Véges csoportok mint belső szimmetriák kvantumtérelméleti rács modellekben. Témavezető: Szlachányi Kornél, KFKI RMKI

Átírás

1 Véges csoportok mit belső szimmetriák kvatumtérelméleti rács modellekbe Balázs Márto V. fizikus, ELTE TTK Témavezető: Szlacháyi Korél, KFKI RMKI

2 Bevezetés A fizikába redkívül fotos a csoportok szerepe, általába szimmetriák felírásáál. A szimmetriák gyakra leszűkítik elméleti lehetőségeiket, így segítve új elméletek kereséséek iráyát, egyszerűbbé teszik számolásaikat, sőt éha kokrét jóslatok alapját is adják. Nics ez másképp a kvatumtérelméletekbe sem. Ezeket az elméleteket sokszor relativisztikus alakba fogalmazzuk meg, így már felírásukkor megjeleik a Poicaré-csoport, mit alapvető szimmatriacsoport illetve éha eek alacsoyabb dimeziós megfelelői. Az elméletek egy másik jeletős részét adják a koform térelméletek, melyekbe a Poicaré-csoport helyett két dimeziós koform csoportok jeleek meg.új jeleségek leírásáál bizoyos belső szimmetriák segíteek a tapasztalatok értelmezésébe, osztályozásába, kezelhetővé téve kísérleti eredméyeiket. Természetese eze szimmetriák később megjeleek a jeleségre kidolgozott elméletekbe is. Ilyeek például az izospi, a paritás, a töltéskojugáció, a lepto- és barioszámmegmaradás. A jeleségek hátterét leíró mértékelméleti leírásokba pedig mértékszimmetriák jeleek meg, alapját adva az elmélet felépítéséek. Ebbe a dolgozatba a szuperszelekciós szektorok?? elméletébe fotos szerepet játszó éháy alapfogalmat ismerhetük meg. Ezeket a fogalmakat rácsmodellek példájá keresztül mutatjuk be. Vizsgáljuk eze modellekbe véges szimmetriák hatását, valamit az e hatásokra ivariás azaz szimmetrikus kombiációkat. Két modellel foglalkozuk: az első egy egy dimeziós Isig-spi modell, melybe a szimmetriacsoportak a Z két elemű csoport felel meg, másik modellük pedig egy hasoló algebrára épülő spi-modell, melye az S 3 csoport hat eek két geerátora egy harmadredű forgatásak illetve egy tükrözések felel meg. Bár a dolgozatba csak véges csoportok fordulak elő, a bemutatott módszerek alkalmasak Hopf-algebrai vagy általáosabb szimmetriájú modellek taulmáyozására is. A dolgozat első részébe rövid áttekitést yújtuk a felhaszált matematikai apparátusról. Így az első fejezet a véges csoportok általáos tulajdoságairól és ábrázolásukról szól, a második fejezetbe az ábrázolások és a közöttük való áttérések redszerezéséről esik szó. Az itt bemutatott fogalmakat a harmadik fejezetbe az S 3 csoporto mutatjuk be, eljutva egy fotos egyértelműségi állításhoz e csoport ábrázolási redszeréek struktúrájával kapcsolatba. A második részbe rácstérelméleti alkalmazásokról esik szó. A egyedik fejezetbe e véges csoportok szimmetriakét való felírásáak módját vizsgáljuk rácstérelméletek operátoralgebrájá. Az ötödik fejezetbe az Isig-spi modelle, a hatodik fejezetbe pedig egy hasoló algebrá felírt S 3 -spi modelle mutatjuk be eddig felépített fogalmaikat. A szimmetriák hatásáak felírásá túl megkeressük e modellekbe a szimmetriatraszformációkra ivariás ú. megfigyelhető részét a modellek operátoralgebrájáak.

3 . Véges csoportok Ebbe a fejezetbe éháy szükséges alapismeretet foglaluk össze a véges csoportokkal és ábrázolásaikkal kapcsolatba. Az itt szereplő levezetések közül éháy egyszerűbb öállóa lett kidolgozva, az állítások egy részéek bizoyítását viszot em közöljük... A csoportalgebra.. Defiíció. A G, párt csoportak evezzük, ha G halmaz, pedig egy asszociatív, egységelemes és iverzelemes művelet rajta. A továbbiakba általába véges csoportokkal CardG N foglalkozuk. A csoport tulajdoságai túl célszerű bevezeti elemeiek számmal való szorzását és összeadását is... Defiíció. A CG csoportalgebra a csoport elemeiek komplex lieárkombiációja a következő tulajdoságokkal g, g G ; c g, c g C: ha CG a = c gg és CG a = c gg, g g akkor i a + a = c g + c g g ; g ii a a = c gc gg g. g,g.. Modulusok.. Defiíció. Legye G, csoport, V, + pedig kommutatív csoport például V lehet egy vektortér. Ekkor G V : G V V ; g, v gv bal G-modulus V -, ha mide g, h G ; v, u V - re és az e G csoportegységre i g hv = ghv ; ii ev = v ; iii gu + v = gu + gv. Szokták a csoport-modulust csoport-ábrázolásak is hívi. Célszerű vola ezt az ábrázolást kiterjesztei a csoportalgebrára is. Ehhez defiiáljuk a gyűrű majd az algebra fogalmát, illetve ezek hatását a V, + kommutatív csoporto... Defiíció. R a rajta értelmezett szorzás és összeadás műveletekkel gyűrű, ha R, + kommutatív csoport, és mide r, s, t R elemre i r s t = r s t ; ii r s + t = r s + r t ; iii s + t r = s r + t r. A továbbiakba egységelemes gyűrűről foguk beszéli, ahol tehát létezik R, melyre r = r = r...3 Defiíció. Legye R gyűrű, V, + pedig kommutatív csoport. Egy R V : R V V ; r, v rv leképzést bal R-modulusak hívuk, ha mide r, s R ; u, v V elemre és az R egységre i r + sv = rv + sv ; ii ru + v = ru + rv ; iii rsv = r sv ; iv v = v...4 Defiíció. Legyeek R és A gyűrűk, R kommutatív. Az A gyűrű cetruma CetrA := {z A a A a z = z a}. Azt modjuk, hogy A algebra R felett, ha adva va egy i : R CetrA em ulla és egységőrző azaz i : R A gyűrű-homomorfizmus.

4 ..5 Megjegyzés. Gyakra előfordul, hogy az R gyűrű egybe test is például R = C. Ekkor az előbbi i homomorfizmus szükségképpe ijektív, azaz r -ra ir. Ugyais ir = és r eseté r létezése miatt = ir ir = ir r = i R teljesüle, ezt pedig kizárja i egységőrző tulajdosága...6 Defiíció. Legye A algebra az R gyűrű felett, V pedig egy bal R-modulus. V -t bal algebramodulusak hívjuk az A algebra felett, ha V bal modulus az A gyűrű felett is úgy, hogy az A- és R-hatás az i homomorfizmussal kompatibilis: r R, v V rv = irv. Ha i ijektív például R test volta miatt, akkor ez egyszerűe azt jeleti, hogy az R-beli skalárokkal való szorzás kiterjed az A-beli skalárokra is. A következőkbe B alatt a csoport, gyűrű vagy algebra egyikét, a B V moduluso pedig a megfelelő csoport-, gyűrű-, vagy algebramodulus egyikét értjük...7 Defiíció. Legye V, + és V, + két kommutatív csoport. A direktösszegük V V, + a V V halmaz, ellátva a + : V V V V V V ; u u, v v u + v u + v művelettel, így V V, + is kommutatív csoport. A B V és B V modulusok direktösszege BV B V : B, V V V V ; b, v v bv bv, szité modulus. A B V modulus részmodulusa a B V modulus, ha V V...8 Defiíció. A B V modulus egyszerű vagy irreducibilis, ha ics emtriviális részmodulusa...9 Defiíció. A B V modulus idekompoálható, ha mide B V és B V modulusra B V és BV B V ekvivaleciájából B V = vagy B V = azaz V, + vagy V, + triviális, egy elemű csoport következik. Ekkor tehát B V em botható fel emtriviális direktösszegre... Defiíció. A B V modulus félegyszerű, ha izomorf véges sok egyszerű modulus direktösszegével. Nyilvávaló, hogy ha B V egyszerű, akkor idekompoálható. Azoba eek megfordítása em igaz:.. Példa. Legye A = { a b c } a, b, c C a szokásos mátrixszorzással ez algebra C felett. Válasszuk bee a következő bázist: e := Írjuk fel eze bázisok szorzótábláját:, e := e e f e e f e e f f 3 ;, f :=.

