................................ 6.4. 4. Függvények határértéke és folytonossága................. 9.5. 5. Deriválás, deriválás alkalmazása...................... 4.6. 6. Implicit függvény deriválása, görbe érint je................ 7.7. 7. BernoulliL'Hospital-szabály alkalmazása................. 9.8. 8. Függvényvizsgálat.............................. 0.9. 9. Görbék érintkezése, Taylor-polinom.....................0. 0. Görbék paraméteres egyenletrendszere.................. 4... Polárkoordináták.............................. 5... Integrálás alapintegrálok)......................... 6... Integrálás................................ 6...Polinomok, racionális törtfüggvények integrálása............. 7.4. 4. Komple számok.............................. 7.4.. Algebrai alak.............................. 7.4.. Trigonometrikus alak, Moivre-azonosság............... 9.4.. Négyzetgyökvonás algebrai alakkal, másodfokú komple együtthatós egyenletek...............................4.4. n-edik gyök meghatározása trigonometrikus alakkal, egységgyökök.4.5. Polinomok felbontása a komple számok és a valós számok teste fölött................................... 7
. Analizis A) gyakorló feladatok megoldása... Egyenl tlenségek, matematikai indukció, számtani-mértani közép.-. Melyek azok a valós számok, amelyek kielégítik az alábbi egyenl tlenségeket? a. Th 4.o. 5.) 5 < b. Th. 5.o..) > 5 c. Th. 6. 4.) 0 a. 5 < < 5 < Ha > 0 < 5 < < 6 és 4 < < és < Ha < 0 > 5 > > 6 és 4 > > és > ) Megoldás:, ami ellentmondás. b. > 5 > 5 vagy < 5 > vagy < 7 > vagy > 7 ) 7 Megoldás:, ) és,
... Egyenl tlenségek, matematikai indukció, számtani-mértani közép c. 0, ± + 8 ± vagy 0 ) + ) 0 ) 0 és + ) 0 vagy ) < 0 és + ) < 0 és vagy < és < Megoldás:, ) és, ).-. Igazoljuk matematikai indukcióval, hogy minden pozitív egész számra igazak az alábbi egyenl ségek. a. Th. 0.5. 5.) + +... + n n b. W -5, 04.) + + 5 +... + n ) n c. W -5,.) a. + +... + n n n nn + )n + ) k kk + ) n esetén: Tfh n-re igaz, ekkor n + -re: + +... + }{{ n } + n+ n ) + + + n+ n+ n b. + + 5 +... + n ) n n esetén: Tfh n-re igaz, ekkor n + -re: + + 5 +... + n ) }{{} +n + ) n + n + n + ) c. n nn + )n + ) k kk + ) n esetén: Tfh n-re igaz, ekkor n + -re: n+ n k kk + ) kk + ) +n + )n + ) nn + )n + ) k }{{} n ) + n + )n + ) n + )n + ) +
4. Analizis A) gyakorló feladatok megoldása n + )n + )n + ) Számtani- és mértani-közép. Legyen n, n N +, a, a,..., a n 0 valós számok. Ekkor mértani közepük kisebb/egyenl, mint a számtani közepük. n a a... a n a + a +... + a n n Egyenl ség pontosan akkor áll fenn, ha a a... a n..-. Legyen a, a,..., a n > 0, n. Lássuk be, hogy: a. b. a + a +... + a n + a n n a a a n a a a a a 4 a + a + a + 4a 4 4 0 ) 0 a. a + a +... + a n + a n n a a a n a Alkalmazzuk a számtani-mértani közép összefüggést az a a, a a,..., a n a n, a n a számokra. a n a... an an a a a n a a a + a a +... + a n n a n + a n a b. n a + a +... + a n + a n a a a n a a a a a 4 a + a + a + 4a 4 4 0 ) 0 Alkalmazzuk a számtani-mértani közép összefüggést az alábbi számokra: a, a, a, a, a, a, a 4, a 4, a 4, a 4.
