MATLAB PROGRAMFEJLESZTÉS AUTÓPÁLYA HÁLÓZAT IRÁNYÍTÁSÁRA. ALGORITMUS, SZOFTVER ÉS DOKUMENTÁCIÓ

Lantos Béla BME Irányítástechnika és Inforatika Tanszék MATLAB PROGRAMFEJLESZTÉS AUTÓPÁLYA HÁLÓZAT IRÁNYÍTÁSÁRA. ALGORITMUS, SZOFTVER ÉS DOKUMENTÁCIÓ Tanulány Készült a RET 1.1 Járűforgali rendszerek odellezése és irányítása projekt keretében Elektronikus Járű és Járűirányítási Tudásközpont Budapest, 26. szepteber

Tartali összefoglaló Autópálya hálózatok akroodelljén alapuló dinaikus odelleket, valaint klasszikus elven és nelineáris prediktív irányításon alapuló irányítási algoritusokat dolgoztunk ki irodali források felhasználásával. A kifejlesztett ódszerek egy részhalazát egvalósító MATLAB alapú prograrendszert fejlesztettünk ki, aely alkalas általános autópálya hálózat forgali viszonyainak sziulációs vizsgálatára és klasszikus szabályozások tervezésére, és lehetőséget ad az irodaloból isert, de költséges METANET autópálya sziulációs rendszer szolgáltatásainak kiváltására. Az autópálya hálózat több szakaszból állhat, egengedvén az elágazásokat (bifurcations) és összekapcsolódásokat (junctions) is. Kétféle dinaikus odellt fejlesztettünk ki, az első odell (ne célorientált üzeód) csak a felhajtók forgalának jelzőlápákkal történő irányítását teszi lehetővé (rap etering control), a ásodik odell (célorientált üzeód) ennek általánosítása arra az esetre, aikor az irányítás kezeli az OD (origin-destination) inforációt is, és javaslatot tesz az elágazási helyeken a kedvező útvonalra az alternatív lehetőségek közül a különféle végcélok esetén (VMS=variable essage sign, DRIP=dynaic route guidance panel). Mivel a vezetők a VMS jelzéseket ne szükségképpen akceptálják, ezért virtuális járűvek rendszerbe injektálásával és a Logit odell elvére épülő útvonalkövetéssel lehetséges a javasolt útvonaltól való eltérés hatásának becslése is. A kifejlesztett MATLAB alapú szoftver a végső prograrendszer 1. verziójának tekinthető. Megvalósítja a kifejlesztett dinaikus odellt a ne-célorientált esetben, lehetővé teszi általános autópálya hálózatok forgali viszonyainak eghatározását irányítás nélkül sziuláció keretében, továbbá az autópálya hálózat irányítását egyszerű PID-jellegű irányítási stratégia esetén. A sziulációs üzeód biztosítja a forgalotorlódás okainak és helyeinek felderítését csúcsforgali időszakban az autópályán. A sziuláció speciális esetként, konstans bejövő forgalakat feltételezve a felhajtókon, alkalas az egyensúlyi állapot (steady state) eghatározására is. Ezáltal biztosítható, hogy az irányítások egyensúlyi állapotból is indíthatók legyenek, és a kezdeti feltétel iatti tranziensek és az irányítási tranziensek ne keveredjenek össze a nelineáris rendszerben. A sziuláció eredényei alapján egválasztható, hogy ely felhajtó vagy felhajtók esetén célszerű irányítást alkalazni a forgali viszonyok javítása érdekében. Feltételeztük, hogy (az Európában és USA-ban gyakori ódon) a felhajtók jelzőlápákkal vannak ellátva és a forgalat a felhajtók jelzőlápáinak átbocsátási ideje révén lehet szabályozni (rap etering). Az irányítás hatása a forgalo alakulására a tárolt forgali tranziensek kiértékelésével eleezhető. A tranziensek dokuentálása grafikusan történik, az eredények a MATLAB szolgáltatásaival dokuentuokba enthetők. A forgali viszonyok agas szintű és töör nuerikus jellezésére költségfüggvény szolgál, aely tartalazza a teljes hálózatban töltött időt (TTS=TTT+TWT, [veh.h]), a teljes utazási időt (TTT, [veh.h]), a felhajtók várakozási soraiban töltött időt (TWT, [veh.h]) és a beavatkozó jel változásának négyzetösszegét (QDC). Különös figyelet fordítottunk az autópálya struktúra definiálásának egkönnyítésére a felhasználó szeszögéből nézve, aely egy intafájl átírásával végezhető el, aelyben a felhasználót koentek vezetik. A hálózat struktúráját a progra autoatikusan olyan adatstruktúrákká konvertálja, aelyek lecsökkentik a valós időben szükséges száításokat, növelve ezáltal a valósidejűség elérésének lehetőségét. Az autópálya szekciók és szegenseik forgali jellezői (sűrűség, átlagsebesség, folya), továbbá a felhajtók (várakozási sorok, folyaok, kiszolgálási ráták) és lehajtók (lehajtónkénti folyaok, teljes folya) forgali jellezői autoatikusan kigyűjtésre kerülnek, és felhasználásra kerülnek ind a grafikus egjelenítés során, ind pedig a költségfüggvény száításkor. A prografejlesztés során kerültük a MATLAB toolboxainak intenzív használatát, aely hosszú távon jó esélyt adhat a MATLAB C-Copiler alkalazására a későbbi időszakra tervezett végső C-nyelvű ipleentációhoz. A tapasztalatok alapján a jövőben folytatható a prograrendszer bővítése nelineáris prediktív irányítással és célorientált üzeódú irányítással. A progra első verziójának kifejlesztésekor a bővítések későbbi beillesztésének igényét figyelebe vettük. Jelen tanulány struktúrája úgy van kialakítva, hogy lehetővé teszi felhasználását jegyzet részeként is.

Tartalojegyzék 1. Célkitűzés... 1 2. Autópálya hálózatok dinaikus odellje... 2 2.1 Autópálya szakasz Payne-féle klasszikus dinaikus odellje... 2 2.2 Autópálya hálózat ne célorientált dinaikus odellje... 3 2.3 Autópálya hálózat célorientált üzeódú dinaikus odellje... 5 3. Útvonalválasztás odellezés célorientált üzeódban... 9 3.1 Elágazási ráta száítása a Logit odellben... 9 3.2 Egyéni utazási idő odellezése... 9 4. Autópálya forgaloirányítási algoritusok... 11 4.1 Autópálya forgalo klasszikus irányítása: ALINEA... 11 4.2 Nelineáris odellprediktív irányítás (NMPC)... 11 4.2.1 Modellalapú nelineáris prediktív irányítás általános algoritusa... 11 4.2.2 Optializálási ódszerek... 13 4.2.3 NMPC ipleentálási szepontok autópálya hálózat irányításakor... 15 5. MATLAB alapú szoftver autópálya forgaloirányítására... 18 5.1 A vizsgálatok során feltételezett autópálya hálózat struktúra... 18 5.2 A szoftver struktúrája... 19 5.3 Az autópálya hálózat egadása az initnetwork függvényben... 21 5.4 A felhasználói paraéterek egadása inithighpar függvényben... 22 6. Autópálya hálózat forgali viszonyainak vizsgálata sziulációval irányítás nélkül... 23 6.1 Forgali igények és paraéter beállítások... 23 6.2 Sziulációs eredények és értékelésük... 23 7. Autópálya hálózat forgali viszonyainak vizsgálata sziulációval ALINEA I-típusú irányítás esetén... 31 7.1 Forgali igények és paraéter beállítások... 31 7.2 Irányítási eredények és értékelésük... 31 7. Összefoglalás... 39 8. Felhasznált irodalo... 4 9. MATLAB progralisták... 41 1.1 fraemotorway... 41 1.2 initnetwork( )... 44 1.3 netw2tabs( )... 46 1.4 inithighparr( )... 51 1.5 initstate( )... 52 1.6 funw( )... 53 1.7 sy2type( )... 57 1.8 tab2xdp( ))... 59 1.9 od2node( )... 6 1.1 sec2funr( )... 61 1.11 iset2qin( )... 62 1.12 oset2qv( )... 63 1.13 ioset2rhonp1( )... 64 1.14 costfunr( )... 65 1.15 plotrvq( )... 67 1.16 plotwq( )... 68 1.17 plotqdest( )... 69

