Riemanngeometria 1 c. gyakorlat A Riemann-terekkel kapcsolatos fogalmak, jelölések

Hasonló dokumentumok
Verhóczki László. Riemann-geometria. el adásjegyzet. ELTE TTK Matematikai Intézet Geometriai Tanszék

= e i1 e ik e j 1. tenzorok. A k = l = 0 speciális esetben e az R egységeleme. A. e q 1...q s. = e j 1...j l q 1...q s

3. FELADATSOR. n(n 1) Meggondolható, hogy B képtere az összes alternáló 4-lineáris függvény tere, magja pedig R. Hesse(f)(X, Y ) = X(Y (f)) X Y (f).

Geodetikus gömbök metszetér l. Horváth Márton

Lagrange és Hamilton mechanika

Feladatsor A differenciálgeometria alapja c. kurzus gyakorlatához

2) A koordinátázott síkban adva van egy E ellipszis, melyet az x2

Bevezetés a görbe vonalú geometriába

Vektorterek. =a gyakorlatokon megoldásra ajánlott

Matematika (mesterképzés)

A klasszikus mechanika matematikai módszerei

Vektorok. Wettl Ferenc október 20. Wettl Ferenc Vektorok október / 36

Függvényhatárérték és folytonosság

Lin.Alg.Zh.1 feladatok

Lin.Alg.Zh.1 feladatok

Feladatok a Gazdasági matematika II. tárgy gyakorlataihoz

Modern differenciálgeometria Sokaságok és a Riemann-geometria elemei Szilasi József

Felügyelt önálló tanulás - Analízis III.

Dierenciálgeometria és nemeuklideszi geometriák c. gyakorlat

Fraktálok. Kontrakciók Affin leképezések. Czirbusz Sándor ELTE IK, Komputeralgebra Tanszék. TARTALOMJEGYZÉK Kontrakciók Affin transzformációk

Skalárszorzat, norma, szög, távolság. Dr. Takách Géza NyME FMK Informatikai Intézet takach/ 2005.

Diszkrét Matematika. zöld könyv ): XIII. fejezet: 1583, 1587, 1588, 1590, Matematikai feladatgyűjtemény II. (

VIK A2 Matematika - BOSCH, Hatvan, 3. Gyakorlati anyag. Mátrix rangja

ANALÍZIS II. Példatár

A térképen ábrázolt vonal: - sík felület egyenese? - sík felület görbéje? - görbült felület egyenese ( geodetikus )? - görbült felület görbéje?

A térképen ábrázolt vonal: - sík felület egyenese? - sík felület görbéje? - görbült felület egyenese ( geodetikus )? - görbült felület görbéje?

Lineáris leképezések. Wettl Ferenc március 9. Wettl Ferenc Lineáris leképezések március 9. 1 / 31

Szeminárium. Kaposvári István október 01. Klasszikus Térelmélet Szeminárium

1. Házi feladat. Határidő: I. Legyen f : R R, f(x) = x 2, valamint. d : R + 0 R+ 0

ANALÍZIS III. ELMÉLETI KÉRDÉSEK

Analízis III. gyakorlat október

1. Komplex függvények dierenciálhatósága, Cauchy-Riemann egyenletek. Hatványsorok, elemi függvények

Szinguláris értékek. Wettl Ferenc április 12. Wettl Ferenc Szinguláris értékek április / 35

3. előadás Stabilitás

0-49 pont: elégtelen, pont: elégséges, pont: közepes, pont: jó, pont: jeles

Funkcionálanalízis. Gyakorló feladatok március 22. Metrikus tér, normált tér és skalárszorzat tér

17. előadás: Vektorok a térben

Lineáris algebra Gyakorló feladatok

Klasszikus differenciálgeometria

HALMAZELMÉLET feladatsor 1.

