Szigma, XLIV. (2013) KOM AROMI EVA Budapesti Corvinus Egyetem

Átírás

1 Szgma, XLIV. (2013) A KULLBACK-LEIBLER RELAT IV ENTR OPIA F Ä UGGV ENY ALKALMAZ ASA P AROS ÄOSSZEHASONL IT AS M ATRIX EGY PRIORIT ASVEKTORA MEGHAT AROZ AS ARA 1 KOM AROMI EVA Budapest Corvnus Egyetem A dolgozatban a däont eselm eletben fontos szerepet j atsz o p aros Äosszehasonl ³t as m atrx prort asvektor anak meghat aroz as ara uj megkäozel ³t est alkalmazunk. Az A p aros Äosszehasonl ³t as m atrx es a prort asvektor altal de n alt B konzsztens m atrx käozäott elt er est a Kullback-Lebler relat ³v entr opa-fäuggv eny seg ³ts eg evel m erjäuk. Ezen elt er es mnmalz al asa teljesen ktäoltäott m atrx eset eben konvex programoz as feladathoz vezet, nem teljesen ktäoltäott m atrx eset eben pedg egy xpont probl em ahoz. Az elt er esfäuggv enyt mnmalz al o prort asvektor egyben azzal a tulajdons aggal s rendelkezk, hogy az A m atrx elemenek Äosszege es a B m atrx elemenek Äosszege käozäott käuläonbs eg eppen az elt er esfäuggv eny mnmum anak az n-szerese, ahol n a feladat m erete. Igy az elt er esfäuggv eny mnmum anak ert eke k et szempontb ol s lehet alkalmas az A m atrx nkonzsztenc aj anak a m er es ere. Kulcsszavak: AHP, p aros Äosszehasonl ³t as m atrx, täobbszempont u däont esek, Kullback-Lebler relat ³v entr opa, elt er esfäuggv enyek, konvex program. 1 Bevezet es Az AHP (Analytc Herarchy Process) a täobbszempont u däont es probl em ak kezel es ere alkalmas elj ar as. Kulcseleme a p aronk ent Äosszehasonl ³t asok { m ask ent: p aros Äosszehasonl ³t asok { haszn alata. A p aros Äosszehasonl ³t as a däont eshoz o v elem eny enek numerkus reprezent ac oja az egyes däont es alternat ³v ak fontoss ag ar ol mnden egyes m ask däont es alternat ³v ahoz vszony ³tva egy adott krt erum szempontj ab ol: a j azt mutatja meg, h anyszor fontosabb az -edk alternat ³va a j-edkn el. Nylv anval o, hogy a j > 0 ; a = 1 ; a j = 1 a j ; ; j = 1;... ; n ; ahol n a däont es alternat ³v ak sz ama. Az AHP alkalmaz asa sor an az egyes alternat ³v akhoz prort asokat hat arozunk meg { ezeket az rodalomban gyakran preferenca ert ekeknek, vagy s ulyoknak s nevezk. Ha a däont eshoz o a fontoss agok meg ³t el es eben konzsztens lenne, vagys ha a j = a k a kj lenne mnden ; j; k ndexh armas eset en, akkor az n alternat ³v ahoz tartoz o prort asokat 1 Be erkezett: m arcus 13. E-mal: komarom@un-corvnus.hu.

2 2 Kom arom Eva (preferenca ert ekeket, s ulyokat) käonnyen megkaphatn ank. De a däont eshoz ok meg ³t el ese rendszernt csäokken}oen konzsztens az alternat ³v ak sz am anak näoveked es evel. A k erd es ez: hogyan rendeljäunk az egyes alternat ³v akhoz prort asokat { az n alternat ³v ahoz prort asvektort { ha a megadott A = fa j g 2 R n n p aros Äosszehasonl ³t as m atrx nem konzsztens? Az alapelk epzel es az, hogy olyan p = (p 1 ;... ; p n ) vektor alkalmas a däont eshoz o prort asanak a kfejez es ere, amely eset eben az A m atrx a B = fp =p j g konzsztens m atrxt ol lehet}oleg kev ess e t er el. Az AHP-vel jelzett kutat as teräulet es m odszertan Thomas L. Saaty nev ehez f}uz}odk [1980], ak sz amos ckket, käonyvet szentelt a saj at ert ek m odszer (EM) kfejleszt es ere es vzsg alat ara { käozäuläuk egyet emeläunk tt k, amelyben a szerz}o a m odszer legfontosabb tulajdons agat foglalja Äossze [2003]. E m odszer l enyege az, hogy a prort asvektort ³gy kapjuk: p = argfap = max pg, ahol max az A m atrx legnagyobb saj at ert eke. Mvel max ert eke n, ha a m atrx konzsztens, es nagyobb n-n el egy ebk ent, ez ert az nkonzsztenca m er}osz am aul Saaty a ( max n)=(n 1) ert eket, lletve ennek egy tapasztalat konstanssal vett szorzat at v alasztotta. A m odszer tanulm anyoz as ara skola alakult, amelynek sz amos jeles k epvsel}oje käozäul tt hvatkozunk P. T. Harkerre es k et dolgozat ara [1987 es 1987a]. A m asodkban Harker a nem teljesen ktäoltäott p aros Äosszehasonl ³t as m atrx eset evel foglalkozk. MegjegyezzÄuk, hogy a h anyz o elemek ktäolt ese erdek eben a c elprogramoz as lletve a fuzzy preferenca rel ac ok alkalmaz as ara s vannak täorekv esek, ld. M. Fedrzz es S. Gove dolgozat at [2007]. H anyos m atrxok megl etekor täobb f ele k erd es vet}odk fel. Az egyk az, hogy szäuks eges-e a däont eshoz ot tov abb k erdezgetn n ezet er}ol az alternat ³v ak fontoss ag at llet}oen { pl. ha a däont eshoz o csak a m atrx els}o sor at täoltäotte k, akkor ezzel megadta a prort asat, amelyekkel a h anyz o elemeket m ar ugy tudjuk ktäolten, hogy konzsztens m atrxot kapjunk. Ez azonban nncs Äosszhangban azzal a tapasztalattal, hogy a däont eshoz ok däont ese altal aban nem konzsztensek, ez ert n eh any tov abb elemre s szäuks eg van, hogy m elyebb beteknt est kapjunk a däont eshoz onak az alternat ³v ak fontoss ag at llet}o v elem eny ebe. Ha a m atrx l enyegesen täobb elem et täolt k a däont eshoz o, akkor szembesäul a v elem enyeb}ol fakad o nkonzsztenc aval, ³gy hajlk kor abb v elem enye feläulvzsg alat ara. Ezek azonban olyan,,puha" k erd esek, amelyekkel e dolgozat nem foglalkozk. A m odszerek m ask csoportj at olyan,,t avols agmnmalz al as" elj ar asok alkotj ak, amelyekben a p = (p 1 ;... ; p n ) prort asvektorra kkäotjäuk, hogy az A m atrx a B = fp =p j g konzsztens m atrxhoz a,,legkäozelebb" legyen. A,,legkÄozelebb" sz o jelent es et}ol fäugg az alkalmazott m odszer, käuläonbäoz}o m odszerek rendszernt käuläonbäoz}o p vektorokhoz vezetnek. E m odszerek käozäul a legsmertebbek: ² p 2 arg mn P p=1;p>0 P P j (a j p =p j ) 2 { legksebb n egyzetek m odszere (LSM);

