SZÉCHENYI ISTVÁN EGYETEM LKLMZOTT MECHNIK TNSZÉK. MECHNIK-STTIK GYKORLT (kidolgozt: Triesz Péter, eg. ts.; Trni Gábor, mérnök tnár) Erők eredője, fölbontás.1. Péld dott eg erő és eg egenes irán-egségvektor: e ( 5i 1 j + 4k ) i + j. N, eldt:. dj meg z erő,,z iránú skláris koordinátáit! b. dj meg z erő,,z iránú összetevőit! c. Számíts ki z erő e iránnl párhuzmos skláris koordinátáját, illetve összetevőjét! d. Számíts ki z erő e iránr merőleges skláris koordinátáját, illetve összetevőjét!. Eg vektornk eg skláris koordinátáj úg htározhtó meg, h vektort sklárisn szorozzuk kérdéses irán-egségvektorrl (z eredmén eg sklár szám): z i 5 i i 1 j i + 4k i 5 N, j 5i j 1 j j + 4k j 1 N, k 5 i k 1 j k + 4k k 4 N, ( i + j + k )N. z b. Eg vektor eg dott iránú összetevője úg dhtó meg, h megfelelő skláris koordinátáját szorozzuk z dott irán egségvektorávl (z eredmén vektor): i ( 5i ) N, j ( 1 j) N, z z k ( 4k) N, z eredeti vektor előállíthtó z összetevők összegeként: + +. z -Erők eredője 1/8
c. z erővektor z dott iránnl párhuzmos sklár koordinátáját és összetevőjét z előző pontokbn ismertetett módszerek segítségével kpjuk meg. Tuljdonképpen ez feldtrész z előző két pontbn leírt módszerek áltlánosítás. e 5i i 1 j j + 4k k 15 N ( 1, 66 N), 15 e i j ( 7,5i + 7,5 )N +, j hol e egségvektor! d. Eg vektor eg dott iránr merőleges sklár koordinátáj vektoriális szorzásr vontkozó zonosságból számíthtó, mel szerint: e. e i j k 5 1 4 i ( 1) 4 j 5 4 k 5 ( 1) + i + j + 35 k N e ( ) + ( ) + 35 68, 5 5, 7 N Eg vektor eg dott iránr merőleges összetevőjének számításár eg kicsit bonolultbb összefüggés szolgál: ( e ) e e. Ennél jóvl egszerűbb megoldást z + összefüggésből kpjuk, vgis merőleges összetevő meghtározhtó úg, h egszerűen z előző pontbn számolt párhuzmos összetevőt kivonjuk z eredeti vektorból: ( 17,5i 17,5 j 4k ) + N. -Erők eredője /8
.. Péld dott z ábrán láthtó erőrendszer. D E C 1 3 m, b m, 1 kn, 6 kn. 3 eldt: 5 kn,. Írj fel z erőrendszert lkotó erők vektorit! b. Htározz meg z erők eredőjének vektorát, számíts ki ngságát! c. Számíts ki z eredő erő tengellel bezárt szögét!. z eges erővektorok meghtározásához szükség vn htásvonluk iránegségvektorár, melek z ábráról leolvshtók: e1 i, rc ( 4i + 6 j ) 3 e i + j r C 4 + 6 13 13, r ( i + 6j) ( i + 6j) ( i + 6j) E 1 3 e3 i + j r. E + 6 4 1 1 1 z erővektorok: 1 1 e1 ( i )kn, 1 15 e i + j kn, 13 13 6 18 3 3 e3 i + j kn. 1 1 b. z eredő erő: 1 + + 3 (,876i + 9,85 j )kn,, 876 + 9, 85 1, 63 kn. 3 b b c. z eredő erő htásvonlánk vízszintes tengellel bezárt szöge z egenes irántngensének definíciójávl htározhtó meg: 9, 85 tgα 3, 46 α 73, 73., 876 -Erők eredője 3/8
