KLASSZIKUS NORMÁL MÓDUSÚ LENGŐRENDSZEREK CSILLAPÍTÁSI MODELLEZÉSÉNEK VIZSGÁLATA Dr. Pápai Ferenc, PhD

Átírás

1 XI. MAGYAR MECHANIAI ONFERENCIA MaMe, Mskolc,. augusztus 9-3. LASSZIUS NORMÁL MÓDUSÚ LENGŐRENDSZERE CSILLAPÍÁSI MODELLEZÉSÉNE VIZSGÁLAA Dr. Páa Ferenc, PhD BME özlekedésérnök és Járűérnök ar; Éítőgéek, Anyagozgatógéek és Üze Logsztka anszék. Budaest, Bertalan L. u Absztrakt: A ckk klasszkus norál ódusú csllaított lengőrendszerek csllaítása odellezésének újabb lehetőséget utatja be. Átteknt a csllaítás átrx generálásának sert ódszeret. Új ódszer bevezetését javasolja, ely a kísérletleg eghatározott odáls csllaítások regresszója alaján extraolácós lehetőséget bztosít az outband ódusokhoz tartozó csllaítás érték becslésére. ulcsszavak: ísérlet odáls elezés, csllaítás, roorconáls, Raylegh, Caughey, Adhkar. BEVEZEÉS Lneárs csllaított lengőrendszerek ozgásegyenlete... M x Cx x (t), () ahol M töegátrx, C csllaítás átrx, erevség átrx, x x(t) a lengőrendszer odelljének általánosított elozdulás koordnátából alkotott n eleű oszlovektor. Az () rendszerátrxa Z( ) M C, () elynek sajátértéke, (,,, n) kolex ennységek. j Iseretes, hogy szetrkus, csllaításentes rendszereknél a Z( ) M rendszerátrx, (,,, n) sajátértéke tszta kézetes ennységek, és (,,, n) n :, (,,, n) att n száú lneársan üggetlen sajátvektor létezk, elyek egelelő odálátrxszal norálással valós eleű vektorokká tehetők. Ezekből a sajátvektorokból kéezett végzett ekvvalens transzorácó egydejűleg dagonalzálja az M, átrxokat. Az lyen csllaítatlan rendszerek lengéskéet a szakrodaloban norál ódusoknak, vagy klasszkus norál ódusoknak nevezk. Norál ódusok azok a lengéskéek, elyeknél a sajátlengést végző szerkezet nden elozduláskoordnátája egydőben ér el szélső helyzetét (tszta ázs-ellenázs, állóhullá a lengéskében). Csllaított rendszerek klasszkus norál ódusanak ogalát Lord Raylegh (877) vezette be, bebzonyította, hogy csllaított rendszereknek s létezhetnek klasszkus norál ódusa. Ilyen eset éldául az ún. roorconáls csllaítás, aelynél a C csllaítás átrx az M töegátrx és a erevség átrx lneárs kobnácója, tehát kelégít az alább egyenlőséget: C M, (Raylegh éle csllaítás) (3) ahol, anyagjellezőtől üggő (általában valós) skalár konstansok. Caughey és O elly (965) [] bebzonyította, hogy a klasszkus norál ódusok létezésének szükséges és elégséges eltétele, hogy az együtthatóátrxokra teljesüljön a CM M C, (4) ún. elcserélhetőség relácó M C M M M C. Feltéve tehát, hogy az () ozgásegyenletű rendszer együttható átrxara teljesül a (4) egyenlőség, elvégezhető az eredet x elozdulás koordnátákon az x (5) odáls koordnáta-transzorácó, aely után a szetrkus, klasszkus norál ódusokkal rendelkező rendszer ozgásegyenlete a alakú lesz, ahol M E, C... M C ( t) (6),, ( t) Γ( t ). (6b) (6c) (6d) (6e) A elozdulás-koordnáták által keszített teret odáls térnek szokásos nevezn. n