Matematika III előadás

Geodetikus gömbök metszetér l. Horváth Márton. doktori értekezés tézisei

1. FELADATSOR. x = u + v 2, y = v + z 2, z = z. u y + z. u x + y. v x + y. v y + z. w x + y. w y + z

1. Parciális függvény, parciális derivált (ismétlés)

MM CSOPORTELMÉLET GYAKORLAT ( )

Lineáris algebra 2. Filip Ferdinánd december 7. siva.banki.hu/jegyzetek

LINEÁRIS ALGEBRA. matematika alapszak. Euklideszi terek. SZTE Bolyai Intézet, őszi félév. Euklideszi terek LINEÁRIS ALGEBRA 1 / 40

Konvex optimalizálás feladatok

Analitikus geometria c. gyakorlat

Dierenciálgeometria feladatsor

Szinguláris értékek. Wettl Ferenc április 3. Wettl Ferenc Szinguláris értékek április 3. 1 / 28

An transzformációk a síkban

Matematika III előadás

Kvadratikus alakok és euklideszi terek (előadásvázlat, október 5.) Maróti Miklós, Kátai-Urbán Kamilla

1.1. Vektorok és operátorok mátrix formában

Analitikus geometria c. gyakorlat (2018/19-es tanév, 1. félév) 1. feladatsor (Síkbeli koordinátageometria vektorok alkalmazása nélkül)

Az inverzió és alkalmazásai

Határozatlansági relációk származtatása az

A bolygók mozgására vonatkozó Kepler-törvények igazolása

1. feladatsor Komplex számok

2. gyakorlat. A polárkoordináta-rendszer

Lineáris algebra mérnököknek

Numerikus módszerek 1.

Összeállította: dr. Leitold Adrien egyetemi docens

Eötvös Loránd Tudományegyetem

Boros Zoltán február

Mátrixok 2017 Mátrixok

Felületek differenciálgeometriai vizsgálata

2. SZÉLSŽÉRTÉKSZÁMÍTÁS. 2.1 A széls érték fogalma, létezése

Matematika A2 vizsga mgeoldása június 4.

Analitikus térgeometria

A KroneckerCapelli-tételb l következik, hogy egy Bx = 0 homogén lineáris egyenletrendszernek

sin x = cos x =? sin x = dx =? dx = cos x =? g) Adja meg a helyettesítéses integrálás szabályát határozott integrálokra vonatkozóan!

Matematika I. Vektorok, egyenesek, síkok

Analízis. 1. fejezet Normált-, Banach- és Hilbert-terek. 1. Definíció. (K n,, ) vektortér, ha X, Y, Z K n és a, b K esetén

differenciálegyenletek

1. Generátorrendszer. Házi feladat (fizikából tudjuk) Ha v és w nem párhuzamos síkvektorok, akkor generátorrendszert alkotnak a sík vektorainak

Csoporthatások. 1 Alapfogalmak 1 ALAPFOGALMAK. G csoport hatása az X halmazon egy olyan µ: G X X leképezés, amelyre teljesül

Az elméleti fizika alapjai házi feladat

Bevezetés. 1. fejezet. Algebrai feladatok. Feladatok

KOVÁCS BÉLA, MATEMATIKA II.

Matematika A1a Analízis

1. feladatsor: Vektorfüggvények deriválása (megoldás)

Mátrixfüggvények. Wettl Ferenc április 28. Wettl Ferenc Mátrixfüggvények április / 22

Összeállította: dr. Leitold Adrien egyetemi docens

Dierenciálhányados, derivált

HÁZI FELADATOK. 1. félév. 1. konferencia A lineáris algebra alapjai

25 i, = i, z 1. (x y) + 2i xy 6.1

Analízis Dierenciálgeometria, vektoranalízis, mérték és integrálelmélet

Vektorgeometria (1) First Prev Next Last Go Back Full Screen Close Quit

Megoldott feladatok november 30. n+3 szigorúan monoton csökken, 5. n+3. lim a n = lim. n+3 = 2n+3 n+4 2n+1

Kevert állapoti anholonómiák vizsgálata

1. Folytonosság. 1. (A) Igaz-e, hogy ha D(f) = R, f folytonos és periodikus, akkor f korlátos és van maximuma és minimuma?