5 Legye V := Ce ; V := Spa{e, f} ; U := Cf. Most tekitsük a szokásos mátrixszorzást, mit A A modulust, azaz A hatását ömagá. Ekkor A V, A V és A U részmodulusai A A-ak, és A A = A V A V, így A A dekompoálható. AV és A U egydimeziósak, így természetese egyszerűek. A V -ek azoba részmodulusa A U, ezért em egyszerű, azoba idekompoálható: köye belátható, hogy A V -ek A U- kívül ics más emtriviális részmodulusa, tehát em állítható elő emtriviális direktösszeg formájába... Példa. Legye G a Z két elemű csoport: Z e f e e f f f e. Tekitsük a CG csoportalgebra hatását ömagára, azaz a CG CG modulust. Ez a modulus felbotható két egy dimeziós ezért egyszerű modulus direktösszegére, vagyis félegyszerű. A két modulus V := Ce + f és V := Ce f. Az e-vel való szorzás természetese midkét vektortére az idetitás leképzés, f hatása pedig V -e az idetitás, V - a míusz idetitás. Ha ezeket a kombiációkat R - ábrázoljuk e + f és e f formájába, akkor az e és f elemeket hatásuk alapjá -es mátrixokkal reprezetálhatjuk eze az R tére, és így kapjuk a csoport egy mátrixreprezetációját: e, f. Eze mátrixábrázoláso is jól látszik, hogy modulusuk két egy dimeziós modulus direktösszege lett: a mátrix két -es blokkból áll, a V és V tereket em keveri...3 Példa. Legye G az S 3 csoport az e egységgel és a c, t geerátorokkal: S 3 e c c t tc tc e e c c t tc tc c c c e tc t tc c c e c tc tc t t t tc tc e c c tc tc tc t c e c tc tc t tc c c e. Az CS3 CS 3 modulus is félegyszerű. Legye C ω ; ω 3 =, és v := 6 e + c + c + t + tc + tc v := 6 e + c + c t tc tc u := 6 e + ωc + ω c + t + ω tc + ωtc u := 6 e + ω c + ωc + t + ωtc + ω tc u := 6 e + ωc + ω c t ω tc ωtc u := 6 e + ω c + ωc t ωtc ω tc alakú. Ekkor V := Cv, V := Cv, U := Spau, u, U := Spau, u részmodulusok, CS 3 CS 3 = V V U U, és itt midegyik tag egyszerű, azaz CS3 CS 3 félegyszerű. A feti hat vektor lieárisa 4

6 függetle és belőlük S 3 mide eleme kifejezhető, így a feti hat vektor új bázisak tekithető a CS 3 ábrázolási tére. Eze a feti sorredek megfelelő bázisredszere a csoportelemek hatása a következő mátrixokkal ábrázolható: tc e c ω ω ω ω ω ω ω ω c t tc ω ω ω ω ω ω ω ω Az első -es blokk a triviális ábrázolás V -, a második -es blokkba csak a t csoportelem ábrázolódik V -, a két -es blokkba pedig hűe ábrázolódik a teljes S 3 csoport U- és U -. A feti példákba a G CG modulus mátrixábrázolásáak főátlójába irreducibilis ábrázolások jeletek meg. Egydimeziós blokkokál ez triviális, az S 3 csoport U és U modulusáak pedig köye elleőrizhető módo ics egydimeziós részmodulusa...4 Defiíció. Legye V, + kommutatív csoport és R gyűrű. Az R V modulus szabad, ha izomorf R R modulusok direktösszegével. Az izomorfia segítségével a direktösszegbe szereplő külöböző R-ek geerátorai áthozhatók V -re, így azo is megjeleik egy geerátorredszer. Speciálisa ha R egy CG csoportalgebra, akkor a csoportelemekek megfelelő bázisokat tuduk kijelöli V Defiíció. Legye CG csoportalgebra. A atilieáris ivolúció egy CG CG művelet; Itt cg cg C komplex kojugáltját jelöli. g cgg := cgg...6 Defiíció. Legye a CG V ábrázolásba a V ábrázolási tér Hilbert-tér, azaz vektortér C felett, és legye értelmezve rajta egy, skalárszorzás V V C em degeerált, első változójába kojugált lieáris, második változójába lieáris, pozitív defiit leképzés, úgy, hogy u, v V : u, v = v, u. Ha mide a CG; u, v V elemre u, av = a u, v teljesül, akkor azt modjuk, hogy CG V uitér-, vagy -ábrázolás...7 Defiíció. Két ábrázolás D és D mátrixreprezetációja egymással ekvivales, ha létezik olya A ivertálható mátrix, hogy D = AD A. 5 g

7 Az..3 páldába a G U és G U ábrázolások mátrixreprezetációja ekvivales például az A := uitér mátrix segítségével...8 Tétel. Véges csoport mide ábrázolása ekvivales uitér ábrázolással...9 Megjegyzés. Ha a CG V uitér, akkor félegyszerű például azért, mert egyszerű. Legye ugyais CG V részmodulusa CG V -ek, ekkor V és V := {u V v V u, v = } szité Hilbert-tér, CG V szité részmodulusa CG V -ek g G-vel hatva u V -re mide v V -re g v V miatt gu, v = u, g v =, így gu is eleme V -ek, és CGV = CG V CG V. Ameyyibe CG V vagy CG V valamelyike em egyszerű, akkor azt az előbbi eljárást megismételve újra dekompoálhatjuk, egésze addig folytatva, amíg mide részmodulusuk egyszerű lesz. Ilymódo felbotottuk CG V -t egyszerű részmodulusok direktösszegére, azaz megmutattuk, hogy félegyszerű... Megjegyzés. Az.. és..3 példákba megfelelő kombiációkkal új bázisvektorokat jelöltük ki az ábrázolási tére, melyeket R - illetve R 6 -o reprezetáltuk. Eek sorá hallgatólagosa feltettük, hogy ezek az új bázisok ortogoálisak egymásra. Mivel az ábrázolási tér mide vektora kifejthető e bázisok szerit, ezzel a lépéssel egy skalárszorzást értelmeztük e vektorok felett. A csoport elemeiek hatása, illetve a megfelelő mátrixok uitérek eze skalárszorzás szerit. Az.. példába viszot találtuk em egyszerű, de idekompoálható modulust V -t. Azoba e felejtsük el, hogy ott A em volt csoportalgebra, ábrázolásai em biztos, hogy ekvivalesek uitér ábrázolással. Az e, e, f vektorok által meghatározott bázisoko például az egyes algebraelemekek megfelelő mátrixok em leszek uitérek sőt még ivertálhatóak sem. A továbbiakba ábrázolás vagy modulus alatt uitér ábrázolást foguk értei... Defiíció. Legye U és V vektortér C felett, CG U és CG V két modulus. Ekkor az U V tezorszorzat egy olya vektortér C felett, hogy létezik egy b : U V U V ; u, v u v bilieáris leképzés úgy, hogy bármilye c : U V W vektortérbe érkező bilieáris leképzéshez létezik egyetle L : U V W függvéy, hogy c = L b. Az U V vektortér elemei tehát u v alakú vektorok lieárkombiációi. Ha U, V Hilbert-terek a, U és, V skalárszorzatokkal, akkor az U V U V C ; u v u v u v, u v U V := u, u U v, v V leképzés skalárszorzat lesz tezorszorzatuko. Két csoport-modulusak létezik a szorzata. Ez a leképzés a g CGU V : CG U V U V cgg, u v cgg u v := g g leképzés lieáris kiterjesztése az egész U V -re, szité modulus. cggu gv.. Megjegyzés. Az előbbi kostrukció sorá fotos volt, hogy legye a csoportalgebrába egy meghatározott geerátorredszer evezetese a csoport elemei, hisze a tezorszorzat biliearitása miatt ezzel tudtuk csak felíri az algebra hatását. Ilye redszert egy általáos algebra eseté ökéyese tudák csak kijelöli, így em csoportalgebrák modulusaiak szorzata em egyértelmű. Hilbert tére való ábrázolás eseté két véges dimeziós modulus szorzata is véges dimeziós modulus lesz, az..8 tétel alapjá tehát a szorzat is ekvivales uitér ábrázolással. Azt pedig 6