2 Caughey (96) [] bebzonyította, hogy ezek a norál ódusok egegyeznek a csllaítatlan rendszer ódusaval. Csllaított rendszer esetén a klasszkus norál ódusok létezésének szükséges és elégséges eltétele, hogy a csllaítás átrxot ugyanaz a transzorácó dagonalzálja, aelyk csatolásentesít a csllaításentes rendszert. Az együtthatóátrxokra nézve elégséges eltételt ogalazott eg: Csllaított rendszerek esetén a klasszkus norál ódusok létezésének elégséges eltétele, hogy az M C szorzat kejezhető legyen M M n n A csllaítás átrx egy - a ent eltételt kelégítő lehetséges alakjára a C a ( M ). (7) C n M a ( M ) (8) összeüggést javasolta, ezt az alakot a szakrodalo Caughy sornak nevez. A (8) szernt orában elírt csllaítás átrxokat Raylegh nyoán továbbra s roorconáls csllaítás átrxoknak nevezk. A (3) Raylegh csllaítás a (8) secáls esetének tekntendő, ugyans (8)-ban a, a, a a 3 a n helyettesítéssel éen a Raylegh csllaítás adódk, Ma ( M ) Ma ( M a M a. (9) C ) n a Fawzy (977) [3] ckkében a (4) eltételt teljesítő analtkus alakot a C M (( M ) ) orában adja. Sas et al. (998) [4] a elcserélhetőség relácót a M C M M M C orában ogalazza eg. Adhkar () [5] értekezésében a roorconáls csllaítás tovább általánosítását javasolja, és gazolja, hogy az alább ódon generált csllaítás átrxok kelégítk a elcserélhetőség relácót. C M ( M ), () C ( M), () C M ( M, M) ( M, M), () C ( M, M ) M ( M, M ), (3) ahol ), (), (), () analtkus, azaz sorbaejthető átrxüggvények. ( A odáls jellezők és a csllaítás átrx kacsolata Vzsgáljuk Adhkar () szernt összeüggését C M ( M ). (4) 4 (6b, 6c) összeüggések alaján ebben M, M, helyébe helyettesítsük be a sajátértékekkel és a sajátvektorokkal kejezett alakjukat (sektrálelbontásukat), C ( ) ( ), (5) ajd az így egadott C csllaítás átrxot transzoráljuk a odáls térbe: C ( ). (6) Az ( ) sektrálelbontásból eeljük k, tényezőket [6, 49. old.], C ( ) ( ). (7) A odáls csllaításra vonatkozó (6c) C összeüggést behelyettesítve (7)-be a ( ) (8) egyszerű összeüggést kajuk. Ez tételszerűen egogalazva a következőt ejez k: lasszkus norál ódusú, egyszeres sajátértékekkel rendelkező szetrkus rendszerek odáls csllaítása egyenlő az általánosított Raylegh csllaítás átrxot generáló (.) üggvény helyettesítés értékével a csllaítatlan sajátkörrekvencanégyzet helyen. A (8) összeüggés a klasszkus Raylegh csllaítással régóta sert: ( ). Az. ábrán ae a elrajzoljuk a klasszkus Raylegh éle roorconáls csllaítás átrx ( ) generáló üggvényét. A (8) összeüggésben ( ) helyébe a Caughey összeget generáló (8) üggvényt arguentual helyettesítve n ( ) n a (, anek skalár változata az ( ) a ( ) ), ( n ) -edokú olno.