Lineáris Algebra. Tartalomjegyzék. Pejó Balázs. 1. Peano-axiomák

Területszámítás Ívhossz számítás Térfogat számítás Felszínszámítás. Integrálszámítás 4. Filip Ferdinánd

1. zárthelyi,

Opkut deníciók és tételek

Lie-csoportok. 1. Folytonos csoportok 1 FOLYTONOS CSOPORTOK. Kontinuum számosságú csoportok esetén elemek jellemzése valós paraméterek

Elemi matematika 3 c. gyakorlat

Lineáris leképezések (előadásvázlat, szeptember 28.) Maróti Miklós, Kátai-Urbán Kamilla

Átírás:

A Riemann-terekkel kapcsolatos fogalmak, jelölések Az R m euklideszi tér természetes bázisának az e 1 = (1, 0,..., 0),..., e m = (0,..., 0, 1) vektorokból álló bázist mondjuk. Legyen M egy összefügg nyílt halmaz R m -ben. Vegyünk egy p M pontot. Az M tér p pontbeli érint terén a T p M = {(p, v) v R m } halmazt értjük, melyen természetes módon adódik egy vektortér-struktúra. A p-beli érint térnek egy természetes bázisát adják a (p, e 1 ),..., (p, e m ) vektorok. Amennyiben fennáll v = (v 1,..., v m ), akkor (p, v) = m i=1 v i (p, e i ) teljesül. Vegyünk egy f : M R függvényt, amely C -osztályú. A (p, v) érint vektornak az f függvényen nyert értéke a p-beli v irányú derivált, azaz (p, v)(f) = D v f(p) = m i=1 v i i f(p). M térbeli sima görbén egy C -osztályú σ : I M R m leképezést értünk. A görbe t I helyen vett érint vektora σ(t) = (σ(t), σ (t)), amely a σ(t) pontbeli T σ(t) M érint térnek az eleme. Legyenek adva a g ij : M R m R (i, j = 1,..., m) C -osztályú függvények, melyekre teljesülnek azon feltételek, hogy g ij = g ji és tetsz leges p M pontban a g ij (p) értékekb l képzett G(p) szimmetrikus mátrix összes balfels sarokmátrixának a determinánsa pozitív. Eszerint ha G(p)-t egy szimmetrikus bilineáris forma mátrixának tekintjük, akkor az a bilineáris forma pozitív denit. Tekintsük a C -osztályú G : M End(R m ) leképezést az m m-es valós mátrixok End(R m ) terébe. Ezen G függvényr l azt mondjuk, hogy egy Riemann-metrikát ad az M téren. A g ij valós függvényeket a Riemann-metrika komponensfüggvényeinek nevezzük. Deníció. Az (M, G) párt egy m-dimenziós Riemann-térnek mondjuk. A továbbiakban a p pontbeli (p, v) érint vektorra a v p jelölést is alkalmazzuk. A G Riemann-metrika a T p M (p M) érint téren meghatároz egy, G : T p M T p M R skaláris szorzatot, amelynél a (p, v) = v p és (p, w) = w p vektorok skaláris szorzata v p, w p G = m m i=1 j=1 g ij(p) v i w j. A p pontbeli v p érint vektor hossza (vagy más szóval normája) a v p = v p, v p G nemnegatív érték. Az (M, G) Riemann-térbeli σ : [a, b] M sima görbe ívhosszán az l(σ) = b σ(t) dt a számot értjük. Az (M, G) Riemann-térben valamely p, q pontok d G (p, q) távolságán a két pontot összeköt szakaszonként sima görbék ívhosszainak az inmumát értjük. Ha B egy Jordan-mérhet zárt tartomány M-ben akkor a V ol(b) = B det G(u1,..., u m ) du 1... du m számot mondjuk a B térfogatának. Amennyiben N egy nyílt összefügg halmaz R n -ben, akkor deniálható egy µ : M N sima leképezés és annak az érint leképezései az M pontjaiban. A σ görbe σ(t) érint vektorának a T µ érint leképezés szerinti képe a (µ σ) (t) = (µ(σ(t)), (µ σ) (t)) vektor. Ha vesszük a p pontbeli T p µ : T p M T µ(p) N érint leképezést, akkor annak a természetes bázisokra vonatkozó mátrixa éppen a Jµ(p) Jacobi-mátrix. Legyen M egy másik nyílt összefügg halmaz R m -ben, amelyen szintén adva van egy G Riemann-metrika. A µ : M M sima leképezést izometriának mondjuk, ha µ bijektív és tetsz leges v p, w p T p M érint vektorokra fennáll v p, w p G = T µ(v p ), T µ(w p ) G. Belátható, hogy a µ : M M sima bijektív leképezés pontosan akkor izometria, ha tetsz leges p M pontban teljesül a G(p) = (Jµ(p)) T G(µ(p)) Jµ(p) mátrixegyenlet.