8 láttuk, hogy uitér ábrázolás midig félegyszerű. Felmerül tehát az a fizikai alkalmazásokba is fotos kérdés, hogy adott csoport irreducibilis ábrázolásaiak szorzata mely irreducibilisekre botható fel...3 Példa. Nézzük meg az S 3 csoport három külöböző irreducibilis ábrázolásáak lehetséges szorzatait. Az U ábrázolás ekvivales U-val, ezért em tekitjük külö ábrázolásak. A külöböző egyszerű részmodulusok bázisvektoraiak tezorszorzatát képezve rajtuk egyszerűe vizsgálható a csoport elemeiek hatása. Ebből a szempotból v v v, v v v v v, v v v, v u u v u, v u u v u, v u u v u, v u u v u adódik. Kissé boyolultabb a helyzet, amikor az U részmodulus vektoraiak szorzatát ézzük. Rajtuk a csoportgeerátorok mátrixábrázolása a következő: u u u u u u u u eseté e c ω ω t. Áttérve a u u +u u u u u u u u u u bázisra e c ω ω t adódik, amiből u u + u u v, u u u u v u u u, u u u. Megjelet tehát U U-ba V, V és U is. Midezek alapjá és U-t U -vel azoosítva felírható az S 3 csoport fúziós gyűrűje, melyek geerátorai G V, G V, G U, az összeadás a művelet, és a szorzás a a következő szorzótáblával: V V U V V V U V V V U U U U V V U. 7

9 Eek a gyűrűek egységeleme V, azoba pl. az U elem em ivertálható..3. Karakterek.3. Defiíció. Legye a G csoport egy ábrázolása G V, eze a csoportelemek mátrixreprezetációja D. Az ehhez tartozó χ karakter a G C ; g trdg leképzés. Ha G V r a csoport r-edik irreducibilis ábrázolása, és aak mátrixreprezetációja D r, akkor a hozzá tartozó karaktert χ r -el jelöljük. A tr alatti ciklikus permutálhatóság miatt ekvivales mátrixreprezetációkhoz tartozó karakterek megegyezek..3. Állítás. Az a leképzés, amely a G csoport R fúziós gyűrűjéből mide G V r modulushoz hozzáredeli a hozzá tartozó χ r karaktert egy gyűrű-homomorfizmus, ha a külöböző karakterek felett az összeadást és a szorzást potokét értelmezzük. Bizoyítás. Legye G V r és G V q R, a hozzájuk tartozó mátrixreprezetációk pedig D r és D q. A modulusok direktösszegéek mátrixreprezetációja mide g csoporteleme eek tr-e a hozzá tartozó karakter: D r D q := Dr D q χ r q = trd r D q = trd r + trd q = χ r + χ q. Látjuk tehát, hogy a modulusok direktösszegé értelmezett karakter a modulusok karakteréek összege. A szorzat vizsgálatához válasszuk egy e i i=..r illetve f j j=..q ortoormált bázist V r -e illetve V q -. Ekkor e i f j i=..r bázis V r V q -, és j=.. q χ r q = trd r D q = i,j ei f j, D r D q e i f j = i,j, e i, D r e i f j, D q f j = = trd r trd q = χ r χ q. A modulusok direktszorzatáak karaktere tehát a karakterek potokéti szorzatával egyelő..3.3 Állítás. I. Schur-lemma Legye G V egy egyszerű ábrázolás a V komplex vektortére. Ha A olya V V lieáris leképzés, hogy mide g csoportelemre Ag = ga teljesül, akkor valamilye λ C számra A = λ, ahol a V V idetitás leképzés. Ekkor A mátrixreprezetációja λ-szor az egységmátrix. Bizoyítás. Az aalízis eszközeivel belátható, hogy az A folytoos lieáris operátorak va sajátvektora, λ sajátértékkel. Ekkor a V := {y V Ay = λy} lieáris altér em üres. Ha x V, akkor mide g G-re Agx = Agx = gax = gax = gλx = λgx, azaz gx is eleme V -ek. Ezért G V a G V ábrázolás részmodulusa. Mivel G V egyszerű volt, ezért V csak triviális altér lehet; V miatt V = V, azaz A az egész V tére λ alakba hat..3.4 Állítás. II. Schur-lemma Legye G V r és G V q két egyszerű modulus, melyek g-hatását g r -tal illetve g q -tal jelöljük. Ha A olya V r V q lieáris leképzés, hogy mide g G-re g q A = Ag r, akkor A = vagy a két modulus ekvivales egymással. 8

10 Bizoyítás. Azt kell megmutatuk, hogy A eseté A bijekció, tehát ivertálható. A miatt A V -ak va em ulla eleme. Legye egy ilye elem x, és legye y V olya, hogy Ay = x. Ekkor mide ilye y-ra g q x = g q Ay = g q Ay = Ag r y = Ag r y A V, hisze g r y V. Ez azt jeleti, hogy a G V q egyszerű modulusak A V ivariás altere és em üres, tehát A V = V. Ezért A szürjektív. Most megmutatjuk, hogy A ijektív, azaz ker A = {}. Idirekt tegyük fel, hogy y ker A. Ekkor = g q Ay = g q Ay = Ag r y = Ag r y, azaz g r y ker A is teljesül, ezért ker A ivariás altere a G V r egyszerű modulusak, és az idirekt feltevés szerit em üres, tehát ker A = V, ami viszot elletmod az A feltételek..3.5 Állítás. Legye D r és D q két iekvivales G V r és G V q modulushoz tartozó uitér mátrixreprezetáció. Ezek mátrixelemeire igaz a következő ortogoalitás: Dr g Dq g = lm kj g G a voás a mátrixelem komplex kojugáltját jeleti. Bizoyítás. Legye M egy V q V r lieáris leképzés mátrixa, és A := D r h MD q h = D r h MD q h, ahol a csoport redje elemeiek száma. Ekkor mide g csoportelemre D r ga = D r g D r h MD q h = D r gh MD q h = h h = D r gg h MDq h g = D r h MDq h D q g = AD q g, h g h ezért a II. Schur-lemma alapjá és az ábrázolások iekvivaleciája miatt A =. Eek mátrixelemeit kiírva: = Dr h ma M ab Dq h. bj Adott l, k idexekre válasszuk az M l,k ab = = δ la δ bk alakot: Dr h Dq h ml kj = Dr h Dq h. lm kj.3.6 Állítás. Legye D egy GV uitér, egyszerű modulus mátrixreprezetációja. Eek mátrixelemeire igaz a következő ortoormáltság: ahol a csoport redje, d pedig V dimeziója. Dg ik Dg lm = d δ ilδ km, g 9

11 Bizoyítás. Az előbbi bizoyításhoz hasolóa egy V V lieáris leképzés M mátrixával vezessük be a A := Dh MDh = Dh MDh mátrixot, melyre DgA = Dg Dh MDh = Dgh MDh = h h = Dgg h MDh g = Dh MDh Dg = ADg h g szité teljesül g G eseté. Az I. Schur-lemma miatt va olya λ C, melyre A = λ, amit idexese kiírva λδ km = Dh ka M ab Dh bm. Adott i, l idexre M i,l ab = δ ai δ bl választásával.3. λ i,l δ km = Dh ki Dh lm = Dh ik Dh lm. Ha most összeejtjük a k és m idexeket, akkor λ i,l d = Dh ik Dh lk = Dh ik Dh kl = Dh ik Dh kl = = Dhh il = il = δ il, így mide i, l idexre λ i,l = d δ il. Ezt.3.-be beírva d δ ilδ km = h Dh ik Dh lm. Összefoglalva tehát a D r és D q uitér irreducibilis mátrixreprezetációkra.3. illetve teljesül. D r h ik D q h lm = δ rq δ il δ km, d r χ r hχ q h = δ rq δ il δ il = δ rq d r.3.7 Állítás. A CG V r egyszerű d r dimeziós modulusokhoz tartozó e r := d r χ r h h csoportalgebra-elemek cetrális projektorok, és külöböző r idexek eseté egymásra ortogoálisak.

