I. RÉSZ:VEKTOROK KOORDINÁTA FOGALMA

Átírás

1 I. RÉSZ:VEKTOROK KOORDINÁTA FOGALMA Koordinát áltlános foglm Definíció: Legyenek, b, c egysíkú vektorok, melyek közül és b bázist lkot (síkbn ez zt jelenti, hogy nem párhuzmosk). Ekkor c= + b lineáris kombinációbn szereplő és vlós számokt c vektor,b bázisr vontkozó koordinátáknk nevezzük. Az lábbi rövidített jelölés nemcsk jelölés, hnem zt is jelenti, hogy ebben koordinátás felírási módbn MÁTRIXNAK is tekintjük vektorokt. Ez további lgebri tnulmányinkbn végigvonul, ezért lpvetően fontos! Jelölés: c= + b =,b T,,b (A T betű felső indexben zt jelenti, hogy sorbn elrendezett koordináták vlójábn egy oszlopvektort jelentenek, oszlopnk értelmezzük: ez sorvektor ún. trnszponáltj. Előfordulht, hogy csk nyomdtechniki okokból írjuk így, de ismerni és felismerni mindkét lkot tudni kell) H szövegből kiderül, hogy melyik bázist hsználjuk, kkor nem fontos koordinát mátrix (koordinát vektor) jobb lsó indexében jelölni vektort. FONTOS: bázisvektorok sorrendje számít! c= + b =b+, DE: HANEM:,b,b,b b, A középiskolábn tnultk innen átismételhetők: /lecke

2 Péld: Az lábbi ábrán három bázist jelöltünk ki: [k, [, [b. Írjuk fel z x vektor koordinát mátrixát e bázisokr vontozttv! Ábr és megoldás: A vektorok koordinátás felírásához z indexek növekvő sorrendjében rögzítettük bázisvektorokt. A sorrend válsztás tetszőleges, de eldöntése után rögzített.. Feldt.) Írjuk fel z x vektor koordinát mátrixát bbn z esetben, h bázisvektorokt felcseréljük! (, pont) b.) Írjuk fel z [ bázis bázisvektorink koordinát mátrixát z [ bázisr vontkozttv (oszlopvektorként)! c.) A térbeli bázisok esetében egy-egy bázisbn bázisvektorok hányféle sorrendje rögzíthető?

3 . Feldt: Az lábbi ábrán három bázist jelöltünk ki: [, [b, [k. x j i k b i, r, r,b b r j r r r.) Írj fel z x vektor koordinát mátrixát z [x, bázisr vontkozttv! b.) Írj fel z x vektor koordinát mátrixát z [ bázisr! Írj fel bbn z esetben is, h bázisvektorok sorrendjét felcseréljük! c.) Írj fel z x vektor koordinát mátrixát [ b bázisr! d.) Írj fel z x vektor koordinát mátrixát [ k bázisr! e.) Tekintsük most z x és vektorok áltl lkotott bázist. Mi z i vektor koordinát mátrix erre bázisr vontkozttv?

4 II. RÉSZ: MÁTRIXOK A.) MÁTRIX ALAPOK Műveletek definíciói és tuljdonsági, műveletek végrehjtás, szvk jelentése. Mátrix foglm Számok n sorból és m oszlopból álló tábláztos elrendezését mátrixnk nevezzük. A mátrix típus mn. H m=n. kkor mátrix négyzetes, ltin eredetű szóvl: kvdrtikus. Jelölés: Péld: A [ ij] m m m n n n mn mn M mn. [ ].... oszlop. sor. sor E mátrixnk sor, oszlop vn, ezért típus x. A szögletes zárójelek helyett hsználhtó gömbölyű zárójel is. A ngybetű lehet dőlt, és/vgy kétszer láhúzott is. H z áltlános elem zárójelek nélkül szerepel, kkor vlóbn csk zt z egy elemet, zárójelben pedig mátrix egészét jelenti:. A= ( ik )= [ ], és pl. = 7,8. Mátrix trnszponáltj Az A mátrixot főátlójár tükrözve kpjuk z A trnszponáltját: ik ki Péld: A 8 T A 8 Azok négyzetes mátrixok, melyek egyenlők trnszponáltjikkl, szimmetrikus mátrixok. Azok négyzetes mátrixok, melyek trnszponáltjik (-)-szeresei, z ntiszimmetrikus/ferdén szimmetrikus mátrixok.

