Metrius tere továbbra is.
Defiíció: Legye X egy halmaz, d : X X R egy függvéy. Azt modju, hogy d metria (távolság), ha.. 3. 4. d d d d x, x 0, x, y 0 x y, x, y dy, x, x, z dx, y dy, z. Az X halmazt a d metriával ellátva metrius tére hívju. Fotos: absztrat ostrució, függetle a távolság szemléletes, geometriai jeletésétől.
Az y özéppotú, r sugarú (yílt) gömb: B y, r: x X : dx, y r Legye H X és x X. Az x pot a H halmaz belső potja, ha r 0, hogy B( x, r) H c ülső potja, ha r 0, hogy B( x, r) H X \ H határpotja, ha r 0, eseté B x, r) H ( és B ( x, r) H c H yílt, ha mide potja belső pot, zárt, ha H c yílt.
Állítás: F X potosa aor zárt, ha F bármely F-beli overges sorozat határértéét is tartalmazza, azaz További defiíció: x F, x x xf. Legye H X, a X torlódási potja H -a, ha x H, x a. Másépp: r 0: Ba, r\ a H Jelbe: H a H izolált potja H -a, ha em torlódási potja.
Def.: Az X, d metrius tér teljes, ha mide Cauchy-sorozat overges. x Cauchy-sorozat, ha 0 N N, m N d x, x m. X R, C, N R teljese a,b, B C a, b teljes (szuprémum-metriával) C a, b az itegrál-metriával em teljes b f g f x gx d, a dx (lásd gyaorlat)
f : X X Az függvéy folytoos, ha D f X x és 0 X helye folytoos. Az f : X X f X függvéy egyeletese folytoos, ha D és 0 0 x, y X, x y d, eseté d f x, f y. f : X X Az függvéy Lipschitz-folytoos, ha és 0, L d f x f y Ld x, y, x, y X. D f X
Nyilvá Lipschitz-folytoos egyeletese folytoos egyeletese folytoos folytoos X dx, y y x, Pl.: X R, x x f folytoos, de em egyeletese, x f x egyeletese folytoos, de em Lipschitz, x f x Lipschitz folytoos.
Tétel: (otració-elv, Baach-féle fixpot tétel) Legye d f X, teljes metrius tér, f X X D X és 0, : : otració, azaz q d f x, f y qdx, y. Eor egyértelműe létezi fixpot, azaz! z X : Biz.: Legye x f x, x0 X. Eor dx, x d f x, f x qdx x d d 0, z f z. x, x d f x, f x qdx, x q dx x 3,, x, x d f x, f x qdx, x q dx x, 0 0 0
d x, x d x, x d x, x q q q d x x, 0 q dx, x0 0 q ha. Tehát x f x Cauchy-sorozat. lim x, x Folytoosság: x f x. Egyértelműség: Lipschitz
Def: Legye X,d metrius tér, H X. Azt modju, hogy H ompat halmaz, ha mide H-beli sorozata va torlódási potja H ba. Az X, d metrius tér ompat, ha X ompat halmaz. Láttu: X dx, y x y, ha R vagy C, aor a ompat halmazo potosa a orlátos és zárt halmazo.
Pl. X : l R :, d x, y : x y. x x H 0, x X : d0, x : B orlátos, zárt, de em ompat. e :,0,0,0,, e : 0,,0,0,, e : 0,0,,0,, 3 e : 0,0,,0,,0,, e H, hisze e, 0, d viszot e sorozata ics torlódási potja: d,. e e m További példá gyaorlatoo várható
Áll.: Ha H X ompat, aor zárt. Biz.: Ha H X em zárt, aor va olya sorozat H-ba, mely H- ívüli pothoz overgál H X halmaz átmérője diam H : supd x, y: x, H orlátos, ha diam H. y H Áll.: Ha H X ompat, aor orlátos. Biz.: Ha H X em orlátos, aor tudu olya x sorozatot ostruáli, melyre d,. x x m
További példa: Legye X 0, a diszrét metriával. Ha x, ei ics torlódási potja: ha m, aor d,. x x m Tehát X em ompat, bár orlátos és teljes. Megj.: Biz.: Hf. Ha X, d ompat metrius tér, aor teljes.
Áll.: Legyee X, d és Y, metrius tere, f : X Y folytoos, K X Eor f K Y ompat. ompat. Biz.: Legye y f K, eor található x K, melyre Mivel K ompat:, y f x. ak, hogy a. f folytoos: f x y f a f K. x
Köv.: (Weierstraß) Legye X, d ompat metrius tér, f : X R folytoos. Eor f orlátos és felveszi maximumát, miimumát. Biz.: Szóról szóra ugyaaz, mit tavaly. X R f ompat halmaz orlátos és zárt. y max f X és y mi f X x X f x, x X f x. : y : y
Köv.: (Heie) Legye X, d ompat metrius tér, Y, metrius tér, f : X Y folytoos. Eor f egyeletese folytoos. Biz.: Szóról szóra ugyaaz, mit tavaly. Idiret, tfh. f em egyeletese folytoos. 0 0 x, y X, dx, y, f x, f y : x, y X, dx, y, f x, f y. Mivel X ompat: a X,, hogy x a. a f x f y f f a a, y f x, f y 0,.
Megjegyzése ompat halmazoról: Áll.: Két ompat halmaz uiója ompat. Biz.: Ha K, K X ompat, x K K, aor vagy, vagy K K végtele so elemet tartalmaz ebből iválasztható overges részsorozat. Megj.: végtele uióra em marad igaz az állítás.
Áll.: Kompat halmazo metszete ompat. Biz.: Legyee K, K, X ompat halmazo, x K K Mivel x K, a K,, hogy x a. Zárt halmazo metszete zárt: K K zárt halmaz ak K
Áll.: (Cator) Legyee X K K K3 egymásba ágyazott ompat halmazo. Eor K K. Biz.: Legye x K, x K, x3 K 3, x K tetszőleges. Mivel x K, a K,, hogy x a. Tetszőleges N N eseté x KN véges so ivétellel. a K N ak K.
Fotos: Átismételi a vetortereel apcsolatos alapfogalmaat. Vetortér, altér, bázis lieáris leépezés, mátrixa.