Szigma, XL. (2009)

Átírás

1 Szigma, XL. (2009) K Ä OSZ Ä ONT } O Kedves Olvas o! A SZIGMA Szerkeszt}o Bizotts aga nev eben tisztelettel käoszäonti Ä Ont a foly oirat ujonnan kinevezett f}oszerkeszt}oje. Munk amat igyekszem hasonl o lelkiismeretess eggel es szakmais aggal v egezni, mint azt el}odeim tett ek. Martos B ela professzor nemzetkäozileg is elismert eredm enyei, kutat asi tapasztalata, a tudom any ir anti tisztelete, h usz eves kitart o f}oszerkeszt}oi munk aja kiv al o alapot jelentettek egy olyan m}uhely l etrejäott ehez, melyb}ol a megszäulet}o munk ak min}os ege a gazdas agi tudom anyos elet elvonal aba emelte a lapot. Ezt a munk at folytatta VÄorÄos J ozsef professzor, melynek eredm enyek ent m ara a SZIGMA a gazdas agtudom any egyik legjelent}osebb hazai magyar nyelv}u hordoz oja lett. Az ut odokra, els}osorban a f}oszerkeszt}ore pedig az a munka h arul, hogy tov abb apolj ak e hagyom anyt, es ahol lehet, biztos ³ts ak a tov abbi fejl}od es lehet}os eg et. Ennek erdek eben szeretn em, ha a SZIGMA sok sz ³nvonalas cikket käozäolhetne, azokat sokan olvasn ak es sokat besz eln enek az itt megjelent tanulm anyokr ol. Ezt a c elt szolg alja a Fogalmak es m odszerek c ³m}u rovat ujraind ³t asa rem elve, hogy az itt megjelen}o ismertet esek megkäonny ³tik a megjelen}o tanulm anyok feldolgoz as at. Ehhez h ³vunk meg minden kedves Olvas ot annak rem eny eben, hogy alkot as aval, hozz asz ol as aval, vagy szerkeszt}os egäunknek käuldäott lev elben kifejtett v elem eny evel hozz aj arul ehhez a sikerhez, es tov abbra is seg ³ti, hogy a SZIGMA elvonalbeli lap maradjon. KÄulÄon käoszäonet illeti a Magyar Tudom anyos Akad emia IX. oszt aly anak vezet}oit, akik seg ³ts eg evel az MTA biztos ³tja a SZIGMA technikai szerkeszt es enek käolts egeit. Bessenyei Istv an essenyei@ktk.pte.hu F}oszerkeszt}o

2

3 Szigma, XL. (2009) OLIGOP OLIUMOK KOOPER AL O C EGEKKEL 1 FEUER G ABOR { SZIDAROVSZKY FERENC G. Feuer Ges.m.b.H. { Arizonai Egyetem R eszlegesen kooper al o csoporttal rendelkez}o oligopol modellt vizsg alunk, amikor a versenyhivatal a piaci ar näoveked ese alapj an käovetkeztet a kooper aci o megl et ere. Av allalatok optim aliskooper aci os szintj et hat arozzuk meg, amely maxim alis kooper aci ot biztos ³t an elkäul, hogy a versenyhivatal gyan ut fogna es vizsg alatot ind ³tana. 1 Bevezet es Az oligopol modellek sz amosv altozata ismert az irodalomb ol. Cournot (1838) munk aja nyom an sz amos kutat o vizsg alta ezeket a modelleket. Egy- es täobbterm ekes, alkalmazott tulajdon u oligopolmodellek mellett piacmegoszt as probl em akkal is foglalkoztak. Az egyens ulypont l etez es enek es egy ertelm}us eg enek a kimutat asa mellett annak dinamikus vizsg alata lett a kutat asok f}o t emakäore. A kor abbi eredm enyek j o Äosszefoglal asa tal alhat o meg Okuguchi (1976) käonyv eben. Ezeknek az eredm enyeknek täobbterm ekes altal anos ³t as at t argyalja Okuguchi es Szidarovszky (1999) käonyve,amely line arisdinamikus kiterjeszt eseket iselemez. Aleg ujabb kutat asok nemline arismodelleket vizsg alnak, Bischi, Chiarella, Kopel es Szidarovszky (2010) käonyve ad Äosszefoglal ast az eddigi eredm enyekr}ol. AlegtÄobb eddigivizsg alat egym assalverseng}o v allalatokat felt etelez. Ennek az a legf}obb oka, hogy a legtäobb orsz agban täorv eny tiltja a v allalatok titkosegyäutt-m}ukäod es et. Aversenyhivatalbizonyosmutat okat ellen}orizrendszeresen, es ezek ert ekeib}ol von le käovetkeztet eseket. Amennyiben a v allalatok ugy gondolj ak, hogy a hat os agok gyan ut fogn anak es vizsg alatot kezdem enyezn enek, akkor azonnal abbahagyj ak az egyäuttm}ukäod est, es egym assal verseng}o viselked est folytatnak. Ebben a dolgozatunkban v allalatok viselked es et vizsg aljuk meg olyan felt etelek mellett, hogy szeretn enek egyäuttm}ukäodni a nagyobb pro t erdek eben, de ugyanakkor szeretn ek elkeräulni a hat os agi vizsg alatokat es az esetleges ezzel j ar o bäuntet eseket. A matematikai egyszer}us eg erdek eben szimmetrikus es line aris oligopol rendszereket vizsg alunk. 2 A matematikai modell kooper aci o n elkäul TegyÄuk fel, hogy N v allalat azonos term eket termelvagy azonos szolg altat ast k ³n al egy homog en piacnak. JelÄolje x k a k-adik v allalat term ekkibocs at as at, 1 Be erkezett: aprilis26. szidar@sie.arizona.edu.

4 84 Feuer G abor { Szidarovszky Ferenc ³gy X = P N k=1 x k a teljes piaci k ³n alat. TegyÄuk fel, hogy az arfäuggv eny (inverz keresleti fäuggv eny) line aris, p(x) = A BX, es a c egek käozäos käolts egfäuggv enye is line aris, C k (x k ) = c + dx k, ahol A > d. A k-adik v allalat pro tja a käovetkez}o: ' k (x 1 ;... ;x N ) = x k (A BX) (c + dx k ) : (1) Ha bevezetjäuk az X k = P l6=k x l jeläol est a täobbi v allalat egyäuttes kibocs at as ara, akkor ' k at ³rhat o oly m odon, hogy az csak x k es X k fäuggv enye: ' k (x 1 ;... ;x N ) = x k (A Bx k BX k ) (c + dx k ) : (2) Minden v allalat c elja pro tj anak maximaliz al asa, ³gy adott X k mellett az optim alis kibocs at as mennyis eg et az egyenlet megold asa adja, amib}ol x k = 1 2 X k + A d 2B ; A 2Bx k BX k d = 0 vagy x k = X + A d B : (3) Ezt a fäuggv enyt a k-adik v allalat v alaszfäuggv eny enek is szoktuk nevezni. Az oligopol modell, mint N-szem elyes j at ek egyens ulypontja olyan kibocs at asi vektor (x 1;...;x N ), hogy minden j at ekos a v alaszfäuggv eny enek megfelel}o mennyis eget termeli, azaz k = 1; 2;...; N eset en x k = 1 2 X l6=k x l + A d 2B : (4) Itt felt eteleztäuk, hogy az optimumhelyek mind pozit ³vak. Ennek szäuks eges felt etele, hogy A > d legyen. KÄonnyen l athat o, hogy az egyäutthat om atrix invert alhat o, ³gy pontosan egy megold as l etezik, amely szimmetrikus kell legyen. Teh at x 1 =... = x N = x, ahol x az x = 1 2 (N 1)x + A d 2B (5) egyenlet megold asa, ³gy x = Az egyens ulypontban a piaci ar az arfäuggv eny alapj an A d (N + 1)B : (6) P N = A BX = A BNx N(A d) = A = N + 1 = 1 (7) N + 1 (A + Nd) :

