A pénzügyi eszközök árazásának alaptétele diszkrét idejû modellekben

Átírás

1 PÉNZÜGYAN Közgazdasági Szemle, XLIX. évf., július augusztus ( o.) MEDVEGYEV PÉER A pézügyi eszközök árazásáak alaptétele diszkrét idejû modellekbe A szerzõ a pézügyi matematika pézügyi módszerekkel csökkethetõ kockázatai ak agyságát próbálja matematikai megfotolásokkal meghatározi. A matematikai pézügyek legegyszerûbb állításait ismerteti, diszkrét, véges idõhorizot eseté be látja az eszközárazás elsõ és második alaptételét.* Joural of Ecoomic Literature (JEL) kód: G12, G13. A taulmáyba a matematikai pézügyek legegyszerûbb kérdéseit foglalom össze. 1 Némi absztrakcióval a matematikai pézügyek legfotosabb kérdése a következõ. együk fel, hogy a jövõ idõpotjába lehetõségük 2 lesz egy H módo jelölt véletle kifizetés megszerzésére. Mi jeleleg a H korrekt ára, mekkora kompezáció jár jeleleg a H-ba foglalt jövõbeli kockázatért? ermészetese a kérdésre a válasz csak akkor adható meg, ha tisztázzuk a H véletle kifizetés mögötti fogadás közgazdasági hátterét. Ha a fogadás H eredméye csakis külsõ, elleõrizhetetle téyezõktõl függ, akkor a H jelelegi értékéek meghatározása szigorú értelembe em pézügyi matematikai, sõt em is közgazdasági feladat. A feladat akkor válik pézügyi-matematikaivá, ha feltételezzük, hogy a H kifizetés mögötti kockázat pézügyi eszközökkel, aktív pézügy cselekvéssel módosítható. A pézügyi matematikába a pézügyi módszerekkel csökkethetõ kockázatok agyságát próbáljuk matematikai megfotolásokkal meghatározi. Ezt azért érdemes hagsúlyozi, mert a pézügyi matematikát felületese ismerõk gyakra godolják úgy, hogy a terület tárgya a hogya legyük okosak a tõzsdé kérdés megválaszolása. Aak elleére, hogy eek a kérdések a megválaszolását távolról sem tartom érdekteleek, yomatékosa hagsúlyozi kell: em errõl va szó. Az elmélet kiiduló potja éppe az, hogy semmilye matematikai módszerrel sem lehetük okosabbak a piacál, és * Köszöetet szereték modai a Magyar Külkereskedelmi Bakak a vállalati professzori ösztödíj keretébe yújtott támogatásért. 1 A dolgozatba leírtak az irodalomba közismertek (Elliott Kopp [2000]), mégis úgy godolom, hogy érdemes a magyar közgazdászok figyelmét felhívi rájuk, ugyais a bemutatott állítások talá em elég széles körbe ismertek. Külööse aak hagsúlyozását tartom fotosak, hogy a pézügyi derivatívák árazása matematikai szempotból em tekithetõ a matematikai közgazdaságta öálló fejezetéek. Ugyacsak fotosak tartom a Dalag Morto Williger-tétel itt tárgyalt bizoyításak bemutatását, ugyais a legutóbbi idõszakig a tételt ehéz tételkét tartották számo. Az itt közölt bizoyítás Kabaov Stricker [2001], léyegébe elemei, ugyais az aalízis éháy egyszerûbb tételétõl eltekitve semmilye komolyabb eredméyre em támaszkodik. A dolgozat a Budapesti Közgazdaságtudomáyi és Államigazgatási Egyeteme tartott elõadásaimra támaszkodik, és megegyezik a diszkrét idejû modelleket tartalmazó taayagrésszel. 2 A H kifizetés em feltétleül elõyös. A H mögötti kifizetés lehet egatív is. Medvegyev Péter, Budapesti Közgazdaságtudomáyi és Államigazgatási Egyetem, Magyar Külkereskedelmi Bak vállalati katedra.

2 598 Medvegyev Péter csak az átlagosál agyobb kockázatvállalással tuduk az átlagosál agyobb yereséghez juti. A pézügyi matematika megfotolásai az elméleti pézügyek teré felismert kockázatmiimalizálási elvre épülek. Ez általáos filozófiai elv, amely szerit egy véletle kifizetésbõl származó kockázat csak ayiba ismerhetõ el, ameyibe az szükséges, idokolt volt. A túlzott kockázatviselés miatt elszevedett veszteségekért em jár kompezáció. ermészetese kézefekvõ a kérdés: ki és mi határozza meg, hogy a kockázat túlzó, vagy sem? A válasz a közgazdaságtaba megszokott: a kockázat piaci ára. És mi határozza meg a kockázat piaci árát? Hát semmi más, mit a kockázat iráti kereslet és a kíálat, vagyis a kockázati prefereciák. Eek megfelelõe a matematikai pézügyek a matematikai közgazdaságta egyik speciális fejezete. Bár ez a besorolás filozófiai szempotból helyes, a terület mid matematikai hátterét, mid gyakorlati alkalmazhatóságát, verifikáltságát tekitve igecsak elkülöül az általáos közgazdasági elmélettõl. A dötõ külöbség em elméleti, filozófiai karakterû. Sokkal ikább az alkalmazások agy számába és jellegébe yilvául meg. Szokás a matematikai pézügyek közgazdaságtao belüli elkülöülését a prefereciákra való közvetle hivatkozás hiáyával idokoli, és azt modai, hogy a pézügyek a közgazdaságta azo területe, ahol az árakat a prefereciákra való explicite hivatkozás élkül is meg tudjuk határozi. Ez részbe helyes, részbe azoba félrevezetõ. Félrevezetõ ayiba, hogy mikét késõbb hagsúlyozi fogjuk, a prefereciákra csak akkor em szükséges hivatkozi, ha a piac teljes, de em teljes piacoko elvileg csak a prefereciák ismeretébe határozható meg az ár. A kokrét alkalmazásoko alapuló pézügyi modellekbe azoba a piaci szereplõk prefereciái a legritkább esetekbe jeleek meg explicite. Eek oka az alkalmazásokkal való élõ, szoros kapcsolattartás, amelyek következtébe a modellekbe az olya megfigyelhetetle paraméterek, mit a prefereciák szerepeltetése, a evetségesség elkerülése és a komolyság látszatáak megõrzése végett, kerüledõ. A továbbiakba csak a diszkrét idõhorizot esetére szorítkozom, vagyis felteszem, hogy a kereskedés csak véges számú, elõre rögzített idõpotokba lehetséges. Általába ugyacsak feltételezem, hogy a modellekbe szereplõ külöbözõ valószíûségi változók, sztochasztikus folyamatok értékkészlete véges. 3 Eek a leegyszerûsített megközelítések a túlbecsülhetetle elõye, hogy matematikailag elemi. Mikét láti fogjuk, a lieáris algebra, illetve a lieáris programozás legegyszerûbb, közismert tételei kívül semmilye más komolyabb eredméyre em lesz szükségük. Ezt azért érdemes hagsúlyozi, mert a matematikai pézügyekkel kapcsolatos általáos elképzelés szerit a terület matematikailag redkívül igéyes. Ez igaz is, de csak akkor, ha folytoos idõparamétert tételezük fel. Ha az idõhorizot diszkrét és véges, akkor semmilye matematikai ehézség em lép fel. Hagsúlyozi kell azoba, hogy a folytoos idõparaméter eseté elegedhetetle martigálelmélet yelvezetét a véges, diszkrét idõhorizot tárgyalása sorá is érdemes haszáli, ugyais egyrészt a martigálelmélet yelvezete ige hatékoya haszálható, másrészt a diszkrét idejû problémáko keresztül émi betekitést kaphatuk a jóval ehezebb, folytoos idejû tételek körébe. Nyomatékosa hagsúlyozzuk, hogy csakis termiológiai szite hivatkozuk a martigálelméletre, aak állításaira érdembe ics szükségük, a martigálokra kimodott állítások midegyike véges összegek elemi átredezésével igazolható. A matematikai pézügyek bevezetõ tárgyalását általába a biomiális modellre szokás építei. Eek két elõye va. Egyrészt a modell ige egyszerû, másrészt a modellbõl kiidulva folytoos határátmeetkét éppe a matematikai pézügyek kedvec sztochasz 3 Kivétel a Dalag Morto Williger-tétel bizoyítását tartalmazó alpot.