3 A Kullback-Lebler relat ³v entr opa fäuggv eny alkalmaz asa... 3 P P ² p 2 Parg mn j (a jp j p ) 2 p=1;p>0 m odszere; P ² p 2 Parg mn Pj (a j p =p j ) 2 p j p=1;p>0 p ² p 2 Parg mn p=1;p>0 n egyzetek m odszere (LLSM). { s ulyozott legksebb n egyzetek { ch-n egyzet m odszer; P P j (ln a j ln p + ln p j ) 2 { logartmkus legksebb S. I. Gass es T. Rapcs ak [2004] a fent k et r anyzatot Äosszekapcsolta, J. Krov ak [1987] numerkusan Äosszehasonl ³totta az EM, az LSM es LLSM m odszereket. E. U. Choo es W. C. Wedley e m odszerekr}ol sz ol o Äosszefoglal o ckk ere [2004], lletve A. Ishzaka es A. Labbnak az AHP uj fejlem enyet bemutat o ckk ere [2011] h ³vjuk fel tt a gyelmet, az ut obbt aj anlva azon erdekl}od}o olvas onak, ak az AHP hatalmas rodalm ar ol atteknt est akar szerezn. Megeml ³tjÄuk, hogy m}ukäodk az AHP skola magyar kutat o csoportja s, mndenekel}ott a SZTAKI Oper ac okutat as Laborat orum aban es a Corvnus Egyetem Oper ac okutat as Tansz ek en, Rapcs ak Tam as es Temes J ozsef kezdem enyez es ere alakult. Tagja jelent}os publk ac okkal j arultak hozz a az AHP m odszertan anak a fejleszt es ehez, käozäottäuk Boz ok S., FÄulÄop J. es R onya L. [2010], Csat o L. [2012], Boz ok S., FÄulÄop J., Poesz A. [2011] ckke az EM es LLSM m odszerek alkalmaz as aval a nem teljesen ktäoltäott p aros Äosszehasonl ³t as m atrxok optm als keg esz ³t es er}ol käozäol eredm enyeket, Temes J. ckke [2010] es Farkas A., P. Lancaster, R ozsa P. dolgozata [2003] a p aros Äosszehasonl ³t as m atrxok konzsztenc aj at tanulm anyozta, K er Gerzson munk aja [2005] a p aros Äosszehasonl ³t as m atrxokra fogalmaz meg krt erumokat. A jelen dolgozat a p aros Äosszehasonl ³t as m atrx egy prort asvektor anak meghat aroz as ara olyan m odszert alkalmaz, amely a,,t avols agmnmalz al as" elj ar asok csoportj aba tartozk. T avols ag helyett azonban elt er est kell mondanunk, mert az alkalmazott fäuggv eny nem teljes ³t a t avols agfäuggv enyek mnden tulajdons ag at. A käovetkez}o r eszben bemutatunk k et elt er esfäuggv enycsal adot, amelyek tagja alkalmasak lehetnek arra, hogy ezekkel m erjäuk az A p aros Äosszehasonl ³t as m atrx es a prort asvektorb ol k epzett B = fp =p j g konzsztens m atrx elt er es et, käozels eg et. A harmadk r eszben az A es B m atrxok elt er es et a p es a j p j ert ekeknek az nform ac oelm eletben, statsztk aban es sz amos m as teräuleten alkalmazott Kullback-Lebler relat ³v entr opa-fäuggv eny alkalmaz as aval kapott elt er esenek Äosszegek ent fogjuk fel (erre a tov abbakban A es B Kullback-Lebler elt er esek ent hvatkozunk), bemutatjuk az ³gy sz armaztatott (K-L) mnmalz al as modellt, amelynek a tulajdons agat tanulm anyozzuk: bzony ³tjuk a c elfäuggv eny konvext as at, es hogy a modellnek van egyetlen pozt ³v megold asa. A negyedk r eszben a c elfäuggv enynek a modell param eteret}ol val o fäugg es et vzsg aljuk es egyben a konzsztenca näovel es enek m odj ara teszäunk javaslatot. Az ÄotÄodk r eszben algortmust javaslunk a feladat megold as ara, felhaszn alva a feladathoz tartoz o Kuhn-Tucker stacon arus pont probl em at alkot o egyenletrendszert; bemu-

4 4 Kom arom Eva tatjuk, hogy a feladat egyetlen p optm als megold as ahoz tartoz o c elfäuggv eny- ert ek, amely az A m atrx es az optm als p vektor altal meghat arozott B m atrx Kullback-Lebler elt er ese, egyenl}o a k et m atrx elemenek Äosszege käozäott käuläonbs eg n-ed r esz evel s (n a feladat m erete). A hatodk r eszben vzsg aljuk a nem teljesen ktäoltäott p aros Äosszehasonl ³t as m atrx eset en kapott feladatot, amelyet egy xpont-probl em aval azonos ³tunk. V egäul a numerkus sz am ³t asokat llusztr aljuk k et klasszkus p eld an. Az Äosszefoglal as es az rodalom z arj ak a dolgozatot. 2 Entr opaszer}u elt er esfäuggv enyek Az x 2 R n vektornak az y 2 R n vektort ol val o elt er es et m er}o fäuggv enynek a käovetkez}o k et tulajdons aggal kell rendelkezne: a) nemnegat ³v legyen, es b) ert eke akkor es csak akkor legyen 0, ha x = y. Nem käoveteljäuk meg a t avols agfäuggv eny tov abb tulajdons agat: nem ³rjuk el}o a szmmetrct ast es a h aromszäog-egyenl}otlens eget. A k et legsmertebb elt er esfäuggv eny-csal ad: a Bregman-dvergenca es a Cssz ar-f ele '-dvergenca. A Bregman-dvergenca (ld. Bregman [1967]) arra az eszrev etelre epäul, hogy egy X 0 ½ R n ny ³lt halmazon ertelmezett tetsz}oleges n-v altoz os szgor uan konvex, d erenc alhat o f fäuggv enyre fenn all, hogy f(x) f(y) > rf(y)(x y) ; 8x; y 2 X 0 ; x 6= y : Igy d(x; y) = f(x) f(y) rf(y)(x y) elt er esfäuggv eny, mert d(x; y) > 0 es d(x; y) = 0 akkor es csak akkor, ha x = y. Ha p eld aul f(x) = P n =1 x2, akkor d(x; y) = P n =1 (x y ) 2 { az eukldesz t avols ag n egyzet et kapjuk. Ha f(x) = P n =1 x ln x, x > 0 ( = 1;... ; n), akkor d(x; y) = P n =1 (x ln x y + y x ), y > 0 { ez a Kullback-Lebler relat ³v entr opa-fäuggv eny. Ha f(x) = P n =1 ln x, x > 0 ( = 1;... ; n), akkor d(x; y) = P n x =1 ( ln y + x y 1) { ez a Burg entr opa. Tov abb p eld akat es gazdag rodalomjegyz eket tal alhat az erdekl}od}o olvas o pl. Kwel dolgozat aban [1997]. A Bregman-dvergenca nem korl atoz odk a szepar abls fäuggv enyekre, a Cssz ar-f ele '-dvergenca (ld. Cssz ar Imre [1967]) azonban gen. A sz oban forg o '(t) a pozt ³v f elegyenesen ertelmezett k etszer d erenc alhat o szgor uan konvex val os fäuggv eny az al abb tulajdons agokkal: '(1) = 0 ; ' 0 (1) = 0 ; ' 00 (1) > 0 ; lm t!0 ' 0 (t) = 1 ; Az x 2 R n ++ vektornak az y 2 R n ++ vektort ol val o '-dvergenca elt er es et ekkor ³gy kapjuk: d(x; y) = d (x ; y ) = =1 =1 y '( x y ) :

