Sokszínû matematika 8. A KITÛZÖTT FELADATOK EREDMÉNYE

Átírás

1 Sokszínû matematika 8. A KITÛZÖTT FELADATOK EREDMÉNYE

2 DR. SZEDERKÉNYI ANTALNÉ ny. gyakorlóiskolai vezetõtanár

3 Tartalom. ALGEBRA.... SZÖVEGES FELADATOK.... HALMAZOK, KOMBINATORIKA GEOMETRIA I..... TÉRGEOMETRIA STATISZTIKA, VALÓSZÍNÛSÉG GEOMETRIA II FÜGGVÉNYEK, SOROZATOK... 6

4 . Algebra. Algebrai kifejezések SOKSZÍNÛ MATEMATIKA 8 A KITÛZÖTT FELADATOK EREDMÉNYE. a) (x + y) ; b) x y ; c) (x + 7) y; d) (x 0,x) (y + 0,y) vagy 0,6x,y; e) (x + y) + 0, (x + y) vagy, (x + y). Egytagúak: a, d, és e-nek a második változata.. a) n a+ n b = n (a + b); b) n,a + n b = n (,a + b); c) n (0,a + 0,b)= 0,n (a + b) a többletfizetés; d) n a+ (n k) b. 6x 0x 6x + 0x. a) = x; b) = x; c) 0xy; d) 6xy.. a) a; b) 9b; c) 0; d) d.. a) x ; b) 9y; c) v + c + 6; d) z. 6. a) a b + ; b) 8c + d 6; c) e 8f + ; d) g h. 7. a) 6a; b) b; c) 0; d) 6a b. 8. a) x + y b) y; c) x y; d) 8x + y. 9. a) a + 0; b) 0b ; c) 6 c; d) 8 d; e) e 6; f) f + 0; g) 8 + 6g; h) + 6h. 0. a) 8x ; b) 0 0y = 0 ( y); c) 8v ; d).. a) 6x ; b) 9y; c) 9v + 0; d) 9.. a) yx y = y (x ); b) ax + 7ay = a (x + 7y); c) x 7xy y ; d) b + 7ab.. a) ; b) 99,; c) 0; d).. a) 6x y; b) ab; c) x ; d) 8a; e) xy 7 ; f). x y. a) x y c + x y ; b) ; c) a; d) ; e) ; f) a) a b 7c + 6 9d + ; b) ; c) ; d) ; 6 0 e) e + f g + ; f) ; g) ; h). Rejtvény: A budapesti irányítószámok -essel kezdõdnek, ezért az irányítószám 0. A házszám 6, az emeletszám pedig.

5 . Hogyan oldunk meg egyenleteket, egyenlõtlenségeket?. a) x=, Î ; b) x =, x Î ; c) x =, Î ; d) x = 0, x Î ; e) x =, Ï, nincs megoldás; f) x =, x Î ; g) x =, Î ; h) x =, x Ï, nincs megoldás; 0 0 i) x =, Ï, nincs megoldás; j) nincs megoldás ( ¹ 0).. a) 6 8 x = = ; b) x = ; c) x = ; d) x = 0; e) x = ; f) x = ; g) x = ; h) x = ; i) x = ; j) x = 8.. x + 7 = x (x ) x = x + x + x 7 x = x + (x + ) (x + ) = 9(x ) 0, 6. a) x< x Î{0; ; }; b) x 9 x Î{0; ; ; ; 9}; c) x < x Î{0; ; ; ; }; d) x 0 x = 0; e) x > x Î{; 6; 7; }; f) x > x Î{0; ; ; ; } x Î.. a) b) c) d) e) f) 6. a) sûrûség, tömeg, térfogat m m r = ; V = ; V r b) nyomás, nyomóerõ, felület m = r V. r = F ny A ; A = F ny p ; Fny = p A.

6 SOKSZÍNÛ MATEMATIKA 8 A KITÛZÖTT FELADATOK EREDMÉNYE c) munka, erõ, az erõ irányába esõ elmozdulás W W W = F s; F = ; s =. s F d) hõmennyiség, fajhõ, tömeg, hõmérsékletváltozás (Dt) Q Q Q = c m Dt; c = ; m = ; m Dt c D t Rejtvény x + 99x = 00x + 99 = 00, ezért x + + x x + 98 = x =. Többtagú algebrai kifejezések szorzása D t = Q. c m. a) ( + y)( + x) = ( + x) + y( + x) = ( + y) + ( + y)x = = + x + y + xy = + x + y + xy; b) (a + b)(a + b) = a(a + b) + b(a + b) = (a + b) a+ (a + b) b = = a + a b + b a+ b b = a + ab + b ; c) (x + y)( + x) = x( + x) + y( + x) = (x + y) + (x + y) x = = x + y + x + xy.. Tetszõleges téglalapokkal az elõzõhöz hasonlóan.. a) x + x + ; b) x + x ; c) x + x + ; d) x + x ; e) ax + a + bx + ab; f) a + a ab b; g) y ; h) a + ab + b ; i) 6a ab + 6b ; j) k ; k) a + a a ; l) x y + x y y x; m) x y x + y xy; n) a a b + ab b ; o) 0x a + xab xab b.. a) x + xy + x + y + ; b) a + ab + b + a + b; c) x + xy + xz + y + zy; d) 0x + xy + x y ; e) x + x y x x y + ; f) za + z ya y.. ax + by. 6. (n k)(x y). 7. (x + y)(a + b). 8. 6

7 9. A) (a + )(a ) = ; B) (a + )(a ) = a + a 6; C) (a + )(a + ) = 6a + a + 6; D) (a + )(a ) = a a ; E) ( + a)( a) = a + a + ; F) (a + )(a + ) = + a + a. 0. a) m= ; b) m = ; c) m =.. a) x = ; b) x = ; 8 *c) x = 0; d) x = Rejtvény: A 60/06 jelölés egy lehetséges magyarázat szerint jelenti az év 60. napját, hozzávéve, hogy az évbõl még 06 nap van hátra. Tehát az év összesen napból áll, azaz szökõévrõl van szó. Ennek 60. napja február 9. Ennek megfelelõen a 06/60 jelölés november -jét jelenti.. Összeg, különbség négyzete. a) a + 0a + 00; b) b + 6b + 6; c) x + xy + y ; d) + x + x ; e) y + y + ; f) a + ab + b ; g) 9x + xy + y ; h) 00a + 00ab + 00b.. a) (x + ) = x + x + x + ; b) (a + y)(a + y) = a + ay + ya + y = a + ay + y ; c) (a + ) = (a) + a + a + = a + a a) a a + ; b) x 8x + 6; c) x xy + y ; d) z + z ; e) x x + ; f) a ab + b ; g) 6a ab + 9b ; h) x 0xy + y.. a) x x (x ) = (x )(x ) = x x + ; b) (z y)(z y) = 9z zy zy + y = 9z 6yz + y ; c) (b a) = (b) a b a b + a = b ab + a.. a) a + a + ; b) y y + ; c) a a + ; d) x + xy + y ; e) x x + ; f) a + a b + b. 6. a) (x + ) = + x +; b) (x ) = x 6 x + 9; c) (x y) = x xy + 9y ; d) (a + b) = a + ab + b. x a 7. x + y = x y = (x y) = x xy + y = xy M : xy =0 8. x + y = 7 x y = (x + y) = x + xy + y 9 = x + + y M : x + y =. 9 7

8 SOKSZÍNÛ MATEMATIKA 8 A KITÛZÖTT FELADATOK EREDMÉNYE 7 9. a) x = ; b) x = ; c) x = ; d) x = 0. a) m = 0; b) m = ; c) m =.. 00-ig vizsgálva és 0 maradék váltakozik. A továbbiakban is igaz, mert a páros számok négyzete -gyel osztható. A páratlan számok k + alakúak, (k + ) = k + k +.. a = cm.. A két szám és.. 00 m.. A szám,. Rejtvény: A 6 jegyû szám a a a a6 0 (a + a ) + (a + a ) + +(a + a 6 ) A hitelkártya azonosítója: 8 09x6 7 6y 8 0 ( ) + ( x + 6) + ( ) + ( + y ) x + y Û 0 + x + y Az x helyére mind a tíz számjegy írható és ehhez megfelelõ y értékek találhatók. Az (x ; y) párok száma 0.. Összeg és különbség szorzata. a) x 8; b) c ; c) z 6.. a) y ; b) z ; c) a ; d) b ; e) x y ; f) 9 x.. Kimaradó kártyák ( a b)( a + b) a + ab + b. a) (00 )(00 + ) = = ; b) (00 + )(00 ) = = 89 97; c) (000 + )(000 ) = = ; d) (00 + 7)(00 7) = = a) (a b)(a + b) = 8 8 = 6; b) ; c) = = 6. a) x = ; b) x = ; c) x = ; d) x =. 7. a) (n ) n (n + ) = n (n ); b) (n )(n ) n (n + )(n + ) = n(n ) (n ). *8. (00 9 ) + (9 90 ) + (90 8 ) + + ( 0 ) + (0 ) = 00 =

