TÖ Többváltozós, valós értékű függvények
TÖ Definíció: többváltozós függvények Azokat a függvényeket, melyeknek az értelmezési tartománya R n egy részhalmaza, n változós függvényeknek nevezzük.
TÖ Példák:. A gazdasági eredetű problémák matematikai modelljében gyakoriak a sokváltozós függvények (például: termelési függvény). Az R R típusú függvényeket szokás skalármezőnek nevezni. Ilyenek például a skalár jellegű fizikai mennyiségeknek (tömegsűrűség, töltéssűrűség, hőmérséklet, potenciál, stb.) a helytől való függését kifejező függvények.. A geográfiában használt domborzati térképek tekinthetők R R típusú (kétváltozós) függvényeknek.
TÖ 4 ábrázolása A többváltozós függvények közül csak a kétváltozósakat tudjuk két dimenzióban ábrázolni. Ekkor is egy háromdimenziós kép térhatású síkbeli ábrázolásáról van szó. Az ábrázolásnak két esetben van szerepe: a többváltozós függvényekkel kapcsolatos fogalmak tartalmának speciálisan kétváltozós függvényeken való bemutatásakor olyan esetekben, amikor egy kétváltozós függvény egy térbeli ponthalmaz (általában felület) megadására szolgál
Kétváltozós függvények ábrázolása TÖ 5 (,y) f (,y) f (,y) + y
TÖ 6 Definíció: szintvonalak Ha c eleme az (,y) f(,y) függvény értékkészletének, akkor az { (,y) R f(,y) c } síkgörbét c értékhez tartozó szintvonalnak nevezzük.
TÖ 7 Definíció: paramétervonalak A kétváltozós függvények paramétervonalai síkgörbék, a függvényfelületnek a függőleges koordinátasíkokkal párhuzamos síkokkal való síkmetszetei. A paramétervonalak olyan egyváltozós függvények grafikonjaként állnak elő, melyek az eredeti kétváltozós függvény egyik változójának rögzítésével keletkeznek.
TÖ 8 A második változó rögzítésével keletkező paramétervonalak f(,y ) Példa: Az (,y) + y függvény esetén az y változó értékét -nek rögzítve az + 4 egyváltozós függvényhez jutunk.
TÖ 9 Az első változó rögzítésével keletkező paramétervonalak y f(,y) Példa: Az (,y) + y függvény esetén az változó értékét -nak rögzítve az y 9 + y egyváltozós függvényhez jutunk.
TÖ Megjegyzés: A kétváltozós függvények (felületek) ábrázolásakor a szintvonalak ill. a paramétervonalak berajzolása segíti a felület alakjának tulajdonságainak vizuális érzékelését.
TÖ folytonossága és határértéke Definíció: folytonosság Az f : D ( R n ) R függvény folytonos a P D helyen, ha bármely D-beli sorozat esetén P n P f ( P n ) f ( P ).
Definíció: határérték TÖ Tekintsük az f:d( R n ) R függvényt, és legyen P torlódási pontja D-nek. Ha van olyan A R, melyre fennáll, hogy bármely D-beli sorozat esetén P n P, f( P n ) A, (P n P, n N) akkor azt mondjuk, hogy az f függvény határértéke a P helyen A. Jelölés: lim f (P) P P A
TÖ Megjegyzés: folytonosság és határérték Legyen D R n nyílt halmaz. A fenti definíciókból látható, hogy az f:d R függvény pontosan akkor folytonos a P D helyen, ha az f határértéke P -ban f(p ).
Példa: nem folytonos függvény TÖ 4 y, ha (, y) (,) (, y) + y, ha (, y) (,) f Az f függvénynek a (,) helyen nem létezik határértéke (és így nem is folytonos), mert például lim f n, n n lim n n lim n lim f, n n n n n n 5 5 lim n 5 n lim
Definíció: Lineáris függvények TÖ 5 Az A:R n R, A (,,, n ) c + c + + c n n függvényeket, ahol c, c,, c n valós számok, n változós lineáris függvényeknek nevezzük. Megjegyzés: A lineáris függvények alapvető szerepet játszanak a differenciálszámításban, hiszen a differenciálás valójában lineáris függvénnyel való közelítést jelent.
TÖ 6 Egyváltozós lineáris függvények és az érintő egyenes Az egyváltozós lineáris függvények az c alakú függvények, melyek grafikonja az origón átmenő c meredekségű egyenes. Egyváltozós differenciálható függvény lineárisan az érintő egyenessel közelíthető, melynek meredeksége az adott pontbeli differenciálhányados.