5 Oligop oliumok kooper al o c egekkel 85 3 Kooper al o v allalatok esete TegyÄuk most fel, hogy az els}o M v allalat r eszlegesen kooper al, azaz mindegyike nemcsak a saj at pro tj at k ³v anja maximaliz alni, hanem a csoport täobbi tagj anak pro tj at is gyelembe veszi. JelÄolje ± a kooper aci o szintj et, ekkor a kooper al o k-adik (1 k M) v allalat ki zet}ofäuggv enye à k (x 1 ;...; x N ) = x k (A Bx k BX k ) (c + dx k ) + MX + ± fx l (A Bx k BX k ) (c + dx l )g : (8) l=1 l6=k Kimutathat o, hogy amennyiben a v allalatok käozäos erdekelts eggel rendelkeznek (p eld aul m as v allalatok bizonyos h anyad anak tulajdonosai), akkor ez a helyzet matematikailag a (8) egyenlettel ³rhat o le. Matsumoto, Merlone es Szidarovszky (2010) täobb modellv altozatot t argyal, es mindegyiket a (8) ki zet}ofäuggv enyre vezeti vissza. A ± > 0 konstans a käozäos erdekelts egek m ert ek et}ol fäugg. A ki zet}ofäuggv enyt maximaliz al o kibocs at as ism et egyszer}u deriv al assal ad odik: MX A 2Bx k BX k d ±B x l = 0 ; (9) amelyb}ol l=1 l6=k x k = 1 2 X k + A d 2B ± 2 MX l=1 l6=k (1 k M) : x l = X + A d B ± M X l=1 l6=k x l (10) A kooper al o csoportba nem tartoz o v allalatok eset en tov abb is a (3) v alaszfäuggv eny erv enyes. Az ³gy ad od o (3) es (10) egyenletek adj ak az egyens ulypontot. KÄonnyen l athat o, hogy a megold as egy ertelm}u, ³gy szimmetrikus kell legyen olyan szempontb ol, hogy a kooper al o es a nemkooper al o v allalatok szimmetrikusak, ³gy azonos x es y term ekmennyis eget termelnek. Ez alapj an a (3) es (10) egyenletek nagym ert ekben leegyszer}usäodnek: azaz es y = Mx (N M)y + A d B (11) x = Mx (N M)y + A d B ±(M 1)x ; (12) y (1 + N M) + x M = A d B (13) y (N M) + x (1 + M + ±(M 1)) = A d B : (14)

6 86 Feuer G abor { Szidarovszky Ferenc KÄonnyen l athat o, hogy a megold as x = y = Az egyäuttes ipari kibocs at as pedig Mx + (N M)y = A d B(N ±(M 1)(N + 1 M)) ; (15) (A d)(1 + ±(M 1)) B(N ±(M 1)(N + 1 M)) : (16) Az arfäuggv eny alapj an a piaci ar a käovetkez}o: P R = A B(Mx + (N M)y ) = = (A d)(n + ±(M 1)(N M)) B(N ±(M 1)(N + 1 M)) : (17) A(1 + ±(M 1)) + d(n + ±(M 1)(N M)) N ±(M 1)(N + 1 M) : (18) A ± = 0 v alaszt assal ad odik a kooper aci o mentes piaci egyens ulyi ar (7), es a ± = 1 v alaszt assal a piaci ar, ha a csoport tagjai teljes m ert ekben kooper alnak: P K A + d(n + 1 M) = : (19) N + 2 M Egyszer}u di erenci al assal kimutathat o, hogy a (18) piaci ar ±-nak näovekv}o fäuggv enye. A kooper al o v allalatok pro tja is egyszer}uen ad odik, hiszen ' k = x (P R d) c = A d = B(N ±(M 1)(N + 1 M)) A(1 + ±(M 1)) + d(n + ±(M 1)(N M) N ±(M 1)(N + 1 M) = (A d) 2 (1 + ±(M 1)) B(N ±(M 1)(N + 1 M)) 2 c ; amely rendelkezik a käovetkez}o tulajdons agokkal: a) ' k > 0, ha az alland o käolts eg c el eg kicsi; d c = b) A kooper al o v allalatok pro tja akkor es csak akkor nagyobb a kooper aci o n elkäul ad od o pro tn al, ha M > N es ± < ± 1 = (N + 1)(2M N 1) (M 1)(N + 1 M) 2 : c) Ha M N + 1, akkor a ' k pro t ±-nak csäokken}o fäuggv enye, ³gy pro t al o kooper aci o csak el eg nagysz am u kooper al o v allalat eset en 2 lehets eges.

7 Oligop oliumok kooper al o c egekkel 87 d) TegyÄuk fel ezut an, hogy M > N + 1. Ha 2 ± < ± 2 = 2M N 1 (M 1)(N + 1 M) ; akkor a ' k pro t ±-nak näovekv}o fäuggv enye, ± = ± 2 eset en maximumot vesz fel, es ± > ± 2 eset en csäokken}o. VegyÄuk eszre, hogy ± 1 = ± 2 N + 1 N + 1 M > ± 2 : 4 Optim alis kooperaci o m ert eke TegyÄuk fel, hogy a versenyhivatal sejti, hogy a csoport tagjai esetleg täorv enytelen koal ³ci oba l epnek. Ha semmilyen egyäuttm}ukäod es sincs käozäottäuk, akkor a piaci ar P N kell legyen, teljes kooper aci o eset en pedig P K. Minthogy P K > P N, a hat os ag v alaszt egy p käuszäob ert eket P N es P K käozäott, es amennyiben a piaci ar a p ert ek fäol e megy, azonnal vizsg alatot kezd a csoport tagjai ellen. Azt is feltesszäuk, hogy gyelmeztet esk ent a p käuszäob ert eket a v allalatokkal tudatja is. A vizsg alat akkor keräulhet}o el, ha P R p, azaz A(1 + ±(M 1)) + d(n + ±(M 1)(N M)) N ±(M 1)(N + 1 M) amely ±-ra megoldva a käovetkez}o felt etelt adja: ± ± 3 = p ; (20) p(n + 1) (A + dn) (M 1)(A + d(n M) p(n + 1 M)) : (21) Mint l attuk azel}oz}oekben, täobb mint (N+1)=2 v allalat kooper aci oja szäuks eges ahhoz, hogy a kooper aci o pro t al o lehessen, es ekkor a ± = minf± 2 ;± 3 g ert ek adja az optim alis kooper aci os szintet. Ez az eszrev etel azonnal ad odik abb ol a t enyb}ol, hogy a ' k fäuggv eny ± < ± 2 eset en näovekszik, ± > ± 2 eset en pedig csäokken, valamint ± nem lehet ± 3 -n al nagyobb a vizsg alat es esetleges bäuntet es elkeräul ese c elj ab ol. 5 KÄovetkeztet esek es a tov abbi kutat asi lehet}os egek N-v allalatosoligopolmodellt vizsg altunk. Meghat aroztuk azegyens ulypontot kooper aci o felt etelez ese n elkäul, es ugy is, ha a v allalatok egy csoportja r eszlegesen kooper al. Kimutattuk, hogy a piaci ar az egyäuttm}ukäod esi szint näovekv}o fäuggv enye. Igy a hat os agok tudom ast szerezhetnek a egyäuttm}ukäod es