.3. Péld dott: 1 4 4 N, 6 N, 3 N. α 6, 3 1 α 4 eldt:. z erők összegének (eredőjének) előállítás. b. z összeg eredő bszolút értékének meghtározás. c. z eredő erő irán egségvektoránk meghtározás. O 3m 3 C m. z erők összege 4 1+ + 3+ 4 i 1 3 1 1 1 (sinαi + cos α j) 4 i + j N, j 6 j N, 3 1 3 3 (cos i sin j) i j N, 4 4 i 4 i N, 3 1 3 1 4 i j 6 j + + + i j 4i 3 3 1 1 4 + 4 i + 4 + 6 j 11,96i + 7 j N b. z erők összegének bszolút értéke: + 11,96 + 7 71, 1N 71,1N c. z eredő erő irán egségvektor: 11,96i + 7 j e (,168i +,986 j) e,168i +,986 j 71,1 Ellenőrzés: e,168 +,986 1 -Erők eredője 4/8
.4. Péld dott: 3m, b 4m, m kg; g 1 m s z C, C és CD kötelek súlát elhngoljuk. b eldt: z és támsztóerők meg-htározás:. szerkesztéssel és b. számítássl. C D m. feldt megoldás szerkesztéssel: kötelekből álló szerkezetet test függőlegesen lefelé muttó G mg súlereje terheli. kötelekben kötél iránú húzóerők ébrednek. vizsgált rendszer kkor vn nuglombn (egensúlbn), h rá htó erők eredője zérus: G+ +. (Ekkor három erő htásvonl eg pontbn metszi egmást.) z ponti támsztóerő z C egenesen, ponti támsztóerő C egenesen ht. Szerkezeti ábr Erőábr e g e e C e b e b e G e g G e b b. feldt megoldás számítássl: -Erők eredője 5/8
feldt lpj itt is z egensúli egenlet: G+ + z és iránáb muttó eg-eg vektor: rc ( 3i + 3j) m b r 4i + 3j m C Ezekből z irán-egségvektorok: 1 1 b 4 3 e i + j, e i + j. b 5 5 z erővektorok: e, e G mg mg j j N j kn, és ( ) ( ) ( ) ehelettesítve z egensúli egenletbe: 1 1 4 3 j + i + j + i + j 5 5 Szorozzuk meg vektoregenletet sklárisn z i, mjd j egségvektorokkl! 1 4 + 5 1 3 + +, djuk össze két egenletet, és rendezzük át: 5 7 5 1 1, 43, ezt visszhelettesítve z első egenletbe: 7 1 41 + 57 4 8 1, 6 35 7 Ebből támsztóerő vektorok fölírhtók: 8 1 1 e i + j 7 1 4 3 e i + j 7 5 5 i j kn ( 1,14 + 1,14 ) i j kn. ( 1,14 +,86 ) és -Erők eredője 6/8
.5. Péld z ábrán láthtó és jelű vonttóhjó uszált vontt úg, hog vonttókötelek hldási iránnl α és szögeket zárnk be. Ismert z uszál vonttásához szükséges v vonttó erő. dott: α, 3, 5i kn v eldt: vonttókötelekben ébredő és támsztóerők (húzóerők) meghtározás. uszál vonttó kötél α vonttó hjók. feldt megoldás számítássl: v + e, e, v i v. e cosαi + sinα j, e 1 e cos i + sin j < e 1, i i + j + i + j ( cosα sinα ) ( cos sin ) v skláris szorzássl kpott egenletek: cosα + cos /sin v sinα + sin /cos szorzásokt elvégezve: sin cosαsin + cos sin v sinα cos + sin cos z egenleteket kivonv egmásból: v sin ( α) sin cosαsin sinαcos sin α sin sin(3 ) V 5 3.64kN sin( α) sin( 3 ) / i / j -Erők eredője 7/8
második egenletből: sin sin α 3,64,33kN sin sin( 3 ) vonttó kötelekben föllépő erő: 3,64 cos i + sin j kn,33 cos( 3 ) i + sin( 3 ) j kn (3, 67i + 11,16 j) kn (19,33i 11,16 j) kn b. feldt megoldás szerkesztéssel: Szerkezetábr Erőábr α e e v v e -Erők eredője 8/8