MODELLEZÉS - SZIMULÁCIÓ

Mechatronika = Mechanikai elemek+ elektromechanikai átalakítók+ villamos rendszerek+ számítógép elemek integrációja Eszközök, rendszerek, gépek és szerkezetek felügyeletére, vezérlésére (manapság miniatürizált) MODELLEZÉS - SZIMULÁCIÓ 1

1 Merev testek kinematikája 1.1 Mozgásleírás adatokkal 6 szabadságfok pl. 3 pozíció, 3 szög 1. Forgatás térben 1..1 Euler szögek z-x-z konvenció: α az x tengely és az N csomóvonal közötti szög (z körül). β a z tengely és a Z tengely közötti szög (x körül). γ az X tengely és az N csomóvonal közötti szög (z körül). R = cosα sin α 0 sin α cos α 0 0 0 1 1 0 0 0 cos β sin β 0 sin β cos β 1.. Y-P-R z-y-x konvenció: α a z tengely körül - Yaw fordul γ az y tengely körül - Pitch - bukdácsol β az x tengely körül - Roll - dülöngél Térbeli pozíciót ír le (R) Minden pozíció leírható - probléma a sorrend rögzíteni kell - nem mindig egyértelmű cosγ sin γ 0 sin γ cos γ 0 0 0 1

1.. Rodrigues képlet Bármely r vektort elforgatja α szöggel az origón átmenő w tengely körül r -be. (abs(w)=1) r r r r r w φ w r α r w r r = r = w (w r) r = r r = r w (w r) w r w r abs w r = abs w abs r sin(φ) abs w r = abs w abs r abs r = abs r sin φ abs w r = abs w abs r sin(φ) α r r = r + r = r cosα + w r sinα + w w r r = r = r w (w r) cosα + w r sinα + w w r r = r cosα + w r sinα + w w r 1 cosα 3

w = w 1, w, w 3 W = 0 w 3 w w 3 0 w 1 w w 1 0 W r = w r r = r cosα + w r sinα + w w r 1 cosα k i w 1 r 1 j w r k w 3 r 3 r = r cosα + W r sinα + w w r 1 cosα r = r + W r sinα + w w r r 1 cosα w w r r w w = w w r a b c = b a c c a b Lagrange formula a b: = w c: = r w w r r = W r r = r + W r sinα + W r 1 cosα r = R r R = I + W sinα + W 1 cosα A forgatási mátrix 4

1..3 Kvaternió - Komplex számok általánosítása q = s, x, y, z = s, v = s + x i + y j + z k q 1 + q = s 1 + s, x 1 +x, y 1 + y, z 1 + z α q = α s, α x, α y, α z q = s + x + y + z s, v t, w = s t v w, s w + t v + v w q = s, v q q 1 = 1,0,0,0 q 1 = s, v q i j = k, j k = i, k i = j jobbsodrású j i = k, k j = i, i k = j 5

Forgatás w tengely körül (abs(w)=1) szöggel forgat a 0, v elforgatott = q 0, v q 1 q = cos α, w sin α x z α v elforgatott y v A forgatás mátrixa v elforgatott = x y z = R v = r 11 r 1 r 13 r 1 r r 3 r 31 r 3 r 33 x y z q = cos α, w sin α 0, r 11, r 1, r 31 = q 0, 1,0,0 q 1 0, r 1, r, r 3 = q 0, 0,1,0 q 1 0, r 13, r 3, r 33 = q 0, 0,0,1 q 1 6

Példa 1 w = 0,0,1 q = cos π, w sin π α = π = 0, w = 0, 0,0,1 x w z α x y q = s + x + y + z = 1 q 1 s, v = q = 0, w = 0, 0,0, 1 x = 1,1,0 x = 0, w 0, 1,1,0 0, w = = 0, 0,0,1 * 0, 1,1,0 * 0, 0,0, 1 i j k 0 0 1 1 1 0 0, 1,1,0 x = 0, 1, 1,0 i j k 1 1 0 0 0 1 0, 1, 1,0 s, v t, w = s t v w, s w + t v + v w 7

Példa w z q = cos π, w sin π = 0, w = 0, 0,0,1 q 1 s, v = q = 0, w = 0, 0,0, 1 0, r 11, r 1, r 31 = q 0, 1,0,0 q 1 0, r 1, r, r 3 = q 0, 0,1,0 q 1 0, r 13, r 3, r 33 = q 0, 0,0,1 q 1 s, v t, w = s t v w, s w + t v + v w x α v y 0, r 11, r 1, r 31 = 0, 0,0,1 0, 1,0,0 0, 0,0, 1 i j k 0 0 1 1 0 0 0, 0,1,0 i j k 0 1 0 0 0 1 0, 1,0,0 0, r 1, r, r 3 = 0, 0,0,1 0, 0,1,0 0, 0,0, 1 i j k 0 0 1 0 1 0 0, 1,0,0 i j k 1 0 0 0 0 1 0, 0, 1,0 0, r 13, r 3, r 33 = 0, 0,0,1 0, 0,0,1 0, 0,0, 1 i j k 0 0 1 0 0 1 0, 0,0,0 i j k 0 0 0 0 0 1 0, 0,0,0 R v = 1 0 0 0 1 0 0 0 0 1 1 0 = 1 1 0 8