8 88 Feuer G abor { Szidarovszky Ferenc megl et er}ol, ha a piaci ar egy adott käuszäobsz amot meghalad. Ennek megfelel}oen a v allalatoknak lehet}os egäuk van arra, hogy a lehet}o legmagasabb egyäuttm}ukäod esi szintet meghat arozz ak, amely m eg nem mutat egyäuttm}ukäod est a hat os agok fel e. Vizsg alatunkban szimmetrikus esetet v alasztottunk a matematikai egyszer}us eg kedv e ert. A nemszimmetrikus, nemline aris ar es käolts egfäuggv enyek eset et erdemes lenne megvizsg alni, hogy l assuk, hogy hasonl o megold ashoz jutunk-e az altal anos esetben is. A modell dinamikus kiterjeszt ese is igen erdekes lenne, mert k et egyens ulyi kibocs at as van, es a v allalatok az ar fäuggv eny eben v alasztanak kooper aci ot vagy versenyt jellemz}o strat egi akat. Irodalom 1. Bischi, G-I., C. Chiarella, M. Kopel es F. Szidarovszky (2010): Nonlinear Oligopolies:StabilityandBifurcations.Springer-Verlag,Berlin,New York. 2. Cournot,A.(1838):Recherchessur lesprincipes Math ematiques de lath eorie de Richesses. Hachette, Paris (Angolford ³t as (1960): Researches intothe MathematicalPrinciples of the TheoryofWealth.Kelley,New York.) 3. Matsumoto, A., U. Merlone es F. Szidarovszky(2010): Dynamic Oligopoly with Partial Cooperation and Antitrust Threshold.J.ofEconomicBehavior andorganization,73,259{ Okuguchi, K. (1976): Expectations and Stability in Oligopoly Models. Springer-Verlag,Berlin,New York. 5. Okuguchi,K. esf.szidarovszky(1999):thetheoryofoligopolywithmulti- ProductFirms.Springer-Verlag,Berlin,New York. OLIGOPOLY MODELS WITH COOPERATING FIRMS Oligopoly models are examined withpartiallycooperating rms,whenthe authorities maynotice this illegal cooperation bymonitoring the increasingmarket price. Themaximallevelofcooperationamongthe rmsisdeterminedunderwhichtheir cooperationremains unobserved.

9 Szigma, XL. (2009) A P ENZ Ä UGYI ESZK Ä OZ Ä OK ARAZ AS ANAK ALAPT ETELE, LOK ALISAN KORL ATOS SZEMIMARTING AL ARFOLYAMOK ESET EN 1 BADICS TAM AS { MEDVEGYEV P ETER Budapesti Corvinus Egyetem A p enzäugyi eszkäozäok araz as anak alapt etele { kiss e pongyol an megfogalmazva { azt all ³tja, hogy egy ert ekpap ³rpiacon akkor nincs arbitr azs, ha l etezik egy az eredetivel ekvivalens val osz ³n}us egi m ert ek, amelyre vonatkoz oan az ert ekpap ³rok arait le ³r o folyamat egy bizonyos ertelemben "marting al". Az els}o ilyen jelleg}u all ³t ast M. Harrison es S. R. Pliska bizony ³tott ak arra esetre, amikor a val osz ³n}us egi mez}o v egesen gener alt. Az ota a t etelnek sz amos altal anos ³t asa szäuletett. Ezek käozäul az egyik legismertebb a Dalang{Morton{ Willinger-t etel, ami m ar teljesen altal anos val osz ³n}us egi mez}ob}ol indul ki, de felteszi, hogy azid}oparam eter diszkr et, esazid}ohorizont v eges. Id}okÄozben a t etelnek sz amos folytonos id}oparam eter}u folyamatokra vonatkoz o v altozata is szäuletett. Az alapt etelt altal anos esetben, vagyis amikor val osz ³n}us egi mez}o teljesen altal anos, esaz ert ekpap ³rok piaci arait le ³r o folyamat lok alisan korl atos szemimarting al, Delbaen es W. Schachermayer bizony ³tott ak be. A Delbaen{Schachermayer-f ele alapt etel a maga nem eben egy igen altal anos all ³t as. A t etel bizony ³t asa igen hosszadalmas, es a funkcion alanal ³zis valamint a sztochasztikusfolyamatok altal anoselm elet enek m ely eredm enyeit haszn alja. Ut obbi tudom anyteräulet nagy r esz et P. A. Meyer es a francia strassbourgi iskola matematikusai dolgozt ak ki a 60-as evek v eg et}ol kezdve. A teräulet meg ert es et teh at alaposan megnehez ³ti, hogy a felhaszn alt matematikai appar atus viszonylag friss, egy r esze pedig csak francia nyelven erhet}o el. Meggy}oz}od esäunk szerint az eredeti, 1994-es Delbaen es Schachermayer-f ele bizony ³t as csak kevesek altal hozz af erhet}o. A t etelnek tudom asunk szerint az ota sem szäuletett tankäonyvi feldolgoz asa, annak ellen ere, hogy maga az all ³t as käozgazd aszkäoräokben issz eleskäorben ismert ev alt, esazeredeticikket sz amos szerz}o id ezi. Az itt bemutatott bizony ³t as Delbaen es Schachermayer 1992 es 2006 käozäotti ³r asain alapul. 1 Az alapt etel Atov abbiakban S legyen egy räogz ³tett szemimarting al. Mik ent ismert, szemimarting alok szerint lehet integr alni. Valamely H folyamat S szerinti sztochasztikusintegr alj at, amennyiben azl etezik, H ² S m odon, az integr alfolyamat ert ek et a t id}opontban (H ² S) t m odon fogjuk jeläolni. (H ²S) 1 alatt ertelemszer}uen a (H ²S) t v egtelenben vett hat ar ert ek et ertjäuk, felt eve, hogy az 1 Be erkezett: 2008.december6. medvegyev@math.bke.hu.