3 A pézügyi eszközök árazásáak alaptétele diszkrét idejû modellekbe 599 tikus folyamatát, a Wieer-folyamatot kapjuk. De ami a tárgyalás elõye, az egybe a hátráya is, ugyais mid a biomiális modell, mid a Wieer-folyamat eseté a modell teljes, vagyis az árazás elméletéek legfotosabb kérdése, a piac teljességéek hiáya automatikusa rejtve marad. A dolgozat em titkolt célja a biomiális modell kiszorítása a magyar oktatási gyakorlatból, és aak bemutatása, hogy em túl sok többleterõfeszítéssel egy jóval általáosabb, áttekithetõbb és léyegre törõbb tárgyalási módhoz juthatuk. Az egyperiódusos modell Elsõ lépéskét az egyperiódusos modellt tárgyaljuk. Ekkor összese két idõpotuk va: a jele és a jövõ. A jele idõszak árait ismerjük, és ismerjük a termékek jövõbeli viselkedését, vagyis tudjuk a lehetséges jövõbeli árakat, kifizetéseket. Az alapvetõ kérdés a következõ: a jövõbeli lehetséges kifizetések ismeretébe a jelelegi árak kozisztesek, vagy sem? Kockázatsemleges valószíûségek Legye adva M darab kockázatos pézügyi istrumetum, w m jelölje az m-edik istrumetum jelelegi árát, és s m (ω) az m-edik termék árát a jövõbe, feltéve, ha az eszköz árát befolyásoló valamilye külsõ véletle paraméter éppe az ω értéket veszi fel. Ha N (ω =1 a lehetséges kimeetelek 4 vektora, akkor defiiálhatjuk az (N M)-es s 1 (ω 1 ) w 1 s M (ω 1 ) w M s 1 (ω 2 ) w 1 s M (ω 2 ) w M A = (a ij ) = s 1(ω N ) w 1 s M (ω N ) w M mátrixot. Vegyük észre, hogy a jelelegi és a jövõbeli árakat kivotuk egymásból, vagyis a diszkotálást implicite elvégeztük. 1. defiició. A (w m ) m árvektor mellett akkor va arbitrázs, ha va olya x R M portfólióvektor, amelyre 5 Ax 0, tehát amelyre egyetle kimeetelre sem veszítük, de legalább egy kimeetelre yerük. Milye feltételek mellett ics lehetõség arbitrázsra, vagyis milye feltételek mellett lehetetle olya portfóliót összeállítai, amely mellett pozitív valószíûséggel yereséghez jutuk, de semmilye körülméyek között em kell számoluk veszteséggel? A lieáris programozás dualitási tételei segítségével megmutatjuk, hogy potosa akkor icse arbitrázs, ha megadható olya q > 0 vektor, amelyre 6 q * A = 0 *. Valóba, poto 4 Kimeetelek helyett szokás világállapotokról beszéli. Eek oka, hogy hagsúlyozi szokás: valójába a modellbe icse defiiálva semmilye valószíûségi mezõ, ugyais icse megadva az egyes ω kime etelek valószíûsége. 5 A matematikai közgazdaságtaba szokott módo a szemiagyobb reláció jele, és megkülöböztetedõ a > = jeltõl. 6 A továbbiakba megkülöböztetjük a sor- és az oszlopvektorokat. A * (csillag) a traszpoálás jele.

4 600 Medvegyev Péter sa akkor icse arbitrázs, ha az Ax y > = 0 egyelõtleségbe em lehet szemipozitív y vektort íri, vagyis az y > = 0 x Ax + y = [ A,E] y < = 0 1 * y max feladatak va optimális megoldása, és az optimális megoldás értéke ulla. A duális feladat q * > = 0 q * A = 0 q * E > = 1 * q * 0 mi. A két feladatak potosa akkor va optimális megoldása, ha a duális feladatak va lehetséges q megoldása. 7 Mivel a q pozitív, ezért alkalmas ormalizálással feltehetõ, hogy valószíûségi mérték. A q pozitivitása fotos. A modellbe ugya explicite em N szerepel, de feltehetjük, hogy az (ω =1 kimeetelek halmazá adott egy p valószíûségi vektor, amely megadja az egyes ω kimeetelek objektív vagy statisztikai valószíûsé gét. A folytoos modellek megértéséek ehézsége agyrészt abból adódik, hogy magáak a modellek a felírásához szükséges explicite hivatkozi az objektív valószíûségre, 8 így a valószíûségi mérték 9 cseréjét explicite tárgyali kell. Az itt tárgyalt diszkrét esetbe explicite icse mértékcsere, ugyais szükségtele az objektív mérték fogalmát bevezeti. A q > 0 feltétel szerit em változik a relevás kimeetelek halmaza. Ezt úgy szokás modai, hogy a q valószíûség ekvivales az eredeti p valószíûséggel, vagyis a ulla valószíûségû eseméyek a két valószíûségi mérték esetébe megegyezek. 2. defiició. A q szokásos elevezései: 1. kockázatsemleges mérték, 2. kockázatsemleges valószíûség, 3. martigálmérték. Az S = (s j (ω i )), w = (w j ) jelölésekkel q * S = w *, ami úgy is iterpretálható, hogy a 7 alá em érdektele hagsúlyozi, hogy a lieáris programozás dualitási tétele valójába a kovex halmazok szeparációs tételé alapszik. A szeparációs tétele kívül a bizoyítás sorá ki kell még haszáli a véges kúpok zártságát, amely ha em is ehéz, de azért idoklásra szoruló állítás. A megjegyzés azért fotos, mert az általáos eset bizoyítása szité szeparációs megfotolásokra épül, és a bizoyítás ehéz lépése az elválasztadó halmazok zártságáak idoklása. Az általáos esetet tartalmazó Dalag Morto Williger-tétel bizoyításáak érdemi lépése éppe a véges kúpok zártságát biztosító tétel általáosításáak igazolása. 8 Valószíûségre való hivatkozás élkül em lehet például a Wieer-folyamat fogalmát értelmezi. 9 Emlékeztetük, hogy a mértéke egyszerûe a valószíûség agyságát megadó függvéyt értjük. A véges számú kimeetelt tartalmazó modellek esetébe a mértékelmélet egyetle állítására sics érdembe szükségük.

5 A pézügyi eszközök árazásáak alaptétele diszkrét idejû modellekbe 601 jelelegi árak a jövõbeli árak várható értéke, ahol a várható értéket a q kockázatsemleges mérték szerit kell vei. A várható érték jelölését bevezetve, 10 w = M q (S), ahol a várható érték M operátorába a q felsõ idex arra utal, hogy a várható értéket a q valószíûség szerit kell vei. Jelölje p az eredeti valószíûségeket! Vajo p = q? Ha p * S q * S = w, akkor va olya m idexû oszlop, vagyis termék, ahol modjuk * M(s m ) = M P (s m ) = p s m > w m. Ha lehetõségük va korlátla sokszor lejátszai a szituációt, akkor a agy számok törvéye miatt, émi potatlaságot megegedve, átlagba yerük, potosabba, ha va olya piaci szereplõ, aki kockázatsemleges, vagyis aki em tud külöbséget tei a jövõbeli átlag és a jelelegi érték között, akkor ics egyesúly. A kockázatsemleges valószíûség elevezést éppe ez idokolja. Diszkotálás Az elõzõ alpotba feltettük, hogy a jeleértékre hozást már megoldottuk. Most ezt vizsgáljuk meg. Az arbitrázs defiícióját módosítjuk, ugyais a külöbözõ idõpotokhoz tartozó értékeket diszkotálás élkül em vohatjuk ki egymásból. ovábbra is jelölje w a jelelegi árakat és S a jövõbeli véletle kifizetések mátrixát. Az x R M portfólió defiíció szerit arbitrázs, ha a következõ két egyelõtleség közül az egyik teljesül Sx 0, wx < = 0, Sx > = 0, wx < 0. Szavakba: a piaco akkor va arbitrázs, ha vagy kezdeti ráfordítás élkül a jövõbe legalább egy kimeetelre yerhetük, vagy egatív kezdeti ráfordítás mellett a jövõbe S semmilye kimeetelre sem veszítük. Ha A =, akkor a két feltétel összevoható, w és defiíció szerit a modellbe akkor va arbitrázs, ha va olya x portfólióvektor, amelyre Ax 0. A már bemutatott godolatmeetet megismételve, potosa akkor icse arbitrázs, ha va olya y > 0 vektor, hogy y * A = 0 *. Az A szerkezete alapjá, ha * y = ( q, λ ), akkor q * S λw = 0 *. A λ = exp(rt) > 0 jelöléssel * w = λ 1 q * S = exp ( rt) q * S = exp ( rt) M q (S). (1) Ez éppe a kockázatsemleges árazás közismert formulája. Ha a piaco icse arbitrázs, akkor megadható olya valószíûség, hogy a jelelegi ár éppe a jövõbeli árak várható értékéek jeleértéke. Ha az egyik termék, modjuk a 0 idexû kötvéy, vagyis 11 a kifizetése midig 1, akkor Érdemes hagsúlyozi, hogy látszólag valószíûségszámítási állítással va dolguk, de ez téyleg csak a látszat. A q egy lieáris programozási feladat duálisáak a megoldása, és mit ilye, hagyomáyos értelembe vett áryékár. 11 A kötvéy kifejezést most a matematikai pézügyek termiológiája szerit haszáljuk, vagyis a biztos befektetést evezzük kötvéyek. ermészetese biztos befektetés a valóságba icse, mide pézügyi eszköz hordoz kockázatot, ha mást em, akkor iflációs kockázatot. Eek megfelelõe a kötvéy helyett szokás az ármérce elevezést is haszáli, vagyis a kötvéy tekithetõ olya termékek, amelyek segítségével fejezzük ki a többi termék árát. 12 A továbbiakba a 0 idex midig kötvéyre utal.