1.3 A mozgást leíró adatok Állapottér modell (mechatronikai) Pozíció r Sebesség v Gyorsulás a Szögsebesség ω Szöggyorsulás β z r c C ω ρ P r p = r c + ρ v p = v c + ωxρ a p = a c + βxρ x y 9

1.4 Gép - merev testek összekapcsolása kényszerekkel Kényszerek : csapágy, vezeték, y 0 q fogaskerék 1.4.1 Homogén koordináták D z (λx,λy,λ) 1 (x,y,1) y x, y x, y, 1 q 1 q 3 x, y, z x, y, 1 perspektív geometria z z x 0 x Az eltolás T x y x + a y + b 1 0 a 0 1 b 0 0 1 x y 1 = x + a y + b 1 10

3D x, y, z x, y, z, 1 x, y, z, w x w, y w, z w, 1 Perspektív transzformáció y η P y P Π y P k z x d z x z d, y z y d z d, d,1 x, y, z, z d C O Π x x P xy s ξ P x 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 z d x y z 1 11

1.4. Robotelemek csatolása - Denavit-Hartenberg transzformáció Az ízületek: Csúszó Forgó α i- a i-1 z i-1 y i-1 x i-1 b i a i ϴ i y i z i x i α i z i-1 tengely az i. ízület forgás- vagy csúszó tengelye. x i-1 tengely a z i-1 és a z i tengely közös normálisában Az i. koordináta-rendszer origója a z i-1 és a z i közös normálisa és a z i metszéspontja Párhuzamos forgástengelyek esetén a normális a megelőző ízülethez rendelt koordináta-rendszer origóján halad át. Egymást metsző tengelyeknél a koordináta-rendszer origója a tengelyek metszéspontja, az x i tengely irányultsága pedig a (z i-1 xz i ) vektoriális szorzattal párhuzamos. α i-1 1

*Csavar mozgás = *(elmozdulás + elfordulás) z i-1 y i-1 x i-1 a i y i z i x i Elmozdulás z i-1 mentén b i -vel H b i = 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 1 b i 0 0 0 1 Elfordulás z i-1 körül ϴ i szöggel H θ i = Elmozdulás x i-1 mentén a i -vel cosθ i sinθ i 0 0 sinθ i cosθ i 0 0 0 0 1 0 0 0 0 1 α i- a i-1 b i α i-1 ϴ i α i H a i = Elfordulás x i-1 körül α i -vel H α i = 1 0 0 a i 0 0 1 0 0 1 0 0 0 0 0 1 1 0 0 0 0 cosα i sinα i 0 0 sinα i cosα i 0 0 0 0 1 Csukló Csúszka cosθ i sinθ i cosα i sinθ i sinα i a i cosθ i sinθ H b i H θ i H a i H α i = i cosθ i cosα i cosθ i sinα i a i sinθ i 0 sinα i cosα i b i 0 0 0 1 cosθ i sinθ i cosα i sinθ i sinα i 0 sinθ H b i H θ i H α i = i cosθ i cosα i cosθ i sinα i 0 0 sinα i cosα i b i 0 0 0 1 13

1.4.3 Általános koordináták Mozgásleírás egyéb általános koordinátákkal (pl. relatív szöghelyzet) q i (t) i=1..n Egyértelmű kapcsolat a fizikai koordinátákkal. r p = r p (q) p=1..n 1.4.4 Általános sebesség Összetett függvény deriválása, Jacobi mátrix. v p = dr p n dt = k=1 r p dq k q k dt p = 1.. n v = J q = r 1 q 1 r 1 q n r n q 1 r n q n q 1 q n 14

, cos cos x l l 1 1 1 1, sin sin y l l 1 1 1 1, d x, d x x 1 1 1 d dt dt dt 1, d y, d y y 1 1 1 d dt dt dt 1 x d x x 1, 1, d 1 dt dt dy y y dt dt 1 1, 1, d v = J φ 1 15

