NEVEZETES SOROZATOK HATÁRÉRTÉKEI HA KONKRÉT SZÁM - q q q q q q shov IZÉ HA IZÉ IZÉ ÖSSZEG HATÁRÉRTÉKE TÉTEL: H és sorozt ovrgs és ovrgs és A B A és B or sorozt is AZ ÖSSZEG HATÁRÉRTÉKÉNEK ESETE A? B A B? KRITIKUS ESETEK? Ilyor z rős* győz: szám DÖNTETLEN)
SZORZAT HATÁRÉRTÉKE TÉTEL: H és ovrgs és sorozt ovrgs és A B A és B or sorozt is A SZORZAT HATÁRÉRTÉKÉNEK ESETE A A? B A B A B?? B A B A B? KRITIKUS ESETEK? Ilyor z rős* győz: szám DÖNTETLEN) HÁNYADOS HATÁRÉRTÉKE és sorozt ovrgs és A és B TÉTEL: H mtig.hu or sorozt is ovrgs és A HÁNYADOS HATÁRÉRTÉKÉNEK ESETE szám A B A A?? B A/ B A/ B????? B A/ B A/ B?? szám szám KRITIKUS ESETEK? Ilyor z rős* győz: szám DÖNTETLEN) *NOS LÁSSUK, KI MENNYIRE ERŐS: SOROZATOK: FÜGGVÉNYEK: log q! x x log x x... x x x x x
mtig.hu IZÉ VALAMI A SZÁMLÁLÓT ÉS A NEVEZŐT IS LEOSZTJUK A NEVEZŐ LEGNAGYOBB KITEVŐJŰ TAGJÁVAL. lggyo itvőjű tg jl szrit, vgyis vl fogu oszti, d h visszü gyöjl lá, vrázsltos át- lulásoo mgy rsztül ülööző gyöjl ltt thát más-más itvőjű -l osztu: : Tdő típusú htárértél POLINOM POLINOM A SZÁMLÁLÓT ÉS A NEVEZŐT IS LEOSZTJUK A NEVEZŐ LEGNAGYOBB KITEVŐJŰ TAGJÁVAL. EXPONENCIÁLIS EXPONENCIÁLIS A SZÁMLÁLÓT ÉS A NEVEZŐT IS LEOSZTJUK A NEVEZŐ LEGNAGYOBB HATVÁNYALAPÚ TAGJÁVAL. lőször átlítu: ztá losztu: Tdő típusú htárértél ILYENKOR A LEGERŐSEBB TAGOT KI KELL EMELNI: )
Számítsu i z lái sorozto htárértéét!.......................... ) ).. ).. ).. ) ) ) ).. ) ).................. DIVERGENS páros h pártl h KONVERGENS páros h pártl h
Számítsu i z lái sorozto htárértéét!................ mtig.hu TÍPUSÚ SOROZATOK NOS ITT IS LE KELL OSZTANI A NEVEZŐ LEGNAGYOBB KITEVŐJŰ TAGJÁVAL. h stlg számláló és vző is v, or -l osztu / / / / rodá stl is l tudu ái / / / / d h sj itt ott or cs -l osztu ztá imlü / / / / IZÉ IZÉ HA IZÉ
...................... Számítsu i z lái sorozto htárértéét!................ mtig.hu ESETBEN GYÖKTELENÍTÜNK z vlhogy így műödi, hogy sorozt lőször rodá lsz utá viszot gész mgjvul
A NAGYSÁGREND ÉS A RENDŐR-ELV Az sorozt gyo gyságrdű, mit és zt téyt így jlöljü, hogy h Az lái gyságrdi rgsor állíthtó föl: q! log és q q A gyságrd foglmát cslésél tudju hszosíti. Bcsüli ugyis midig úgy ll, hogy cs gyságrd változtssu. Flső cslésél midit l ll csréli lggyo gyságrdű tgr, míg lsó cslésél cs lggyo gyságrdű tgot hgyju mg. Rm példát szolgáltt rr rdőr-lv sgítségévl iszámolhtó htárérté. mtig.hu TÉTEL: RENDŐR-ELV H c or A. A és c A és v oly, hogy mid sté V itt z htárérté:? A lggyo gyságrdű tg itt Ez zt jlti, hogy gy -r töi tg oly icsi, mith ott sm vol, hogy z z árá rmül látszi. Alsó cslésél cs lggyo gyságrdű tgot hgyju mg, flső cslésél pdig midit lcsrélü lggyo gyságrdű tgr Az lsó és flső cslés is -höz trt, így özrfogott sorozt htárérté is.