1. feladatsor 1) Tekintsük azt a 2dimenziós (M, G) Riemannteret, ahol M = { (u, v) R 2 v > 0 } és a G metrika komponens függvényei g 11 (u, v) = v 2, g 12 (u, v) = 0, g 22 (u, v) = v 2. Vegyük az Mbeli p = (a, b) és q = (a, c) pontokat, ahol c > b > 0. Igazoljuk, hogy a p, q pontokat összeköt legrövidebb sima görbe pályája megegyezik a két pontot összeköt R 2 beli szakasszal, és adjuk meg annak ívhosszát. 2) Vegyük az el z feladatban szerepl Riemannteret. Az R 2 síkban tekintsük azokat az inverziókat, amelyek pólusai a v = 0 egyenlet egyenesre esnek. Bizonyítsuk be, hogy amennyiben az inverzióknak az M re való lesz kítéseit vesszük, akkor ezen leképezések izometriái az (M, G) Riemanntérnek. 3) Tekintsük az 1. feladatban leírt (M, G) Riemann-teret. Legyenek p 1 = (a 1, b 1 ) és p 2 = (a 2, b 2 ) olyan pontok Mben, hogy a 1 a 2. Vegyük azt a kört az R 2 síkban, amely áthalad a p 1, p 2 pontokon és centruma a v = 0 egyenlet egyenesen van. Ez a kör messe a v = 0 egyenlet egyenest a q 1 = (c 1, 0), q 2 = (c 2, 0) pontokban. Igazoljuk, hogy az (M, G) Riemann-térben a p 1, p 2 pontokat összeköt legrövidebb görbe ívhossza ln(p 1 p 2 q 1 q 2 ), ahol (p 1 p 2 q 1 q 2 ) a köri pontnégyes kett sviszonya. (A feladat alapján a két pont távolságára fennáll d G (p 1, p 2 ) = ln(p 1 p 2 q 1 q 2 ).) 4) Vegyük az M = { (u, v) R 2 u 2 + v 2 < 1 } 2dimenziós Riemannteret, amelynél a metrikát a g 11 (u, v) = g 22 (u, v) = (1 u 2 v 2 ) 2, g 12 (u, v) = 0 függvények adják meg. Igazoljuk, hogy a q = (0, 0) pontot a p = (a, 0) (0 < a < 1) ponttal összeköt legrövidebb görbe ívhossza d G (q, p) = arth (a) = 1 ( 1 + a ) 2 ln, továbbá számítsuk 1 a ki a B = { (u, v) R 2 u 2 +v 2 < a 2 } körlemez területét az (M, G) Riemanntérben. 5) Tekintsük azt az (M, G) Riemannteret, ahol M = { (u, v) R 2 v > 2 } és a G metrika komponensfüggvényei g 11 (u, v) = (v 2) 2, g 12 (u, v) = 0, g 22 (u, v) = (v 2) 2. Vegyük továbbá R 2 ben az N = { (u, v) R 2 u 2 + (v 1) 2 < 1 } teret. Legyen a µ : R 2 R 2 leképezés az u 2 + v 2 = 4 egyenlet körre vonatkozó inverzió, amely egymásba képezi az R 2 beli M és N tartományokat. Írjuk le az N téren azt a G Riemann-metrikát, amelyre nézve µ egy izometriát ad az (M, G) és (N, G) Riemannterek között. 6) Tekintsük az S 3 szférát mint részsokaságot az R 4 euklideszi térben. R 4 beli lineáris vektormez k alkalmazásával mutassuk meg, hogy a T S 3 érint nyaláb triviális (vagyis az S 3 szféra parallelizálható). Vegyük az S 7 szférát, mint R 8 beli részsokaságot. Igazoljuk, hogy a T S 7 érint nyaláb is parallelizálható. 7) Bizonyítsuk be, hogy tetsz leges (E, π, B, F ) vektornyalábon meg lehet adni egy lineáris konnexiót. 2