3 a a C M ( M ) M( a E a M ). ábra. Proorconáls (Raylegh) csllaítás átrx generáló üggvénye A csllaítás és a sajátkörrekvenca kacsolatának ábrázolására a szakrodaloban az ; (csllaítatlan sajátkörrekvenca és a Lehr éle csllaítás), lletve érésekkel eghatározott sajátrekvencák esetén az ezt közelítő ; (csllaított sajátkörrekvenca és a Lehr csllaítás) ábrázolása terjedt el. A csllaítás jellegének ábrázolása és egítélése szeontjából az. ábra szernt kedvezőbb ábrázolás ódot javasoljuk, akor a csllaítatlan sajátkörrekvenca-négyzet üggvényében ábrázoljuk odáls csllaítást. A következőkben a C M ( M ) ( ) (9) összeüggés-ár elhasználás lehetőséget eleezzük a végeselees odellezésnél (FEM), a kísérlet odáls elezésnél (EMA), valant a FEM odellek EMA adatok alaján történő valdálásánál. Adhkar ent ()- (3) eredényet ontosnak tartjuk. A jelenleg végeselees rograok a roorconáls csllaítás hatások odellezésére egyrészt a (3) Raylegh éle csllaítás átrx, ásrészt ódusonként a Lehr-éle csllaítás egadását táogatják. Jövőben várhatóan Adhkar ()-(3) eredénye alaján az általánosított roorconáls csllaítás odell s kezelhető lesz.. ANYAGULAJDONSÁGO MODELLEZÉSE Anyagtulajdonságok odellezésére a C M ( M ) összeüggés azokban az esetekben alkalazható, akor a csllaítás átrxot generáló üggvény globáls a szerkezet összes ódusára nézve. Ilyen esetek lehetnek éldául a rzatkus rudak sajátlengése. A szakrodaloban néhány ublkácó globáls ( M ) üggvénnyel generálja a csllaítás átrxot (különböző tíusú lengésorák esetén s), az ( M ) üggvény analtkus alakjának eghatározását edg egy adott (korlátozott) rekvencatartoányban végzett EMA érések adata alaján határozzák eg. Példaként a [7] ublkácóból deásolt. ábrán utatjuk be különböző ódustíusokon alkalazott regresszó extraolácós görbét. A dagra vízszntes tengelyén a csllaított sajátkörrekvenca, üggőleges tengelyén a Lehr-éle csllaítás tényező került ábrázolásra. ülönböző tíusú ódusok jelenléte esetén, ahhoz hogy a regresszó egelelő lleszkedést adjon a vzsgált rekvencatartoányban Caughy üggvénysor esetén agas okszáú olnoot kell alkalazn, vagy olyan secáls (l. exonencáls) üggvényt, ely a érés adatokat elogadhatóan közelít. Ezek a agas okszáú regresszós üggvények extraolácóra (az. ábra. Globáls generáló üggvény alkalazása különböző outband ódusoknál a csllaítás tíusú ódusok esetén [7] becslésére) ne alkalasak. A [7], [], [], [], [3], [4], [5] ublkácók áttanulányozása alaján egállaítható, hogy aennyben a rendszer különböző tíusú sajátlengése együtt (egy odellben) vannak jelen, akkor a csllaítás átrx eghatározására globáls ( M ) generáló üggvény alkalazása ne javasolt.