9 Rejtvény: ( 9) + ( 8) + + ( ) = Kiemelés, szorzattá alakítás. a) (x +)y = xy + y b) ( + )z = z + z = z ( + )z = z + z = z ( + )z = z + z = z ( + + )z = z + z + z = 6z c) (a + b) a= a + ba b(a + c) = ba + bc. a) (x + ); b) (a + ); c) (a + b); d) 6(a + b); e) a (b + c); f) b(a + 6c); g) yz(x + v); h) 9ab(a + b); i) a(b + c + d).. a) (a + b)( + x); b) (x y)(a + b); c) (x + y)(a b).. a) x + = (x + ); b) ax + a = a(x + ); c) xy + y = y (x+y); d) x + x y = x ( + y).. a + b = 7(a + b) igaz. 6. x + 0y = (x + y) igen. 7. a) (x + y) + (x + y) = (x + y); b) 8a 8b = 8(a b); c) a(x + y) + b(x + y) = (x + y)(a + b). 8. a) (x + ) ; b) (x + ) ; c) ( + a) ; d) (a ) ; e) (x ) ; f) ( y) ; g) (n )(n + ); h) (x )(x + ). 9

10 SOKSZÍNÛ MATEMATIKA 8 A KITÛZÖTT FELADATOK EREDMÉNYE 9. a = p; (a )(a + ) = p. Ebbõl következik, hogy a = és a + = p, azaz a =, p =. Ez azt jelenti, hogy egyetlen ilyen négyzetszám van, a. Rejtvény: A pozitív egészszámok sorozatából kihagytuk a prímszámokat. 7. Algebrai törtek x. a) ; b) ; c) ; d) x + x + x +. a) A= ; B = ; C = 0; D = 0. 6 b) A = ; B = ; C = ; D =. 8 c) A nincs értelmezve; B = ; C nincs értelmezve; D =. 9 d) A = ; B nincs értelmezve; C = ; D nincs értelmezve.. a) x ¹ 0; b) x ¹ ; c) b ¹ 0; d) a ¹. 9 p. a különbség legnagyobb és legkisebb helyettesítési értéke között. q x. a) = ; b) ; c) d) ; x x y a ( x + ) ( x y) 6. a) =, x ¹ ; b) =, x ¹ y; ( x + ) x y ( x + ) xx ( + ) c) =, (a ¹ 0, x ¹ ); d) = x +, x ¹ 0; a( x + ) a x ax + bx x *e) =, (x ¹ 0, a ¹ b); f) =, (x ¹ 0, x ¹ ); (ax + bx) xx ( ) ( x ) x x a a 7. a) = ; b) + xy 6 xy a + a x c) = x y. xz xyz ( a b)( a + b) x y 8. a) = a b, a ¹ b; b) =, x a + b ( x y)( x + y) x + y x + ( x + ) c) = x ¹ d), = ( x + ) x + ( x )( x + ) 9. A két szám szorzata 6. x. x +. xy a ; + a x x +, y ; x π. 0

11 Rejtvény: FOUR + FIVE = NINE R = 0, O = 9, E =, I =, N = Az egyenlõség teljesül. U = 8, V =, F = A kapott szám nem osztható 9-cel. 8. Egyenletek megoldása szorzattá alakítással. a) x = 0; x = ; b) y = 0; y = 7; c) x = ; x = ; d) y = 6; y =.. a) x(x + 7) = 0 b) x( + 8x) = 0 x = 0; x = 7. x = 0; x =. c) x(x + 6) = 0 d) x(x + ) = 0 x = 0; x =. x = 0; x =.. a) (x )(x + ) = 0 b) ( x)( + x) = 0 x = ; x =. x = ; x =. c) (x + ) = 0 d) (x ) = 0 x =. x =.. a) x = ; x = ; x = ; b) y = ; y = 0; y =.. a) x + x = 0; b) 0 = x + x x = 0; x =. x = 0; x =. c) x x + = 0 d) x = 0 x =. x = ; x =. 6. a = 0; a = Igen. A szám 0 vagy. 8. (x + ) x = (x + )(x + ). Az oldaluk mérõszáma csak pozitív szám lehet, ezért mindkét oldalon oszthatunk x + -vel. x = x + ; x = A) ; B) ;. 9. A sárga négyzet oldala, dm. Rejtvény: b tyúk a nap alatt tojik b tojást. 9. Vegyes feladatok. a) 6a a + 6; b) a a + ; c) x xy y ; d) x x ; e) x x x; f) x.. a) x 0x + ; b) 9 + 6y + y ; c) a b ; d) y ; e) 000 = ; f) =

12 SOKSZÍNÛ MATEMATIKA 8 A KITÛZÖTT FELADATOK EREDMÉNYE. a) (x + y); b) x(x + ); c) y(x y); d) x(x + ); e) ( x)( + x); f) ( x)( + x).. a) (x + )(y ) = y x + xy 6; b) x (x + ) = x + x ; c) ( x y)(x y ) = 6x xy xy + y ; d) (x )( xy) = 6xy x y.. A) h B) h C) h D) i E) h F) i G) i H) i 6. a) x = ; b) x = 0; c) x =,; d) x = ; e) x ; f) x <. 7. a) x = 0; x =. b) x = 0; x =. c) x = 0; x =. d) x = ; x =. e) x = ; x =. f) x = ; x =. 8. a) x = y + ; b) y = x + ; c) y = x. y x d) x = ; e) y = ; f) x = y a) x + = ; b) a = y és z átlaga x.. (d a) = Ê ˆ Ê ˆ Ád Áa 8 Ë Ë 6 Mindkét módszer ugyanazt eredményezi és a hasonlóság ismeretében bizonyítható, hogy helyes eredményt kapunk mindkét esetben.. A téglalap területe 66 egység. 00. a) ; ; ; ;. b) a00 =. 009 c) a. a) (a + )(a )y tõ b) y = = x x nap alatt. 7. A) x y ; B) a 8; C) a b 6. n n =. n

13 . Szöveges feladatok. Egyenletek alkalmazása feladatmegoldásban. Ádámnak 600, Briginek 00 Ft van a zsebében.. Ágostonnak, Gergõnek kitûzõje volt.. A fõrabló 6 aranyat, a. számú 6, a. számú, a. számú 7 aranyat kapott.. A torta 70 g-os volt. Eszti 00 g, Dávid 0 g tortát evett.. A gondolt szám káposztát ettek meg együtt. A legkisebb, a középsõ 6, a legnagyobb pedig 6 káposztát evett. 7. Összesen 000 jegy volt és 0 00 db-ot adtak el. 8. Apa 8, Anya 6, Peti éves. 9. Alsókukutyinnak 700, Nagykukutyinnak 00, Kukutyinnak 00 lakosa van. 0. A számok: 8; 0; ; ; 6. Rejtvény: plikk plokkot ér.. Hány éves a kapitány. A lány éves volt.. Az anya 9 év múlva lesz kétszer olyan idõs, mint a fia.. Ádám 9 éves, Barnus éves.. Tanuló ( éves).. Az apa éves, fia éves. 6. Balázs, Rex 6 éves. A legnagyobb valószínûséggel a B kép ábrázolhatja õket. 7. Az apa 0, a fia éves. 8. évvel ezelõtt. 9. Aki mondja a feladatot, az a gyerek éves. 0. Apa éves, a fiú 0 éves. Rejtvény: 7 9 =, ezért a kapitány éves.. Gondoltam egy számra. ; 6; 9; ; 6; 9.. a) 6 és 6 b) Kiegészítés: pl.: A felcseréléssel kapott szám a nagyobb. Ekkor a keresett szám 6.

14 . A keresett szám.. A keresett szám 6. SOKSZÍNÛ MATEMATIKA 8 A KITÛZÖTT FELADATOK EREDMÉNYE. Ha az összeg, nincs megfelelõ szám. Ha az összeg 9, akkor a szám. 6. A gondolt szám. 7. A szám. *8. A számkód 6. *9. Az elsõ számjegy -gyel kisebb a másodiknál, így felcserélésükkor a kapott szám nagyobb lesz. Nincs megoldása a feladatnak. Hibás feladat. *0. A keresett szám 6. Rejtvény: Nincs a feltételnek megfelelõ szám. Igazolás: Mivel a felcserélés után kapott szám kétszerese az eredetinek, a két háromjegyû számra teljesül, hogy: (00a + 0b + c) = 00c + 0b + a. Mivel a bal oldalon páros szám áll, a-nak párosnak kell lennie, vagyis a = vagy a = (a > nem lehet, mert akkor az eredeti szám kétszerese négyjegyû lenne.) Ha a =, akkor bc = cb. Ez akkor teljesül, ha az eredeti szám utolsó jegyének kétszerese -vel végzõdik. Ezért c = vagy c = 6, de ha c =, akkor bπ b, mert a bal oldalon álló szám legalább 00. Ha c = 6, akkor pedig b6 π 6b, mert a bal oldalon álló szám kisebb, mint 600. Hasonlóan, ha a =, akkor bc = cb, a c kétszerese -re végzõdõ szám, ezért c = vagy c = 7 lehet. Ha c =, akkor b π b, mert a bal oldalon álló szám legalább 800. Ha c = 7, akkor b7 π 7b, mert a bal oldalon álló szám legalább Fogócska matematikus szemmel. óra perc alatt a csiga,7 méteres utat tesz meg. m m km km v =, = = = 0,00. h 000 s h h m. 0,0. s. a) A nagymama háza km-re van.