10 90 Badics Tam as { Medvegyev P eter l etezik. Eml ekeztetäunk, hogy a H ² S sztochasztikusintegr alinterpret alhat o, mint egy S arfolyammal rendelkez}o eszkäozbe val o olyan befektet es nett o eredm enye, amely befektet es nagys ag at a H folyamat ³rja le. Mik ent ismert, a sztochasztikus integr alhat os ag,,minim al felt etele", hogy az integrandus el}orejelezhet}o legyen. Az al abbiakban ezt minden tov abbi eml ³t esn elkäul automatikusan felt etelezzäuk. A v eges sz am u id}opontb ol all o id}ohorizont es a v egtelen sz am u id}opontb ol all o id}ohorizont käozäotti elt er es egyik oka 2, hogy v egtelen sz am u lehets eges id}opont eset en altal aban lehet,,dupl azni". Ez m ask eppen azt jelenti, hogy a v egtelen sok id}opont miatt altal aban lehet olyan strat egi at v alasztani, amely eredm enyek ent biztos nyerem enyhez juthatunk 3. Ezt a v egtelen sz am u megengedett id}opontb ol sz armaz o nyilv anval o arbitr azs lehet}os eget a lehets eges portf oli ok alulr ol val o korl atoss ag aval z arhatjuk ki: 1.1 De n ³ci o. Valamely S-integr alhat o H folyamatot u-megengedettnek nevezäunk, ha minden t 0-ra (H ² S) t u. Valamely H folyamatot megengedettnek mondunk, ha l etezik egy u val os sz am, amelyre a H folyamat u-megengedett. Hangs ulyozni kell hogy az alulr ol val o korl atoss agb ol nem käovetkezik a feläulr}ol val o korl atoss ag, ³gy azalulr olval o korl atoss ag felt etelez es enek fontoskäovetkezm enye, hogy a lehets eges portf oli ok nem felt etlenäul alkotnak line aris teret, csak konvex k upot. De ni aljuk a K 0 konvex k upot a käovetkez}ok eppen 4 : K 0 ± = f(h ² S)1 :AH megengedettfolyamat, esahat ar ert ekl etezik esv egesg : A k es}obbiek sor an be fogjuk l atni, hogy amennyiben az al abb ismertetett,,arbitr azsmentess eg" felt etele teljesäul, akkor a (H ² S) 1 v altoz o minden megengedett strat egia eset en ertelmes es v eges 5. Ezt tudva K 0 = f(h ² S) 1 : A H megengedett folyamatg : Most, a t argyal as kezdet en, azonban evvel a felt etelez essel m eg nem elhetäunk. A v eges id}ohorizton val o arbitr azs elm eletb}ol ismert, hogy a lehets eges sz armaztatott term ekek halmaz ar ol fel kell tenni, hogy az teljes ³ti a d ³jtalan lomtalan ³t as megkäot es et. Ez ³gy van a folytonos id}oparam eter eset eben is. 2 Az alapt etel v eges sz am u id}opontb ol all o, illetve folytonos id}ohorizonton val o igazol asanagyon käuläonbäoz}o. A folytonosid}ohorizontraval oigazol as,mik entl atnifogjuk,igen hosszadalmas esigen,,technik as". A k etid}ohorizontt argyal asakäozäottielt er esels}osorban abb ol ad odik, hogy v eges sz am u id}opontb ol all oid}ohorizonton a sztochasztikus integr al egy käozäons egesv egesäosszeg,folytonosid}ohorizonton azonban egy igen bonyolult, es nem t ulzottan käonnyen kezelhet}omatematikaikonstrukci o. 3 Adupl az asistrat egiaaztakäozismertelj ar astjelenti,hogyfejvagy ³r asj at ekotj atszva vesztes egeset enmindenl ep esbenmegdupl azzukafeltettäosszeget. Mivelegyval osz ³n}us eggel el}obb vagy ut obb nyeräunk, a nyerem eny nett o Äosszegeegy val osz ³n}us eggel egy egys eg lesz. Ap eldal enyege,hogybizonyosesetekbenegyj at ekotv egtelenszerj atszva eskorl atlan er}oforr asokrat amaszkodvabiztosnyerem enyhez lehet jutni. Mivelazalkalmaz asokban erre val oj aban nincsen m od,ezt ki kell amodellb}ol z arni. 4 A nullaals oindex arrautal, hogy a K 0 halmazazl 0 t erben van. AzL 0 t era val osz ³n}us egiv altoz ok tereasztochasztikuskonvergenci aval, mintmetrik aval. Amennyiben valamelyhalmaznak nincsenals oindexe,akkorahalmaz altal aban azl 1 t erben van. 5 V.Äo.: 3.1 all ³t as.

11 A p enzäugyi eszkäozäok araz as anak alapt etele JelÄoljÄuk C 0 -al a K 0 -beli elemekkel domin alhat o fäuggv enyek k upj at, azaz ± legyen C 0 = K0 L 0 +: Folytonos id}oparam eter eset en az ekvivalens m ert eket megad o Radon{Nikodym deriv altr ol m ar a legegyszer}ubb esetben is 6 csak annyi tudhat o, hogy eleme az L 1 t ernek. Ez a folytonos es a v eges sz amoss ag u id}oparam eter käozäotti elt er es egyik fontos eleme 7. Mivel az ekvivalens m ert ekcser et biztos ³t o Radon{Nikodym deriv altat ism et szepar aci oval akarjuk meghat arozni, es a szepar al o hipers ³k norm alis at az L 1 t erben keressäuk, ez ert a,,prim al teret", vagyis a,,lehets eges" sz armaztatott term ekek halmaz at le kell sz}uk ³teni az L 1 t erre: C = ± C 0 \L 1 : JelÄoljÄuk C-sal a C k up L 1 norm aja szerinti lez artj at. Ezekkel a jeläol esekkel de ni aljuk az,,arbitr azsmentess eg" fogalm at. A szakirodalomban az arbitr azsmentess eg fogalm anak j o n eh any, egym assal nem ekvivalens alakja haszn alatos. Az al abb megadott fogalmat az angol szakirodalom a,,no free lunch with vanishing risk" elnevez essel illeti. Ennek egy lehets eges magyar ford ³t asa a käovetkez}o: elhalv anyul o kock azat n elkäul nincsen ingyen eb ed 8. Term eszetesen az angol nyelv}u irodalom ismeri az arbitr azsmentess eg fogalm at is, ami alatt a C 0 \ L 0 + = f0g rel aci o teljesäul es et szok as erteni. Ugyancsak ismert a nincsen ingyen eb ed megkäot es fogalma is, amely annyiban käuläonbäozik az elhalv anyul o kock azat n elkäuli ingyen eb edt}ol, hogy a fenti lez ar ast az L 1 t er gyenge* topol ogi aj aban es nem a norma szerinti topol ogi aban kell venni. Hangs ulyozni kell, hogy a Delbaen{ Schachermayer elm elet l enyege eppen az, hogy a j oval kisebb, norma szerinti lez artat veszik a szerz}ok. Igy a megkäot es j oval enyh ebb, ugyanis egy sz}ukebb halmazt ol käovetelik meg, hogy csak a null aban metszheti az L 1 + t ernegyedet 9. Ugyanakkor az angol terminol ogia n emik eppen neh ezkes, ez ert az al abbiakban egyszer}uen nincsen arbitr azs felt etelt fogunk mondani, de mindig az al abbi megkäot esre fogunk gondolni: 1.2 De n ³ci o (Arbitr azsmentess eg). Azt mondjuk, hogy az S szemimarting al eleget tesz az arbitr azsmentess eg felt etel enek 10, ha C \ L 1 + = f0g : A dolgozatban a käovetkez}o all ³t as igazol as at fogjuk bemutatni: 6 VagyisaklasszikusBlack{Scholesmodellbenis. 7 Ugyanis v eges sz amoss ag u lehets eges id}opont eset en a szepar aci oval kapott deriv alt L 1 -beesett, ³gyottadu alist ervoltazl 1 ;käovetkez esk eppena,,prim alis"t ervoltazl 1 t er. Most azonban a,,du alis"t er,vagyisazat er,ahol aszepar al ohipers ³kok,,norm alisai" vannak,leszazl 1 t er. MivelazL 1 nem du alisaazl 1 t ernek,ez ertazal abbiakban egy sortechnikaineh ezs egfogfell epni. 8 Vagy esetleg elhalv anyul o kock azat n elkäul nincsen Äuzlet. Hogy mi ert halv anyul el a kock azat,azk es}obb kifogderäulni. V.Äo.: 2.6lemma. 9 Azalapt etel erdemir eszeamarting alm ert ekl etez es etgarant al oir anyigazol asa. Ennek megfelel}oen min el enyh ebb felt etelek käozäott l etezik a marting alm ert ek, ann al er}osebb a t etel. A Kreps{Yan t etelb}ol egyszer}uen käovetkezik, hogy ha valamely lok alisan korl atos szemimarting alra,,nincsen ingyeneb ed"akkoraszemimarting alhozl etezik ekvivalens lok alis marting al m ert ek. A f}o neh ezs eg,illetveennek käovetkezt eben az igazol ashoz szäuks eges matematikai brav ur teh at abban van, hogy egy igen enyhe krit erium teljesäul ese eset en akarjuk alok alismarting alm ert ek l etez es etindokolni. 10 Mivel t argyal asunkban az 1.2 de n ³ci ot ol elt er}o arbitr azsmentess egi fogalmak nem j atszanak szerepet, esasz oban forg ofogalomratudom asunk szerintmagyarterminol ogia nem l etezik, ez ertaz egyszer}us egkedv e ert haszn aljuk az arbitr azsmentess egfogalm at, nyomat ekosan es ism etelten megjegyezve, hogy az angol,,no arbitrage" kifejez es alatt altal abanac 0\L 0 + =f0gfelt eteltszok as erteni.