4 .. Nelneárs rendszerek Nelneárs rendszereknek s létezhetnek klasszkus norál ódusa. ekntsük erre éldaként a oler anyagokból készült alkatrészek ozgásegyenletet. Poler anyagok esetében reológa odellként a vszkoelasztkus tulajdonságok odellezésére gyakran alkalazzák az általánosított Maxwell odellt (3. ábra). A Maxwell odellel leírható rendszer rendszerátrxa oerátortartoányban: 3. ábra. Általánosított Maxwell odell [8] ahol k E k k k Z ( ) M E E E kolex rugalasság odulusz,, () k k a k -adk Maxwell ele vszkoztás tényezőjének és rugalasság oduluszának hányadosa, Ek erevség átrx, keelve a rugalasság oduluszt. k k,, A csllaítatlan rendszer sajátértékeladatát E átrx sajátértéket és sajátvektorat kell eghatározn. Mvel az értékek esetén nyerjük, elynek egoldásához az M E kolex rugalasság odulusz üggvénye, a csllaított rendszer sajátértékenek eghatározása nehézkes. A szakrodaloban erre többéle egoldás s sert [8]. A csllaított rendszer sajátvektora vszont egegyeznek a csllaítatlan rendszer sajátvektoraval, ugyans a skalárral való szorzás ne változtatja eg a sajátvektorok rányát, eatt E M sajátvektora egegyeznek E M sajátvektoraval, bárlyen C esetén. Ugyanígy a kolex rugalasság odulusz kézetes részének elhagyásával kézett Re E M rendszer sajátvektora s egegyeznek E M sajátvektoraval. A odáls csllaítások araétere denícószerűen a I( E d ) Re( E ( ( )) E ( ) ( )) E( ) veszteség tényező üggvénye, és a ReE M rendszer sajátkörrekvencá seretében a d( ) () összeüggéssel száíthatók. Pálalv [8] értekezésében egy öt eleű Maxwell anyaggal odellezett alkatrész hajlító 4. ábra. Vszkoelasztkus anyagból készült alkatrész odáls lengésenek elezését végezte. Pálalv csllaítás értéke [8] adata alaján száítás eredényenek elhasználásával utatjuk be a ent összeüggés alkalazását a 4. ábrán. A ent összeüggéshez jutunk akkor s, ha a csllaítás átrxot különválasztva a () rendszerátrxot az Z( j) M j C () alakban írjuk, ahol ( ) E, C d ; és a C csllaítás átrxot a erevség átrx üggvényeként írjuk el: C( ) MM ( ) M d M. (3) E ent összeüggést ahol -k az M odáls terébe transzorálva, ajd helyettesítést elvégezve ( ), (4) M sajátkörrekvencá. Végeredényül a odáls csllaítás araéterére az

5 d d (5) összeüggéshez jutunk, a egegyezk ()-gyel. A ent eredényeket az anyagtulajdonságok dentkácója szeontjából eleezve eg kell állaítan, hogy a csllaítás tényezők és a sajátrekvencák érésével a veszteség tényező (a veszteség odulusz és a tárolás odulusz hányadosa) araéterezhető... ovább általánosítás lehetőség A elhasználások szeontjából érdekes lehet a következő általánosítás lehetőség. Ha az () ozgásegyenletű rendszer C csllaítás és erevség átrxa valaely -ból száraztatva az alább ódon kéezhető, C M ( M ), M ( M ), (6) akkor a csllaított rendszernek klasszkus norál ódusa vannak. Ugyans (6)-ot a elcserélhetőség relácóba helyettesítve M C M M M M ) M M ( M ) ( M ) ( M, (7) ) ( ( M ) ( M ugyanazon átrxnak különböző átrxüggvénye edg elcserélhetők. Az ) szorzat koutatvtása a átrxüggvények sektrálelbontásának segítségével látható be: ( M ) ( M ) ( ) ( ) ( ) ( ) (8) ahol, ( ) ( M ) ( M ) ( ) ( M ) ( ) ( M dagonálátrxok ) ( M az átrx sajátvektoraból alkotott odálátrx, és sajátértékeből alkotott sektrálátrx. 