1. Célkitűzés A tanulány a forgalo akroodelljén alapuló autópálya irányítási algoritusokkal, valaint és az irányítások tervezéséhez és vizsgálatához szükséges MATLAB alapú prograrendszer fejlesztésével és egvalósításával foglalkozik. Az algoritusok építenek a Lantos: Autópálya forgalo és járű irányítások c. tanulány eredényeire (Lantos, 25), és új publikációkra. Az autópálya irányítások alapja a forgalo átlagos alakulását leíró diszkrétidejű nelineáris akroodell, aelynek alapesete az elágazások nélküli autópálya szakasz leírására kifejlesztett Payne-féle klasszikus odell. Az autópálya hálózat több szakaszból állhat, egengedvén az elágazásokat (bifurcations) és összekapcsolódásokat (junctions) is. Kétféle odellre készülünk fel autópálya hálózat esetén. Az első odell (ne célorientált üzeód) csak a felhajtók forgalának jelzőlápákkal történő irányítását teszi lehetővé (rap etering control), és az autópálya hálózat (speciális esetben elágazások nélküli autópálya szakasz) klasszikus elvű vagy prediktív irányításához alkalazható. A ásodik odell (célorientált üzeód) ennek általánosítása arra az esetre, aikor az irányítás kezeli az OD (origin-destination) inforációt is, és javaslatot tesz az elágazási helyeken a kedvező útvonalra az alternatív lehetőségek közül a különféle végcélok esetén (VMS=variable essage sign, vagy ás néven DRIP=dynaic route guidance panel). Jelen kutatási szakaszban a cél az algoritusok egválasztása indkét esetre, továbbá a MATLAB prograrendszer első verziójának kifejlesztése a ne célorientált esetre. A prograrendszer első verziója ár legyen képes általános autópálya hálózatok forgali viszonyainak eghatározására irányítás nélkül sziuláció keretében, továbbá az autópálya hálózat irányítására egyszerű irányítási stratégiák szerint. Az első verzió fejlesztési tapasztalatai egalapozzák a későbbi bővítéseket. A sziulációs üzeód biztosítja a forgalotorlódás okainak és helyeinek felderítését csúcsforgali időszakban az autópályán. A sziuláció speciális esetként, konstans bejövő forgalakat feltételezve a felhajtókon, alkalas az egyensúlyi állapot (steady state) eghatározására is. Ezáltal biztosítható, hogy az irányítások egyensúlyi helyzetből is indíthatók legyenek. A sziuláció eredényei alapján egválasztható, hogy ely felhajtó vagy felhajtók esetén célszerű irányítást alkalazni a forgali viszonyok javítása érdekében. Az irányítás során feltételezzük, hogy a beavatkozás lehetőségei adottak, vagyis a felhajtók jelzőlápákkal vannak ellátva, aelyek átbocsátási ideje szabályozható (rap etering). Az irányítás hatása a forgalo alakulására a tárolt forgali tranziensek kiértékelésével eleezhető. A tranziensek dokuentálása grafikusan történik, az eredények a MATLAB szolgáltatásaival dokuentuokba enthetők. A forgali viszonyok agas szintű és töör nuerikus jellezésére költségfüggvény szolgál, aely tartalazza a teljes hálózatban töltött időt (TTS=TTT+TWT, total tie spent, [veh.h]), a teljes utazási időt (TTT, total travel tie, [veh.h]), a felhajtók várakozási soraiban töltött időt (TWT, total weighting tie at origins, [veh.h]) és a beavatkozó jel változásának négyzetösszegét (QDC, total fuel consued). Különös figyelet fordítunk az autópálya struktúra definiálásának egkönnyítésére a felhasználó szeszögéből nézve, aely egy intafájl átírásával végezhető el. A hálózat struktúráját a progra autoatikusan olyan adatstruktúrákká konvertálja, aelyek egőrzik az általánosságot, de a későbbi valósidejű alkalazás lehetősége érdekében lecsökkentik a valós időben szükséges száításokat, növelve ezáltal a valósidejűség elérésének lehetőségét. Az autópálya szekciók és szegenseik forgali jellezői (sűrűség, átlagsebesség, folya), továbbá a felhajtók (várakozási sorok, folyaok, kiszolgálási ráták) és lehajtók (lehajtónkénti folyaok, teljes folya) forgali jellezői autoatikusan kigyűjtésre kerülnek, és felhasználásra kerülnek ind a grafikus egjelenítés során, ind pedig a költségfüggvény száításkor. A tapasztalatok alapján a jövőben folytatható a prograrendszer bővítése nelineáris prediktív irányítással és célorientált üzeódú irányítással, továbbá a forgali állapotok, torlódási gócok és sebességviszonyok jóslásával érési eredényekből. A progra első verziójának kifejlesztésekor a bővítések későbbi beillesztésének igényét figyelebe vesszük. 1

2. Autópálya hálózatok dinaikus odellje Az autópálya irányítások forgaloodellje az átlagos viselkedést leíró diszkrétidejű nelineáris akroodell. A beutatandó akroodellek konkrét alakja erősen függ az alkalazott irányítási elvtől. A ne célorientált irányítás esetén alkalazott autopálya odell a klasszikus Payne-féle odell (Payne, 1971) egy általánosítása autópálya hálózat esetére. A felhajtó helyek (on-raps) forgala jelzőlápákkal befolyásolható. A odell egengedi elágazások (bifurcations) és összekapcsolódások (junctions) jelenlétét a hálózatban, szeben a klasszikus Payne-féle odellel. A ásodik, célorientált irányítás egvalósítását is egengedő odell a felhajtó helyek forgalának jelzőlápával történő befolyásolása (rap etering) ellett úgy bövíti a beavatkozásokat, hogy üzenetet küld a járűvezetőnek, elyik autópálya szakaszt (fővonalat vagy ellékvonalat) válassza a lehetséges alternatívák közül célálloásának függvényében (VMS, variable essage sign, vagy ás néven DRIP, dynaic route guidance inforation systes panel). A lehajtók és felhajtók az elágazások és összekapcsolódások speciális esetei. A odellek lehetőséget kínálnak a beavatkozások klasszikus (PID típusú, pl. az ALINEA estén I- típusú), illetve nelineáris prediktív vagy ás optiális elvű egválasztására. Mindkét odellnél lehetőség van a beavatkozások ellett a dinaikus odellek online kiértékeléséből nyerhető forgalo adatokból további javaslatokat levezetni, például az átlagsebesség alakulása alapján javaslatot tenni a egválasztandó sebességre az egyes szakaszokon. Megfelelő száú és típusú érőhely kialakítása esetén a odellben szereplő forgalojellezők és/vagy az aktuális állapot is becsülhető pl. kiterjesztett Kalan-szűrővel. Jelen kutatási szakaszban csak a ne célorientált odell kerül ipleentálásra. 2.1 Autópálya szakasz Payne-féle klasszikus dinaikus odellje Payne 1971-ben egy diszkrétidejű ásodrendű nelineáris odellt javasolt a forgaloirányítás dinaikus odelljeként. A odell a hosszirányú változót ( x ) is diszkretizálja. Az autópálya szakasz N darab egyáshoz csatlakozó [ xl, x l+ 1] szakaszra (links) van bontva ( x l < x l+ 1 ). A forgalat a forgalo sűrűség (traffic density) ρ [veh/k/lane], az átlagos sebesség (ean speed) v [k/h] és a forgalo folya (traffic flow) q [veh/h] jellezi, ahol veh a járűvek (vehicle) száa, lane a sávok száa. A sávok száát λ fogja jelölni a dinaikus odellben. A szakasz indexe l, a szakaszhoz tartozó forgali adatokat a forgalo változók alsó indexe jelöli. A szakasz hossza L x x. Az x helyen a forgali adatok ρ, v, q. A szakaszon lehet felhajtás és l = l +1 l l lehajtás, aelynek jellezésére felhajtás esetén a kienő folya szolgál. A adjuk eg k értékét. t = kt időt a q in, l l l l bejövő folya, lehajtás esetén a q out, l T intavételi idő üteében értékeljük ki és zárójelben A dinaikus odellt a forgalo sűrűség, átlagos sebesség és folya egyenletek írják le: T ρ l ( k + 1) = ρl ( k) + ( qin, l ( k) qout, l ( k)) Llλl (2.1) T T νt[ ρl+ 1( k) ρl ( k)] vl ( k + 1) = vl ( k) + [ V ( ρl ( k)) vl ( k)] + vl ( k)[ vl 1( k) vl ) k)] τ L τl [ ρ ( k) + κ ] (2.2) l l q ( k) = ρ ( k) v ( k) λ l a 1 ρ l ( k) V ( ρ = l ( k)) v f, l exp. (2.4) a ρ cr, l A (2.2) egyenletben szereplő τ, ν, κ paraétereket a forgalo egfigyeléséből szerzett adatokból kell eghatározni valailyen identifikációs technikával (például nelineáris paraéterbecsléssel). A v l (k) után álló háro additív tag rendre az ú.n. relaxációt, konvekciót és anticipációt odellezi. A V ( ) függvény a relaxációs tagban azt fejezi ki, hogy az átlagos sebesség inden szekcióban egy sűrűségtől függő V ( ρ ( k)) egyensúlyi érték felé tart, aelyben a l szabad haladás sebessége és ρ a sávonkénti kritikus sűrűség a szekcióban, a pedig odell cr,l l l l l (2.3) v f, l 2

