Másodfokú kogrueciák és lklmzásik Szkdolgozt Készítette: Vrg Ildikó Mtemtik BSc Mtemtiki elemz szkiráy Témvezet : Károlyi Gyul, Egyetemi doces Algebr és Számelmélet Tszék Eötvös Lorád Tudomáyegyetem Természettudomáyi Kr Budest 010
Trtlom 1. Bevezetés 3. Legedre- és Jcobi-szimbólum 4.1. Másodfokú kogrueciák..................... 4.. Kvdrtikus recirocitás..................... 6.3. Jcobi-szimbólum......................... 9 3. Prímszámok 11 3.1. Fermt- és Mersee-rímek................... 11 3.. Prímtesztek............................ 0 4. Köszöetyilváítás 39
1. Bevezetés Szkdolgoztom f témájkét rímtesztek tárgylását jelöltem meg. A rímtesztek oly lgoritmusok, melyek segítséget yújtk bb, hogy egy véletle egész számról eldötsük, hogy z rím-e vgy sem. A rímtesztek megértéséhez, értelmezéséhez, elemzéséhez zob élkülözhetetle további léyeges elméleti kérdések tisztázás, ezért erre is külö ki fogok téri. A rímtesztek közül korább tultuk ív módszerr l, Wilso-rímtesztr l és Fermt-rímtesztr l, ezért ezekre külö em térek ki, hem ehelyett Solovy-Strsse és Miller-Lestr-Rbi tesztet muttom be részletese hrmdik fejezetbe. Az eze mukák megértéséhez szükséges elméleti háttér bemuttásák szeteltem második fejezetet, illetve hrmdik fejezet els felét, mithogy eze elméletek ljá tudom legátfogóbb és legérthet bb kéet di mukám f tárgyáról, Solovy-Strsse és Miller- Lestr-Rbi tesztr l, mit lgoritmusokról. 3
. Legedre- és Jcobi-szimbólum.1. Másodfokú kogrueciák Az egész fejezet sorá feltesszük, hogy > rím és (; ) 1. Bevezetek éháy foglmt és ezekkel kcsoltos tételeket, melyeket z egész dolgozt sorá hszáli fogok..1.1. Deíció. Az számot szerit evezzük kvdrtikus mrdék k, illetve kvdrtikus emmrdék k modulo, hogy z x (mod ) kogrueci megoldhtó-e, vgy sem. Az 0 (mod ) számok se em kvdrtikus mrdékok, se em kvdrtikus emmrdékok..1.. Tétel. 1. Az szám kkor és csk kkor kvdrtikus mrdék modulo h ( 1) 1 (mod ). Ezzel ekvivles, hogy z (bármely rimitív gyök szeriti) idexe áros.. Az szám kkor és csk kkor kvdrtikus emmrdék modulo h ( 1) 1 (mod ). Ezzel ekvivles, hogy z (bármely rimitív gyök szeriti) idexe ártl. 3. A (árokét ikogrues) kvdrtikus mrdékok szám illetve kvdrtikus emmrdékok szám egyrát ( 1). 4. H kvdrtikus mrdék, kkor z x (mod ) kogrueciák két (árokét ikogrues) megoldás v. Bizoyítás: Csk. állítást bizoyítjuk. Az 1-es állításból zt is kjuk, hogy kkor és csk kkor kvdrtikus emmrdék, h ( 1) 6 1 (mod ), illetve h idexe ártl. Így -es állításhoz zt kell már csk beláti, hogy ( 1) 6 1 (mod ) () ( 1) 1 (mod ) 4
Mivel kis-fermt tételb l tudjuk, hogy h (; ) 1 és rím, kkor 1 1 (mod ), így kihszálv zt, hogy j ( 1 + 1)( 1 1), égyzetgyököt vohtuk kogrueci midkét oldlá és így csk ( 1) 1 (mod ) lehetséges. Továbbá feltettük, hogy >, emitt 1 6 1 (mod ) és ezzel beláttuk -es állítást..1.3. Deíció. Az Legedre - szimbólumot következ kée értelmezzük 8 >< >: 1; h kvdrtikus mrdék mod 0; h osztój -k 1; h kvdrtikus emmrdék mod. Ezt deíciót összevetve.1. tétellel, illetve k bizoyításávl zt kjuk, hogy bármely eseté: 1.1.4. Tétel. 1. b (mod ) ) b b. 3. 1 ( b 1; h 1 (mod 4) 1; h 1 (mod 4): (mod ): (1) Bizoyítás: (1)-b l tétel midhárom állítás dódik, levezetést csk másodikr tesszük meg: b (b) 1 1 1 b b (mod ): Tehát bl és jobb oldl kogruesek egymássl modulo. Korábbról tudjuk, hogy h két szám kogrues egymássl modulo, kkor külöbségük oszthtó -vel. Így, h kivojuk bl oldlból jobbt, múgy is csk 0- át, illetve - t khtuk. esetükbe >. Tehát külöbség értéke vlób 0, hisze 5
.. Kvdrtikus recirocitás Továbbr is feltesszük, hogy >, illetve hogy q > egy -t l külöböz rím...1. Tétel (Guss-lemm). Legye (; ) 1, és tekitsük z ; ; : : : ; 1 számok modulo vett legkisebb ozitív mrdékit. Jelölje v ezek közül -él gyobbk számát. Ekkor ( 1) v : Bizoyítás: Az dott 1 drb szám legkisebb ozitív mrdéki közül - él kisebbeket jelölje r 1 ; : : : ; r u, - él gyobbkt edig s 1; : : : ; s v : Itt u + v 1 1 : Ekkor zt kjuk, hogy bármely 1 t eseté lklms i-vel és j-vel: t ( vgy ri vgy s j (mod ) () teljesül. Itt z r i és s j számok z 1; ; : : : ; 1 értékek vlmelyikével egyel ek. Azt fogjuk megmutti, hogy z r i és s j számok mid külöböz ek, és vlmilye sorredbe z 1; ; : : : ; 1 számokkl egyel ek. El ször zt látjuk be, hogy em lehetek egyel ek. H vlmely i 6 k-r r i r k, kkor lklms 1 < 1 számokkl r i r k (mod ) teljesül. A jobb és bl oldlt egyszer síthetjük -vl, mert (; ) 1 és így jutuk (mod ) elletmodáshoz. Ugyígy khtjuk meg z s j számokr is. Másodszor edig, h r i s j, kkor r i s j (mod ); 6