Dinamikai egyenletek.1 Newton-Euler egyenletek r c = v c.1.1 Newton.1. Euler Perdület v c = a c Inercia tenzor Θ = m v c = F = L = m r x v L = Θ ω I xx I xy I xz I yx I yy I yz I zx I zy I zz F i Tömegpont Merev test x I xx = y + z ρ x, y, z dxdydz I yy = I zz = z V V V x + z ρ x, y, z dxdydz x + y ρ x, y, z dxdydz I xy = I yx = xy ρ x, y, z dxdydz I xz = I zx = r c V V e 1 C ρ e ω e 1 P y xz ρ x, y, z dxdydz I yz = I zy = yz ρ x, y, z dxdydz Szimmetrikus V valós sajátérték, sajátvektor (tehetetlenségi főtengelyek) 16

pl. főtengely kr.-ban L c = I c ω = I 1c ω 1 e 1 + I c ω e + I 3c ω 3 e 3 Euler egyenlet L c = M c Newton-Euler egyenletek 6 szabadságfok 6 másodrendű lineáris differenciálegyenlet m v c = F = F i L c = M c Főtengely kr.-ban (a forgó koordinátarendszer miatt) M 1c = I 1c ω 1 + I 3c I c ω ω 3 M c = I c ω + I 1c I 3c ω 3 ω 1 M 3c = I 3c ω 3 + I c I 1c ω 1 ω 17

.1.3 Példa, kettős inga Θ = m 1 l 1 + m l Θ q = m 1 g l 1 sin q m g l sin q c sgn Θ q + c sgn L c = M c Elhanyagolás m R m 1 ; m R m I. Nem lineáris - Coulomb surlódás L = Θ ω q m 1 g l 1 m g l sin q = 0 q m 1 l1 q m R q+ M+ l mm g II. Lineáris - kis elmozdulás, viszkózus surlódás sin q ~ q c sgn q ~μ Θ Θ q + μ q III. Surlódásmentes q m 1 g l 1 m g l q = 0 q m 1 g l 1 m g l q = 0 18

.1.3.1 A lineáris, surl.mentes egyenlet zárt alakú megold. (III) Θ q t q m 1 g l 1 m g l q = 0 = e rt Θ r m 1 g l 1 m g l = 0 r 1, = ± m 1 g l 1 m g l Θ m 1 l 1 < m l ω r = m 1 g l 1 m g l Θ e r 1 t = e +iω r t = cos ω r t q t = c 1 cos ω r t + c sin ω r t + i sin ω r t e r t = e iω r t = cos ω r t i sin ω r t r 1 t = er 1 t r +e t = cos ω r t r t = er 1 t r e t = sin ω i r t 19

.1.3. A lineáris, viszkózus surl. egy. zárt alakú megold. (II) Θ q + μ q m 1 g l 1 m g l q = 0 q t = e rt Θ r + μ r m 1 g l 1 m g l = 0 r 1, = μ ± μ + 4 I m 1 g l 1 m g l Θ μ + 4 Θ m 1 g l 1 m g l < 0 ρ = μ Θ ω r = 4 I m g l m 1 g l 1 μ Θ 0

e r 1 t = e ρ t+iω r t = e ρ t cos ω r t + i sin ω r t e r t = e ρ t iω r t = e ρ t cos ω r t i sin ω r t r 1 t = er 1 t r +e t = e ρ t cos ω r t r t = er 1 t r e t = e ρ t sin ω i r t q t = c 1 e ρ t cos ω r t + c e ρ t sin ω r t 1

.1.3.3 A nem lineáris surl.mentes egyenlet szétválasztható Θ q m 1 g l 1 m g l sin q = 0 Legyen ismeretlen függvény az ω(t)! ω = q = dq dt q = d q dt = dω dt = dω dq dq dt = dω dq ω dω dq ω = m 1 g l 1 m g l Θ ω = dq dt sin q

ω ω dω = m 1 g l 1 m g l Θ = m g l m 1 g l 1 Θ cos q + c 1 ω = ± m g l m 1 g l 1 cos q Θ sin q dq + c 1 dq dt = ± m g l m 1 g l 1 cos q Θ + c 1 ± Θ m g l m 1 g l 1 cos q + Θ c 1 dq = dt? ± Θ m 1 g l 1 m g l cos q + Θ c 1 dq = t + c 3

.1..4 A nem lineáris Coulomb surlódásos egyenlet Θ q + c sgn q m 1 g l 1 m g l sin q = 0 p = q q = p p = m 1 g l 1 m g l sin q c sgn p Θ? 4

. Numerikus megoldások..1 Numerikus deriválás integrálás..1.1 Az első deriváltak közelítése y n 1 y n f x = y n y n 1 x n x n 1 (x x n 1 ) + y n 1 x n 1 x n h = x n x n 1 df(x) dx y n y n 1 h 5