... Számsorozatok. 5... Számsorozatok..-4. M44) Hányadik tagtól közelíti meg határértékét ε-nál kisebb hibával az a n n, n N + sorozat? Felhasználjuk, hogy lim n n ) a n >. a n a n < ε n < + ε Vegyük mindkét oldal 0-es alapú logaritmusát: A jobb oldal pozitív. lg < lg + ε) n lg lg + ε) < n A küszöbszám: n 0 [ + lg ] lg + ε).-5. Az alábbiakban n N +. Melyik sorozat konvergens? A konvergensnek mondjuk meg a határértékét. a. M) a n n + b. M8) a n n + n c. M) a n n + 7n + n + n n n a. a n 0, ha n n + b. a n n + n n + 7n + n + n n n + 7 n + + 0 0, ha n + 0 + 0 n
6. Analizis A) gyakorló feladatok megoldása c. a n n + n n + n n + + n n + n n n n n n + + n n + n n + n n + n n + + n n n + n n + n + n + n + n n + + n + 0, ha n + 0 +.-6. Az alábbiakban n N +. Számítsuk ki az alábbi sorozatok határértékét. a. a n n 0n b. a n n n n c. a n n ) n a. a n n 0n n 0 n n, ha n b. a n n n n n n nn ) n, ha n. n n n n n < n n n n, ha n n n n n), ha n. A "szendvicstétel / rend relv" miatt n n n, ha n is teljesül. c. a n ) n n n n, ha n n... Számorozatok..-7. W7-/90) Legyen a adott pozitív szám. Mutassuk meg, hogy tetsz leges a pozitív számot választva az a n+ a n + aan )
... Számorozatok. 7 sorozat a-hoz konvergál. a. Belátjuk, hogy a n+ a.. megoldás. Tekintsük az a n és az a a n számokat. Mivel a két szám számtani közepe nagyobb, vagy egyenl, mint a mértani közepük, igaz az állítás. a n+ ) a n + aan a n a a n a.. megoldás. a n+ a n + aan ) a n+ a n a n + a 0 a n a n+ a n + a a n a n+ ) a n+ + a a n+ a a n a n+ ) 0 a n+ a a n+ a b. Belátjuk, hogy monoton csökken a. tagtól a n+ a n+ + a a n+ a n+ + a n+ a n+ a n+ A sorozat monoton csökken, és alulról korlátos, így konvergens, jelölje A a határértékét. c. Kiszámítjuk a határértéket. A A + a ) A A A + a A a A a.-8. Számoljuk ki az alábbi határértékeket. Felhasználjuk, hogy lim n a. M7a) lim n + ) n+ n + n) n e
8. Analizis A) gyakorló feladatok megoldása b. M7b) lim n + c. lim n n + n + 5 n ) n ) n+ + a. b. + n) n+ + n) + n) n ) e e, ha n + ) n+ + n + ) n + ) 4 n +) n + ) n + ) 4 n + ) ) n 4 n e 4 e 4, ha n c. ) n + n n + 5 n + 5 n + ) n + ) n n + + ) n+ + ) n + e e, n + ha n.-9. Számoljuk ki az alábbi határértéket. lim D n, ahol D n n n + n ) n + n + n ) n + n + n ) n ) + n n
.4. 4. Függvények határértéke és folytonossága 9 + ) n + n n + n + ) n + ) + ) n + ) n n n n + n + ) + ) n+ + ) + ) n n n + n + n e e e, ha n.4. 4. Függvények határértéke és folytonossága.4-0. M6) Számoljuk ki az alábbi határértékeket. a. lim 0 sgn) b. lim +0 sgn) c. lim 0 sgn) a. lim 0 nem létezik. sgn) b. lim +0 nem létezik. sgn) c. lim 0 nem létezik. sgn).4-. M67a) Számoljuk ki az alábbi határértékeket. a. lim +0 b. lim 0 c. lim
0. Analizis A) gyakorló feladatok megoldása a. lim +0 + b. lim 0 c. lim nem létezik..4-. M67b) Számoljuk ki az alábbi határértékeket. a. lim +0 b. lim 0 c. lim 0 a. lim +0 b. lim 0 c. lim 0 + nem létezik..4-. Számoljuk ki az alábbi határértékeket. Az adott pontban a bal és a jobb oldali határértéket is adjuk meg a. M74) + lim + b. M75) lim ) c. M76) lim ) + d. M88) lim 0
.4. 4. Függvények határértéke és folytonossága a. lim + + + + ) + + ) ) ) ha, akkor + + ) ) Ha, akkor a számláló 4-hez tart, a nevez 0-hoz. Azonban + + ) + + ) lim 0, lim ) +0 + ) Így + lim nem létezik. + b. lim ) Támaszkodunk a következ azonosságra: a n b n a b)a n + a n b +... + a b n + b n ) Ebb l, ha n, a és b, azt kapjuk, hogy: ) + + ) + + Mivel az + 0 egyenlet gyökei és + ) + + ) ha, akkor + ) ) ) + + ) + ) + + ), ha
. Analizis A) gyakorló feladatok megoldása c. lim ) nem létezik. lim ) + + lim ) + + ) lim + ) + + ) nem létezik, mert lim f), lim 0 f) + +0 d. lim 0 + + + + + + + + + + ) + +, ha 0 sin.4-4. A lim 0 határérték ismeretében számoljuk ki az alábbi határértékeket. cos a. M409) lim 0 cos b. M4) lim 0 sin sin c. M48) lim π π a. lim 0 cos Nézzük a következ átalakítást. cos α cos α sin α sin α cos α sin α. S így cos sin. Ezt felhasználva cos sin ) 4 sin, ha 0