vgyis j ( + ). Ez zob elletmod rím volták, mert szorzt egyik téyez jéek sem osztój : -k zért em, mert (; ) 1, illetve ( + )-ek zért em, mert feltettük, hogy 1 < 1 vgyis ( + ) <. A következ léésbe összeszorozv ()-es kogrueciákt egymássl zt kjuk, hogy: 1! 1 r 1 r u ( s 1 ) ( s v ) Ezt egyszer síthetjük 1 zt kjuk, hogy ( 1) v r 1 r u s 1 s v ( 1) v 1 1 ( 1) v (mod ); zz!-sl, mert reltív rím 1 ( 1) v :! (mod ): -höz. Ekkor A következ tételt bizoyítás élkül tultuk korább. Láthtjuk mjd, hogy Guss lemm segítségével köye számolhtók kvdrtikus mrdéki.... Tétel. ( 1 h 1 (mod 8) 1 h 3 (mod 8): Bizoyítás: -re lklmzzuk feti Guss-lemmát. Ehhez el ször ki kell számoluk v értékét, vgyis hogy ; 4; 6; : : : ; 1 számok közül háy drb -él gyobb 1 v. Összese drb szám v, ebb l -él kisebbek 1 szám 4, tehát keresett v érték 1 : v 1 H 8k + 1 lkú, kkor v 4k k k, vgyis 8k+3 lkú, kkor v 4k+1 k k+1, tehát 7 4 ( 1) k 1: H ( 1) k+1 1:
Itt tehát z el z esettel elletétbe kvdrtikus emmrdékot ktuk. A többi két esetet is ugyígy kjuk...3. Tétel (Kvdrtikus recirocitási tétel). H > és q > két külöböz rím, kkor zz 8 q < : q q q q ( 1) 1 q 1 ; h q 1 (mod 4) egyébkét: Mivel szkdolgoztom f témáj rímtesztek bemuttás, ezért feti tételt em bizoyítom, zob Guss lemm segítségével köye beláthtó. Tekitsük következ éldát: Megoldhtó-e z x 66 (mod 191) 66 kogrueci? Ehhez 191 Legedre-szimbólumot kell kiszámoli. Mivel 66 3 11, ezért átírhtó: 191 3 191 11 lkb. A.. tétel ljá 191 1, mivel 191 1 (mod 8): 3 Az..3 tétel szerit 191 191 3, mivel 191 3 1 (mod 4): Amely tovább egyszer síthet 3 lkr, ugyis 191 (mod 3), és 3 11 ( 1) 1. Végül 191 191 11, ismét..3 tételt felhszálv, mivel 191 11 191 1 (mod 4), és 11 1. Tehát 191 3 191 11 4 11 191 191 11 1 1 ( 1) 1: Vgyis z x 66 (mod 191) kogrueci em oldhtó meg. 8 11 ( 1)( 1)
A éldá keresztül láthtjuk, hogy gyors tuduk számoli kvdrtikus recirocitási tétel segítségével -3 jegy számok eseté. Azob gyobb, összetett számok eseté már ismét hosszdlms számolásokt kellee végezük. Ez újbb roblémát vet fel, ezért bevezetjük Jcobi-szimbólumot..3. Jcobi-szimbólum.3.1. Deíció. Legye m > 1 ártl szám, m 1 r, hol i számok (em feltétleül külöböz ) ozitív rímek. Legye továbbá (; m) 1. Ekkor z m szorztát értelmezzük:.3.. Tétel. Jcobi-szimbólumot mit z m : 1 r i Legedre- szimbólumok Feltesszük, hogy midegyik állítás eseté lul egy 1-él gyobb ártl szám v (z 5. állításál fe is), mely reltív rím feti számhoz. b 1. b (mod m) ) m m b b. ; m m m m m ( 1 1 h m 1 (mod 4) 3. m 1 h m 1 (mod 4) 4. 5. m m ( ( m m 1 h m 1 (mod 8) 1 h m 3 (mod 8) h m 1 (mod 4) egyébkét: 9
Bizoyítás: Tekitsük. állítást. Legye m 1 r. Ekkor b b b b : m 1 r Az.1.4 tétel ljá ezek - már Legedre-szimbólumok - felbothtók b b 1 1 1 b b 1 b b lkb, melyet visszlkítv Jcobi-szimbólum deíciój szerit kjuk, hogy m Az 5. állításál legye ismét m 1 r, és q 1 q s (hol i 6 q j ). b m. Ekkor dódik Legedre-szimbólum multiliktivitásából és Jcobiszimbólum deíciójából, hogy : m Y 1jr 1js i q j i qj ; q j m Y 1jr 1js Legye i -k közül u drb, q j -k közül v drb 4k ( 1) uv m qj : (3) i 1 lkú. Erre z uv i qj q j i, drb i ; q j árr i, többi i ; q j árr edig kvdrtikus recirocitási tétel ljá. Ezeket összeszorozv kjuk, hogy m : Tehát átfoglmzv z érdekel miket, hogy roduktumb z eltér ek szám áros vgy ártl, vgyis hogy szorztb háy drb ( 1)-es tg v. Így kjuk, hogy m m () uv ártl () u és v ártl () m 1 (mod 4): 10
3. Prímszámok 3.1. Fermt- és Mersee-rímek Ebbe fejezetbe k + 1 lkú Fermt-, és k 1 lkú Merseerímeket tárgyljuk. Még em ismeretes, hogy ezek szám végtele vgy sem. Tudjuk, hogy h k + 1 rím, kkor k, illetve h k 1 rím, kkor k mg is egy rím szám. Ezért továbbikb csk z F + 1 lkú Fermt-számokkl, illetve z M 1 (hol rím) lkú Merseeszámokkl fogllkozuk. Összese öt Fermt-szám ismeretes: 1. F o 0 + 1 3. F 1 1 + 1 5 3. F + 1 17 4. F 3 3 + 1 57 5. F 4 4 + 1 65537: Fermt zt sejtette, hogy z összes ilye lkú szám rím, zob Euler 173-be bebizoyított, hogy F 5 5 + 1 3 + 1 em rím, mert osztój 641. További el reléést jeletett z megállítás, hogy F biztos összetett, h 5 3. Sejtjük, de em bizoyított, hogy z ismert 5 drb Fermt-ríme kív l ics több rím. Hszálhtók még sokszög szerkesztésél is. Guss erre votkozó tétele kimodj, hogy szbályos -szög otos kkor szerkeszthet euklideszi szerkesztéssel, h ( 3) ártl rímtéyez i külöböz Fermt-rímek és midegyik csk z els htváyo szereel. Áltláb moder mtemtikáb leggyobb ismert rímszámok Merseerímek. Ezt igzolj z is, hogy 008-b tlálták meg jelelegi leggyobb kokrét ismert rímet, mi 4311609 1, mely 1 978 189 jegy. 11