TÖ 7 Kétváltozós lineáris függvények és az érintő sík A kétváltozós lineáris függvények az (, ) c + c alakú függvények, melyek grafikonja az origón átmenő (c,c,-) normálvektorú sík. Kétváltozós differenciálható függvény lineárisan az érintő síkkal közelíthető, melynek normálvektorát az adott pontbeli ún. parciális differenciálhányadosok határozzák meg.
TÖ 8 differenciálása Az f:d( R n ) R függvény differenciálható a D értelmezési tartomány P belső pontjában, ha van olyan A:R n R lineáris függvény, melyre lim P P f (P) f (P ) A(P P P P Ekkor az A függvényt az f függvény P helyen vett differenciálhányadosának nevezzük. )
TÖ 9 Megjegyzés: A differenciálhányados előbbi definíciója összhangban van az egyváltozós függvények differenciál-hányadosának fogalmával: Az f:d( R) R függvény differenciálható a D értelmezési tartomány belső pontjában, ha van olyan A R szám, melyre lim f () f ( ) A ( Ekkor A azonos az f ( ) differenciálhányadossal. )
TÖ Megjegyzések:. Ha differenciálhányados létezik, akkor egyértelmű.. Ahol egy függvény differenciálható, ott folytonos is.. Ha D R n nyílt halmaz (minden pontja belső pont) és az f:d R függvény differenciálható a D minden pontjában, akkor azt mondjuk, hogy f differenciálható a D halmazon.
Iránymenti derivált TÖ Definíció: iránymenti derivált Legyen f:d( R n ) R, P a D értelmezési tartomány belső pontja, v R n, v. Az f függvény P pontbeli, v irányban vett iránymenti deriváltján a v f (P + λ v) f (P ) f (P ) lim λ λ határértéket értjük, amennyiben létezik és valós.
TÖ Az iránymenti derivált jelentése A v irányban vett iránymenti derivált szemléletesen azt fejezi ki, hogy az értelmezési tartományban az pontból a v irányban haladva mennyi a függvényértékek változásának gyorsasága.
TÖ Megjegyzések:. Az iránymenti derivált definíciójában szereplő határérték egyváltozós függvény határértéke (egy változó van: λ).. Ahol az f függvény differenciálható, ott létezik az összes iránymenti deriváltja is.. Az iránymenti deriváltak létezéséből viszont nem következik a differenciálhatóság.
Definíció: Parciális derivált TÖ 4 Legyen f:d( R n ) R, P a D értelmezési tartomány belső pontja. Az f függvény P pontbeli, e i irányban vett iránymenti deriváltját az f függvény P pontbeli i-edik (vagy i-edik változó szerinti) parciális differenciálhányadosának, vagy röviden parciális deriváltjának nevezzük (i,,n).
TÖ 5 Jelölések: Az f függvény P pontbeli i-edik változó szerinti parciális deriváltjának jelölése: if (P ) vagy f (P i ) Szokás a változó sorszáma helyett magát a változót szerepeltetni a parciális derivált jelölésénél: például az változó szerinti parciális derivált lehetséges jelölései: f (P ) f (P ) f (P )
TÖ 6 Megjegyzés: a differenciálhányados és a parciális deriváltak A parciális deriváltak létezéséből általában nem következik a differenciálhatóság, de igaz a következő tétel: Ha az f:b(p )( R n ) R függvénynek a B(P,r) minden pontjában létezik minden változó szerinti parciális deriváltja, továbbá ezek folytonosak P -ban, akkor f differenciálható P -ban.
TÖ 7 A parciális derivált közvetlen értelmezése Az előbbiekben a parciális deriváltat, mint speciális irányban vett iránymenti deriváltat értelmeztük. Most megadjuk a parciális derivált közvetlen definícióját. (Az egyszerűség kedvéért a definíciókat csak a kétváltozós esetre írjuk fel, de ezzel analóg módon lehet eljárni kettőnél több változós esetben is.)
Definíció: parciális derivált TÖ 8 Legyen f:d( R n ) R, P a D értelmezési tartomány belső pontja. Az f függvény P pontbeli, első változó változó szerinti parciális differenciálhányadosán (vagy röviden parciális deriváltján) a f (, y ) f (, y ) lim f (, y ) határértéket értjük, amennyiben ez létezik és véges.