.4. 4. Függvények határértéke és folytonossága b. lim 0 cos sin cos sin cos ) sin, ha 0 c. lim π sin π Alkalmazzuk az y π helyettesítést, amib l π y. π y 0. sin π sinπ y) y yπ sin π cos y cos π sin y y yπ sin y y, ha y 0 π) yπ.4-5. ) Mi legyen az α értéke, hogy az alábbi függvény folytonos legyen? { f) +, ha > α, ha Az pontban meg kell egyezzen a két függvény helyettesítési értéke, tehát + α, amib l α 5..4-6. ) Mi legyen a c értéke, hogy az alábbi függvény folytonos legyen a 0 pontban? { tg f), ha 0 c, ha 0 ) tg sin lim 0 lim 0. cos c kell legyen..4-7. 4) Mi legyen az α értéke, hogy az alábbi függvény folytonos legyen? { f) α, ha < 4 α + 0, ha 4
4. Analizis A) gyakorló feladatok megoldása Az alábbinak kell teljesülni. α 4 α + 0 4 4 α 4α + 0 α + 4α + 4 0 α.5-8. M70).5. 5. Deriválás, deriválás alkalmazása a. Határozzuk meg az f) függvény dierenciálhányadosát az 0 helyen, és a dierenciálhányados határértékét. b. Formális deriválással is számoljuk ki a függvény deriváltját az 0 helyen. a. A következ határértéket kell kiszámolnunk: f 0 + h) f 0 ) lim h 0 h b. lim + h) ) h 0 h 8 lim + 4 h + h + h ) 8 h 0 h lim h 0 h 4 h + ) h + h lim h 0 4 + ) h + h f ) 6 6 4.5-9. M74) a. Határozzuk meg az f) + függvény dierenciálhányadosát az 0 0 helyen, és a dierenciálhányados határértékét. b. Formális deriválással is számoljuk ki a függvény deriváltját az 0 helyen.
.5. 5. Deriválás, deriválás alkalmazása 5 a. A következ határértéket kell kiszámolnunk: f 0 + h) f 0 ) lim h 0 h h+ h lim + ) lim h 0 h h 0 h h h b. + ) 0 ) + ) ) 0 ) 0.5-0. Deriváljuk a következ függvényeket: a. M76) 0 + lg ) b. M770) ln 5 7 ln 5 + ln a. 0 + lg ) 0 ln 0 + ln 0 b. ln 5 7 ln 5 + ln ) ln 5 7 ln 5 + ln ) 5 5 ln4 + ln + Deriválási példák a Thomas-féle KALKULUS I. tankönyvb l:.. fejezet 50.old 7- és -6 feladatok.. fejezet 6.old 7- feladatok.5. fejezet láncszabály) 8. o. 4. 5. példa, 84. o. 7. példa Megoldást, végeredményt lásd a Thomas-féle KALKULUS I. tankönyvben. Deriválási példák a Thomas-féle KALKULUS I. tankönyvb l:.. fejezet 6. old -8 feladat.4. fejezet 78. old 7- feladat.5. fejezet láncszabály) 89. old 9-8 feladat
6. Analizis A) gyakorló feladatok megoldása Megoldást, végeredményt lásd a Thomas-féle KALKULUS I. tankönyvben..5-. Határozzuk meg az alábbi függvényekhez tartozó görbe meredekségét és érint jét az adott 0 pontban. a. A) f) + 9 ; 0. b. B) f) + ) ; 0. Az érint egyenlete y f 0 ) + f 0 ) 0 ). a. A) f ) 9 ; f ) 0; f ) 6. Az érint egyenlete: y 6. b. B) f ) + ) ; f ) ; f ). Az érint egyenlete: y + + ) + 5..5-. M798) Adjuk meg ln + ) n-edik deriváltját. ln + )) + ) + ln + )) + ) + ) Belátjuk, hogy ln + )) n) n )! ) n ) + ) n Tegyük fel, hogy ln + )) n ) n )! ) n ) + ) n ) Ezt deriválva: ln+)) n) n )! ) n ) )n )+) n ) n )! ) n ) + ) n
.6. 6. Implicit függvény deriválása, görbe érint je 7.5-. M88) Az alábbi út-id függvény ismeretében adjuk meg a t 0 0 id ponthoz tartozó sebességet és gyorsulást. st) t t. Az út-id függvény els deriváltja a sebesség-függvény, második deriváltja a gyorsulás-függvény. Számoljuk ki el ször t deriváltját. t ) e ln t ) e t ln ) e t ln ) t ln t t ln Ezt felhasználva a sebesség a t 0 0 id pontban: st) t t ) t0 t t ln 6t 0 t0 t0 st)-t még egyszer deriválva kapjuk a gyorsulás-függvényt. st) t t ln 6t) t0 t ) t ln + t ln 6 t0 t0 t t ln ) t ln + t ln 6 t t ln ) + t ln 6 t0 t0 ln 6 ln 9 6.6. 6. Implicit függvény deriválása, görbe érint je.6-4. M804)Írjuk fel az alábbi egyenlettel deniált implicit függvény deriváltját. y y + 0. Tudjuk, hogy y az függvénye. Az alábbi egyenlet mindkét oldalát deriváljuk szerint. y ) y) + 0. Ha y ) ) 0, akkor y )y ) y) y ) + 0. y ) y ) ) y). y ) y) y ).