15 b) A farkas óra (= 8 perc) alatt ér oda. 0 c) 600 méter elõnyt kell adni Piroskának. km km. a) 00 km; b) v repülõ = 70 ; v autó = 00. h h m m. a) v = ; v =, b) másodperc múlva ütköznek. s s 6. a) 9 óra perc 0 mp-kor találkoznak. 80 km b) v A = 6 89 h c) 0 óra 8 perc 0 mp-kor érnének Bajára, ha 0 másodperc alatt tudnának az autóba bepakolni. km km 7. a) v Kelén = ; v Siófok = 6. b) Fonyód Badacsonytól km-re van. h h m m 8. Lacika ; Andris sebességgel szalad. s s km 9. a) 7 km; b) ; c) h *0. óra alatt körözi le elõször. 9 illetve 8 kört tesznek meg ezalatt. Rejtvény: A kutya km-es utat tesz meg. (Ugyanis Balázs menetideje, óra, ezalatt a kutya 0 sebességgel szaladgál.) km h. Méregkeverés egyenletekkel. km 6 (nem reális). h. 87 g víz van az adott oldatban. 9.,7 kg 00%-os alkohol van a %-os alkoholban. 8. liter vizet kell hozzáöntenünk.. kg cukor kell. 6. 7, kg vizet kell elpárologtatni. 7. 0,7 l 00%-os narancslevet kell hozzáönteni. 8. 7,6 l víz szükséges %-os oldatot kapunk. 7

16 0. 0 kg 60%-os oldat kell.. 0%-os volt. SOKSZÍNÛ MATEMATIKA 8 A KITÛZÖTT FELADATOK EREDMÉNYE Rejtvény: A nyers füge szárazanyagtartalma megegyezik az aszalt füge szárazanyagtartalmával. x 0,08 = 0 0,80 00 kg fügébõl lesz 0 kg aszalt füge. 6. A fénymásolástól a fûnyírásig: együttes munkavégzés. Kovácsné egyedül óra alatt írná meg a lapokat.. perc mp alatt végeznének együtt.. Együtt 9,6 perc alatt hordják be a fát.. 6 nap múlva találkozik a két fúrópajzs.. A második szivattyú egyedül, óra alatt végezne. 6. Peti egyedül 6 óra perc alatt lenne kész. *7. Csak melegvízzel 0 perc alatt telne meg. Rejtvény: Igen. 7. Szögek, oldalak, átlók: geometriai számítások. 0 ; >.. 0 ; 7 ;.. A háromszög legkisebb szöge 0.. a) Ha a háromszög nagyobb szöge a szárszög, akkor 0 ; 0 ; 80 a szögek nagysága. b) Ha a háromszög kisebb szöge a szárszög, akkor 7 ; 7 ; 8 a szögek nagysága A négyszög négyzet, mivel minden szöge 90. T = 6 cm. 6. A négyzet oldala 6 cm, a téglalap oldalai 6 cm és 9 cm. e f f f *7. e = f, =, m, =,, f = 9 m. e = 7 m. 8. A négyzet oldala 0 cm, a téglalap oldalai 96 cm és 0 cm. 9. A szabályos sokszög oldalú. 0. A sokszög oldalú.. A sokszög 0 oldalú.. Az ötszög szögei: 9 ; 00 ; 08 ; 6 ;. 6

17 Rejtvény: A feltétel szerint az A-nál lévõ szög 80 g. Kössük össze AC felezõpontját (F) B-vel! Az ABF háromszög egyenlõ szárú, B-nél g és F-nél g nagyságú szög van. Így az FBC = g. Ebbõl következik, hogy a BCF háromszög is egyenlõszárú, azaz BF = 6 cm. Az ABF háromszög egyenlõ oldalú. Az A-nál lévõ szög 60 = g. g = 0. A háromszög szögei: 0 ; 60 ; Vegyes feladatok. A gondolt szám 8.. Megtakarított pénze 00 Ft > A laboratóriumi egerek 66%-a szereti az edami sajtot.. Vali 0 Ft-ot fizetett.. Az anya 6 éves, Móni éves, Norbi éves. 6. Laci 7 éves. 7. Kati éves, édesapja 7 éves. (A köztük lévõ korkülönbség állandó). 8. A keresett szám. 9. A gondolt szám 7. *0. 8 (00a + 0a + a + 00 a + 0a + a = 9).. Az elsõ óra alatt, a második óra alatt, a harmadik óra alatt tette meg a maga 0 km-ét.. a) óra perckor találkoznak. b) 6 óra 0 perckor érkezik a hír a városba.. 0 dkg cukor szükséges.. % -os lesz az oldat.. a) Semmit nem kell hozzáönteni. b) 0, l 0%-os oldat kell, hogy 0%-os oldatot kapjunk. c) l 0%-os oldat kell, hogy %-os oldatunk legyen. d) A %-os oldathoz akármennyi 0%-ost öntünk, soha nem kapunk 0%-os oldatot. 6. 0%-osból g és a 0%-osból is g vagy 7, g 0%-os és, g 0%-os keveréke ad %-os összetételt. 7. Együtt óra alatt végeznek. 8. Lili egyedül óra alatt lenne kész. 9. A keresett szög nagysága a = 0, b = 0, g = 0.. A sokszög oldalú.. A szobák alapterülete:,96 m és m. 7

18 SOKSZÍNÛ MATEMATIKA 8 A KITÛZÖTT FELADATOK EREDMÉNYE. Halmazok, kombinatorika. Halmazok. a) Legkevesebb kettõt kell elvenni, a 6. és 8. sorszámút. b) Legkevesebb kettõt, az.-et és 7.-et kell elvenni. c) Legkevesebb négyet, az., 7., 8. és 9. sorszámút kell elvenni. d) Legkevesebb 6-ot kell elvenni,.,.,., 6., 7., 9. sorszámúakat. e) Nem kell elvenni egyet sem.. B, D, A, C. a). b) nem prím, -nál nem nagyobb, -nak nem többszöröse. prím, -nál nem nagyobb, -nak nem többszöröse. prím, -nál nem nagyobb, -nak többszöröse. nem prím, -nál nagyobb, -nak nem többszöröse. prím, -nál nagyobb, -nak nem többszöröse. 6 nem prím, -nál nagyobb, -nak többszöröse. c) Üresen maradt két rész. Prím, -nak többszöröse és háromnál nagyobb (nincs ilyen szám), valamint többszöröse, -nál nem nagyobb és nem prím.. Legkevesebb 6 gyerek dolgozata ötös. 6. c) Korem blum plem. 7. Daninak helyes válasza lehet. 8. a) 6; b) 6; c) ; d) 9; e) 99 9 = (8 + 9) =. 0. Legfeljebb 80-an csak az egyik sportot ûzik rendszeresen.. 6 cm.. olyan ember van, aki szereti a virágot, a kedvenc színe nem kék és nincs autója.. 0%.. gyereknek van pontosan két jó feladata. Rejtvény: állata van. ( = madár, = kutya, = macska). 8

19 . Beszéljünk helyesen a matematika nyelvén!. Azonos jelentésûek az A), E), F), ill. a C), D). (A B) állítás jelentése semelyik másikkal nem egyezik meg.). a) Októberben lesz olyan nap, amikor nem esik az esõ. b) A héten a postás minden nap 0 óra elõtt jött. c) Nincs olyan tyúk, amelyik naponta tojást tojik. d) Nem minden nyáron van olyan nap, amikor legalább 0 van.. a) Minden négyzet rombusz. Igaz Nem minden négyzet rombusz. Hamis b) Van olyan egyenlet, amelynek nincs megoldása. Igaz Nincs olyan egyenlet, amelynek nincs megoldása. Hamis c) Minden -mal osztható szám osztható 6-tal is. Hamis Nem minden -mal osztható szám osztható 6-tal is. Igaz d) Van olyan pont, amelyik egyenlõ távolságra van a négyszög minden csúcsától. Igaz Nincs olyan pont, amelyik egyenlõ távolságra van a négyszög minden csúcsától. Hamis. Nóri kedd délután sportol, franciát tanul, nem járt Shakespeare szülõházában. Nóri ott lehet a farsang szervezõi között.. a) Ha egy szám osztható -tel, akkor osztható 9-cel. Hamis Ha egy szám osztható 9-cel, akkor osztható -tel. Hamis b) Ha egy pont rajta van egy szög szögfelezõjén, akkor egyenlõ távolságra van a szög két szárától. Igaz Ha egy pont egyenlõ távolságra van egy szög két szárától, akkor rajta van a szög szögfelezõjén. Igaz c) Ha egy szám pozitív, akkor nagyobb -nél. Hamis Ha egy szám nagyobb egynél, akkor pozitív. Igaz d) Ha egy négyszög paralelogramma, akkor a négyszög trapéz. Igaz Ha egy négyszög trapéz, akkor a négyszög paralelogramma. Hamis 6. a) Kettõt, a pirosat és a zöldet kell elvenni. b) Nem kell elvenni egyet sem. c) Kettõt, a zöld és kék lyukas lapot. d) Kettõt, a kis kék háromszöget és a lyukas kék négyszöget. e) Egyet, a kék kört. f) Kettõt, a kék kört és a kék négyzetet. 7. Elegendõ az feliratú dobozból egy érmét kihúzni és megnézni. Ha 0-est húzunk, akkor abban a dobozban van. Ekkor az feliratúban , a feliratúban van. Ha az feliratú dobozból 00-ast húzunk, akkor abban a dobozban van, az es feliratúban és a feliratúban van. Rejtvény: A nõ gyalogos volt. 9