3. CSILLAPÍÁSI MECHANIZMUS PARAMÉER IDENIFIÁCIÓJA A (8) összeüggés alkalas lehet a csllaítás echanzus araéter-dentkácójára. A szakrodal ublkácók a kísérlet érésekkel eghatározott ; értékárokat dagraon ábrázolják, elyre regresszós görbét llesztenek. A regresszóval kacsolatban az alább kérdések ll. robléák erülnek el: o Mlyen ennységek ábrázolása történjen a regresszóhoz? o ísérlet érésekkel a csllaítatlan körrekvencák ne határozhatók eg. o Mlyen legyen a regresszós görbe analtkus alakja? o A regresszóval eghatározott llesztő üggvény globáls-e olyan érteleben, hogy a vzsgált rendszer összes ódusára vonatkozk-e. Regresszós célból a ; értékárok ábrázolása helyett célszerűbbnek tartjuk a ; értékárok ábrázolását, ert ezek jellege ejez k a (8) szernt üggvénykacsolatot. A (8) összeüggésben a csllaítatlan rendszer körrekvencá szereelnek, íg kísérlet érésekkel a csllaított körrekvencák közelítő eghatározása történk. Ez a közelítés a ks csllaítású rendszerek esetén széles körben elogadott. Aennyben rendelkezésre állnak a FEM ódszerrel száított, vagy analtkus ódon száított csllaítatlan körrekvenca négyzetek, célszerűbb azokat alkalazn és a ; értékárokat vzsgáln. A regresszós görbe analtkus alakja eghatározásának robléája összeügg azzal a kérdéssel, hogy a eghatározott (.) üggvény globáls-e, vagys érvényes-e a szerkezet összes ódusára. Ha globáls, akkor elerül a lehetőség a kísérlet úton EMA ódszerrel (l. az FRF üggvény görbellesztésének eredényekéen) eghatározott ; adatok alaján az általánosított Raylegh csllaítást generáló (.) üggvény dentkácójára (5. ábra). Ha sert a csllaítás echanzus jellege ( (.) analtkus alakja), akkor araéter-dentkácó történhet. Identkácó C M( M ) ) Regresszó Extraolácó 5. ábra. Általánosított Raylegh csllaítás regresszója

6 Aennyben a regresszós üggvény globáls, akkor a következő eljárás és elhasználás lehetőség adódk:. ísérlet odáls elezést végzünk és a vzsgált rekvencatartoányban eghatározzuk a rendszer sajátrekvencát és csllaítás értéket.. Ezeket az értékárokat a ent ábra szernt dagraban ábrázoljuk, ajd a ontsorozatra regresszós üggvényt llesztünk. 3. A regresszós üggvényt extraolálva a vzsgált rekvencatartoányon kívül eső (outband) ódusokra, a FEM rograok száára éréseken alauló csllaítás adatok lesznek egadhatók. 4. Mvel a regresszós üggvény analtkus alakja egegyezk a csllaítás átrxot generáló átrxüggvénnyel, exlct alakban elírható a klasszkus norál ódusokat eredényező C M ( M ) csllaítás átrx. A ódszer alkalazása szeontjából döntő ontosságú kérdés, hogy globálsnak teknthető-e a regresszóval eghatározott () üggvény a szerkezet összes norál ódusára nézve. Ennek vzsgálatára tekntsük át néhány EMA kísérlet érés eredényét. 3.. ísérlet vzsgálatok I. ísérlet EMA FRF éréseket végeztünk 6. ábrán látható beogott rúdon [9]. A vzsgált rzatkus acélrúd egyk végén beogott, ásk végén szabad. Az alkalazott űszer-összeállítás blokkvázlata az ábrán látható. A gerjesztés és a válaszjel érés vízszntes (xy) rányokban történt, a ért lokácók összes száa 53. A vzsgált Hz rekvencatartoányban n=5 ódust detektáltunk. olex görbellesztéssel eghatároztuk a sajátrekvenca és csllaítás jellezőket (7. ábra). A sajátrekvencák jól elkülönülnek, ne ntererálnak. A sajátérték araéterek az. táblázatban találhatók.,,3 6,7,8 3,3,33 y z PCB gyorsulásérzékelő crio 9 crio 94 NI934 PCB ulzuskalaács x 6. ábra. lasszkus EMA SISO FRF érés összeállítás 7. ábra. Aggregált RCNP dagra görbellesztése [9]. táblázat. Beogott rúd kísérlet érésekkel eghatározott sajátrekvenca, csllaítás értéke Mode [Hz] [%] íus HXZ HXZ HXZ 3 Z HXZ 4 HXZ hajlító torzós Ezután odáls odellt kéeztünk, és egjelenítettük a szerkezet lengéskéet. A vzsgált rekvencatartoányba estek a rúd XZ-síkbel.- 4. hajlító ódusa és a Z tengely körül első torzós lengés ódusa. A haradk hajlító és az első torzós lengéské a 8. ábrán látható.