12 Bizoyítás. A karakterek tr-képzéssel defiiáltak, ezért csoportelemek szorzatai a karakterek argumetumába ciklikusa permutálhatók. Ezt figyelembe véve és az összegzés változójáak cseréivel e r g = d r χ r h hg = d r h g G χ r h g h = d r = d r gh G χ r g h h = h G χ r h gh = g d r tehát e r valóba cetrális eleme az algebráak. Ha e r és e q a két egyszerű ábrázoláshoz tartozó kifejezés, akkor e r e q = d rd q Az itt megjeleő h G χ r hχ q h hh = d rd q = d rd q g G h g G χ r hχ q h g g = d rd q h G χ r hχ q h g g = χ r h h = g e r, χ r hχ q h g g. g G D r h ii D q h g jj = D r h ii D q h jk D q g kj = χ r hχ q h g = = D r h ii D q h jk D q g kj = D r h ii D q h kj D q g kj alak az.3. ortogoalitást felhaszálva egyszerűsíthető: Így χ r hχ q h g = δ rq δ ik δ ij D q g kj = δ rq δ kj D q g kj = δ rq χ q g. d r d r d r e r e q = d rd q g G χ r hχ q h g g = d q δ rq χ q g g = δ rq e q, ami egyszerre bizoyítja e r és e q projektor voltát valamit ortogoalitásukat..3.8 Megjegyzés. Ezek a projektorok részmodulusokra vetíteek, hisze bármilye g G elem hatása em visz ki az ő alterükből: g G g e r CG = ge r CG = e r g CG = e r CG = e r CG..3.9 Állítás. Az r-edik irreducibilis ábrázoláshoz tartozó e r projektor CG-ből éppe a V r részmodulusok direktösszegére vetít. Bizoyítás. Az e r projektor mátrixa a CG algebrába e r ab = d r µ q µ r qn D r h ii Dq... Dr... µ DqN, ab ahol az G CG direktösszeg µ qi -szer tartalmazza a q i -edik irreducibilis ábrázolást. Az.3. ortogoalitás alapjá az a és b idex azo értékeire lesz az e r ab mátrixelem, ahol a = b és ezek az idexek éppe az r-edik egyszerű modulus mátrixát jelölik ki az G CG direktösszegbe.

13 .3. Defiíció. A G véges csoport kojugációs osztálya egy olya A G halmaz, hogy mide g G elemre gag = A teljesül, és mide h, h A tagjához va olya g G elem, hogy h = ghg. A karakterek tr-származtatásából yilvávaló, hogy egy karakter értéke egy kojugációs osztály elemeire ugyaaz..3. Állítás. A G véges csoportak potosa ayi iekvivales irreducibilis ábrázolása va, mit aháy kojugációs osztálya. Bizoyítás. A CG csoportalgebra cetrumát azok az elemek alkotják, melyek kommutálak mide csoportelemmel, azaz az I. Schur-lemma alapjá mide egyszerű moduluso a cetrum elemei az idetitás számszorosakét hatak. N darab iekvivales egyszerű modulus eseté potosa N darab ilye külöböző számszorzó létezik, azaz a cetrum dimeziója N. Legyeek A,..., A K a csoport kojugációs osztályai. Ezek diszjukt felbotását alkotják G-ek, ezért a σa i := h A i h elemek külöböző i =... K eseté lieárisa függetleek. Adott g G eseté a A i A i ; h ghg leképzés bijekció, ezért gσa i g = ghg = ghg = h = σa i, h A i ghg A i h A i azaz gσa i = σa i g. A σa i tehát K darab lieárisa függetle elem a csoportalgebra cetrumába, ezért aak dimeziója = N K. Most azt is megmutatjuk, hogy N K. A K darab kojugációs osztályo belül álladó G C függvéyek tere K dimeziós, és tudjuk, hogy a χ karakterek ilye függvéyek. Azt is tudjuk viszot, hogy az N darab iekvivales irreducibilis ábrázoláshoz tartozó karakter egymásra ortogoális az.3.-él karakterekkel felírt kifejezés skalárszorzata a karakterekek. Ezért N K. A Z csoportak {e} és {f} a két kojugációs osztálya, S 3 -ak pedig {e}, {c, c } és {t, tc, tc } az osztályai, tehát két illetve három iekvivales irreducibilis ábrázolásuk va. Ezeket az.. és..3 példákba meg is találtuk..3. Tétel. Burside-tétel Legye G véges csoport. Ekkor a G CG modulus felírható egy olya direktösszeg alakjába, mely a G csoport összes irreducibilis ábrázolását ayiszor tartalmazza, ameyi az adott ábrázolás dimeziója. Bizoyítás. Számozzuk be a csoport elemeit az α egész idexekkel, és vezessük be R -e a h α G- ek megfelelő f α i := δ αi bázisvektorokat. Ebbe a bázisba a G CG modulus ige egyszerűe ábrázolható. Ameyibe g G em a csoport e egységeleme, akkor az őt ábrázoló mátrixak ebbe a bázisba em lesz diagoális eleme, hisze az azt jeleteé, hogy va olya h α elem a csoportba, hogy gh α = h α, és h α ivertálhatósága miatt ezt kizárja, hogy g e. Ha viszot g = e, akkor ábrázolási mátrixa az -es egységmátrix, ahol a csoport redje. Ezért a G CG modulus karaktere χg = δ e,g alakú. A G CG modulus véges dimeziós, ezért félegyszerű, azaz mide ábrázolása ekvivales a µ q µ r qn Dq... Dr... µ DqN direktösszeggel, melybe a q i -edik illetve r-edik irreducibilis ábrázolás µ qi -szer illetve µ r -szer szerepel. Ezek alapjá és az.3. állítás szerit a G CG modulus karaktere mely mide mátrixábrázolására ugyaayi χg = µ q χ q g + + µ r χ r g + + µ qn χ qn g,

14 és ez megegyezik δ e,g -vel: µ q χ q g + + µ r χ r g + + µ qn χ qn g = δ e,g. Szorozzuk be ezt az egyelőséget χ r g-al és összegezzük g-re: χ r g µ q χ q g + + µ r χ r g + + µ qn χ qn g = g g χ r gδ e,g. A bal oldalo a szorozást elvégezve és alkalmazva az.3. ortoormáltságot µ r = χ r e = χ r dr d r = d r, így µ r = d r -szer szerepel a D r irreducibilis ábrázolás a G CG modulusba. Az.. és..3 példák szépe illusztrálják eek a tételek a megvalósulását. Az eddigiek alapjá tehát em túl agy véges csoportok eseté meg lehet ézi a kojugációs osztályokat, abból az iekvivales irreducibilis ábrázolások számát, az ábrázolások dimezióiak égyzetösszege kiadja G CG dimezióját, azaz a csoport redjét. Ebből a téyből és a karakterek ortogoalitásából az irreducibilis ábrázolások karaktereire lehet következteti, amelyek segítségével előállíthatók az e r cetrális projektorok. Ezek már az egyes irreducibilis ábrázolások µ r -szeres direktösszegeiek alterére vetíteek, ahol általába már em túl ehéz meghatározi magát az irreducibilis ábrázolást. 3

15 . Reprezetációelmélet Bizoyos matematikai eszközök alapvető tulajdoságait a kategóriák foglalják össze. Mi itt a kategóriák fogalmát em defiiáljuk, midazoáltal a csoportábrázolásokról célszerű éháy fotos tulajdoságot eze a yelve megfogalmazi... A reprezetációs kategória.. Defiíció. Legye G véges csoport, A a csoportalgebra egy K test felett. A ModA kategóriát az objektumok, yilak, és a kompozíció művelet alkotják, ahol az objektumok a véges dimeziós bal A-modulusok; az A V és A W modulusok közti yilak vagy itertwierek T : V W homomorfizmusok úgy, hogy mide a A és v V elemre T av = at v teljesül; ez utóbbi feltétel azt jeleti, hogy mátrixábrázolás eseté T D V a = D W at ; a T : U V és S : V W yilak kompozíciója S T : U W a szokásos függvéykompozíció, szité yíl. Mide A V modulushoz létezik az V egységyíl, amely a V ábrázolási tér idetitása, így bármely V -ről iduló yíllal jobbról kompoálva, illetve V -be érkező yíllal balról kompoálva em változtat azoko... Defiíció. Két objektum mooidális szorzatáak evezzük a két modulus tezorszorzatát...3 Defiíció. Legye T : V W és T : V W yíl. Ekkor e yilak mooidális szorzata T T : V V W W ; v v T v T v szité yíl...4 Megjegyzés. A mooidális szorzatokra igazak a következő egyszerű tulajdoságok A V, A U, AW objektumok: i asszociáció U V W = U V W illetve T T T 3 = T T T 3. ii iterchage law Ha T, T, S, S yilak olya terek között hatak, hogy T S és T S értelmes, akkor T T S S is értelmes és megegyezik T S T S -vel. iii V W = V W. iv Ha A I a mooidális egység, az a modulus, ami mide a A elemhez az C számot redeli, és I az ő egységyila, akkor I V = V I = V és mide T yílra I T = T I = T. A továbbiakba a modulusok ábrázolási tere Hilbert-tér, és az ábrázolások uitérek leszek:..5 Defiíció. A reprezetáció kategória RepA ModA uitér modulusaiból, azok yilaiból és a kompozíció műveletből áll...6 Defiíció. A V feletti, V illetve W feletti, W skalárszorzások segítségével egy T : V W yíl adjugáltja legye az a T : W V leképzés, amelyre mide v V, w W eseté T w, v V = w, T v W teljesül...7 Állítás. T is itertwier, és az S, T yilakra i ha T S értelmes, akkor T S = S T ; ii T S = T S ; iii V = V. Bizoyítás. T itertwier voltához meg kell mutati, hogy lieáris, illetve hogy az a algebra-elem hatásával felcserélhető. u U; v, v, v V ; w, w, w W ; z Z eseté T λ w + λ w, v V = λ w + λ w, T v W = λ w, T v W + λ w, T v W = = λ T w, v V + λ T w, v V = λ T w + λ T w, v V, 4