8. Analizis A) gyakorló feladatok megoldása.6-5. M88) Írjuk fel a megadott pontbeli érint egyenes egyenletét, ha a görbe egyenlete: + y 6y 0, P 0, ). Behelyettesítéssel ellen rizzük, hogy a pont valóban rajta van a görbén: + 6 7 + 7 6 9 0 Tudjuk, hogy y az függvénye. Az alábbi egyenlet mindkét oldalát deriváljuk szerint. Az érint egyenes egyenlete: + y ) 6y) 0 + y ) y ) 6y) 6y ) 0 y ) y ) 6) 6y) y ) 7 8) 8 7 y ) y ) y + 6.6-6. M80) Írjuk fel a megadott pontbeli érint egyenes egyenletét, ha a görbe egyenlete: + y arctg y π 4, P 0, ). Behelyettesítéssel ellen rizzük, hogy a pont valóban rajta van a görbén: + arctg π 4 Tudjuk, hogy y az függvénye. Az alábbi egyenlet mindkét oldalát deriváljuk szerint. Felhasználjuk, hogy arctg ), valamint a jobb oldal konstans, így 0 a deri- + váltja. + y) y ) + y ) arctg y) π 4 + y)) y ) y) 0
.7. 7. BernoulliL'Hospital-szabály alkalmazása 9 + y) y ) y ) y) Az érint egyenes egyenlete: y y ) + y ) + y) + y ) 0 ) + y ) ) ) y ) ) ) y y) + y ) y ) +.7. 7. BernoulliL'Hospital-szabály alkalmazása.7-7. Th 7.o.. 7.o..) Az alábbi feladatokat a BernoulliL'Hospitalszabály alkalmazásával oldjuk meg. sin a. lim 0 + b. lim 0 + c. lim 0 sin d. lim 0 a. sin lim 0 B LH cos lim 0
0. Analizis A) gyakorló feladatok megoldása b. c. lim 0 + lim 0 B LH lim 0 + + 0 0 ) B LH /) + ) / / lim 0 0 0 ) B LH lim 0 /4) + ) / 8 d. sin lim 0 0 0 ) B LH lim 0 cos 0 0 ) B LH sin lim 0 6 0 0 ) B LH cos lim 0 6 6.8. 8. Függvényvizsgálat.8-8. Th 49.o.) a. Keressük meg azokat az intervallumokat, amelyekben a függvény csökken, illetve n ; b. amennyiben léteznek, határozzuk meg a függvények széls értékhelyeit és széls értékeit. i..) g) 8 ii..) f),
.8. 8. Függvényvizsgálat iii. 5.) f) + 8) i. g) 8 a. Csökken, )-n növekv -,)-n, csökken, )-n; b. lokális minimum: g ) 4, g ) 0; lokális maimum: g ) 0, g) 4. A FÜGGVÉNY GRAFIKONJÁT LÁSD külön fájlban. ii. f), a. Növekv, )-ben, csökken, ha < <, csökken, ha < <, szakadása van -ben, növekv, )-ben; b. lokális minimum: -ban, 6),; lokális maimum: -ben, ), A FÜGGVÉNY GRAFIKONJÁT LÁSD A KÜLÖN FÁJLBAN! iii. f) + 8) a. Növekv, 0)-ban és 0, )-ben, csökken,, )-ben; b. lokális minimum: 6 az helyen..8-9. Végezzünk teljes függvényvizsgálatot az alábbi függvényekkel: a., ha >, vagy b. M947.) f) f) cos cos, ha <, vagy a. f), ha >, vagy, ha <, vagy A GRAFIKONT LÁSD KÜLÖN FÁJLBAN!
. Analizis A) gyakorló feladatok megoldása Szakadási hely ±. f) 0 0, vagy /., ), 0) 0 0, /) /, ), ), ) f ) + + + f ) + 0 0 + + f) mon. lokális mon. lokális mon. mon. lokális mon lokális mon. csökk. min. n ma. csökk. csökk. min. n min. n konkáv konkáv konkáv konve konve konkáv Az / pontban a görbének ineiós pontja van. b. f) cos cos A megoldást lásd a Monostori példatárban Matematika példatár I.-II.).9. 9. Görbék érintkezése, Taylor-polinom.9-0. Hányadrendben érintik egymást az f) és a g) cos függvények az 0 0 pontban? A GRAFIKONT LÁSD KÜLÖN FÁJLBAN! f) 0 0 g) f) 0 0 g) cos f ) 0 0 g ) cos sin f ) g ) cos 4 sin cos f ) 0 0 0 g ) 6 sin 6 cos + sin f 4) ) 0 0 g 4) ) cos + 8 sin + cos A görbék harmadrendben érintik egymást..9-. a. Írjuk fel az f) sin cos függvény 0 0-hoz tartozó negyedrend Taylor-polinomját a hozzátartozó Lagrange-féle maradéktaggal együtt. b. Írjuk fel az f) ln + ) függvény 0 0-hoz tartozó n-edrend Taylorpolinomját, és állapítsuk meg, hogy a 0, 0, intervallumban mekkora hibával közelíti meg a Taylor-polinom a függvényt.