7 Mode: 3, H XZ 3, =87 Hz (.37%) Mode: 4, =5 Hz (.8%) 8. ábra. Beogott rúd lengéskée [9] A 9.a ábrán az. táblázat adata alaján a sajátérték araéterek hagyoányos ábrázolása látható. A dagraon a ódusokhoz tartozó értékek görbeenete nehezen azonosítható. a. Hagyoányos ábrázolás b. Javasolt ábrázolás c., ábrázolás 9. ábra. Beogott rúd sajátérték araéterenek ábrázolás ódja A 9.b ábrán a javasolt ábrázolásban az értékek gyökös összeüggést utatnak. Elvégezve a, értékárokon a / a a alakú regresszót, a a, értékárok lneárs regresszójának elel eg (9.c ábra), a keresett ( ) üggvényre a. ábrán látható közelítéseket nyertük, elyek extraolácóra s alkalasak.. ábra. Beogott rúd sajátérték araéterenek regresszója A kísérlet eredények alaján tehát azt taasztaltuk, hogy a vzsgált rzatkus rúd esetében a hajlító sajátlengés adatokra elvégzett regresszó görbéjére rállk a torzós sajátlengés csllaítás adata. Ez elvet annak a lehetőségét, hogy zotró anyagtulajdonságú rzatkus rudak esetében a hajlító és a torzós sajátlengésekre globáls. csllaítás üggvény érvényes. A vzsgált rekvencatartoányba egyetlen torzós sajátrekvenca esett, ezért a kutatás olytatásaként szélesebb rekvencatartoánybel kísérlet vzsgálatok elvégzése szükséges.

8 3.. ísérlet vzsgálatok II. A odáls csllaítás regresszójára tekntsünk ost egy, a szakrodaloból vett éldát Brncker [] érése alaján, ahol egy toronyház sajátlengéset vzsgálták. Az éület érete x 5 x 5. Az EMA ódszer alkalazásával éréseket végeztek, a szerkezet sajátlengése klasszkus norál ódusokat utattak. A kaott sajátérték araétereket és lengéské tíusokat a. táblázatban oglaljuk össze.. táblázat. oronyház EMA érés adata [] Mode Hz % íus HXZ HYZ HXZ HYZ 3 HXZ HXZ HXZ HXZ: Hajlító XZ síkban HYZ: Hajlító YZ síkban : Csavaró (torzós) Z tengely körül A ublkált adatokat eldolgozva a következő eredényre jutottunk. Felrajzoltuk a csllaítás és sajátkörrekvenca hagyoányos és az általunk javasolt ábrázolásának dagrajat, ezeket utatja a. ábra. a. Hagyoányos ábrázolás b. Javasolt ábrázolás. ábra. oronyház sajátérték araétere A. ábra dagrajat tekntve, úgy a hagyoányos, nt a javasolt ábrázolás ódnál a érések alaján eghatározott csllaítás jellezők nagy szórást utatnak. A javasolt Delta(Nü) vagys ; ) ( ábrázolásban eggyelhető lneárs Raylegh csllaításnak egelelő trend, de akörül nagy szórással. ülönválasztva a hajlító és torzós sajátlengésekhez tartozó sajátérték araétereket, és a Delta(Nü) nézetben külön-külön lneárs regresszót végezve egleően jó lleszkedés taasztalható (. ábra). a. Hagyoányos ábrázolás b. Javasolt ábrázolás. ábra. oronyház sajátérték araétere. Sajátlengés tíusok szétválasztva és ódus-tíusonként regresszálva. A kértékelés taasztalata azt utatják, hogy ás araéterű összeüggés érvényes a hajlító és a torzós lengéseknél elléő csllaító hatásokra. Ez a kértékelés elvet a következő kérdéseket: o ne globáls generáló üggvény esetén s létezhetnek-e klasszkus norál ódusok, o a ódusokból csoortok kéezhetők-e és a regresszó ódus-csoortonként elvégezhető-e. A ódusok csoortosíthatóságának lehetőségét a következő ejezetben sertetjük.

