Analízis előadások Vajda István 2009. március 21.
A módszer alkalmazásának feltételei: Állandó együtthatós, lineáris differenciálegyenletek megoldására használhatjuk.
A módszer alkalmazásának feltételei: Állandó együtthatós, lineáris differenciálegyenletek megoldására használhatjuk. Elsősorban partikuláris megoldás meghatározására alkalmazzák, amelynek megadott kezdeti feltétel(eke)t kell kielégíteni.
A megoldás lépései: Az egyenlet mindkét oldalának meghatározzuk a Laplace-transzformáltját és ezeket egyenlővé tesszük egymással. A kapott (elsőfokú) egyenletet megoldjuk, így megkapjuk a keresett függvény Laplacetranszformáltját Inverz meghatározzuk a keresett függvényt.
Példa: Határozzuk meg az y y = 2x + 2 differenciálegyenlet y (0) = 2 kezdeti feltételt kielégítő partikuláris megoldását!
Példa: Határozzuk meg az y y = 2x + 2 differenciálegyenlet y (0) = 2 kezdeti feltételt kielégítő partikuláris megoldását! Megoldás: Jelöljük y Laplace-transzformáltját ȳ-sal! sȳ y (0) ȳ = 2 s 2 + 2 s sȳ + 2 ȳ = 2 s 2 + 2 s ȳ (s 1) = 2 s 2 + 2 s 2 = 2s2 + 2s + 2 s 2 ȳ = 2s2 + 2s + 2 s 2 (s 1)
Példa: Határozzuk meg az y y = 2x + 2 differenciálegyenlet y (0) = 2 kezdeti feltételt kielégítő partikuláris megoldását! Megoldás: ȳ = 2s2 + 2s + 2 s 2 (s 1) = A s + B s 2 + C s 1 2s 2 + 2s + 2 = As (s 1) + B (s 1) + Cs 2 s = 1: s = 0: s 2 : 2 = C 2 = B 2 = A + C C = 2 B = 2 A = 4
Példa: Határozzuk meg az y y = 2x + 2 differenciálegyenlet y (0) = 2 kezdeti feltételt kielégítő partikuláris megoldását! Megoldás: ȳ = 2s2 + 2s + 2 (s 1) s 2 = 4 s 2 s 2 + 2 s 1 y = 4 2x + 2e x
Példa: Határozzuk meg az y + 2y 8y = 18 sin x 4 cos x differenciálegyenlet y (0) = 3 és y (0) = 4 kezdeti feltételeket kielégítő partikuláris megoldását!
Példa: Határozzuk meg az y + 2y 8y = 18 sin x 4 cos x differenciálegyenlet y (0) = 3 és y (0) = 4 kezdeti feltételeket kielégítő partikuláris megoldását! Megoldás: s 2 ȳ sy (0) y (0) + 2(sȳ y (0)) 8ȳ = 18 s 2 + 1 4s s 2 + 1 s 2 4s + 18 ȳ 3s 4 + 2(sȳ 3) 8ȳ = s 2 ( + 1 ȳ s 2 + 2s ) 4s + 18 8 = + s 2 3s + 10 + 1 ( ȳ s 2 + 2s ) 8 = 3s3 + 10s 2 s + 28 s 2 + 1 ȳ = 3s3 + 10s 2 s + 28 (s 2) (s + 4) (s 2 + 1)
Példa: Határozzuk meg az y + 2y 8y = 18 sin x 4 cos x differenciálegyenlet y (0) = 3 és y (0) = 4 kezdeti feltételeket kielégítő partikuláris megoldását! Megoldás: ȳ = 3s3 + 10s 2 s + 28 (s 2) (s + 4) (s 2 + 1) = 3s2 2s + 7 (s 2)(s 2 + 1) ȳ = 3s2 2s + 7 (s 2) (s 2 + 1) = A s 2 + Bs + C s 2 + 1 3s 2 2s + 7 = A ( s 2 + 1 ) + Bs (s 2) + C (s 2) s = 2: s = 0: s 2 : 15 = 5A 7 = A 2C 3 = A + B A = 3 C = 2 B = 0
Példa: Határozzuk meg az y + 2y 8y = 18 sin x 4 cos x differenciálegyenlet y (0) = 3 és y (0) = 4 kezdeti feltételeket kielégítő partikuláris megoldását! Megoldás: ȳ = 3 s 2 2 s 2 + 1 y = 3e 2x 2 sin x
Példa: Határozzuk meg az y y = 8x + 24e x differenciálegyenlet y (0) = 0 és y (0) = 0 kezdeti feltételeket kielégítő partikuláris megoldását!
Példa: Határozzuk meg az y y = 8x + 24e x differenciálegyenlet y (0) = 0 és y (0) = 0 kezdeti feltételeket kielégítő partikuláris megoldását! Megoldás: s 2 ȳ ȳ = 8 s 2 + 24 s 1 ( s 2 1 ) ȳ = 24s2 + 8s 8 (s 1) s 2 ȳ = 24s2 + 8s 8 (s 1) 2 (s + 1) s 2
Példa: Határozzuk meg az y y = 8x + 24e x differenciálegyenlet y (0) = 0 és y (0) = 0 kezdeti feltételeket kielégítő partikuláris megoldását! Megoldás: ȳ = 24s2 + 8s 8 (s 1) 2 (s + 1) s 2 = A s 1 + B (s 1) 2 + C s + 1 + D s + E s 2 24s 2 +8s 8 = A (s 1)(s + 1) s 2 +B (s + 1) s 2 +C (s 1) 2 s 2 + + D (s 1) 2 (s + 1) s + E (s 1) 2 (s + 1) s = 1: s = 1: s = 0: s: s 4 : 24 = 2B 8 = 4C 8 = E 8 = D E 0 = A + C + D B = 12 C = 2 E = 8 D = 0 A = 2
Példa: Határozzuk meg az y y = 8x + 24e x differenciálegyenlet y (0) = 0 és y (0) = 0 kezdeti feltételeket kielégítő partikuláris megoldását! Megoldás: ȳ = 24s2 + 8s 8 (s 1) 2 (s + 1) s 2 = 2 s 1 + 12 (s 1) 2 + 2 s + 1 8 s 2 y = 2e x + 12xe x + 2e x 8x