II. Valós függvéyta Alapvetőe ebbe a fejezetbe s elem matematka smeretekről lesz szó, de az smeretek alapos, készségsztű begyakorlása (mely esetleg túlmegy az tt közölt feladatok megoldásá) elegedhetetleek tűk a továbbakba tárgyaladó fogalmak és példák megértéséhez. Fogalmak, defícók (a) recept/szabály y = f(); legegyszerűbbe azt lehet moda, hogy a függvéy, melyet f reprezetál, egy számhoz egy másk számot redel (b) a függvéyek a következő módoko írhatók le, adhatók meg: formula, y f () ábra, f ( ) redezett pár, (, y) : y f ( ) valós számok leképezése az csoportra, ha 0 függvéy mt előírás, pl. y azt jelet, hogy,ha0 (c) értelmezés tartomáy: (függetle változó) lehetséges értékeek halmaza értékkészlet: y (függő változó) lehetséges értékeek halmaza egyértékű függvéy: mde egyes értékhez csak egyetle y tartozk többértékű függvéy: több mt egy y érték tartozhat -hez páros függvéy: f ( ) f ( ) páratla függvéy: f ( ) f ( ) (em mde függvéy páros vagy páratla, de mde függvéy felírható, mt páros és páratla függvéyek összege) (d) polomok: az -ed redű polomok általáos alakja f ( ) a a... a 0, ahol a 0, a,..., a álladók (lehetek ullák s, a legagyobb emulla együttható határozza meg a polom fokát), míg poztív egész ( = 0 eseté kostas függvéyről, = eseté leárs függvéyről (a jól smert alak y m b ), = eseté kvadratkus függvéyről (pl. harmokus oszcllátor eergája E mv k ) beszélük), míg a polomok rövdített felírása 0 f ( ) a, valamt gaz, hogy az algebra alap- tételéek értelmébe f ( ) a0 a... a a ( )( ) ( ), azaz az -ed redű polom mdg leárs téyező szorzatára botható, ahol az,..., komple számokat a polom gyökeek evezzük. (e) algebra (racoáls és rracoáls) függvéyek: polomegyeletek megoldása, a P( ) a0 a... a racoáls függvéy általáos alakja y f ( ) m Q( ) b0 b... bm traszcedes függvéy: em polomegyelet megoldása (pl. epoecáls, logartmus, trgoometrkus és hperbolkus függvéyek lyeek)
(f) epoecáls függvéyek, pl. y( ) b, természetes módo lépek fel övekedés és bomlás folyamatokba (továbbá, például a H-atom elektro alapállapotába az s r atompálya alakja gömb polárkoordátákba felírva s ( r) e alakú, míg a statsztkába a ormál eloszlás valószíűség sűrűségfüggvéye p ( ) ep alakú, ahol μ az eloszlás átlaga, míg σ az eloszlás szórását jellemz) (g) logartmus függvéyek (például a vzes oldatok H + -o kocetrácóját s eek segítségével defáljuk: ph = log 0 H, azaz a semleges (7-es) ph eseté [H + ] = 0 7 mol dm ): két fotos alap: 0 (log) és e (l), azaz log log0 és l loge tulajdoságok: logb ( y) logb logb y ; logb ( logb ) ; log ( / y) log log y b b b (h) verz függvéy, f : és y felcserélésével egymásba alakíthatóak, pl. verz párt alkot az y e epoecáls és az l y logartmus függvéy (ábrák szmmetrkusak az = y egyeesre); ha egy függvéy két helye s felvesz ugyaazt az f() értéket, akkor cs verze, legfeljebb csak egy tervallumra megszorítva () trgoometrkus és verz trgoometrkus függvéyek trgoometrkus azoosságok: s( y) s cos y cos s y cos( y) cos cos y s s y tg tg y tg( y) tg tg y s cos cos cos s s s cos cosec és sec s cos az verz trgoometrkus függvéyek (pl. arcs ) megkaphatók és y felcserélésével, továbbá megjegyzedő, hogy míg pl. a s függvéy az egész R-e értelmezve va, addg verze csak a [,+] tervallumo 4