Továbbá tökéletes számok el állításáb v még gy szeree Merseerímekek. Tökéletes számok, zok melyek egyel ek áluk kisebb osztóik összegével. Euklidesz bizoyított, hogy h és q rímek, hol q 1, kkor z 1 q szám tökéletes lesz és mide áros tökéletes szám így áll el. 3.1.1. Tétel. F bármely (ozitív) osztój k +1 + 1, s t eseté r + + 1 lkú. Bizoyítás: El ször zt vizsgáljuk, hogy h ez z osztó egy rímszám. Ekkor z, hogy j F átírhtó következ kée: 1 (mod ): (4) Négyzetre emelve kjuk, hogy +1 1 (mod ): (5) A következ léésél egy tételt foguk hszáli, miszerit: j 1 (mod ) () o () j j: (6) Ezt lklmzv z (5)-ös kogrueciár kjuk, hogy o () j +1 ; zob (4)-es kogrueci ljá o () 6 j ; mivel feltettük, hogy >, ezért 1 6 1 (mod ). Ezekb l z következik, hogy o () +1 mivel o () j +1 mitt csk +1 osztói jöhetek szób, melyek i (0 i + 1) lkúk. Ezek közül, h o () j (j ), kkor fe kell, hogy álljo j 1 (mod ) 1
kogrueci. Így felírhtó j k lkb, miszerit ( j ) k (mod ) vgyis 1 k 1 (mod ): Azob (4) mitt ez em lehet. Továbbá tudjuk egy korábbi tételb l, hogy z o m () j '(m), mely egy m rím eseté 1-gyel egyel, tehát o () j 1, vgyis itt +1 j 1: Ezt átírv, egy lklms k egésszel k +1 + 1, mely ot tételbe szerel állítás els fele. H, kkor felírhtó 8s + 1 lkb, így z 1.. tétel ljá 1; zz 1 1 (mod ): Ezt z el z ekbe megállított reddel összevetve kjuk, hogy: o () +1 j 1 ; vgyis egy lklms r egésszel r + + 1, mi z állítás második felével egyezik meg. Továbbá ez z egyel ség átírhtó 1 (mod +1 ), illetve eseté 1 (mod + ) lkb is. Ezzel tételt bizoyítottuk bb z esetbe, h z osztó egy rím. Az áltláos esetre rátérve legye d j F tetsz leges. Botsuk fel d-t (em feltétleül külöböz ) rímszámok szorztár, h d > 1, d 1 s. Mivel beláttuk, hogy mide i-re i 1 (mod +1 ), ezért ezeket kogrueciákt összeszorozv kjuk, hogy d 1 (mod +1 ), és ez yilvá d 1 eseté is érvéyes. Ugyígy bizoyíthtó tétel második fele. 3.1.. Tétel (Pei-teszt). Az 1 esetbe F kkor és csk kkor rím, h 3 (F 1) 1 (mod F ): (7) 13
Bizoyítás: El ször feltesszük, hogy F rím, ekkor 3 F 1 vgyis 3 kvdrtikus emmrdék modulo F z 1.1. tétel szerit. Mivel feltettük, hogy 1, ezért 4 t lkú, (tehát F 4 t + 1) és így F 1 (mod 4); továbbá F 4 t + 1 1 + 1 1 (mod 3): Itt ismét kvdrtikus recirocitási tételt hszálv kjuk 3 F F 3 1 3 1: A másik iráy bizoyításához feltesszük, hogy (7) feáll, ezt égyzetre emelve 3 F 1 1 (mod F ): (8) Az (7)-es, illetve (8)-s kogrueciákból kjuk z lábbikt o F (3) 6 j F 1 ; illetve o F (3) j F 1: Tudjuk, továbbá, hogy F 1 kett htváy, így o F (3) F 1: Ismét felhszálv, hogy red osztój '(m)-ek, vgyis itt F 1 j '(F ), mib l z dódik, hogy F 1 '(F ): Mivel '(m) z m-él em gyobb, m-hez reltív rímek számát jelöli, mi egy rím eseté is csk legfeljebb m 1 drb lehet, ezért '(m) m 1 bármely m szám eseté. Ezért itt F 1 '(F ): A két egyel tleséget összevetve rr jutuk, hogy csk F 1 '(F ) lehetséges, mi edig ot zt jeleti, hogy F rím. Ezzel tételt bebizoyítottuk. 14
3.1.3. Tétel. Legye > rím. Ekkor M bármely ozitív osztój k+1 lkú. Továbbá z is igz, hogy 8-cl osztv +1 vgy 1 mrdékot d. Bizoyítás: A.1.1-es tétel bizoyításáál láthttuk, hogy elég z állítást rímosztókr igzoli, mert mide osztó éháy rímosztó szorzt és h 1 (mod k) és b 1 (mod k) ) b 1 (mod k) mi esetükbe: 1 (mod 8) és b 1 (mod 8) ) b 1 (mod 8): Tehát tegyük fel, hogy q rímre igz, hogy q j 1; zz 1 (mod q): Ekkor o q () j, továbbá yilvávló, hogy o q () 6 1, ezért o q (). Ismét felhszálv, hogy o m () j '(m), mi mi esetükbe zt jeleti, hogy j q 1 (mivel q rím), zt kjuk, hogy q 1 t ) q t + 1 lkú: Mivel q és ártlok, ezért t-ek árosk kell leie (t k lkú), vgyis q k + 1 lkú. Az 1.. tétel szerit hhoz, hogy q 8r 1 lkú, eleged, hogy belássuk kvdrtikus mrdék modulo q. Ehhez felhszáljuk 1 (mod q) kogrueciát, ártl voltát (h kár +1-et, kár 1-et ártl htváyr emeljük, kkor z eredméy is +1, illetve 1 mrd) és Legedre-szimbólum tuljdoságit. q q q 1 1: q 15
3.1.4. Tétel (Lucs-Lehmer-teszt). Legye > rím, továbbá 1 4 és i+1 i otos kkor rím, h, h i 1: Ekkor M M j 1: (9) Bizoyítás: Jelöljük H-vl z + b 3 (, b egész) lkú számok gy r jét, mely szokásos m veletekre ézve kommuttív, egységelemes, és ullosztómetes. Így vlób gy r t kuk mide ; b; c; d egészre, mivel: ( + b 3) + (c + d 3) ( + c) + (b + d) 3 ( + b 3) (c + d 3) ( c) + (b d) 3 ( + b 3) (c + d 3) c + (d + bc) 3 + 3bd (c + 3bd) + (d + bc) 3: Tehát z +; ; m veletek em vezetek ki gy r b l, zok is + b 3 lkúk mrdk. A bizoyításb H-beli oszthtóság, kogrueci és redfoglom elemi tuljdoságit hszáljuk fel, melyek H-b is ugyúgy érvéyesek, mit z egész számokál. I. léés: Teljes idukcióvl köye igzolhtó, hogy bármely k-r 1 4-re igz: 1 ( + k ( + 3) k 1 + ( 3) 1 1 + ( Tegyük fel i -re igz, belátjuk i+1 -re. ( + ( + i+1 i (( + 3) i + ( 3) i 1 ( ( + ( + 3) i 1 + ( 3) k 1 : 3) 1 1 ( + 3) + ( 3) i+1 1 + ( 3) i + ( + 3) i + ( 3) i 1 (( + 1 0: 16 3) i 1 ) 3) i 1 ( 3) i ; hisze 3)( 3) i+1 1 3) i 1 3)) i 1 3) 4