12 92 Badics Tam as { Medvegyev P eter 1.3 T etel (P enzäugyi eszkäozäok araz as anak alapt etele). Legyen S egy korl atos val os ert ek}u, valamely P val osz ³n}us egi m ert ek szerinti szemimarting al. Pontosan akkor l etezik a P-vel ekvivalens Q val osz ³n}us egi m ert ek, amelyre n ezve az S marting al, ha az S eleget tesz az arbitr azsmentess eg im ent megfogalmazott felt etel enek. Az el egs egess eg bizony ³t asa: TegyÄuk fel, hogy az S folyamat a Q ekvivalens val osz ³n}us egi m ert ek szerint lok alis marting al. Legyen H egy tetsz}oleges, a P val osz ³n}us egi m ert ek szerint megengedett integrandus. Ekkor a H ² S integr al a Q szerint is l etezik, es a k et integr al megkäuläonbäoztethetetlen 11. Erdemes hangs ulyozni, hogy az integr al a Q alatt is csak szemimarting al ertelemben l etezik, b ar az S a Q alatt lok alis marting al. Term eszetesen a H folyamat a Q szerint is megengedett. Az al abb ismertetett Ansel{ Stricker t etel 12 alapj an a H ² S az alulr ol val o korl atoss ag miatt szupermarting al 13. Ez ert tetsz}oleges t-re E Q ((H ² S) t ) E Q ((H ² S) 0 ) = 0: A nemnegat ³v szupermarting alok 14 konvergencia t etele miatt a (H ² S) 1 ert ek l etezik. Ugyancsak az alulr ol val o korl atoss ag miatt alkalmazhat o a Fatoulemma, ami alapj an ³ E Q ((H ² S) 1 ) = E Q lim (H ² S) t t liminf E Q ((H ² S) t ) 0 : Mivel ez minden megengedett H integrandusra igaz, ez ert minden f 2 C 0 eset en E Q (f) 0. Vagyis C 0 \ L 0 + = f0g: Meg kell m eg n ezni, hogy mi täort enik a lez ar assal. Legyen most g 2 C \ L 1 +. Ekkor l etezik C-beli (g n ) L sorozat, amelyre g 1 n! g: Az L 1 konvergenci ab ol käovetkezik a v arhat o ert ekek konvergenci aja 15, ³gy E Q (g) 0. Ebb}ol a g 0 miatt majdnem mindenhol ertelemben g = 0; vagyis C \L 1 + = f0g a Q m ert ek eset en. Mivel a k et m ert ek szerintinullhalmazok megegyeznek, ez ert azarbitr azsmentess eg az eredeti P m ert ek szerint is teljesäul. 2 A neh ezs eg az all ³t as megford ³t as anak igazol asban rejlik. A technikai probl em akat a käovetkez}o all ³t asban foglaljuk Äossze: 1.4 T etel (El}ore hozott all ³t as). Ha az S egy korl atos szemimarting al, amely eleget tesz az arbitr azsmentess eg felt etel enek, akkor a C k up ¾(L 1 ;L 1 )- z art r esze az L 1 t ernek. A szäuks egess eg bizony ³t asa: TegyÄuk fel, hogy az S folyamat eleget tesz az arbitr azsmentess eg felt etel enek. Ekkor m eg ink abb a C\L 1 + = f0g is teljesäul, 11 L asd: Medvegyev [2007a]: Proposition4.59. Ak etm ert ek ekvivalens, ³gy mindak et m ert ek szerint megkäuläonbäoztethetetlenek. 12 V.Äo.: 2.11 t etel. Az Ansel{Stricker t etel azt all ³tja, hogy az alulr ol val o korl atoss ag miatt a sztochasztikus integr al lok alis marting al. Erre az ert kell hivatkozni, mert H²S integr alcsak szemimarting al ertelemben l etezik, ³gy nem leszautomatikusan lok alis marting al. 13 Medvegyev[2007a]: Proposition Eml ekeztetäunk, hogy egy H strat egiade n ³ci o szerint akkormegengedett, ha a sztochasztikusintegr alalulr olkorl atos. 15 Ugyanisam ert ekv eges. t

13 A p enzäugyi eszkäozäok araz as anak alapt etele es L 1 µ C: TegyÄuk fel, hogy bel attuk 16 az el}ore hozott all ³t ast. Ekkor a C de n ³ci oja miatt teljesäulnek a m ar eml ³tett es al abb pontosan id ezett Kreps{ Yan t etel felt etelei. Igy l etezik egy a P-vel ekvivalens Q val osz ³n}us egi m ert ek, hogy minden f 2 C eset en E Q (f) 0: Legyenek s < t tetsz}oleges id}opontok. Mivel az S korl atos 17, ez ert tetsz}oleges val os sz amra es B 2 F s halmazra  B Â((s; t)) ² S = (S t S s ) B 2 C ; vagyis E Q ( (S t S s ) B ) 0. Mivel ez minden -ra teljesäul, ez ert E Q ((S t S s ) B ) = 0 : (1) Az S felt etelezett korl atoss aga miatt integr alhat o. Ez ert az (1) felt etel pontosan azt jelenti, hogy az S folyamat a Q val osz ³n}us egi m ert ek szerint marting al. 2 A bemutatott gondolatmenetb}ol evidens, hogy a C k up ¾(L 1 ; L 1 ) z arts ag anak igazol asa jelenti a f}o probl em at. A dolgozat h atralev}o r esz et ennek igazol as anak fogjuk szentelni. Az el}oz}o all ³t as egyszer}u käovetkezm enye a käovetkez}o: 1.5 KÄovetkezm eny. Legyen S egy lok alisan korl atos, val os ert ek}u szemimarting al a P val osz ³n}us egi m ert ek szerint. Pontosan akkor l etezik a P-vel ekvivalens Q val osz ³n}us egi m ert ek, amelyre n ezve az S lok alis marting al, ha az S eleget tesz az arbitr azsmentess eg fenti felt etel enek. Bizony ³t as. Az egyszer}us eg kedv e ert tegyäuk fel, hogy S (0) =0: TegyÄuk fel, hogy az S eleget tesz az arbitr azsmentess eg felt etel enek. Mivel az S lok alisan korl atos, l eteznek a n 1 val os sz amok es n % 1 meg all asi id}ok, hogy js n j < a n. A Â(( k ; k+1 ]) folyamatok adapt altak es balr ol folytonosak, ³gy el}orejelezhet}oek. Legyen 0 ± = 0: Az Y k ± = Â(( k ; k+1 ]) ² S = S k+1 S k kifejez es egy korl atos szemimarting al, ugyanis kisebb, mint a k + a k+1 : Ha c k ± = 2 k a k + a k+1 ; akkor az es = ± P 1 c k Y k m odon de ni alt folyamat korl atos, ugyanis jesj 2: k=0 Tetsz}oleges n-re az n 1 X es n = c k Y k k=0 egy szemimarting al, vagyis az es meg all ³t asai mind szemimarting alok, ³gy az es is egy szemimarting al. Megmutatjuk, hogy az e S-hoz tartoz o e C 0 k up r esze 16 Term eszetesen,mik entl atnifogjuk, eppen ezabizony ³t as erdemir esze! 17 VegyÄuk eszre, hogy a korl atoss agra szäuks eg van, ugyanis a szepar aci on al a,,prim al" t erazl 1 :