(j) hperbolkus függvéyek e e sh és cos ech sh e e cosh és s ech cosh e e e sh tah és ta h e e e cosh e e e cosh coth és cot h e e e sh a következő azoosságok gazak esetükbe: cosh sh sh( y) sh cosh y cosh sh y cosh( y) cosh cosh y sh sh y (k) specáls függvéyek szorzatfüggvéy, Kroecker-delta: e... j 0 e t Γ-függvéy: ( ) : t e dt j, j 0, j 5
Mtafeladatok Jellemezzük az y f ( ) függvéyt a tartomáyo. Megoldás: Az f függvéy egyértékű, f értelmezés tartomáya [,+] (zárt tervallum), f értékkészlete [0,+4] (zárt tervallum). M az y( ) függvéy verz függvéye? Megoldás: y f ( ) y. A két kfejezést külö kell tekte, az értelmezés tartomáyt s meg kell ad. Mutassuk meg, hogy arcs tg, ha <. Megoldás: Egységy befogójú derékszögű háromszög eseté köye megmutatható, hogy s és tg, azaz s tg. 4 A gömb térfogata r sugár eseté V g( r) r. Fejezzük k a sugarat a térfogat függvéyébe. Megoldás: r V / 4 /. zoyítsuk be, hogy mde f() függvéy felírható, mt páros és páratla függvéyek összege. f ( ) f ( ) f ( ) f ( ) Megoldás: f ( ) Számítsuk k az e egységvektorok bázsá értelmezett és y vektorokra voatkozó y skalárszorzatot a Drac-féle bra-ket jelöléstechka segítségével, ameybe smerjük a vektorok kompoeset egy adott bázso. Megoldás: y k * y k e e k k y * k k * y 6
Gyakorló feladatok Mutassa meg, hogy. Adja meg a g ( ) 9 / j j jk k függvéy értelmezés tartomáyát és számítsa k g(4)-t. M az f ( ) ep( ( ) függvéy értelmezés tartomáya és értékkészlete? Mutassa meg, hogy (a) tah sec h, és (b) coth cosec h. Egyszerűsítse a következő kfejezést: l( ) l( ) l( ). Írja fel az f ( ) 6 6 polomot szorzattéyező segítségével. Egyszerűsítse az alább algebra kfejezéseket (racoáls polomokat): (a) ; 4 (b) ; (c) ; (d) ; (e) ; (f). 4 Mutassa meg, hogy ameybe elfogadjuk az ep( A ) ep( A)ep( ), valamt az ep( A) cos A s A (Euler-formula) azoosságokat, úgy köye beláthatjuk a két szög összegéek szuszára, lletve koszuszára voatkozó trgoometra azoosságokat. l l M az e e függvéy verz függvéye? A reakcóketka ú. Arrheus-egyelete, és T között? k Ae E / RT, esetébe m a kapcsolat l k A emdeáls gázok állapotegyelete alacsoy yomáso az alább alakkal közelíthető: pv m RT, ahol p a yomás, Vm a molárs térfogat, T a hőmérséklet, R a V m gázálladó és a másodk vrál koeffces. Fejezze k -t a több változó eplct függvéyekét. Mgh / RT A barometrkus formula, p p0e, megadja az M molárs tömegű gáz yomását h magasságba, ameybe a tegerszte a yomás p0. Fejezze k h-t a több változó függvéyébe. Kp A Lagmur adszorpcós zoterma,, megadja a felület betöltöttségét az Kp adszorbeált gáz által p yomáso, ahol K egy álladó. Adja meg a p ( ) függvéyt. 7