5 Feldt: Írj fel z lábbi mátrixok trnszponáltjit! c b z y x A B C d.) D e.) E F g.) G H I J K L Töltse ki z lábbi tábláztot: A B C D E F G H I J K L szimmetrikus ferdén szimmetrikus ide nem X írndó, hnem trnszponáltjánk neve F digonális sorvektor oszlopvektor sorvektor is, meg oszlopvektor is. determináns null determináns nem null determináns BIZTOSAN determináns nem értelmezhető

6 . Mátrixok összedás Definíció: H z A és B mátrix zonos típusú, kkor cik=ik+bik C=A + B (Össze kell dni megfelelő pozíción áll elemeket) Feldt: H A és B egyránt x típusúk, mi C eredmény mátrix típus? Feldt: Az lábbik közül mely mátrixok dhtók össze? c b z y x A B C d.) D e.) E F g.) G H I J K, L Töltse ki z lábbi tábláztot: Töltse ki tábláztot, egy x betűt írjon megfelelő helyre (mikor két mtrix összedhtó): A B C D E F G H I J K L A B C D X E F G H I J K L

7 Feldt: Töltse ki tábláztot! A+B=B+A A+(B+C)(A+B)+C AB=BA A(B+C)AC+BC (B+C)A=BA+CA A(BC)=(AB)C IGAZ HAMIS A kijelölt művelet nem biztos, hogy elvégezhető A tuljdonság neve Tuljdonság A+B=B+A A+(B+C)=(A+B)+C (B+C)A=BA+CA A(BC)=(AB)C Másképpen zárójelezhető Kommuttív Csoportosíthtó Asszocitív Felcserélhető Disztri-butív Feldt: Adj meg C mátrix elemeit, h tudjuk, hogy A A+C= Jelölje meg z igz válszokt (több is lehet): C mátrix neve ez esetben z lábbi IGAZ HAMIS egységmátrix inverz mátrix egységelem nullmátrix inverz elem ellentett mátrix

8 Feldt: Adj meg C mátrix elemeit, h tudjuk, hogy A A+C= C mátrix neve ez esetben z lábbi IGAZ HAMIS egységmátrix inverz mátrix egységelem nullmátrix inverz elem ellentett mátrix. Mátrix számszoros Definíció: Legyen λr. Az m x n-s A mátrix λ számszoros z B mátrix, melynek elemei: bik= λik Péld: Adj meg z lábbi A mátrix kétszeresét! A Megoldás: A 8 Feldt: Számíts ki C mátrixot, mely z A és B mátrixok lineáris kombinációj: A B 9 C A B

9 Feldt: λ, vlós számok, A, B zonos típusú mátrixok λ ( A)= (λ )A IGAZ HAMIS A kijelölt művelet nem biztos, hogy elvégezhető λ (A+B)= λ A+ λ B (λ+) Aλ A+ A λ (AB)= (λ A) (λ B) λ, vlós számok, A, B típus olyn, hogy kijelölt műveletek elvégezhetők λ ( A)= (λ )A Vegyes sszocitív Vegyes disztributív Az állítás nem igz λ (A+B)= λ A+ λ B (λ+) Aλ A+ A λ (AB)= (λ A) (λ B). Szorzás Definíció: A szorzndó mátrix sorvektorit sklárisn szorozzuk szorzó mátrix oszlopvektorivl.

10 Péld: Feldt: Döntse el, z lábbi mátrixok közül melyek szorozhtók össze? A= c b z y x B= C= D= E= F= G= H= I= J= K= d c b L Töltse ki tábláztot, egy x betűt írjon megfelelő helyre (mikor két mtrix összedhtó): A B C D E F G H I J K L A B C D X E F G H I J K Amennyiben lehetséges, végezze el kijelölt műveletet: AG, GA, GF, FG, CI, IC, HK, KH, DD=D, DDD=D, DDDD=D, LL=L,LLL=L, KL, LK,

11 . Mátrix szorzásr vontkozó egysége, inverze Definíció: Az nxn es mátrixok körében zt z n x n-es En= dig(,, ) egységmátrixot, melyre AE=EA, szorzás egységének nevezzük, és röviden egységmátrixnk hívjuk. Például: H vn vlmely műveletre nézve egység z dott struktúrábn, kkor értelmes felvetni z inverz elem foglmát. A mátrixok összedásánk egyik tuljdonság, hogy minden A mátrixhoz létezik z A ellentett mátrix, melyre A+A =. Ez z összedásr vontkozó inverz elem. Definíció: Legyen A n x n-es mátrix. Azt z A - -gyel jelölt, n x n-es mátrixot, melyre A. A - = A -. A = En, z A mátrix inverzének nevezzük (ez szorzásr vontkozó inverz elem) Feldt: Számíts ki z mátrix inverzét Guss-Jordn eliminációvl! Megoldás:

12 Feldt: H AB és BA is értelmezhető, kkor AB=BA H z A(BC) szorzt létezik, kkor létezik z (AB)C is, és (AB)C=A(BC) H z AB és BA is értelmezhető, kkor A és B négyzetes mátrixok. Bármely mátrixot nullmátrix-szl szorozv nullmátrixot kpunk Mátrixok szorzás esetén z egységelem egyértelmű Mátrixok összedás esetén z egységelem egyértelmű Mátrixok összedás esetén z inverz elem egyértelmű Mátrixok szorzás esetén z inverz elem egyértelmű IGAZ HAMIS Feldt: H z A mátrix x, B mátrix x típusú, mi C= AB mátrix típus?