20 0 SOKSZÍNÛ MATEMATIKA 8 A KITÛZÖTT FELADATOK EREDMÉNYE. Hányféle útvonal lehet? Az összegzési módszer. a) 0; b) ; c) 6.. a) 6; b) 0; c) 8; d) 6.. a) 6; b) 0; c) útvonal.. a) 0; b) 0; c). Rejtvény: Káró király, káró dáma, kõr dáma.. Hányféleképpen választhatunk?. 6 = 6.. a) 6 = 6; b) 6 6 = 08; c) 6 6 = 80.. a) Reggelihez -féle, ebédhez -féle, vacsorához -féle formában választhatunk gyümölcsöt. b) Egyfajta gyümölcsbõl 60-féle gyümölcsmenü állítható elõ, ezért legkevesebb 7-féle gyümölcsöt kell ennünk. (Egy év 6 vagy 66 nap). -féle háromjegyû szám, ebbõl 6 páros.. 0 háromszöget. 6. megfelelõ paralelogramma létezik féle módon választhatók ki a lift utasai. 8. a) 0-féle különbséget írhatunk fel, de ezek közül -nek az eredménye (kiszámított különbség) kétszer szerepel, azaz 08 különbözõ kiszámított különbség van. b) =. 9. a) ; b) ; c) A Nekeresd SC pontot szerzett.. 6 csapat játszott.. döntetlen (a + ( a) = 0; ahol a a nyertes meccsek száma.). 6 csapat játszott ( csapat nem szerzett pontot). Rejtvény: Nem csak egymással játszottak.. Válasszuk szét az eseteket! = -féle gyümölcssaláta készíthetõ.. 0; ; ; ; 6. (0 akkor, ha mindhárom kártyán 0 áll.) = = 699.

21 . a) oldalt; b) 00 oldalt; c) oldalt. 6. a) ; b) a) 9; b) 90; c) 89; d) Ha az elsõ három számjegyre vonatkozik a feltétel, akkor 6 ilyen szám van, ha az utolsó három számjegyre igaz a feltétel, akkor is 6 ilyen szám van. Összesen 8 ilyen szám van 000 és 9999 között. Rejtvény: 00 számban szerepel -es 999 és 009 között. 6. Hány lehetõség van?. 7-féle színezés lehetséges.., vagy 6 egynemû pár lehetséges.. lány ( fiú egymás mellett, az lány és a maradék fiú felváltva ülnek.). 9 páros, 7-tel nem osztható szám van és 000 között. ( n 000). 8-féle megfelelõ sorrend lehetséges. 7. a) MÁRTI. b) A betûk sorában a 00. helyén M áll. Rejtvény: = A két szám egyenlõ. 7. Vegyes feladatok.. a) TÇ P = P {paralelogrammák}, mert P Ì T, {; ; ; 6; 8; 9} b) T = {nem trapézok}, {; } c) R È P = P {paralelogrammák}, mert R Ì P, {; ; ; 6; 8; 9} d) D Ç T = {deltoidok, amelyek trapézok is}, {; ; 8}.. % szép is és okos is.. gyerek játszott pontosan kétféle labdajátékot.. A nézõk %-a 60 évnél idõsebb.

22 SOKSZÍNÛ MATEMATIKA 8 A KITÛZÖTT FELADATOK EREDMÉNYE 6. 0 oldalú a sokszög. (AF és E) átlók bontják így, ha a szokásos betûjelzést alkalmazzuk a tízszögre. 7. a) () Nem igaz, hogy () A számnak vagy páros, vagy páratlan számjegye nincs. () A szám vagy csak páros, vagy csak páratlan számjegyekbõl áll. b) () Nem dobtunk mindhárom kockával hatost. () Valamelyik kockával nem hatost dobtunk. c) () A lerajzolt négyszögnek nem egyenlõ mindegyik szöge. () A lerajzolt négyszögnek van legalább két különbözõ szöge. d) () Nincs három szám, melyek közül bármely kettõnek az összege páratlan. () Bármely három szám között van kettõ, amelynek az összege páros. 8. Öten írtak ötös dolgozatot. 9. Soma törte be az ablakot. 0. a) ; b) 6; c) 8.. a) Ha a délnyugati csúcsot úgy értjük, hogy az elsõ É D irányú utca és az elsõ K Ny irányú utca keresztezõdése, hasonlóan értve az északkeleti csúcsot, 8-féle útvonal lehetséges. (6-ot jobbra, -at felfelé). b) Ha a csúcsokat az elõbbi keresztezõdéseken kívül értjük, akkor 0-féle útvonal lehetséges. (7-et jobbra, -et felfelé).. a) 6; b) 8; c) 6; d).. a) 60; b) ; c) ; d) 8.. c) nem lehet ( kézfogás nem lehetséges).. 8. a osztályosok közül Gáspár 8 tanulót ismert. 6. a) 8; b) tel több olyan kézfogás történt, amelyben két lány fogott kezet, mint olyan, amelyben két fiú. 8. a) 90; b) 0.

23 . Geometria I.. A terület. a) 0 cm ; b) 6 cm ; c) cm.. a) 0 cm ; b) cm ; c) 8 cm ; d) cm.. 7 cm.. T A = 6(p + ) T B = 8(p + ) T A < T B.. Összekötjük a kiválasztott csúcsot a szemközti oldal felezõpontjával cm m. 8. cm és 7 cm. 9. A kapott háromszög területe az eredeti háromszög területének hétszerese. (T = 7t) 0. 0 cm.. T AHD = T HCD = T IJC = T GFH = 6, cm T IGHJ =, cm T IBE =, cm T AEGF =, cm.. A kapott háromszög területe az eredeti háromszög területének 8-szorosa. Rejtvény:. Négyzetgyökvonás. a) 6 = 6; b) 8 = 9; c) = ; d) 00 = 0; e) nincs értelmezve; f) 6 nincs értelmezve.. a) 0; b) ; c) ; d) 0; e) 0; f) 00; g) 0; h) a) 7 ; b) ; c) ; d) ; e) 0,6; f) 0,09; g) 0,0; h) 0,0. 9. a) = ; b) ; c) ; d)

24 . a) 6,9 < 9 < 7, < SOKSZÍNÛ MATEMATIKA 8 A KITÛZÖTT FELADATOK EREDMÉNYE ( ) 7,. b) < = ( ) <,. c) 0, < 0, = < 0,. d) e) ( ) = = =. - 6 < - < - < -. f) 6. a) H; b) H; c) I; d) H; e) H (pl.: 8 = 6 = ). 7. a) 0 cm; b) -szorosára. 8. Az oldalak megkétszerezésével a négyzet területe négyszeresére változik. Ha a területet kétszerezzük -szörösre változnak az oldalak. 9. -szörös a sugár.. Ê ˆ = Á < 0, < 0, Ë 0 0. < <, mert < <,7 < <,8, mert,89 < <,,7 < <,7, mert,999 < <,076,7 < <,7, mert,9998 < <,0089»,7.... a),6 racionális b), racionális c) 0 irracionális d) 6 racionális e) 7 irracionális f), irracionális. Rejtvény: Elég sokszor megismételve az eljárást a, értéket kapja, ami értékéhez közelít.

25 . Pitagorasz tétele. a) 7; b) 0; c) 8.. e», m.. A másik oldal 8 cm. T = 09 cm. K = 9 cm.. a) x = 7; b) y = ; c) z = ; d) k =.. a) ,9 + = 79,8» 80 (cm); b) , =,08», (cm). 6.,0 m hosszú a huzal. 7., cm. (Ha középpontosan tükrözzük az átfogó felezõpontjára a derékszögû háromszöget, akkor téglalapot kapunk.) 8. 9-féle különbözõ hosszúságú szakasz jelölhetõ ki. cm, cm, cm, cm, cm, 8 cm, 0 cm, cm, 8 cm. 9. A kötél hossza» 00,06 m» 00 m 0 cm. 0. A park területe, ha.. A létra,96 m magasan ér a falhoz. Rejtvény Az a oldalú négyzet B csúcsából b-t visszamértünk (F), D csúcsán túl b-vel meghoszszabbítottuk az a oldalt (E). ABF FIG EHG ADE è, mert két oldaluk és a nagyobbikkal szemben fekvõ szögük egyenlõ. Az egybevágóságból következik, hogy FG = c. Tehát AFGE négyszög minden oldala c. A derékszögû háromszögben a + b = 90. A G-nél lévõ a = a. (váltószögek az F-nél és G-nél lévõ szögek) Az ábráról leolvasható, hogy az AFGE négyszög minden szöge derékszög és minden oldala c, tehát négyzet. Az ABF háromszöget A körül 90 -kal elforgatva ADE háromszöget kapjuk, az FIG háromszöget G körül 90 -kal elforgatva EHG háromszöget fedjük le. A HJG háromszög helyben marad. Így a + b = c.