paraéter, elyeket a forgalo egfigyeléséből szerzett adatokból és identifikációs technika bevonásával lehet eghatározni. A (2.2) és (2.4) egyenletben szereplő paraéterek a forgalon kívül függenek az autópálya geoetriájától, a járűvek jellezőitől és a vezetők viselkedésétől is. Ha az l -edik szekcióhoz tartozik jelzőlápával irányítható felhajtó, akkor a jelzőlápa bevonható a forgalo irányításába a forgali viszonyoktól függően. Ha a pillanatnyi forgali igény (deand) (k) a jelzőlápával ellátott felhajtón eghaladja a pillanatnyi kiszolgálható D l q in, l ( k) rátát, akkor egy várakozási sor alakul ki a felhajtón, aelynek kiszolgálási rátája a következő stratégia szerint képezhető: w ( k + 1) = w ( k) + T[ D ( k) q, ( k)] l l l in l w l (k) hossza és q ( ) in, l k w l ( k) ρ ax, l ρl ( k) qin, l ( k) = rl ( k) qˆ in, l ( k) = rl ( k) in Dl ( k) +, Ql in 1,. (2.6) T ρ ax, l ρ cr, l A (2.6) egyenletben Q [veh/h] a felhajtó axiális kapicitása, a axiálisan lehetséges l ρ ax, l forgalo sűrűség a szekcióban és rl ( k) [ rin,l,1] a kiszolgálási arány, aely az irányítási algoritusban egválasztható beavatkozó jel (etering control). Jól látható, hogy q ( k) a forgali viszonyoktól függően lehet D l (k), ha nincs várakozási sor és D l k) < Q l, vagy vagy annál kisebb érték. (2.5) ˆ in, l ( Ql Vegyük észre, hogy q ( ) a (2.1) egyenletben is felhasználásra kerül. Ha van lehajtó az l - in, l k out, l k) q l ) edik szekcióban, akkor q ( valailyen leosztott hányada lehet (k -nak, qout, l ( k) = β out, l ql ( k), ahol β out, l (,1) a forgali tapasztalatok alapján előre egválasztandó konstans érték (ne beavatkozó jel). A forgali odell, figyelebe véve, hogy (2.2) szerint ql kifejezhető ρ l, vl -lel, alkalas állapot és beenő jel választással a standard diszkrétidejű nelineáris rendszeralakra hozható: ( ρ1, K, ρ N, v1, K, vn, w1, K x = w ) T N T (2.7a) u = ( r 1, K, r N ) (2.7b) x ( k + 1) = f ( x( k), u( k)). (2.7c) 2.2 Autópálya hálózat ne célorientált dinaikus odellje Az elágazásokkal (bifurcations) és összekapcsolódásokkal (junctions) is rendelkező általános autópálya hálózat irányításához az egyetlen autópálya forgalának Payne-féle klasszikus dinaikus odelljét általánosítani kell, egengedvén elágazásokat és összekapcsolódásokat is, így lehetőséget adva fővonal és ellékvonalak együttes vizsgálatára is. A lehajtók (out-raps) és felhajtók (on-raps) az elágazások és az összekapcsolódások speciális eseteinek tekinthetők. A dinaikus odell felállításánál felhasználjuk (Kotsialos, Papageorgiu, Mangeas & Haj-Sale, 22) eredényeit. A ne célorientált üzeódban (non-destination oriented ode) az autópálya hálózat csoópontokból (nodes) és autópálya szekciókból (links) áll, ahol inden egyes szekció tovább van osztva a szekción belül egyfora hosszú és sávszáú szegesekre. Ha egy ilyen szekció, akkor szegenseinek száa N, a szegensek kettős indexelése, l, ahol l = 1, K, N, a szegens hossza L és a szegens sávjainak száa λ. Az autópálya hálózat a, b, c, K csoópontjait ott kell elhelyezni, ahol nagyobb változás lép fel az útvonal geoetriájában, valaint az elágazási, lehajtási, felhajtási és összekapcsolódási helyeken (bifurcations, out-raps, on-rups, junctions). A szekciók szegensekre osztása javítja a odell pontosságának esélyeit a hosszparaéter diszkretizálásakor. 3