16 ami a skalárszorzat em degeeráltsága miatt T liearitását jeleti. Kihaszálva a modulusok uitérségét T aw, v V = aw, T v W = w, a T v W = w, T a v W = T w, a v V = at w, v V, tehát T felcserél az a-hatással. i S : U V ; T : V W eseté mide u U-ra T S w, u U = w, T Su W = T w, Su V = S T w, u U. ii S : U Z ; T : V W eseté T S w z, v u V U = w z, T Sv u = = w z, T v Su W Z = w, T v W z, Su Z = T w, v V S z, u U = = T w S z, v u V U = T S w z, v u V U. iii V v, v V = v, V v V = v, v V = V v, v V...8 Defiíció. T : V W moomorfizmus, ha mide S : U V yílra T S = S = ; epimorfizmus, ha mide S : W U yílra S T = S = ; izomorfizmus, ha létezik S : W V yíl, hogy T S = W és S T = V. Ekkor azt modjuk, hogy A V és A W izomorfak. ModA-ba az ábrázolások ekvivaleciája itertwier létezését jeletette a modulusok között. Azoba ha ModA-ak uitér részét, azaz RepA-t ézzük, ott az uitérekvivalecia lesz fotos, amikor a két modulus közötti itertwier uitér. A következő állítás szerit ez a két fogalom em külöbözik egymástól:..9 Állítás. Ha RepA-ba két modulus ekvivales, akkor uitérekvivales is. Bizoyítás. Legye T : U V ivertálható itertwier. Megmutatjuk, hogy ekkor létezik S : U V uitér itertwier is. A skalárszorzás és az adjugálás defiíciója valamit T ivertálhatósága alapjá köye elleőrizhető, hogy Y := T T : U U pozitív lieáris leképzés. Ezért elkészíthető a gyöke, melyet úgy kapuk, hogy mátrixát egy O bázistraszformációval diagoalizáljuk, a kapott pozitív elemekből gyököt vouk, majd O -el az eredeti bázisba viszszatraszformáljuk. Az így kapott Y : U U pozitív leképzés ivertálható. Most megmutatjuk, hogy az ivertálás utá kapott Y leképzés itertwier. Tudjuk, hogy az U U folytoos lieáris leképzések LU halmazáak bármilye operátororma szerit korlátos részé az LU LU ; X X leképzés egyeletese közelíthető valamilye P : LU LU - edfokú poliommal. Ha LU-ak ebbe a korlátos részébe Y is beleesik, akkor az Y P Y operátor ormája tart ullához, ahogy tart végtelehez. Ha a a csoportalgebra eleméek hatása U U folytoos lieáris leképzés, akkor az előbbi operátor ormája a-val kompoálva is tart ullához. Az operátororma háromszög-egyelőtleségéből kaphatjuk, hogy mide N-re [a, Y ] [a, Y P Y ] + [a, P Y ]. A jobb oldalo a második tag mide -re ulla, hisze Y itertwier, és mide véges poliomja is az, az első tag pedig az előbbiek alapjá tart ullához, ha. Ezért elvégezve ezt a határátmeetet azt kapjuk, hogy a felcserél Y -vel, azaz Y itertwier. P segítségével azt is köye megkaphatjuk, hogy Y öadjugáltsága miatt Y is öadjugált operátor. Legye most S := T Y = T T T. Az eddigiek alapjá tehát ez U V itertwier. S ugyaakkor uitér is: S S = T T T T T T = T T T T = T T T T = U 5

17 .. A 3j- és a 6j-szimbólumok A fizikába összetett redszerek eseté gyakra előfordul, hogy szükségük va aak ismeretére, hogya határozható meg a redszer egy szimmetriával kapcsolatos fizikai meyisége részredszereiek hasoló meyiségeiből. Ilye eset például többrészecskés redszerek spijéek vagy akár izospijéek, szíéek, ízéek... felírása. Ekkor azt a feladatot kell megoldauk, hogy a részredszerekek megfelelő szimmetriacsoport-modulusok tezorszorzataiba az egész redszer egy boyolultabb modulusáak vektorait azoosíthassuk viselkedésük alapjá. Az itt szereplő félegyszerű modulusok dekompoálása utá a feladat egyszerű modulusok tezorszorzata vektoraiak más egyszerű modulusok vektoraival való megfeleltetésére korlátozódik. Az ilye megfeleltetéseket írják le a 3j-szimbólumok, melyek tartalmazzák az ú. Klebsh-Gorda együtthatókat... Defiíció. Legyeek {V α } N α= a G csoport iekvivales egyszerű ábrázolásaiak terei. A V γ V α V β itertwierek T γ αβ halmazá tekitsük a T γ αβ T γ αβ EdV γ ; T ; T T T leképzést. Mivel V γ egyszerű ábrázolási tér és rajta a T T itertwier kommutál mide g G csoportelem hatásával, ezért az I. Schur-lemma alapjá T T = λ γ. Jelöljük ezt a λ C számot T, T -vel. Ekkor a T γ αβ T γ αβ C ; T ; T T, T leképzés első változójába kojugált lieáris, másodikba lieáris; változóiak felcserélésére értéke komplex kojugálódik; em degeerált, hisze ha mide T T γ αβ -re T, T =, akkor T := T -re és mide v V γ vektorra = v, v Vγ T, T = v, T, T Vγ v V γ = v, T T v V γ = T v, T v Vγ, tehát T v =, azaz T = ; pozitív defiit, mert mide v V γ vektorra v, v Vγ T, T = v, T, T Vγ v V γ = v, T T v V γ = T v, T v Vγ. Ezért a feti leképzés egy skalárszorzat T γ αβ -. Így T γ αβ Hilbert-tér, dimeziója legye N γ αβ, és legye rajta T γi αβ i=..n γ ortoormált bázis, melyek vektorait 3j-szimbólumokak is evezik. αβ Ezeket a bázisokat egy ábrával is szokták reprezetáli: γ α i β.. Állítás. A V δ V α V β V γ itertwierek Tαβγ δ tere az előbbi kostrukcióhoz hasolóa szité Hilbert-tér, melye ortoormált bázis a { T εi αβ γ Tεγ δj ε =..N, i =..N αβ ε, j =..N εγ δ } redszer, valamit egy másik ortoormált bázis a { α Tβγ εi T αε δj ε =..N, i =..N βγ ε, j =..N αε δ } 6

18 redszer N az iekvivales irreducibilis ábrázolások száma. Azoba az ε idex em midig fut végig az összes irreducibilis ábrázoláso, hisze lehet, hogy az ε és γ illetve az ε és α ábrázolások szorzatába em jeleik meg a δ ábrázolás. Bizoyítás. Legyeek u, v V δ, ekkor.. T εi αβ γ Tεγ δj T ε i αβ = γ T δj ε γ v, u T ε i αβ γt δj ε γ V δ = v, T εi αβ γt δj εγ u V α V β V γ. A T δj δj ε γ v illetve Tεγ u V ε V γ illetve V ε V γ -beli elemek kifejthetők z a w b illetve z c w d ab cd alakba, ahol mide a, b, c, d idexre z a V ε ; z c V ε ; w b, w d V γ, így.. = abcd = abcd T ε i αβ T ε i αβ z a w b, T εi αβ z c w d V α V β V γ = z a, T αβ εi z c w b, w d Vγ = z a, T ε i αβ V Tαβ εi z c w b, w d Vγ. α V β V abcd ε A megjeleő T ε i αβ Tαβ εi kombiáció egy V ε V ε itertwier. Köye belátható, hogy a magja V ε -be illetve a T ε i αβ Tαβ εi V ε halmaz V ε -be ivariás alterek a csoporthatásra ézve, melyek trivialitását kihaszálva kiderül, hogy ez az itertwier vagy a ulla leképzés, vagy bijekció. Az utóbbi esetbe a II. Schur-lemma alapjá V ε és V ε ekvivalesek, azaz ε = ε. Ezért a Tαβ εi bázis ortogoalitását is felhaszálva Ezzel.. T ε i αβ T εi αβ = δ εε T εi αβ T εi αβ = δ εε δ ii ε. = δ εε δ ii z a, z c Vε w b, w d Vγ = δ εε δ ii z a w b, z c w d = abcd abcd = δ εε δ ii T δj εγ v, Tεγ δj u = δ εε δ ii v, Tεγ δj Tεγ δj u = δ εε δ ii δ jj v, u Vδ, V ε V γ V δ ami a skalárszorzat tulajdoságai alapjá ekvivales az T εi αβ γ Tεγ δj T ε i αβ γ T δj ε γ = δεε δ ii δ jj δ egyelőséggel. Egésze hasoló módo bizoyítható az állításba szereplő másik típusú bázis ortogoalitása is. Ezekhez a bázisokhoz szité egyszerű ábrákat tuduk redeli: δ δ j j ε γ α ε i i α β β γ Tαβ εi γ Tεγ δj α T εi βγ T δj αε 7

