178 5.4.. Váltoó kerestmetsetű rudak tsta hajlítása Enhén váltoó kerestmetsetű, tsta hajlításra génbevett rúdnál a eges pontok fesültség állapota - a váltoó kerestmetsetű rudak tsta nomásáho vag húásáho hasonlóan - nem lneárs, hanem térbel les. A gakorlat sámításokho aonban általában elegendő a ránho tartoó normálfesültséget fgelembe venn, s a több fesültségkomponenst pedg uganúg sámítjuk, mnt a prmatkus rúd hajlításánál: M ' = = (', ' ) = EI (') ' '' 5.65 '' csupán arra kell ügelnünk, hog a kerestmetset váltoása matt a hajlítás tengelére vonatkoó másodrendű nomaték a kerestmetset helének függvéne. A normálfesültség tehát nemcsak '-nek, hanem '-nek s függvéne. Uganeen ok matt a semleges tengel görbület sugara sem állandó: 1 () = M ' ρ EI () '', 5.66 a rúd alakja nem körív, hanem bonolultabb görbe les. A semleges tengel alakjának meghatároásával később foglalkounk. A enhén váltoó kerestmetsetű rúdban felhalmoott rugalmas energát (5.63) ntegrálásával nerjük, most aonban a kerestmetset másodrendű nomatékát nem emelhetjük k a ntegráljel elé, hsen a a koordnáta függvéne. Erősen és hrtelen váltoó kerestmetsetű rudak hajlításánál (5.45. ábra) éppúg fesültségcsúcsok lépnek fel, mnt húó- vag nomógénbevételnél. E fesültségcsúcsokat, lletve a hosstengelre merőleges ránú normálfesültségeket és a esetleg fellépő nírófesültségeket megnt alakténeők felhasnálásával sámíthatjuk, meleket műsak tábláatokból határohatunk meg. 5.4.3. Egenletes slárdságú hajlított rudak A génbevételek köt smert kapcsolat, a dm() = T() 5.67 d 5.45. ábra össefüggés révén können beláthatjuk, hog tsta
179 hajlításkor a hajlítónomaték nagsága a rúd hossa mentén nem váltohat. Váltoó nomatéknál ugans nírógénbevételnek s ébredne kellene, lenkor aonban már össetett (hajlítás és nírás) a kerestmetset génbevétele. Most mégs feltessük, hog a hajlítónomaték a rúd hossa mentén váltok, de a nírógénbevétel hatását elhanagoljuk. A hajlításból sármaó normálfesültséget és annak mamumát a tsta hajlításnál leveetett össefüggések analógájára sámíthatjuk: = M () ', = M () ' ' '' ''ma 5.68/a/b I ' K ' ' Prmatkus rúdnál a kerestmetset alakja és jellemő állandók, íg a váltoó nagságú hajlítónomaték hatására a normálfesültség eloslására jellemő ferde egenes meredeksége, s eel egütt aok sélső értéke s a kerestmetset helének függvéne. A egenletes slárdságú húott és nomott rúd fogalmáho hasonlóan a hajlított rudaknál s meghatárohatunk eg, a hajlítónomaték váltoásáho gaodó kerestmetsetet, amel mellett a normálfesültségek sélső értéke mnden kerestmetsetben uganakkora. A len hajlított rudat egenletes slárdságúnak neveük, jóllehet csak a sélső sálak fesültsége egenek meg, míg a sélső sálaknál ksebb távolságra lévő kerestmetset pontokban a sélső értékeknél alacsonabb fesültségsntet kapunk (een kívül a húott és nomott öv sélső fesültségenek sem kell absolút értékre megegenük). Anagfelhasnálás sempontjából a leggadaságosabb rúdalakot mégs a een a módon defnált egenletes slárdságú tartóval nerjük. A egenletes slárdságú tartó alakját a hajlítónomaték függvén mellett a kerestmetset alakja befolásolja döntően. Ha a hajlítógénbevétel függvéne lneárs (len a egk végén befogott, sabad végén a rúdtengelre merőleges hatásvonalú, koncentrál erővel terhelt tartó nomaték függvéne) és a kerestmetset alakja téglalap, kétféleképpen s elkésíthetjük a egenletes slárdságú tartóalakot. A K ' = 1 6 sv (s - a téglalap hajlítás tengelével párhuamos oldalának hossúsága, v - a erre merőleges hossúság) kfejeésnek megfelelően v állandó értéken tartásával s lneársan váltok, s állandó értéken tartása mellett pedg v-re eg másodfokú függvént kapunk. Eeket a függvéneket (5.68/b) felhasnálával können meghatárohatjuk. A leveetést a olvasóra bíuk. E helett nkább újra megvsgáljuk a terméset "mechanka tudását". Tegük fel, hog a rúd kör kerestmetsetű, s a 5.46. ábrának megfelelően, alsó vége befogott, felső sabad végén M 0 koncentrált nomaték és F koncentrált erő hat. Legen 0 a a fesültség, amelet sélső sálakban megengedünk és határouk meg, hogan váltoon a oslop d() átmérője, hog a egenletes slárdság elvét kelégítsük. A hajlítónomaték függvén:
180 M() = M 0 + F, a kör kerestmetset hajlítás tengelére vonatkoó kerestmetset téneője: K () = d 3 () π. 3 (5.68/b) felhasnálásával: 0 0 = ma = M () M + F = 3 K () d () π 3 nnen d() = 3 3(M 0 + F) π sabad végre vonatkoó 3M 0 0 = 3 d π 0 0 vag a össefüggésből meghatároható a d 0 kedet átmérővel kfejeve: d() = d 3 0 M 0 + F M 0 5.46. ábra A egenlő slárdságú hajlított oslop kör kerestmetsetének átmérője tehát eg harmadfokú függvén sernt váltok. Jó köelítéssel len alakot vesnek fel a sél hajlító hatásának ktett fatörsek, különösen akkor, ha a fa anagának sűrűsége vsonlag kcs s eért a normálgénbevétel hatására kalakuló eponencáls határvonal nem sembeötlő (pl. a fenőféléknél). A valóságban e a két alak ötvöődk, a fatörs alakjára jellemő merdánvonal felső résén a hajlítás követketében kalakuló harmadfokú görbe, alsó résén pedg a nomás hatására fellépő eponencáls görbe domnál. 5.4.4. Össetett kerestmetsetű rudak hajlítása Össetett kerestmetsetű rudak esetén a rétegek síkja és a hajlítónomaték vektora által beárt sög, a kerestmetset alakja sámtalan varácós lehetőséget btosít. Eek köül két, a gakorlatban fontos esetet tanulmánoák.