Ekkor (9) átírhtó z M j ( + 3) + ( oszthtóságr. A jobb oldlo, h kiemeljük ( Mivel ( M j ( 3) (10) 3) -t, kkor kjuk 3) (( + 3) 1 + 1): (11) 3)( + 3) 1, ezért 3 számok egész kitev s htváyi egységek H-b. Továbbá felhszáljuk, hogy (11)-beli oszthtóság otos kkor teljesül z egész számok körébe, mit mikor H-b. Így (9) és (11) ekvivles zzl, hogy M j ( + 3) 1 + 1, vgyis ( + 3) 1 1 (mod M ): (1) Így tételt átfoglmzv zt modhtjuk, hogy M kkor és csk kkor rím, h (1) teljesül. II. léés: Eek igzolásához egy lemmát hszáluk fel. Lemm: H q > 3 tetsz leges rímszám, kkor ( + 3) q 3 + b 3 (mod q): (13) q Bizoyítás: A biomiális tételt hszálv q ( + 3) q q + q 1 b q 3 + q 3b + + b q 3 (q 1) 3: (14) A kis Fermt-tétel szerit továbbá 1 q (mod q) és b q b (mod q); q 1 q ; q ; : : : ; midegyike oszthtó q-vl, illetve (1) ljá 3 (q 3 1) q 17 q 1 (mod q):
Ezeket beírv (14)-be (13)-t kjuk. III. léés: Megmutti, h (1) feáll, kkor M rím. Négyzetre emeljük (1)-es kogrueciát ( + 3) 1 (mod M ): (15) Vegyük M -ek egy q rímosztóját, melyre q > 3 köye láthtó, mivel M 1, hol ártl, mivel feltettük, hogy > rím. H 6 j ) (mod 3) M 1 1 (mod 3) ) 3 6 j M : Erre q modulusr ugyúgy teljesül (1)-es és (15)-ös kogrueci: ( + 3) 1 1 (mod q) ( + 3) 1 (mod q): Ekkor hsoló korábbi bizoyításokhoz o q ( + 3) j és o q ( + 3) 6 j 1 : Tehát o q ( + 3), hol red foglmát most H gy r be értjük. A red szokásos tuljdosági itt is érvéyesek. 3 H 1, kkor (13) mitt q ( + 3) q ( + 3) (mod q): Ezt felhszálv kjuk, hogy ( + 3) q 1 ( 3)( + 3) q ( 3)( + 3) 1 (mod q); és így o q ( + 3) j q 1; mi zt jeleti, hogy q 1, mi lehetetle, mert q M (mert q z M osztój) 1, vgyis q 1. 3 H 1, kkor hsoló dódik, hogy q ( + 3) q+1 ( + 3) q ( + 3) ( 18 3)( + 3) 1 (mod q);
és emitt o q ( + 3) q + 1: Ezt összevetve q M 1 egyel tleséggel q + 1 és q + 1; mi csk úgy lehetséges, h q + 1, vgyis q M, tehát M vlób rím. IV. léés: Utolsó lééskét belátjuk, hogy h M rím, kkor (1) teljesül. Mivel M 1 és >, ezért M 1 (mod 8) és ezért z 1.3. tétel mitt M 1; (16) mit Legedre-szimbólum (mivel M rím), továbbá M 1 (mod 3) (fetebb beláttuk) és M láthtó, hogy 3 M A továbbikb ( + 1 (mod 4), így recirocitási tétel segítségével M 3 3) (1 + 1 3 1: (17) 3) egyel séget hszáljuk. Midkét oldlt (M + 1) 1 -edik htváyr emeljük: (M+1) ( + 3) 1 (1 + A bl oldlo, felhszálv (16)-ot zt kjuk, hogy (M+1) (M 1) 3) M+1 : (18) M (mod M ): (19) A jobb oldlo edig (17)-et és (13)-t hszáljuk, z utóbbit úgy, hogy + b 3 1 + 3 és q M, ekkor (1 + 3) M+1 (1 + 3)(1 + 3) M (1 + 3)(1 + (1 + 3)(1 3) (mod M ): 3 M 3) Ezeket visszhelyettesítve (18)-b jutuk el ( + 3) 1 (mod M ) (0) 19
kogrueciához. Ekkor már csk meg kell (0)-t szorzi 1 -el ( + Mivel 1 (mod M ), ezért ( + és ot ezt (1) krtuk bizoyíti. 3) 1 (mod M 1): 3) 1 1 (mod M ) Ugyezt köyebbe is megkhttuk vol, h (0) kogrueciát - vel leosztjuk. igéyele. Hogy ez H-b vlób megtehet, z külö meggodolást 3.. Prímtesztek Prímtesztek evezzük z oly lgoritmusokt, eljárásokt, melyek segítségével véges sok léésbe el tudjuk dötei bármely dott (gy) egész számról, hogy z rím-e vgy összetett. A további roblémát rímtéyez s felbotás jeleti, összetett szám eseté, mely egy gyo boyolult és hosszdlms feldt éldául egy 100 jegy szám eseté. Ekkor már em m ködik róbosztogtás, melyet egy 1--3 vgy esetleg 4 jegy szám eseté még érdemes elvégezi. Ez legegyszer bb, ív módszer: z dott egész számot sorr elosztjuk ál kisebb ozitív egész számokkl. H v ezek között oly, 1-t l külöböz szám, mi z dott egész számk osztój, kkor szám em rím, de h ics ilye kkor z. Úgy gyorsíthtó módszer, hogy természetese em kell z összes, számál kisebb ozitív számot megvizsgáli, elég csk rímeket. Ehhez hszálhtók rímtábláztok vgy éldául z ertosztheészi szit módszere. Egy több száz jegy szám eseté zob már yir sok róbálkozást kée elvégezi, hogy még számítógéel is hosszú évekbe tele. Ezek tesztek zob em osztókt keresek, hem oly feltételeket jeleteek, melyek gyors elvégezhet ek és igzk egy rímszámr, de egy összetett szám már em elégíti ki ket. A seciális lkú számokkl köyebb dolguk, ezekr l jóvl egyszer bbe eldöthet rím mivoltuk. Ilyeek voltk.1 fejezetbe tárgylt Fermt-, 0
Mersee-számok. Gyors lgoritmus létezik lvet számelméleti feldtok kiszámításár, ezeket egy tételbe összefoglljuk, mjd kokrét rímteszteket vizsgáluk meg. 3..1. Tétel. Legyeek ; b; c és m egészek, hol b > 1 és m > 0. Ekkor 1. b mrdék modulo m;. z és b leggyobb közös osztój; 3. (ártl b és (; b) 1 eseté) z b Jcobi-szimbólum 4. z x + by c lieáris dioftikus egyelet megoldási és 5. z x c (mod b) kogrueci megoldási kiszámíthtók legfeljebb 5 log b léésbe, hol egy léés két egész szám összedását, kivoását, szorzását vgy mrdékos osztását jeleti. Bizoyítás: 1. kiszámításák léései z ismételt égyzetre emelések, mjd mide léés utá z eredméy modulo m redukálás. Péld: 17 7 (mod 41) 17 89 (mod 41) 17 4 4 (mod 41) 17 8 4 16 (mod 41) 17 16 16 10 (mod 41) és így 17 7 17 16 17 8 17 17 10 16 17 160 34 ( 4) ( 7) 8 13 (mod 41): Legye t blog bc és felírjuk b kitev t kettes számredszerbe. Mivel számítógé kettes számredszerre éül, ezért b szám eleve így v tárolv. 1