19 ..3 Megjegyzés. A kétfajta bázis szerit a Tαβγ δ Hilbert-tér dimeziója kétféleképpe írható fel, amiből Nαβ ε N εγ δ = Nβγ ε N αε δ. ε ε..4 Defiíció. A kétfajta bázisból összeállítható T εi αβ γ Tεγ δj α T ηk βγ T αη δl V δ V δ itertwier az I. Schur-lemma alapjá megit csak az idetitás számszorosa lehet. Görög betűk jelölik az egyes iekvivales irreducibilis ábrázolásokat, a lati idexek pedig a megfelelő T itertwier-terek bázisait idexelik. Ezért defiiálhatjuk az F 6j-szimbólumot a következőképpe: δ F α δ iεj k η βγ l = Tαβ εi γ Tεγ δj α T ηk βγ T αη δl. Ez a 6j-szimbólum tehát rögzített δ, α, β, γ mellett egy komplex elemekből álló mátrixkét képzelhető el, melyek első idexe az i, ε, j hármas, második a k, η, l hármas. Mivel két ortoormált bázisredszer tagjaiból raktuk össze, F α δ βγ uitér mátrix azo az altére, ahol az ε és η idexekbe em ulla...5 Példa. Legye G az elemű Ábel-csoport: G = {g j } j=.. ; g j g k = g k g j = g j+k Mod ; g := e. Ábel-csoport eseté az elemek kommutálása miatt mide elem ömagába egy-egy kojugációs osztályt alkot, ezért a csoportak ayi iekvivales irreducibilis ábrázolása va, mit ameyi a redje. Az ábrázolások dimezióiak égyzetösszege kiadja a csoport redjét, ezért Ábel-csoport mide irreducibilis ábrázolása egydimeziós, vagyis megegyezik a karakterével. A csoport γ-adik irreducibilis ábrázolása jele esetbe a γ-adik karaktere legye γ =.. ; j =.. ; i a komplex egységgyök : G C ; g j e iπ γj. χ γ Ezek a karakterek ayia vaak, ameyi a csoport redje, azaz kojugációs osztályaiak száma, és tudják a megfelelő.3. ortoormáltsági relációkat: χ γ g j χ δ g j = j= j= e iπ δ γj = Két ábrázolás tezorszorzata ekvivales egy harmadikkal:, ha δ = γ, e iπδ γ e iπ =, ha δ γ. δ γ χ α χ β : g j e iπ αj e iπ βj = e iπ α+βj = χ α+β g j. Ezért azt várjuk, hogy a T γ αβ itertwier akkor em lesz ulla, ha α + β = γ Mod. Valóba, a T γ αβ : C C lieáris leképzések az itertwierek defiíciója szerit x C eseté ki kell elégíteie a χ α χ β g j T γ αβ x = χ α+βg j T γ αβ x = T γ αβ χ γg j x, azaz az e iπ α+βj T γ αβ x = T γ iπ αβ e γj x = e iπ γj T γ αβ x egyelőséget az utolsó lépésbe kihaszálva T liearitását. Ezért T γ αβ x = δγ α+β uγ αβ x alakú, ahol T ormáltsága miatt az u γ αβ komplex szám egységyi abszolút értékű. Természetese az 8

20 α + β-hoz hasoló összegek Mod értedők. Jól látható, hogy a T γ αβ tér csak egydimeziós, így eze itertwier teret idexelő lati idexre ics szükségük. Nézzük meg most a T γ αβε tér feljebb defiiált bázisait: T η αβ ε Tηε γ x = u η αβ δη α+β uγ ηε δγ η+ε x = uη αβ uγ ηε δγ α+β+ε δγ η+ε x, és α Tβε ν T αν γ x = u ν βε δβ+ε ν uγ αν δγ α+ν x = uν βε uγ αν δγ α+β+ε δγ α+ν x. A T γ αβε tér is egydimeziós, hisze az első bázisba η, a másodikba ν csak egyetle értékére lesz a bázisvektor ullától külöböző. Ezért triviális módo teljesül a feti bázisok ortoormáltsága. A megfelelő 6j-szimbólum defiíciója szerit γ F α γ βε ην = T η αβ ε T γ ηε α T ν βε T γ αν = γ u η αβ uγ ηε u ν βε u γ αν δ γ α+β+ε δγ η+εδ γ α+ν egy -es mátrix amikor η = γ ε és ν = γ α, és az u szorzók uitérsége miatt eze az altére uitér. A T δ αβγ tér bázisaihoz hasolóa 6j-szimbólumait is ábrákkal reprezetáljuk. Ha δ F δ iεj k αβγ η l = Tαβ εi γ Tεγ δj α T ηk βγ T αη δl, -hoz a bázisvektor kojugálását fordított állású ábrával figyelembe véve a követ- akkor F α δ iεj k η βγ l kezőt redeljük: δ l η k α β γ i ε j δ A továbbiakba a Tαβγ δ tér bázisaiak és az F α δ iεj k βγ η l δ α η β α T ηk βγ T δl αη γ mátrixak másfajta ábráit fogjuk haszáli: δ α ε β Tαβ εi γ Tεγ δj γ Az ezekből összerakható F mátrix ábrája pedig 9

21 F α δ iεj k η βγ l δ ε α γ η β = Tαβ εi γ Tεγ δj α T ηk βγ T αη δl Ezekbe az ábrákba tehát pl. a Tεγ δj itertwierek egy háromszög felel meg δ, ε, γ jelű oldalakkal, melyek yilazása midkét úto a δ oldal egyik végpotjától a másik felé mutat. Az itertwier j idexét az egész háromszög viseli. E rajzok szerit is szemléletes az F mátrix hatása: a bal oldali ábra úgy kapható, hogy a jobb oldalit jobbról szorzzuk az F mátrixak megfelelő ábrával, és összegzük az ábrákból eltűő ε idexre, valamit az ε oldal eltűésével megszűő két háromszög lati idexére. Ilye ábrák segítségével írhatók fel az úgyevezett petago-egyeletek. Tekitsük a Tαβγδ ε V ε V α V β V γ V δ itertwierek terét. Ebbe többfajta bázis építhető fel eddigi egyszerű bázisaikból. A kiidulásuk legye az ε α µ η δ β γ itertwier az egyes háromszögek lati idexeit em írtuk ki. Ez megegyezik az ε α µ δ ν β γ itertwier és az F β µ γδ νη mátrix szorzatával, összegezve a ν idexre, és F ν alatt és felett ki em írt lati idexeire. Ebbe a lépésbe tehát a µ β γ δ égyszögek megfelelő F mátrixszal tértük át az egyik fajta T µ βγδ-beli bázisról a másik fajtára. Az eljárást újabb égyszögekre alkalmazva az eredeti itertwier tovább egyelő

22 ε 6 α ϱ β ν γ ε 6 α ϱ ϕ F δ α ε νδ ϱµ F β µ γδ νη = δ F ϱ ϕν αβγ F α ε ϱµ νδ F µ βγδ νη. β γ Azoba az eredeti itertwiert más úto is alakíthatjuk; így az = ε α δ F α ε βη ϕµ = ϕ η β γ ε 6 α ϱ ϕ δ F ϕ ε γδ ϱη F α ε βη ϕµ. β γ A kétféle eredméy összehasolításából F α ϱ βγ ϕν F α ε νδ ϱµ F β µ γδ νη = F ϕ ε γδ ϱη F α ε βη ϕµ, ezt hívják petago-egyeletek. Az eljárás sorá és így a petago-egyeletbe is összegezi kell a ν közbe megjelet majd eltűt élre, valamit az általa keletkezett új majd eltűő háromszögek ki em írt lati idexeire.