..1. Az első derivált másodrendű közelítése Lagrange féle súlyfüggvények f x = y n 1 x x n x x n+1 x n 1 x n x n 1 x n+1 + y n 1 y n y n+1 y n x x n 1 x x n+1 x n x n 1 x n x n+1 + x n 1 x n x n+1 y n+1 x x n 1 x x n x n+1 x n 1 x n+1 x n f x = f i s i (x) df x n dx = y n 1 x n (x n +x n+1 ) x n 1 x n x n 1 x n+1 + i y n x n (x n 1 +x n+1 ) x n x n 1 x n x n+1 + y n+1 x n (x n 1 +x n ) x n+1 x n 1 x n+1 x n 6

df x n dx = y n 1 x n (x n +x n+1 ) +y x n 1 x n x n 1 x n x n (x n 1 +x n+1 ) +y n+1 x n x n 1 x n x n+1 n+1 x n (x n 1 +x n ) x n+1 x n 1 x n+1 x n df x n dx = y n 1 x n x n+1 x n 1 x n x n 1 x n+1 + y n y n+1 x n x n 1 +x n x n+1 x n x n 1 x n x n+1 + x n x n 1 x n+1 x n 1 x n+1 x n h = x n x n 1 =x n+1 x n y n 1 y n y n+1 x n 1 x n x n+1 Az első derivált másodrendű közelítése df x dx = y n+1 y n 1 h Hiba a Taylor polinom maradéktagja Ο(h n ) g=numdiff(fun,x [,dx]) fun - SciLab függvény x - a függvény független változója (vektor) dx - a differencia vektor g - a közelítő gradiens (derivált) 7

..1.3 Kvadratúrák (területszámítás szóból ered) h (f i + f i+1 ) trapéz Elsőfokú interpoláció. A hiba: h3 1 f (ξ) Simpson Newton 3/8 h (f i 1 + 4 f i + f i+1 ) Másodfokú interpoláció Illetve súlyozott átlag. A hiba: a középpont trapéz m = h f x i t = h I i = m+t 3 Harmadfokú interpoláció. A hiba: 3 f x i 1 +f x i+1 h 5 880 f (ξ) 3 h (f i + 3 f i+1 + 3 f i+ + f i+3 ) h 5 6480 f (ξ) 8 8

inttrap([x,] y) Mérési adatok integrálása trapéz szabállyal x - növekvő független változók vektora (def:1:size(y,'*') matrix 1*m) y - a függő (mért változók) integrate("fvstr","valtstr",tol,ig[,ah[,rh]]) Definiált függvény (fvstr) integrálása kvadratúrával valtstr - a változó az fv-ben ah - abszolút hibahatár (def: 1.e-8 ) rh - relatív hibahatár (def:1.e-14) intg(tol,ig,fv) Külső függvény (fv) integrálása kvadratúrával intsplin([x,] y) Mérési adatok integrálása spline interpolációval x - növekvő független változók vektora (def: 1:size(y,'*') y - a függő (mért változók) deff("y=f(x)", "y=sin(x)") inx=integrate("f(x)","x",0,6.8) disp (inx) 0.0000051 9

.. Differenciálegyenletek megoldása...1 Sorozatos közelítés (Szukcesszív approximáció) dy i dx = f i x, y 1, y y n i = 1,, n y i x 0 = y i,0 kezdeti feltétel dy i = f i x, y 1, y y n dx y i (x) dy i = y i,0 x 0 y i x y i,0 = y i x = y i,0 + x f i x f i x 0 x f i x 0 x, y 1, y y n dx x, y 1, y y n dx x, y 1, y y n dx 30

y i x 0 = y 0 y i,m x = y i,0 + x x 0 y i x = y i,0 + f i x, y 1,m 1, y,m 1 y n,m 1 dx x x 0 f i x, y 1, y y n dx Ha K x0,y i,0 környezetben f i εc 0 Ha f i x, y 1, y y n < M és K > 0 folytonos f i x, y 1 + y 1, y + y, y n + y n K y 1 + y + + y n Lipschitz y i,m x x = y i,0 + fi x0 ξ, y 1,m 1 ξ, y n1,m 1 ξ dξ y i,0 x y i,0 31 Abszolút és egyenletesen konvergál az y i x megoldáshoz Ο(h n )

Példa dy = y y 0 = 1 kezdetiérték feladat dx y 0 (x) 1 x y 1 x = 1 + 1dx = 1 + x y x = 1 + y 3 x = 1 + y n x = 1 + 0 x 0 x 0 0 1 + x dx = 1 + x + x 1 + x + x y i,m x = y i,0 + x0 x fi ξ, y 1,m 1 ξ, y n1,m 1 ξ dξ y i,0 x y i,0 dx = 1 + x + x + x3 3 x y n 1 x dx = 1 + x + x + + xn n! ex Az e x Taylor sora a 0 körül 3