mtig.hu Nézzü mg gy mási htárértét is:? A lggyo gyságrdű tg számláló, vző pdig Lássu cslést! Az lsó és flső cslés is -höz trt, így özrfogott sorozt htárérté is. Aztá v oyolult st is:? Itt flső cslés öyű, míuszos tgot gyszrű lhgyju: Az lsó cslés viszot mglhtős furmáyos. Az lpötlt z, hogy lggyo gyságrdű tgot vgyis -t mg ll trti, d mivl cs d v lől és rádásul ól még i is vou, z lsó cslés z lsz, hogy C hol itt C vlmi -él is szám. A viccs z, hogy ármi lht. Lgy modju /. Eor: Ez or tljsül, h átrdzv mit losztu -l: mi tljsül, h ALSÓ BECSLÉS: számlálót csötjü vzőt övljü FELSŐ BECSLÉS: számlálót övljü vzőt csötjü
mtig.hu Vgyis sté és így özrfogott sorozt htárérté is. Végül gy gész oyolult ügy:? A flső cslés gyszrű. A számlálót övljü zzl, hogy míuszos tgot lhgyju, vzőt pdig csötjü zzl, hogy z pozitív tgot lhgyju. Az lsó cslés már érds. A számlálót csötü ll és hhz z lőző fldt látott trüöt fogju hszáli. Először mid míuszos tgot lcsrélü míuszos tgo özül lggyo gyságrdűr. A vzőt övlü ll, z m god. Jllg thát itt trtu: Most pdig számlálót mgit lulról csüljü z lőző fldt látott módo: C Hsur ütü, C=/ például jó is: / Ez or tljsül, h átrdzv
..?..?..?..?..?..?!..?!..?..?..?..? Ezt losztju -ml és -l Ez pdig lő-utó tljsüli fog. Például, h = or már tuti. Ai m hiszi, próálj i. Vgyis sté / / És így özrfogott sorozt htárérté is.
A SOROZATOK HATÁRÉRTÉKÉNEK DEFINÍCIÓJA sorozt ovrgs és htárérté z A szám, h mid Az üszöidx, hogy mid sté A. Vgyis gy -r sorozt már -ál özl rül htárértééhz. sté v oly A+ε A A-ε INDEXEK -hoz trtozó üszöidxt. Számítsu i z mtig.hu A B z szolútérté flotás utá vző lggyo itvőjű tgj midig + ll, hogy lgy. HA + VOLT, HA VOLT, AZ IS MARAD AKKOR + LESZ,,
Számítsu i z -hoz trtozó üszöidxt. PS PL A B összvou összvou: z szolútérté mitt ltűi mtig.hu számláló gy - sté* gtív, zért flotás utá -)szrs lsz vző gy - sté* pozitív, zért flotás utá sjátmg mrd Midét oldl vsszü Midig gyoi lsz z logritmusát l l l l l l, és * gy, modju =gymillió
Számítsu i dfiíció szrit z lái sorozto htárértéét és dju üszöidxt......... -hoz KONVERGENS ÉS DIVERGENS SOROZATOK KONVERGENS SOROZATOK DIVERGENS SOROZATOK pl pl A oszcillálv div. pl ) ) VAN HATÁRÉRTÉK tág ért. ov. NINCS HATÁRÉRTÉK divrgs KONVERGENCIA ÉS A KORLÁTOSSÁG KAPCSOLATA TÉTEL: H gy sorozt ovrgs, or orlátos. A tétl mgfordítás m igz, például z sorozt orlátos, d m ovrgs. A mootoitás fltétlévl mgfordítás már igz: TÉTEL: H gy sorozt mooto és orlátos, or ovrgs. =INFIMUM Mooto ő =SZUPRÉMUM =INFIMUM Mooto csö =SZUPRÉMUM
Vizsgálju mg ovrgci, mootoitás, orlátosság szmpotjáól z lái soroztot! Kovrgci sté dju mg z -hoz trtozó -t............................... lg..........