A poztív ráyba haladó harmokus hullámot a (, t) As t egyelet (vagy az ekvvales koszusz egyelet) írja le, ahol λ a hullámhossz (a legrövdebb távolság a hullámgörbe két ekvvales potja között), a hullám terjedés sebessége v, ahol a frekveca (az dőegység alatt oszcllácók száma), A az ampltúdó. A egatív ráyba haladó hullám egyelete (, t) As t. A hullámok terferecája matt az eredő hullám a b. Az állóhullámok specáls esetébe a = b =. Jellemezze az így előálló hullámot. Adja meg azo pot ( r, ) síkbel polárkoordátát, melyek Descartes koordátá (, y) (,). / Az atommagok közelítőe gömb alakúak, sugarukra feáll, hogy R r0 A, ahol A a tömegszám és r 0, 0 cm. zoyítsa be, hogy ez azt jelet, hogy a magba a ukleook sűrűsége álladó. Alacsoy hőmérsékletű fémek hőkapactása CV at bt alakba írható, ahol T a termodamka hőmérséklet, a és b ayag álladók. (Megjegyzés: a T-be köbös tag a fémek rácsrezgésetől, a T-be leárs tag pedg a szabad elektrooktól származk.) (a) M a hőkapactás határértéke ulla hőmérséklete? (b) Adja meg a hőkapactásak T-be első-, másod- és harmadredű alakját! o f Egy p yomású és T hőmérsékletű gáz kéma potecálját a RT l p o kfejezés adja meg, ahol f p a fugactás és γ a fugactás együttható. Fejezze k p- t a több változó fügvéyekét. N azoos molekulából álló redszer esetébe a oltzma-féle eloszlás, ep( / kt ), megadja az eergájú molekulák relatív gyakorságát a T N hőmérséklet függvéyébe. Mutassa meg, hogy a populácók / j háyadosa adott hőmérséklete a két állapot eergájáak külöbségétől függ. Az adott E eergájú állapotba lévő molekulák száma,, aráyos ep( E / kt ) - vel, ahol k a oltzma-álladó, valamt T a termodamka hőmérséklet. Másképpe, Aep( E / kt), ahol A kostas. N molekulából álló, két eergaállapottal (E és E, E E) redelkező redszer esetére mutassa meg, hogy a ep( / kt ) felső állapotba lévő molekulák részaráya, /( ), az ep( / kt ) egyelettel írható le, ahol E E. Ábrázolja / k 5K esetre /( ) változását / T 0,00 K tartomáyo. kt függvéyébe a 8
Az ekvpartícó tétele alapjá deáls gázt alkotó részecskék v átlagos sebessége és a T termodamka hőmérséklet között az alább összefüggés áll fe: mv kt, ahol k a oltzma-álladó, m a részecskék tömege. Adja meg a v (T ) és a T (v) függvéyeket. M törték egy harmokus oszcllátor rezgés perodusdejével, ha a rezgő test tömegével tartuk a ullához? M törték, ha a rugóálladóval tartuk a ullához? A száraz levegő refrakcós dee 5 o C-o és 760 torr yomáso az ú. Cadyformula segítségével a következőképpe határozható meg: 8 6 7 0 0 0 ( ) 76, 4, 88 0,555 4, ahol λ Å-be került megadásra. Határozza meg a levegő refraktív deét 4000, 6000 és 8000 Å-él. Az NMR spektroszkópába gyakor a feles spű magok (pl. protook) vzsgálata. A z ráyú külső homogé mágeses tér alkalmazása eseté a mag két lehetséges eergával redelkezhet, eek megfelelőe két állapotról (α és β) szokás beszél, ez a térhez képest két beállást (lefelé, lletve felfelé) jelöl (a sp-le az alacsoyabb eergájú állapot). Ha a sp-le és sp-fel beállást N, lletve N mag követ és az eergakülöbség E E, úgy a oltzma-eloszlás értelmébe N Nep( / kt). Ameybe az összes mag száma N N N, mutassa meg, hogy (a) N N / ep( / kt), (b) N Nep( / kt ) / ep( / kt ), ep( / kt ) és (c) a sp-le állapotú etra magok száma N. Végezetül számolja ep( / kt ) k az NMR mérések teztását meghatározó NN / N N háyadost szobahőmérséklet (T = 00 K) és tetszőleges esetére. 9