... Euler-Cauchy féle törtvonal módszer y(t) = f t, y y t 0 = y 0 t i = t 0 + i h y i = y t i y t i y i+1 y i h = f t i, y i y i+1 = y i + h f t i, y i y f(t) t 33

...1. Első javítás f i = f t i, y i Prediktor-korrektor módszerek y i+1 = y i + h f i t i, y i y i+1 y i+1 első közelítése f i+1 = f t i+1, y i+1 itt f i+1 f korrigált értéke y i+1 = y i + h f i + f i+1 y f(t) t 34

... Második javítás y i+1 (0) = y i + h f t i, y i f többször is korrigálható y (k) i+1 = y i + h f t i, y i + f t i+1, y k 1 i+1 k = 1, m ameddig y (m) i+1 y (m+1) i+1 > ε 35

...3. Például Euler-Cauchy dy = y y 0 = 1 h = 0.1 ex dx y 0 = 1 y 1 = y 0 + h y 0 = 1 + 0.1 1 = 1.1 1.105 y = y 1 + h y 1 = 1.1 + 0.1 1.1 = 1.1 1.14 y 3 = y + h y = 1.1 + 0.1 1.1 = 1.331 1.3499 y 4 = y 3 + h y 3 = 1.331 + 0.1 1.331 = 1.4641 1.4918...4. Euler-Cauchy 1.javítás y 0 = 1 y 1 = y 0 + h y 0 = 1 + 0.1 1 = 1.1 y 1 = y 0 + h y 0 + y 1 = 1 + 0.1 1 + 1.1 = 1.105 1.105 y = y 1 + h y 1 = 1.105 + 0.1 1.105 = 1.155 y = y 1 + h y 1 + y 1.105 + 1.155 = 1.105 + 0.1 = 1.1 1.14 y 3 = y + h y = 1.1 + 0.1 1.1 = 1.3431 y 3 = y + h y + y 3 1.1 + 1.3431 = 1.1 + 0.1 = 1.3431 1.3499 36

...3 Runge-Kutta féle módszer RK4 y = f t, y y t 0 = y 0 t i = t 0 + i h k 1 (i) = h f k (i) = h f k 3 (i) = h f k 4 (i) = h f t i, y i y i = y t i t i + h, y i + k 1 (i) t i + h, y i + k (i) (i) t i + h, y i + k 3 y i+1 = y i + 1 6 k 1 (i) + k i + k 3 i + k 4 (i) ha f C 5 hiba = θ h 5 37

...3.1 Explicit Runge-Kutta (i) y i+1 = y i + h b j k j s j=1 k (i) 1 = h f t i, y i k (i) = h f (i) t i + c h, y i + a,1 h k 1 k (i) 3 = h f k s (i) = h f Butcher tábla t i + c 3 h, y i + a 3,1 h k 1 i t i + c s h, y i + a s,1 h k 1 i + a 3, h k i + a s, h k i 0 c a,1 c 3 a 3,1 a 3, c s a s,1 a s, a s,s-1 b 1 b b s-1 b s RK4 0 1/ 1/ 1/ 0 ½ 1 0 0 1 1/6 1/3 1/3 1/6 + + a s,s 1 h k s 1 i i 1 j=1 s a i,j = c i b i = 1 i =,, s j=1 38

...3. Például RK4 y = f t, y 0 1/ 1/ 1/ 0 ½ 1 0 0 1 1/6 1/3 1/3 1/6 y t 0 = y 0 t i = t 0 + i h k (i) 1 = h f t i, y i k (i) = h f k 3 (i) = h f k 4 (i) = h f t i + h, y i + k 1 (i) t i + h, y i + k (i) (i) t i + h, y i + k 3 dy y dx = y y 0 = y i+1 = y i + 1 6 0 h = 0.1 e x t 0 = 0 y 0 = 1 k (0) 1 = h y 0 = 0.1 k (0) = h (y 0 + k 1 0 ) = 0.105 k (0) 3 = h (y 0 + k 0 ) = 0.105 k 4 0 = h (y 0 +k 0 3 ) = 0.105 t 1 = 0,1 y 1 = 1 + 1 0.1 + 0.105 + 0.105 + 0.105 = 1.104 1.105 6 k (1) 1 = h y 1 = 0.1104 k (1) = h (y 1 + k 1 1 ) = 0.1159 k (1) 3 = h (y 1 + k 1 ) = 0.116 k 4 0 = h (y 0 +k 0 3 ) = 0.1 k 1 (i) + k i + k 3 i + k 4 (i) t 1 = 0, y = 1.105 + 1 0.1104 + 0.1159 + 0.116 + 0.1 = 1.13 1.14 6 39

