Smoothed Particle Hydrodynamics (SPH) Áramlások numerikus modellezése II. Tóth Balázs BME-ÉMK Vízépítési és Vízgazdálkodási Tanszék
Numerikus módszerek Osztályozás A numerikus sémák két csoportosítási szempontja Hálóalapú Részecskealapú Euleri Lagrange-i - 2 -
Részecskealapú módszerek Áttekintés A numerikus modellezést több mint 50 évig a hálóalapú módszerek jelentették. Bár a részecskealapú sémák ötlete nem új, a módszerek lényegi feljődése az elmúlt 20-25 évre tehető. Motiváció: topológiaváltozással járó jelenségek (pl. törések, szabadfelszínű áramlások) peremfeltétel nélküli problémák (pl. csillagközi gázok, galaxisok) diszperz közegek, molekuladinamika kapcsolt számítások anyagi pályák követése áramlásokban hálógenerálás (és újragenerálás) nehézségei - 3 -
Részecskealapú módszerek Csoportosítás Diszkrét közeg egy részecske = egy atom, molekula, szemcse az elemek közötti interakció közvetlen modellezése Kontinuum közeg egy részecske = a közeg egy elemi része DEM, MD,... SPH, EFG, RKPM,... a részecskék közötti interakciókat a közeget leíró, lokálisan értelmezett PDEek megoldása vezérli - 4 -
Definíciók Definíció: egység felosztása (Partition of unity) Adott Ω R ( (d = 1,2,3) egy nyílt tartomány. Legyenek Ω 0, Ω 1, Ω 3 R ( nyílt résztartományok úgy, hogy 3 1. Ω 5 Ω 6 670, 2. Léteznek φ 6 C ; R (, (k > 0) függvények, melyekre igaz, hogy supp φ 6 Ω 6, 3. 0 φ 6 x 1, x Ω 6, 3 4. F φ 6 x 670 = 1, x Ω Ekkor a {φ 0, φ 1, φ 3 } függvények reprezentálják az egység felosztását az Ω tartományon. - 5 -
Definíciók Egység felosztása (partitionof unity) Ω φ 6 x = 1 6 φ 0 x φ 1 x φ K x φ L x φ M x φ N x φ 6 x : simítófüggvények - 6 -
Részecskealapú módszerek Simítófüggvények tulajdonságai φ C ; R (, supp φ(x x Q ) B S, B S = x x x Q < σ, x R (, vagyis egy σ sugarú x Q középpontú gömb, φ x > 0, ha x < σ φ x dω = 1 \ ] Analitikus függvények, pl: polinomok, spline-görbék, exponenciális függvények - 7 -
Konvolúció (az interpoláció általánosítása) A r = ` A r δ(r r ) dr c A: tetszőleges függvény δ: Dirac-delta Két probléma: 1. δ x x e numerikusan nem kezelhető, 2. az integrálás csak analitikus függvények esetében végezhető el. - 8 -
1. Probléma A numerikusan nem kezelhető δ x x e simítófüggvényre: függvényt lecseréljük a már ismert A r ` A r φ(r r ) dr c 2. Probléma Ez már csak közelítés! Képezzük a kontinuum konvolúció egy diszkrét reprezentációját: A r 6 = F A r g φ r 6 r g m g ρ g g Diszkrét konvolúció m g : j. anyagi ponthoz rendelt tömeg ρ g : j. anyagi ponthoz rendelt sűrűség - 9 -
Deriváltak közelítése A r = ` A r e φ r r e dr e = k = ` A r e φ r r e dr e ` A r e φ r r e dr e = k k = ` φ r r e A r e ds ` A r e φ r r e dr e = ` A r e φ r r e l k k dr e = 0, mert φ σ = 0 Tehát bármely függvény deriváltja visszavezethető a simítófüggvény deriváltjával vett konvolúcióra. Diszkrét alakban: A r 6 = F A r g φ r 6 r g m g ρ g g - 10 -
Konzisztencia Adott egy Pu = f alakú PDE, és egy P pq v = f numerikus séma. A sémát n-ed rendig konzisztensnek nevezzük, ha tetszőleges, sima A függvény esetén: lim PA P pqa = 0. pq Q - 11 -
Konzisztencia Vizsgáljuk meg a kapott elsőrendű SPH differenciál-operátor nulladrendű konzisztenciáját egy A = const. függvény segítségével! m g y A z y A 6 = 0 F A g y φ r 6 r g 0 6 ρ g g Csak akkor teljesül a nulladrendű konzisztencia, ha a mintavételi pontok eloszlása egyenletes. Ez az SPH esetében nem elvárható! A konzisztencia rendjének javítására számos módszer létezik. Alkalmazzuk az a diszkrét konvolúciót az alábbi azonosságra: A = 1 ρ ; ρ; A A ρ ; ρ;. - 12 -