Más lú számredszerb l törté átszámítás eseté edig legfeljebb log b drb léés, mivel számjegyeket -vel törté mrdékos osztások szorztávl kjuk meg. b i 1 + i + + is ; hol 0 i 1 < i < < i s t: Ezutá ismételt égyzetre emelésekkel és midig modulo m redukálv kiszámoljuk mrdékit modulo m. Végül z ; 4 ; 8 ; : : : ; t b i 1 i : : : is ljá kjuk meg keresett mrdékot. Tehát t drb égyzetre emelést és legfeljebb t drb további szorzást, illetve modulo m redukciót végzük el. Vgyis összese legfeljebb t log b ilye szorzásr és redukciór v szükség. Ehhez már csk zt kell hozzáveük, hogy b-t átírjuk -es számredszerbe, mi megit csk log b drb léés. Ezt összegezve b modulo m mrdékát legfeljebb 5 log b léésbe khtjuk meg..-t legkisebb bszolút érték mrdékokkl végzett euklideszi lgoritmussl számoljuk: bq 1 + r 1 ; hol j r 1 j b ; b r 1 q + r ; hol j r jj r 1 j b 4 ; r 1 r q 3 + r 3 ; hol j r 3 jj r j b 8 ;. r r 1q + r ; hol j r jj r 1 r 1 r q +1 ; vgyis r +1 0: j b ;
mi + 1 léésb l áll. Mivel 1 j r j b ; mely egyel tleséget -el beszorozv kjuk, hogy: b; zz log b: Tehát z összes léés szám legfeljebb 1 + log b. A 3. otb Jcobi-szimbólumot z -b szerel kett htváyok leválsztásávl és recirocitási tétel ismételt lklmzásávl számolhtjuk ki. Számoláskor z -t b-vel osztjuk mrdékos, mit z euklideszi lgoritmusál: r ; hol j r j< b b b : Felhszálhtjuk 1 b -t (mert bármikor kiemelhet z 1.1.4-es tétel szerit), és ekkor r > 0. H r áros, kkor második léésbe kiemelhetük b -t és így "számláló" felez dik. H r ártl, kkor recirocitási tétel mitt r lesz "evez be" és fetre b modulo r szeriti mrdék kerül, legye s. j s j< r ugyúgy és ismét elérhet, hogy s > 0. Vgyis mide ilye léésél "számláló" leglább felez dik, így legfeljebb log b léést igéyel. Továbbá, 1 v és v kiszámításához ki kell számoluk v-ek modulo 4 és modulo 8 szeriti mrdékit z 1.1.4 és 1.. tételek szerit. Ezek egy-egy mrdékos osztást jeleteek. Hsoló megkhtjuk "számlálót" is. Az 1.3.1 deíció szerit Jcobi-szimbólum csk kkor értelmes, h b > 1 ártl szám és (; b) 1. Utóbbi elle rzésére zért ics szükség, mert h -k és b-ek lee közös osztój, kkor eljuták egy oly léésbe, hogy számláló d lee és evez edig d többszöröse, vgyis em léteze z b Jcobi-szimbólum. H viszot és b reltív rímek, kkor ilye em 1 fordulht el, tehát csk egy v vgy v kiszámítás lehet z utolsó léés. A tétel 4. és 5. otj ekvivles egymássl. Az x c (mod b) kogrueci megoldás egy oly t egész szám, melyre t c (mod b). Ez edig 3
zt is jeleti, hogy t + bs c egy megfelel s egész számml. Ami megfelel z x + by c dioftikus egyeletek, miek megoldásit z euklideszi lgoritmussl kjuk. A továbbikb kokrét rímtesztekr l lesz szó. A legáltláosbb ezek közül kis Fermt-tételb l következik: H egy > számr 1 6 1 (mod ); kkor összetett. 3... Tétel. Legye >. H 1 6 1 (mod ), kkor biztos összetett. H 1 1 (mod ); kkor "mjdem biztos" rím. A feltétel gyors elle rizhet, h htváyozást ismételt égyzetre emelések segítségével végezzük. Természetese számítógéel gyors elvégezhet 1 mrdékák kiszámítás modulo, em csk -re, hem bármely más -r. H ezek közül csk egy -r is em 1 mrdék, kkor kis Fermt-tétel szerit biztos összetett. H mide -r 1 mrdék, kkor még biztosbb, hogy rím, de ersze még így sem biztos teljese. További godot okozk z álrímek, melyek foglmát z lábbikb vezetem be. 3..3. Deíció. H egy összetett számr 1 1 (mod ) teljesül, kkor z -et lú álrímek evezzük. H z összetett számr feti kogrueci mide (; ) 1 eseté teljesül, kkor z uiverzális álrím vgy Crmichel-szám. Bizoyított mide > 1 eseté végtele sok mid z lú álrímek, mid z uiverzális álrímek szám. Most két oly rímtesztet foguk tárgyli, melyekél oly feltételeket 4
keresük, mikre ézve már em fordulhtk el álrímek. Midkét tétel eseté véletle válsztjuk számokt, bármely szám kiválsztásák ugyyi z esélye. A számítógé ekkor vlmilye véletleszámgeerátort hszál. 3..4. Tétel (Solovy-Strsse-rímteszt). 1. Legye > 1 ártl szám, és tekitsük z 1 (mod ) (1) kogrueciát, hol Jcobi-szimbólum. H rím, kkor (1) mide 6 0 (mod ) eseté teljesül. H összetett, kkor (1) egy modulo teljes mrdékredszer elemeiek kevesebb, mit felére teljesül.. Az 1. kritérium ljá következ kée döthetjük el egy gy ártl -r l, hogy rím-e vgy összetett. Válsszuk modjuk 1000 véletle 6 0 (mod ) értéket, és midegyikre vizsgáljuk meg, hogy (1) feltétel teljesül-e. H leglább egy esetbe em teljesül, kkor z biztos összetett. H mid z 1000 esetbe teljesül, kkor 1000 -él kisebb k vlószí sége, hogy z összetett. Néháy megjegyzés tételhez: 1. H (; ) > 1, kkor Jcobi-szimbólum em értelmes, tehát (1) eleve em teljesülhet.. El fordulht természetese, hogy tétellel egy összetett számot tévese rímek ítélük, de.. tételhez kéest ez gy el reléést jelet. 3. Elég sok érték kiróbálásávl tetsz legese kicsi lehet tévedés vlószí sége. Bizoyítás: Elég tétel els felét igzoli, mert második fele eek következméye. 5