181 5.4.4.1. A rétegek síkja merőlegesen a hajlítónomaték vektorára Terheljük tsta egenes hajlítással a 5.47. ábrán látható, téglalap kerestmetsetű, prmatkus rudat, melben a rétegek síkja párhuamos a hajlítónomaték síkjával. A rétegek magassága h, megegek a rúd magasságával, a -edk réteg vastagsága pedg v, rugalmasság modulusa E. Mvel a rétegek egmásho elmodulásmentesen vannak össeerősítve, a deformácóra jellemő görbület sugarak egenlők és meg kell egenük a homogénnak feltételeett rúd eredő görbület sugarával. (5.57) felhasnálásával: 1 M = ρ E I ' = 1 M = ρ E I, eredő eredő 5.47. ábra, ahol I, - a -edk réteg másodrendű nomatéka a hajlítás tengelére, I = n I, - a teljes kerestmetset másodrendű nomatéka a hajlítás tengelére, =1 M, - a teljes M nomatéknak a -edk réteg által felvett rése. A génbevétel defnícója értelmében tetsőleges kerestmetsetben: M = M. n =1, Helettesítsük be de a előő össefüggés első egenlőségéből kfejeett M, -t, majd a görbület sugarak egenlőségét felhasnálva meghatárohatjuk a eredő rugalmasság modulust: E = 1 n E I = 1 n E v h 3 I vh 1 = 1 n eredő, E v. 3 v =1 = 1 A eges rétegekben a normálfesültség eloslására jellemő ferde heletű egenes meredeksége a réteg rugalmasság modulusával aránosan váltok: = E = E M = E = E M, ε, ρ E I E I eredő eredő =1
18 5.4.4.. A rétegek síkja párhuamos a hajlítónomaték vektorával Váltotassuk meg a rétegődés ránát a 5.48/a. ábrának megfelelően. A eges rétegek kerestmetsetalakjára most csak ann megkötést tesünk, hog két smmetratengelük legen. A teljes kerestmetset sempontjából elég, ha a hajlítónomaték síkja smmetrasík. A rétegek génbevétele nem marad tsta hajlítás, mert a elmodulásmentes össeerősítés követketében a eges rétegekben hajlítógénbevétel mellett normálerő s fellép (a rétegek görbület sugara különböő és kompatbls alakváltoás létrejöttéhe bonos rétegeknek meg kell núlnuk, bonosaknak pedg össe kell nomódnuk). Ha smernénk a -edk rétegben keletkeő M, hajlítónomatékot és a N, normálerőt, akkor a réteg súlpont tengelétől távolságra lévő pontban fellépő normálfesültséget a két génbevételtől sármaó normálfesültség algebra össegeként sámítanánk. A normálfesültség és a rugalmasság modulus hánadosa pedg - a Hooke-törvén értelmében - megadja a ránú fajlagos hossváltoást: = = M + N E E I E F = 1 M N,,,,, ε, +, 5.69/a E E I E F,, E E lletve 5.48/a. ábra ε 1 M, N, = + E J, A,, 5.69/b ahol F és I, - a -edk réteg kerestmetset-területe a saját súlpont tengelére vonatkoó másodrendű nomatéka, A és J, - a E /E-vel módosított terület és másodrendű nomaték, amelben E rugalmasság modulus jellegű mennség, nagságát teljesen sabadon válasthatjuk, serepe csak ann, hog a össefüggéseket egserűsít.
183 A belső erők meghatároásáho egensúl és alakváltoás feltételeket kell megfogalman. A ránú vetület egensúl egenlet at feje k, hog a teljes kerestmetset össes normál-génbevétele - ránú külső erők hánában - nulla: F = 0 = n = 1 N,, 5.70 a belső erők és a terhelő nomaték köt kapcsolatot pedg nomaték egensúl egenlettel fejehetjük k. A 1. réteg súlpontján átmenő, -sel párhuamos tengelre: n n, =1 = 1 S1 M = 0 = M - M + a N ahol a = v - v + v j j=1 1, a -edk réteg súlpontjának a 1. réteg súlpontjától mért távolsága., 5.71 A első alakváltoás feltétel at feje k, hog két réteg köös síkjában a sélső sálak fajlagos hossváltoása megegek, am a elmodulásmentes kapcsolat követkeméne: ε, (felső s á l)= ε,+1(alsó sá l ), = 1,,..., n -1 5.7 a másodk alakváltoás feltétel pedg annak matematka megfogalmaása, hog a rúd valamel kerestmetsete a alakváltoás után s sík marad, tehát két egmás mellett lévő, hossúságú réteg vsonlagos sögelfordulása megegek: ε, (alsó sá l ) - ε, (felső sá l) ϕ = = v = ε,+1 (alsó sá l ) - ε (felső sá l) v +1,+1, = 1,,...,n-1. 5.73 Helettesítsük be a két utóbb egenlőségbe a (5.69/b) össefüggést, úg, hog -he alsó sál esetén v /-t, felső sál esetén -v /-t alkalmaunk. Rendeés után a követkeő két kfejeést nerjük: M,+1 M, N, + 1 N, v + 1 + v + = 0 J J A A M J,+1,+1,+1, M, = 0 J, + 1 = 1,,...,n-1 Eek a egenletek a (5.70) és (5.71) egensúl egenletekkel n egenletből álló egenletrendsert alkotnak, amelből a n sámú M, és n sámú N, smeretlen meghatároható. Eeket
184 a kfejeéseket vsonlag egserűen megkapjuk, ha a fent két egenletből smételt rekurív helettesítéssel kfejeük a smeretlen belső erőket M, és N, függvénében, majd eek (5.70)-be és (5.71)-be való helettesítése után a smeretlenek meghatárohatók: M N,, ahol e = = 1 = J M n, J a A A A M (e J 1, - a ), - a teljes kerestmetset rugalmasság modulusok aránában módosított súlpontjának a 1. réteg súlpontjától mért távolsága, J = [J + a A - e A ],, =1 amel - mnt a össefüggés alapján megállapíthatjuk - nem más, mnt a teljes kerestmetset módosított súlpont tengelre vonatkoó módosított másodrendű nomatéka. A belső erők smeretében a -edk réteg koordnátájú pontjában ébredő normálfesültség:, = M I,, + N F, a fesültségeloslás a 5.48. ábrán láthatóho les hasonló., A rúd semleges tengelének görbület sugarát a teljes kerestmetset alsó és felső sálának fajlagos hossváltoása alapján sámítjuk: 1 ε (alsó sá l ) - (felső sá l) = ε, n ρ =1 melre (5.60/b)-vel a alább kfejeést kapjuk: 1 M =. ρ E J v A eredő rugalmasság modulust úg kapjuk, hog a fent össefüggést egenlővé tessük a homogénnek tekntett rúd M hatására kalakuló görbületével: 1 M = M =, ρ EJ E I ahonnan 1 E eredő = 1 E I J eredő = n =1 n =1 [I + (a - e ) F ], 1 E [I + a F - e F ], 1.
185 5.4.4.3. Eltérő húó- és nomórugalmasság modulussal rendelkeő anagú rudak tsta hajlítása A tsta hajlítás elmélet tárgalásánál láttuk, hog a rúd semleges síkja alatt és felett eltérő előjelű normálfesültségek ébrednek. Ha fenntartjuk at a - gakorlatlag jól teljesülő - feltételt, hog a eredetleg sík kerestmetset a alakváltoás után s sík marad és a rúd anagának rugalmasság modulusa húásra és nomásra különböő, akkor a normálfesültségek eloslása lneárs marad ugan, de a egenes meredeksége a húott és nomott övben különbön fog. A váltoó meredekség uganakkor a semleges sík eltolódását vonja maga után, mert a normálfesültségekből sármaó belső erők ránú eredőjének nullával kell egenlőnek lenne. 5.48/b. ábra A semleges tengel helének, aa a húott és nomott kerestmetsetrés meghatároását a 5.4.4.. fejeet eredménenek felhasnálásával végehetjük el. A eljárást a faanagú rudak esetében leggakrabban előforduló, téglalap kerestmetseten mutatjuk be. A teljes kerestmetsetet a eltérő húó- és nomórugalmasság modulusoknak megfelelően két résre ostjuk a egelőre smeretlen k téneő segítségével (5.48/b. ábra). A módosított súlpontnak a két réteg határvonalára kell esne, íg a előő fejeet módosított súlpontkoordnátát megadó kfejeésének felhasnálásával: e 1 = kh = = 1-1 a A A = 0 + E ( 1 k ) hb h E E 1 ( ) E khb + 1 k hb EE ahonnan E 1 = E + és E = E - jelölés beveetésével: 1 k = + E 1 + E Faanagnál E + > E -, a fent kfejeés neveője mndg nagobb -nél, a semleges tengel (a módosított súlpont) mndg a húott oldal felé tolódk el. A elvleg két rétegből álló kerestmetset geometra és rugalmasság jellemőnek smeretében már alkalmahatjuk a előő fejeet össefüggéset a normálfesültség-eloslás és,
186 a eredő hajlító rugalmasság modulus meghatároására. A húott öv normálfesültségeloslása:,1 = M I,1,1 a nomott övé:, = M I,, + N 1 F + N F,1 1, = M I = M I,1, E E E E I 1,1 I J J, + M 1 F + M F 1 E E E 1 E kh F1 J = M J + E E kh, 1 + kh F M E J J E h = 1 ( k) Können ellenőrhetjük, hog a normálfesültségek a 5.48/b. ábrának megfelelően alakulnak, s hog a húott és nomott övben a fesültségeloslás egenesének meredeksége E + -sal és E - - sal arános. A 5.4.4.. fejeet utolsó össefüggésének felhasnálásával megkapjuk a eredő hajlítórugalmasság modulust. Egserű rendeés után: k + E eredő = E 3 3 k + (1 + k) vag a húó- és nomórugalmasság modulussal kfejeve: + + - E E E E eredő = =. 1 + E + + + + - - E E E E + E - - E E. 5.4.5. Erőtan méreteés 5.4.5.1. Megengedett fesültségen alapuló méreteés módser A tsta hajlításnál, mnt láttuk, normálfesültségek keletkenek, íg a méreteés során eek mamumát kell össehasonlítan a megengedett fesültséggel: m a m, 5.74 ahol ma ' = M K ', amelben ' - a hajlítás tengele, M ' - a hajlítónomaték vektorának ' tengelre eső vetülete, K ' - a kerestmetset hajlítás tengelére sámított kerestmetset téneője. Egenes hajlításnál annval egserűbb les a helet, hog a hajlítás tengele - mnden külön sámítás nélkül - a kerestmetset súlpontjába tartoó, a hajlítónomaték vektorával egbeeső másodrangú főtengel. Enhén váltoó kerestmetsetű rúdnál abban a pontban kell sámítan a normálfesültség mamumát, amelben a a lehető legnagobb. Ha a rúd anagának a megengedett fesültségen húásra és nomásra nem egforma, akkor a ellenőrést a potív és negatív fesültségmamumokra s el kell végen.