Elsőrendű differenciáloperátor A kapott operátor: A 6 = 1 ρ 6 F A g A 6 m g φ r 6 r g, g Melyet magasabb rendű konzisztenciája miatt használnak. Ezenkívül sok egyéb operátor is létezik, melyek különböző tulajdonságokkal rendelkeznek. A megfelelő operátor kiválasztását a megoldandó differenciálegyenlet alakja határozza meg. Ez analóg a végeselem módszer esetében megszokott elemtípussal. - 13 -
Másodrendű differenciáloperátor Hasonló megfontolásokkal a második derivált: ΔA 6 = F 2 A g A 6 r 6g g r 6g 1 m g ρ g φ r 6 r g, Fontos: itt a simítófüggvénynek csak az elsőrendű deriváltja szerepel! - 14 -
Folyadékok modellezése Kontinuitási egyenlet lagrange-i vonatkoztatási rendszerben: ρ ρ + ρv = + v ρ + ρ v, t t dρ dt = ρ v Melynek SPH-diszkretizált alakja: dρ dt z 6 = F v g v 6 m g φ r 6 r g. g - 15 -
Folyadékok modellezése Euler-egyenlet lagrange-i vonatkoztatási rendszerben: v dv + v v = t dt = 1 p + g ρ Melynek SPH-diszkretizált alakja: dv dt z 6 = F p 6 ρ 6 1 + p g ρ g 1 m g φ r 6 r g + g, g - 16 -
Folyadékok modellezése Mivel a nyomás- és sebességmező között kinematikai kényszert most nem írunk fel, a nyomás számítására állapotegyenletet alkalmazunk: p 6 = c 1 ρ 6 ρ Q, Ahol c a közeg hangsebessége, ρ Q pedig a referenciasűrűség. Az állapotegyenlet segítségével a közeg kompresszibilitása kontrollálható, víz esetében az 1%-os sűrűségingadozás ad műszaki szempontból elfogadható eredményt. - 17 -
Folyadékok modellezése Peremfeltételek: - 18 -
Folyadékok modellezése Peremfeltételek: - Térben rögzített folyadékrészecskék, u 0 - Sok fali részecske - Egyszerű implementáció - Nemtriviális no-slip - Matematikailag korrekt - Fali potenciál (Kelvin-Voigt model) - Egyszerű implementáció - Kis számítási igény - Matematikailag inkorrekt - Tetszőleges geometria nr 0 (u, y) u tr 1 (u, y) - 19 -
Folyadékok modellezése Lamináris áramlás sík lapok között Analitikus sebességeloszlás: u y = 1 p y(h y) 2μ x p x = 0.1ρg y y [m] 1,2 1 0,8 0,6 0,4 Sebességeloszlás 0,2 1 m u 0 0 0,5 1 1,5 2 2,5 3 x u [m/s] - 20 -
Folyadékok modellezése Egyik oldal által gerjesztett áramlás négyzet keresztmetszetű üregben Re = 500 u = 1 m s Vízszintes sebesség Függőleges sebesség 0,5 0,3 0,4 0,2 1 m y [m] 0,3 0,2 0,1 0-0,4-0,1 0,1 0,6 v [m/s] 0,1 0-0,5-0,3-0,1 0,1 0,3 0,5-0,1-0,2-0,2-0,3-0,4-0,3-0,4-0,5 u [m/s] -0,5 x [m] - 21 -
Folyadékok modellezése Az egyenletek megoldása numerikus integrálással, egy arra alkalmas sémával, például másodrendű Runge-Kutta (RK2) módszerrel kapható meg: A ±²0 1 = A ± + Δt 2 da dt z± A ±²0 = A ± + Δt da 0 dt z±² 1-22 -
Numerikus stabilitás A megoldás numerikus stabilitásához: - Adaptívidőlépés (CFL) σ Δt = 0.2 min, σ max a 6 c 6 - Fizikai disszipáció hiányában mesterséges diffúzió (pl. a kontinuitási és mozgásegyenletben): dρ dt z r 6g = F v g v 6 m g φ r 6 r g + 0.2cσ F ρ g ρ 6 6 1 φ r 6 r 6 g g r 6g dv dt z = F p 6 6 1 ρ + p g 1 6 ρ m r 6g g φ r 6 r g + 0.01cσ F v g v 6 1 φ r 6 r 6 g r 6g g g m g ρ g m g ρ g, - 23 -
Összefoglalás Tulajdonságok: - Teljesen hálómentes - Lagrange-i - Explicit és implicit modellek (implict: pressure-velocity coupling) - Átfedő diszkretizáció, változó konfiguráció - A véges differencia módszerének egyfajta általánosítása Alkalmazási területek: - Asztrofizika - Törések, szabadfelszínű áralmások, robbanások modellezése - Többfázisú áramlások monolitikus modellezése - Kapcsolt feladatok - Nyomkövetés áramlásokban - 24 -
Köszönöm a figyelmet! - 25 -