.9. 9. Görbék érintkezése, Taylor-polinom a. f) sin cos, f 0 ) f ) cos + sin, f 0 ) f ) sin + cos, f 0 ) f ) cos sin, f 0 ) f 4) ) sin cos, f 4) 0 ) f 5) ) cos + sin T 4 ) + + 6 4 4, R 4 ) ahol ξ a 0 és közötti valamelyik hely. b. f) ln + ), 0 0, 0, 0,. cos ξ + sin ξ 5, 0 f) ln + ), f 0 ) 0 f ) +, f 0 ) f ) + ), f 0 ) f ) ) ) + ), f 0 )......... f n) ) ) n n )! + ) n, f n) 0 ) ) n n )! f n+) ) ) n n)! + ) n+, f n+) ξ) ) n n)! + ξ) n+ T n ) + n +... + )n n, R n ) f n+) ξ) n + )! n+ ahol ξ a 0 és közötti valamelyik hely. ) n n! n + )! + ξ) n+ n+, f) T n ) R n ) n + ) + ξ) n+ n+ 0 n+) n + )0, 9) n+
4. Analizis A) gyakorló feladatok megoldása.0. 0. Görbék paraméteres egyenletrendszere.0-. Határozzuk meg a ciklois a magasságú pontjainak abszcisszáit. Egyenesen csúszásmentesen gördül a sugarú R középpontú kör kerületének egy kiszemelt P pontja un. ciklois pályán mozog. Legyen a t paraméter a kör RP sugarának elfordulási szöge radiánban. Ekkor a ciklois paraméteres egyenletrendszere: at a sin t y a a cos t } 0 t π y a a a a cos t cos t cos t Ebb l t π és t 5π. at a sin t t π aπ sin π ) aπ ) at a sin t t 5π a 5π sin 5π ) a5π + ) A keresett abszcisszák: a π ) és a 5π + ).0-. Mi az alábbi paraméteres egyenletrendszerrel megadott görbe érint je a t 0 π 4 pontban? t) a cos t yt) a sin t } a sin t, y a cos t y ) yt) t) a cos t a sin t ctg t
... Polárkoordináták 5 π ) π ) y a 4, a 4, π ) y. 4 Az érint egyenlete: ) y a a + a.0-4. Határozzuk meg az alábbi paraméteres egyenletrendszerrel megadott görbe érint jének egyenletét a t 0 pontban. t) 4t + t yt) t } 4 + t, y 4t y ) yt) t) 4t 4 + t t + t t + 4 4 4 t + t + y ) t 4 t y), ) 5 0 Az érint egyenlete: y f 0 ) + f 0 ) 0 ) y + 5) 4... Polárkoordináták.-5. Legyen r cos ϕ. Adjuk meg a görbe egyenletét a Descartes-féle koordináta rendszerben és húzzunk érint t a ϕ 0 π 6 -hoz tartozó pontjához.
6. Analizis A) gyakorló feladatok megoldása r cos ϕ a görbe polárkoordinátás alakja. r cos ϕ cos ϕ y r sin ϕ cos ϕ sin ϕ / sin ϕ ) A görbe egyenlete: + y, + y 0 Így a görbe /; 0) középpontú / sugarú kör. A görbe ) paraméteres egyenletrendszerrel történ megadása alapján: 6 cos ϕ sin ϕ) sin ϕ, y cos ϕ y ) yϕ) cos ϕ ϕ) sin ϕ y ) ϕ π 6 π ) 0 cos π 6 6 9 π ) 4, y 0 y 6 sin π. 4 Az érint egyenlete: y y 0 + y 0 ), y +... Integrálás alapintegrálok).-6. Integrálási példák Szili László Integrálszámítás anyagából: F6 d; F8 d, e, f; F0 d, e, f. Megoldást, végeredményt lásd Szili László Integrálszámítás anyagában.... Integrálás..-7. Integrálási példák Szili László Integrálszámítás anyagából: F5 d, e, f; F7 d, e, g, h; F8 a; F6 i, j, g. Megoldást, végeredményt lásd Szili László Integrálszámítás anyagában.