2. feladatsor 1) Az M összefügg sokaságon legyen adva egy kovariáns deriválás. Vegyünk egy σ : [0, b] M sima görbét. Mutassuk meg, hogy a σ mentén vett P σ párhuzamos eltolás egy lineáris izomorzmust ad a T σ(0) M és T σ(b) M érint terek között. 2) Valamely p M pontot véve jelölje F (M, p) az olyan σ : [0, 1] M szakaszonként sima görbék halmazát, ahol σ(0) = σ(1) = p. Igazoljuk, hogy a T p M érint tér P σ (σ F (M, p)) endomorzmusai egy csoportot alkotnak, melyet most H p (M, ) val jelölünk. Mutassuk meg, hogy tetsz leges p, q M pontok esetén a H p (M, ) és H q (M, ) holonómia csoportok izomorfak. 3) A lineáris konnexióval ellátott M sokaságon legyen adott egy σ : I M sima reguláris görbe. Tekintsünk egy Y X(σ) vektormez t a σ mentén és rögzítsünk egy a I paraméterértéket. Jelölje Z τ (τ I) azt a σmenti párhuzamos vektormez t, amelyre igaz Z τ (τ) = Y (τ). Bizonyítsuk be, hogy az Y a helyen vett kovariáns deriváltjára fennáll Y (a) = σ Z t (a) Y (a) d (a)y = lim. du t a t a 4) Az M sokaságon vett lineáris konnexió legyen torziómentes. A sokaság egy p pontjában tekintsünk egy (U, ξ) normális koordináta-rendszert. Igazoljuk, hogy ekkor a térképezéshez tartozó Christoel-szimbólumok p-beli értékére teljesül Γ k i j(p) = 0 (i, j, k = 1,... m). 5) Tekintsük R 2 -ben az M = { (u, v R 2 v > 0 } nyílt félsíkot. Ezen a sokaságon vegyük azt a torziómentes kovariáns deriválást, amelynél a nem elt n Christoelszimbólumok a következ k: Γ 2 1 1(u, v) = 1 v, Γ 1 1 2(u, v) = 1 v, Γ 2 2 2(u, v) = 1 v. Vegyük a σ(t) = (t, 1) kifejezéssel leírt σ : R M sima görbét. Határozzuk meg σ mentén azt a párhuzamos Y vektormez t, amelyre igaz Y (0) = (0, 1). v 6) Legyen (U, ξ) egy térképe az (M, ) sokaságnak, és alkalmazzuk az X i = jelölést. x i Vegyük azokat az Ri l j k F(U) függvényeket, melyekkel R(X i, X j )X k = m l=1 Rl i j k X l (i, j, k = 1,..., m) teljesül. Fejezzük ki az R görbületi tenzor ezen Ri l j k komponensfüggvényeit nak az (U, ξ) térképre vonatkozó Christoelféle szimbólumaiból. 7)* Az M sokaságon legyen adott egy olyan lineáris konnexió, amelynek görbületi tenzora elt nik (azaz R = 0). Bizonyítsuk be, hogy ekkor tetsz leges v T p M (p M) érint vektor esetén a p pontnak valamely U nyílt környezetén megadható egy olyan Y X(U) vektormez, amelyre teljesül Y = 0 és Y (p) = v. 3