14 94 Badics Tam as { Medvegyev P eter az S-hez tartoz o C 0 k upnak. Ehhez elegend}o megmutatni, hogy az es-hoz tartoz o e K 0 r esze a K 0 -nak. Legyen H megengedett az e S-ra n ezve, es tegyäuk fel, hogy a (H ² e S) 1 l etezik. Ã! (H ² S)( e n ) = (H ² S) e n 1 = (H ² S e n 1 X n ) 1 = H ² c k Y k = ÃÃ n 1 k=0!! X c k HÂ([ k ; k+1 )) ² S ( n ) : k=0 Mivel ha egy folyamat minden lokaliz altja integr alhat o, akkor a folyamat integr alhat o, ez ert käonnyen bel athat o, hogy a Z = ± P 1 c k HÂ([ k ; k+1 )) integr alhat o az S-re n ezve. Az egyenl}os egb}ol az is käovetkezik, hogy a Z megengedett az S-re n ezve. Ha n! 1, akkor a jobb oldalon all o kifejez esnek l etezik hat ar ert eke. Mivel a H ² es alulr ol korl atos, ez ert a Z ² S is alulr ol korl atos, ³gy a hat ar ert ek eleme a K 0 halmaznak, vagyis e K 0 µ K 0 : Mivel a felt etelek szerint az S eleget tesz az arbitr azsmentess eg felt etel enek, ez ert az e S is eleget tesz az arbitr azsmentess eg felt etel enek. Az el}oz}o t etel alapj an l etezik teh at a P-vel ekvivalensq val osz ³n}us egi m ert ek, melyre n ezve az es marting al. Ekkor az es 1 = c 0 S 1 ; es ez ert az S 1 is marting al, amib}ol käovetkezik, hogy az es c 0 S 1 is marting al. A gondolatmenetet megism etelve kapjuk, hogy az S lok alis marting al. A ford ³tott ir any bizony ³t asa a korl atos eset bizony ³t as aval azonos. 2 k=0 1 = 2 N eh any el}ozetes eredm eny Az alapt etel igazol asa sz amos m ely matematikai eredm enyre epäul. El}oszÄor ezeket tekintjäuk at. 2.1 Szepar aci os t etel: a Kreps{Yan t etel Mik ent jeleztäuk, a t etel bizony ³t asa a szepar aci os t etelre epäul. Kiindul ask eppen vezessäunk be n eh any jeläol est: Legyen 1 p 1 es 1 q 1, ahol 1=p + 1=q = 1, es legyen E = ± L p ( ;F;P) valamint F = ± L q ( ; F;P), es tekintsäuk (E;F)-en a szok asos kanonikus biline aris lek epez est, valamint jeläolje E + az ff 2 L p j f 0 m.m.g es E pedig az ff 2 L p j f 0 m.m.g halmazt. Mik ent l attuk, az alapt etel bizony ³t asa a käovetkez}o, kor abban m ar id ezett, bizony ³t as n elkäul käozäolt all ³t asra epäul:

15 A p enzäugyi eszkäozäok araz as anak alapt etele T etel (Kreps{Yan). Legyen C µ E egy ¾(E; F)-z art konvex k up, ami tartalmazza E -t, es tegyäuk fel, hogy C \ E + = f0g : Ekkor l etezik F-en egy az eredetivel ekvivalens Q val osz ³n}us egi m ert ek, amelyre dq dp 2 F, es amelyre teljesäul, hogy minden f 2 C eset en E Q (f) 0: A t etel bizony ³t asa megtal alhat o Delbaen es Schachermayer [2006] käonyv eben, illetve egy speci alis eset enek bizony ³t asa Medvegyev [2006] cikk eben A kompakts agi lemma Mik ent l attuk, az alapt etel bizony ³t asa l enyeg eben egy k up alkalmas topol ogi aban val o z arts ag anak igazol as at jelenti. A konvex anal ³zist ismer}o olvas o sz am ara nem t ul meglep}o, hogy ehhez kompakts agi megfontol asokat fogunk haszn alni. Igen gyakran fogunk hivatkozni a käovetkez}o egyszer}u eszrev etelre: 2.2 Lemma. Ha (f n ) val osz ³n}us egi v altoz ok 19 egy alulr ol korl atos sorozata, akkor l etezik g n 2 convff n ; f n+1 ;...g sorozat, hogy a (g n ) sorozat majdnem biztosan konverg al egy g fäuggv enyhez. A g fäuggv eny felveheti a +1 ert eket is. Bizony ³t as. Az alulr ol val o korl atoss ag miatt feltehet}o, hogy minden n- re f n 0: Elegend}o bel atni, hogy van olyan (g n ), amely sztochasztikusan konverg al egy g-hez. (A majdnem mindenhol val o konvergenci ahoz elegend}o egy r eszsorozatra att erni.) Legyen u(x) ± = 1 exp( x) : Az u szigor uan konk av es korl atos. Legyen s n ± = sup(e (u(g)) j g 2 conv(f n ;f n+1 ;...)) ; es legyen g n 2 conv(f n ;f n+1 ;...) olyan, hogy E(g n ) s n 1 n : Az IR + ± = [0; 1] halmaz a d (x;y) ± = jarctanx arctanyj metrik aval nyilv anval oan teljes metrikus t er. Az (x n ) pontosan akkor Cauchysorozat az IR + ;d t erben, ha minden > 0 sz amhoz l etezik n 0 ; hogy minden m;n n 0 eset en vagy jx n x m j vagy min(x n ;x m ) 1 : 18 Erdemeshangs ulyozni, hogy az altal anosesetbizony ³t asaszintesz oszerintazonos a cikkben käozäoltspeci alisesetindokl as aval. 19 Eml ekeztetäunk,hogy aval osz ³n}us egiv altoz ok de n ³ci oszerintnem vehetik fela v egtelen ert eket.

16 96 Badics Tam as { Medvegyev P eter Az u tulajdons agai alapj an tetsz}oleges > 0 sz amhoz tal alhat o olyan ; hogy µ x + y u > u(x) u(y) + ; valah anyszor az (x; y) eleme a V ± = (x; y) j jx yj es min(x;y) 1ª halmaznak. (A min(x; y) 1 felt etel miatt a V kompakt, es a folytonos µ x + y u u(x) 1 2 u(y) 0 fäuggv eny felveszi a minimum at. Mivel az u szigor uan konk av, ez ert ha x 6= y, akkor a fenti egyenl}otlens eg szigor u, ³gy a minimum is pozit ³v. A sz amnak vehetjäuk a minimum fel et.) A sztochasztikus konvergencia igazol as ahoz elegend}o bel atni, hogy a (g n ) Cauchy-sorozat a sztochasztikus konvergenci aban, vagyis elegend}o bel atni, hogy tetsz}oleges > 0 eset en lim n;m!1 P jg n g m j ; min(x;y) 1 = 0 : Tetsz}oleges es hozz a tartoz o eset en µ µ gn + g m E u E (u(g n)) E(u(g m))+ + P jg n g m j ; min(x; y) 1 ; ugyanis trivi alisan a de n ³ci oja miatt µ gn + g m u u(g n) u(g m) + Â V (g n ; g m ) : De n ³ci o szerint, ha n m; akkor µ µ gn + g m bfe u s n ; s m s n : 2 Igy a konstrukci o szerint P jg n g m j ; min(x; y) 1 µ µ gn + g m E u E(u(g n)) 1 2 E(u(g m)) s n 1 µ s n 1 1 µ s m 1 = 2 n 2 m 1 2 (s n s m ) + 1 µ 1 2 n + 1 : m