II. Határérték Ebbe az alfejezetbe a határral és a határértékkel kapcsolatos fogalmakat eleveítjük fel. Fogalmak, defícók (a) sorozato lazá egy olya lstát értük, ahol a tagok sorredje rögzített, potosabba pedg véges sorozato a természetes számok egy véges részhalmazá, végtele sorozato pedg a természetes számok halmazá értelmezett függvéyt értük; sorozatok tagjaak leggyakorbb jelölése:,,... a a lletve a (b) a valós A szám ( R sorozatak, ha mde 0 eseté létezk olya N ( ) természetes szám ( N ( ) N ), melyre mde A ) potosa akkor a határértéke a végtele N ( ) eseté A ; a határérték jelölése: lm A (c) függvéyek egy = a potba akkor létezk határértéke, ha a bal és jobboldal határértékek abba a potba azoosak (d) határérték tételek ( lm f ( ) l, lm f ( ) l, valamt α, β és r valós számok): lm a lm a a a f ( ) f ( ) lm f( ) lm f ( ) l l a a f ( ) f ( ) lm f( ) lm f ( ) ll a a f ( ) lm f( ) a l lm, ha l a f ( ) lm f ( ) l lm a a r r a ( a 0) 0 s (e) egy gyakra felhaszált határérték: lm 0 (f) a em jól meghatározott alakú (0/0, 0, /, lletve hasoló) határértékek számításáál jó szolgálatot tehet a l Hoptal szabály, amely kmodja, hogy ameybe a f ( ) f ( ) jobb oldal létezk, úgy lm lm. g( ) g( ) 0
Gyakorló feladatok Adja meg a következő kfejezések határértékét, ameybe : (a), (b), és (c). Számítsa k a következő határértékeket: (a) 5 lm 4, (b) lm s, 8 (c) lm. 000 A következő kfejezés vzsgálatával adja meg aak határértéket: lm. 0 4 Adja meg a lm kfejezés értékét. s Adja meg a következő határértéket: lm. 0 Határozza meg az alább sorozatok végtelebe vett határértékét, ameybe az létezk:. (megoldás: /0). (megoldás: 4). (megoldás: /6) 4. (megoldás: ) 5. (megoldás: 8/9) 6. (megoldás: 0) 7. (megoldás: /6) 8. (megoldás: ) 9. (megoldás: /) 0. (megoldás: )
Határozza meg az alább határértékeket!. lm (megoldás: /). lm (megoldás: ). lm (megoldás: /4) 4. lm (megoldás: 5/7) 5. lm (megoldás: 8) Határozza meg az alább határértékek bal es jobb oldal értékét! lm (megoldás: bal:, jobb: ) lm (megoldás: bal:, jobb: ) lm (megoldás: bal:, jobb: ) lm (megoldás: bal:, jobb: ) lm (megoldás: bal:, jobb: ) a V m va der Waalsegyelet, ahol p a yomás, T a termodamka hőmérséklet és Vm a molárs térfogat. m pvm M a Z ú. kompresszbltás téyező határértéke, ameybe p 0? RT A klasszkus mechakába a sebességek agyságáak összeadására megszoktuk, hogy v v vv v. A relatvtáselmélet vszot azt modja, hogy v, ahol c a féy vv c sebessége vákumba. Vzsgálja meg, hogy m lesz az eredő sebesség abba az esetbe, ha (a) v v c, (b) v c, (c) lm v, ameybe v c, lletve (d) v c és A reáls gázok leírására haszálatos a p V b RT 0 v c. Hasolítsa össze a relatvsztkus formulával számolt és a klasszkus eredméyeket.
A Plack-féle sugárzás törvéy alapjá a feketetest által a térfogategységre és 8 hc egységy hullámhosszra eső eerga. Mutassa meg, hogy 5 ep( hc / kt ) 8 kt elegedőe agy λ eseté. 4 Az álladó térfogato vett molárs hőkapactás, Cv, az Este-féle modell szert h ep( h kt) Cv R, ahol a szmbólumok a szokásos jeletésükkel kt ep( hkt ) redelkezek. Mutassa meg, hogy agyo agy T értékekre Cv R.