187 Alakváltoásra való méreteésnél a görbület sugár mnmuma nem lehet ksebb eg előírt, megengedett értéknél: ρ ρ, 5.75 mn m ρ mn -t a veséles kerestmetsetben a (5.67) kfejeéssel sámítjuk. Terveésnél a (5.74) és (5.75) relácókban egenlőséget tételeünk fel. 5.4.5.. "Fél" valósínűséggel kegésített határállapot módser A rúd kelégít a erőtan követelméneket, ha M M, 5.76 M H ahol M M -et a mértékadó teher alapján sámítjuk, a határnomaték pedg: M H = H K ', amelet a veséles kerestmetsetben határounk meg. Ha húásra és nomásra nem egforma a határfesültség, akkor a absolút értékre ksebbet kell felhasnáln. Alakváltoásra történő méreteésnél uganúg járunk el, mnt a előő módsernél, ρ mn sámításánál aonban a mértékadó nomaték '-re eső vetületét kell fgelembe venn. Terveésnél tt s a egenlőségekből ndulunk k. 5.5. Csavaró génbevétel Láttuk, hog tsta hajlításnál a rúd fesültség és alakváltoás állapotmeeje már nem homogén - mnt húásnál, nomásnál és nírásnál - a nhomogentás csavaró génbevételnél még sembetűnőbb. A csavarásnál keletkeő fesültségek eloslása, sőt magának a sámításnak a módja s nagmértékben függ a kerestmetset alakjától. 5.5.1. Kör (és körgűrű) kerestmetsetű rudak tsta csavarása Terheljük a kör kerestmetsetű, prmatkus rúd véglapjat olan - egelőre nem résleteett - megosló erőrendserrel, hog tetsőleges kerestmetsetben a génbevétel: N K = N() = 0, T K = T() = 0, M K = M() = M = áll. legen. A rúd kerestmetsetenek génbevétele, tehát M nagságú, tsta csavarónomaték (5.49. ábra).
188 5.49. ábra A rúd alakváltoásáról a követkeőket állapíthatjuk meg. A körhenger alkotó a alakváltoás után csavaralakot vesnek fel. A kerestmetsetek a tengel körül elfordulnak, de továbbra s síkok és eredet alakjukkal egbevágóak maradnak. A rúd felületén kjelölt elem deréksögű négsög élhossa nem, csak élsöge váltonak meg. A hossúságú rúdelem (5.50. ábra) vsgálatánál megállapíthatjuk, hog amennben a két sélső kerestmetset vsonlagos sögelfordulása ϕ, akkor a henger tengellel párhuamos sálanak γ sögváltoása a sál tengeltől mért távolságának, 5.50. ábra r-nek a függvéne. A ábra alapján felírhatjuk: r ϕ = γ (r), ahonnan γ (r) = r ϕ, mvel ϕ és hánadosa eg kerestmetsetben állandó, a γ sögváltoás r-nek lneárs függvéne. A rúd és a terhelés centrkus smmetrája matt a kerestmetset síkjában lévő és tengelrendsert tetsőlegesen el-forgathatjuk, eért eg tetső-legesen felvett pont körneetének elem hasábja a 5.51/a. ábrán látható módon deformálódk. A ε = ε deformácókomponenseknek uganlen ndeű nírófesültség-komponensek felelnek meg a Hooke-
189 törvén értelmében (5.51/b. ábra). Veessük be a = = τ jelölést. Ha a anag nírórugalmasság modulusa G, akkor ϕ τ = τ ( r) =G γ(r)=gr. 5.77 A nírófesültség a kerestmetset valamel pontjában arános a pontnak a tengeltől mért távol- 5.51. ábra ságával, hatásvonala pedg merőleges a köépponttól a ponho húott sugárra (5.49/e. ábra). A fesültség és a külső terhelés kapcsolatát a tengelre vonatkoó nomaték egensúl egenlet alapján határohatjuk meg: 5.5. ábra ϕ ϕ M = 0 = M - r τ(r)da = M - G r da = M - G I S, A ahonnan ϕ -t kfejeve és (5.77)-be helettesítve kapjuk: τ (r) = M I S r. A A fesültségeloslást a kör kerestmetset eg sugara mentén a 5.5. ábrán láthatjuk. Ne feledkeünk meg arról, hog a dualtás követkeméneként nemcsak a normálsú, hanem a normálsú felületen s fellépnek nírófesültségek. Erre különösen ott kell tekntettel lennünk, ahol a hosstengellel párhuamos síkokban a anag níróslárdsága ksebb, mnt a kerestmetset síkokban (pl. olan fából késült rúd- 5.78
190 nál, amelnek hosstengele párhuamos a rostránnal). Ilen esetekben a tönkremenetel a hosstengellel párhuamos síkok egmáson való elcsúsása követketében meg végbe. Eg rúd tetsőleges, r koordnátájú pontjában a fesültség és alakváltoás állapot tenorának mátra: [ T ] 0 0 0 M = 0 0 = IS M 0 = r 0 IS r [ Tε ] 0 0 0 = 0 0 G 0 0 G A két állapot Mohr-köre a 5.53. ábrán láthatók. 5.53. ábra A köépponttól különböő r távolságra lévő pontok fesültség állapota hasonló, csak a fesültségek nagsága különböő. A Mohr-körök jellege s ugana, csupán átmérők váltonak r függvénében. A 5.5.3. ábra segítségével megállapíthatjuk, hog a egk főfesültség, lletve főalakváltoás rán a tengel, a másk két főránt pedg a, tengelek tengel körül 45 -os elforgatásával nerjük. A főfesültségek és főalakváltoások értéke: 1 = - 3 = =, ε1 = - ε 3 = ε = ε. A nírófesültség mamuma a kerestmetset sélső pontjaban, a kerületen ébred: τ ma = M I S R = M I S R = M K S ahol K S - a kerestmetset polárs kerestmetset téneője., 5.79/a A L hossúságú rúd alakváltoását, amel a fentek értelmében a két végkerestmetset egmásho vsonított elfordulása, eg sögelfordulással jellemeük. Et a egensúl egenletből fejehetjük k:
191 = M ϕ, GI amelből a ϕ = M G I S S d + ϕ *, ϕ * ntegrálás állandót a kerület feltételekből határohatjuk meg. Ha a L hossúságú rúd egk vége befogott, aa egk végének elfordulását meggátoljuk (5.5.4. ábra), a kerület feltétel: ϕ ( = 0) = 0. E feltétel mellett a sögelfordulás: 5.54. ábra ϕ () = M GI S, a mamáls sögelfordulás: = ( = L) = M L ϕ ma ϕ 5.79/b GI amel a végkerestmetsetek relatív elfordulása. A GI S soratot a rúd csavarómerevségének neveük. A d hossúságú rúdelemben felhalmoott rugalmas energa: du = 1 ( ε + ε )dv = 1 [ ε da]d = b A 1 M = 1 [ da]d = 1 [ M G GI A A S r da]d = 1 M GI A L hossúságú rúdban felhalmoott rugalmas energa és a külső erők saját munkája: U = U = d U = 1 L M d = 1 ~ M L b b b G I G I 0 S S d S S 5.80 5.81 Können beláthatjuk, hog a körgűrű kerestmetset esetén a fent elmondottak érvénesek maradnak. Ilenkor I S termésetesen a körgűrű polárs másodrendű nomatékát jelent. A fesültségeloslás lneárs, de - a 5.55. ábrának megfelelően - fesültség csak a kerestmetset anag pontjaban ébred. A a feltételeés, hog csavaráskor a kerestmetsetek a alakváltoás során síkok maradnak, csak kör és körgűrű kerestmetsetű rudak esetén teljesül. Mnden egéb 5.55. ábra - tömör vag üreges - kerestmetsetű rúdnál