H rím, kkor (1) teljesül (1) mitt. H összetett, kkor eleve csk oly számok jöhetek szób, melyekre (; ) 1. Vgyis eleged zt megmutti, hogy (1)-et egy modulo redukált mrdékredszer elemeiek legfeljebb fele elégíti ki. A továbbikb egy -hez reltív rím számot túk evezük, h (1) em teljesül rá és cikosk, h ige. Így átfoglmzv, zt fogjuk beláti, hogy egy modulo redukált mrdékredszer elemeiek leglább fele tú. I. El ször zt muttjuk meg, hogy mide ártl összetett -hez létezik tú. Ehhez egy deíciór lesz szükségük. 3..5. Deíció. Egy g számot rimitív gyökek evezük modulo m, h o m (g) '(m). Két esetet foguk vizsgáli. Az egyik, hogy létezik egy oly q rímszám, melyre q j. Továbbá q q 1 ; q ; ; q s legyeek külöböz rímosztói. Ismeretes, hogy mide q rímre létezik rimitív gyök modulo q. Legye g rimitív gyök modulo q. Nézzük z x g (mod q ); x 1 (mod q i ); i s szimultá kogrueciredszert. Legye eek egy megoldás v, vgyis v g (mod q ); v 1 (mod q i ); i s: () H s 1, kkor legye v g. Azt fogjuk megmutti, hogy v tú. Mivel q i midegyike rímszám, ezért (v; q i ) 1 mide i-re. Emitt edig (v; ) 1. Idirekt feltesszük, hogy Ezt égyzetre emelve: v 1 v (mod ): (3) v v 1 1 (mod ): (4) 6
Mivel -ek osztój q, ezért (4)-es kogrueci teljesül modulo q is: v 1 1 (mod q ): Felhszálv ()- t g 1 1 (mod q ): (5) Itt g rimitív gyök modulo q zz redje '(q ) q q 1 q(q 1), így (6)-ot felhszálv zt kjuk, hogy q(q 1) j 1. Viszot q j, vgyis q osztój -ek és 1-ek is, mi lehetetle, mert 1-e kívül semmi em lehet osztój két egymást követ számk. Így elletmodáshoz jutottuk, vgyis v tú. Most ézzük zt z esetet, mikor q j em teljesül semmilye q rímosztór. Az ilye számokt égyzetmetesek hívjuk. Tehát legye q 1 q s, hol q i -k külöböz rímek és s. Itt két (l)esetet foguk vizsgáli. Az egyik, hogy 1 1 (mod ) (6) kogrueci teljesül mide (; ) 1 eseté, illetve, hogy em. H teljesül, kkor legye h kvdrtikus emmrdék modulo q 1 megoldás és w egy x h (mod q 1 ); x 1 (mod q i ); i s szimultá kogrueciredszerek. Vgyis w h (mod q 1 ); w 1 (mod q i ); i s: Ekkor (w; ) 1, mert q i midegyike rím, és w-t q i -vel osztv midig 1 mrdékot d, h i s. Modulo q 1 edig w kogrues egy h kvdrtikus emmrdékkl, vgyis q 1 6 j w. S mivel feáll, hogy w és reltív rímek, ezért w-re lklmzv (6)-ot w 1 1 (mod ). Viszot w, mit Jcobiszimbólum w w w w h 1 1 1: q 1 q q s q 1 q q s 7
Tehát w tú. A másik leset, hogy (6) em teljesül vlmilye -hez reltív rím számr. Ekkor rímosztói között v leglább egy oly - legye ez q 1 -, melyikre: 1 6 1 (mod q 1 ): Vegyük ekkor z-t, mi egy megoldás z x (mod q 1 ); x 1 (mod q i ); i s (7) szimultá kogrueciredszerek. Tehát z (mod q 1 ); z 1 (mod q i ); i s: Továbbr is zt krjuk beláti, hogy z tú. Mivel ebbe z esetbe (6) em teljesül, ezért z 1 1 6 1 (mod q 1 ); és így z 1 6 1 (mod ); mivel korább tultuk, hogy h d j m, kkor b (mod m) ) b (mod d). Mivel A ) B tgdás eseté :B ) :A, ezért 6 b (mod d) ) 6 b (mod m). Másrészt z 1 (mod q i ); i s mitt z 1 1 6 1 (mod q ); és így z 1 6 1 (mod ): Tehát z 1 6 1 (mod ); ugykkor z 1; vgyis em teljesül (1), tehát z vlób tú. II. Most már csk zt kell beláti, hogy egy redukált mrdékredszer elemeiek leglább fele tú. Legye t tetsz leges tú. Továbbá legyeek c 1 ; c ; : : : ; c k árokét ikogrues cikosok. Azt fogjuk beláti, hogy ekkor tc 1 ; tc ; : : : ; tc k árokét ikogrues túk. A túk szám tehát leglább kkor, mit cikosoké. Felhszáljuk, hogy (t; ) (c i ; ) 1, mivel eleve feltettük, hogy túk és 8
cikosok csk -hez reltív rímek lehetek. Ez esetbe viszot (tc i ; ) 1 is igz, mert h oly számokt tekitük, melyekek icseek -el közös osztóik, kkor z zt jeleti, hogy rímtéyez s felbotásukb em szereelek zok rímszámok, melyek felbotásáb ige. Tehát, h ezeket z -hez reltív rímeket összeszorozzuk, kkor továbbr is reltív rímek mrdk -hez. Most belátjuk, hogy tc i elemek is árokét ikogruesek modulo. Tehát tudjuk, hogy c i cikosok árokét ikogruesek, vgyis c i 6 c j (mod ) h i 6 j: Tegyük fel idirekt, hogy: tc i tc j (mod ): Ekkor, mivel (t; ) 1, ezért leoszthtuk t-vel, így c i c j (mod ); mi elletmodás. Most idirekt feltesszük, hogy vlmelyik i-re tc i cikos, zz (tc i ) 1 tci teljesül. Mivel c i is cikos, ezért teljesül rá c i 1 ci (mod ) (8) (mod ) (9) kogrueci. H (8) és (9)-et összeszorozzuk, kkor kjuk, hogy t 1 1 t ci ci (mod ): (30) Továbbá (9)-et égyzetre emelve c i 1 ci 1 (mod ) 9