3. feladatsor 1) Az M sokaságon tekintsünk egy g Riemannmetrikát és a neki megfelel Levi- Civita kovariáns deriválást. Vegyünk egy pozitív f F(M) függvényt. Legyen g az a Riemann metrika, amelynél fennáll g = f 2 g, és az ennek megfelel Levi-Civita lineáris konnexiót jelölje. Tekintsük a két kovariáns deriválás P különbségtenzorát, amelyet a P (X, Y ) = X Y X Y egyenlet ír le tetsz leges X, Y X(M) vektormez kre. Adjunk egy egzakt kifejezést a P tenzorra a g metrika és az f függvény alkalmazásával. 2) Az M dierenciálható sokaságon legyen adott egy Y vektormez, amely nem t nik el a p M pontban. Bizonyítsuk be, hogy ekkor van olyan ξ térképezés a p pont valamely U nyílt környezetén, amelynél az els bázisvektormez vel fennáll x = Y U. 1 3) Tekintsük az R 2 euklideszi síkon az Y = u 1 u + 1 u2 és Z = u2 u2 u + 1 u1 u 2 vektormez ket. Írjuk le az Y és Z vektormez k maximális folyamát, azaz az általuk generált R 2 beli 1paraméteres transzformációcsoportot. 4) Az M dierenciálható sokaságon legyenek adva az Y, Z vektormez k. Egy p pont egy megfelel U környezetén legyen φ : ( ε, ε) U M az Y mez egy lokális folyama, és ennek a t ( ε, ε) pillanatbeli stádiumát jelölje ϕ t. Igazoljuk, hogy a két mez 1( Lie-zárójelének pbeli értékére fennáll [Y, Z] p = lim T ϕ t (Z(ϕ t (p))) Z(p) ). t 0 t 5) Legyen G egy olyan összefügg Lie-csoport, amelyen megadható egy, biinvariáns Riemann-metrika. Eszerint tetsz leges h G esetén az L h, R h : G G eltolások egyaránt izometriák. Bizonyítsuk be, hogy ekkor tetsz leges X, Y, Z L(G) balinvariáns vektormez kre teljesül [X, Y ], Z + Y, [X, Z] = 0. (Egy X mez akkor balinvariáns, ha igaz T L h X = X L h, h G.) 6) Legyen G egy olyan összefügg Lie-csoport, amelyen megadható egy, biinvariáns Riemann-metrika. Tekintsük a metrikából nyert Levi-Civita lineáris konnexiót a G sokaságon. Igazoljuk, hogy tetsz leges X, Y L(G) balinvariáns vektormez kre fennáll X Y = 1 [X, Y ]. Mutassuk meg, hogy a G Lie-csoporthoz tartozó exponenciális leképezés a T e G érint téren megegyezik a kovariáns deriválás exponenciális 2 leképezésével. 7) Tekintsük R m -ben az M = { (v 1,..., v m ) R m v m > 0 } nyílt félteret. Ezen a sokaságon vegyük a természetes térképezést, amelynek koordináta-függyvényei u 1,..., u m. Legyen g az a Riemann-metrika, amelynél a (térképezéshez tartozó) komponens 1 függvényekre teljesül g ij = δ ij (u m ), vagyis g 1 ij(v 2 1,..., v m ) = δ ij (v m ). Igazoljuk, 2 hogy a görbületi tenzorra bármely X, Y, Z X(M) vektormez k esetén fennáll R(X, Y )Z = g(x, Z) Y g(y, Z) X. 4