...Polinomok, racionális törtfüggvények integrálása 7...Polinomok, racionális törtfüggvények integrálása.-8. Polinomokra vonatkozó példák Láng Csabáné Polinomok alapjai anyagából: Maradékos osztás:.-5a,.-7a,b; Horner elrendezés:.4-; Racionális együtthatós polinomok racionális gyökei, polinomok felbontása:.6-5. Megoldást, végeredményt lásd Láng Csabáné Polinomok alapjai anyagában..-9. Integrálási példák Szili László Integrálszámítás anyagából: Racionális függvény integrálása: F d, e; Integrálás parciális törtekre bontással: F4 a, e. Megoldást, végeredményt lásd Szili László Integrálszámítás anyagában..4.. Algebrai alak.4. 4. Komple számok.4-40. Fejezzük ki algebrai alakban a következ számokat: a. + i) + i) b. i)5 + i) c. 5i) d. i) Az algebrai alakban megadott komple számok összeadására és szorzására vonatkozó összefüggéseket alkalmazzuk. a. + i) + i) 6 ) + 9 + )i + i b. i)5 + i) 7 9i c. 5i) 0i d. i) i + i i.4-4. Adjuk meg a következ komple számok konjugáltját: a. + 5i 5i a. + 5i b. 4 7i c. i d. 4 e. + i
8. Analizis A) gyakorló feladatok megoldása b. 4 7i 4 + 7i c. i i d. 4 4 e. + i i.4-4. A következ számokat fejezzük ki algebrai alakban: a. + 4i i b. i + i c. + i) d. i) + i) A nevez b l úgy tüntethetjük el az i-t, hogy a nevez konjugáltjával b vítünk. a. + 4i i + 4i) + i) 5 + 0i + i i) + i) + 4 b. c. d. i i i + i 4 i + i) i 4 i i) + i) 4 + i 4 i 4 5 5 5 i.4-4. Adjuk meg az a és b valós számok értékét, ha: a. a + bi) i) a + i b. a + i) + bi) b + ai Támaszkodunk arra a tényre, hogy az algebrai alak egyértelm. A kifejezés bal oldalát is algebrai alakban adjuk meg, s a bal oldal valós része egyenl a jobb oldal valós részével, hasonlóan a képzetes részek is megegyeznek a bal és a jobb oldalon. Ebb l két valós együtthatós egyenletb l álló egyenletrendszert kapunk, amit megoldunk. a. a + bi) i) a + i, a ai + bi + b a + i, a + b + b a)i a + i. A következ két valós együtthatós egyenletet kapjuk A megoldás b, a. a + b a és b a. b. a + i) + bi) b + ai, a + abi + i b b + ai, a b + + ab)i b + ai.
.4. 4. Komple számok 9 Ebb l a következ két valós együtthatós egyenletet kapjuk a b b és + ab a. Amib l a 4b és + 4b 4b. 4b 4b + 0, b 4 8, a..4.. Trigonometrikus alak, Moivre-azonosság Az -. feladatokban szerepl komple számoknak adjuk meg az abszolút értékét és a f argumentumát. A f argumentumot radiánban, π többszöröseként fejezzük ki. ϕ f argumentum, ha 0 ϕ < π). Adjuk meg a számokat trigonometrikus alakban is..4-44. a. + i b. i c. 4i d. a. z + i a + bi, z r a + b ) + 4 Az argumentum kiszámítása érdekében a cos ϕ a r és a sin ϕ b r összefüggéseknek megfelel szöget keresünk. cos ϕ legyen ϕ. ϕ π 6. 0 és π közé es megoldása Általában, ha sin ϕ 0, akkor ϕ ϕ, ha pedig sin ϕ < 0, akkor ϕ π ϕ. Esetünkben ϕ ϕ π 6. z trigonometrikus alakja ezek szerint: z cos π 6 + i sin π ). 6 b. z i, z r, cos ϕ cos ϕ, sin ϕ. 0 és π közé es megoldását jelölje ϕ. ϕ π. sin ϕ < 0, ezért 4 ϕ π ϕ π π 4 7π 4. A trigonometrikus alak: z cos 7π 4 + i sin 7π ) 4
0. Analizis A) gyakorló feladatok megoldása c. z 4i, z r 4, cos ϕ 0, sin ϕ. cos ϕ 0 0 és π közé es megoldása ϕ π. sin ϕ > 0, ezért ϕ ϕ π. z trigonometrikus alakja: z 4 cos π + i sin π ) d. z, z r, cos ϕ, sin ϕ 0. cos ϕ 0 és π közé es megoldása ϕ π. sin ϕ 0, ezért ϕ ϕ π. z trigonometrikus alakja: z cos π + i sin π)..4-45. Hozzuk trigonometrikus alakra a következ komple számokat: a. + i b. + i c. i d. i z mindegyik esetben. a. + i cos π + i sin π c. i cos 4π + i sin 4π b. + i cos π + i sin π d. i cos 5π + i sin 5π.4-46. Adjuk meg trigonometrikus alakban a következ komple számokat: a. cos ϕ i sin ϕ b. cos ϕ + i sin ϕ c. cos ϕ i sin ϕ Mindegyik szám abszolút