..3 A nem lineáris Coulomb surlódásos egyenlet Θ q + c sgn q m 1 g l 1 m g l sin q = 0 q = p p = m 1 g l 1 m g l sin q c sgn p Θ y=ode([mstr,]y0,t0,t,f) mstr - opcionális - rkf speciális Runge-Kutta y0 - valós vektor (matrix) a kezdeti értékek t0 - valós a kezdő idő t - valós vektor az időpontok a számításhoz f - a bal oldal függvénye. function dpq=f(t, x) m1=1; m=; l1=1; l=; g=9.81; teta=9; c=0.; dpq(1) = x() //q=x(1), p=x() dpq() =((m1*g*l1-m*g*l)*sin(x(1))-c*sign(x()))/teta; endfunction t = 0:0.01:4*%pi ; y=ode ("rkf", [ 0 ; -1/], 0, t, f ) ; plotd(t', y(1,:)); Mm m 1 l 1 l m R q g ode.sci 40

.3. Variációszámítás.3.1. A funkcionál fogalma X tetszőleges halmaz f: X R leképezés funkcionál.3.. Variációszámítás fogalma Y speciális feltételeket kielégítő függvények f: Y R leképezéseivel foglalkozik. Legyen Φ y(x) = x1 x f x, y x, dy(x) dx y y 1 dx x 1 x y x 1 = y 1, y x = y dy(x) pl. = dx f x (x, y x ) x1 Keressük azon y x peremeket kielégítő függvényt, melyre Φ y(x) = extrémális (minimális) dy(x) dx f (x, y x ) dx 41

.3.3. Az Euler-Lagrange féle differenciálegyenlet Segédtétel F x C 0 x 1,x és tetszőleges η x C 1 x 1,x és η x 1 = η x = 0 x Ha akármilyen η x esetén x1 F(x) η x dx = 0 akkor F x 0 Keressük az y(x) peremeket kielégítő függvényt! x Φ y(x) = x1 f x, y x, y x dx és y x 1 = y 1, y x = y ami extrémálissá teszi az integrált Legyen Y(x) a peremeket kielégítő Y x = y x + ε η x, Y x 1 = y 1, Y x = y, η x 1 = η x = 0 alakú, így Y x = y x + ε η x így Φ ε x = x1 f x, Y x, Y x extrémum, ha derivált minimális az ε = 0 helyen dφ(ε) dε ε=0 = 0 y y 1 x dx = x1 f x, y x + ε η x, y x + ε η x x 1 x 1 η(x) y(x) x x 4 dx

dφ(ε) dε dφ(ε) dε ε=0 ε=0 = = x x 1 x x 1 f Y Y ε + f Y Y ε f y Y x = y x + ε η x Y x = y x + ε η x Φ Y(x) = dx ε=0 = 0 Y = η x, Y = ε ε η x, η x + f y η x dx = 0 x f x, Y x, Y x dx x 1 f = f, Y ε=0 y dφ(ε) dε f = f Y ε=0 y ε=0 = 0 x f y η x = f η x y x x 1 x x 1 f x 1 x 1 x 1 d f η x dx dx y u v uv =0 u v mert η x 1 = η x = 0 f y d f dx y y d dx f y = 0 η x dx A segédtétel miatt Euler Lagrange diff. egyenlet 43

.3.4 Másodfajú Lagrange egyenletek d T q j, q j T q j, q j = Q dt q j q j j Mozgási energia A potenciálos erők külön Rayleigh féle disszipációs fv. D L d dt q j, q j = T L q j, q j q j, q j L q j W q j q j, q j q j T = W q j = q j m j=1 W q j = m i m q i j=1 m 1 j=1,i=1 m = 1 j=1 + D = Q q j j m j g q j h k rugó,i,j q i,j m k=1 C j,k f y d f dx y = 0 q j q k 44

.3.4.1 Példa Két tömeg T = 1 m q 1 + 1 m q k μ m 1 m W = 1 k q q 1 h L = T W q 1 h q D = 1 μ ( q q 1 ) d dt L q i L + D = 0 q i q j m q 1 μ ( q q 1 ) k q q 1 h = 0 m q + μ ( q q 1 ) + k q q 1 h = 0 q 1 = p q = r p = k q q 1 h m r = k q q 1 h m + μ ( q m q 1 ) μ m ( q q 1 ) 45

funcprot(0); clear; function dpq=f(t, x); m=1; k=0.5; h=1; g=9.81; mu=0.3; q 1 = p q = r p = k q q 1 h m r = k q q 1 h m + μ ( q m q 1 ) μ m ( q q 1 ) dpq(1) = x(3) // x(1)= q 1 x()= q dpq() = x(4); // x(3)= p x(4)= r dpq(3) =k*(x()-x(1)-h)/m+mu/m*(x(4)-x(3)); dpq(4) =-k*(x()-x(1)-h)/m-mu/m*(x(4)-x(3)); endfunction t = 0:0.01:10 ; y=ode ( [ 0 ; 1.5; 0; 0], 0, t, f ); clf; plot(t', y(1,:),'b'); plot(t', y(,:),'r'); show_window(); ode0.sci 46