5 A Kullback-Lebler relat ³v entr opa fäuggv eny alkalmaz asa... 5 KÄonny}u bel atn, hogy ekkor d (x ; y ) folytonosan d erenc alhat o es szgor uan konvex az els}o v altoz oj aban, lm t!+1 d 0 (t; a) = +1, lm t!0 d 0 (t; a) = 1, d 0 (a; a) = 0, ha a > 0. Ha p eld aul '(t) = t ln t t + 1, akkor a Kullback- Lebler relat ³v entr opa-fäuggv enyt kapjuk. Ha '(t) = ln t + t 1, akkor d (x ; y ) = y ln y x + x y : Ha '(t) = ( p t 1) 2, akkor d (x ; y ) = ( p x p y ) 2 { ez a Hellnger t avols ag n egyzet enek egy konstans-szorosa. Tov abb p eld akat tal alhat az erdekl}od}o olvas o pl. Iusem, Svater, Teboulle dolgozat aban [1994]. 3 Az A es B m atrxok elt er es enek m er ese a Kullback-Lebler relat ³v entr opa-fäuggv eny seg ³ts eg evel Mnthogy a B = fp =p j g m atrx eleme v altozatlanok, ha a p vektort egy pozt ³v sz ammal megszorozzuk, a p vektor normalz al asa erdek eben bevezetjäuk a P n =1 p = 1 felt etelt. Ebben es a käovetkez}o r eszekben feltesszäuk, hogy az A m atrx teljesen ktäoltäott. Mnd a s ulyozott legksebb n egyzetek m odszere, mnd a legksebb n egyzetek m odszere a Bregman fäuggv enyek csal adj aba tartoz o elt er esfäuggv enyt alkalmaz: a p es az a j p j, lletve az a j es a p =p j ( = 1;... ; n; j = 1;... ; n) ert ekek käuläonbs egenek n egyzetäosszeg enek mnmalz al asa form aj aban keres a prort asvektort. E m odszerek el}onyer}ol es h atr anyar ol az olvas o a hvatkozott dolgozatokb ol s t aj ekoz odhat. A jelen dolgozatban egy m as megkäozel ³t est aj anlunk: A es B elt er es et a p es az a j p j ert ekeknek a Kullback-Lebler relat ³v entr op aval m ert elt er ese Äosszegek ent hat arozzuk meg. Ez azt jelent, hogy a prort asvektort olyan p 0 = (p 0 1;... ; p 0 n) vektor form aj aban keressäuk, amely mnmalz alja az elt er esek Äosszeg et, amelyre p 0 2 X Parg mn p=1;p>0 M ert j o ez a m odszer? X ² mert a mnmumpont egy ertelm}u; j (p ln p a j p j + a j p j p ) : ² mert a mnmumpont pozt ³v es a p 0 vektor form aj aban knylv an ³tott sorrendek nem v altoznak, ha a vektort megszorozzuk egy pozt ³v konstanssal; ² mert B prort asvektora sznt en p 0 akkor, ha elemet p 0 eleme seg ³ts eg evel hat arozzuk meg;

6 6 Kom arom Eva ² mert nem kell az alkalmaz ashoz a p aros Äosszehasonl ³t as m atrxnak teljesen ktäoltäottnek lenne (csak ÄosszefÄugg}onek); ² mert p 0 azzal a tulajdons aggal rendelkezk, hogy az optm als c elfäuggv eny- ert ek legnagyobb csäokken es et az A m atrx a j elem enek es recprok anak v altoztat as aval, a täobb elem v altozatlanul hagy asa mellett akkor erjäuk el, ha ezt az elemet az optm als p 0 =p0 j ert ekkel helyettes ³tjÄuk. Ezeket az eszrev eteleket gazoljuk a käovetkez}o r eszben, amelyben el}oszäor az al abb matematka programoz as feladat tulajdons agat vzsg aljuk: (K-L) C(A; p) = =1 (p ln p + a j p j p )! mn a j p j n p 2 P = f p 2 R n + : X p j = 1 g p > 0 ; ahol A az adott p aros Äosszehasonl ³t as m atrx, R n + a nemnegat ³v t ernegyed. A C(A; p) fäuggv enyt a tov abbakban az A p aros Äosszehasonl ³t as m atrx es a p eleme seg ³ts eg evel meghat arozott konzsztens B m atrx Kullback-Lebler elt er es enek nevezzäuk es az A es B käozels egek ent fogjuk fel. A (K-L) feladat egy optm als p megold as ab ol sz armaztatott B m atrx pedg e felfog asnak megfelel}oen a,,legkäozelebb" az A p aros Äosszehasonl ³t as m atrxhoz. Felh ³vjuk a gyelmet arra, hogy ez a de n ³c o tetsz}oleges k et m atrx, vagy ak ar a B es A m atrxok { a sorrend fontos! { elt er es enek, käozels eg enek m er es ere nem alkalmas. Vzsg aljuk a (K-L) feladatot. El}oszÄor vegyäuk eszre, hogy a c elfäuggv eny ertelmez es tartom anya a pozt ³v p vektorok R n ++ ny ³lt halmaza, ez ert vzsg alnunk kell majd azt a k erd est, felvesz-e a mnmum at C(A; p) a korl atos, z art, konvex P halmaz es R n ++ metszet en. Az els}o all ³t asokban C(A; p) tulajdons agat p 2 R n ++ vektorokra vzsg aljuk. VegyÄuk eszre, hogy C(A; p) d erenc alhat o a P halmaz relat ³v bels}o pontjanak halmaz an: a rel nt P = fp 2 R n ++ : p j = 1g = P \ R n ++ halmazon, hszen a fäuggv enyt alkot o Äosszeg mnden tagja d erenc alhat o a rel nt P halmazon. 1. All ³t as. Ha p 2 R n ++, akkor a C(A; p) fäuggv eny nemnegat ³v es ert eke 0 akkor es csak akkor, ha p = a j p j mnden ; j ndexp ar ( = 1;... ; n; j = 1;... ; n) eset en. Bzony ³t as. EmeljÄuk k a c elfäuggv enyben p -t räogz ³tett es j ndexek eset en (megtehetjäuk, mert p a feltev es szernt pozt ³v): p ln p + a j p j p = p ( ln a jp j + a jp j 1) : a j p j p p

7 A Kullback-Lebler relat ³v entr opa fäuggv eny alkalmaz asa... 7 Mnt smeretes, ln a a 1 8a 2 R ++ eset en es egyenl}os eg teljesäul akkor es csak akkor, ha a = 1. Az all ³t as fenn all teh at a C(A; p)-t alkot o Äosszeg mnden tagj ara, ³gy mag ara az Äosszegre s All ³t as. C(A; p) szgor uan konvex es d erenc alhat o a rel nt P halmazon. Bzony ³t as. Irjuk fel a C(A; p) fäuggv eny tagjat az al abb m odon: C(A; p) = (np ln p p =1 n X ln a j p n X ln p j + a j p j np ) : Az x ln x szgor uan konvex fäuggv eny ertelmez es tartom anya az R ++ pozt ³v ny ³lt f elegyenes, a fäuggv enyt azonban a szok asoknak megfelel}oen lez arhatjuk a lm x!0 x ln x = 0 ln 0 = 0 fäuggv eny ert ek-ad assal. Igy a C(A; p)-t alkot o fent szumm aban az els}o tag, es a m asodk, negyedk es ÄotÄodk tag, amelyek lne arsak, Äosszege: X n C 1 (A; p) = ³np ln p p ln a j + a j p j np =1 szepar abls z art szgor uan konvex fäuggv enyt alkot R n +- n. C(A; p) fennmarad o tagja X n ³ X n C 2 (A; p) = ln p j = p j ³ ln p j ; =1 p es C 2 (A; p) = P n ln p j a rel nt P tartom anyon, vagys szgor uan konvex. Ezzel az all ³t ast bel attuk. 2 A käovetkez}o all ³t as tt le ³rt bzony ³t asa FÄulÄop J anost ol sz armazk, ak ezt az eredet k ezratban szerepl}o el egg e käoräulm enyes gondolatmenet helyett aj anlotta. 3. All ³t as. C(A; p) felvesz a mnmum at a rel nt P halmazon, a mnmumpont egy ertelm}u. Bzony ³t as. Az egy ertelm}us eg C(A; p) szgor uan konvex volt ab ol käovetkezk. A l etez est kell bzony ³tanunk. VegyÄuk eszre, hogy az el}oz}o bzony ³t asban szerepl}o C 1 (A; p) fäuggv eny a mnmum at a korl atos es z art P halmazon felvesz, jeläolje a mnmum ert eket L. V alasszunk egy tetsz}oleges ^p 2 P, ^p > 0 pontot es legyen K = C(A; ^p). Az optm als megold as szempontj ab ol P azon p pontja erdekesek, amelyekre K C(A; p). B armely p 2 P, p > 0 eset en ln p 0, mvel p < 1, = 1;... ; n, ³gy L ln p L ln p j C(A; p) ; 8p > 0; p 2 P; = 1;... ; n : V alasszunk tetsz}olegesen egy p 2 P pontot, amelyre p > 0 es K C(A; p). Ekkor L ln p K, azaz p e L K ; = 1;... ; n :