Az autópálya hálózat forgalát akroszkópikusan a ρ ( ) sűrűség [veh/k/lane], a ( ), l k v, l k átlagos sebesség [k/h] és a q, l ( k) folya [veh/h] jellezik a [ kt, ( k + 1) T ] időintervalluban és az szekció l szegensében. A Payne-féle klasszikus odell a következőképp általánosítható ne célorientált üzeódú autópálya hálózatra: T ρ, l ( k + 1) = ρ, l ( k) + ( q, l 1 ( k) q, l ( k)) (2.8) L λ v, l ( k + 1) = v, l νt[ ρ τl T ( k) + [ V ( ρ τ, l+ 1 [ ρ ( k) ρ, l, l ( k) + κ ] q ( k)] ( k)) v, l, l ( k)] +, l ( k) =, l ( k) v, l T L ρ ( k) λ v, l ( k)[ v, l 1 ( k) v, l ) k)] (2.9) (2.1) a 1 ρ, l ( k) V ( ρ =, l ( k)) v f, exp. (2.11) a ρ cr, A (2.9) egyenletben szereplő τ, ν, κ paraétereket a forgalo egfigyeléséből szerzett adatokból kell eghatározni valailyen identifikációs technikával (például nelineáris paraéterbecsléssel). A ( ) után álló háro additív tag rendre az ú.n. relaxációt, konvekciót és anticipációt odellezi. A v, l k V ( ) függvény a relaxációs tagban azt fejezi ki, hogy az átlagos sebesség inden szekcióban egy sűrűségtől függő V (, ( k)) egyensúlyi érték felé tart, aelyben v f, a szabad haladás sebessége és ρ a sávonkénti kritikus sűrűség a szekcióban, a pedig cr, odell paraéter, elyeket a forgalo egfigyeléséből szerzett adatokból és identifikációs technika bevonásával lehet eghatározni. A (2.9) és (2.11) egyenletben szereplő patraéterek a forgalon kívül függenek az út geoetriájától, a járűvek jellezőitől és a vezetők viselkedésétől is. Kiindulási szekcióknak fogjuk nevezni azokat a szekciókat, aelyek forgali igényt fogadnak és továbbítják azt az autópálya hálózat belsejébe. Kiindulási szekciók a külső tápláló forgalo belépési helyei és a felhajtók. Ezekre ne a (2.8)-(2.11) egyenleteket, hane várakozási sor odellt alkalazunk. Az o kiindulási (origin) szekció csatlakozzon az autópálya hálózatba a µ főára szekción keresztül. Feltesszük, hogy egy o -hoz csak egy µ tartozik. Az o kiindulási szekció kienő folyaát eghatározza az aktuális főára (ainstrea) és az alkalazott becsatlakozás irányítás aktuális értéke (rap etering control easure). Ha irányítjuk a becsatlakozást, akkor a kienő folya, aely elhagyhatja az o szekciót és becsatlakozhat a főáraba a k üteben, a qˆ o ( k) kienő folyanak csak egy r o (k) része lehet, ahol qˆ o ( k) az a kienő folya, aely akkor állna fenn, ha ne lenne becsatlakozás irányítás. Becsatlakozás irányítás esetén r k) [ r,1] az irányítás beavatkozó jele. Ha ne alkalazunk becsatlakozás o ( in,o irányítást az o kiindulási szekció esetén, akkor r o ( k) = 1, különben r o ( k) < 1. A várakozási sor odellje a következő egyenletekkel írható le: ρ l w ( k + 1) = w ( k) + T[ D ( k) q ( k)] o o o o (2.12) w ρ ax ρ µ,1 ( ) o ( k) k qo ( k) = ro ( k) qˆ o ( k) = ro ( k) in Do ( k) +, Qo in 1,. (2.13) T ρ ax ρ cr, µ Legyen n az autópálya hálózat egy csoópontja (tehát elágazás, lehajtó, felhajtó vagy összekapcsolódási hely). A forgalo az n csoópontba beeneti szekciókon keresztül lép be és szétosztódik a kieneti szekciók felé a következő szabály szerint: 4

q n Q ( k) = q, ( k) (2.14), ( k) β n µ I n n µ Nµ = ( k) Q ( k), O n, (2.15) ahol I n azon szekciók halaza, aelyek belépnek az n csoópontba, On azon szekciók halaza, aelyek elhagyják az n csoópontot, a (k) elágazási ráta (turning rate) pedig azon része Q n (k) -nak, aely az szekción keresztül hagyja el az n csoópontot. Feltesszük, hogy a β n (k) elágazási ráta isert a teljes időhorizont száára. Vegyük észre, hogy (2.14)-(2.15) definiálja q ) értékét, aely szükséges (2.8)-ban, ha l = 1., ( k Ha az n csoóponthoz egynél több elhagyó szekció tartozik, akkor az elenő ára (upstrea) befolyását a sűrűségre (2.9) szerint figyelebe kell venni az utolsó szekcióban l = N esetén. Erre a következő szabály választható: n β n 2 N + = 1( k) ρ µ,1 ( k) / ρ µ, 1 µ O µ O ρ, ( k), (2.16) ahol ρ ) az belépő szekció virtuális lefelé haladó árasűrűsége (dowstrea), aelyet, + 1 ( k N l = esetén kell alkalazni, ρ ) pedig a µ elhagyó szekció első szegensének sűrűsége, N µ, 1 ( k aelyet l = 1 esetén kell alkalazni (2.9)-ben. A (2.16)-ban alkalazott kvadratikus kifejezés azt az elvet tükrözi vissza, hogy egy elhagyó szekció telítődött forgalo folyaa visszahat a belépő szekcióra akkor is, ha a többi elhagyó szekcióban a forgalo folya szabad. Ha az n csoópont egynél több belépő szekcióval rendelkezik, akkor a lefelé haladó ára (downstrea) befolyását az átlagos sebességre l =1 esetén figyelebe kell venni (2.9)-ben. Ez az átlagos sebesség száítható v, ( k) = v, N ( k) qµ, N ( k) / qµ, N ( k) (2.17) µ I n µ µ µ µ µ n I n alapján, ahol v az elhagyó szekció felfelé haladó áraának virtuális sebessége, aelyet, l = 1 esetén kell alkalazni (2.9)-ben. Ne célorientált ódban az x állapotvektor koponensei a ρ sűrűségek és a átlagos sebességek inden szekció l szegense esetén, valaint a w várakozási sorok inden o kiindulási szekció esetén. A bavatkozó jel vektor koponensei az r o [,1] kiszolgálási ráták inden o kiindulási szekció esetén. Az x ( k + 1) = f ( x( k), u( k), d( k)) állapotegyenlet úgy keletkezik, hogy behelyettesítjük a (2.1), (2.14), (2.15) egyenleteket (2.8)-ba, a (2.11), (2.16), (2.17) egyenleteket (2.9)-be, továbbá a (2.13) egyenletet (2.12)-be. A d(k) zavaró jel vektor koponensei a Do igények az o kiindulási szekciók esetén, továbbá a β n elágazási ráták, ha az n csoópont az szekción keresztül kerül elhagyásra. 2.3 Autópálya hálózat célorientált üzeódú dinaikus odellje Célorientált üzeű ódban (destination oriented ode) további forgalo jellezők és ODinforációk szükségesek. Először is iserni kell a bejövő helyeket (origin links) és a célhelyeket (destination links), továbbá a bejövő helyeken a bejövő forgalo egoszlási arányát inden onnan elérhető célhely felé. Hasonlóan iserni kell az elágazási helyeken a forgalo egoszlási arányát a különböző elérhető célhelyek felé. A hálózat struktúrájából és az OD-inforációból eg kell határozni a lehetséges utakat inden egyes belépő hely és onnan elérhető célhely között, figyelebe véve az alternatív utakat is a hálózatban. Minden út jelleezhető az út entén érintett csoópontok és szegensek rendezett halazával. Ezáltal inden beenet-cél párhoz egy vagy több ilyen rendezett halaz keletkezik, ilyódon az összes OD-pár az útvonalhalazok készletét generálja. A dinaikus odell felállításánál felhasználjuk (Karai, Hegyi, De Schutter, Hallendorn, & Middelha, 24) és (Belleans, 23) eredényeit.,l o v, l 5