17 A p enzäugyi eszkäozäok araz as anak alapt etele Az (s n ) alulr ol korl atos es csäokken}o, ³gy Cauchy-sorozat. Igy ha n; m! 1, akkor, mivel > 0, P jg n g m j ; min(x;y) 1! 0 : Term eszetesen a g felvehet v egtelen ert eket is! A kompakts agi elv erdemi r esze ennek a kiz ar asa: 2.3 Lemma. Ha az el}oz}o lemm aban a conv((f n )) korl atos az L 0 t erben, akkor a g majdnem mindenhol v eges. Bizony ³t as. Ha conv((f n )) korl atos az L 0 t erben, akkor minden " > 0 m.m. eset en van olyan N; hogy P (jg n j N) ". Mivel g n! g, a Fatou-lemma miatt P(jgj N) " ; ³gy majdnem mindenhol g <1. 2 Miel}ott tov abb menn enk, a lemma tartalm anak jobb megvil ag ³t asa c elj ab ol erdemes megeml ³teni a käovetkez}o p eld at: 2.4 P elda. Ha p 1 es az (f n ) µ L p egy korl atos sorozat, akkor l etezik g n 2 conv(f n ; f n+1 ;...) ; amely majdnem mindenhol konverg al egy g 2 L p fäuggv enyhez. Ha p > 1; akkor a konvergencia az L 1 t erben is teljesäul. Az L p korl atoss agb ol a Csebisev-egyenl}otlens eg miatt käovetkezik az L 0 korl atoss ag, ³gy a g hat ar ert ek l etezik. EgyedÄul azt kell megmutatni, hogy a hat ar ert ek is eleme az L p t ernek. TegyÄuk fel, hogy minden n-re kf n k p k. Nyilv an a kg n k p k is teljesäul. A Fatou-lemma miatt E(jgj p ) = E limjgj p n n liminf E(jg n j p ) k p : n Az all ³t as m asodik r esze käovetkezik abb ol, hogy ha p > 1; akkor a korl atos sorozatok egyenletesen integr alhat oak. 2 Mik ent a kompakts agi lemma haszn alata sor an gondot jelenthet, hogy a (g n ) bizonyos pontokban v egtelenhez tarthat, ugyancsak gondot jelenthet az is, hogy a,,pozit ³v" pontok hat ar ert eke esetleg nulla lesz. Ezt z arja ki a käovetkez}o eszrev etel: 2.5 Lemma. Ha a lemm aban f n 0, es l etezik > 0 es ± > 0, hogy minden n-re P(f n > ) > ±, akkor van olyan, amely csak a ± es az sz amokt ol fäugg, hogy P(g > ) > 0 ; pontosabban P g > ±(1 e ) > 0 : 2

18 98 Badics Tam as { Medvegyev P eter Bizony ³t as. P (f n > ) > ± minden n-re, ez ert az u monoton näoveked}o volta es az f n 0 miatt E(u(f n )) ±u( ). Mivel a g n az f n fäuggv enyek konvex kombin aci oja, ez ert az u konkavit asa miatt à Ã!! X E (u(g n )) = E u if i X ie (u(f i )) X i±u( ) = ±u( ) : i i A major alt konvergencia t etel miatt E (u(g)) ±u( ) = ± (1 e ). Mivel ha x > 0, akkor u(x) < x, ez ert ha az egyenl}otlens eg nem teljesäul, akkor E(u(g)) u ± 1 e < ± 1 e lenne, ami lehetetlen. 2 A kompakts agi megfontol asok sz amtalan alkalmaz asa käozäul p eldak ent tekintsäuk a käovetkez}ot: TegyÄuk fel, hogy m ar bel attuk, hogy az arbitr azsmentess eg teljesäul ese eset en a megengedett folyamatok integr alj anak l etezik a v egtelenben vett hat ar ert eke 20. A käovetkez}o lemma val oj aban azt magyar azza, hogy mi ert,,halv anyul el" a kock azat. 2.6 Lemma. Egy S szemimarting al pontosan akkor el eg ³ti ki az arbitr azsmentess eg felt etel et, ha minden K 0 -beli (g k ) sorozatra a lim k!1 g k 1 = 0 felt etelb}ol käovetkezik, hogy P! 0 : g k Bizony ³t as. Legyen (g k ) egy K 0 -beli sorozat, amelyre lim k!1 g k 1 = P 0. TegyÄuk fel, hogy az all ³t asunkkal ellent etben a g k! 0 nem teljesäul. Ekkor l etezik ± > 0 es 1 > > 0, valamint egy (g kn ) r eszsorozat, hogy ± minden n-re P(g kn > ) > ±. A d ³jtalan lomtalan ³t as felt etele miatt az f n = minfg kn ; 1g fäuggv enyek C-ben vannak, es P (f n > ) > ±. Mivel az (f n ) sorozat nyilv an alulr ol korl atos, ez ert a kompakts agi lemma alapj an l etezik egy (l n ) sorozat, ahol l n 2 convff n ; f n+1 ;...g, amely majdnem biztosan konverg al egy l fäuggv enyhez. A lim n!1 kf n k 1 = 0 felt etel miatt a sorozat als o korl atj anak v alaszthat o tetsz}oleges 1=m konstans, ³gy µ P l > ±(1 e ) 1 > 0 : 2 m Mivel ez minden m-re igaz, ez ert a P(l > 0) > 0 is igaz, valamint abb ol, hogy az l minden m-re 1 m ; 1 -beli ert ekeket vesz fel, käovetkezik, hogy l 0. Legyen ±= P(l > 0). Ekkor Jegorov t etele miatt 21 l n! l egy legal abb 1 2 val osz ³n}us eg}u 0 halmazon egyenletesen. A d ³jtalan lomtalan ³t as felt etele ± miatt a h n = minfln ;  0g fäuggv enyek C-ben vannak, es h n! lâ 0 az L 1 norm aja szerint, vagyis lâ 0 2 C. Ez pedig a P(l 0 > 0) 2 > 0 miatt ellentmond asban all az arbitr azsmentess eg feltev es evel. Megford ³tva, tegyäuk 20 V.Äo.: 3.1 all ³t as. 21 Medvegyev[2002]: 3.3 All ³t as. i