13 IGAZAK vgy HAMISAK z lábbi állítások? Azt mindig feltesszük, hogy szóbnforgó művelet elvégezhető. Krikázz be megfelelő válszt. Mátrix trnszponáltjánk trnszponáltj nem értelmezhető. IGAZ HAMIS H vesszük mátrix trnszponáltjánk trnszponáltját, és ezt trnszponáljuk, kkor z eredeti mátrix trnszponáltját kpjuk. IGAZ HAMIS Ugynzt kpjuk, h előbb trnszponálunk két mátrixot, mjd összedjuk, illetve, h előbb összedjuk mjd trnszponáljuk őket. IGAZ HAMIS Két mátrix szorztánk trnszponáltját úgy is megkphtjuk, hogy két mátrixot trnszponáljuk, mjd z eredeti sorrendben összeszorozzuk. IGAZ HAMIS Két mátrix szorztánk trnszponáltj cskis úgy számolhtó ki, hogy először összeszorozzuk két mátrixot, mjd trnszponáljuk. IGAZ HAMIS Két mátrix trnszponáltj úgy is kiszámíthtó, hogy külön-külön trnszponáljuk két mátrixot, mjd fordított sorendben összeszorozzuk őket. IGAZ HAMIS A négyzetes mátrix inverzének inverze mg mátrix. IGAZ HAMIS H egy mátrixnk vn inverze, kkor trnszponáltjánk is vn. IGAZ HAMIS Két mátrix szorztánk inverze cskis úgy számolhtó ki, hogy először összeszorozzuk két mátrixot, mjd trnszponáljuk. IGAZ HAMIS Két mátrix trnszponáltj úgy is kiszámíthtó, hogy külön-külön trnszponáljuk két mátrixot, mjd fordított sorendben összeszorozzuk őket. IGAZ HAMIS

14 B.) DETERMINÁNSOK ÉS MÁTRIX INVERZÉNEK SZÁMÍTÁSA Elődáson láttuk, hogy z n x n es mátrix inverzének számítás n db n x n-es olyn egyenletrendszerre vezethető vissz, melyek együtthtó mátrix egyenlő. Ezért mátrix inverzét z lábbi módon, ún. Guss-Jordn eliminációvl számíthtjuk. H csup null sor dódn, kkor z inverz nem létezik. További péld jegyzetben vgy z elődás nygbn is olvshtó. E módszer lényege: Elemi sor átlkításokkl z lkr hozzuk mátrixot, D lesz z A inverze. A lkot z D Az lábbi mint példán megmuttjuk, hányféle számolásr jó Guss-Jordn elimináció. (Az lábbi példábn először Guss elimináltunk, után normáltuk digonálist, mjd nulláztuk digonálisbn álló elemek segítségével felette álló elemeket. Lehet zonbn rögtön digonális ltti és feletti elemeket is nullázni. ) E n E n A.) Számíts ki mátrix inverzét! EDDIG GAUSS, innen JORDAN

15 B.) A fenti számolás felhsználásávl számíts ki következő determinánst! Megoldás: A determináns bl x s négyzetben vn. Nem változik, h egy soránk számszorosát hozzádjuk vlmely más sorához. Ezért fenti számolásbn. és. lépések kivételével determináns nem változott. A. lépésben (-)-ml osztottuk z egyik sort, vgyis determináns egyik sorát egy (-/)-dl szoroztuk, ezért értéke is (-/) szorosár változott. Ezt (--ml) vló szorzássl kompenzáljuk. Hsonlón. lépésben -vel osztottuk z egyik sort, ezt -vel vló szorzássl kompenzáljuk. Így tehát kpott det(dig(,,))= számot (-)-tl meg kel szorozni. A determináns értéke tehát (-) Másik megoldás csk Guss: Feldt: Az utolsó lépésben determináns tuljdonsági közül melyet lklmztunk? C.) Oldjuk meg z lábbi lineáris egyenletrendszert! x+y+z= x+y = z= Mivel z egyenleteket szbd nem null számml szorozni, osztni, kompenzálásr nincsen szükség.

16 Feldt: Számíts ki z lábbi mátrix inverzét! (? pont) Végeredmény: Mennyi determináns értéke? Útmuttás:.) Végezze el GAUSS első lépését, mjd első sor szerinti fejtse ki b.) A kpott x determináns. sorát vonjuk ki z első sorból c.) Fejtsük ki. oszlop szerint d.) Végeredmény: - Mi megoldás z lábbi lineáris egyenletrendszernek? Útmuttás: szorozz be mátrix egyenletet z inverzzel! w z y x MEGOLDÁS: z= y=/ x=-/

17 Feldt:.) Számíts ki z lábbi mátrix inverzét. - A Végeredmény: - - A - (SZORZÁSSAL ELLENŐRIZZE!) b.) Az.) pontbn kiszámolt inverz mátrix segítségével oldj meg z lábbi egyenletet - z y x