A felhajtókon odellezni kell a célhelyek felé a belépő forgalo egosztását az onnan elérhető célhelyek felé, továbbá külön várakozási sort kell képezni inden, a felhajtóról elérhető célhely felé. Ezen túlenően ha az szekció (link) szerepel valaelyik generált útvonalhalazban, akkor a szekció forgalában odellezni kell az onnan elérhető célhelyek felé áraló forgalat is, azaz be kell vezetni a ρ ( k) parciális forgalat is, ahol j annyi értéket,l, j vesz fel, aennyi az szekcióból elérhető célhelyek száa. Ha tehát az szekción keresztül elérhető célhelyek halazát J jelöli, akkor a ( ) parciális sűrűség azon járűvek ρ, l, j k sűrűsége az szekció l szegensében a kt pillanatban, aelyeknek az szekción keresztül elérhető j J cél felé kell haladniuk az OD inforáció szerint. A parciális forgalo sűrűség egyenlete ennek egfelelően a következőképp alakul: ρ T, l, j ( k + 1) = ρ, l, j ( k) + [ γ, l 1, j ( k) q, l 1 ( k) γ, l, j ( k) q, l ( k)] Lλ, l ( k) = ρ, l, j ( k), j J j J, (2.18a) ρ (2.18b) γ l, j ( k) : = ρ, l, j ( k) / ρ,, l k ( ), (2.18c) ahol γ ( ) azon hányada a ( ) forgalo folyanak, aelynek a j J cél felé kell, l, j k q, l k haladnia az OD inforáció szerint. A ( ) átlagsebesség és a ( eredő folya száítása v, l k q, l k) továbbra is (2.9)-(2.1) alapján történik. Részletesebb vizsgálatokhoz értelezhető a parciális folya is, aely q, l, j ( k) = ρ, l, j ( k) v, l ( k) λ, a teljes folya ezek összege: q, l ( k) = q, l, j ( k) = ρ, l, j ( k) v, l ( k) λ = ρ, l ( k) v, l ( k) λ, ai a (2.1) egyenlet. j J j J Célorientált üzeód esetén általánosítani kell a elágazási rátát (turning rate) is. Ehhez bevezetjük a parciális elágazási ráta (splitting rate) fogalát. Tegyük fel, hogy a j célhely az n csoópontból egynél több kieneti szekción keresztül érhető el. Legyen a teljes forgalo folya, aely belép az autópálya n csoópontjába a k üteben a j célhely felé. n, j k Akkor a β ( ) parciális elágazási ráta azon hányada a ( ) folyanak, aely az szekción keresztül hagyja el az n csoópontot a k üteben, feltéve, hogy a j célhely elérhető az szekción keresztül. Világos, hogy, ( k) 1. Ezért inden csoópont esetén definiálhatók a következő forgalo jellezők: γ Q β n j β n Q n, j k ( Q n, j k ( k) = qµ, N ( k) γ µ, N, j ( k) ( n, ) (2.19) µ µ n, j j µ I n q, ( k) Qn, j ( k) β n, j ( k) On (2.2) j J =,, j ( k) β n, j ( k) Qn, j ( k) / q, = ( k) O n j J ). (2.21) Itt továbbra is J jelöli az szekción keresztül elérhető célhelyek halazát, íg On az n csoópontot közvetlenül elhagyó szekciók (links) halaza. A (2.31)-(2.33) egyenletek eghatározzák q ) és γ ( ) értékét, aely szükséges lesz (2.34)-ben l = 1 esetén., ( k Másrészt teljesülnie kell a,, j k O n j β n, ( k) = 1 feltételnek, aely inden elágazási csoópontnál (bifurcation) eggyel redukálja a független parciális elágazási ráták (splitting rates) száát. Hasonló okból kiindulási szekciók esetén következő szabály szerint: ( w o, j k ) parciális várakozási sort alkalazunk a 6

w ( k + 1) = w, j ( k) + T[ θ o, j ( k) Do ( k) θ o, ( k) q o, j j o k q o ( k) = ro ( k) qˆ o ( k) = ro ( k) in D j Jo ( )], (2.22) Do, j ( k) = θ o, j ( k) Do ( k) (2.23) wo, j ( k) ( k) +, Q T ρ in 1, ρ ax o, j o ax µ ρ µ,1 ( k) (2.24) ρ cr, ahol a θ ( ) kopozíciós ráta azon (isert vagy becsült) hányada (k) -nak, aely a o, j k célhely felé irányul a k üteben, továbbá ( ) a járűvek száa az o kindulási csoóponthoz tartozó és j célhelyhez tartó járűvek parciális várakozási sorában, J o pedig azon célhelyek halaza, aelyek elérhetők az o felhajtótól kiindulva valaelyik útvonalon. Szabályozott felhajtó esetén teljesülni kell az r ) [ r,1] korlátozásnak, szabályozás nélkül pedig ( k) = 1. r o w o, j k o (k in A VMS üzenet célja az elágazási (bifurcation) csoópontoknál javaslatot tenni a vezetők száára, akik egy bizonyos célhely felé tartanak, hogy elyik irányt (szekciót, outlink) válasszák az alternatív irányok közül a cél felé haladva. A javaslat hat a vezetők viselkedésére azok egyetértésétől (copliance) függően. Mivel a VMS hivatkozik a célhelyre, az útvonal választást le kell vetíteni a csoóponthoz tartozó parciális elágazási rátára. Az n elágazási csoópontnál a j célhely száára egkülönböztetjük a vezetők D o névleges parciális elágazási rátáját útutatás nélkül (N, no guide), és az irányító rendszer által javasolt (G, guided) parciális elágazási rátát. A β n, j aely a következőképp odellezhető: β N, n, j G, n, j j irányított valódi parciális elágazási ráta a vezető alkalazkodásától függ, n, j = ( 1 ε ) β N, n, j εβ G, n, j β + ahol ε az alkalazkodási ráta (copliance rate), ε 1. Ha ε = alkalazkodás (zero copliance) és β = n, j β G, n, j n, j β N, n, j, (2.25) β, akkor egyáltalán nincs. Teljes alkalazkodás esetén (full copliance) ε = 1 és β =. Az ε alkalazkodási ráta odellezésére be lehet vonni érési eredényeket és azok kiértékelését, sztochasztikus hipotéziseket, int például a Logit odel, lásd Theil (1969), Creer (21), és virtuális járűveket, aelyeket a felhajtókon lehet bejuttatni a rendszerbe és felhasználni haladásukat a rendszerben, lásd Creer (1995). A probléa egyszerűsödik, ha feltesszük, hogy ε = 1, ekkor β = beavatkozó jelnek tekinthető, aelynek ki kell elégítenie a β n, j [,1] korlátozást. Célorientált ódban az x állapotvektor koponensei a n, j β G, n, j parciális sűrűségek inden szekció l szegense és az -ből elérhető j célhely esetén, a v, l átlagos sebességek inden szekció l szegense esetén, valaint a w o, j parciális várakozási sorok inden o kiindulási szekció és azzal összhangban lévő j célhely esetén. Az u(k) bavatkozó jel vektor a független parciális elágazási rátákból és a bevezető szakaszok (otorway-to-otorway) és a felhajtók (on-raps) r kiszolgálási rátáiból áll, ahol a beavatkozó jeleknek a [,1] tartoányba o kell esniük. A d(k) zavaró jel vektor koponensei a D igények és a kopozíciós ráták az o kiindulási szekciók és felhajtók esetén, továbbá a alkalazkodás nélküli parciális elágazási ráták, ha az n csoópont az szekción keresztül kerül elhagyásra a j célhely felé, valaint a vezető ε engedékenysége. o β ρ, l, j N, n, j θ o, j β n, j 7

Az állapotegyenlet úgy keletkezik, hogy behelyettesítjük a (2.1), (2.19)-(2.21) egyenleteket (2.18)-ba, a (2.11), (2.16), (2.17) egyenleteket (2.9)-be, továbbá a (2.13) egyenletet (2.12)-be, és ezekhez hozzávesszük a parciáis várakozó sorokat leíró (2.22)-(2.24) egyenleteket. Az állapotegyenlet zavaró jellel bővített alakja (ind ne célorientált, ind célorientált esetben) az általános alakra hozható. x ( k + 1) = f ( x( k), u( k), d( k)). (2.24) Vegyük észre, hogy az f függvényben a és N + 1 indexű forgalojellezők ne állapotváltozók, száításuk a felhajtók, elágazások, lehajtók és összekapcsolódások helyén speciális képletekkel történik. Ezért inden olyan esetben, ahol az f függvény deriváltjára van szükség, például a nelineáris prediktív irányítás vagy az állapotbecslésre alkalazott kiterjesztett Kalan-szűrő esetén, kooly száítási probléát jelent az f függvény deriváltjának analitikus száítása, különös tekintettel az autópálya hálózat koplexitására és a nagy változószára. Az utóbbiak iatt a véges differenciákon alapuló nuerikus deriválás a valósidejű elvárások iatt ne jöhet érdeben szóba. 8