6 602 Medvegyev Péter w 0 = λ 1 = exp( rt). A továbbiakba az egyszerûség kedvéért midig feltesszük, hogy a ulladik oszlop midig az azoosa 1 vektor. Erre tulajdoképpe icse szükség, de mivel a feltétel közgazdaságilag ige kézefekvõ, a tárgyalást pedig valamivel egyszerûbbé teszi, ezért a feltétellel éli foguk. A feltétel egyik fotos következméye, hogy a λ em függ a q kockázatsemleges valószíûségtõl. Érdemes hagsúlyozi, hogy a diszkotáló termékek, vagyis a ulladik termékek em kellee feltétleül kötvéyek lei, vagyis az értékéek az egyes kimeetelekre em kell kostasak leie. Ameyibe a ulladik termék értéke em kostas, akkor a λw 0 = M q (s 0 ) formulából kiidulva határozhatjuk meg a diszkottéyezõt, amely persze ilyekor függ a q kockázatsemleges valószíûségtõl. A piac teljessége együk fel, hogy az S-ek túl kevés a lieárisa függetle sora, 13 vagyis túl sok a véletle kimeetel. Ilyekor azt modjuk, hogy a piac, potosabba a modell, em teljes. 3. defiíció. Az S mátrix által reprezetált egyperiódusos modellt em teljesek modjuk, ha {Sx : x R M } R N. Szavakba: a modell em teljes, ha va olya h R N véletle kifizetés, amely em replikálható az S mátrixba szereplõ véletle kifizetésekbõl összeállított portfólióval, vagyis va olya h véletle követelés, amely az S segítségével em replikálható. A lieáris algebra termiológiájával a piac potosa akkor em teljes, ha az S oszlopvektorai által kifeszített tér em egyezik meg az R N térrel, vagyis az S oszlopvektor teréek dimeziója kisebb, mit N. Ha a piac teljes, akkor az oszlopvektor tér dimeziója * N, vagyis az S sorai lieárisa függetleek, következésképpe a q * S λw = 0 egyeletek adott w eseté egyetle olya (q, λ) megoldása va, amelyre ézve a q koordiátáiak összege 1, így teljes piac eseté a kockázatsemleges valószíûség egyértelmû. Megfordítva, ha a kockázatsemleges valószíûség egyértelmû, akkor a piac teljes, ugyais ha az S sorai em feszíteék ki a teljes R N teret, akkor alkalmas u 0 vektorral u * S = 0. Alkalmas θ eseté q + θ u > 0. A q + θ u elemeit ormalizálva, a q mellett készíthetük egy olya másik r valószíûségi vektort, amelyre r * S µw * = 0, így a kockázatsemleges valószíûség em lesz egyértelmû. Összefoglalva: az egyperiódusos modellbe a piac potosa akkor teljes, ha a kockázatsemleges valószíûség egyértelmû. Származtatott termékek árazása Most vegyük azt az esetet, amikor az S-ek túl sok oszlopa va, vagyis amikor az S oszlopai összefüggek. Legye az elsõ K vektor az oszlopvektorok egy bázisa. 14 Mivel egy bázisba midig bevihetük egy em ulla vektort, feltételezzük, hogy a kötvéy midig eleme a bázisak, vagyis a kötvéy midig alaptermék, így a diszkottéyezõ függetle a bázistól. Az elsõ K terméket alaptermékek vagy bázistermékek modjuk, a többi terméket származtatott vagy derivatív termékek. Evides módo a származtatott alaptermék megkülöböztetés relatív és bázisfüggõ. Ha az s k származtatott, akkor alkalmas 13 Vagyis az S ragja kisebb, mit a sorvektorok vagyis a véletle kimeetelek száma, N. 14 A teljes piac, illetve a bázistermékek legegyszerûbb esete, ha az S tartalmazza az E egységmátrixot. Az ide tartozó termékeket Arrow Debreu-termékekek szokás evezi. Világos, hogy mide termék az Arrow Debreu-termékek származtatott terméke.

7 A pézügyi eszközök árazásáak alaptétele diszkrét idejû modellekbe 603 K K K (δ j ) j=1 kostasokkal s k = j=1 δ j s j, amibõl, ha icse arbitrázs, w k = j=1 δ j w j,ugyais az (1) árazó képlet alapjá K K K * * * w k = λ 1 q s k = λ 1 q δ j s j = δ j λ 1 q s j = δ j w j. j=1 j=1 j=1 Ha ismerjük az alaptermékek árát, és ismerjük a δ j együtthatókat, akkor kiszámolhatjuk a származtatott termékek árát. Vegyük észre, hogy mivel az alaptermékek defiíció K szerit bázist alkotak, a (δ j ) j=1 koordiáták egyértelmûek, tehát az alaptermékek ára egyértelmûe meghatározza a származtatott termékek árát. ermészetese ez a szabály az arbitrázs kizárásáak feltételé múlik. Ha w k egy származtatott termék ára és modjuk K K w k > j=1 δ j w j, akkor a k-adik terméket a (δ j ) j=1 súlyokkal szitetikusa elõállítva biztos K w k j=1 δ j w j yereséghez juthatuk. Vegyük az alaptermékek által meghatározott elsõ bázis alredszerbe határozzuk meg a kockázatsemleges valószíûségeket. Ha k származtatott termék, akkor * * K terméket, és a w K = λ 1 q K S K K K K * * w k = δ j w j = λ 1 δ j q K s j = λ 1 q K δ j s j = j=1 j=1 j=1 * = λ 1 q K s k = λ 1 M q K (s ), k tehát az árazási formulába szereplõ kockázatsemleges valószíûségeket elegedõ a bázistermékekkel kiszámoli. Származtatott termékek árazása em teljes piacoko A származtatott termékek árazási problémája a következõ. együk fel, hogy az S piaco icse arbitrázs, és adott egy h véletle kifizetésvektor, vagyis adott az R N egy eleme. Milye árat kell adi a h termékek ahhoz, hogy a h termékkel kiegészített (S, h) piac arbitrázsmetes maradjo? Ha a h elõállítható a bázistermékek lieáris kombiációja- K két, akkor a válasz evides. Ha h = j=1 δ j s j, akkor a h egyedül lehetséges ára K j=1 δ j w j. Mi törtéik azoba akkor, ha a h em állítható elõ a már beárazott termékek lieáris kombiációjakét? Ha a piac em teljes, akkor ilye h vektor megadható. Ha q egy kockázatsemleges valószíûségi mérték, és a h árát a N * λ 1 q h = λ 1 q j h j = λ 1 M q (h) j =1 értékkel defiiáljuk, akkor továbbra is érvéybe marad az (1), vagyis a piaco az új termékkel em vezetük be arbitrázst. Ugyaakkor mivel a q em egyértelmû, a h ára sem számolható ki egyértelmûe, vagyis pusztá az arbitrázsmetesség feltételére építve a derivatív árazás problémája em oldható meg. A matematikai pézügyek valódi problémája em általába a származtatott termékek árazása, haem a em teljes piaco való árazás. A bevezetõ pézügyi kurzusoko tárgyalt modell evezetese a biomiális, illetve a biomiális modell folytoos általáosításáak tekithetõ Wieer-folyamatra épülõ úgyevezett Black Scholes-modell teljes, így az árazás kérdése triviálisa megold-