8 8 Kom arom Eva A P halmaznak a K C(A; p) felt etelt kel eg ³t}o pontja teh at kompakt halmazt alkotnak, amelyen a folytonos C(A; p) fäuggv eny szäuks egk eppen felvesz a mnmum at. A mnmumpont egyben C(A; p) mnmumpontja a P halmazon. Ezzel az all ³t ast bel attuk. 2 4 Konzsztenca A käozels eg fent de n ³c oja alapj an az A p aros Äosszehasonl ³t as m atrxhoz l etezk pontosan egy,,legkäozelebb" B konzsztens m atrx: a (K-L) feladat egyetlen optm als megold as at alkot o p prort asvektor elemeb}ol alkotott h anyadosok m atrxa. Mvel az elt er es nemnegat ³v es z er o akkor es csak akkor, ha a k et m atrx egyenl}o, ez ert a k et m atrx elt er ese egyben az A m atrx nkonzsztenc aj anak m er es eäul s szolg alhat. Ebben a meg allap ³t asban Saaty (1987) gondolatmenet et käovettäuk, ak az nkonzsztenca m er es ere az ert alkalmazta a C:I: = ( max n)=(n 1) relat ³v elt er est (ll. ennek egy konstanssal val o szorzat at), mert max > n. Hasonl oan ehhez a gondolatmenethez, javasoljuk a relat ³v elt er es es egyben az nkonzsztenca m er es ere a mn C(A; p) ert eket, amely javaslatot a käovetkez}o r eszben le ³rt 1. KÄovetkezm eny sz and ekunk szernt meggy}oz}oen al at amasztja. A käovetkez}o k erd es az, hogyan kellene megv altoztatnunk az A m atrx 0 -adk sor aban es -adk oszlop aban l ev}o a 0 elemet, lletve ennek a recprok at a -adk sorban es 0 -adk oszlopban, hogy az A täobb elem enek v altozatlanul hagy asa mellett a legnagyobb csäokken est erjäuk el a c elfäuggv eny- ert ekben. 4. All ³t as. Adott 0 ; ndexp ar es adott p prort asvektor eset en az A es B m atrxok Kullback-Lebler elt er ese akkor csäokken a legnagyobb m ert ekben, ha az a 0 ert ek et a p 0 =p j0 h anyadossal helyettes ³tjÄuk; C(A; p), mnt a 0 fäuggv enye p 0 =p j0 egy käornyezet eben konvex. Bzony ³t as. Mnmalz aln akarjuk adott p mellett a C(A; p) = X X (p ln p + a j p j p ) a j j p j fäuggv enyt, mnt a pozt ³v a 0 -ban egyv altoz os fäuggv enyt. Irjuk fel a derv altj at: dc(a; p) ³ = p 0 ln da 0 = p 0 + a 0j a 0 p 0 p j0 p 0 + p j0 ln j0 ³ p 0 ln a 0 + p j0 a 0 + p j0 ln a 0 + p 0 0 a 0 = p 0 a 0 + p j0 + p a 0 p 0 a 2 0 = p j p 0 p j0 0 a 0 p 0 a 0 ³ a 0 ³ p j0 p 0 a 0 : Mvel a 0 negat ³v nem lehet, ez ert a derv alt ert eke 0, amnt ezt v artuk s, ha: a 0 = p 0 =p j0. N ezzäuk meg, hogy e pontban konvex-e. Irjuk fel a

9 A Kullback-Lebler relat ³v entr opa fäuggv eny alkalmaz asa... 9 C(A; p) fäuggv eny a 0 szernt m asodk derv altj at: d 2 C(A; p) da 2 = p 0 0 a 2 p 0 a 2 + 2p 0 0 a 3 = 1 ³ 0 a 2 p 0 p j0 + 2p 0 : 0 a 0 Ha p 0 p j0, akkor d 2 C(A; p)=da 2 0 > 0. Ha p 0 < p j0, akkor d 2 C(A; p)=da 2 0 > 0, ha 0 < a 0 < 2p 0 =(p j0 p 0 ). Adott tetsz}oleges prort asvektor eset en teh at C(A; p) mnt a 0 fäuggv enye konvex a pozt ³v sz amegyenesen, 2p ha p 0 p j0 es konvex a (0; 0 p j0 p 0 ) tartom anyban, ha p 0 < p j0. A p 0 =p j0 ert ek eleme mndk et tartom anynak: p 0 p j0 2p 0 p j0 p 0, p j0 p 0 2p j0, p 0 p j0 : Ez ert C(A; p) konvex e pont egy käornyezet eben. Ezt akartuk bel atn. 2 VegyÄuk eszre, hogy az a 0 = p 0 =p j0 helyettes ³t essel az A es B m atrxok Kullback-Lebler elt er ese csäokken es enek nagys aga maga az elt er es: p 0 p j0 p 0 ln + a 0j a 0 p 0 p j0 p 0 + p j0 ln p 0 p j0 : j0 a 0 p 0 a 0 Ha teh at abb ol a szempontb ol vzsg aljuk meg az A m atrxot, hogy a konzsztenca näovel ese erdek eben melyk Äosszehasonl ³t as eset eben aj anljuk a däont eshoz onak, hogy vzsg alja feläul a däont es et, akkor A azon elem et kell kv alasztanunk, amelyre e csäokken es a legnagyobb. Mvel ez egyben a legnagyobb elt er es kv alaszt as at s jelent, a v alaszt as Äosszhangban van Saaty (2003) k et javasolt m odszer evel s: az egyk a legnagyobb elt er es, a m ask a legnagyobb csäokken es (Harker, 1987) kv alaszt as anak felel meg. 5. All ³t as. Legyen p 0 az A p aros Äosszehasonl ³t as m atrx prort asvektora { a (K-L) feladat optm als megold asa {, es a B m atrx elemet a p 0 elemenek h anyadosa alkoss ak. Akkor a B m atrx prort asvektora s p 0. Az all ³t as käovetkezk abb ol, hogy a B m atrxnak Äonmag at ol val o elt er ese 0, mkäozben mnden m as pozt ³v m atrxt ol val o elt er ese pozt ³v az 1. All ³t as szernt. 5 A Kullback-Lebler relat ³v entr opa mnmalz al asa: a feladat megold asa Irjuk fel C(A; p) C(A; p) = a j + ln a j +n ln p ln p j P n p j p ; = 1;... ; n : Khaszn altuk, hogy a j = 1=a j, = 1;... ; n, j = 1;... ; n. Irjuk fel a (K-L) feladathoz tartoz o stacon arus pont probl em at. A probl em at es az