II. Folytoosság Fogalmak, defícók (a) a valós függvéyek folytoossága lokáls, hely tulajdoság, a függvéy értelmezés tartomáyáak egy potjába kerül meghatározásra (potbel folytoosság), de lehet a folytoosságot egy adott tervallumo s defál (b) egy f() valós függvéy folytoos az a potba, ameybe a következő három feltétel egyszerre teljesül:. f() a-ba defálva va,. a lm f ( ) határérték létezk, és. lm f ( ) a lm f ( ) f a f ( a) ; a három tételt összefoglalva azt írhatjuk, hogy lm f ( a) a (c) ha a fet három feltétel em teljesül, a függvéyt em-folytoosak evezzük és szakadással redelkezk (d) ha a szakadás helye a függvéy határértéke, akkor szgulartásról beszélük (e) ameybe a függvéy az a potba em defált, de határértéke ge (pl. ez áll fe az f ( ) ( ) /( ) függvéy esetébe), akkor a függvéy eltávolítható szakadással redelkezk (f) ameybe az f() és g() függvéyek folytoosak a-ba, úgy f() + g(), f()g() és f()/g() s azok, ameybe g ( a) 0 (g) az f függvéy folytoos egy adott tervallumba, ameybe aak mde potjába az 0, ha 0 (h) a Heavsde-féle lépcsőfüggvéy, H ( ), egyke azo függvéyekek,, ha 0 melyek em folytoosak a teljes, tervallumo Mtafeladatok Folytoos-e az f ( ) függvéy a tervallumo? Megoldás: Felírhatjuk, hogy f() =, ha 0 és f() = 0, ha 0. Azaz f() folytoos a teljes tegelyre. a 4
II. Függvéy redje (ordo) Fogalmak, defícók Red: polomáls függvéyek eseté gyakra élük azzal a közelítéssel, hogy a függvéy változását egy adott fokszámo felül em vesszük fgyelembe, ezt a levágás sztet o()- el vagy o( )-el szokás jelöl; o() azt szmbolzálja, hogy eze red alatt a függvéy alakját eplcte adjuk meg, ettől a fokszámtól kezdve azoba cs kokrét függvéyalak, csak a levágás (közelítés) redjét jelöljük. A matematkába a övekedés függvéyek eseté az ordo szmbolka léyegese kterjedtebb fogalomkészlettel redelkezk és számos alesete létezk, ezeket azoba em tárgyaljuk. Mtafeladatok 4 Adjuk meg a P( ) a b c d e egyedredű polom ullad, lletve másodredű közelítéset (azaz az elhayagolások első-, lletve harmadredbe kezdődjeek). P( ) a () Megoldás: P( ) a b c (). Közelítsük az F( ) a b c d polomot másodredg (azaz hayagoljuk el a harmad- és aál magasabb redű tagokat). Megoldás: F ( ) a a a b c bc bd (). Gyakorló feladatok 4 Adja meg a P( ) a b c d e polomfüggvéy ullad- és másodredű közelítéset. Közelítse o()-g a Q( ) ( a ) ( b c d ) polomot. 8 h A Plack-függvéy,, egyk határesete akkor áll elő, amkor c ep( h / kt) h kt. Adja meg ekkor a sugárzás sűrűségre voatkozó törvéyt, mely a RayleghJeas evet vsel. 8 h A Plack-függvéy,, egy másk határesete akkor áll elő, c ep( h / kt) amkor h kt. Adja meg az ekkor előálló sugárzás törvéyt, mely a We-formula evet vsel. kkp A PH wolframo törtéő bomlásáak sebességét a v egyelet írja le, ahol p Kp a PH yomása, k a sebesség együttható, míg K az adszorpcó és deszorpcó sebesség együtthatóak aráya (háyadosa) és K dmezója yomás. Határozza meg a bomlás redjét amkor p olya, hogy (a) Kp, lletve (b) Kp. 5
odeste állapította meg, hogy gázfázsba a r + H Hr reakcót jellemző / k Hr reakcósebesség alakú. Határozza meg, hogy a kezdet reakcósebesség hogya függ a r kocetrácótól a reakcó megdulásakor, ameybe khr / r (a) khr / r, lletve (b) elegedő Hr-t aduk a reakcóelegyhez ahhoz, k Hr / r feálljo. hogy Javasolt rodalom CRC Stadard Mathematcal Tables ad Formulas 6