4. feladatsor 1) Legyen adva egy olyan G összefügg Lie-csoport, amelyen megadható egy, biinvariáns Riemann-metrika. Vegyük a metrikából nyert Levi-Civita lineáris konnexiót a G sokaságon. Igazoljuk, hogy a görbületi tenzorra tetsz leges [ ] X, Y, Z L(G) balinvariáns vektormez kkel fennáll R(X, Y )Z = 1 4 [X, Y ], Z. Mutassuk meg azt is, hogy a G Riemann-sokaságon a (síkállásokhoz tartozó) szekcionális görbületek nem-negatívak. 2) Legyen adott egy 3-dimenziós összefügg M Einstein-sokaság. Eszerint a Ricci tenzor és a metrikus tenzor között fennáll a Ric = λ g összefüggés egy λ F(M) függvénnyel. Igazoljuk, hogy az M sokaság konstans görbület. 3) Az R m+1 euklideszi térben vegyük 1 sugarú S m szférát, és tekintsük a szférán az indukált Riemann-metrikát. Bizonyítsuk be, hogy ekkor S m egy konstans görbület tér, és a konstans szekcionális görbület értéke 1. 4) Az (N, g) befoglaló Riemann-sokaságban legyen adott két olyan részsokaság M 1 és M 2, amelyek érintkeznek egy γ : I N görbe mentén, azaz tetsz leges t I esetén fennáll T γ(t) M 1 = T γ(t) M 2. Legyenek Z 1 : I T M 1 és Z 2 : I T M 2 olyan párhuzamos vektormez k γ mentén az M 1, M 2 sokaságokhoz, melyekre valamely t 0 I helyen fennáll Z 1 (t 0 ) = Z 2 (t 0 ). Igazoljuk, hogy ekkor teljesül Z 1 = Z 2. 5) Az R 3 -beli r sugarú S gömbfelületen vegyünk egy ϱ (ϱ r) sugarú gömbi kört. Egy gömbi érint vektort toljunk el párhuzamosan ezen kör mentén. Vegyük a kiindulási vektor és az eltolással nyert vektor hajlásszögét. Milyen összefüggés áll fenn ezen szög és a gömbi kör által határolt gömbsüveg felszíne között? 6)* Legyen adva egy biinvariáns Riemann-metrikával ellátott G összefügg Lie-csoport. Bizonyítsuk be, hogy ekkor G egy szimmetrikus Riemann-tér. (Egy összefügg M Riemann-sokaságot akkor mondunk szimmetrikus térnek, ha tetsz leges p M ponthoz van olyan s p : M M involutív izometria, amelynek a p egy izolált xpontja.) 7)* Legyen adott egy M Riemann-sokaság az, metrikával. Igazoljuk, hogy tetsz leges p pontnak egy megfelel U nyílt környezetén megadhatóak olyan ortonormált Z 1,..., Z m vektormez k, amelyekre fennáll Zi (p)z j = 0 (i, j = 1,..., m). 8)* Legyen adott egy olyan m-dimenziós összefügg M Einstein-sokaság, ahol m 4. Mint ismeretes, a Ricci tenzor és a metrikus tenzor között teljesül a Ric = λ g összefüggés egy λ F(M) függvénnyel. Igazoljuk, hogy a λ függvény konstans. 5

5. feladatsor 1) Legyen adott egy M Riemannsokaság, amelynek szekcionális görbülete állandó. Jelölje κ a konstans görbületet. Vegyünk egy olyan γ : I M normális geodetikust, ahol 0 I. Írjuk le azon Z Jacobi-mez ket a γ mentén, melyekre fennáll Z (0) = 0. 2) Legyen adva egy olyan összefügg M Riemann-sokaság, amelynek a szekcionális görbületei nempozitívak. Igazoljuk, hogy bármely p M pontot is vesszük, annak T p M érint terében nincs konjugált pont. 3) Legyen adott egy olyan M Riemannsokaság, amelynek görbületi tenzora párhuzamos, azaz fennáll R = 0. Vegyünk egy γ : I M reguláris geodetikust. A γ(t 0 ) = p pontbeli e T p M vektor legyen egy sajátvektora az R γ(t0 ) : T p M T p M Jacobioperátornak a λ sajátértékkel. Tekintsük azt a E párhuzamos vektormez t γ mentén, amelyre fennáll E(t 0 ) = e. Igazoljuk, hogy ekkor teljesül R(E(t), γ(t)) γ(t) = λ E(t) tetsz leges t I helyen. 4)* Az R n (n 3) téren vegyük azt a g szemiriemannmetrikát, amelynek az (R n, id) térképre vonatkozó konstans komponensfüggvényei a következ k: g ii = 1 (i = 1,..., n 1), g nn = 1, továbbá g kl = 0 amennyiben k l. Tekintsük R n ben az M = { (x 1,..., x n ) R n n 1 i=1 (x i) 2 (x n ) 2 + 1 = 0, x n > 0 } részsokaságot és a megfelel ι : M R n injekciót. Mutassuk meg, hogy a g = ι g tenzormez egy Riemann-metrikát ad az M en. Bizonyítsuk be, hogy az (M, g) Riemannsokaság szekcionális görbülete állandó és ennek értéke 1. 5)* Az R m+1 euklideszi térben legyen adott egy M sima elemi hiperfelület az r : D R m+1 paraméterezéssel. Vegyük ezen az euklideszi tért l örökölt Riemannmetrikát. Egy p M pontbeli T p M érint térben vegyünk egy olyan v 1,..., v m ortonormált bázist, amelynek elemei a Weingarten-leképzezésnek sajátvektorai, és a megfelel f görbületek legyenek κ 1,..., κ m. Igazoljuk, hogy a v i, v j (i j) vektorokkal meghatározott síkállás szekcionális görbületére fennáll K(v i, v j ) = κ i κ j. 6)* Legyen adott egy olyan M összefügg Riemann sokaság, amelynek a görbületi tenzora párhuzamos, azaz fennáll R = 0. Bizonyítsuk be, hogy ekkor az M egy lokálisan szimmetrikus tér. 7)* Tekintsünk egy R 3 beli M sima elemi felületet és annak egy p pontját. Egy r > 0 értéknél a B r (p) = { q M d M (p, q) r } ponthalmazt a p középpontú r sugarú felületi körlemeznek mondjuk és ennek felszínét most A(B r (p))vel jelöljük. Bizonyítsuk be, hogy a felület pbeli K p Gaussgörbületére fennáll r 2 π A(B r (p)) K p = 12 lim. r 0 r 4 π 6