Definíció: parciális derivált TÖ 9 Legyen f:d( R n ) R, P a D értelmezési tartomány belső pontja. Az f függvény P pontbeli, második változó változó szerinti parciális differenciálhányadosán (vagy röviden parciális deriváltján) a f (, y ) lim y y f (, y) y f ( y, y ) határértéket értjük, amennyiben ez létezik és véges.
TÖ A parciális deriváltak geometriai jelentése kétváltozós függvény esetén Az első változó szerinti parciális derivált az y változó rögzítésével előálló felületi görbe érintőjének iránytangensét (meredekségét) adja.
TÖ A parciális deriváltak geometriai jelentése kétváltozós függvény esetén A második változó szerinti parciális derivált az változó rögzítésével előálló felületi görbe érintőjének iránytangensét (meredekségét) adja.
TÖ Definíció: gradiens (vektor) Ha az f:d( R n ) R függvény differenciálható a D értelmezési tartomány P belső pontjában, akkor P -ban léteznek a parciális deriváltak. A P pontbeli parciális deriváltakból képzett vektort gradiensnek, vagy gradiens vektornak nevezzük: ( f (P ), f (P ),..., f (P )) gradf (P ) n
TÖ Tétel: az iránymenti deriváltak és a gradiens vektor Legyen az f:d( R n ) R függvény differenciálható a D értelmezési tartomány P belső pontjában. Az iránymenti derivált a gradiens vektor és a megadó egységvektor skaláris szorzataként számítható: v f (P ) gradf (P ), v
TÖ 4 Példa: f (,, ) + + + 4 P (,4,) v (,,) Határozzuk meg az f függvény elsőrendű parciális derivált függvényeit gradiens vektorát a P helyen iránymenti deriváltját a P helyen, a v irányban!
TÖ 5 4 ),, ( f + + + Az elsőrendű parciális derivált függvények: 4 6 4 4 ),, ( f + + +!!!a számolás közben és konstans!!! 4 ),, ( f + + +!!!a számolás közben és konstans!!! ),, ( f + + +!!!a számolás közben és konstans!!!
TÖ 6 Az elsőrendű parciális derivált függvények értéke a P helyen: f (,, ) f (P ) f (,4,) 4 f (,, ) f (P ) f (,4,) 7 4 f (,, ) f (P ) f (,4,) A gradiens vektor: grad f (P ) 7 grad f (,4,),, 4
TÖ 7 grad f (P ) 7 grad f (,4,),, 4 v (,,) v v v (,,),, Az iránymenti derivált: v f (P ) grad f (P ), v, 7 4,,,,
TÖ 8 Definíció: differenciál Tekintsük az f:d( R n ) R függvényt. Legyen P (,,, n ) a D egy belső pontja, legyen továbbá a D egy pontja és P (,,, n ) -, -,, n n - n. P P P (,,, n )
TÖ 9 Ha f differenciálható a P helyen, akkor az f függvény P pontbeli, a P eltéréshez tartozó (első) differenciálja: f (P ) + f (P ) +... + f (P ) n n Megjegyzés A differenciál röviden felírható a gradiens vektor segítségével: gradf (P ), P
Definíció: lineáris közelítés TÖ 4 Ha az f:d( R n ) R függvény differenciálható a D értelmezési tartomány P belső pontjában, akkor az f függvény P pontbeli lineáris közelítésén azt értjük, hogy a függvény f f ( P ) f ( P ) megváltozását a megfelelő első differenciállal közelítjük: f f (P) f (P ) gradf (P ), P f (P ) + f (P ) +... + nf (P ) n avagy: f (P) f (P ) + gradf (P ), P
Lineáris közelítés kétváltozós függvény esetén TÖ 4 Kétváltozós differenciálható függvény esetén a lineáris közelítés az ún. érintősíkkal való közelítést jelenti. Definíció: érintősík Ha az (,y) f(,y) kétváltozós függvény differenciálható a P (,y ) helyen, akkor az f függvény P pontbeli érintősíkján a következő függvényt (annak grafikonját) értjük: S(, y) f (P ) + f (P ) ( ) + f (P ) (y y) Az f függvény P pontbeli lineáris közelítése: f(,y) S(,y)
TÖ 4
TÖ 4 Példa: f (,, ) + + + 4 P (,4,) v (,,) Határozzuk meg az f függvény lineáris közelítését a P helyen közelítő értékét a P (.,.98,.95 ) helyen