8 604 Medvegyev Péter ható. Az általáos esetbe azoba a tárgyalt módszer em haszálható. Ezt azért kell hagsúlyozi, mert mikét a bevezetõbe említettük, a pézügyi matematikával való elsõ ismerkedéskor hajlamosak vagyuk azt godoli, hogy a pézügyek, szembe a közgazdaságta más területeivel, em épít a haszossági függvéy, illetve az általáos egyesúlyelmélet hagyomáyos fogalmaira, és az árazás problémáját a prefereciákra való hivatkozás élkül oldja meg. Sajos ez em így va. A haszossági függvéyektõl függetle megközelítés csak teljes piac eseté mûködik, és az általáos esetbe pusztá az arbitrázs lehetetleségére alapozva em adható meg árazó képlet. öbbperiódusos modellek érjük rá a többperiódusos modellek ismertetésére. Elsõ lépéskét rövide emlékeztetük a feltételes várható érték, illetve a martigál fogalmára. Hagsúlyozzuk, hogy a martigálelméletet, illetve a feltételes várható érték fogalmát csak termiológiakét haszáljuk, a valószíûségszámítás eze evezetes fogalmaiak egyetle mélyebbek modható tulajdoságát sem fogjuk haszáli. Feltételes várható érték, martigálok Elõször éháy valószíûségszámítási fogalmat vezetük be. Legye Ω = {ω k } k N =1 a kimeetelek, világállapotok véges halmaza, = {0,1 Ô} a lehetséges idõszakok úgyszité véges halmaza. A martigálok defiiálásához a végesség feltételére általába ics szükség, de a godolatmeet egyszerûsítése céljából csak erre az elemi esetre szorítkozuk. Jelölje A a lehetséges eseméyeket, vagyis az Ω megegedett részhalmazait. Az (Ω, A) haszos szemléltetése a dötési fa. Egy ω k a t = 0 idõpottól a t = végpotig lefutó teljes út. 15 Egy A A eseméy például adott csomópoto átmeõ utak halmaza, vagy megadott csomópotoko átmeõ utak halmaza. Az (Ω, A, P) hármasról feltesszük, hogy kielégíti az elemi valószíûségszámítás szokásos megkötéseit. Ha ξ az Ω halmazo értelmezett függvéy, akkor várható értéke az 16 N M(ξ ) = ξ(ω i )P({ω i }) = Ω ξd P i=1 összeget értjük. Mi va akkor, ha a P({ω i }) értelmetle, vagy ami sokkal fotosabb: K értékét a redelkezésükre álló iformációk alapjá em ismerjük. Legye ( A =1 az Ω partíciója, vagyis A A m = 0/, ha m, és Ω = A. együk fel, hogy az (A ) elemei a ξ ismert. Várható értéke ekkor az N M(ξ ) = ξ(ω )P( A ), =1 ω A súlyozott átlagot értjük, feltéve, hogy az összeg em függ az ω A választásától, vagyis a ξ az (A partíció elemei kostas. Ilyekor azt modjuk, hogy a ξ mérhetõ az (A partícióra, illetve az (A eseméyek által geerált eseméytérre, σ -algebrára ézve. Az (A partícióhoz tartozó σ -algebra az (A halmazok összes lehetséges véges 15 Vagyis az összeölelkezõ fa em megegedett vagy legalábbis em szerecsés fogalom. 16 A következõkbe az itegráljelet gyakra fogjuk véges összegek jelölésére haszáli. ermészetese csakis jelölésrõl va szó, és az itegráljeleket az olvasó, ha úgy tetszik, átugorhatja.

9 A pézügyi eszközök árazásáak alaptétele diszkrét idejû modellekbe 605 egyesítéseiek halmaza. Legegyszerûbbe (A mérhetõ függvéyt úgy kaphatuk, ha átlagoljuk ξ-t a A eseméyeke: 17 K K M(ξχ A ) M(ξ ) = M(ξχ A ) = P( A ) = =1 =1 P( A ) K = η(ω )P( A ). =1 A részátlagokat megadó η függvéyt a ξ feltételes várható értékéek modjuk. Az elevezést az idokolja, hogy parciálisa, valamifajta feltétel szerit, már elvégeztük az átlagolást. Ha F jelöli az (A partíció által defiiált eseméyteret, akkor az η = M(ξ F ) jelöléssel foguk éli. Az η az egyetle olya F-mérhetõ változó, vagyis az egyetle olya változó, amely kostas az F-et geeráló partíció elemei, és amelyre 18 M(M(ξ F )χ F ) = M(ηχ F ) = M(ξχ F ), F F. 1. állítás. Köye belátható, 19 hogy a feltételes várható érték a következõ tulajdoságokkal redelkezik: 1. Redezéstartó, vagyis ha ξ > = 0, akkor M(ξ F) > = Lieáris, vagyis M(αξ + βη F) = αm(ξ F) + βm(η F). 3. Ha ξ F-mérhetõ, vagyis ha az F-et geeráló (A halmazoko kostas, akkor ξ = = M(ξ F). 4. Ha G F, vagyis az F a G elemeiek további partíciója, akkor M(M(ξ G) F) = M(M(ξ F) G) = M(ξ G), tehát a durvább partíció midig gyõz. Erre az ige fotos tulajdoságra toroyszabálykét szokás hivatkozi. 5. Ha a ξ F-mérhetõ, η tetszõleges, akkor M(ξη F) = ξm(η F). A feltételes várható érték utolsó tulajdoságára mit kiemelési szabály szokás hivatkozi. Vegyük észre, hogy a toroyszabály tekithetõ a teljes valószíûség tétele általáosításáak, ezért szokás teljes várható érték tételek is modai. Legye (F eseméyterek sorozata, és tegyük fel, hogy F F +1, vagyis tegyük fel, hogy a lehetséges eseméyek halmaza mooto õ. Ekkor azt modjuk, hogy az (F sorozat filtráció. Filtrációra legegyszerûbb példa, amikor a filtrációhoz tartozó partíciók egymás fiomításai, vagyis a rákövetkezõ partíciót az elõzõ további osztásával, fiomításával kapjuk. Ez éppe a dötési fával ábrázolható a legjobba. A biomiális modellbe mide idõpotba mide csúcspotból két ág idul, vagyis a filtrációt megadó partíció mide halmazát mide idõpotba két em üres részre botjuk. Nicse azoba semmi akadálya aak, hogy az egyes idõpotokba bizoyos csúcspotokból csak egy, más csúcspotokból pedig több ág is kiiduljo. Eek az általáos helyzetek 17 Értelemszerûe χ A az A halmaz idikátorváltozója, vagyis χ A (ω) = 1, ha ω A, és χ A (ω) = 0, ha ω A. 18 Az összefüggést az általáos esetbe szokás a feltételes várható érték defiíciójáak tekitei. 19 Ha az olvasó a megadott szabályokat em ismeri, célszerû, ha azok tartalmát alaposa meggodolja. Hagsúlyozzuk, hogy mivel az Ω alaptér véges számú kimeetelbõl áll, ezért az állítások midegyike egyszerû összegek átredezését tartalmazza.