26 SOKSZÍNÛ MATEMATIKA 8 A KITÛZÖTT FELADATOK EREDMÉNYE. A Pitagorasz-tétel alkalmazásai. e» 9 cm.. AB = =», (cm). K = 9, cm T = 9,9 cm.. a) CD = cm; b) BD =»,8 (cm).. T = 0 cm K =, cm.. a)»,8; b)» 6,7; c)» 6,; d)» 6, a) d = 0; b) 0 (8; 9). 7. a) kívül; b) rajta; c) belül; d) rajta. 8. A létra hossza» 6, m. 9. Ha az adott oldalak befogók, akkor a harmadik oldal, az átfogó 7,69 cm. Ha a cm-es oldal átfogó, akkor a harmadik oldal, ami így befogó cm cm-re van az adott húr a kör középpontjától.. km-re van a kikötõtõl. Rejtvény: A tévé vízszintes oldala x, a függõleges oldala x ( x) + ( x) = 8 x = 6,6 cm x = 8 x = 9, cm x = 8 x = 6, Ha a = 6 cm, akkor nem fér be a tévé. Ha a > 6 cm és b = 6 cm, akkor vehetünk ilyen tévét.. Vegyes feladatok. a) Derékszögû háromszög, amelyen az a = 0 cm az átfogó. b) m a =,8 cm m b = 8 cm m c = 6 cm. c) T = cm.. 0 cm.. a) T = r ( a + b + c) T = 0 cm. b) c = cm, T = 6 cm, r = cm.. a = cm K = 0 cm.. A létra hossza 0 m» 6, m.», m-rel kerül lejjebb a létra teteje. 6

27 6. m magasan tört el. 7.»,87 m magasan van. 8. A belógás»,78 m. *9. r (r ) = 8, r» 9,06 cm r» 9 cm A labda átmérõje» 8 cm. 0. e = cm e f 0 T t = a b T d = f = cm = 9 cm» 9, cm. a) T= 90 cm ; b) K» 9,7 cm.. a) T=, cm K»,7 cm; b) T = 0, cm K», cm.. T =, cm K»,6 cm.. T = t. a) m; b) m; c), m», m; d) m»,7 m. 7

28 . Térgeometria. Testek csoportosítása SOKSZÍNÛ MATEMATIKA 8 A KITÛZÖTT FELADATOK EREDMÉNYE. henger; henger és kúp; kúp (csonka kúp) és henger; csonkagúla; henger, gömb és csonkakúp palástja. hasáb, henger, kúp; hasáb, henger, gúla, gömb; hasáb, henger, kúp, gúla; hasáb, gúla. a) I; b) I; c) H; d) H; e) I.. a) C); b) G); c) D); d) H).. a) b) vagy vagy cm cm cm cm cm 6cm, cm 7cm c) vagy r =cm r =cm Bármely átmérõje körül forgathatjuk. 6. Pl.: a) Az alaplappal párhuzamos síkkal. b) Az alaplapra merõleges, az alapéllel párhuzamos, de a magasság egyenesére nem illeszkedõ síkkal. c) A magasság egyenesét tartalmazó bármely síkkal. d) Három oldalélt és az alaplapot metszhetjük a síkkal. e) Hatszög metszetet nem állíthatunk elõ, ugyanis a négy oldalélt az alaplappal nem párhuzamos síkkal metszve az alapsíkot a testen kívül fogja metszeni. 7. a) cm b) cm c)», cm 8. M = cm; a cm a = cm; d = cm cm km ª 6667 km 8

29 Rejtvény: Ragasszuk a golyónégyeseket külön-külön a hatosokra hosszában szimmetrikusan. Az így keletkezett két egybevágó idomot egymásra merõlegesen helyezzük. Így ragasztjuk össze.. Nézzük több oldalról.. Ceruzák összeragasztva.. Spirálfüzet.. Talpas pohár.. Egy fotó alapján nem egyértelmû, ezért többféle megoldás is elfogadható... felülnézet oldalnézet felülnézet oldalnézet.. felülnézet oldalnézet felülnézet oldalnézet. A) B) 6 C) D) E) F) Az A) és a D) kivételével a figurák oldalnézete az adott képekkel megegyezik. A) D). kör gömb; háromszög tetraéder; négyzet kocka; négyzet, kör egyenlõ oldalú henger; négyzet, háromszög háromszög alapú hasáb; kör, háromszög kúp. Pl.: cm cm cm cm cm cm cm cm cm cm cm cm cm cm cm cm 9

30 SOKSZÍNÛ MATEMATIKA 8 A KITÛZÖTT FELADATOK EREDMÉNYE 6. a) b) c) *7. a) lap (kocka esetén) b) ( élû téglatest) Rejtvény: Pl.: vagy vagy vagy. Csúcsok, élek, lapok. a) é = 6; l = ; cs = b) é = 8; l = ; cs = c) é = ; l = 7; cs = 7 d) é = Nincs ilyen gúla, mert a gúlának ugyanannyi alapéle van, mint oldaléle. é = n. l = ; é = 6; cs =. a) a = 6 cm b) Egy 6 cm-es darabot kell levágni, ez lesz a 6. él. Vagyis egy helyen kell elvágni.. é = 0; cs = 0; l =. a) I b) H c) H 6. l = 8; é = 8; cs = 7. a) b) c) m; m; m dm; dm; dm 00 mm; 00 mm; 00 mm 8. A téglatest két csúcsa között 7-féle távolság mérhetõ (él -féle, lapátló -féle, testátló -féle). a) ; ; ; ; 0; ; 0

31 b) c) ; ; ; 0; 7 = ; = ; 69 6; ; 0; ; 6 = ; 9; = 9. a) Kék: > ; zöld: + 0 = ; piros: A zöld a legrövidebb. b) Igen. + 8 >. H G 6 E A 8 F B = < < Rejtvény: é = ; l = 7; cs = 6 Testek hálója. a) b) c) d) A négyzet átlója mentén találkozó két lap merõleges egymásra. Szabályos hatszög alapú hasáb.. Csak a B)-bõl. A) Két lap fedné egymást. C) Két-két lap fedné egymást, két alapélhez nem csatlakozna lap. D) A külsõ háromszögek magassága 7, a középponti háromszögek magassága = 7. Így a külsõ háromszögek szabad csúcsai nem találkoznak.

32 SOKSZÍNÛ MATEMATIKA 8 A KITÛZÖTT FELADATOK EREDMÉNYE. a) 7 = 0 b) 7 = 0 c) 7 9 = 69 d) =. Pl.: a) 7 b) 0 c) 6. A. kockát. 7. a) b) c) 9p + 6 ª, 6 Legkevesebb szín. szín. szín. 8. A négyzetlapokat összeillesztjük úgy, hogy a leghosszabb élek merõlegesek legyenek egymásra. 9. Ilyen falakkal nem oldható meg. 0. a) b) c) Rejtvény: Két szabályos tetraéder, egy oktaéder.. Testek felszíne a) cm 0 cm cm cm 7 cm 00 cm cm 00

33 b) 6 cm =,6 m c) Feltéve, hogy a test minden lapját egy darabból vágjuk ki, és az egyes részeket célszerûen helyezzük el, a szabáshoz 6 cm» 0 cm anyagot kell venni az ábra 7 8, szerint. Ha csak 0%-os ráhagyást számolunk, akkor ª (cm), de ekkor 0 az egyes részeket több darabból hoznánk össze.. a = cm; b = 8 cm; c = 8 cm. A doboz felszíne, dm» dm.. a) A csomag alapterülete 80 0 cm, magassága cm. A = ( ) cm = 80 cm =,8 m. b) a = 80 cm; b = 8 cm; c = 0 cm; A = cm =,608 m.,0 m papírt takarítanak meg.. a) a = 60 cm a = cm A = 6a = 0 cm b) (x + x + x) = 60 cm (x + x + )x = cm a = 6 cm; b = 6 cm; c = cm; A = cm. c) (x + x + x) = 60 cm (x + x + )x =, cm a = 7, cm; b = cm; c =, cm; A = 7, cm.. Az élek: a; a; a. a) a + a + 6a = 68 cm; a = cm; a = cm; a = 6 cm; A = ( ) cm = 68 cm. b) a + a + a = 68 cm; a = 7 cm; a = cm; a = cm; A = 078 cm. c 6. a + =,b =. a = 6 cm; b = 6 cm; c = 8 cm. A téglatest felszíne: 0 cm. A kocka felszíne: 86 cm. A felszín 8 cm -rel csökkent. 7. A = r p + rp M = rp(r + M)» 9,6 cm. 8. A = 8 p (8 +8) cm = 6p cm ; A = p ( +6) cm = 60p cm. A > A. Ha az átmérõt kétszerezzük (a magasság marad ugyanannyi) nagyobb felszínt kapunk, mint akkor, ha az átmérõ nem változik, de a magasságot kétszerezzük. 9. a) A kocka = 6 8 cm = 8 cm ; A henger = p ( + 8) cm» 0,6 cm. A kocka > A henger. A kockához kell több festék.