értéke. a. z cos ϕ i sin ϕ. Olyan α szög az argumentum, amelyre cos α cos ϕ és sin α sin ϕ. A Gauss-számsíkban α a ϕ-nek az tengelyre való tükörképe, tehát α π ϕ és z cosπ ϕ) + i sinπ ϕ) b. z cos ϕ + i sin ϕ. Olyan α szög az argumentum, amelyre cos α cos ϕ és sin α sin ϕ. A Gauss-számsíkban α a ϕ-nek az y tengelyre való tükörképe, tehát α π ϕ és z cosπ ϕ) + i sinπ ϕ). c. z cos ϕ i sin ϕ. Olyan α szög az argumentum, amelyre cos α cos ϕ és sin α sin ϕ. A Gauss-számsíkban α a ϕ-nek az origóra való tükörképe, tehát α π + ϕ z cosπ + ϕ) + i sinπ + ϕ)..4-47. Egyszer sítsük a következ kifejezéseket. és
.4. 4. Komple számok a. b. c. cos π 4 + i sin π ) cos π 4 4 + i sin π ) 4 cos 5π ) 5π + i sin cos π + i sin π cos 5π 6 + i sin 5π 6 A Moivre-azonosságot és következményeit használjuk fel. a. cos π 4 + i sin π ) cos π 4 4 + i sin π ) 4 b. cos 5π ) 5π + i sin cos 5π 5π + i sin cos 5π 6 + i sin 5π 6 π cos 4 + π ) π + i sin 4 4 + π 4 cosπ) + i sinπ) ) c. cos π + i sin π cos 5π 6 + i sin 5π 6 + i π cos 5π ) π + i sin 6 5π ) 6 cos π i + i sin π.4-48. Mivel egyenl + cos α + i sin α) n, ha n N. Áttérünk fél szögekre és felhasználjuk a következ összefüggéseket: cos α + sin α, cos α cos α sin α, sin α sin α cos α.
. Analizis A) gyakorló feladatok megoldása + cos α + i sin α) n cos α + α sin + α cos α sin + i sin α cos α cos α cos α + i sin α )) n n cos n α cos nα + i sin nα ) ) n Ha n páros, akkor cos n α > 0, s így az el bbi alak egyúttal trigonometrikus alak is. Ha n páratlan, de cos α > 0, akkor szintén trigonometrikus alakot kaptunk. Ha n páratlan, és cos α < 0, akkor a trigonometrikus alakban az abszolút érték: n cos n α, az argumentum pedig: ϕ nα + π..4-49. Számítsuk ki az i )cos ϕ + i sin ϕ) i)cos ϕ i sin ϕ) szám. i cos 5π + i sin 5π ), i cos 7π 4 + i sin 7π ), 4 i )cos ϕ + i sin ϕ) i)cos ϕ i sin ϕ) kifejezés értékét, ha ϕ valós cos 5π + i sin 5π ) cos ϕ + i sin ϕ) cos 7π 4 + i sin 7π ) cos ϕ) + i sin ϕ)) 4 cos ϕ π ) + i sin ϕ π ))..4.. Négyzetgyökvonás algebrai alakkal, másodfokú komple együtthatós egyenletek.4-50. Oldjuk meg a következ egyenletet: i) + 5 5i) 0 Alkalmazzuk a másodfokú egyenlet megoldóképletét., i ± i) 45 5i)
.4. 4. Komple számok Számoljuk ki a diszkriminánst: i) 45 5i) 9 4 i 0 + 0i 5 + 8i Kiszámítjuk 5 + 8i négyzetgyökeit. a b 5 és ab 8. Ebb l a 4 6, amit az els egyenletbe beírva b b b 5. Amib l b 4 5b 6 0. b, 5 ± 5 + 64 5 ± 89 5 ± 7 A b nem megoldás, b 6 alapján pedig b 4 és a illetve b 4 és a. 5 + 8i négyzetgyökei + 4i és 4i. Visszahelyettesítjük a megoldóképletbe:, Ebb l a megoldás + i és i. i ± + 4i)..4.4. n-edik gyök meghatározása trigonometrikus alakkal, egységgyökök.4-5. Vonjunk harmadik gyököt a + i számból trigonometrikus alak felhasználásával. A gyököket adjuk meg algebrai alakban is. + i 8 + i ) 8 cos π 4 + i sin π ). Mivel 4 a gyökök.4. ábra): k 0 : w 0 cos π + i sin π ), k : w π cos + π ) π + i sin + π )) cos π 4 + i sin π ) ) 4 + i + i, k : w π cos + 4π ) π + i sin + 4π )) cos 7π ) 7π + i sin. 8 8, így A k értékhez tartozó gyököt, w -t könnyen meg lehet adni algebrai alakban, w + i. A w és w 0 algebrai alakját a harmadik egységgyökökkel való szorzással állíthatjuk el w -b l.
4. Analizis A) gyakorló feladatok megoldása Im w w 0 π Re w.. ábra. Harmadik egységgyökökkel szorozva a harmadik egységgyököket lásd az el z példában): w + i) cos π + i sin π ) + i) ) + i + i w 0 + i) cos 4π + i sin 4π ) + i) ) i + + i + Számításaink melléktermékeként megkaphatjuk például cos 7π pontos értékét w algebrai és trigonometrikus alakjának összehasonlításából. A két alakban a valós részek egyenl ek: 7π cos, ebb l cos 7π ) 4 4. 4.4-5. Vonjunk harmadik gyököt i-b l.