TÖ 44 f (,, ) f (P ) f (,4,) 4 f (,, ) f (P ) f (,4,) 7 4 f (,, ) f (P ) f (,4,) grad f (P ) 7 grad f (,4,),, 4
TÖ 45 f (,, ) + + + 4 P (,4,) P (,, ) f(p ) 7 A lineáris közelítés: grad f (P ) 7 grad f (,4,),, 4 f (P) f (P ) f (P + ) + f (P grad f (P ) 7 ( + ), P f (P ) ) +.75 ( + f (P 4) + ).5 ( )
TÖ 46 A függvény közelítő értéke az (.,.98,.95 ) helyen: P (,, ) (.,.98,.95 ) f (P) 7 ( ) +.75 ( 4) +.5 ( ) 7 (. ) +.75 (.98 4) +.5 (.95 ) 7. +.75 (.) +.5 (.5) 7.6.5.5 7.4 6.58
TÖ 47 Definíció: másodrendű parciális deriváltak Legyen f:b(p,r)( R n ) R, i {,,n}, j {,,n}. Ha f-nek minden P B(P,r) pontban létezik az i-edik változó szerinti i f(p) parciális deriváltja a P i f(p) parciális derivált függvénynek a P pontban létezik a j-edik változó szerinti parciális deriváltja akkor ezt az f függvény j és i változók szerinti másodrendű parciális deriváltjának nevezzük. Jelölés: j i f (P )
TÖ 48 Megjegyzés: A másodrendű parciális deriváltak jelölésére szokásosak még az alábbi jelölések is: f ji f " ji (P ) (P ) A jelölésben utalhatunk közvetlenül azokra a változókra, melyek szerint a deriválást végeztük. Például az, majd az változó szerinti deriválás jelölése: (P ) (P ) f f f (P ) " f (P )
Definíció: TÖ 49 Ha f:b(p,r)( R n ) R függvénynek B(P,r)-ban léteznek az elsőrendű parciális derivált függvényei, és ezek újra minden változó szerint parciálisan differenciálhatók a P pontban, akkor azt mondjuk, hogy f kétszer differenciálható P -ban. Definíció: Ha f:b(p,r)( R n ) R függvénynek B(P,r)-ban léteznek az másodrendű parciális derivált függvényei és ezek folytonosak P -ban, akkor azt mondjuk, hogy f kétszer folytonosan differenciálható P -ban.
TÖ 5 Megjegyzés: Young tétel Ha az f:b(p,r)( R n ) R függvény kétszer differenciálható P -ban, akkor a P pontbeli másodrendű parciális deriváltak kiszámításakor a deriválások sorrendje felcserélhető, azaz j i f (P ) f (P i j ) i {,,n}, j {,,n}.
Kvadratikus függvények TÖ 5 Definíció: Legyen n pozitív egész szám. A Q(h n n,...,h n ) aijhih i j j alakú függvényeket, ahol A(a ij ) egy n-edrendű szimmetrikus mátri, kvadratikus függvényeknek nevezzük. Az A mátri a Q kvadratikus függvény mátria.
TÖ 5 Példa: A 4 Az A mátrihoz tartozó ( változós) kvadratikus függvény: Q(h, h, h ) h + h h + h h + + h h + h h h + + h h h h + 4h h + h + 4h +h h 4h h + 6h h
TÖ 5 Megjegyzés: Nyilvánvaló, hogy bármely Q kvadratikus függvényre Q(). Definíció: A Q:R n R kvadratikus függvény pozitív definit, ha Q(h) >, ha h negatív definit, ha: Q(h) <, ha h indefinit, ha Q fölvehet pozitív és negatív értéket egyaránt.
TÖ 54 Példa: A Q(h, h, h ) h + h + 4h + h h 4h h + 6h h függvény pozitív definit. Ez azonnal látszik az alábbi egyszerű átalakítással: h + h + 4h + h h 4h h + 6h h (h +h ) + (h h ) + (h +h )
TÖ 55 Definíció: sarokdeterminánsok Egy n-edrendű kvadratikus mátri sarokdeterminánsai az első k sorban és az első k oszlopban lévő elemekből álló k-adrendű mátriok determinánsai (k,,n). Példa: A sarokdeterminánsok: 4 ( ) D det D det D det 4
TÖ 56 Tétel: a definitség megállapítása determinánsokkal Egy kvadratikus függvény pontosan akkor pozitív definit, ha mátriának bal felső sarokdeterminánsai pozitívak: D >, D >,, D n > Egy kvadratikus függvény pontosan akkor negatív definit, ha mátriának bal felső sarokdeterminánsai váltakozó előjelűek úgy, hogy D negatív: D <, D >, D <, D 4 >, Egy kvadratikus függvény mátriának bal felső sarokdeterminánsai nullától különbözőek, és a fenti két eset nem áll fenn, akkor a kvadratikus függvény indefinit.