10 606 Medvegyev Péter a leírását, kódolását tartalmazza a filtráció. A filtráció szokásos iterpretációja szerit: ahogya idõbe haladuk elõre, egyre több eseméyt tuduk megkülöbözteti, így az iformáció felhalmozódásával a lehetséges eseméyek halmaza bõvül. Ha (ξ olya sorozat, amelyre a ξ változó F -mérhetõ, vagyis a ξ kostas az F eseméyeket defiiáló partíció, akkor azt modjuk, hogy a (ξ sorozat adaptált az (F filtrációra. A dötési fa termiológiájával ez azt jeleti, hogy a folyamat értékei a csúcspotokba vaak írva. 4. defiició. A (ξ t, F t ) t adaptált sorozat martigál, ha ξ t = M(ξ t+1 F t ). Szemléletese: egy dötési fa martigál, ha a csúcspotokba írt érték midig a csúcspotba szereplõ szétágazás által meghatározott következõ csúcspotok átlaga, ahol az átlagot az átmeetvalószíûségek szerit kell vei. 20 Diszkrét modellekbe, vagyis ahol az idõhorizot véges, mide martigál felírható ξ t = M(ξ F t ) módo, vagyis a végpotokba defiiált valószíûségi változó rekurzív visszaátlagolásakét. 5. defiició. A Q valószíûségi mérték a (ξ t, F t ) t mérték, ha a Q alatt a sorozat martigál. adaptált sorozatra ézve martigál- Nics diszkotálás A többperiódusú modellek ayiba mások, mit az egyperiódusú modellek, hogy az arbitrázs defiíciója émiképpe boyolultabb. Az egyszerûség kedvéért a mátrixokra utaló félkövér jelölést elhagyjuk, ugyais majd a mátrixokból álló mátrixokat fogjuk félkövér módo jelöli. Midig feltesszük, hogy adott egy ( F t ) t =0 filtráció, és egy adap tált (S(t)) t =0 alapfolyamat. Mide S(t) N sorból és M oszlopból álló mátrix. Szerecsésebb azoba, ha az S(t)-t M darab Ω-á értelmezett függvéyek képzeljük el. Mivel elhagytuk a mátrixokra utaló félkövér jelölést, illetve em írjuk ki az S(t) függvéyek argumetumait, ezért a jelölésbõl közvetleül em teljese világos, hogy az S(t) olya mátrix, amelyek ayi sora, illetve ayi oszlopa va, ameyi a lehetséges világállapotok, illetve a modellbe levõ termékek száma. Egyelõre e foglalkozzuk a diszkotálással, és az S(t) jelöljö értékpapírárakat. Jelölje θ(t) a [t 1,t) szakaszo tartott portfóliót. Mikét az S(t), a θ(t) is mátrix, illetve a kimeetelektõl függõ függvéy. A θ értelmezési tartomáya \{0} Legye c θ (t) a t idõpotba a θ stratégia által geerált yereméy összege. Mivel a diszkotálástól eltekitettük, ezért az egyes idõszakokba geerált yereméyeket össze lehet adi. A c θ értelmezési tartomáya. Evides megfotolások alapjá 21 cθ (0) = S (0) θ (1) c θ (t) = S (t) [θ (t) θ (t + 1)], t = 1,2,, 1 c θ ( ) = S ( ) θ ( ). Ha defiíció szerit θ (0) = θ ( + 1) = 0, akkor a yereméy alakulását leíró egyeletredszer 20 Vegyük észre, hogy egy valószíûségi mezõ akkor adott, ha az összes út valószíûsége adott, amikor is az összes csúcspot valószíûsége adott, vagyis adottak az átmeetvalószíûségek. 21 Ügyeljük a szorzások potos tartalmára. A c θ (t) valószíûségi változó, vagyis vektor.

11 A pézügyi eszközök árazásáak alaptétele diszkrét idejû modellekbe 607 c θ (t) = S (t) [θ (t) θ (t + 1)], t. A jelölés aomáliáit talá az magyarázza, hogy el akarjuk kerüli a θ ( 1) változót, és explicite hagsúlyozi akarjuk a θ és az S folyamatok mérhetõségi, iformációs struktúrájáak eltérõ voltát. A bevételi oldal S (t) θ (t), a kiadási oldal S (t) θ (t + 1). A t = 0 potba még ics bevétel, a t = potba már ics kiadás. A θ (t) érték a [t 1, t) szakaszo tartott portfólió, amelyrõl a t 1 potba kell dötei, vagyis a θ (t) F t 1 mérhetõ. Erre a tulajdoságra a sztochasztikus folyamatok irodalmába mit elõrejelezhetõség szokás hivatkozi. Vezessük be a V θ értékfolyamatot, amely azt mutatja, hogy meyi volt a pozíció kumulált eredméye az idõszak elejé, az újrabefektetés elõtt. V θ ( ) = c θ (t) = t =0 = S(0) θ (1) + S(1) [θ (1) θ (2)] + + S( ) θ ( ) = = [S(t) S(t 1)]θ (t). t =0 Ha t = 0, akkor V θ (0) = defiició. A többperiódusos modellbe akkor va arbitrázs, ha va olya θ elõrejelezhetõ stratégia, amelyre V () 0. θ 1. tétel. (Az eszközárazás elsõ alaptétele.) A következõ állítások ekvivalesek: 1. ics arbitrázs, 2. megadható olya Q > 0 valószíûség a kimeetelek Ω teré, hogy az S folyamat martigál a Q alatt. Bizoyítás. Ha létezik Q martigálmérték, és va arbitrázs, akkor felhaszálva, hogy a Q > 0, és hogy V θ () 0, illetve hogy a θ elõrejelezhetõ és ezért haszálható, a kiemelési szabály 0 < M Q (V θ ( )) = M [S(k) S(k 1)] θ (k) = k =1 Q = M Q (M Q ([S(k ) S(k 1)] θ (k ) F k 1 ) = k =1 = M Q (M Q (S(k ) S(k 1) F k 1 ) θ (k )) = k =1 = M Q (0 θ (k)) = 0, k =1 ami lehetetle. Megfordítva, tegyük fel, hogy ics arbitrázs. Vezessük be az A = ([S() S( 1)], [S( 1) S( 2)], ) mátrixot, és jelölje E az olya portfólióstratégiákat, amelyek elemei elõrejelezhetõk.

12 608 Medvegyev Péter Mivel az elõrejelezhetõ stratégiák triviálisa lieáris alteret alkotak, ezért az E véges dimeziós altér. Ha icse arbitrázs, akkor az Ax 0, x E egyelet em oldható meg. Ez másképpe fogalmazva azt jeleti, hogy a K = AE = {Ax : x E}, N metszete a R N + kúppal csak a ulla vektorból áll, vagyis K R + = {0}. A K az E véges dimeziós altér lieáris leképezéssel vett képe, vagyis maga is véges dimeziós altér, tehát zárt, kovex halmaz, amely a feltétel szerit diszjukt a N P N 1 = x 0 : x = 1 1 halmaztól. A kovex halmazok szeparációs tétele alapjá 22 va olya q vektor, amelyre * q * k < q s, k K, s P N 1. (2) * Mivel a k = 0 megegedett, ezért a q s midig pozitív, vagyis mivel a P N 1 tartalmazza az egységvektorokat, ezért q > 0. Ugyaakkor mivel a K altér, ezért triviálisa q * k = 0, ugyais ha valamilye k K vektorra q * k 0, akkor mivel mide λ skalárra λk K, a (2em teljesülhet. Az elmodottak szerit tehát va olya q > 0, amelyre q * Ax = 0, x E. A q tekithetõ Q > 0 valószíûségek, és 0 = q * Ax = M Q (Ax) mide x E elõrejelezhetõ stratégiára. Speciálisa, ha F F t 1 tetszõleges, akkor az stratégiasorozat elõrejelezhetõ, tehát következésképpe x = (0,,0,χ F,0, 0) 0 = M Q (Ax) = M Q ([S(t) S(t 1)]χ F ) = 0, M Q (S(t)χ F ) = M Q (S(t 1)χ F ), F F t 1, vagyis a feltételes várható érték defiíciója alapjá tehát az S a Q mérték mellett martigál. S(t 1) = M Q (S(t) F t 1 ), Diszkotálás és öfiaszírozó portfóliók Most térjük rá a diszkotálás kérdésére, vagyis tegyük fel, hogy az egyes idõszakok jövedelmét em lehet összeadi! Legye ismét a 0 idexhez tartozó termék kötvéy, S 0 (t) legye a kötvéy ára a t idõpotba. Az egyszerûség kedvéért tegyük fel, hogy S 0 (0) = 1. Mikét az egyperiódusos modellbe, most is feltesszük, hogy mide t idõpotba S 0 (t) > 0. Evides módo a diszkotált ár 22 A P N 1 kompakt, tehát a szeparáció szigorúa teljesül.