9 3.3. Módusok csoortosítása Ebben a ejezetben azt vzsgáljuk eg, hogy a odáls csllaítások regresszójára kéezhetők-e óduscsoortok, és a óduscsoortonként eghatározott regresszós üggvény elhasználásával előállítható-e általános roorconáls C csllaítás átrx. A (6b) és (6d) összeüggések elhasználásával kéezzük az M átrx sektrálelbontását: M (9) a n száú dád összege. éezzünk száú óduscsoortot és ennek egelelően artíconáljuk -t oszloa szernt, a sektrálátrxot dagonál elee szernt -et edg sora szernt, a következő ódon:, :,, (3) ahol a odálátrx -edk csoortba tartozó oszlovektora, csoortba tartozó sorvektora, edg a sektrálátrx óduscsoortokkal kejezve M sektrálelbontása: a odálátrx nverzének -edk -edk csoortba tartozó elee. A M (3) Igazolható, hogy a (3) elhasználásával ódus-csoortonként denált (.) üggvényekkel generált C M (3) csllaítás átrx kelégít a (4) elcserélhetőség relácót, tehát az így kézett csllaítás átrxú rendszer klasszkus norál ódusokkal rendelkezk (Lásd: Függelék). (6b) alaján a ent kejezés tényezőjére M, így a óduscsoortonként denált generálóüggvénnyel a klasszkus norál ódusokat eredényező csllaítás átrx kejezése: C M M. (33) Aennyben a regresszós üggvény ne globáls, de a csllaítatlan rendszer lengéskée alaján a ódusok csoortosítása bztonsággal egtörténhet, és ódus-csoortonként regresszós üggvényt alkalazunk, akkor következő eljárás és elhasználás lehetőségek adódnak:. ísérlet odáls elezést végzünk, és a vzsgált rekvencatartoányban eghatározzuk a rendszer sajátrekvencát és csllaítás értéket.. A sajátrekvenca-csllaítás értékárokat dagraban ábrázoljuk, a dagra alaján óduscsoortokat kéezünk. (ésőbbekben egvzsgálandó, hogy a ódusok csoortosítása egtörténhet-e autoatkusan a lengéskéek alaján.) 3. Módus-csoortonként a ontsorozatokra regresszós üggvényeket llesztünk. 4. Módus-csoortonként a regresszós üggvényeket extraolálva a vzsgált rekvencatartoányon kívül eső (outband) ódusokra, a FEM rograok száára éréseken alauló csllaítás adatok lesznek egadhatók. 5. Az általánosított roorconáls csllaítás átrx a (33) összeüggés alkalazásával exlct alakban s elírható. 4. ÖSSZEFOGLALÁS, OVÁBBI FELADAO o A csllaítás echanzus araéterbecslésére előnyösebben alkalazhatók a ; értékárok, nt az ; o o ;, lletve a értékárok ábrázolása. Ezeken a dagraokon jobban eggyelhetők a érés adatok trendje, eatt az llesztő üggvény analtkus alakja és okszáa egbízhatóbban kválasztható. A csllaítás átrx globáls átrxüggvénnyel való előállítása ne nden esetben lehetséges. A csllaítás átrx átrxüggvénnyel való előállítása óduscsoortonként s lehetséges.