.3.4. Pl. Kettős inga guruló kocsin nincs surlódás T = 1 M x + M l Mm m 1 l 1 + 1 m x + l q cos q + l q sin q + q q x + 1 m 1 x l 1 q cos q + l 1 q sin q T = 1 M x + 1 m x + l q cosq + + 1 m l q sinq + + 1 m 1 x l 1 q cosq + + 1 m 1 l 1 q sinq W = m 1 g l 1 cosq m g l cosq 47

T = 1 M x + 1 m W = m 1 g l 1 cosq m g l cosq x + l q cosq + 1 m l q sinq + 1 m 1 x l 1 q cosq + 1 m 1 l 1 q sinq L = T W L = 1 M x + + 1 m x + l q cosq + l q sinq + + 1 m 1 x l 1 q cosq + l 1 q sinq m 1 g l 1 cosq + m g l cosq L = 1 M + m 1 + m x + + m l m 1 l 1 x q cosq + + 1 m 1 l 1 + m l q + sin q + cos q = 1 +(m l m 1 l 1 ) g cosq 48

L = 1 M + m 1 + m x + m l m 1 l 1 x q cosq + 1 m 1 l 1 + m l q + (m l m 1 l 1 ) g cosq 1 d dt d dt L x L x = d dt L x = 0 M + m 1 + m x + m l q cosq m 1 l 1 q cosq = = M + m1 + m x + m l ( q cosq q sinq) m 1 l 1 ( q cosq q sinq) L x = 0 d L dt x L x = 0 1 M + m1 + m x + m l ( q cosq q sinq) m 1 l 1 ( q cosq q sinq) = 0 49

L = 1 M + m 1 + m x + m l m 1 l 1 x q cosq + 1 m 1 l 1 + m l q + (m l m 1 l 1 ) g cosq d dt d dt L q L q = 0 L q = d dt m l m 1 l 1 x cosq + d dt m 1 l 1 + m l q = = m l m 1 l 1 x cosq m l m 1 l 1 x q sinq + + m 1 l 1 + m l q L q = m l m 1 l 1 x q sinq (m l m 1 l 1 ) g sinq m l m 1 l 1 x cosq + + m 1 l 1 + m l q + +(m l m 1 l 1 ) g sinq = 0 50

1 M + m1 + m x + m l ( q cosq q sinq) m 1 l 1 ( q cosq q sinq) = 0 m l m 1 l 1 x cosq + m 1 l 1 + m l q + (m l m 1 l 1 ) g sinq = 0 q + m l m 1 l 1 cosq m 1 l x + m l m 1 l 1 g sinq 1 + m l m 1 l = 0 1 + m l x + m l cosq m 1 l 1 cosq M + m1 + m q = p x = r p = m l m 1 l 1 cosq m 1 l r m l m 1 l 1 g sinq 1 + m l m 1 l 1 + m l r = (m l m 1 l 1 ) cosq M + m1 + m q + + m l sinq m 1 l 1 sinq M + m1 + m p + (m l m 1 l 1 ) sinq M + m1 + m q = 0 p 51

q = p x = r p = m l m 1 l 1 cosq m 1 l r m l m 1 l 1 g sinq 1 + m l m 1 l 1 + m l r = (m l m 1 l 1 ) cosq M + m1 + m p + (m l m 1 l 1 ) sinq M + m1 + m MM = m + m 1 + m ML = m l m 1 l 1 MLL = m l + m 1 l 1 AA = BB = ML cosq MLL ML g sinq MLL p = AA r BB (1) / AA () r = CC p + DD () / CC (1) p CC = DD = ML cosq MM ML sinq MM p BB AA DD p = (1 AA CC) CC BB + DD r = (1 CC AA) 5

funcprot(0) clear; function dpq=f(t, x) m=1; m1=1; m=; l1=1; l=; g=9.81; MM=m+m1+m; ML=m*l-m1*l1; MLL=m*l*l-m1*l1*l1; AA=ML*cos(x(1))/MLL; BB=ML*g*sin(x(1)); CC=ML*cos(x(1))/MM; DD=-ML*sin(x(1))/MM*x(3)*x(3); dpq(1) = x(3); // x(1)=q x()=x dpq() = x(4); // x(3)= p x(4)= r dpq(3) =(-BB-AA*DD)/(1-AA*CC); dpq(4) =(CC*BB-DD)/(1-AA*CC); endfunction t = 0:0.01:10 ; y=ode ( [ 0. ; -0.15; 0; 0], 0, t, f ); clf; plot(t', y(1,:),'b'); plot(t', y(,:),'r'); show_window(); ode4.sci 53