13 A pézügyi eszközök árazásáak alaptétele diszkrét idejû modellekbe S (t) = S(t). S 0 (t) A továbbiakba a felülvoás midig a diszkotálásra utal. Az árváltozásokból származó yereméyek diszkotált összege [S (t) S (t 1)]θ (t). (3) t =1 Vegyük észre, hogy a diszkotálás miatt az egyes összeadadó téyezõk azoos idõpotra voatkozak, így az összeg közgazdaságilag értelmes. Godot jelet azoba, hogy a (3agysága szempotjából a kötvéypozíció értéke teljese érdektele, ugyais S 0 (t) S 0 (t 1) = 1 1 = 0, így a θ 0 (tagysága irrelevás. A em diszkotált esetbe az elõrejelezhetõségtõl eltekitve tetszõleges pozíció felvételét megegedtük, tehát semmilye további megkötést em alkalmaztuk az egyes idõszakokra. Most azoba más utat követük, explicit megszorítást vezetük be a lehetséges portfóliókra. Erre azért va szükség, mivel a kötvéypozíciót em tudjuk rögzítei, másképpe fogalmazva: mivel ragaszkoduk a (3) itegrál formulához, de ez a formula a θ 0 értékére semmilye elõírást em tartalmaz, ezért a θ 0 midekori értékét kívülrõl a modellbe bevitt feltétellel rögzítjük. A továbbiakba a θ jelölése azt értjük, hogy a θ által reprezetált stratégiába a 0 idexû termék értéke 0, a többi koordiáta pedig elõrejelezhetõ folyamatot alkot. 7. defiició. A (θ (t)) t =1 sorozatot öfiaszírozóak modjuk, ha S (t) θ (t + 1) = S (t) θ (t), (4) vagyis a portfólió átredezése a t idõszakba em eredméyez ettó pézáramlást. etkötvéypozíció értéke úgy módosul, hogy egyelegezze a többi pozí szõleges θ -ra a θ 0 cióba keletkezõ értékváltozást. Mivel a (4) defiícióba midkét oldal leosztható S 0 (t)-vel, ezért az S (t)θ (t +1) = S (t)θ (t) is teljesül, vagyis ha a θ S öfiaszírozó, akkor a θ S öfiaszírozó, és yilvá megfordítva. Nekük azoba több kell. Legye θ tetszõleges elõrejelezhetõ portfólió a hagyomáyos eszközökre! Ha a kötvéypozíciót mide t idõpotba a M M S k (t)θ k (t) S k (t)θ k (t + 1) = S 0 (t)θ 0 (t + 1) k =1 k =1 szabállyal választjuk, egyelegezzük, akkor öfiaszírozó portfóliót kapuk. Világos, M hogy ha (θ k (t + 1)) k =1 F t -mérhetõ, akkor a θ 0 (t + 1) is F t -mérhetõ, vagyis a θ 0 egyértelmûe és öfiaszírozó és elõrejelezhetõ módo került rögzítésre. A portfólió diszkotált értéke a t idõpotba 1 V (t) = S(t)θ (t) = S (t)θ (t). S 0 (t) A portfólió értéke a idõpotba az öfiaszírozás feltétele miatt

14 610 Medvegyev Péter V ( ) = S( )θ ( ) = S( )θ ( ) ± S( 1)θ ( 1) ± = = S( )θ ( ) S( 1)θ ( ) + = = [S( ) S( 1)]θ ( ) + = = [S(t) S(t 1)]θ (t) + S(0)θ (1) = t =1 = [S(t) S(t 1)]θ (t) + S(0)θ (0) = t =1 = G( ) + V (0), ahol G az úgyevezett yereméyfolyamat. Mivel a levezetés csak az öfiaszírozáso múlt, az egyelõség potosa akkor teljesül, ha V ( ) = [S (t) S (t 1)]θ (t) + V (1) = (5) t =1 = [S (t) S (t 1)]θ (t) + V (0) = t =1 = G ( ) + V (0). 8. defiició. A modellbe icse arbitrázs, ha ics olya θ elõrejelezhetõ, öfiaszírozó portfóliófolyamat, amelyre V (0) = 0, de V () 0. Világos, hogy ez ekvivales azzal, hogy ics olya θ, amelyre V(0) = 0 és V (,θ ) = 1 V (,θ ) 0, S 0 ( ) vagy ami ugyaaz, ics olya elõrejelezhetõ folyamat, amelyre [S (t) S (t 1)]θ (t) 0. t =1 A θ és a θ között léyeges eltérés va. A θ elõrejelezhetõ, öfiaszírozó, és M + 1 dimeziós, a θ csak elõrejelezhetõ és léyegébe csak M dimeziós, ugyais a 0 idexe azoosa ulla. Az elmodottak alapjá az eszközárazás elsõ alaptételét köye kiterjeszthetjük a diszkotálás esetére: tétel. (Az eszközárazás elsõ alaptétele.) Potosa akkor ics arbitrázs, ha va olya Q mérték, amelyre ézve az S diszkotált árfolyam folyamat Q-martigál! A Dalag Morto Wiliger-tétel Ez idáig feltételeztük, hogy a lehetséges kimeetelek, világállapotok halmaza véges. Ez agyba segítette a tárgyalást, ugyais matematikailag csakis mátrixokkal kellett foglalkozi, és az egész godolatmeet a lieáris algebra elemi keretébe volt tárgyalható. A matematikai pézügyek egyik méltá üepelt tétele, az úgyevezett Dalag Morto 23 Mide modellbe az eszközárazásak két alaptétele va. Az elsõ az arbitrázs és a martigálmérték kapcsolatát adja meg, a második alaptétel pedig a teljesség és a martigálmérték egyértelmûségét kapcsolja össze.

15 A pézügyi eszközök árazásáak alaptétele diszkrét idejû modellekbe 611 Williger-tétel 24 szerit, az eszközárazás elsõ alaptételébe a diszkrét és véges idõhorizot megtartása mellett a valószíûségi alaptérre tett végességi feltétel elhagyható. Az alább bemutatott ige egyszerûek számító bizoyítás alapgodolatát tekitve em sokba külöbözik a már bemutatott bizoyításoktól, de feltételezi a mértékelmélet és az absztrakt aalízis ismeretét. 25 Ebbe az alpotba tehát az (Ω, A, P) általáos valószíû- ségi mezõ és F = ( F t ) t =0 véges idõhorizotú, de mide más szempotból tetszõleges filtráció, és (S(t)) t =0 -adaptált folyamat. Vezessük be az R = H : H = [S(t) S(t 1)]θ (t) t =1 halmazt, ahol θ az elõrejelezhetõ stratégiáko fut keresztül. Az aalízisbe megszokott módo L 0 + jelölje a em egatív valószíûségi változók halmazát. Vezessük be az A = R L 0 +, valamit a cl(a) halmazokat, ahol a lezárás a sztochasztikus kovergeciába értedõ. 26 Diszkrét, véges idõhorizot eseté az eszközárazás elsõ alaptételéek legáltaláosabb alakja a következõ: tétel. (Dalag Morto Williger.) A következõ állítások ekvivalesek: 1. A L 0 + = {0}. 2. A L 0 + = {0} és A = cl(a). 3. cl( A) L 0 + = {0}. 4. Megadható olya Q valószíûség, amely ekvivales az eredeti P valószíûségi mértékkel, amelyre a dq/dp Rado Nikodym derivált korlátos, és amely mellett az S martigál.. A megadott defiíciók alapjá evides, hogy az elsõ feltétel éppe az arbitrázs kizárásáak már korábba tárgyalt feltétele, ugyais az elsõ állítás szerit icse olya θ elõrejelezhetõ stratégia, amelyre a t =1 [S(t) S(t 1)]θ (t) kummulált yereség em egatív és egy pozitív valószíûségû halmazo pedig pozitív. A tétel bizoyítása éháy lemmára épül. Az elsõ az elemi aalízisbõl ismert kompaktsági tétel 28 általáosítása lemma. Legye (η R m értékû mérhetõ függvéyek sorozata, és tegyük fel, hogy lim if η <. Ekkor megadható olya (σ k ) k egész értékû mérhetõ függvéyekbõl álló sorozat, amelyre és az (η σ k ) k sorozat mide kimeetelre koverges. σ k 24 Az eszközárazás elsõ alaptételét véges számú kimeetel eseté szokás Harriso Pliska-tételek is evezi. 25 A továbbiakba a Dalag Morto Willige-tételre em foguk hivatkozi, így az alpotot a megfelelõ aalízisismeretekkel em redelkezõ olvasó elhagyhatja. 26 Megjegyezzük, hogy mivel mide sztochasztikusa koverges sorozat tartalmaz majdem midehol koverges részsorozatot, ezért a cl lezárás majdem midehol értelembe is vehetõ. 27 Az állítást a diszkotált alakra modjuk ki. A diszkotálás bevezetése az öfiaszírozó portfolióko keresztül a már bemutatott módo hajtható végre. A bizoyítás Kabaov Stricker [2001] dolgozatba közölt bizoyítás további egyszerûsítése. Érdemes megjegyezi, hogy az állítást korábba ehéz tételek tartották. Vö. Elliott Kopp [2000]. Az itt közölt bizoyítás léyegébe elemi. Utólagos visszatekitéssel a Dalag Morto Williger-tételt a matematikai közgazdaságta elemi tételei közé kell besoroli. 28 A Bolzao Weierstrass-tétel. 29 Potosabba aak a Bolzao Weierstrass-tétellel ekvivales elemi állításak az általáosítása, hogy ameyibe egy sorozatak a limes iferiorja véges, akkor a limes iferior egy alkalmas részsorozat határértéke.