3. Útvonalválasztás odellezés célorientált üzeódban Egy elterjedt visekedés odell, aely jól alkalazható a résztvevők viselkedésének odellezésére alternatív költségek esetén a Logit odel (Theil, 1969), (Craer, 21). A odell a következő ódon alkalazható útvonalválasztásra. 3.1 Elágazási ráta száítása a Logit odellben Legyen az n csoópontnál 1 és 2 két lehetséges útvonalválasztás a j célhely felé. A Logit odel az elágazási ráta száítására a következő szabályt javasolja: β n, j exp( σ ϑn, j ( k)) ( k) = (3.1) 1 2 exp( σ ϑ ( k)) + exp( σ ϑ ( k)) n, j ahol = 1 vagy = 2 esetén exp( σ ϑ n, j ( k)) jelöli a DRGIS táblán az n csoópontban jelzett utazási időt a j célhely (destination) felé az szekción (link) keresztül, és a σ paraéter írja le, hogyan reagálnak a résztvevők az utazási idők közötti differenciára két alternatíva esetén. 3.2 Egyéni utazási idő odellezése Az egyéni utazási idők száítására szükség van, ha eg kell határozni az eltérést a javasolt és a realizált utazási idő között, és az eltérést be akarjuk vonni a forgali stratégia kialakításába. El kell tehát érni, hogy ha egy járű áthalad egy elágazáson (bifurcation), akkor tárolódjék a DRGIS (Dynaic Route Guidance Inforation Systes) panel által utatott inforáció, és ha a járű a célhelyen elhagyja a hálózatot, akkor eghatározható legyen az eltérés a realizált és a beutatott utazási idő között. Az eltérés ebben az esetben bevonható a költségfüggvénybe. Az utazási idő becslésére a következő ódszer alkalazható (Creer, 1995), (Karai, Hegyi, De Schutter, Hallendorn, & Middelha, 24). Minden, ondjuk N -edik sziulációs lépésben néhány virtuális járű injektálódjon a hálózatba a sziulációs rendszer részeként, aelynek haladását a hálózatban inden sziulációs lépésben követni kell a rendszerben. Legyen ζ egy virtuális járű, akkor az alábbi inforációt kell követni a rendszerben: 1. Az útvonalat, aelyen a virtuális járű halad. 2. A szekciót (link) és szegenst a szekcióban, ahol a virtuális járű aktuálisan tartózkodik, és s pozícióját a szegensben. 3. Az utazási időt, aelyet a virtuális járű látott indazon DRGIS panelen, aely ellett ár elhaladt. 4. A virtuális járű τ utazási idejét a ár érintett DRGIS panelektől az aktuális pozíciójáig. 5. A tényt, hogy a virtuális járű elhagyta-e ár a hálózatot, és ha igen, azt a pillanatot, aikor áthaladt a célhelyén. A virtuális járű aktuális pozícióját a következő ódon lehet eghatátozni. Jelölje n, j s ζ,, i k ( ) a ζ virtuális járű pozícióját, ha a k üteben az szekció i szegensében van, és frissítsük pozícióját az s ζ, + ζ +, i ( k 1) = s,, i ( k) v, i ( k) T szabály szerint, ahol v, i ( k) a odellben szereplő átlagsebesség a szegensben a k üteben. Ha az új pozíció eghaladná a szekció L hosszát, akkor áttesszük a virtuális járűvet a következő szekcióba és annak szegensébe a tárolt útvonala entén, ondjuk az szekció i szegensébe, és a ár egtett L út levonásával beállítjuk új s ( 1) pozícióját. A virtuális járű τ ζ, η k ζ,, i k + ( ) utazási ideje az η DRGIS paneltől az aktuális pozícióig (3.2) 9

τ ζ k + 1) = τ ( k) + T, η ( ζ, η (3.3) alapján frissíthető. A virtuális járűvek száára a DRGIS panelen jósolt és a valóban realizált utazási idő közötti eltérés bevonható a célorientált üzeódú esetben a nelineáris prediktív irányítás költségfüggvényébe. A virtuális járűvek száát a rendszerben úgy kell egválasztani, hogy statisztikailag érteles inforációt kapjunk a költségek alakulásáról. Világos, hogy a virtuális járűvek száa terheli a rendelkezésre álló száítási időt, ezért száuk egválasztása egy koproisszu része. 1

4. Autópálya forgaloirányítási algoritusok A gyakorlatban elterjedt autópálya hálózat forgaloirányítási algoritusok a hálózat dinaikus odelljén alapulnak. Az elágazásokkal (bifurcations) és összekapcsolódásokkal (junctions) rendelkező autópálya hálózat irányításakor a beavatkozás a felhajtó helyek forgalának jelzőlápával történő befolyásolása (rap etering) és/vagy a járűvezetőknek küldött üzenetek (VMS, variable essage sign) révén történik. A VMS különböző célhelyek esetén javaslatot tesz az útvonalra és/vagy az utazási sebességre az alternatív útvonalak forgali viszonyainak figyelebevételével. A továbbiakban két jellegzetes autópálya forgaloirányítási algoritust, egy klasszikusat és egy nelineáris prediktív irányításon alapulót utatunk be. Jelen kutatási fázisban ne foglalkozunk a forgali paraéterek becslésével az autópálya hálózat telepített érőhelyeiből nyerhető adatok kiértékelésével, hane a paraétereket isertnek véve, a dinaikus odellből sziulációval nyerhető adatokra alapozva képzeljük el a szabályozást. A beavatkozó jelek száításakor párhuzaosan fut a dinaikus odell sziulációja. Ezért szigorúan egkülönböztetjük a dinaikus odell sziulációjakor használt finoabb T : = T si lépésközt és beavatkozások száításakor használt Tcontr intavételi időt. Feltesszük, hogy Tcontr egész száú többszöröse T -nek, ezért a ritkábban száított beavatkozás hatása több sziulációs lépés alatt változatlan arad. 4.1 Autópálya forgalo klasszikus irányítása: ALINEA Az autópálya forgalo irányítás klasszikus forája a felhajtó helyek várakozási sorainak szabályozása egyszerű PID-típusú algoritusokkal. Ennek az irodaloból isert egyik jellegzetes forája az ALINEA irányítás, ahol az elnevezés a francia Asservisseent linéaire d entrée autoroutière akroniból szárazik (Papageorgiou, Hadj-Sale & Blosseville, 1991). Csatlakozzon a szabályozott o felhajtó (origin) az n csoóponton (node) kersztül a µ szekcióhoz (link). Az ALINEA a felhajtó helyek forgalát a dinaikus odellben szereplő r o (k) kiszolgálási arány (etering control) révén befolyásolja, aely részt vesz az µ -edik szekció jelzőlápával ellátott felhajtó helyén a w o (k) várakozási sor (dienziója [veh]) változtatásában a qo ( k) = ro ( k) qˆ o ( k) pillanatnyi kiszolgálható rátára (dienziója [veh/h]) gyakorolt hatása révén. Egy egyszerű I-jellegű (integráló) szabály a felhajtóhely forgalának irányítására lehet például r ( k) = ro ( k 1) + K R, o ( ˆ ρ o ρ 1( k)), (4.1) o µ ahol K R, o > a szabályozó egválasztható paraétere, ρ ( k µ1 ) a forgalosűrűség a felhajtó helyet közvetlenül követő µ szekció (link) első szegensében és ρˆ o az alapjel, aelyet célszerű a ρ értékre választani. A kiértékelést MATLAB jelöléssel a re( k / ) = feltétel cr teljesülésekor, vagyis egész száú többszöröseinek egfelelő időpontokban kell elvégezni. A kiszáított r o (k) értékét az r,1] tartoány határán fel kell ütköztetni, és az így kapott értéket kell alkalazni. Érteleszerűen érési lehetőségek esetén a sziulált (k) ρ eas ért érték lép. T contr [ in 4.2 Nelineáris odellprediktív irányítás (NMPC) T contr ρ ( k µ1 ) helyébe a A továbbiakban előbb egfogalazzuk a nelineáris odellprediktív irányítás általános algoritusát és beutatunk néhány gyakran használt nuerikus optializálási ódszert az optiális beavatkozás száítására, ajd egadjuk az NMPC irányítás egvalósításának séáját autópálya hálózat irányításakor. 4.2.1 Modellalapú nelineáris prediktív irányítás általános algoritusa Nelineáris rendszerek esetén a jelenlegi odellalapú prediktív irányítási ódszerek rendszerint a prediktív irányításhoz testreszabott új optiukereső eljárásokon vagy tradícionális analitikus 11