10 10 Kom arom Eva tt käovetkez}o all ³t asokat ld. Mangasaran käonyv eben [1969]. Olyan p = (p 1 ;... ; p n ;!; v 1 ;... ; v n ) ert ekeket keresäunk, amelyek kel eg ³tk az al abb felt eteleket: (K-T) p j = 1 ; p = (p 1 ;... ; p n ) 2 R n p)! v = 0 v 0 ; = 1;... ; n ; v j p j = 0 : Legyen p 0 = (p 0 1;... ; p 0 n) a (K-L) feladat optm als megold asa { ez a 3. All ³t as ertelm eben l etezk es pozt ³v. Az optmalt as szäuks egess eg ere vonatkoz o Kuhn- Tucker t etel azt mondja k, hogy a) mvel R n ++ ny ³lt es a (K-L) feladat c elfäuggv enye es felt etel fäuggv enye d erenc alhat ok a p 0 2 R n ++ pontban; b) mvel a (K-L) felt etelrendszere regul ars: lne ars; ez ert l eteznek olyan v1; 0... ; vn 0 0,! 0 du als v altoz o ert ekek, hogy (p 0 1;... ; p 0 n;! 0 ; v1; 0... ; vn) 0 egyäuttesen megold as at alkotj ak a (K-T) feladatnak. Mnthogy p 0 2 R n ++, ez ert a P n v0 j p0 j = 0 komplementart as felt etel csak akkor teljesäul, ha v1 0 = 0,..., vn 0 = 0. Az all ³t as ford ³tva s fenn all. Az optmalt as el egs egess eg ere vonatkoz o Kuhn-Tucker t etel azt mondja k, hogy ha (p 0 1;... ; p 0 n;! 0 ; v1; 0... ; vn) 0 megold asa a (K-T) feladatnak, akkor a) mvel R++ n ny ³lt es konvex; b) mvel a (K- L) feladat c elfäuggv enye es felt etel fäuggv enye d erenc alhat ok a p 0 2 R++ n pontban es konvexek az R n ++ konvex halmazon, ez ert p 0 optm als megold asa a (K-L) feladatnak. A (K-L) feladat egyetlen pozt ³v optm als megold asa, es csak az, teh at kel eg ³t a käovetkez}o probl em at: (K-T) p j = 1 ; p 2 R n ++ ³ ln p p j + a j =! ; = 1;... ; n : a j p j p A (K-T) feladatb ol kt}unk az! v altoz o jelent ese. Szorozzuk meg az -edk felt etelt p -vel, es adjuk Äossze az egyenleteket. Azt kapjuk, hogy =1 p n X ³ ln p p j + a j =! a j p j p p, C(A; p) =! :! teh at az adott p vektorhoz tartoz o, egyben optm als, c elfäuggv eny- ert eke a (K-L) feladatnak,! nemnegat ³v es 0 akkor es csak akkor, ha a j = p =p j mnden, j ndexp arra. M er az A m atrx es a p vektor altal meghat arozott B m atrx Kullback-Lebler elt er es et. De vegyäuk eszre azt s, hogy az A m atrx =1

11 A Kullback-Lebler relat ³v entr opa fäuggv eny alkalmaz asa recprok volta matt =1 ³ ln p a j p j p j p + a j = ³ =1 a j p j p = n! ; vagys! az atlaga az A m atrx lletve a B m atrx eleme Äosszegenek käuläonbs eg enek, lyen ertelemben s m er az A m atrx B-t}ol val o elt er es et. Foglaljuk ezt Äossze: 1. KÄovetkezm eny. A (K-T) feladat egyetlen (p 0 ;! 0 ) megold as ara fenn all, hogy! 0 = mn p2p;p2r n ++ C(A; p) = C(A; p 0 ) ;! 0 = 1 n ³ =1 a j p0 p 0 j A stacon arus pont probl ema al abb vzsg alat aval es atalak ³t as aval az a c elunk, hogy a (K-L) feladat megold as ara m odszert mutassunk be a (K-T) feladat megold asa r ev en. Az egyenletrendszert alak ³tsuk at. El}oszÄor ³rjuk fel mndk et oldalt logartmusfäuggv eny form aj aban: : (K-T) ³ ln p n ny a j e aj ny p j = 1 ; p 2 R n ++ 1 pj=p e = ln e! ; = 1;... ; n : p j Fgyelembe v eve, hogy a logartmus szgor uan näovekv}o fäuggv eny, ez ert az -edk egyenletben a k et oldal egyenl}o, ha az argumentumok egyenl}ok: ny a j e aj = e! ny 1 p j e 1=p ; = 1;... ; n : Osszuk el az els}o egyenlet k et oldal at a m asodk,..., n-edk egyenlet megfelel}o oldalaval! Az oszt as elv egezhet}o, mert a szorzatok mnden t enyez}oje pozt ³v. Az al abb ekvvalens feladathoz jutunk: X p j = 1 ; p 2 R++ n ; (K-T) j Q 1 p n e 1=p j = a je aj Q j a j1e a 1 j1 p n e 1=p1 ; = 2;... ; n : 1 Az = 1 eset azonoss ag. KÄonnyen l athat o, hogy p n ² f(x) = 1 x e 1=x a pozt ³v f elegyenesen ertelmezett pozt ³v, szgor uan n csäokken}o, d erenc alhat o konvex fäuggv eny, lm f(x) = +1, lm x!0 = 0; x!+1 f(x)

12 12 Kom arom Eva ² f 1 (y) a pozt ³v f elegyenesen ertelmezett pozt ³v, szgor uan csäokken}o, d erenc alhat o konvex fäuggv eny, lm f 1 (y) = +1, lm f 1 (y) = 0; y!0 y!+1 ² p = f 1 (C f(p 1 )), ahol C = Q n a je aj = Q n a j1e aj1, = 2;... ; n; ² f 1 (C f(p 1 )) a pozt ³v f elegyenesen ertelmezett pozt ³v, szgor uan näovekv}o, d erenc alhat o fäuggv eny, lm p1!0 f 1 (C f(p 1 )) = 0, lm p1!+1 f 1 (C f(p 1 )) = +1, (f 1 ) 0 (C f(p 1 )) > 0 (p 1 > 0). A (K-T) feladat ³gy a g(p 1 ) = f 1 (C f(p 1 )) = 1 =1 egyenlet form aj aban ³rhat o fel, ahol C 1 = 1. A fentek szernt g(p 1 ) a pozt ³v f elegyenesen ertelmezett pozt ³v, szgor uan näovekv}o, d erenc alhat o fäuggv eny, lm p1!0 g(p 1 ) = 0, lm p1!+1 g(p 1 ) = +1, g 0 (p 1 ) > 0, (p 1 > 0). A g fäuggv eny j o tulajdons aga matt az egyenlet megold as ara alkalmazhat ok smert numerkus m odszerek: a bztosan konvergens ntervallumfelez}o m odszer es a h urm odszer, valamnt a j o kezd}opontok v alaszt asa eset en hat ekonyabb szel}o m odszer, ak ar egyszer}u Excel programk ent s. A szel}o m odszerrel val o megold as menet et bemutatjuk: a. Kndul ask ent v alasszunk k et pozt ³v p 1 1, p 2 1 ert eket, amelyekre g(p 1 1) 1, g(p 2 1) 1. Ha valamelykre egyenl}os eg teljesäul, akkor az elj ar as v eget er. KÄulÄonben: legyen k = 3, folytassuk az elj ar ast a b. l ep essel. b. Hat arozzuk meg p k 1-t a käovetkez}o m odon: p k 1 = p k 1 1 g(p k 1 1 ) 1 g(p k 1 1 ) g(p k 2 1 ) (pk 1 1 p k 2 1 ) : c. Ha g(p k 1) = 1, akkor az elj ar as v eget er. KÄulÄonben: legyen k = k + 1, folytassuk az elj ar ast a b. l ep essel. (A sz oban forg o egyenletek kel eg ³t es et a szok asoknak megfelel}o,,el eg nagy pontoss aggal" käoveteljäuk meg. Hogy alkalmank ent mlyen pontoss agot c elszer}u el ern, erre tt nem t eräunk k. Az egyenlet megold as ara az Excel solvere s haszn alhat o term eszetesen, de el}ofordul, hogy egy egyszer}u solver nem tal al megold ast, mert a ksz am ³tand o prort asok 0-hoz käozel ert ekek es ez klend ³thet a käozel ³t}o elj ar ast a menet eb}ol.) 6 A (K-L) feladat nem teljesen ktäoltäott p aros Äosszehasonl ³t as m atrx eset en A Kullback-Lebler relat ³v entr opa elt er esfäuggv eny ez esetben kevesebb tagot tartalmaz. Legyenek az A m atrx megadott (ktäoltäott) elemehez tartoz o