16 612 Medvegyev Péter A lemma bizoyítása. Legye elõször (η skalárértékû sorozat, és tegyük fel, hogy az η = lim if η mide kimeetelre véges. Legye τ 0 = 0, és vezessük be a 1 τ k = if > τ k 1 : η η k függvéyeket. Elemi megfotolásokkal azoal belátható, hogy a τ k midek k-ra mérhetõ, és triviálisa η τ k η. A godolatmeetet az η sorozatra alkalmazva, a feltétel miatt megadható olya (τ k ) k sorozat, amelyre sup η τ k <. k A korlátosság miatt a már megritkított sorozat mide koordiátájára és mide kimeetelre külö-külö létezik a limes iferior, tehát az elõzõ godolatmeetet m szer megismételve a (σ k ) k idexsorozatot egyszerû, véges lépésbõl álló iterációval megkaphatjuk. Megjegyezzük, hogy mivel a (σ k ) k sorozat tagjai mérhetõek, ezért elemi megfotolásokkal azoal igazolható, hogy az (η σ k ) k sorozat tagjai mérhetõk maradak. A bizoyítás következõ lépése a szeparációs tétel végtele dimeziós alkalmazását tartalmazza. 2. lemma. Legye (Ω, A, P) tetszõleges valószíûségi mezõ. Legye K az (Ω, A, P) tére értelmezett itegrálható függvéyekbõl álló L 1 tér olya zárt, kovex kúpja, amelyre K ( L 1 + ), és K L 1 + = {0}. Ekkor az (Ω, A) tére létezik olya Q valószíûségi mérték, amely ekvivales 30 az eredeti P valószíûségi mértékkel, és amelyre és dq L, d P k dq 0, k K. d P Ω Ω d P M Q (k) = kdq = k dq d P = M P A lemma bizoyítása. Az L 1 duálisa L, tehát az L 1 tére értelmezett folytoos, lieáris fukcioálok alkalmas L függvéy segítségével itegrálkét reprezetálhatók, vagyis mide az L 1 tére értelmezett z folytoos, lieáris fukcioálak egyértelmûe megfeleltethetõ egy olya, szité z-vel jelölt L -beli elem, amelyre tetszõleges l L 1 eseté z,l = zld P. Legye Z az olya folytoos, lieáris fukcioálok halmaza, amelyek em egatívok a K kúpo. Mivel 0 Z, ezért Z 0/. Jelölje Y a Z elemeiek tartóhalmazaiból álló halmazt, vagyis Y Y, ha va olya z Z, hogy Y = {z > 0}. riviálisa az Y zárt a megszámlálható egyesítésre, ugyais ha z Z, akkor alkalmas α pozitív kostasokkal α z Z. Ha Ω 30 Emlékeztetük, hogy a P és a Q ekvivaleciája defiíció szerit azt jeleti, hogy P(A) = 0 potosa akkor, ha Q(A) = 0 vagyis a ulla valószíûségû eseméyek halmaza a két mérték esetébe egybeesik. ermészetese a P és a Q potosa akkor ekvivales, ha a dq/dp létezik és pozitív.

17 A pézügyi eszközök árazásáak alaptétele diszkrét idejû modellekbe 613 λ 0 = sup {P(Y ) : Y Y}, akkor va olya (Y sorozat, amelyre P(Y ) λ 0. Az általáosság megszorítása élkül feltehetõ, hogy az (Y mooto õ, és mikét az imét megjegyeztük, Y 0 = Y Y, tehát P (Y 0 ) = λ 0. Az állítást belátjuk, ha megmutatjuk, hogy λ 0 = 1, ugyais akkor találtuk egy olya z 0 Z elemet, vagyis egy olya z 0 L függvéyt, amelyre z,k 0, és amelyre P (z 0 > 0) = 1. együk fel, hogy P (Y 0 ) < 1, és vegyük az x = χ c Y0 L 1 \ {0} + függvéyt. Mivel a K zárt, kovex halmaz és x K, ezért a végtele dimeziós szeparációs tétel, a Hah Baach-tétel, szerit található az L 1 tére értelmezett olya z x folytoos, lieáris fukcioál, amelyre z x,x > z x,k, k K. (6) etszõleges B A eseté χ B L 1 +, ezért z 0, ugyais ha egy pozitív mértékû E halmazo x z < 0, akkor a sχ E L 1 + K halmazo x z x, sχ E = s z d P > 0, x ami az s övelésével tetszõlegese aggyá tehetõ, következésképpe a (6) szeparációs egyelõtleség em teljesüle. Mivel k = 0 K, ezért z x,x > 0, vagyis Ω z x xd P > 0, tehát a z tartója része az x tartójáak, ami elletmod a P(Y 0 ) maximalitásáak. x Végezetül térjük rá a tétel bizoyítására! A tétel bizoyítása. A bizoyítást több lépésre botjuk. Megjegyezzük, hogy most is a kovex halmazok szeparációs tételét akarjuk alkalmazi. A bizoyítás ehézsége abba áll, hogy biztosítauk kell az elválasztadó halmazok zártságát. Ebbõl kifolyólag a bizoyítás érdemi lépése az elsõ lépés. 1. A bizoyítás a idõperiódus szeriti idukcióra épül. Legye elõször = 1. Vegyük egy a A sorozatot, és tegyük fel, hogy a a, ahol a kovergecia mit sztochasztikus kovergecia értedõ. Meg kell mutatuk, hogy a A. Az A defiíciója szerit a = [S(1) S(0)] θ (1) r, ahol a θ (1) F 0 mérhetõ és r L 0 +. Vegyük észre, hogy a bizoyítás ehézsége pusztá abból áll, hogy az (a kovergeciájából em következik a (θ (1) kovergeciája. 31 Vegyük észre, hogy ha Ω k F 0 az Ω véges számú halmazból álló partíciója, akkor az állítást elég az Ω k halmazoko külö-külö beláti. Az Ω teret botsuk fel úgy, hogy a partíció mide részhalmazáak mide kimeetelére az [S(1) S(0)] ugyaazo oszlopai alkotják az [S(1) S(0)] oszlopvektorteréek bázisát. A lieárisa összefüggõ oszlopokat elhagyva, a θ (1) stratégiát helyettesítsük a bázisvektorokra voatkozó koordiá tákkal. Vezessük be a θ = lim if θ (1) változót, és legye Ω 1 = {θ < }. Az elsõ lemma szerit alkalmas (σ k ) k részsorozatra az Ω 1 halmazo a (θ σ (ω)) k F 0 -mérhetõ, és mide k ω-kimeetelre ω a (θ (ω) koverges részsorozata. Mivel mérhetõ függvéyek határér téke mérhetõ, ezért a (θ σ k ) k sorozat θ határértéke szité F 0 -mérhetõ. Evides módo az (r σ k ) k sorozat szité koverges, és az r határértéke em egatív, tehát a = [S (1) S (0)] θ (1) r A. 31 Érdemes hagsúlyozi, hogy potosa ez a probléma lép fel akkor, amikor azt kell igazoli, hogy mide véges kúp zárt. A következõ bizoyítás eek az ige fotos állítás bizoyításáak az általáosítása. E

