1. feladat (8 pont) A megfelel denícióval igazolja, hogy. 3 4x 8 =. lim. 2. feladat (22 pont) Számolja ki az alábbi határértékeket.

Átírás

1 ANALÍZIS 1. II. ZÁRTHELYI november 15. Mérnök informatikus szak β-variáns Munkaid : 90 perc 1. feladat 8 pont A megfelel denícióval igazolja, hogy =. Legyen P > = p > 2pP, ha 0 < 2 < 4P, tehát δp = 4 P. pont 2. feladat 22 pont Számolja ki az alábbi határértékeket a 1 arsh 1, b arccos 5 sh2, c ch5 sin +. a 1 arsh 1 = 1 arccos 5 = p 0, így alkalmazható a l'hospital szabály arsh 1 1 arccos 5 p = p p = = sh2 b ch5 2p = e 2 e 2 2p e 7 e = e 5 + e 5 e c = 0 = 1 pont, de 2p = 0. 0 = p e ln = e ln. A kitev ben lév 0 típusú határértékre alkalmazható a l'hospitalszabály: ln 1p ln = + + c így + = e 0 = 1. 2p = cos 1 sin 2 1p = sin 2 cos = 0,

2 . feladat 15 pont Hol és milyen típusú szakadása van az, ha [0, ] f = sin4, ha / [0, ] függvénynek? A függvény folytonos függvények hányadosa, így csak = 0, = 2 és = pontokban van szakadása. 4 pont sin4 f = f = + + sin4 = 4 4 = 4, = + cos = 1, így a függvénynek az = 0 pontban véges ugrása van. 4 pont f = ± 2 2 ± cos =, így a függvénynek az = 2 pontban másodfajú szakadása van. 4 pont f = = tg = 0 = sin4 sin4 = + = + f, így a függvénynek az = pontban megszüntethet szakadása van. pont 4. feladat 18 pont Igazolja, hogy az f = arctgsh2 1 függvény invertálható a teljes értelmezési tartományon, és adja meg az inverzfüggvényt, annak értelmezési tartományát, értékkészletét és deriváltját.

3 f 2 ch = 1 + sh2 1 < 0, ha D 2p 2 f = R, tehát a függvény szigorúan monoton csökken, így invertálható 4 pont vagy mert szigorúan monoton függvények kompozíciója. y = arctgsh2 1 y vagyis f 1 = 1 2 arsh 1 + tg vagyis D f 1 1p = [ 2, 2 ], R f 1 = arctgsh tg y 1p = R, és f 1 4p 1 = 2 = sh2 = 1 2 arsh 1 + tg y, 4 pont, ha R f 2p = 2, 2, 1 cos tg feladat 11 pont Hol folytonos illetve dierenciálható az alábbi függvény? 2 sin 1 f = ha 0 0, ha = 0 Írja fel a deriváltat, ahol létezik! Az = 0 ponton kívül a függvény dierenciálható függvények kompozíciója és szorzata, vagyis dierenciálható 2 pont, így folytonos is 1 pont. 0 esetén tehát f p = 2 sin cos 1 = 2 sin 1 cos 1 2 = 0, és a sin függvény korlátos, így a függvény folytonos az = 0 pontban is, hiszen f = 0 = f0. 2pont A dierenciálhányados deníciója alapján: f 0 = 2 sin 1 vagyis f mindenhol dierenciálható. 2p = sin 1 1p = 0,

4 6. feladat 1 pont a Határozza meg a legb vebb intervallumokat, ahol az f = e függvény monoton növ illetve monoton csökken. b Felveszi-e a függvény a minimumát a [ 1, 4] intervallumon? Ha igen, számolja ki a 4 minimumot. a D f = 0,, mert a nevez mindig pozitív. f 2p = f > 0 2p e > 0 2p > 1, 0, 1 1 1, f 0 + f lok. min. pont b f folytonos függvények hányadosa, a nevez mindig pozitív, így alkalmazható a második Weierstrass tétel, mely szerint folytonos függvény korlátos és zárt intervallumon felveszi a minimumát, vagy a lokális minimumhelyen, vagy az intervallum határán 2 pont. A minimum értéke tehát: min f 1 4, f1, f4 = min 2 e, e, e2 2 = pont 7. feladat 1 pont Határozza meg a legb vebb intervallumokat, ahol az függvény konve illetve konkáv. f = 2 + 1

5 a D f = R, és f 2p 1 2 2p= p 2 2 = = ,, 0 0 0,, f f in.pont in.pont in.pont 7 pont Pótfeladatok csak 40 pont eléréséhez javítjuk ki: 8. feladat 8 pont Számolja ki az alábbi határértéket: = = = = Adja meg az f = + e függvény érint egyenesének egyenletét az 0 = 0 pontban. f0 = 1 f = + e = e ln +e = + e ln + e = = + e 2 + e + e + ln + e 1, cos 2 így f 0 = 0, tehát az érint egyenlete y = 1.