13 A Kullback-Lebler relat ³v entr opa fäuggv eny alkalmaz asa ndex-halmazok soronk ent a käovetkez}ok: = f j : a j > 0; (; j) ktäoltäott g. Nylv anval o, a p aros Äosszehasonl ³t as m atrx pozt ³v recprok volta matt, hogy j 2 akkor es csak akkor, ha 2 j. Ekkor a (K-L) feladat, az elt er esfäuggv eny gradense es a feladathoz tartoz o Kuhn-Tucker stacon arus feladat az al abb lesz: X³ C(A; p) = p ln p + a j p j p! mn a j p j =1 j2 (K-L-1) p 2 P = f p 2 R+ n : p j = 1 g ; p 2 R++ n : p) = X ³ ln p p j + a j ; = 1;... ; n a j p j p j2 p = 1 ; p 2 R++ n ; X j2 =1 ³ ln p p j + a j =! ; = 1;... ; n : a j p j p (A fent szumm akban a megfelel}o tag 0 ert ek}u, ha Äures.) A nem teljesen ktäoltäott A m atrxot ÄosszefÄugg}onek nevezzäuk, ha b arhogyan s v alasztjuk az f1; 2;... ; ng ndexhalmaz egy I val od r eszhalmaz at, az S 2I fj : j 2 g halmaz b}ovebb, mnt az I halmaz: 9k 2 S 2I fj : j 2 g, hogy k nem eleme az I halmaznak. Ez m ask ent azt jelent, hogy A nem ÄosszefÄugg}o, ha a sorokat es oszlopokat (az alternat ³v akat) Äosszehangolt m odon atrendezhetjäuk ugy, hogy az eredm enyäul kapott m atrx dekompon alt: a ktäoltäott elemek els}o csoportja a m atrx bal fels}o k 1 sor aban es oszlop aban helyezkedk el, a marad ek pedg a k edk,..., n-edk sorban es oszlopban, k 1 < n. A ktäoltäott es nem teljesen ktäoltäott p aros Äosszehasonl ³t as m atrx gr af reprezent ac oja seg ³ts eg evel az ÄosszefÄugg}os eget s j ol lehet szeml eltetn, err}ol ld. p eld aul Boz ok-fäuläop- R onya ckk et [2010]. Nem teljesen ktäoltäott A m atrx eset eben a (K-L-1) feladat konvext as ara nem t amaszkodhatunk. T amaszkodhatunk azonban arra az eszrev etelre, hogy C(A; p) ert eke nem v altozk, ha adott p > 0 prort asvektor mellett a m atrx h anyz o elemet ktäoltjäuk a p p j ert ekekkel. JelÄolje A(p) azt a {teljesen ktäoltäott{ m atrxot, amelynek eleme a käovetkez}ok: ½ aj ; ha j 2 a j (p) = käuläonben. p p j Vl agos, hogy C(A; p) = C(A(p); p). A (K-L) probl em at teh at nem teljesen ktäoltäott A p aros Äosszehasonl ³t as m atrx eset en a käovetkez}ok eppen ³rjuk fel: X³ C(A; p) = C(A(p); p) = p ln p + a j p j p! mn (K-L-1) a j p j =1 j2 p 2 P ; p 2 R n ++ :

14 14 Kom arom Eva Vzsg aljuk a c elfäuggv eny ert ek et. Legyen adott a p 1 2 R n ++ es legyen p 2 = arg mn p2p C(A(p 1 ); p). A 3. All ³t as ertelm eben p 2 l etezk es pozt ³v. Nylv anval o, hogy C(A(p 1 ); p) > C(A(p 1 ); p 2 ) mnden p 2 -t}ol käuläonbäoz}o p > 0 vektor eset en, p 1 -t s bele ertve, ha p 1 6= p 2, vagys C(A(p 1 ); p 1 ) > C(A(p 1 ); p 2 ). VegyÄuk eszre m asfel}ol, hogy C(A(p 1 ); p 1 ) = mn p2p C(A(p); p 1 ), a 4. All ³t as szernt. Ha teh at a (K-L-1) feladatnak van ^p > 0 optm als megold asa, azaz C(A(^p); ^p) = mn akkor a ^p pontra fenn all, hogy mn q2p p2p C(A(p); q) ; ( ) C(A(p); ^p) C(A( ^p); ^p) es C(A(^p); q) > C(A(^p); ^p) mnden p 2 P; q 2 P; q 6= ^p eset en. A (*) tulajdons ag teh at maga ut an vonja, hogy ^p xpontja az al abb lek epez esnek: f(p) : P! P; f(p) = arg mn C(A(p); q) : q2p Azt, hogy ha ^p a (*) tulajdons aggal rendelkezk, akkor optm als megold asa lenne a (K-L-1) feladatnak, vagys hogy ^p nem csak lok als, hanem glob als mnmumpont lenne, csak akkor all ³thatn ank, ha a feladat konvext as at s bel atn ank { erre ebben a dolgozatban nem keräul sor. A tov abbakban nem teljesen ktäoltäott p aros Äosszehasonl ³t as m atrx eset en olyan prort asvektor keresäunk { es ennek brtok aban a feladatunkat megoldottnak tekntjäuk {, amely a (*) tulajdons aggal rendelkezk. Ilyen prort asvektor l etez es ere az al abbakban konstrukt ³v bzony ³t ast adunk. 6. All ³t as. TegyÄuk fel, hogy az A nem teljesen ktäoltäott p aros Äosszehasonl ³t as m atrx ÄosszefÄugg}o. Ekkor a (K-L-1) feladatnak van olyan pozt ³v megold asa, amelyre a (*) tulajdons ag teljesäul. Bzony ³t as. Induljunk k tetsz}oleges pozt ³v p 0 2 P vektorb ol. Hozzuk l etre a p k sorozatot, ennek a k = 1; 2;... elem et az al abb m odon: Vzsg aljuk meg el}oszäor, hogy p k 1 rendelkezk-e a (*) tulajdons aggal. Ha gen, k eszen vagyunk, az elj ar as befejez}odäott. Ha nem, legyen p k = arg mn p2p C(A(p k 1 ); p). A 3. All ³t as ertelm eben p k l etezk es pozt ³v. Az elj ar ast folytatjuk. Ha az elj ar as v eges l ep esben befejez}odk, akkor az all ³t asban szerepl}o pontot l etrehoztuk, a bzony ³t as befejez}odäott. Ha nem, akkor egy v egtelen sorozatot kapunk. Mvel a sorozat mnden tagja a P korl atos z art halmazb ol sz armazk, ez ert kv alaszthat o a fp k g k=0;1;... v egtelen sorozatb ol egy konvergens fp kj g j=0;1;... r eszsorozat. JelÄolje e sorozat hat ar- ert ek et ^p: ^p = lm ; ^p 2 P : j!1 pkj A sorozat tagjara fenn allnak az al abb egyenl}otlens egek:! kj 1 = C(A(p kj 1 ); p kj ) C(A(p kj ); p kj ) > C(A(p kj ); p kj +1 ) =! kj :