optiu feltételeken és gradiens-alapú optializálási ódszereken alapulnak (Allgöver & Zheng, 2), (Ki & Shin, 23). Az utóbbiak alapja a Lagrange-ultiplikátor szabály egy általános alakja, lásd például (Lantos, 23). Tipikus véges horizontú nelineáris prediktív irányítási probléák diszkrét időben végesdienziós térben egoldandó optializálási feladatra vezetnek, ahol a változók az N N 1 x = { x i } i= állapotsorozat és az u = { u i } i= beavatkozó jel sorozat, az optializálási kritériu például kvadratikus alak a végállapot külön büntetésével, F ( x, u) = = : N 1 i= N 1 i= [ < Q x, x a korlátozások pedig az állapotegyenlet L ( x, u ) + Φ ( x i i i i i i > + < R u, u N ), i i i > ] / 2+ < Q N x N, x N > / 2 (4.1) ϕ( x, u ) x 1 =, (4.2) i i i+ az irányítási halaz u i M és a kezdeti feltétel a x =. Ha ( x, ) az optiális egoldás, akkor az általános Lagrange-ultiplikátor szabály szerint f ( x, u) = J x ( x, u ) x + J u ( x, u ) u (4.3) a deriváltja J ( x, u) -nak, ahol u J ( x, u) = F ( x, u) +< λ, a x >+< λ1, ϕ( x, u ) x1 > + L+ < λn, ϕ( xn 1, u N 1 ) x Bevezetve a Hailton-függvényt, aelynek alakja H =< λ +, ϕ( x, u ) > + L ( x, u ), i i 1 i i i i i N > (4.4) (4.5) az optiu szükséges feltétele tetszőleges sia L i ( xi, ui ) és Φ ( x N ) esetén, és speciálisan kvadratikus optializálási kritériu esetén, a következő lesz: λ = H i H i i / u / x = L i i = L i i / u dj = λ = Φ / x N / x + i i N 1 i= T + ( ϕ / xi ) λi+ 1 = Qi xi + ( ϕ / xi ) T T ( ϕ / u ) λ = R u + ( ϕ / u ) < H i i N = Q i+ 1 / u, u i N i x i N u, i i >. A szabályozó tervezéshez az aktuális horizonton belül először szükség van az x kezdeti feltételre és az u irányítás (sorozat) kezdeti approxiációjára (az utóbbi lehet az előző horizonton belül kapott egoldás egy lépéssel jobbra eltolva és a hiányzó értéket valailyen alkalas technikával pótolva). Az optializálás a következő lépéseket isétli ciklikusan (Lantos, & Kiss, 25), (Lantos, 26): 1. Az állapotegyenlet egoldása, azaz az = { } = sorozat eghatározása (előretartó rekurzió) az u = { λ i N 1 u i } i= N x x i i sorozat kezdeti, ajd az iteráció során kialakult aktuális értékét alkalazva. 2. A Lagrange-ultiplikátorok eghatározása (hátratartó rekurzió). 3. A H i / u i deriváltak kiszáítása. 4. Nuerikus optializálás gradiens alapú (gradiens, konjugált gradiens, Davidon-Fletcher- N 1 Powell stb.) ódszerrel az u = { u i } i= beavatkozó jel (sorozat) eghatározásához, vagy egy korlátozásokat is egengedő általános NP (Nonlinear Prograing) feladat egoldásával. 5. Az 1. 4. lépések isétlése a pontossági korlátok teljesülésének eléréséig. N 1 u u i i= 6. Az optiális = { } sorozat első u beavatkozó jelének kiadása zárt körben, ajd a horizont jobbra tolása egy üteel és az új horizont száára új u = { száítása. i T λ λ i+ 1 i+ 1, N 1 u i } i=, (4.6) közelítő egoldás 12

Megjegyezzük, hogy a gradiens alapú optiukeresés helyett a korlátozásokat is egengedő, nelineáris prograozáson (NP) alapuló optializálási ódszerek bonyolultabbak és jelentősen nagyobb száítási igényűek, ezért valós időben csak egfelelő kritikával alkalazhatók, ivel az optializálást az aktuális horizonton belül T contr intavételi idő alatt el kell végezni. Az első horizont esetén ne prediktív tervezési ódszer szükséges az u irányítás sorozat kezdeti approxiációjának eghatározására. Ha az eredeti rendszer folytonosidejű, akkor először approxiálni kell diszkrétidejű rendszerrel, például x& = f c + ( x, u) xi 1 = xi + Tf c ( xi, ui ) = : ϕ( xi, ui ), (4.7) ahol T a intavételi idő. Ha a teljes állapot ne érhető, akkor x becsülhető egy kiterjesztett Kalan-szűrővel. Ha y = Cx a rendszer kienő jele és ~ y = yd y a hiba, továbbá elvárás, hogy a célfüggvénynek a kienő jel hibájára kell érzékenynek lennie, akkor a költségfüggvény ódosítható a következő alakúra: ~ y = yd Cx, ~ 2L ~, ~ i( xi, ui) =< Qi yi yi > + < Sixi, xi > + < Riui, ui >, (4.8) ~ 2Φ ( x ) =< Q ~ y, ~ y >, ahol a deriváltak a következő szabály szerint száíthatók: T ~ L ~ i / xi = C Qi yi + Si xi, T ~ Φ / x = C Q ~ y Ha korlátozás nélküli optiukereső eljárást alkalazunk, akkor N N N N N N N. (4.9) projektálandó a korlátozási halazra. Az állapotváltozóra vonatkozó korlátozások büntetőfüggvény (penalty function) alakjában vehetők figyelebe, aelyeket hozzá kell adni L x, u ) -hoz a költségfüggvényben. Iseretes, hogy a Φ ( x N ) tag súlyozása befolyással van a rendszer stabilitására és dinaikus viselkedésére prediktív irányítás esetén (Allgöver & Zheng, 2). 4.2.2 Optiukereső ódszerek u i i ( i i A nuerikus optiukeresés széles tárházából optiukeresésre a korlátozás nélküli esetben elsősorban a gradiens alapú konjugált gradiens, Davidon/Fletcher/Powell (DFP), Fletcher/Reeves és Polak/Ribierre ódszerek javasolhatók, korlátozás esetén büntetőfüggvény bevonásával, vagy a egfelelő száítási idő rendelkezésre állásakor a Schittkowski-féle SQP ódszer az általános nelineáris prograozási feladat egoldására korlátozások esetén. A részletek tekintetében lásd (Lantos, 23). A továbbiakban röviden összefoglaljuk ezeket a ódszereket arra az esetre, ha a feladat egy f (x) függvény iniuának eghatározására vezethető vissza. Konjugált gradiens algoritus tetszőleges függvény esetén: 1. Inicializálás: Legyen x az induló érték, g : = f ( x ), d = g, k =. 2. Tegyük fel, hogy ár eg lett határozva x k, g k = f ( x k ) és a d k ú.n. konjugált irány. Keressük eg a iniuát a ϕ ( λ) = f ( x k + λ d k ) függvénynek optiukereséssel egyetlen skalár változóban (pl. Fibonacci-kereséssel, haradfokú polinoal való közelítéssel), és legyen λ k a iniu helye. Határozzuk eg az új keresési irányt a következő szabály szerint: x x + λ d, g : = f ( x ), (4.1a) k + 1 : = k k k k + 1 k + 1 13