19 a sík kerestmetset görbült felületté alakul, a kerestmetset pontja egmásho képest ránban elmodulnak. Et a alakváltoás jelenséget öblösödésnek neveük. Ilenkor a kerestmetset alakja s váltoást senved. Ha a kerestmetset öblösödését semm sem gátolja, sabad csavarásról besélünk, ha a öblösödést akadálouk, gátolt csavarásról. E utóbb esetben a rúdban ránú normálfesültségek s ébrednek, amelek nagsága, különösen vékon falú csöveknél, jelentős lehet és eek a normálfesültségek eloslására s hatással vannak. A követkeőkben a sabad csavarás néhán egserűbb esetét tárgaljuk. 5.5.. Vékon falú, árt selvénű prmatkus rudak tsta csavarása Legen a tsta csavarásnak ktett prmatkus rúd kerestmetsete eg olan kétseresen össefüggő tartomán (5.56. ábra), amelnél a külső és belső határoló vonal távolsága, aa a cső falvastagsága váltohat, de a rúd egéb méretehe képest kcs. A falvastagságot feleő vonal a köépvonal. Ha a kerestmetset öblösödése nem gátolt, akkor normálfesültségek nem ébrednek s a egetlen fesültségkomponens a nírófesültség. A normálsú kerestmetset-felület aon pontjaban, amelek a külső és belső kerületen helekednek el, a nírófesültség hatásvonala a adott kerület pontho húott érntővel csak párhuamos lehet. Ha a nírófesültségnek érntőre merőleges komponense s lenne, akkor a dualtás tétel értelmében a rúd palástfelületén s ébredne kellene nírófesültségnek, am lehetetlen, mert a rúd palástfelülete tehermentes (tehát nncs, am et a hatást kfejtse). E a egensúl követelmén néhán egserű, de fontos feltételeést tes lehetővé. Mvel a csőkerestmetset falvastagságának kcsnek kell lenne, feltehetjük, hog eg s ívkoordnátával jellemett helen a köépvonalra merőleges egenes mentén a össes nírófesültség párhuamos a köépvonalho húott érntővel és nagságuk s aonos (a falvastagságnak megfelelő ks sakason a váltoás akár rán, akár nagság sempontjából nem lehet jelentős) (5.56/a. ábra). 5.56. ábra
193 Vágjuk k a csőnek eg hossúságú és köépvonalának tetsőleges ívhossúságú darabját (5.56/b. ábra). A dualtás követkeméneként a A pontban a normálsú síkon ébredő τ 1 nírófesültség megegek a tengellel párhuamos síkon (a ábrán - normálsú sík) fellépő nírófesültséggel. Uganet mondhatjuk a B pontho tartoó τ fesültségkomponensekről s. A tengellel párhuamos vetület egenlet a követkeő alakú: F = 0 = τ 1v 1 - τ v, ahonnan τ 1v 1 = τ v = τ(s)v(s) = á ll.. am at jelent, hog a cső falvastagságának és a nírófesültségnek a sorata, a ún. nírófolam mnden pontban uganakkora. Ennek fgelembevételével a tengelre vonatkoó nomaték egensúl egenletben sereplő ntegrálkfejeés können átalakítható) 5.56/a. ábra): M = 0 = M - τ(s)v(s)k(s)ds = M - τ (s)v(s) k(s)ds, ahol k(s) - a köépvonal s ívkoordnátájú pontjának a csőkerestmetsete súlpontjától mért távolsága. A k(s)ds sorat a ábrán látható, sraffoott háromsög területének a kétserese, eért a árt görbe mentén vett ntegrál a köépvonal által beárt terület kétseresét adja. A fent össefüggésből a nírófesültség kfejehető: M τ(s) =, A v(s) k ahol A k - a csőkerestmetset köépvonala által beárt terület. Nlvánvaló, hog a nírófesültség mamum a legkeskenebb falvastagságú helen keletkek: M τ m a =. 5.83 A v k m n 5.8 A végkerestmetsetek relatív sögelfordulását a rugalmas energa és a külső erők saját munkájának egenlőségéből határohatjuk meg: U = 1 b τ G dv = 1 G W S k = 1 M ϕ ma, L 0 M A v (s) v(s)ds d = M L k 8GA k ds v(s), a kettő egenlőségéből: 1 ds ϕ ma = M L 4GA v(s). 5.84 k A utóbb három sámoott össefüggést Bredt-féle képleteknek nevek. 5.5.3. Téglalap kerestmetsetű prmatkus rudak tsta csavarása A tömör, téglalap kerestmetsetű prmatkus rudak csavarásának rugalmasságtan feladata elem úton már nem oldható meg. A rugalmasságtan alapegenletenek felhasnálásá-
194 5.57. ábra val aonban a fesültségek és a alakváltoások meghatároásáho sükséges össefüggések végtelen sorok formájában megadhatók. Eeknek a össefüggéseknek a leveetése meglehetősen bonolult, eért csak a végeredméneket kööljük, lletve magaráuk. Ha a sabad csavarás esetére sorítkounk, a alakváltoásra a követkeő megállapításokat tehetjük (5.57/a. ábra): - a kerestmetsetek nem maradnak síkok, öblösödnek, a rúdtengel ránából néve aonban a téglalap alak váltoatlan marad, a kerestmetset a tengel körül merev testként - a öblösödéstől eltekntve - fordul el, - a rúd felsínén berajolt hálóat sögtorulása a oldallapok köepén a legnagobb (a hossabbk oldalon a mamáls), a sarkokon a deréksög nem váltok. Eek alapján a fesültségekről a követkeőket mondhatjuk: - a kerestmetsetek sabad öblösödése matt normálfesültségek nem ébrednek, - a kerestmetset pontjanak fesültség állapota tsta nírás, a köéppontban és a sarokpontokban nem ébred nírófesültség, a legnagobb nírófesültségek a kerestmetset sélen keletkenek, eek hatásvonala mndg párhuamos a adott oldallal, a kerestmetset több pontjában a nírófesültségeknek és ránú össetevője s van, een össetevők nagsága a két tengel mentén parabolkusan váltok (5.57/b. ábra). τ ma A mamálsan nírófesültség a téglalap hossabbk oldalának köepén ébred: = M α a b, ha b a, 5.85 a L hossúságú rúd véglapjanak relatív elfordulása: = M L ϕ ma, 3 βa bg ahol 5.86
195 β α =, 8 1 1 π π = 1 3, 5 ch b,.. a 1 π β = 3 1 1 9 a 1 th b. 5 π b = 1, 3, 5... 5 a Nagon kesken deréksögű négsögekre, ahol v = a << b, α = β = 1 3, eért τ = 3M ma v b = M v = M 3 v b I 3 b v é s ϕ = 3M v bg = M L L ma 3 I G b, 5.87/a,b ahol I b a kesken deréksögű négsög hossabbk élével egbeeső tengelre vonatkoó másodrendű nomatéka. Más alakú, de tömör kerestmetsetű rudak csavarásakor keletkeő fesültségek és alakváltoások s végtelen sorok formájában adhatók meg. A leggakrabban előforduló kerestmetsetek (háromsög, ellpss, stb.) megfelelő össefüggése sakkönvekben fellelhetők. 5.5.4. Vékon falú, ntott selvénű prmatkus rudak tsta csavarása A gép- és építőpar serkeetekben gakran előfordulnak olan csavarásra génbe vett rudak, amelek kerestmetsete ntott és - jó köelítéssel - vékon deréksögű téglalap össegére bontható (5.58. ábra). 5.58. ábra Sabad csavarásnál a kerestmetset öblösödk ugan, de a tengel körül merev testként fordul el. A teljes kerestmetset sögelfordulása tehát megegek résenek, aa a köelítőleg vag pontosan kesken téglalapoknak a elfordulásával. Jó köelítéssel feltehetjük, hog a réskerestmetsetek egmástól függetlenül dolgonak és csavarómerevségük aránában vesk fel a teljes csavarónomatékot: M = M, n =1 ahol n - a kerestmetset felbontott téglalapjanak sáma, M - a -edk kerestmetsetrésre ható csavarónomaték.