dódik, mit beírv (30)-b kjuk, hogy t 1 t (mod ); mi zt jeleti, hogy t is cikos, mi elletmodás. Így beláttuk, hogy h veszük árokét ikogrues cikosokt és végigszorozzuk egy túvl, kkor árokét ikogrues túkt kuk, vgyis így leglább yi tút kuk, mit cikost. Tehát egy redukált mrdékredszer elemeiek leglább fele tú. állítás. A következ rímteszt lj egyrészt kis Fermt-tétel, illetve következ Állítás: H rím és u 1 (mod ), kkor csk u 1 (mod ) lehetséges, hogy zt modulo gyökvoásról tultuk. Például modulo 8 eseté 1 mellett 3 is kijöhete. A kis Fermt-tétel mitt (; ) 1, vgyis 6 j. Ekkor z 1 ; 1 ; 1 4 ; : : : számok modulo vett legkisebb bszolút érték mrdékik sorozt midekée 1-gyel kezd dik ( kis Fermt-tétel mitt) és vgy végig 1 vgy vlháydik léésél 1-et kuk. H viszot helyett egy tetsz leges összetett számot veszük, kkor sok eseté már em ilye soroztot kuk. 3..6. Tétel (Miller-Lestr-Rbi-rímteszt). Legye > 1 ártl szám, 1 k r, hol r ártl. Az r ; r ; 4r ; ; k r 1 4 ; k 1 r 1 (31) számokt jó soroztk evezzük, h ezek modulo vett legkisebb bszolút érték mrdéki között el fordul 1 vgy edig r mrdék 1. H rím, kkor (31) mide 6 0 (mod ) eseté jó sorozt. H összetett, kkor (31) egy modulo teljes mrdékredszer elemeiek kevesebb, mit felére lkot jó soroztot. 30
A feltételt gyors tudjuk elle rizi. El ször kiszámoljuk r mrdékát modulo, ezt ismételt égyzetre emelésekkel tehetjük meg. Utá r ; 4r ; : : : sorozt elemei egy-egy további égyzetre emelést igéyelek. Tekitsük erre egy éldát: 1-r l szereték megállíti, hogy vjo rím vgy összetett. Ekkor 1 0 55. Ebb l kjuk, hogy k és r 55. Vegyük véletle egy 1-él kisebb számot, éldául 174-et, ez lesz z. 174 55 47 6 1 (mod 1) 174 110 0 1 1 (mod 1) Mivel 0 1 (mod 1), ezért vgy 1 rím vgy 174 cikos. Próbáljuk meg egy másik véletle számot, legye ez 137. 137 55 188 6 1 (mod 1) 137 110 05 6 1 6 1 (mod 1): Bizoyítás: H rím és em osztój -k, kkor..6 tétel el tti állítás mitt jó soroztot kuk. H összetett, kkor túk fogjuk evezi zokt, melyek összetettsége mellett em dk jó soroztot, vgyis tusítják összetettségét. Azok leszek cikosok, melyekkel jó soroztot kuk, de mégis összetett. Ebbe z értelembe, fet említett éldáb 137 egy tú 1 összetettségét tekitve, vgyis zt túsítj, hogy 1 em rím. Eélfogv 174 vlójáb cikos. Természetese ez még semmit em mod 1 felbotásáról, mi 13 17. Vgyis, h tú, kkor 1 6 1 (mod ); 31
így két eset lehetséges: vgy 1 1; de 1 1; de 1 1: H összetett és em égyzetmetes, kkor ugyúgy törtéik bizoyítás, mit..4-es tételél. Tehát ugyúgy gyártuk egy szimultá kogrueciredszert, melyek egy megoldás v. Be krjuk láti, hogy v tú és ismét feltesszük idirekt, hogy v cikos, vgyis v 1 v (mod ): H ezt égyzetre emeljük kkor biztos 1-et kuk. Itt két eset lehetséges. Az egyik, hogy soroztuk végig +1 és ekkor égyzete is yi. A másik esetbe, h sorozt utolsó tgj 1, k égyzete is +1. A bizoyítás iet l ugyúgy folyttódik, tehát ugyúgy elletmodásr jutuk. H összetett és égyzetmetes, kkor vegyük zt leggyobb j számot, melyre 0 j k 1 és mihez v oly (; ) 1, hogy jr 6 1 (mod ): (3) Például j 0 és 1 válsztássl biztosk lehetük bee, hogy v ilye j és számár, mivel: ( 1) 0r 6 1 (mod ) ( 1) r 6 1 (mod ): Ez biztos igz, mert r ártl. H edig v ilye j, kkor v köztük egy mximális, mely még k 1-él kisebb. Most vegyük z egy rímosztóját, q 1 -et. Erre is feáll (3)-es kogrueci: jr 6 1 (mod q 1 ): 3
Ekkor hsoló..4 tétel bizoyításához vegyük z-t, mi egy megoldás z x (mod q 1 ); x 1 (mod q i ); i s szimultá kogrueciredszerek, hol q i -k továbbr is z rímosztói. Tehát z (mod q 1 ); z 1 (mod q i ); i s Emitt: z jr jr 6 1 (mod q 1 ); és így z jr 6 1 (mod ); másrészt z 1 (mod q i ); i s mitt z jr 1 6 1 (mod q ); és így z jr 6 1 (mod ): Vgyis zt modhtjuk, hogy z jr 6 1 (mod ); viszot j deíciój szerit (j < k 1 eseté) z j+1r 1 (mod ); mivel j mximális oly szám, mire (3) feáll, vgyis h zt égyzetre emeljük, kkor biztos 1-et kuk. Az utolsó léés megegyezik..4-es tételével. H z els esetbe kott v-t, illetve második esetbe kott z-t megszorozzuk árokét ikogrues cikosokkl, kkor ugyoly módo beláthtó, hogy árokét ikogrues túkt kuk. Erre seciális el állított z-re biztos igz, zob, h tetsz leges tút veszük, kkor em feltétleül. Tehát beláttuk, hogy összetett eseté egy redukált mrdékredszer elemeiek leglább fele tú. A két rímtesztet összehsolítv zt kjuk, hogy Miller-Lestr- Rbi teszt htékoybb, mit Solovy-Strsse következ értelembe. 33
H egy dott -re z tú Solovy-Strsse tesztél, kkor z tú lesz másikál is. Vgyis, h egy -r em teljesül, hogy 1 (mod ), kkor ugyerre z -r Miller-Lestr-Rbi tesztél el állított sorozt em lkotht jó soroztot, vgyis em teljesül tgjir, hogy modulo vett legkisebb bszolút érték mrdéki között el fordul 1 vgy edig r mrdék 1. Bizoyítás: Legye z > 1 ártl szám koikus lkj q 1 1 qs s, és 1 k r, hol r ártl. Azt krjuk tehát beláti, hogy h egy -r..6 tétel ljá deiált jó soroztot kuk, kkor 1 (mod ) is feáll. H r 1 (mod ), kkor ezt k 1 htváyr emelve (mivel..6 tétel ljá k 1 1 r ) zt kjuk, hogy 1 1 (mod ). Továbbá 1 r r 1 ; és mivel feltettük, hogy r ártl, ezért 1 biztos, mivel 1 ártl htváyo 1 lee. Vgyis 1 Most feltesszük, hogy (mod ) teljesül. jr 1 (mod ); hol 0 j k : (33) Ezt égyzetre emelve, jobb oldlo 1-et, bl oldlo leggyobb j megválsztás eseté is legfeljebb k 1r -t kuk, mivel j < k k 1 r 1, ezért 1 1 (mod ). Azt kell még igzoli, hogy is teljesül. A (33)-s kogrueciát modulo q i -re ézve jr 1 (mod q i ) mjd égyzetre emelve zt kjuk, hogy j+1r 1 (mod q i ): Ekkor ismét hszáljuk red tuljdoságit, vgyis o qi () 6 j j r és o qi () j j+1 r; 34 1. Mivel 1