.4. Elektro-mechanikus Lagrange egyenlet Kirchoff (induktivítás, kapacítás, ellenállás) L T di dt + Q + R I = U(t) C / Idt energia egyenletet eredményez L T I di dt dt + Q C Idt + R I dt = U t I dt A mágneses tér energiája + kondenzátor energiája+ hő = Feszültségnövelés energiája.4.1 A tekercs energiája W L = 0 W L = L T I I 0LT IdI = L T Q Mozgási energia jellegű.4. A kondenzátorban tárolt energia W C = 0 t Q C Idt = 0 Q Q C dq T (I = dq dt ) W c = Q C Potenciális energia jellegű 54

.4.3 Joule törvény W hő = 0 t R I dt.4.4 A feszültség mint általános erő L I di dt dt + Q C Idt + R I dt = U t W L = L I = L Q I dt W C = Q C d dt W L Q = L T d Q dt = L T di dt = U W C Q = Q C = U L T di dt + Q C = R I + U(t) Kirchoff L T di dt + Q + R I = U(t) C T U és R I Általános erő jellegű mennyiségek F = R I + U = R Q + U 55

.4.5 Kondenzátor kapacitása ε 0 = 1 As 4 π 9 10 9 Vm C = ε 0 A c l c.4.6 Tekercs induktivitása L T = μ 0 μ r A T n l T μ 0 = 1,5 10 6 Vs Am influencia konstans lc lt Coulomb törvény n F = vákuum permeabilítás 1 Q 1 Q 4 π ε 0 r 56

.4.7 Az egyenlet d helyett b d dt T + W L W c W q j d dt L q j, q j L q j q j, q j q j q 1 = x, q = Q + D = F q j j L = T + W L W C W T + W L W c W q j F = R Q + U(t) + D = F q j j T = m W L = L(x) I x = L(x) Q L = μ 0 μ r A T n l T W L = μ 0 μ r A T l T x l T l T x n Q Q W c = C(x) W = k x C = ε 0 A c l c x W c = Q (l c x) ε 0 A C D = d x F = R I + U = R Q + U 57

d dt L q j, q j L q j q j, q j q j + D = F q j j L = T + W L W C W T = m x W L = μ 0 μ r A T l T x n Q W c = Q (t c x) k x W = l T ε 0 A C F = R I + U = R Q + U d L dt x = m x d L dt Q = μ 0 μ r A T l T x n Q l T D x = d x F Q = R Q + U(t) L x = μ 0 μ r A T n + l T Q Q ε 0 A C k x L Q = Q l c x ε 0 A C Q m x + μ 0 μ r A T n l T μ 0 μ r A T l T x n Q l T Q ε 0 A C + k x = d + Q l c x ε 0 A C = R x Q + U(t) 58

x = p Q = r Q m x + μ 0 μ r A T n l T μ 0 μ r A T l T x n Q p = μ 0 μ r A T n + k x d m l t ε 0 A C m x l T r = μ 0 μ r A T l T x n Q l c x R r + U(t) ε 0 A C Q l T Q Q + k x = d x ε 0 A C + Q l c x = R Q + U(t) ε 0 A C 59

funcprot(0) clear; function dpq=f(t, x) m=100; d=1; mu=e6; ac=0.01; at=0.0001; n=100; k=1000; lc=0.1; lt=0.; e0=1e-11; MD=m; NA=mu*at*n*n/lt/lt; EE=1//e0/ac; R=100; NSZ=lt*lt/mu/at/n/n/(lt-x(1)); dpq(1) = x(3) ; // x(1)= x x()=q dpq() = x(4); // x(3)= p x(4)= r dpq(3) =-NA//MD*x(4)*x(4)+EE/MD*x()*x()-k/MD*x(1)-d/MD*x(3); dpq(4) =NSZ*(-x()*(lc-x(1))/e0/ac-R*x(4)-*sin(*t)); endfunction t = 0:0.0001:0 ; y=ode ( [ 0.01 ; 0.0; 0.0; 0.0], 0, t, f ) ; clf; plot(t', y(1,:),'b'); plot(t', y(3,:),'r'); show_window(); ode6.sci 60