196 A -edk rés elfordulása (5.87/b)-vel sámítható: = M L = M L ϕ, 3 v b GI b G 3 ahol v és b a -edk téglalap sélessége és hossúsága, a teljes kerestmetset elfordulása: M L ϕ = = M L. n 3 v b GI b G 3 =1 A kettő egenlőségéből meghatároható a réskerestmetsetekre eső csavarónomaték: M = M I b. I b A nírófesültségek mamuma a eges téglalapok hossabbk oldalán van. (5.87/a) felhasnálásával: τ ma = M I b v = M I b v 5.88 5.89/a Mvel M és I b mnden téglalapra ugana, a absolút mamáls nírófesültség a legvastagabb réskerestmetset hossabbk oldalának köepén ébred: τ m a = M I b v m a. 5.89/b 5.5.5. Erőtan méreteés 5.5.5.1. Megengedett fesültségen alapuló méreteés módser A kmutatandó alaprelácó: τ m a τ m, 5.90 ahol τ ma -ot a csavart kerestmetset jellegének megfelelően a (5.79/a), (5.83), (5.85), (5.89/b) össefüggésekkel sámítjuk. τ m értéke a tsta nírás megengedett fesültségevel egenek meg. Hasonlóan mutatjuk k a alakváltoás feltétel kelégülését: ϕ ma ϕ m. 5.91 A mamáls relatív kerestmetsetelfordulást a (5.79/b), (5.84), (5.86), (5.88) kfejeésekkel sámítjuk a kerestmetset alakjának megfelelően. A megengedett sögelfordulást a serkeet hasnálhatósága sabja meg, lletve tábláatokból vehetjük k.
197 5.5.5.. "Fél" valósínűséggel kegésített határállapot módser A vsgálat során k kell mutatn, hog M M M H 5.9 ahol M M a mértékadó génbevétel hatására keletkeő csavarónomaték, M H -t a kerestmetset alakjának megfelelő össefüggéssel sámítjuk τ ma = τ H helettesítéssel. A alakváltoás ellenőrésénél a ϕ M ϕ H 5.93 5.6. Hajlítás és nírás (köönséges hajlítás) A össetett génbevételek köül a leggakrabban előforduló a ún. köönséges hajlítás, mkor a hajlítógénbevétellel eg dőben nírógénbevétel s fellép. Terhelje a egenes, prmatkus rudat olan külső erőrendser, hog tetsőleges kerestmetset génbevételere fennálljon: N K = N() = 0, T K = T() = T (), M K = M() = M (). A terhelés síkja tehát mnden kerestmetsetben a, sík, a génbevételek aonban helről-helre váltonak. A egensúl kelégítése követketében - mnt at a statkában megsmertük - a hajlítónomaték és a nírógénbevétel köött fenn kell állna a dm () = T () 5.94 d kapcsolatnak. A két génbevétel vsgálata nem történhet egmástól függetlenül, hsen a két génbevétel egmásnak függvéne. A (5.94) össefüggés ndokolja ennek a össetett génbevételfajtának a gakorságát, mert tulajdonképpen at mondja k, hog váltoó nagságú hajlítógénbevétel mellett mndg kell ébredne níróerőnek s, a rúdtengelre merőleges terhelések esetén - és e a leggakorbb terheléstípus - pedg a hajlítógénbevétel a hosstengel mentén váltok. Köönséges hajlításkor a fesültség és alakváltoás vsonok lénegesen függenek a rúd geometra jellemőtől, különösen kerestmetsetének alakjától és a terhelés, lletve a génbevételek hatósíkjának a kerestmetset főtengelehe vsonított heletétől. A továbbakban a köönséges hajlítás olan specáls esetevel foglalkounk csak, amkor a prmatkus rúd kerestmetsetének legalább eg smmetratengele van és a hajlítógénbevétel vektora erre a tengelre merőleges vag vele párhuamos (tehát egenes hajlításról van só).
198 5.6.1. A hajlítónomaték vektora merőleges a kerestmetset smmetrasíkjára A köönséges hajlítás fesültség és alakváltoás vsonanak elem úton történő vsgálatánál feltételeük, hog a hajlítógénbevétel hatására keletkeő normálfesültségek eloslása megegek a tsta hajlításnál meghatároottéval. Most egenes hajlítással állunk semben, íg a normálfesültségeket a (5.60)-as kfejeéssel sámíthatjuk. A különbség csupán ann les, hog a () = M () 5.95 I kfejeésnek megfelelően a eloslásra jellemő egenes (5.59/b. ábra) meredeksége a hel függvénében váltok, a hajlítónomaték nagságával aránosan. A köönséges hajlításból sármaó normálfesültségek sélső értéke abban a kerestmetsetben ébred, amelben a legnagobb a hajlítónomaték: +,ma,ma = M I e = M K,ma, 5.96/a,ma = M I,ma,ma e' = M K'. 5.96/b A nírásból sármaó fesültségek meghatároásánál tegük fel, hog a kerestmetset tetsőleges,, koordnátájú pontjában a nírófesültség két, és össetevőre bontható. 5.59. ábra
199 Határouk meg elősör a tengellel párhuamos komponenst. Vsgáljuk meg ehhe a rúd eg hossúságú elemének eg tetsőleges koordnátától lefelé eső rését (5.59/f. ábra). E rúdelem bal oldal kerestmetsetének pontjaban () jobb oldal kerestmetsetének pontjaban (+ ) normálfesültségek hatnak a hajlítás követketében. Mndkét kerestmetset pontjaban nírófesültségek s hatnak, a legfelső, koordnátájú pontokban a nírófesültség-komponensek és. A dualtás tétel követkeméneként a rúdelem normálsú felületén s ébredne kell = nírófesültségnek. Mvel a elem hossúság, feltehetjük, hog a normálsú felületen a nírófesültség megoslása egenletes. A rúdelemre ható erők ránú vetület egensúl egenlete a követkeő alakot ölt: F = 0 - ()da + ( + )da + v(), A' A' ahol A' = A'() - a kerestmetset koordnátától kfelé eső résének területe, v() - pedg a kerestmetset sélessége a koordnátájú helen. Rendeük a egenletet és hasnáljuk fel a (5.95) és (5.94) össefüggéseket: = -1 v() = = -1 v() dm A' ( + ) - () da = -1 d () da = v() d ( ) ' 1 T ( ) = - T ( ) ' da = - T ( ) S' ( ) da I v() da = - I A' v() ' d I I v() A' A', 5.97 ahol a S' () jelölésben a vesső arra utal, hog nem a teljes kerestmetset, hanem csak a koordnátától kfelé eső kerestmetset-terület tengelre vonatkoó statka nomatékáról van só. A fent össefüggést Zsuravskj-képletnek neveük első leveetőjéről. E megadja a koordnátájú kerestmetset koordnátájú pontjaban a köönséges hajlítás nírógénbevételéből sármaó nírófesültségnek ránú komponensét. E a nírófesültség-komponens, mnt a képlet mutatja, a koordnátának nem függvéne, nagsága tehát a tengellel párhuamos egenesek mentén aonos. A fesültség eloslásának jellege S ()-tól ésd v()-tól, aa a kerestmetset geometra alakjától függ. A statka nomatékokra vonatkoó össegés tétellel können beláthatjuk, hog koordnátájú sál alatt és felett lévő kerestmetset-terület tengelre vonatkoó elsőrendű nomatéka absolút értékre megegek: S,egés = S',alsó + S',felső = 0, mert a súlponton átmenő tengelre a statka nomaték nulla. A egenlőség sernt S',alsó = - S',felső. A fentek matt, valamnt annak érdekében, hog a (5.97) a nírófesültség-komponenst előjelhelesen adja meg, a össefüggésben a résterület statka nomatékának absolút értékét kell behelettesíten.