és így o qi () j+1 r i ; hol r i j r: Mivel q i rím, ezért fetib l j r i 1 (mod q i ) dódik. Továbbáb o qi () j '(q i ) q 1, ezért egy lklms h i -vel Az utóbbi két összefüggést felhszálv q i 1 + j+1 r i h i : (34) (q i 1) j r i h i ( j r i ) h i q ( 1)h i (mod q i ): i Ez ljá edig kiszámolhtó sy i1 q i i ( 1)P s i1 ih i módo. Ahhoz, hogy jobb oldlo 1 legye, zt kell belátuk, hogy P s i1 ih i egy áros szám. Ez zt is jeleti, hogy mivel mide r i -r l feltettük, hogy ártl, ezért h megszorozzuk velük ezt összeget, kkor rítás em változik meg, vgyis, h eredetileg áros volt, kkor r i -kel megszorozv is z lesz. (34) ljá: sy i1 q i i sy i1 (1 + j+1 r i h i ) i : A biomiális tétel ljá eek szorztk egy i-edik tgj következ kée írhtó fel: (1 + j+1 r i h i ) i 1 + i ( j+1 r i h i ) + i 1 + j+1 i r i h i + j+ C i ; ( j+1 r i h i ) + : : : 35
mivel z összeg hrmdik tgjától kezdve mide tgból kiemelhet j+, hisze otól kezdve ( j+1 r i h i ) egyre gyobb htváyoko szereel. Így zt kjuk, hogy sy i1 (1 + j+1 i r i h i + j+ C i ): Eze s drb három tgú összeg összeszorzásávl els két kuk 1-et, illetve mide i-re egy j+1 i r i h i tgot, h z s drb zárójel közül s 1-b l z 1-eseket és egy zárójelb l j+1 i r i h i tgot szorzzuk össze. A többi tg midegyikéb l edig kiemelhet j+ és így 1 + ( j+1 sx i1 i r i h i ) + j+ C: Feltettük, hogy 1 k r, ezért k r + 1. Ezt beírv feti egyel ség bl oldlár, mjd 1-et kivov midkét oldlból kjuk, hogy k r j+1 sx Ezt egyszer síthetjük j+1 -el: k j 1 r i1 sx i1 i r i h i + j+ C: i r i h i + C: Végül C-t kivov k j 1 r C sx i1 i r i h i (35) egyel séghez jutuk. Ekkor zt hszáljuk fel, hogy j < k 1, vgyis k j 1 egy ozitív egész kitev j htváy, ezt szorozv r-rel továbbr is áros mrd, és bel le kivov C áros számot zt kjuk, hogy bl oldl áros. Tehát jobb oldl is áros, ezzel beláttuk, mit krtuk. H edig k 1 r 1 1 (mod q i ) 36
esetet ézzük, kkor zt kell beláti, hogy 1, mi z el z ek ljá zt jeleti, hogy P s i1 ir i h i összeg ártl. Ez csk úgy lehetséges, hogy h j k 1, mert ekkor (35) bl oldlá k (k 1) 1 r C 0 r C r Ct kuk és mivel r ártl, ezért bl oldl is z, tehát jobb oldl ártl, és ot ezt krtuk. A két tesztet összehsolítv z is beláthtó, hogy Miller-Lestr-Rbiteszt eseté egy redukált mrdékredszer elemeiek leglább 3 -e tú. 4 Végül itt említeém még meg z AKS-lgoritmust, mi jelelegi "legfrissebb" rímteszt. 00 ugusztusáb tlált ki három idii mtemtikus, Midr Agrwl, Neerj Kyl, és Niti Sxe. Ez egy oliomiális rímteszt, miek segítségével már teljes biztosággl tudjuk eldötei egy számról, hogy z rím-e, köszöhet e k, hogy itt "cikos" már em fordulht el. A következ tételre lszik z AKS-lgoritmus. 3..7. Tétel. Legye természetes szám, r edig oly -él kisebb természetes szám, hogy redje r-rel osztv gyobb, mit (log ). Ekkor otos kkor rím, h: 1. em teljes htváy,. -ek ics oly i rímtéyez je, mire i r, 3. (x + ) x + (mod (; x r 1)) teljesül mide 1 r log egész számr. Az lgoritmus segítségével elle rizi tudjuk, oliom id ltt (meyyibe -et biáris rerezetáljuk), eze feltételek teljesülését. Például zt, hogy teljes htváy-e legfeljebb dlog e léésbe meg tudjuk modi, és z egyes léések számítási igéye sem gyobb. H veszük modjuk egy 101 jegy számot, kkor els lééskét elle rizzük, hogy égyzetszáme. H ez igz, kkor biztos egy 51 jegy szám égyzete, tehát vesszük 37
legkisebb és leggyobb 51 jegy számot, és mit hogy Brchob kérdésekél megtultuk felez kereséssel dlog e léésbe meg tudjuk tláli. H em égyzetszám, kkor második lééskét elle rizzük, hogy köbszáme ugyezzel módszerrel, ugyeyi léésbe és így tovább egésze blog c-edik htváyig. Eél gyobb htváy em jöhet szób, mivel log. Természetese ez csk elméleti meggodolás, ezeket m veleteket számítógé illtok ltt elvégzi helyettük. 38
4. Köszöetyilváítás Köszöettel trtozom témvezet mek, Károlyi Gyulák, ki már tém kiválsztásáb is sokt segített, illetve dolgozt elkészítése sorá hszos tácsokkl, észrevételekkel, ötletekkel látott el mid formilg, mid trtlmilg. Köszööm továbbá türelmét és mgyráztit. 39
Hivtkozások [1] Freud Róbert - Gyrmti Edit, Számelmélet, Nemzeti Tköyvkidó, 000 [] Agrwl, M, Kyl, N. d Sxe, N.:Primes is i P, Als of Mth 160 (004) 781-793 [3] htt://hu.wikiedi.org/wiki/prímteszt [4] htt://e.wikiedi.org/wiki/miller-rbi rimlity test [5] htt://www.mt.uirom.it/ schoof/millerrbiom.df 40