34 SOKSZÍNÛ MATEMATIKA 8 A KITÛZÖTT FELADATOK EREDMÉNYE b) A hasáb = cm» 79,8 cm ; A henger = p ( + 8) cm»,7 cm. A kocka < A henger. A háromszög alapú hasábhoz kell kevesebb festék. 0. A = A kocka T kör + K kör 6» 66, cm.. A = A kocka ( 0) cm = 000 cm.. a) A = + T téglalap», dm. b) A = a a a a + +»,6 dm. e f. a) A = + a M = 8 cm. b) e = ; f = 8; f = 8; f = f + f. e f A = + (a + b) M»,8 cm..» 7 cm. Rejtvény: 009 = 7 009; 7 87; 7 7 ; 9. -féle téglatest rakható ki 009 egységkockából. 6. A gúla felszíne. 7, m... 6,%-kal nõ a felszín..»,7 cm élû kocka felszínével egyezik meg.. része. *6. a) dm. A kocka cm cm cm 8cm cm 8cm cm 8cm cm A téglatestnek különbözõ lapja van. Egy ilyen lapnak a csúcsait bármely más csúccsal összekötve egybevágó testeket kapunk. Összesen -féle gúlát kaphatunk.

35 b) () () () c) () A» 06, cm () A» 97, cm () A»,96 cm Pitagorasz-tétellel meg kell vizsgálni, hogy a háromszögek derékszögû háromszögek. 7. A sátortetõ területe 0,9 m, a nyeregtetõ területe,6 m. A tetõfedéskor több hulladék keletkezik a sátortetõnél. 8. a) A tetraéder felszíne 7,8 cm. b) A kapott két test felszínének összege a kocka felszínénél 6 cm -rel nagyobb. (+ két háromszög területe) »,7 cm. Rejtvény: Kakukktojás a középsõ, mert a piros, zöld, kék sorrend (forgás) itt ellenkezõ. 7. Testek térfogata. Egyedi eredmények. Mérjék az edény átmérõjét és magasságát.. V = 6 cm. Ekkora a térfogata egy 6 cm élû kockának.. Az akváriumba l víznek kell beférni, tehát a) V akvárium > dm. Az elsõ nem jó. A második akváriumban 8 cm magasan álljon a víz. A harmadikban, cm lenne a vízmagasság. A második a jobb. b) m =,7 kg; m = 8, kg; m = 7,6 kg.. A) 6, cm ; B) 96, cm» dm ; C) 68 cm ; D), cm.. V = 08p dm > 00 l. Elegendõ napra a hordó víz. 6. I. M = cm; d = cm; V = 8,p; II. M = cm; d = cm; V = 9,7p. V > V. 7. V k =, p; V p = p m., p = p m; m = 0,6 cm. 6, mm vastagon fedi le a pizzát. 8. r p M; R R p M; =,69. r A hozzávalókból,69-szoros kell.

36 SOKSZÍNÛ MATEMATIKA 8 A KITÛZÖTT FELADATOK EREDMÉNYE g kg 9., 6 = 60. cm m Rejtvény: Feltöltjük a hengert a labda átlagsûrûségénél nagyobb sûrûségû folyadékkal. Így a labda kikerül a hengerbõl. 8. A gúla térfogata *. *. Alaplap területe ( T alap ) cm Testmagasság ( M) Térfogat ( V) Alaplapél (cm) 7 Oldalél (cm) Testmagasság (cm) Felszín (cm ) Térfogat (cm ) dm 0 cm 7 cm cm cm 9cm 0 cm dm 0 cm, dm 0 cm 80 cm m dm,8 dm dm 00 cm 9, 9 6 7,9 8, 7, 0,67 6,6 00 7,66 7,7 8 78,6 7,0 6, 00 0,6 00 8,7, *. V g = 7 cm. *. a) V = 0 cm ; A = 6, cm. b) V = 0 cm ; A = 0, cm. c) V = 6,8 cm ; A» 0 cm. *. (V t V g )r = V t r. A levágott rész tömege,6 kg. *6. a) cm. b) c) cm. d) cm. 7. Szabályos tetraéder. a = cm; M = a 6 ; A = cm ; V = cm. 6

37 8. a) RI =, cm; RO = 6 cm = DO; AO =, cm = IO. b) D c) V =,0 cm. 9. a) A» 6, cm ; V = cm. b) A = 96 cm ; V = 8 cm. 0. Nyolcad része.. a) Oktaédert kapunk. b) A maradék test felszíne az eredetinek a fele. c) A maradék test térfogata fele az eredetinek.. a) Négyszeresére; b) kétszeresére; c) nyolcszorosára nõ. Rejtvény: Egyenlõ oldalú henger (magasság = átmérõ)-bõl olyan test alakítása, mint a csavarhúzó feje. 9. Testek felszíne és térfogata. kis kockát kapunk. R. a) A térfogat az eredetinek 7-szerese. b) A felszín az eredetinek -szöröse.. A doboz hossza 0 cm, szélessége 0 cm, magassága cm. A = 0 cm ; V = 00 cm.. T hulladék = 0 cm ; T téglalap = 8 6 cm = 88 cm. 0 A veszteség 00%» 6%. 88. a) A = 80 cm ; V = 6 cm. b) A = cm ; V = 8 cm N a a 6 = = = Æ a = 6. M 6a 6 t t a a b b A B = a) b p a = A; a p b = B; b) b = a; b p a ap b ( a) p + a pa = a p + ap a b = =. a 9a + a a + a a = =. a 8. A = + ª V = 06,, cm cm ; cm. 7

38 SOKSZÍNÛ MATEMATIKA 8 A KITÛZÖTT FELADATOK EREDMÉNYE *9. a) Egy félegyenesre, melynek kezdõpontja (8; 00p). b) Egy parabolára, melynek értelmezési tartománya a nemnegatív számok halmaza. Rejtvény: Ha elég szoros a doboz, akkor a ilyen elhelyezés esetén még nem zörögnek a golyók. Legfeljebb 6 golyó hiányozhat. 0. Vegyes feladatok. Csak a tetõrész nézeteit ábrázoljuk. Félnyeregtetõ: derékszögû Nyeregtetõ: derékszögû Üstökös tetõ: háromszög alapú hasáb. háromszög alapú hasáb. Kontyos tetõ: egy három- Sátortetõ: téglalap alapú Manzárdtetõ: ötszög szög alapú hasáb + két gúla. alapú hasáb. téglalap alapú gúla.. Legfeljebb él mentén sétálhat a feltételnek megfelelõen.. A maradék testnek lapja, éle és csúcsa van.. Szabályos dobókockát véve a) élekre írt számok összege: = 8. b) testátlók végpontjaiba írt számok összege: (8 + ) + ( + 8) + (0 + ) + ( + 0) = 68. c) csúcsokba írt számok összege: = 68.. a) Az alapsíkkal párhuzamos síkkal. b) Az alaplapra merõleges, két oldalélre illeszkedõ síkkal metsszük el. 6. a) Kétféle. a b) () 8a + = 0a = 0 cm a = cm; A = 76 cm ; V = 86 cm. () 8a + a = 6a = 0 cm a = 7, cm; A = 6, cm ; V = 8,7 cm. 8

39 7. a) Ha a rövidebb oldal körül forgatunk, a lehetõ legnagyobb a felszíne. Ekkor a térfogat: V = 7p cm. b) Ha a hosszabb oldal körül forgatunk, akkor a lehetõ legkisebb a felszíne. Ekkor a térfogat: V = p cm. 8. a) a = cm; A = 6 cm ; V = cm. b) a = cm; A = 7 cm 7 ; V = cm. c) a = cm; A = 8 cm ; V = cm. 9

40 SOKSZÍNÛ MATEMATIKA 8 A KITÛZÖTT FELADATOK EREDMÉNYE 6. Statisztika, valószínûség. Adatok elemzése. a) A Vörös-tenger a legmelegebb, a Balti-tenger a leghidegebb. b) tenger nem melegebb C-nál. c) Módusz, medián,.. A szavazatok megoszlása (tankönyvi adatok javítva). 6%;. 0%;. 0%;. 7%;. 7%. a) 6% 7,6 ; 0% 08 ; 0% 7 ; 7% 6, ; 7% 6, b) 0%-a. c), t»,7 milliárd tonna. d),;,;,;,;,8; ;,;,6., + 8, Medián: =,6.. A tankönyvi adat hibás, helyesen: Dóm tér. szavazat 7000 Magyarország hét csodája Dóm tér (Szeged) Mátyás-templom, Halászbástya Érseki pincerendszer (Eger) Országház Pannonhalmi fõapatság Esztergomi bazilika Lánchíd. A) I; B) H; C) H; D) I. *. a) Az októberi számrejtvényt beküldõk száma novemberben 9-vel csökkent. b) a + b + x ; x akkor maximális, ha a = b = 0. Okt. (00) Szept. () Legfeljebb 0 olyan tanuló lehetett, aki csak szeptemberben b d küldött be megoldást. x a e c Nov. (0) 0

41 c) Hasonló ábrával és meggondolással kapjuk, hogy legfeljebb 66 tanuló lehet. d) Pl.: A sudoku hibátlan megoldásainak száma hány %-a a sudokura beküldött összes megoldás számának? 6. a) 0% b) nem c) 006., 007., 008. és a 009. évben. d),9-szeresére nõtt. e) 9, km. f),-szorosára. 7. a) 00-ben. b) 007-ben. c)» 0%. d) Hazai gy. 79,% Déli gy. 0,% Hazai gy. 76,9% Déli gy.,% e) 8,6%. *f) Kisebb a termés, nagyobb az ár, ezért kevesebbet vásárolnak. g) 00 00, , között mindkettõ nõtt között mindkettõ csökkent. 996 április-tól999 végéig a zöldségtermelés nõtt, a gyümölcstermelés csökkent, ugyancsak. 99 közepétõl 996-ig és között a zöldségtermelés csökkent, a gyü- mölcstermelés nõtt. 8. a) Az átlag 0,.. b) Módusz 80, medián 90. c) A középértéket ebben a feladatban a medián jellemzi legjobban. (7-szer fizetett 80 Ft-ot, -szer 90 Ft-ot és -szer fizetett 00 Ft feletti összeget.) d) gyakoriság adatok 9. a) A Fanyûvõ Bt. 000 Ft/m egységáron, a Favágó Társaság Ft/m -ért árulta. b) 6, m fáért Ft-ot fizettek. Átlagár: 60 Ft/m. 0. a) Módusz: ; medián: ; átlag:,7. b) Szeptember:,; október: ; november:,; december:,; január:,6.. c) Nem. A félévi átlag,7. A havi átlagok átlaga»,8.. a) 0; b) 9; c) 9.. ( x) : = 00; x = 0.