23 .3. A rigiditás itertwierek.3. Defiíció. A C,, reprezetáció kategóriába legye V és V objektum. Ha I a mooidális egység..4, és létezik egy R V : I V V és egy R V : I V V itertwier úgy, hogy R V V V R V = V és V R V RV = V V, akkor V a V objektum kojugáltja vagy duálisa, és R V a rigiditás itertwier..3. Példa. Legye û i illetve u i a V illetve V egyforma dimeziós terek bázisa, és R V : I V V ; λ λ û i u i. i Koordiátázzuk le a V és V tereket, így megkaphatjuk a G V modulus D V mátrixábrázolását, valamit R koordiátázott alakját: Rîi = δîi. V - potosabba koordiátázott alakjá bevezetjük D V kotragradies ábrázolását: : g D V D V g := D V g, ahol D a mátrix traszpoáltját jelöli. Köye elleőrizhető, hogy ez valóba ábrázolása a csoportak. Legye továbbá a G I mooidális egység a triviális mide csoportelemhez egyet redelő ábrázolás C-. Ekkor ĵj D V V g Rĵj = gû D V i D V gu i = g ĵi DV g ji D V = i = D V g iĵ DV g ji = DV gg jĵ = δ jĵ = Rĵj = Rĵj D I g, ezért ez a leképzés itertwier. Létezik hozzá a megfelelő R V itertwier is: R V : I V V ; λ λ u i û i, i mert R V V V R V λ i u i = R V V V R V u i λ i = i = R V V u i λ i û j u j = i j = λ i RV ui û j u j = λ i δ ij u j = i j i j i és hasoló módo a másik megkövetelt egyelőség is teljesül. i λ i u i,.3.3 Állítás. Ha a V modulusak V és V is kojugáltja, akkor V és V ekvivalesek..3.4 Állítás. Egy véges dimeziós ábrázolásokat tartalmazó reprezetáció kategóriába ha a csoport kompakt pl. véges, akkor mide V objektumak létezik kojugáltja..3.5 Megjegyzés. A rigiditás itertwierekre R V R V = R V R = d V I teljesül, ahol d V a V ábrázolási tér dimeziója. A.3. példába szereplő R-ek mátrixalakjaira ez az állítás köye elleőrizhető. Ez a téy lehetővé teszi, hogy a reprezetáció kategóriák absztrakt elméletébe az objektumok dimezióját a rigiditás itertwierek megfelelő választása utá segítségükkel defiiálják. Az így defiiált dimeziók az eddig megszokott módo, additíva illetve multiplikatíva viselkedek direktösszeg- illetve direktszorzatképzés eseté, valamit a mooidális egység dimeziójára egyet adak.

24 3. Az S 3 csoport 6j-szimbólumai Az eddig elmodottak szépe illusztrálhatók az S 3 csoporttal kapcsolatba, mivel az egy em túl boyolult, de már em ábeli csoport. Ebbe a fejezetbe választ keresük arra a kérdésre, hogy meyire határozzák meg a csoportot petago-egyeletei. 3.. A 6j-szimbólumok Az..3 példába láttuk az S 3 csoport irreducibilis ábrázolásait. Az egyszerűség kedvéért evezzük az ottai V ábrázolást V -ak, V -t V -ek, és U-t V -ek. Az ottai U ábrázolás V -vel ekvivales. Legye V bázisa {v }, V -é {v } és V -é {u, u }. Az..3 példába pedig a csoport fúziós gyűrűjét írtuk fel: V V V V V V V V V V V V V V V V V. Ez alapjá a Tβγ α tér mide α, β, γ =,, eseté legfeljebb egydimeziós, hisze bármelyik feti szorzatba egy irreducibilis ábrázolás legfeljebb egyszer fordul elő. Ezért ics szükség a bázisok lati betűs idexeire. A következő bázisok em leszek külöbözők ullától λ, a, b C: T : λv λv v T : λv λv v T : λv λ u u + u u T : λv λv v T : λv λv v T : λv λ u u u u T : au + bu av u + bv u T : au + bu au v + bu v T : au + bu av u bv u T : au + bu au v bu v T : au + bu au u + bu u Ezeket az eredméyeket az..3 példába kaptuk; az ottai u -t U és U azoosítása miatt u -ek, u -t u -ek kell tekiteük. Ezekből a bázisokból felépítve a 6j-szimbólumokat a következők külöbözek ullától: = F = F = F = F = F = F = F = = = F = F = F = F = F = F = F = F = F = F = F = F = F = F = = F = F = F = F = F = F = F = = F = F = F = F = F ; = F = F = F = F = F = F = F ; F αβ α,β=,, = 3.

25 3.. Az S 3 csoport petago-egyeletei Felmerül a kérdés, vajo teljesítik-e ezek a 6j-szimbólumok a petago-egyeleteket, illetve az S 3 csoportra felírt petago-egyeletekek va-e a feti kívül más megoldásuk a 6j-szimbólumokra ézve. A csoport fúziós gyűrűjét vizsgálva köyedé megállapítható, hogy három irreducibilis ábrázolás szorzatába melyek direktösszege található meg, illetve hogy az F szimbólumokak megfelelő áttérések sorá az egyes égyszögek milye Tβγ α -beli bázisokak megfelelő háromszögekre bothatók. Ilymódo a 6j-szimbólumok ismerete élkül tudhatjuk, melyek leszek biztosa ullák. Eze felül még kiderülhet egyes F mátrixok bizoyos elemeiek ullasága, godoljuk csak F -re. Ilye elvek alapjá írható fel és oldható meg az S 3 csoport 5 darab petago-egyelete. A megoldás az A, B, C, D, E, F, G, H yolc darab tetszőleges egységyi hosszúságú komplex szám segítségével adható meg a komplex kojugálást jelöli: + = F = F = F = F = F = F = F = = F = F ; = F = F = F ; = F ; A = F = F ; B = F = F ; C = F = F = F ; D = F = F ; E = F ; F = F ; G = F = F ; H = F ; A B = F = F ; BD = F = F = F ; GD = F = F ; AG = F = F ; BG = F ; AD = F ; C A BF E = F ; C D B E = F ; C F = F ; GB E F = F ; D B = F ; F C E = F ; D B E F = F ; C = F ; HE F = F ; D B H = F ; F C EH = F. Az S 3 csoport feljebb kapott 6j-szimbólumai természetese megoldások, rájuk A = B = C = D = E = F = G = H = érvéyes. A Tβγ α bázisok fázisa em rögzített, bármelyiket megszorozhatjuk 4

26 egy egységyi komplex szorzóval. Attól függőe, hogy egyes 6j-szimbólumokba mely bázisok szerepelek, ezek az egységyi szorzók megjeleek a 6j-szimbólumok előtt is. Ha ezek a szorzók két 6jszimbólum előtt ugyaolyaok, akkor az a két szimbólum tetszőleges bázisválasztás eseté meg kell, hogy egyezze. Hasolóa látható, hogy mely szimbólumokak kell bármely bázis eseté rögzített számokak leiük pl., - vagy, és hogy mely szimbólumok szorzata adhat ki tetszőleges bázisba egy újabb szimbólumot. Ha midezt az S 3 csoportra figyelembe vesszük, akkor az előző petago-megoldásokhoz em kapuk újabb egyeleteket, ami azt jeleti, hogy az S 3 csoport 6j-szimbólumaiak összetételét a petago-egyeletek a feti uitér bázistraszformáció erejéig rögzítik. 5