6. feladatsor 1) Legyen adva egy olyan G összefügg Lie-csoport, amelyen megadható egy, biinvariáns Riemann-metrika. Vegyük a metrikából nyert Levi-Civita lineáris konnexiót a G sokaságon. Igazoljuk, hogy az R görbületi tenzor párhuzamos, azaz fennáll R = 0. 2) Legyen adott egy M Riemann-sokaság, amelyen, jelöli a metrikus tenzort. Vegyünk egy γ : [0, β] M geodetikust, ahol γ(0) = p és γ(0) = v. Tekintsük γ mentén azt a J : [0, β] T M Jacobi-mez t, amelyre fennáll J(0) = 0 és J (0) = w valamely w T p M egységvektorral ( w = 1). Vegyük az f(t) = J(t), J(t) összefüggéssel értelmezett f függvényt. Igazoljuk, hogy az f-nek a 0 helyen vett deriváltjaira fennállnak az alábbi egyenl ségek: f (0) = 0, f (0) = 2, f (0) = 0, f (4) (0) = 8 R(w, v)v, w. 3) Az el z feladatban szerepl J Jacobi-mez t felhasználva vegyük a h(t) = J(t) kifejezéssel deniált h : [0, β] R függvényt. Bizonyítsuk be, hogy a h függvény deriváltjaira fennállnak az alábbi egyenl ségek: h (0) = 1, h (0) = 0, h (0) = R(w, v)v, w. 4)* Az összefügg M Riemann-sokaságon legyen adva egy γ : [0, β] M geodetikus. Tekintsünk γ mentén egy olyan J Jacobi-mez t, amelyre fennáll J(0) 0. Igazoljuk, hogy megadható a γ-nak egy olyan µ : [0, β] ( ε, ε) M geodetikus variációja, amelynél az Y = T µ D 2 vektormez re teljesül Y γ = J. 5)* Legyen adott egy M összefügg Riemann-sokaság, amelyen, jelöli a metrikus tenzort. Tekintsük a Levi-Civita kovariáns deriválásnak megfelel K : T (T M) T M konnexió leképezést és az S X(T M) spray-mez t. A T M érint nyalábon vegyük azt a g Riemann-metrikát, amelyre tetsz leges X, Ỹ X(T M) vektormez k esetén fennáll g( X, Ỹ ) = T π X, T π Ỹ + K X, K Ỹ. Bizonyítsuk be, hogy ekkor az S spray-mez integrálgörbéi a T M Riemann-sokaságnak geodetikus görbéi. 7