15 A Kullback-Lebler relat ³v entr opa fäuggv eny alkalmaz asa Mvel f! kj g alulr ol korl atos pozt ³v csäokken}o sorozat, ez ert l etezk a lmesze: lm! k j = lm ); p j!1 j!1 C(A(pkj kj ) = Ha ^p > 0, akkor = lm j!1 C(A(pkj 1 ); p kj ) = lm j!1 C(A(pkj ); p kj+1 ) =! 0 : lm ); p j!1 C(A(pkj kj ) = mn C(A(^p); p) = p2p = mn C(A(p); ^p) = C(A(^p); ^p) =! 0 ; p2p ekkor teh at ^p rendelkezk a (*) tulajdons aggal es az all ³t ast bzony ³tottuk. Bel atjuk m eg, hogy ^p > 0. Ez käovetkezk. VegyÄuk eszre, hogy mnden ± > 0 sz amhoz l etezk olyan r ndex, hogy C(A(p k j ); p k j) <! + ±, ha j > r, mvel C(A(p); p) folytonos fäuggv enye p-nek es C(A(p kj ); p kj ) csäokken}o sorozat, amely! 0 ert ekhez tart. V alasszunk ±-t. VegyÄuk eszre, hogy ^p j > 0 legal abb egy ndexre, mvel P n ^p j = 1. TegyÄuk fel az all ³t assal ellent etben, hogy legal abb egy ndexre ^p = 0. VegyÄuk eszre, hogy e feltev es mellett van olyan 0, ndexp ar { es ezt tt kv alasztjuk {, hogy ^p 0 = 0, ^p j0 > 0 es az A m atrx ( 0 ; )-adk helye k van täoltve. Ha ugyans mnden ndexre, amelyre ^p = 0 fenn allna, hogy ^p j = 0, ha j 2 fj : j 2 g, akkor az I = f : ^p = 0g ndexhalmazra azt kapn ank, hogy I = S 2I fj : j 2 g, ellentmond asban azzal a feltev essel, hogy A ÄosszefÄugg}o. Irjuk fel C(A(p kr ); p kr ) ert ek et: = C(A(p kr ); p kr ) = X 2f1;...;ng;j2 (;j);(j;)6=( 0 ; ) + p k r 0 ln p k r 0 a 0 p k r X 2f1;...;ng;j2 ³ p kr ln pkr a j p kr j ³ p kr ln pkr a j p kr + a j p kr j + a 0 p kr p k r 0 + p k r ln j p kr + p kr a j0 0 p k r 0 + a j p kr j + a j0 0 p kr 0 p kr = p k r : A szumma mnden tagja nemnegat ³v, ÄosszegÄuk es ³gy tagjak ert eke s ksebb, mnt! + ±. Irjuk fel az Äosszeg utols o tagj ara vonatkoz o egyenl}otlens eget r eszletesebben: p kr ln p kr p kr ln a j0 0 p kr ln p kr 0 + a j0 0 p kr 0 p kr <! + ± : De a bal oldalon l ev}o tagok käozäul p kr ln p kr 0! +1, ha j! +1, mkäozben a täobb tag v eges ert ekhez tart. Ellentmond asra jutottunk teh at azzal a feltev essel, hogy a ^p prort asvektornak lehet 0 ert ek}u eleme. Ezzel az all ³t ast bzony ³tottuk. 2 A 6. All ³t asb ol es bzony ³t asa gondolatmenet eb}ol käovetkezk, hogy a (K- T-1) feladatnak van megold asa, azt azonban nem z artuk k, hogy egyn el täobb megold asa s lenne. B armely megold as ara azonban fenn all a käovetkez}o

16 16 Kom arom Eva 2. KÄovetkezm eny. A (K-T-1) feladat egy (p 0 ;! 0 ) megold as ara fenn all, hogy! 0 = mn p2p;p2r n ++ C(A(p 0 ); p) = C(A(p 0 ); p 0 ) ;! 0 = 1 n 7 Numerkus vzsg alatok X ³ a j p0 =1 j2 K et klasszkus p eld at v alasztottunk abb ol a c elb ol, hogy az eredm enyeket m as szerz}ok eredm enyevel ÄosszevethessÄuk. A teljesen ktäoltäott p aros Äosszehasonl ³t as m atrx-szal kapcsolatos sz am ³t asokat a,,t avols ag Phladelph at ol" p eld aval, a nem teljesen ktäoltäott esetben pedg a,,a csal ad h azat v as arol" p eld aval s llusztr aljuk, mndkett}o Saaty h ³res käonyv eb}ol [1980] sz armazk. 7.1,,T avols ag Phladelph at ol" Ebben a p eld aban a däont eshoz o hat v arost hasonl ³tott Äossze azoknak Phladelph at ol val o relat ³v t avols aguk tekntet eben. E v arosok (alternat ³v ak) sorra: Kar o, Tok o, Chcago, San Francsco, London, Montreal. A m atrxnak el eg lenne csak a jobb fels}o h aromszäog et feltäuntetn, a bal als o h aromszäog szäuks egk eppen a recprok ert ekeket tartalmazza: = =8 1=9 1 1=6 1=5 2 B 1=3 1= =3 6 1=3 1= A 1=7 1=9 1=2 1=6 1=6 1 Al abb az els}o sorban a jelen dolgozatban le ³rt m odszerrel kapott prort asvektort, a m asodk sorban pedg Saaty saj at ert ek m odszer evel kapott eredm enyt täuntettäuk fel. A harmadk sorban pedg az alternat ³v ak sorrendj et, amely a k et prort asvektor eset eben ugyanaz lett: 0; ; ; ; ; ; ; ; ; ; ; ; Ugyanezt a m atrxot nem teljesen ktäoltäott e alak ³tottuk Harker [1987b] p eld aja nyom an. KtÄoltÄottek maradtak az (1,2), (1,3), (2,5), (3,6), (4,5) es (5,6) elemek, p arjak es a f}odagon als. Az ³gy kapott prort asvektort al abb a dolgozatban le ³rt m odszerrel az els}o, lletve Harker m odszer evel a m asodk sorban täuntettäuk fel, a harmadkban pedg sm et az alternat ³v ak sorrendj et, amely a k et vektor eset eben sm et ugyanaz lett: 0;1859 0;5371 0;0261 0;0570 0;1704 0;0235 0;2339 0;4612 0;0382 0;0659 0;1734 0; p 0 j :