00 A (5.97) össefüggés tüetesebb analísével a nírófesültség tengel ment eloslásáról s képet nerhetünk. A sélső sálakban S (=e vag e' ) = 0, eért tt nírófesültség nem ébred. E össhangban van aal, hog a rúd tehermentes felületén egébként sem ébredhet fesültségkomponens. A nírófesültség absolút mamuma, vag legalább hel mamuma a =0 helen les, mert a össes lehetséges S' köül a hajlítás tengelétől egk oldalra eső kerestmetsetrés statka nomatéka a legnagobb. Ha a kerestmetset sélessége ugrásserűen váltok, akkor a eloslásfüggvénben s ugrás van. Maga a eloslásfüggvén 5.60. ábra másod- (pl. téglalap kerestmetset esetén) vag magasabb fokú parabola (5.59/c. ábra). A 5.60. ábrán néhán kerestmetset jellegetes fesültségeloslását mutatjuk be. A köönséges hajlításnak ktett rúd akkor a leggadaságosabb anagfelhasnálású, ha a másodrendű nomatéka a hajlítás tengelére uganakkora kerestmetset-terület esetén a lehető legnagobb. E akkor teljesül, ha mnél több terület esk a hajlítás tengelétől távol. Ilen kerestmetsetalak pl. a 5.60/b. ábrán látható, vag a I és U selvénű domacél. Eekben a esetekben a nírófesültségek mamuma mndg a hajlítás tengelében van a legnagobb níróerőnek ktett kerestmetsetben: T S' (=0),ma,ma = I v(= 0). 5.98 A nírófesültség ránú komponensének meghatároásánál abból ndulhatunk k, hog a kerest-metsetnek eg koordnátájú sélső pontjában a eredő nírófesültség hatásvonalának a adott pontban a ke-restmetset kontúrvonaláho húható érntővel párhuamosnak kell lenne (5.59/a. ábra). Ha nem íg lenne, akkor a dualtás tétel értelmében a rúd külső normálsú felületelemén s ébredne kellene nírófesültségnek, am teher-mentes felület pontban lehetetlen. A kerület pontokban tehát a 5.61. ábra eredő nírófesültség hatásvonalát a kerestmet-
01 set alakja meghatároa (5.59/a. és 5.61. ábra). Eg koordnátájú sélső pontban a eredő nírófesültség hatásvonalának és a tengelnek a metséspontját jelöljük K-val, s e pont távolságát a koordnátától t = t()-nal. Nem követünk el nag hbát, ha feltételeük, hog a koordnátájú, a tengellel párhuamos egenes pontjaban olan nírófesültségkomponensek ébrednek, hog a eredő nírófesültség hatásvonala mndg átmeg a koordnátának megfelelő t()-nal kjelölt K ponton (5.61. ábra). E feltételeés és a kerület pontokho húandó érntők tengellel beárt sögének, ϕ -nek smerete elegendő a nírófesültség-komponensek sámításáho. A K pont helét a ábra alapján a t() = v() tgϕ össefüggéssel határohatjuk meg. A ránú nírófesültségkomponenst aránpár felállításával kapjuk: (, ) = () t(). 5.99 A össefüggésből követkek, hog tengel ment megoslása lneárs (5.59/e. ábra). Feltételünk sernt a tengel smmetratengel, íg a fesültségkomponensekből sármaó erők a kerestmetseten belül egensúl erőrendsert alkotnak. Ha a kerület pontho húott érntő párhuamos a tengellel, a K pont a végtelenbe esk, íg een a tengellel párhuamos sálon fesültségkomponensek nem ébrednek. Pl. téglalap kerestmetset esetén csak komponensek keletkenek. Általános esetben a eredő nírófesültség: τ = + = 1 +. 5.100 t () A nírófesültségek eloslásának smeretében beláthatjuk, hog köönséges hajlításkor a alakváltoás során a kerestmetset nem maradhat sík. A nírókomponensek hatására ugans, aok nagságával arános, sögváltoás lép fel. Mvel a nírófesültségek másod- vag annál magasabb fokú függvén sernt oslanak meg, a hossúságú tartódarabon belül felvett elem hasábok γ sögváltoása a selvén magasságának függvénében váltok, s a 5.6. ábrának megfelelően a eredetleg sík kerestmetset S alakot ves fel. Termésetesen a nírókomponensek hatására s fellép sögváltoás, íg a kerestmetset kétser görbült alakot ölt. A nírófesültségek által okoott kerestmetset-torulás aonban a legtöbb esetben olan ks mértékű, hog a sík kerestmetset megmaradásának feltételeésével leveetett, hajlításból sármaó normálfesültségek össefüggése a gakorlatban kelégítő pontosságúnak mondható.
0 5.6. ábra 5.64. ábra
03 A nírófesültségek serepét és jelentőségét a követkeő példán láthatjuk be. A 5.63./a. ábrának megfelelően heleünk két téglalap kerestmetsetű rudat egmás fölé mnden össeerősítés nélkül. Köönséges hajlításkor, ha még a érntkeés felületen fellépő súrlódást s elhanagoljuk, a két rúd egmástól függetlenül működk és a terhelésből sármaó hajlítónomatékot és níróerőt egenlő aránban vesk fel. A két rúd a érntkeés felületen egmáson megcsúsk, alakváltoásuk és fesültségeloslásuk teljesen aonos. Ha valamlen módon (betét, ragastás) skerül elérn, hog a két gerenda egmáson ne csúshasson meg, hog egütt dolgoon, akkor a két kerestmetset egetlen kerestmetsetként működk, s ennek megfelelően alakul a normál- és nírófesültségek eloslása. Können ksámíthatjuk, hog a utóbb esetben (5.63/b. ábra) a rúd kétser akkora nomatékkal terhelhető, mnt a uganolan kerestmetsetű, de egmástól függetlenül működő serkeet. A nírófesültségek eloslásának ábráján láthatjuk, hog a rudak elcsúsását éppen a rúdtengellel párhuamos, normálsú felületen ébredő nírófesültségeknek kell megakadálon. Et a fesültségkomponenst a fesültségkomponens dualtáspárja solgáltatja. Ragastásnál pl. olan ragastóanagot kell alkalman, amelnek níróslárdsága nagobb a génbevételből sármaó, a ragastás síkjában ébredő nírófesültségnél. Betétes kapcsolat kalakításnál olan betéteket kell alkalman, hog aok eg adott h hossúságho tartoó, ránú csústatóerőt képesek legenek felvenn. A 5.64. ábrának megfelelően a hossúságho tartoó elem csústatóerő: T ()S () T ()S () dh = v()d = v()d = d, I v() I A eg betétre eső h hossúságú sakason fellépő csústatóerőt a kfejeés ntegrálásával kapjuk: h H = dh = S () h T ()d = S () A T, I 5.101 I 0 0 ahol A T - a níróerő ábra h hossúságú sakasra eső területe. S ()-ban at a koordnátát jelent, amelbe a betétek köépvonala esk (a ábrán látható esetben a = 0, súlpont sál). A köönséges hajlításnak ktett rúd eg általános heletű pontjának fesültség és alakváltoás állapotát a alább két mátrrepreentácó mutatja: T 0 0 = 0 0 µε 0 ε, Tε = 0 µε ε. ε ε ε Ha a kerestmetset alakja téglalap vag néget, tehát a oldalak párhuamosak a tengellel, akkor = = 0 és ε = ε = 0. Vannak a kerestmetsetnek olan specáls pontja, amelekben a fesültség és alakváltoás állapotok egserűsödnek. A sélső sálakban