TÖ 57 Példa: Q(h, h, h ) h + h + 4h +h h 4h h + 6h h 4 ( ) det D > det D > Q pozitív definit 4 det D >
TÖ 58 Többváltozós differenciálható függvények szélsőérték-számítása Tétel: a helyi szélsőérték létezésének szükséges feltétele Ha az f:d( R n ) R differenciálható függvénynek helyi szélsőértéke van a D értelmezési tartomány P belső pontjában, akkor a P pontbeli elsőrendű parciális deriváltak értéke : f (P ) f (P ) n f(p )
TÖ 59 Megjegyzés: Kétváltozós differenciálható függvény esetén ott lehet helyi szélsőérték, ahol az érintő sík vízszintes.
TÖ 6 Következmény: Differenciálható függvény esetén a helyi szélsőértékek keresésekor elsőként azokat P helyeket kell meghatározni, ahol a parciális deriváltak értéke, az előző tétel szerint ui. helyi szélsőérték csak ezeken a helyeken lehet. Megjegyzés: Helyi szélsőérték létezéséhez nem elegendő, hogy az elsőrendű parciális deriváltak értéke. Az elegendőséghez további feltételt kell megfogalmazni a másodrendű parciális deriváltakra vonatkozóan.
TÖ 6 Definíció: Legyen az f:b(p,r)( R n ) R függvény kétszer folytonosan differenciálható P -ban, és definiáljuk a Q:R n R függvényt a következőképpen: Q(h n n,...,h ) f (P )h h n i j i i j j Megjegyzés: Az így definiált Q függvény kvadratikus.
TÖ 6 Tétel: a helyi szélsőérték létezésének elegendő feltétele Legyen az f:b(p,r)( R n ) R függvény kétszer folytonosan differenciálható P -ban. Ha f (P ) f (P ) n f(p ) és Q(h n n,...,h n ) i jf (P )hih j i j pozitív definit, akkor f-nek P -ban helyi minimuma van.
Ha f (P ) f (P ) n f(p ) és Q(h Ha n n,...,h n ) i jf (P )hih j i j akkor f-nek P -ban helyi maimuma van. negatív definit, f (P ) f (P ) n f(p ) és Q(h n n,...,h n ) i jf (P )hih j i j indefinit, akkor f-nek P -ban nincs helyi szélsőértéke. TÖ 6
TÖ 64 Példa: Határozzuk meg a következő függvény helyi szélsőértékhelyeit és a szélsőértékeket!,,, 4 ),, ( f > > > + + + 4 ),, ( f ),, ( f ),, ( f. lépés Az elsőrendű parciális derivált függvények meghatározása:
TÖ 65. lépés A f f n f egyenletrendszer megoldása: f (,, ) 4 f (,, ) P,, f (,, )
TÖ 66. lépés A másodrendű parciális derivált függvények meghatározása. 8 4 y + z + 4 (A könnyebb áttekinthetőség kedvéért a függvényeket táblázatba írjuk. Az első sorban a f, a második sorban f, a harmadik sorban a f függvény deriváltjai vannak.)
TÖ 67 4. lépés A másodrendű parciális derivált függvények értékének meghatározása ott, ahol az elsőrendű deriváltak értéke egyszerre volt nulla. Most egy ilyen pont van, a P: + + 4 z y 4 8,, P 6 6 A
TÖ 68 5. lépés Meg kell állapítani, hogy az A mátri milyen definitségű Q kvadratikus függvényhez tartozik, ebből megállapítható, hogy a vizsgált pontban van-e helyi szélsőérték, és milyen jellegű. D det(6) 6 6 6 A D det 8 6 6 D det 4 6
TÖ 69 D 6 >, D 8 >, D 4 > vagyis az A mátri pozitív definit kvadratikus függvényhez tartozik. Ebből következik, hogy az f-nek P-ben helyi minimuma van.
TÖ 7 Megjegyzés A fentiekből látható, hogy a Q(h n n,...,h ) f (P )h h n i j i j i j kvadratikus függvényt nem kell felírni, elegendő csak a mátriával számolni. A most megoldott feladatban a kvadratikus függvény, ami pozitív definitnek bizonyult: Q(h, h, h ) 4 h 4 h h + h 4 h h + 6 h