10 ovább eladatok Megoldandó a ódusok csoortosítása. Olyan ódszer kdolgozása, ellyel a sajátlengés adatok alaján valaely ódus az azonos csllaítás echanzussal rendelkező ódusok csoortjába sorolható. öszönetnylvánítás: A unka szaka tartala kacsolódk a "Mnőségorentált, összehangolt oktatás és +F+I stratéga, valant űködés odell kdolgozása a Műegyeteen" c. rojekt szaka célktűzésenek egvalósításához. A rojekt egvalósítását az Új Szécheny erv ÁMOP-4../B-9//MR-- rograja táogatja.... Caughey, M. E. J. O elly. Classcal Noral Modes n Daed Lnear Dynac Syste. ransacton o the ASME. Journal o Aled Mechancs 3, 965. : Caughey. Classcal Noral Modes n Daed Lnear Dynac Syste. ransacton o the ASME. Journal o Aled Mechancs Jun. 96. : Fawzy. A heore on the Free Vbraton o Daed Syste. ransacton o the ASME. Journal o Aled Mechancs Marc : P. Sas, H. Ward, S. Laens. Modal Analyss heory and estng. atholke Unverstet Leuven. ISBN X. Heverlee (Belgu) 998. : S. Adhkar. Dang Models or Structural Vbraton. Cabrdge Unversty Engneerng Deartent Ph.D. Dssertaton Seteber,, : Rózsa Pál. Lneárs Algebra és Alkalazása. Műszak könyvkadó, Budaest, 976. : S. Adhkar, S, Phan. Exerental Identcaton o Generalzed Proortonal Vscous Dang Matrx. ransacton o the ASME Journal o Vbraton and Acoustc. February 9, Vol 3 :-. 8. Pálalv Attla. Modellng and Measurng o Vscoelastc Materal Behavor Under Cyclc Load. Budaest Unversty o echnology and Econocs Faculty o Mechancal Engneerng, Deartent o Aled Mechancs, PhD Dssertaton,. :. 9. Páa Ferenc. Éítő és Anyagozgató Géek Szerkezet Dagnosztkája a ísérlet Modáls Elezés Alkalazásával. Budaest Műszak és Gazdaságtudoány Egyete, Éítőgéek, Anyagozgatógéek és Üze Logsztka anszék. PhD Értekezés, 7. :79.. R. Brncker, P. Andersen. Abent Resonse Analyss o the Hertage Court ower Buldng Structure IMAC XVIII: Proceedngs o the Internatonal Modal Analyss Conerence (IMAC), San Antono, exas, USA, February 7-,. : F. Benedettn, C. Gentle. Oeratonal Modal estng and FE Model unng o Cable-stayed Brdge. Engneeerng Structures (). M. S. Allen. Global and Mult-Inut-Mult-Outut (MIMO) Extenson o the Algorth o Mode Isolaton (AMI). PhD hess, 5, Georga Insttute o technology. 3. D. M. Srngorngo, Yozo Fujno. Syste Identcaton o Susenson Brdge ro Abent Vbraton Resonse. Engneerng Structures 3 (8) S. W. Doeblng, C. R. Farrar, R. S. Goodan. Eects o Measureent Statstcs on the Detecton o Daage n the Alaosa Canyon Brdge. Proc. o the 5th Internatonal Modal Analyss Conerence, Orlando,FL, February 3-6, 997, B.. Wang, J. X. L, J. J. Shu. heoretcal Sulaton o Dang Eect Base on Exerental Measureent. he 5th Natonal Conerence on Sound and Vbraton, PCCU, June 6, 7 FÜGGELÉ Igazoljuk, hogy a (3) elhasználásával ódus-csoortonként denált (.) üggvényekkel a (3) összeüggés alaján a C M (F-) ódon generált csllaítás átrx kelégít a (4) elcserélhetőség relácót. Írjuk el a elcserélhetőség relácó M C M M M C alakját a tényezők sektrálelbontásanak segítségével. A kejezés baloldala: M C M,, j ψ. A kejezés jobboldala:

11 j,,. ψ C M M Itt E ha, O ha. ehát, ψ M C M (F-). C M M (F-3) (F-) és (F-3) jobboldala egyenlő, ert nden tagja két közéső tényezője dagonálátrx, tehát elcserélhető. övetkezéskéen (F-) és (F-3) baloldala s egyenlők, tehát a elcserélhetőség relácó s teljesül. -.-