< g k + 1, g k + 1 g k > β k : =, (4.1b) < d, g g > d k k + 1 k + 1 : = g k + 1 k k + β d k. (4.1c) Isételjük a 2. lépést k = n eléréséig, ha g >. Ha elértük k = n -et, akkor legyen és folytassuk az 1. lépéstől (újra inicializálás). Ha helyének -t és stop. x k k g k x : =, akkor fogadjuk el a iniu Megjegyzés: Ha f (x) konvex és kvadratikus, akkor az algoritus axiu n lépésben konvergál. Ha azonban ne kvadratikus, akkor a ódszer csak közelítő, és általában ne érhető el a iniu n = di x lépés alatt. A tapasztalat szerint célszerű az algoritust újra inicializálni inden n -edik lépés után, ahogy azt a fentiekben javasoltuk. Davidon/Fletcher/Powell eljárás A Davidon/Fletcher/Powell eljárás inicializáláskor igényel egy definit átrixot is kereséssel kell eghatározni, szabály szerint: H > x n szietrikus és pozitív x ellett. A keresési irány d = H f ( x ), a értékét irányenti x k + 1 := x k + λ d k k k : k k, ajd korrigálni kell a átrixot a következő λ k H q k k + 1 : = f ( x : = H k k + 1 ) f ( x rk rk + < r, q k T k k ), r k : = x k k + 1 k x ( H k qk )( H k qk ) > < q, H q > k k, T. (4.11) Az algoritus garantálja, hogy H k > arad. Az f (x ) -re vonatkozó bizonyos siasági és korlátossági feltételek teljesülésekor a Davidon/Fletcher/Powell eljárás konvergenciája erősebb a lineárisnál. Fletcher/Reeves és Polak/Ribierre eljárás A Fletcher/Reeves és Polak/Ribierre ódszernél inicializáláskor ellett beállítandó ég β : = is. A keresési irány d k : = f ( xk ) + β k 1d k 1, a λ k értékét irányenti kereséssel kell eghatározni, xk + 1 := xk + λk d k, ajd korrigálni kell β k értékét a következő szabály szerint: x β : = k f ( x f ( x k + 1 < f ( x β : = k k ) ) 2 k + 1 2 ) f ( x f ( x k 2 k ) ), f ( x k + 1 ) > (Fletcher/Reeves) (Polak/Ribierre) (4.12) Konvex és kvadratikus függvény esetén a d k keresési irányok konjugált irányok, továbbá a két eljárás azonos. Ha a függvény ne kvadratikus, akkor célszerű inden n = di x lépés után újra inicializálni az eljárást: β :=, ha k = (od n). Schittkowski-féle SQP ódszer k Az optializálás általános feladata (GP, general proble): in f ( x) g ( x) =, i = 1, K, x l i g ( x), i = i x x u e e + 1, K, 14

n ahol x R a anipulálható változók vektora, az egyenlőség alakjában, az egyenlőtlenség alakjában adott korlátozások száa, és az (vektor érteleben, koponensenként). e x l, x u vektorok közé kell esnie e x -nek Az optializálást végző függvények igénylik az f ( x) = f ( x) gradienst és nuerikus iterációval közelítik az f ( x) = H ( x) Hess-átrixot (BFGS ódszer). Ha a gradiens száítási szabálya egadható, akkor a keresés gyorsítható. Ellenkező esetben az elsőrendű parciális deriváltak nuerikus becslésére van szükség a véges differenciák ódszerével az f ( x + x) értékekből, ai növekvő beeneti változószá és bonyolult költségfüggvény esetén nagyban egnöveli a száítási időt. A korlátozások elletti általános inializálási feladatat egoldását a MATLAB Optiization Toolbox x = fincon( fun, x, A, b, Aeq, beq, lb, ub, nonlcon, options, P1, P2, K) függvénye a Schittkowski-féle szekvenciális kvadratikus prograozás ódszerével (SQP, sequential quadratic prograing) határozza eg. A ódszer inden iterációs lépésben az x i becslés környezetében kvadratikus függvénnyel közelíti a költségfüggvényt, lineárissal a korlátozásokat, egoldja az így keletkező QP kvadratikus prograozási feladatot az ú.n. aktív halaz ódszerrel, és indezt ciklikusan isétli a pontosági követelények eléréséig. Jelölje L ( x, λ) = f ( x) + λ a Lagrange függvényt, akkor az SQP ódszer fő iterációs lépései a i i gi ( x) következők: 1. Az L ( x, λ) Lagrange függvény Hess-átrixának frissítése (BFGS ódszer). 2. QP kvadratikus prograozási részfeladat egoldása a keresési irány eghatározására (aktív halaz ódszer), a QP feladat optiális d i egoldása lesz a keresési irány. Az optiu új xi+ 1 = xi + αd i becslését irányenti optializálással kell eghatározni. 3. Értékelő függvény (erit function) száítás és irányenti keresés. Az értékelő függvény induláskor jobban bünteti a kis gradiensű korlátozásokat, ert ezek a egoldási pont környékén fontosabbak, ha szerepelnek az aktív korlátozások között. Az optiukereső eljárások csak a lokális optiu eghatározására alkalasak, és hogy elyiket (a globálisat vagy annál rosszabbat) talják eg, az attól függ, hogy ilyen kezdeti értékről indul a keresés. Ha a globális optiu közeléből, akkor van esély a globális optiu egtalálására, különben ne. Ezért a jó kezdeti érték egválasztása kulcsfontosságú, ert növekvő dienziók ellett esélytelen a kezdeti becslések hatásának feltérképezése. Ezért különösen jelentős, ha technológiai oldalról kedvező x kezdeti becslés és x l, xu tartoány adható eg. A globális optiu egtalálását jobban garantáló és sztochasztikus keresésen alauló GA (Genetic Algorith) ódszer nagy futási ideje iatt valósidejű feladatoknál ne jöhet száításba. 4.2.3 NMPC ipleentálási szepontok autópálya hálózat irányításakor A nelineáris odellprediktív irányítás ipleentálásakor célszerű bevezetni egy sziulációs lépésköz szálálót és egy szabályozási szálálót: t = kt = ztcontr k = ztcontr / T. Az optializálandó változók száának csökkentése alapvető fontosságú ind a valósidejűség, ind pedig a beavatkozó jel siaságának biztosítása érdekében. Az NMPC a t = zt contr intervalluban a odellre alapozva becsli, ahol optializálással eghatározza az optiális kezdőpontú horizontban a jövőbeli folyaatjeleket a [ t, t + N p T contr ) a predikciós horizont. Az NMPC nuerikus beavatkozó jel (irányítás) sorozatot a horizonton belül, lásd altalános odellpredikciós algoritus a 4.2.1 pontban. Azonban autópálya forgaloirányításnál nincs előírt referencia pálya, ezért az optializálási cél a TTS teljes utazási idő, a predikciós hiba és az irányítási variancia súlyozott N p u( z), u( z 1), K, u( z + N 1) + p 15