42 . a) 79; b) 8. SOKSZÍNÛ MATEMATIKA 8 A KITÛZÖTT FELADATOK EREDMÉNYE. A hátralévõ nap átlaghõmérséklete 6, F volt.. ponttal számolt kevesebbet a tanár. fõs az osztály, tehát a helyes eredmény. 6. Átlag: x. ( x) : = x; átlaguk x = Az öt szám átlaga a) Az A elmélet szerint m magasságig» 0 m /nap az épülési sebesség, ezután rohamosan csökken, majd az utolsó m-en kisebb lesz a csökkenés üteme. A B elmélet szerint egyenletesen csökken az épülési sebesség. A C elmélet szerint 0 m magasságig ugyanakkora az épülési sebesség, 0 m-ig lassan csökken. 0 m és 0 m között a csökkenés gyorsabb ütemû, majd lassabban csökken az épülési sebesség. b) m-nél. 9. a) 60 m-nél 80 munkás. b) A szállításhoz szükséges munkások száma csökken, mert egyre kevesebb kõ kell. c) Körülbelül m-ig.. Mennyi a valószínûsége?. a) gyakoriság fej fej fej esemény b) 0 fej: 0,; fej: 0,; fej: 0,. c). H.. Elmélet szerint I, kísérletnél közelítõleg I.. Elmélet szerint I, kísérletnél közelítõleg I (0,» 0,; 0,» 0,).. a) Kék: 0,; sárga: 0,6; piros: 0,; zöld: 0,. b) A zöld színû golyóból lehet a legtöbb, és a kékbõl lehet a legkevesebb.. a) Elmélet szerint. b) A relatív gyakoriságok átlaga jobban megközelíti az -et.. Az osztályba 6 tanuló jár. a) ª 0, ; b) ª 06, ; c) ª 0, ; d) ª 08,.

43 . b) A: ; B: ; C: ; D: a) = ; b) = ; c) = ; d) = ; e) féle párosítás lehetséges. 9 a) = 08, ; b) = 0, ; c) = 07, ; d) = 0, =. 8. a) = ; b) = ; c) a) b) c) ; 6 ; *. a) = ; b) 6 *. = a valószínûsége, hogy valamelyik nyer. 8 *. *..... =. Rejtvény: Nincs igaza, mert páros szám+páratlan szám és páratlan szám+páros szám ugyanannyiszor fordul elõ (igen sok kísérlet esetén) mint a páros+páros és páratlan+páratlan (- esemény).

44 7. Geometria II.. Az eltolás SOKSZÍNÛ MATEMATIKA 8 A KITÛZÖTT FELADATOK EREDMÉNYE. Az elsõ két egymással szembe nézõ madár-minta együtt a legegyszerûbb sablon. Ezt a sablont vonalzó mellett mozgatta. (A -szerese, -szorosa és 6-szorosa is elfogadható.) x A A=C c) B y C=A 6 6 D B=A F d) C E b) C =B a) B. a) A D y 7 6 A C P D C P B B x b) A( ; ) A (; ) B( ; ) B (; ) C(; ) C (7; ) D( ; ) D (; 6) P(x; y) P (x + 6; y + )

45 . A A y x A b) c) C B C A=B =C B C a) B. a) I; b) H; c) I (az irányított szakasszal párhuzamos egyenest ugyanabba az egyenesbe viszi át); d) I; e) I; f) I. Rejtvény: 0; ; ; 0 ; ;. A vektorok. a) Egyenlõ irányúak: () AB ; BC ; AC ; HI ; ID ; HD ; GF ; FE ; GE. () AB ; BC ; AC ; FD. () AH ; HG ; AG ; BI ; IF ; BF; CD ; DE ; CE. () BA ; CB ; CA ; DF. () BA ; CA ; CB ; DI ; IH ; DH ; EF ; FG ; EG. () AF ; FE ; AE ; BD. () HA ; GH ; GA ; IB ; FI ; FB ; DC ; ED ; EC. () FA ; EF ; EA ; DB. () CD ; DE ; CE ; BF. (6) DC ; ED ; EC ; FB. b) Egyenlõ hosszúak: () AB = BC = HI = ID = GF = FE = () AB = BC = FD = CD = ()= AH = HG = BI = IF = CD = DE ()= DE = EF = FA = BD = FB () és az ellenkezõ irányúak. () és az ellenkezõ irányúak. () AC = CE = EG = GA = BF = HD () AC = CE = AE () és az ellenkezõ irányúak. () és az ellenkezõ irányúak.

46 SOKSZÍNÛ MATEMATIKA 8 A KITÛZÖTT FELADATOK EREDMÉNYE c) Azonos vektorok: () AB = BC = HI = ID = GF = FE. () AB = BC = FD. () BA = CB = IH = DI = FG = EF. () BA = CB = DF. () AH = HG = BI = IF = CD = DE. () AF = FE = BD. () HA = GH = IB = FI = DC = ED. () FA = EF = DB. () AC = HD = GE. () CD = DE = BF. (6) CA = DH = EG. (6) DC = ED = FB. (7) AG = BF = CE. (8) GA = FB = EC.. a) c = d ; a = ; b = 0; c = 0; d = 0; e = 0.. b) b = e ; c = d ; a = 9; b = ; c = ; d = ; e =. y a) x a d) b) a a a a c). O ( ; ) A y 7 6 v O v A v B x 6

47 . A x B y 7 6 C A C B x A a) A( ; ) A (0; 0) B(0; ) B (; 0) C(0; 0) C (; ) D( ; 0) D (0; ) b) A képpontok x koordinátája -tel, y koordinátája -mal nagyobb. P S=Q P S y D A C y 6 R=P a R x D B Q Q S=Q* P( ; 0) Q( ; ) R(0; 0) S( ; ) a) P (0; 0) Q (; ) R (; 0) S (; ) b) P ( ; ) Q ( ; ) R (0; ) S ( ; 6) c)=d) P*(0; ) Q*(; ) R*(; ) S*(; 6) S* R =P* b R* C B 8. a = AB ; b = AD ; BC = b ; CD = a ; AC = a + b ; CB = b. 7

48 SOKSZÍNÛ MATEMATIKA 8 A KITÛZÖTT FELADATOK EREDMÉNYE 9. a) ( ; ) pontba érkezik. b) P(8; 9)-ba, pl. a, a, a, b, b, b, b, b, b, a, b, a, b, c. O(0; 0)-ba, pl. a, b, b, c, c, d. R( ; )-ba, pl. c, c, d, c, c, c. Rejtvény: A D B C. A párhuzamos eltolás alkalmazása, szerkesztések. a) b) D D C C D D C C D C D C A A B B v v ª AB AB v = A A B B A v v v ª AB v = AB B A v ª DB DB v = B. cm (a szélen lévõ két félkör rátolható a kivágott körre).. AA adott, AA -ral eltoljuk C-t. A -n keresztül az AB egyenesével, C -n keresztül a CB egyenesével párhuzamost húzunk. Ezek metszéspontja B. C C A A B.. B ponton át húzzunk a-val párhuzamost (e), ez a kört két pontban metszi, B és B pontokban. Ezeken keresztül AB-vel párhuzamost húzunk és az AB szakasz hosszát a képpontokból a megfelelõ irányban rámérjük ezekre az egyenesekre.. Lehetséges, hogy csak egy közös pontja lesz az a ª e egyenesnek és a k körnek. Ekkor egy megoldást kapunk.. Lehet, hogy nincs közös pont, ekkor nincs megoldás. 8