18 614 Medvegyev Péter Vegyük a Ω 2 = {θ = } halmazt. A θ (1), illetve r helyett tekitsük a θ (1) r, θ (1) θ (1) ormalizált sorozatokat. Ω 2 defiíciója miatt a θ ( 1) = [S(1) S(0)] θ (1 r θ θ ( 1) 0. (1) Ismételte a lemma miatt feltehetõ, hogy a θ (1) / θ (1) koverges, tehát alkalmas θ F 0 és r elemekre [S (1) S (0)] θ r = 0. Az elsõ feltétel szerit [S (1) S (0)] θ = 0, vagyis r = 0. Ugyaakkor θ 0, ami elletmod aak, hogy az [S (1) S (0)] oszlopai lieárisa függetleek, következésképpe Ω 2 = 0/. Ezzel a = 1 esetbe az A zártságát igazoltuk. együk fel, hogy az állítást már 1 idõpot eseté beláttuk, és legye a = [S(t) S(t 1)]θ (t) r a. t =1 Ha θ ( ) F 1 mérhetõ, akkor az [S ( ) S ( 1)] θ ( ) R, tehát az elõzõ godolatmeetet megismételve feltehetõ, hogy a θ ( ) koverges. Az idukciós feltételt a 1 [S (t) S (t 1)]θ (t) r t =1 kifejezésre felhaszálva, az állítás evides. 2. A második állításból triviálisa következik a harmadik. 3. Megjegyezzük, hogy tetszõleges η változó eseté a P valószíûségi mezõ megválasztható úgy, hogy az η itegrálható lesz. Elég például a P helyett a P ( A) = C exp( η )dp A P-vel ekvivales teret vei. 32 Mivel a tételbe szereplõ állítások érvéybe maradak, ha ekvivales valószíûségre térük át, 33 ezért az általáosság megszorítása élkül feltehetjük, hogy az S folyamat mide idõszakba itegrálható. Mivel az L 1 -be való kovergeciából következik a sztochasztikus kovergecia, ezért a K = cl( A) L 1 kúp zárt az L 1 térbe, és a feltétel szerit K L 1 + = {0}, így a második lemmába szereplõ szeparációs tétel alapjá va olya Q ekvivales mérték, amelyre a dq/dp L, és amelyre M Q (k) 0, k K. Speciálisa, ha vesszük a k = ±[S(t) S(t 1)]θ (t) elemeket, ahol a θ (t) F t 1 mérhetõ, akkor M Q ([S (t) S (t 1)] θ (t)) = 0, 32 Az x exp ( x ) függvéy korlátos, vagyis az áttérést biztosító Rado Nikodym-derivált korlátos. 33 A sztochasztikusa koverges sorozatok potosa azok, amelyek redelkezek majdem midehol koverges részsorozattal. Ekvivales mértékek eseté a majdem midehol koverges sorozatok halmaza azoos.

19 amibõl A pézügyi eszközök árazásáak alaptétele diszkrét idejû modellekbe 615 M Q (S (t) S (t 1) F t 1 ) = 0, vagyis az S martigál a Q alatt, következésképpe a harmadik állításból következik a egyedik. 4. Végezetül tegyük fel, hogy teljesül a egyedik állítás, vagyis va olya Q a P-vel ekvivales mérték, amely mellett az S martigál. Ha h A L 0 +, akkor va olya θ elõrejelezhetõ startégia, amelyre A Q-martigál tulajdoság szerit következésképpe 0 h [S(t) S(t 1)]θ (t). k M Q ([S (t) S (t 1)] θ (t)) = 0, M Q (h) = 0, amibõl a h 0 felhaszálásával a h Q majdem mide kimeetelre ulla. Mivel a P és a Q ekvivalesek, ezért a h P majdem midehol ulla, így teljesül az elsõ állítás. Árazás többperiódusos modellekbe Legye H F mérhetõ valószíûségi változó. Mi a H ára a t = 0 potba? A H változót, más éve európai derivatívát, feltételes követelést, származtatott terméket 34 elérhetõek modjuk, ha va olya θ öfiaszírozó, elõrejelezhetõ portfóliósorozat, amelyre V( ) = H. A θ eve hedge vagy replikáló stratégia, portfólió. A H származtatott termék π (H) ésszerû, egyesúlyi ára természetese V(0), ugyais ha em az lee, akkor értelemszerûe lehete arbitráli. Ha π (H) < V(0), vagyis a H származtatott termék olcsó, és a replikáló portfólió drága, akkor a közgazdaságta alaptörvéyéek megfelelõe vegyük meg a származtatott terméket, és adjuk el a replikáló portfóliót. A t = 0 potba a ettó mérleg V(0) bevétel, π (H) kiadás, vagyis pozitív, a idõpotba a bevétel H, a kiadás szité H, vagyis a ettó eredméy ulla. Nem túl meglepõ módo, ha feltesszük, hogy F 0 = {/,Ω}, 0 vagyis ha a változók értéke a t = 0 idõpotba kostas, em függ a véletletõl, akkor V (0) = π (H) = M Q 1 H = M Q (H ), (7) S vagyis a H ára a H diszkotált várható értéke, ahol a várható értéket a Q kockázatmetes valószíûség mellett kell vei. A (7) idoklása a következõ. Mivel az S Q-martigál, ezért a t G (t) = [S (s) S (s 1)]θ (s) traszformált is martigál, ugyais s=1 34 A származtatott termék elevezést az idokolja, hogy a H F ismert iformációk alapjá meghatározható. mérhetõ, vagyis az értéke idõszakba

20 616 Medvegyev Péter t +1 M Q (G (t + 1) F t ) = M Q ([S (s) S (s 1)]θ (s) F t ) = s=1 t = M Q ([S (s) S (s 1)]θ (s) F t ) + s=1 + M Q ([S (t + 1) S (t)]θ (t + 1) F t ). Az elsõ tagba mide kifejezés legfeljebb t idexû, tehát az egész kifejezés F t -mérhetõ, így a feltételes várható értéke ömaga. A második kifejezésbe mivel a θ (t + 1) elõrejelezhetõ, ezért kivihetõ a feltételes várható értékbõl, majd az S Q-martigál tulajdosága miatt M Q ([S (t + 1) S (t)]θ (t + 1) F t ) = = M Q (S (t + 1) S (t) F t ) θ (t + 1) = = 0 θ (t + 1) = 0. A martigál õrzi a várható értéket, ezért, felhaszálva, hogy a V(0) determiisztikus, M Q (G ( )) = 0 az (5) felhaszálásával V (0) = V (0) = V (0) + M Q (G ( )) = M Q (V (0) + G ( )) = = M Q (V ( )) = M Q (H ) = M Q 1 H. S Érdembe sehol sem haszáltuk ki, hogy a t = 0 idõpotot vizsgáljuk, csak az 1 H = V ( ) = [S (t) S (t 1)]θ (t) + V (0) S( ) t =1 elõállítást, valamit a Q-martigál tulajdoságot, ezért 1 M Q H F t = M Q (V ( ) F t ) = M Q (G ( ) + V (0) F t ) = S( ) = G ( ) + V (0) = V (t) = V (t), S(t) következésképpe V (t) = M Q S(t) H F t. (8) S( ) Egyértelmûség, teljesség a többperiódusos modellekbe érjük vissza a diszkrét valószíûségi mezõ esetére! Kétfajta egyértelmûség vethetõ fel. 1. Vajo az árak egyértelmûek-e, vagyis függek-e a replikáló portfóliótól vagy a martigálmértéktõl? 2. Vajo a martigálmérték egyértelmû-e? Az elsõ kérdés tûik érdekesebbek, de a megoldása triviális. Ha létezek a replikáló portfóliók, akkor az azokhoz tartozó értékfolyamatok egyértelmûek. Legye θ 1 és θ 2 két replikáló portfólió, vagyis tegyük fel, hogy V(,θ 1 ) = V(, θ 2 ) = H.