04 nírófesültség nem ébred, ott a fesültség állapot lneárs. A semleges sík pontjaban a fesültség állapot síkbel marad ugan, de mnden normálfesültség-komponens nulla. A 5.65. ábrán megrajoltuk a deréksögű háromsög kerestmetset jellegetes pontjaban a fesültség Mohrköröket. Köönséges hajlításnál a d hossúságú rúdelemben felhalmoott energa a külső erők saját munkájával kfejeve: du b 1 = ahol χ = 1 = M EI A I 5.65. ábra 1 ( ε + ε + ε )dv = ( ε + ε T S 1 M T da + da d = + χ d GI v EI GA A A S v ( ) da ( ) A )dad =. 5.103 χ at feje k, hog a nírófesültségek eloslása nem egenletes. Beveetésével a nírógénbevételből sármaó rugalmas energa sámítását a tsta nírásého hasonlóan végeük (lásd a (5.44/a) össefüggést). χ értéke egedül a kerestmetset geometra jellemőnek függvéne. Deréksögű négsög esetén 1,; körnél 1,19; I selvénre jó köelítéssel,15. 5.6.. A hajlítógénbevétel nomatéká-nak vektora párhuamos a kerestmetset smmetratengelével A tapastalat at mutatja, hog ha a nírógénbevétel hatásvonala nem párhuamos a kerestmetset smmetratengelével, akkor - különösen vékon falú, ntott selvénű rudak-
05 nál - a kerestmetset a tengel körül el s fordul a 5.66. ábrán látható módon. Ebből arra kell követketetnünk, hog a hajlító- és nírógénbevétel mellett járulékos génbevételként csavarónomatéknak s fel kell lépne. Et a jelenséget nem vsgáljuk teljes általánosságban, hanem klasskus példán, eg vékon falú, U alakú selvénen mutatjuk be. Más selvének esetén uganet a vsgálat módsert kell alkalman. A fejeet címének megfelelően egenes hajlítással van dolgunk, íg a hajlítónomatékból sármaó normálfesültséget (5.60)-nal kell sámítanunk. A vékon falvastagságú rudak csavarásánál már megtanultuk, hog a nírófesültségek nagsága a selvénvastagság mentén jó köelítéssel állandó, hatásvonaluk pedg mndg párhuamos a kérdéses pontban a kerestmetset kontúrjáho húott érntővel. A U selvén h magasságú sárában tehát a nírófesültségek hatásvonala a, a b hossúságú sárakban pedg a ten- 5.66. ábra gellel párhuamos. 5.67. ábra A = fesültségkomponenst a 5.67/b. ábrán látható elem rúddarabra ható fesültségekből sármaó erők ránú vetület egensúl feltételéből határohatjuk meg. A s
06 ívkoordnátával jellemett helen (s egben a elem sélessége) a elem normálsú felületén fesültség ébred, amel a dualtás tétel értelmében egenlő a hossúságú, normálsú felületen keletkeő nírófesültséggel. Mvel a elem hossúság, feltehetjük, hog a v(s) nagságú felület mnden eges pontjában uganekkora nírófesültség ébred. A egensúl egenlet: F = 0 = ( + )da - ()da - v(s), A' A' Rendeve és (5.60) behelettesítésével: = 1 v(s) = = 1 v(s) A' A ' dm () d I ( + ) - () 1 d () da = da = v(s) da = T () I v(s) A' A' T ()S' (s) da = I v(s). 5.104 A össefüggés formalag a Zsuravskj-képlet, de ne tévessük sem elől, hog benne a S' (s) és v(s) értelmeése más, mnt a (5.97)-es kfejeésben. S' (s) a s ívhossúságú kerestmetsetrés statka nomatéka a hajlítás tengelére, esetünkben h S' ( s) = v ( s ), v(s) - pedg a selvén tengellel párhuamos kerestmetsetének vastagsága. Példánkban a statka nomaték s-nek elsőfokú függvéne, v állandó, íg a fesültségkomponens megoslása lneárs. A 5.68. ábrán váoltuk a tengellel párhuamos kerestmetsetrések nírófesültségének eloslását (a felső sáron a statka nomaték előjelet vált, íg a nírófesültség rána s ellentettje les a alsónak). A nírófesültség sélső értéke a A és B jelű sarokpontokban les: = T () h T ()hb,ma vb =. 5.105 I v I A függőleges sáron ébredő nírófesültségek a előő fejeetben megsmert módon, a Zsuravskj-képlettel sámíthatók. Eg koordnátájú helen: S' () = h vb + v ( h - )( h + ), et (5.97)-be helettesítve: = T ()hb I + T () I ( h - ). 4 5.106 A össefüggés a = ± h pontokban, a sarokpontokban éppen (5.105)-öt adja. E pontokban tehát a két nírókomponens nagsága megegek. A kerestmetset függőleges sárán a komponens megoslása parabolkus a 5.68. ábrának megfelelően.
07 A nírófesültség eloslásának smeretében határouk meg a + koordnátájú kerestmetsetben a belőlük sármaó belső erők eredőjét (5.69. ábra). A tengellel párhuamos réskerestmetseten ébredő nírófesültségekből keletkeő belső erő (5.106) alapján éppen a kerestmetset külső génbevételének megfelelő níróerővel egenlő: 5.68. ábra 5.69. ábra T τ ( ) = T (),
08 amnek a ránú vetület egensúl egenletből s követkene kell. A tengellel párhuamos sárak fesültségeből sármaó erők erőpárt alkotnak, melnek nomatéka: τ M () = h da = h T () h vs vds = T ()h v I v I sds = T ()h b v 4I b b. 0 0 A erőből és nomatékból álló erőrendsert átalakíthatjuk eg e C -vel eltolt hatásvonalú egetlen T () erővé, ahol e = M τ = h ( ) b v C. τ T ( ) 4I A C pontot, melnek helét a selvénvastagság köepétől felmért e C távolság adja meg, a kerestmetset nírás vag tau-köéppontjának neveük. A 5.69/c. ábráról 5.107 megállapíthatjuk, hog a nírófesültségekből sármaó belső erők eredője és a külső terhelés követketében ébredő nírógénbevétel (melet mndg a súlpontra sámítunk) erőpárt alkot, am M () = T ()(e S + e C ) nagságú csavarógénbevételt oko. Ennek hatására fordul el a kerestmetset a nírás köépponton átmenő, tengellel párhuamos egenes körül. Ha meg akarjuk gátoln a köönséges hajlításnak ktett rúd elcsavarodását, akkor a M () nomatékot valamlen módon k kell egensúlon. Ennek egk legegserűbb módja, ha a külső terhelést úg vssük fel a rúdra, hog a belőle sármaó T () níróerő hatásvonala ne a kerestmetset súlpontján, hanem nírás köéppontján menjen át. Ilenkor a csavarónomaték eltűnk, mert T () és T τ () egensúl erőrendsert alkot. A U selvénre leveetett eredmének és megállapítások teljesen tetsőleges alakú, vékon falú, ntott vag árt, sőt, tömör kerestmetsetű selvénekre s általánosíthatók. Mnden kerestmetsetalaknál található eg - annak csak geometra méretetől függő - pont, a nírás köéppont, amelnek a a tulajdonsága, hog ha a nírógénbevétel hatásvonala aon átmeg, akkor a kerestmetset a rúdtengel körül nem fordul el, mert csavarógénbevétel nem lép fel. A nírás köéppont mndg rajta van a kerestmetset smmetratengelén, íg kétseresen smmetrkus alaknál egbeesk a geometra köépponttal (súlponttal). Amennben a nírógénbevétel hatásvonala átmeg a nírás köépponton, a köönséges hajlítás során felhalmoott rugalmas energát (5.10)-vel sámíthatjuk, egébként a csavarásból sármaó rugalmas energát s fgelembe kell venn. 5.6.3. Köönséges hajlításnak ktett prmatkus rúd alakváltoása Elősör a hajlítónomaték hatására fellépő alakváltoást vsgáljuk egenes és ferde hajlítás esetén, majd a nírásból keletkeő alakváltoással foglalkounk.