27 4. Véges csoportszimmetriák a kvatumelméletbe Kvatumtérelméletbe a fizikát operátorokkal írjuk le, melyek egy algebrát alkotak. Az elmélet diszkrét szimmetriáit véges csoportokkal modellezzük, melyek valamilye módo hatak eze az algebrá. Ebbe a fejezetbe az ilye szimmetriákkal kapcsolatos éháy alapfogalmat ismertetük. 4.. Az ivariás részalgebra 4.. Defiíció. Legye M -algebra, azaz algebra C felett egy : M M ; a a atilieáris ivolúcióval, azaz olya atilieáris leképzéssel, melyek égyzete az idetitás, és a, b M eseté ab = b a. M-et C -algebráak evezzük, ha midezeke kívül orma is adott rajta, és teljes e orma szerit. Ha G véges csoport, és AutM az M -automorfizmusaiak csoportja olya automorfizmusok, melyek felcserélhetők a leképzéssel, akkor egy γ : G AutM ; g γ g leképzést a G csoport hatásáak hívuk M-e, ameyibe mide h, g G elemre γ g γ h = γ gh. 4.. Defiíció. Legye M -algebra, γ pedig a G csoport hatása rajta. Ekkor az M algebra γ-ivariás részalgebrája vagy fixpot algebrája az M γ := { a M g G γ g a = a } halmaz az M algebra műveleteiek leszűkítéseivel ellátva. A kvatumtérelméletekbe M melyet éha F-el foguk jelöli felel meg az elmélet téralgebrájáak, és G-t a természet egy szimmetriájakét értelmezve M γ a továbbiakba éha A felel meg az elmélet G-szimmetrikus megfigyelhető részéek Defiíció. Az eddigi jelölésekkel az átlagolás az leképzés a csoport redje. E : M M γ ; m γ g m 4..4 Állítás. a, b M γ ; m M eseté az E átlagolásra i E M = M γ ; ii E E = E ; iii Eamb = aemb ; iv egységelemes M algebra eseté E = teljesül. Bizoyítás. i m M, h G eseté γ h Em = g G γ h γg m = γ hg m = γ g m = γ g m = Em, g G g G h g g ezért E M M γ. Fordítva, a M γ M eseté a = a = γ g a = Ea, g G g G ezért M γ E M. ii Az imét láttuk, hogy a M γ eseté Ea = a, ezért Em E M = M γ miatt Em-re hatva E idetitáskét viselkedik. 6

28 iii γ g homomorfizmus voltát felhaszálva Eamb = γ g amb = γ g aγ g mγ g b = aγ g mb = aemb. g g iv ismét γ g homomorfizmusságát kihaszálva γ g =, ezért M γ, így E = Defiíció. A G véges csoportak H ormális részcsoportja, ha részcsoportja, és mide g G elemre gh = Hg. A G/H faktorcsoport a gh alakú halmazok halmaza, amikor g befutja a csoportot. A H halmaz és a csoport bármely g eleméek kommutálása miatt ez valóba csoport lesz: gh g H = gg H H = gg H. A gh és g H halmazok megegyezek vagy diszjuktak, és az egész csoport lefedhető gh alakú halmazokkal, ezért a csoport redje osztható H redjével, és háyadosuk a faktorcsoport redje. Legye H a G csoport ormális részcsoportja, és γ a csoport hatása az M algebrá. Jelöljük a G csoportra ivariás részalgebrát M G -vel, a H-ra ivariás részalgebrát M H -val. Ekkor M G M H M. Defiiáljuk a faktorcsoport hatását M H -: γ gh : M H AutM ; a γ g a. Ez a defiíció kozisztes γ csoporthatás-tulajdoságával, hisze M H - a H részcsoport bármely h elemére γ h idetitáskét viselkedik. γ gh segítségével a faktorcsoport átlagolása is bevezethető: E G/H : M H M H ; m G/H gh G/H g γ gh m Állítás. Az előbbi jelölések mellett ha E H a H ormális részcsoport szeriti és E G a teljes csoport szeriti átlagolás, akkor E G/H E H = E G. Bizoyítás. m M eseté E G/H E H m = G/H gh G/H = G/H H γ gh EH m = G/H gh G/H h H gh G/H γ g γh m = G γ g EH m = γ gh m = E G m. g 4..7 Defiíció. Legye Γ az M algebra automorfizmusa. Γ -t belsőek evezzük, ha létezik olya u M elem, melyre uu = u u =, és Ad u m := u m u = Γ m mide m M-re. Ha egy automorfizmus em belső, akkor külsőek evezzük Defiíció. Ha γ a G csoport hatása M-e, akkor ezt a hatást külsőek evezzük, ameyibe a γ g automorfizmus potosa akkor belső, ha g = e Megjegyzés. Ha az M algebra ábeli, azaz bármely két eleme kommutál egymással, akkor mide belső automorfizmusa az idetitás leképzés. Egy ilye algebrá tehát a γ csoporthatás külső volta potosa azt jeleti, hogy g e eseté γ g id M. 4.. Példa. Legye és M := C C = Γ : { a b a b 7 } a, b C b a.,

29 Az M algebra kommutatív, és Γ em az idetitás rajta, tehát Γ em belső automorfizmus. Azoba M része az M C -es komplex mátrixok algebrájáak. Eze az u = mátrix segítségével defiiálva a Γ := Ad u automorfizmust azt látjuk, hogy Γ = Γ M. Itt tehát azt a gyakra előforduló esetet tapasztaltuk, hogy egy agyobb algebra belső automorfizmusa leszűkítve egy részalgebrára külsővé válik. 4.. Tétel. Skolem-Noether tétel Teljes mátrixalgebra mide automorfizmusa belső. 4.. Példa. Legye M teljes mátrixalgebrák direktösszege, és rajta Γ automorfizmus. Ameyyibe Γ belső, akkor yilvávaló, hogy Γ cetrm = cetrm. Fordítva, ha Γ az algebra cetrumá idetitáskét viselkedik, akkor Γ em keveri egymással a direktösszegbe szereplő mátrixalgebrák elemeit, hisze M cetruma az egyes mátrixalgebrák egységmátrixai számszorosaiak direktöszszegéből áll. Ezért ekkor Γ előállítható az egyes mátrixalgebráko ható automorfizmusok kompozíciójakét, melyek viszot az előbbi tétel alapjá biztosa belsők. 4.. A kvatumtérelmélet megfigyelhető algebrája Most ahhoz a kérdéshez próbáluk közelítei, hogya lehet a szimmetriacsoportra következteti pusztá az ivariás, azaz megfigyelhető algebra ismeretébe. Ezt az első pillaatba meglepő eljárást az teszi lehetővé, hogy a megfigyelhető algebráak lokális szerkezete va. Az alábbiakba térdimeziós rács térelméletbe illusztráljuk csoportok hatását, és a megfigyelhető algebra struktúráját. Egydimeziós modellekbe a megfigyelhető meyiségek operátorai egy A C -algebrát 4.., a megfigyelhető algebrát alkotják, amely az egydimeziós térek megfelelőe lokális szerkezettel is redelkezik. Ha I R illetve rácsmodellek eseté I Z a tér egy itervallumáak felel meg, akkor ezekbe a modellekbe ehhez létezik AI A lokális algebra rácsmodellek eseté a következő tulajdoságokkal: i AI = A; I Z ii izotóia ha J Z is itervallum, és I J, akkor AI AJ; iii lokalitás ha I J üres, akkor AI AJ, ahol AJ az AJ részalgebra kommutása, az a halmaz, amelyek mide eleme AJ-vel kommutál éha előfordul, hogy I J = - túl azt is meg kell követelük, hogy I és J bizoyos távolságál messzebb legyeek egymástól; iv traszláció kovariacia egy x Z elemhez létezik az A algebráak egy α x automorfizmusa úgy, hogy α x AI = AI + x és α x AI bijekció; v AI AI, ahol I Z \ I azo potok halmaza, amely I-től egy adott távolságál messzebb va ez már em egy itervallum, és AI ismét AI kommutását jelöli. Mi a továbbiakba meg fogjuk követeli az algebrai Haag-dualitást is, vagyis az előbbi tartalmazás helyett az egyelőség teljesülését. Ha A a megfigyelhető algebra, H Hilbert-tér, BH pedig aak korlátos operátorait jelöli, akkor egy π : A BH -ábrázolással jelöljük ki a redszer vákuum-ábrázolását. Legye H egy másik Hilbert-tér, azo egy másik π : A BH -ábrázolás. Ezt akkor evezzük π -hoz képest lokalizáltak, ha valamilye I Z itervallumra π AI és π AI ekvivalesek létezik egy U I : H H izometria, melyre a AI eseté πau I = U I π a. Ez tehát azt jeleti, hogy az I térrésze kívül mérést végezve em döthető el, hogy az algebrát π vagy π segítségével ábrázoltuk-e. A vákuum-ábrázolás határozza meg tulajdoképpe az elmélet fizikáját, pl. a csatolási álladókat potosabba az azokat tartalmazó dimeziótla kombiációk számértékét. Az ehhez képest lokalizált π ábrázolások írhatak le pl. egy részecskés állapotokat. Ekkor a lokalizáltság szemléletese azt jeleti, hogy a részecskétől elég távol I- kívül végezve méréseket em tudjuk eldötei, hogy valóba jele va-e a részecske, vagy a részecskemetes vákuumba 8