.4. 4. Komple számok 5 Im w w 0 π 6 Re w.. ábra. A trigonometrikus alak i cos π + i sin π. A gyökök.5. ábra): π w k cos 6 + kπ ) π + i sin 6 + kπ ), 0 k. w 0 cos π 6 + i sin π 6 + i, w cos 5π 6 + i sin 5π 6 + i, w cos π + i sin π i..4-5. Számítsuk ki i + i hatodik gyökeit. Mivel i ) i cos 7π 4 + i sin 7π 4 )
6. Analizis A) gyakorló feladatok megoldása és ezért ) + i + i cos π 6 + i sin π ), 6 i cos 9π ) 9π + i sin. + i A gyökök: w k 9π + k4π cos + i sin 7 ) 9π + k4π, 0 k 5. 7.4-54..4-55. Vonjunk hatodik gyököt -b l. Keressük meg a primitív hatodik egységgyököket. Im ε ε ε ε 0 Re ε 4 ε 5.. ábra. El ször a hatodik egységgyököket írjuk fel. Lásd a.6. ábrát.) Mivel cos 0 + i sin 0, ezért ε k cos kπ 6 kπ + i sin, k 0,..., 5. 6
.4. 4. Komple számok 7 ε 0 cos 0 + i sin 0 ε cos π 6 + i sin π 6 + i ε cos 4π 6 + i sin 4π 6 + i ε cos 6π 6 + i sin 6π 6 ε 4 cos 8π 6 + i sin 8π 6 i ε 5 cos 0π 0π + i sin 6 6 i Ezek közül a primitív hatodik egységgyökök ε és ε 5. Némi számolással meggy z dhetünk róla, hogy pontosan ezek azok a hatodik gyökök közül, amelyek különböz természetes kitev j hatványaikként el állítják az összeset..4.5. Polinomok felbontása a komple számok és a valós számok teste fölött Megjegyzés. C fölött minden legalább els fokú polinom els fokú tényez k szorzatára bontható, ami Gauss egyik tételéb l következik. Ha egy valós együtthatós polinomnak c nem valós komple gyöke, akkor c is gyöke, és c) c) valós együtthatós másodfokú polinom. c) c) c + c) + cc Rec) + c Felhasználva a C fölötti gyöktényez s felbontást, és a megfelel polinomokat összeszorozva megkapjuk az R fölötti el állítást irreducibilis polinomok szorzataként..4-56. Bontsuk fel az 4 + polinomot irreducibilis polinomok szorzatára a. C fölött, b. R fölött. a. C fölött az 4 egyenletet kell megoldanunk, tehát -b l negyedik gyököt kell vonnunk. Tudjuk a komple számokkal való tanulmányainkból, hogy négy negyedik gyök van, s ezek: cos π 4 + i sin π 4 + i) cos π 4 + i sin π 4 + i) cos 5π 4 + i sin 5π 4 i) cos 7π 4 + i sin 7π 4 i)
8. Analizis A) gyakorló feladatok megoldása Tehát a felbontás az alábbi: 4 + ) ) ) ) + i) + i) i) i) b. 4 + ) )) + i) i) ) )) + i) i) ) + + ) +.4-57. Bontsuk fel R felett irreducibilis polinomok szorzatára az 6 + 7 polinomot. C fölött az 6 7 egyenletet kell megoldanunk, tehát 7-b l hatodik gyököt kell vonnunk. Tudjuk a komple számokkal való tanulmányainkból, hogy hat hatodik gyök van, s ezek z cos π 6 + i sin π ), 6 z cos π + i sin π ), z cos 5π 6 + i sin 5π 6 ), valamint ezeknek a konjugáltjai. A polinom felbontása C fölött: 6 + 7 z ) z ) z ) z ) z ) z ) z + z cos π 6 z + z 0 z z z z
.4. 4. Komple számok 9 z + z cos 5π 6 z z A gyöktényez s el állítás összetartozó párjait összeszorozva megkapjuk az R fölötti el állítást. 6 + 7 z ) z )) z ) z )) z ) z )) + ) + ) + + ).4-58. Bontsuk fel R felett irreducibilis polinomok szorzatára az 4 + 4 polinomot. C fölött az 4 4 egyenletet kell megoldanunk, tehát 4-b l negyedik gyököt kell vonnunk. Tudjuk a komple számokkal való tanulmányainkból, hogy négy negyedik gyök van, s ezek z cos π 4 + i sin π ) ) 4 + i + i, z cos π 4 + i sin π ) ) 4 + i + i, valamint ezeknek a konjugáltjai. A polinom felbontása C fölött: 4 + 4 z ) z ) z ) z ) z + z z z z + z z z A gyöktényez s el állítás összetartozó párjait összeszorozva megkapjuk az R fölötti el állítást. 4 + 4 z ) z )) z ) z )) + ) + + )