09 5.6.3.1. Egenes hajlításnak ktett rúd alakváltoása A prmatkus rúd terheléséről feltételeük, hog a hajlítónomaték síkja tartalmaa a kerestmetset valamelk fő másodrendű tengelét és a níróerő hatásvonala átmeg a nírás köépponton, aa csavarásmentes, egenes hajlításról van só. A hajlításból sármaó alakváltoását első lépésben a nírásból sármaó alakváltoás elhanagolásával sámítjuk. A 5.70. ábrán látható kéttámasú tartó, melet a hel függvénében váltoó q() ntentású megosló erőrendserrel terhelünk, koordnátájú kerestmetsetében M () nagságú hajlítógénbevétel ébred. Ennek hatására a hossúságú rúdelem véglapja - a tsta hajlításnál megsmert módon - elfordulnak és egmással ϕ söget árnak be. A rúdelem meggörbül. A elem hossúságon a nomaték csak olan ks mértékben váltok, hog a görbület sugarat a tsta hajlításnál leveetett (5.57) kfejeéssel sámíthatjuk: 1 ( ) = M ( ) ρ E I 5.108 A léneges különbség a, hog a görbület sugár a hajlítónomaték értékének megfelelően helről-helre váltok. 5.70. ábra
10 A semleges sík súlponton átmenő, meggörbült vonalát rugalmas sálnak neveük. E a alakváltoás során csak meggörbül, hossa aonban váltoatlan marad. Ha smerjük a rugalmas sál deformálódott alakjának egenletét, akkor smerjük a egés rúd hajlításból sármaó alakváltoását. A rugalmas sál egenletének meghatároásáho a 5.70/b. ábrán nagítva (és kcst torítva) krajoltuk a rúd hossúságú elemét a alakváltoás után állapotban. A görbület sugár és a rúdelem két végkerestmetsetének egmásho vsonított sögelfordulása köött a súlpont sál váltoatlan hossa teremt kapcsolatot: ϕ = d ϕ 1 lm = -, d ρ() 0 5.109 a negatív előjel at feje k, hog potív hajlítónomaték esetén a görbület sugárral jellemett smuló kör köéppontja (0 pont) a rúdtengel - ránítású oldalára esk. Jelöljük a rugalmas sál tengellel párhuamos eltolódását, melet lehajlásnak neveünk, a koordnátájú kerestmetsetben u = u ()-vel. A hossúságú rugalmas vonaldarab elmodulás-növekméne a ábra alapján: u = sn ϕ ϕ, amelben a utolsó egenlőséget aért fogadhatjuk el, mert korább megállapodásunknak megfelelően csak ks alakváltoásokat engedünk meg, ϕ tehát csak kcs lehet, ks sögek snusa pedg jó köelítéssel megegek argumentumukkal. Rendeük a fent egenlőséget és képeük a 0 átmenetet: ϕ = du d. 5.110 Újabb sernt dfferencálással: ϕ d = d u. d majd (5.109) és (5.108) felhasnálásával: d u = u d d = - 1 () = - M '' ( ). ( ) = ϕ ρ EI 5.111 E a össefüggés a hajlított rúd rugalmas sálának dfferencálegenlete. A dfferencálegenletet matematka meggondolásokkal s leveethetjük. Tudjuk, hog tetsőleges u = u () függvén tetsőleges pontjáho tartoó smulókör görbület sugarát a 1 u'' = 1 5 ρ( ) ( 1 + u' ), össefüggéssel sámíthatjuk. Tegük et egenlővé (5.108)-cal: u'' M ( ) =. 1, 5 ( 1 + u' ) EI
11 Ha meggondoljuk, hog u' = tg ϕ = ϕ, amelről feltételetük, hog olan kcs mennség, hog a egségnél lénegesen ksebb, akkor a előő kfejeés neveője jó köelítéssel eg, tehát éppen a (5.111)-es dfferencálegenlethe jutunk. A rugalmas sál dfferencálegenletének megoldása adja a rugalmas vonal egenletét. (5.111) eg hános másodrendű dfferencálegenlet, megoldását vsonlag egserűen kapjuk, feltéve, hog a nomaték függvén egmás után kétser ntegrálható: ϕ du () M () () = = - d + *, d ϕ 5.11/a EI u () = - M () d + ϕ * d + u *, 5.11/b EI ahol u* és ϕ * a kerület feltételekből (a rúd megfogás, lletve alátámastás körülméneből) meghatároható ntegrálás állandó. A első össefüggés a rugalmas vonalho húott érntő rántangensét adja, am a ks alakváltoások feltétele matt a kerestmetset tengel körül elfordulásával egenlő, ϕ = tg ϕ. Homogén, prmatkus rúdnál a EI hajlítómerevség állandó, eért a (5.11) kfejeésekben kemelhető a ntegráljel elé. Állandó hajlítómerevségű rúdnál derváljuk (5.111)-et kétser egmás után és vegük fgelembe a génbevételek köött fennálló statka össefüggéseket: 3 d u d 3 1 = - EI dm () = - T () d EI, 5.113 4 d u d 4 = 1 EI d M () 1 = - d EI dt () = q() d EI. 5.114 A utolsó kfejeés at a magától értetődő tént feje k, hog a alakváltoás végső soron a külső terhelés függvéne. Ha a külső terhelésből ndulunk k, akkor a alakváltoás meghatároásáho eg negedrendű dfferencálegenletet kell megoldanunk. Célserűbb aonban a (5.11) össefüggésekből knduln, mert a hajlítónomatékot általában könnebb statka esköökkel meghatáron. A (5.110) és (5.111) dfferencálegenletek lneársak, am lehetővé tes a alakváltoás meghatároásánál a superpoícós elv alkalmaását. E at jelent, hog eg össetett külső terhelésű, köönséges hajlításnak ktett rúd hajlításból sármaó alakváltoás jellemő a résterhelések hatására kalakuló alakváltoások algebra össegésével nerhetők (feltéve, hog mnden résterhelésnek ugana a hajlítás síkja). A elv alkalmaása lehetővé tes, hog bo-
1 nolult terhelésű tartók alakváltoás jellemőt ún. tábláatos módserrel oldjuk meg. Ehhe eg olan tábláatra van sükség, amel különböő tartótípusokra (konoltartó, két támasú tartó, stb.) egserű terhelések esetén megadja a rugalmas sál egenletét, esetleg a alakváltoás jellemők sélső értéket, lletve aok helét. Ha eekből a résterhelésekből skerül össeállítan a sámítandó feladatnak megfelelő össetett terhelést, akkor a résalakváltoások algebra össege adja a tartó eredő alakváltoását. A fent célt solgáló tábláatokat műsak, slárdságtan össefoglalók, sakkönvek tartalmanak. A hajlításból sármaó alakváltoást O. Mohr eljárásával s meghatárohatjuk. E a módser lehetőséget ad a alakváltoások serkestésére s. A eljárás alkalmahatóságát a követkeő gondolatmenet alapoa meg. Irjuk fel a génbevételeket össekapcsoló, a statka egensúl feltételt kfejeő össefüggéseket ntegrál alakban: T () = - q()d + T*, 5.115/a M () = - [ q()d + T*]d + M*, 5.115/b ahol T* és M* ntegrálás állandók. Aonnal látsk, hog a (5.11) és a fent össefüggések matematkalag teljesen analógok, csupán a ntegrandus függvén fka tartalma más, a egk helen a külső teherntentás, a máskon a EI -sel módosított hajlítónomaték. A statkában megsmert níróerő- és nomatéksámítás, lletve serkestés (5.115) sernt egseres, majd kétseres ntegrálással egenértékű. Magától értetődő tehát a a gondolat, hog ha a tartóra a q() teherfüggvén helett a EI -sel ostott M () nomaték függvént tessük fel külső, megosló terhelésként és meghatárouk - formalag teljesen úg, mnt ténleges terhelésnél - a níróerő- és nomaték függvéneket (sámítással vag serkestéssel), akkor (5.11) értelmében a rúd kerestmetset-elfordulását és lehajlását, lletve eek függvénét vag ábráját kapjuk. Egetlen eg dologban les különbség, e pedg a ntegrálás állandók meghatároása. A alakváltoás sámításánál ugans nem a níróerőre és hajlítónomatékra, hanem a sögelfordulásra és lehajlásra vonatkoó kerület feltételeket kell kegenlíten. E gakorlatlag úg történk, hog a módosított nomaték függvént nem a eredet tartóra, hanem annak helettesítő tartójára tessük fel. A helettesítő tartót a eredetből alakítjuk k a csuklók és a merev befogások átheleésével. A átalakítás sempontja a, hog ahol a eredet tartó kerestmetsete elfordul és el s tolódk, ott a helettesítő tartón níró- és hajlítógénbevételnek s ébredne kell. E at jelent, hog a támasoknál csuklókat, a sabad végeken merev befogásokat, a merev befogásoknál sabad végeket kell létesíten. Néhán egserű tartótípus helettesítő tartóját mutatjuk be a 5.71. ábrán. A 5.7. ábrán pedg két példát látunk a Mohr-eljárás alkalmaására.