49 6. a) megoldás. b) megoldás. c) 0 megoldás. 7. a) -szorosa. b) c). K k = 8a 6a = =. 9. A szerkesztésekhez vázlatot készítünk, elõször a színessel jelzett háromszöget szerkesztjük meg. a) b) D, cm C=D, cm, cm cm D cm cm C cm, cm, cm 6cm A A B cm A cm A cm B AD ª A C AD ª A C. AB kijelölése. A vázlat azonos az a) vázlattal.. A BC è -et szerkesztünk.. C-n keresztül AB-vel, A-n keresztül. A C-vel párhuzamost húzunk (D). c) D cm C d), cm, cm D cm C cm cm cm A cm B cm cm A cm A B Rejtvény: k -en tetszõlegesen kiválasztott P pontból (k, k egységsugarú körök, O a k -re illeszkedik) az ábrán látható módon egységnyi oldallal rombuszt szerkesztünk. k k S R O O P Q = O P = O O = O S ; PO = PS = PQ = ; QP = QO = QR = ; RQ = RO = RS = ; SR = SO = SP = ; O R = O Q = O O =. 9

50 SOKSZÍNÛ MATEMATIKA 8 A KITÛZÖTT FELADATOK EREDMÉNYE. Egybevágósági transzformációk. a) b) B C=B C D A D B=C A=A C B A Az egyesített két háromszög az ABDB konkáv deltoid lesz. c) d) B Egy konkáv ötszöget kapunk. C=C C=C B A A=A A B AB = AB ; CB = CB. ABCB négyszög deltoid. B BC egyenlõszárú háromszög. B C = BC.. a) Szabályos hatszöget, amelynek 6 szimmetriatengelye van. A kerülete 8 cm. A keletkezett szabályos hatszög szögei 0 -osak. b) Egy nem konvex hatszöget. Egy szimmetriatengelye van. Kerülete cm. Szögei: 60 ; 0 ; 60 ; 0 ; 0 ; 0.. a) 60 ; 60. Az eredeti háromszög szögei: 0 ; 60 ; 90. b) cm; 0 = ; 0 cm. c) cm =, cm. B. Az A csúcsot tükrözzük f g -ra. BA egyenes és f g metszéspontja a háromszög C csúcsa. 0

51 *. A A a B b B 6. AD és CB metszéspontja O. 7. b egyenest O-ra középpontosan tükrözzük (a Ç b = P ). Az a és b metszéspontja lesz b egy pontjának tükörképe. 8. a) A (; ) B (; 7) C ( ; ); b) A ( ; ) B ( ; 7) C (; ); c) A ( ; ) B ( ; 7) C (; ); d) A*( ; ) B*( ; ) C*(; ). 9. Az e egyenest B-be párhuzamosan eltoljuk (e ). Az e és f metszéspontja B. BB az eltolás vektora. Rejtvény: Tükrözzük a biliárdasztalt a golyó helyével együtt O -re, utána O -re. A rajz szerinti szögek egyenlõk. P ; P ; P ; P az ütközés helyei. A négy ütjözési hely egy paralelogrammát határoz meg. a P a b P b b A a a P b O P A O A

52 . A középpontos hasonlóság SOKSZÍNÛ MATEMATIKA 8 A KITÛZÖTT FELADATOK EREDMÉNYE. Az a), b), f) nagyítás, a c), d) kicsinyítés, e) középpontos tükrözés. a), b), c)-ben külsõ hasonlósági pont, d), e), f)-ben belsõ hasonlósági pont.. a) b) Kétszer annyi cérna kell. c) A kis háromszög területe negyede a nagyénak.. a).... B B B B O O B B B cm B cm 0 cm cm O O A A 9cm cm A A A A cm A cm A b).... B A B B B cm O A A A cm A cm O 0 cm O A B cm 9cm B cm O B cm B A A c) l = ; l = l = l = az a)-ban. ; ; l = ; l = - l = - l = - a b)-ben. ; ; 0. a) l = =», ; b) -szeresére; c) -szeresére. 9, 9 8 d) 9cm O, cm

53 . y 8 C 7 6 b) A A A B B B x B C=A C C a) A (; ) B (0; ) C ( ; 8); b) A ( ; ) B ( 0; ) C (; 8); c) A (,; ) B (7,;,) C ( ; 6). 6. Rajzoljunk mindkét körbe egymással párhuzamos átmérõket! K K és a két átmérõ végpontját (amely K-tól ugyanabba az irányba esik) összekötõ egyenes metszéspontja Ê ˆ külsõ hasonlósági pontot ad Ë l = Az ellenkezõ irányba esõ végpontokat összekötve belsõ hasonlósági pontot kapunk. Ê ˆ Ë l =-. 7. AB = 7 cm; A B = 7 cm, =, cm;, cm =, cm 9. begóniát ültethetnek. Rejtvény: Csak a c) állítás igaz. Pl. l = ; l = l =. ; 6. Vegyes feladatok c) a). a) c y 7 6 v (; 6) A(; ) A ( ; 7) x b) Az eltolás a (; 6) pontba viszi az origót. c) c = AA.

54 SOKSZÍNÛ MATEMATIKA 8 A KITÛZÖTT FELADATOK EREDMÉNYE. a) v (0; ) b) v (; ) c) v (; 6) d) v (; ) e) v (; ) f) v (0; ). a) 00 m. b) Csak az utcán mehet, ezért legalább 700 m utat kell megtennie. Pl.: jjjffff. c) Pl.: jjffffj. Az egyirányú utcán a megadott irányban haladhat. Így is legalább 700 m az út.. El kell tolni az A város helyét a folyóra merõlegesen, a folyó szélességével egyenlõ nagyságú vektorral. Az A B egyenes metszi ki B oldalán a partból a híd helyét. A A híd B. a) D cm C=D cm cm cm A A 6cm cm B b) Ha a b oldalt csökkentjük (b ). 6. OC -ral eltoljuk a másik határoló sugarat. A körív és e metszéspontján (B) keresztül CB -ral eltoljuk az OC szakaszt. e A B O cm cm C 7. Az egyik sugárra szerkesztünk egy négyzetet az ábrán látható módon (XYVZ), majd ezt a négyzetet O-ból felnagyítjuk. D C Z V O X A Y B

55 8. a) Az asztal síkját jelképezõ e félegyenesre merõleges, mm hosszú szakaszt szerkesztünk tetszõleges helyen, majd ennek végpontján keresztül e-vel párhuzamost húzunk (e ). e metszi ki a 60 -os szög másik szárából a támaszkodási pontot. Ide toljuk el a mm-es szakaszt. b) mm oldallal szabályos háromszöget szerkesztünk. 9. Az átfogó felezõpontja lesz a köré írható kör középpontja. Az erre vonatkozó l = együtthatójú középpontosan hasonló képe és az eredeti háromszög együtt egy téglalapot alkot. 0. a) b) A=A D B F B C O E F E B A F C D O C E C E F D B c) D Alkalmazhatjuk a középpontos hasonlóság tulajdonságait is D A A E C B F C O E D F B A h. A) = fi h = m; B) x = h = + fi h = m.

56 SOKSZÍNÛ MATEMATIKA 8 A KITÛZÖTT FELADATOK EREDMÉNYE 8. Függvények, sorozatok. Függvények, lineáris függvények. a) függvény; b) nem függvény, mert az alaphalmaz egy eleméhez végtelen sok értéket rendel a képhalmazból; c) függvény; d) nem függvény, mert az alaphalmaz elemeihez (kivéve a 0-t) két képhalmazbeli elemet rendel. e) függvény (konstans); f) függvény.. a) h; b) g, h; c) g, h; d) egyikre sem; e) egyikre sem... B) g;. D) h;. A) k;. C) f.. f: x x µ, a =, b = µ; g: x µx +, a = µ, b = ; y y x x h: x x + 6; a =, b = 6; k: x µ x, a = µ, b =. y y x x. a) a = b) a = 0 c) a = d) a = µ f(x) = 0 f(x) ¹ 0 f(x) = 0 f(x) = 0 x = µ f(0) = µ x = x = f(0) = y = µ f(0) = µ f(0) = y = x µ y = µ y = f(x) = x + f(x) = x µ y = µx + A hozzárendelést különbözõ jelöléssel adhatjuk meg. 6

57 6. a) x Egyik hegyesszög ( a) , 60 y Másik hegyesszög ( b) 70 80, 0 b) y = 90 µ x b = 90 µ a c) Értelmezési tartomány: 0 < x < 90 Értékkészlet: 0 < y < 90 d) y 0 x 90 µ x x *7. a) b) T ( C) NT cirip perc cirip NT ( ) ( perc ) 70 () ( ) T ( C) 0 c) meredekség 6 = Az ábráról csak akkor látjuk a meredekséget, ha a tengelyeken az egység ugyanakkora. 7

58 SOKSZÍNÛ MATEMATIKA 8 A KITÛZÖTT FELADATOK EREDMÉNYE *8. a) cirip d) C 0 perc cirip C 6 perc cirip 6 C perc e) A hozzárendelési szabály: N = 6T µ Értelmezési tartomány T Értékkészlet: 8 N 6 Tücsökhõmérõ T = (N + ) 6 *9. a) b) x = 0, ez azt jelentené, hogy 0 eurós egységár esetén nem tudna egy mézeskalácsot sem eladni naponta. c) y = 0. Ha 0 eurót kérne egy mézeskalácsért, 0 db-ot adhatna oda. d) a = µ. eurós növelés esetén darabbal csökken az eladható mennyiség. e) Értelmezési tartomány: 0 < x < 0 Értékkészlet: 0 < y < 0 F ( F) F( C) =,8 C C ( C) b) F-on fagy meg a víz. F-on forr a víz. 8