17 A Kullback-Lebler relat ³v entr opa fäuggv eny alkalmaz asa MegjegyezzÄuk, hogy C(A; p) optm als ert eke 0, a teljesen ktäoltäott m atrx eset eben, es C(A(p); p) ert eke 0,015089, amkor p = (0,1859; 0,5371; 0,0261; 0,0570; 0,1704; 0,0235). Ezeket az ert ekeket az nkonzsztenca m ert ek enek tekntjäuk, es amnt v artuk, l enyegesen ksebb a h anyos elemeket tartalmaz o m atrx eset eben. 7.2,,A csal ad h azat v as arol" Az eredet m atrx Saaty käonyv eben teljesen ktäoltäott, tt arra a nem teljesen ktäoltäott v altozat ara vonatkoz o sz am ³t as eredm enyeket mutatjuk be, amelyet Boz ok, FÄulÄop es R onya haszn alt [2010]. Ezt a nem teljesen ktäoltäott m atrxot az al abb t abl azat tartalmazza, ha a kvastag ³tott elemeket elhagyjuk. A m atrx sora es oszlopa altal k epvselt szempontok sorra a käovetkez}ok voltak: m eret, käozleked es, szomsz eds ag, kor, a kert, korszer}us eg, allapot, ar. A t abl azatot ktäoltäottäuk a sz am ³t asunk eredm enyek ent kapott p =(0,1439; 0,0695; 0,1063; 0,0318; 0,0242; 0,0525; 0,0657; 0,5061) prort asvektor seg ³ts eg evel, a h anyz o elemeket p otoltuk teh at a kvastag ³tott ert ekekkel ; ; 25 0;2 1 0; ; ;0588 0;1429 0;3333 1; ; ; ;2101 0;1429 0;2 0; ;3146 0;25 0;4841 0;125 0;1667 0;3478 0;3333 0; ;4608 0;2 0;0478 B 0;1667 0;3333 0; ; ;7991 0;1667 A 3 0;9445 0;1667 2; ; ; ; ; ; Az eml ³tett szerz}ok k et m odszer seg ³ts eg evel hat arozt ak meg a h anyz o elemek ert ek et. Az els}o a saj at ert ek m odszer, a m asodk az LLSM { a logartmkus legksebb n egyzetek m odszere { kterjeszt ese nem teljesen ktäoltäott p aros Äosszehasonl ³t as m atrxok eset ere. A k et eredm eny { mnd a prort asvektor, mnd a h anyz o elemek ert eke tekntet eben l enyegesen elt er. Az altalunk kapott eredm eny az LLSM seg ³ts eg evel kapott eredm enyhez käozelebb all, a kapott prort asvektorok nem azonosak term eszetesen, de az egyes alternat ³v ak altaluk meghat arozott sorrendje s nk abb csak a ks prort as u alternat ³v ak eset eben cser el}odnek fel. A tanuls ag, ha egy altal an van, tal an az lehet, hogy erdemes täobb m odszert alkalmazn es a konkr et alkalmaz as lletve a konkr et p aros Äosszehasonl ³t as m atrx smeret eben tov abb elemz eseket v egezn az egyes alternat ³v ak fontoss ag at llet}oen. 8 ÄOsszefoglal as A dolgozatban a däont eselm eletben fontos szerepet j atsz o p aros Äosszehasonl ³t as m atrx prort asvektor anak meghat aroz as ara uj megkäozel ³t est alkalmaztunk: az A p aros Äosszehasonl ³t as m atrx es a prort asvektor altal de n alt B konzsztens m atrx käozäott elt er est a Kullback-Lebler relat ³v entr opa-fäuggv eny

18 18 Kom arom Eva seg ³ts eg evel m ertäuk. Ezen elt er es mnmalz al asa teljesen ktäoltäott m atrx eset eben konvex programoz as feladathoz vezetett, nem teljesen ktäoltäott m atrx eset eben pedg egy xpont probl em ahoz. A Kullback-Lebler elt er esfäuggv enyt mnmalz al o prort asvektor egyben azzal a tulajdons aggal s rendelkezk, hogy az A m atrx elemenek Äosszege es a B m atrx elemenek Äosszege käozäott käuläonbs eg eppen az elt er esfäuggv eny mnmum anak az n-szerese, ahol n a feladat m erete. Igy az elt er esfäuggv eny mnmum anak ert eke k et szempontb ol s lehet alkalmas az A m atrx nkonzsztenc aj anak a m er es ere. A feladat vzsg alata sor an alkalmazott bzony ³t asok egy r esze konstrukt ³v volt, egyben elj ar ast adott a prort asvektor ksz am ³t as ara. Nytva maradt j o n eh any k erd es, amelyek tov abb elemz est g enyelnek, pl. a nem teljesen ktäoltäott p aros Äosszehasonl ³t as m atrx eset eben a 6. All ³t as bzony ³t as aban szerepl}o sorozat { es nem csak a r eszsorozat { konvergenc aj anak a vzsg alata. Erdekesnek l atszk egy k ³s erlet a Burg entr opa mnt elt er esfäuggv eny alkalmaz as ara s. Irodalom 1. Boz ok S., FÄulÄop J. Poesz A. (2011). On parwse comparson matrces that can be made consstent by the mod caton of a few elements, Central European Journal of Operatons Research 19, 157{ Boz ok, S., FÄulÄop, J., R onya, L. (2010). On optmal completon of ncomplete parwse comparson matrces, Mathematcal and Computer Modellng 52, 318{ Bregman, L. (1967). The relaxaton method of ndng the common ponts of convex sets and ts applcaton to the soluton of problems n convex programmng, USSR Comput. Math. and Math Phys. 7, 200{ Choo, E. and Wedley, W. (2004). A Common framework for dervng preference values from parwse comparson matrces, Computers and Operatons Research 31, 893{ Csat o L aszl o (2012). Rankng by parwse comparsons for Swss-system tournaments, Central European Journal of Operatons Research, publshed rst onlne: DOI /s Cssz ar, I. (1967). Informaton type measures of d erences of probablty dstrbutons and ndrect observatons, Studa Sc. Math. Hungar. 2, 299{ Farkas, A., Lancaster, P. and P. R ozsa (2003). Consstency adjustments for parwse comparson matrces, Numercal Lnear Algebra wth Applcatons, 10, 689{ Fedrzz, M., S. Gove(2007). Incomplete parwse comparson and consstency optmzaton European Journal of Operatonal Research 183, 303{ Gass, S. I. and T. Rapcs ak (2004). Sngular value decomposton n AHP, European Journal of Operatonal Research 154, 573{ Harker, P. T. (1987a). Dervatves of the Perron root of a postve recprocal matrx: wth applcaton to the Analytc Herarchy Process, Appled Mathematcal Computaton 22, 217{ Harker, P. T. (1987b). Incomplete parwse comparsons n the analytc herarchy process, Mathematcal Modellng, 9, 837{848.

19 A Kullback-Lebler relat ³v entr opa fäuggv eny alkalmaz asa Ishzaka, A., A. Labb (2011). Revew of the man developments n the Analytc Herarchy Process, Expert Systems wth Applcatons 38(11), 14336{ Iusem, A. N., Svater, B. F. & Teboulle M. (1994). Entropy-lke proxmal methods n convex programmng. Math. of Operatons Research 19, 790{ K er Gerzson (2005). Krt erumok p aros Äosszehasonlt as m atrxokra, Szgma 36, 139{ Kwel, K. C. (1997). Proxmal mnmzaton methods wth generalzed Bregman functons. SIAM J. Control and Optmzaton 35, 1142{ Krov ak, J. (1987). Rankng alternatves { comparson of d erent methods based on bnary comparson matrces, European Journal of Operatonal Research 32, 86{ Mangasaran, O. L. (1969). Nonlnear programmng. McGraw-Hll Book Company, New York. 18. Saaty, T. (1980). The Analytc Herarchy Process. New York: McGraw-Hll. 19. Saaty, T. (2003). Decson-makng wth the AHP: Why s the prncpal egenvector necessary? European Journal of Operatonal Research, 145, 85{ Temes J ozsef (2011). Parwse comparson matrces and the error-free property of the decson maker, Central European Journal of Operatons Research, Vol 19, No 2, 239{249. APPLYING THE KULLBACK-LEIBLER RELATIVE ENTROPY FUNCTION FOR DETERMINING PRIORITIES FOR THE PAIRWISE COMPARISON MATRIX In ths paper we apply a new approach for determnng a prorty vector for the parwse comparson matrx whch plays an mportant role n Decson Theory. The dvergence between the parwse comparson matrx A and the consstent matrx B de ned by the prorty vector s measured wth the help of the Kullback-Lebler relatve entropy functon. The mnmzaton of ths dvergence leads to a convex program n case of a complete matrx, leads to a xed-pont problem n case of an ncomplete matrx. The prorty vector mnmzng the dvergence also has the property that the d erence of the sums of elements of the matrx A and the matrx B s n tmes the mnmum of the dvergence functon where n s the dmenson of the problem. Thus we developed two reasons for consderng the value of the mnmum of the dvergence as a measure of nconsstency of the matrx A.