19 A p enzäugyi eszkäozäok araz as anak alapt etele fel, hogy a felt etel teljesäul. Legyen f ± n = g n l n 2 C es az L 1 t erben f n! f 0: Ekkor a g n (g n l n )! 0; ³gy g n! 0 sztochasztikusan. De nyilv an f n = g n l n g n ; teh at f = 0; ³gy az arbitr azsmentess eg felt etele teljesäul. 2 Alemma alapj an az arbitr azsmentess eg käozgazdas agi interpret aci oja teljesen evidens. Az arbitr azsmentess eg felt etele pontosan azt jelenti, hogy ha a kock azat egyenletesen null ahoz tart 22, akkor annak a val osz ³n}us ege, hogy tetsz}oleges " > 0 sz amn al täobbet tudunk keresni, null ahoz tart. 2.3 Az L 0 korl atos es z art r eszhalmazainak van maxim alis eleme 2.7 Lemma. Ha az alapt er m ert eke v eges, akkor L 0 minden korl atos es z art r eszhalmaza tartalmaz maxim alis elemet. A lemma elemi käovetkezm enye a käovetkez}o lemm anak 23 : 2.8 Lemma. Legyen X egy teljes metrikus t er, es legyen ¹ egy folytonos, re ex ³v es tranzit ³v parci alis rendez es az X t eren. Ha minden az ¹ szerint monoton näoveked}o (x k ) sorozatra d (x k ; x k+1 )! 0; akkor az (X; ¹) rendezett t erben van maxim alis elem. Az els}o lemma bizony ³t asa. Az L 0 t er teljes metrikus t er, ³gy ha K z art, akkor a K is teljes metrikus t er. Ha» n n es» n!» es n! a K t erben, vagyis sztochasztikusan, akkor van olyan r eszsorozatuk, ahol a konvergencia majdnem mindenhol teljesäul, ³gy nyilv an» ; vagyis a rendez es folytonos. Meg kell mutatni, hogy ha» n» n+1 ; akkor d (» n ;» n+1 )! 0. Mivel a (» n (!)) sorozatok monoton n}onek, ez ert alkalmas»-re a» n %» kimenetelenk ent. Mivel a felt etelek szerint a m ert ekt er v eges, ez ert a majdnem mindenhol val o konvergenci ab ol käovetkezik a sztochasztikus konvergencia, ³gy» n!» az L 0 t er konvergenci aj aban, felt eve ha» 2 L 0 ; vagyis ha a» majdnem mindenhol v eges. TegyÄuk fel, hogy " = ± ¹(» = 1) > 0: A K felt etelezett korl atoss aga miatt van olyan N, hogy minden n-re A Fatou-lemma miatt " ¹(j»j N) = ¹ µ ¹ j» n j N 2 " 2 : ³ limj» n j N = n 22 Ez ert,,halv anyodik"elakock azat. 23 Az all ³t as a Zorn-lemma seg ³ts eg evel käonnyen igazolhat o: Ha (f ) egy l anc, vagyis egy line arisan rendezett r eszhalmaz,akkoraz (f ) halmaznak azalapt er v egess egemiatt l etezik l enyeges szupr emuma. A l enyeges szupr emum egy fels}o korl at, amely a halmaz korl atoss agamiattmajdnemmindenholv eges, esaz arts agmiattelemeahalmaznak. Igy a Zorn-lemma miatt van maxim alis elem. Az al abbi gondolatmenet l enyege,hogy nem kell hivatkozniazorn-lemm ara,amelyet eppen alemmahelyettes ³t.

20 100 Badics Tam as { Medvegyev P eter = Z X liminf n  fjxj Ng ³lim j» n j d¹ n Z X  fjxj N=2g (j» n j)d¹ = lim inf ¹ n Z X limâ fjxj N=2g (j» n j)d¹ n µ j» n j N " 2 2 ; ami lehetetlen. 2 A m asodik lemma bizony ³t asa. De ni aljuk a (x) ± = fy j y º xg halmaz ert ek}u lek epez est. A käovetkez}o tulajdons agaitrivi alisan teljesäulnek: 1. (x) minden x-re z art, ugyanis a rendez es folytonos, 2. x 2 (x), ugyanis a rendez es re ex ³v, 3. x 2 2 (x 1 ) implik alja a (x 2 ) µ (x 1 ) tartalmaz ast, ugyanis a rendez es tranzit ³v, 4. ha x k+1 2 (x k ), akkor d(x k ; x k+1 )! 0: A maxim alis elem l etez es ehez el eg megmutatni, hogy van olyan x pont, hogy (x) = fxg. Nyilv an a d metrika helyett vehetjäuk a d= (1 + d) metrik at is, ³gy feltehet}o, hogy a d metrika korl atos. Valamely A halmaz eset en jeläolje ± (A) az A atm er}oj et. A metrika felt etelezett korl atoss aga miatt ± (A) < 1: A 2. miatt a (x) soha sem Äures, ³gy egy tetsz}oleges x 0 -b ol kiindulva megkonstru alhatjuk az x k+1 2 (x k ) d (x k+1 ; x k ) ± ( (x k ))=2 1=2 k 1 iter aci ot. A 3. miatt (x k+1 ) µ (x k ) es a 4. miatt ± ( (x k ))! 0: Az X felt etelezett teljess ege miatt az ( (x k )) halmazok egyetlen x pontra h uz odnak Äossze. Nyilv an x 2 (x n ) es ez ert (x) µ \ n (x n ) = fxg ; amib}ol a lemma m ar trivi alis Gyenge* topol ogia es a sztochasztikus konvergencia Az al abbiakban tekintsäuk a (L 1 ;L 1 ) du alis p art a h»; i ± = E (» ) kanonikus dualit assal, es a tov abbiakban jeläoljäuk B 1 -nel az L 1 t er z art egys eggäombj et. El}oszÄor eml ekeztetäunk a käovetkez}o nevezetes t etelre 24 : 2.9 T etel (Krein{ Smulian). Legyen E egy Banach-t er, es jeläoljäuk E 0 -vel az E du alis at, valamint B 0 -vel a du alis t er egys eggäombj et. Ekkor egy C µ E 0 konvex halmaz pontosan akkor ¾(E 0 ; E)-z art, ha minden pozit ³v sz amra a B 0 \ C halmaz ¾(E 0 ; E)-z art. 24 Dunford{Schwartz[1958],429oldal.

21 A p enzäugyi eszkäozäok araz as anak alapt etele A t etel egyszer}u käovetkezm enye, hogy egy E 0 -beli C konvex k up pontosan akkor ¾(E 0 ; E)-z art, ha a B 0 \C halmaz ¾(E 0 ; E)-z art. A ¾(L 1 ; L 1 ) gyenge* z arts ag egy nehezen ellen}orizhet}o felt etel. Ez ert rendk ³vÄulfontosa käovetkez}o: 2.10 All ³t as. Az L 1 ( ; F;P) t er C konvex k upja pontosan akkor ¾(L 1 ;L 1 )- z art, ha a C \ B 1 metszet z art a sztochasztikus konvergenci ara n ezve. Bizony ³t as. A Krein{ Smulian-t etel k upokra kimondott fenti alakja alapj an el eg annyit bizony ³tani, hogy C \ B 1 pontosan akkor ¾(L 1 ; L 1 )-z art, ha a C \ B 1 z art a sztochasztikus konvergenci ara n ezve. 1. L assuk be hogy ha a C \ B 1 halmaz ¾(L 1 ; L 1 )-z art, akkor a C \ B 1 z art a sztochasztikus konvergenci ara n ezve. TegyÄuk fel, hogy az (f n ) sorozat, ahol f n 2 C \B 1, sztochasztikusan konverg al egy f 0 2 L 1 -hez. Az altal anoss ag megszor ³t asa n elkäul feltehet}o, hogy f n! f 0 m.m., amib}ol a domin ans konvergencia t etel alapj an vagyis minden g 2 L 1 eset en lim n!1 E(f ng) = E(f 0 g) ; lim n!1 E((f n f 0 )g) = 0 : Eml ekeztetäunk, hogy a ¾(L 1 ;L 1 ) topol ogia azonos az L 1 v eges r eszhalmazainak S halmaz ab ol sz armaz o dualit as altal meghat arozott L 1 feletti topol ogi aval, melynek 0 käoräuli käornyezetb azis at az U(S;") ± = fx 2 L 1 j 8y 2 S : je(xy)j "g alak u halmazok alkotj ak, ahol (S; ") befutja az S IR + halmazt. Mivel lim n!1 E ((f n f 0 )g) = 0 minden g 2 L 1 -re, ez ert ha S ± = fgg valamely g 2 L 1 -re, akkor tetsz}oleges " eset en el eg nagy n-re f n f 0 2 U(S;"), es hasonl ok eppen ugyanez minden S ± = fg i g i k v eges elemsz am u halmaz eset en, vagyis az S minden elem ere is teljesäul. Mivel az U(S;") alak u halmazok a ¾(L 1 ;L 1 ) topol ogia szerint a 0-nak käornyezetb azis at alkotj ak, ezzel bel attuk, hogy f n! f 0 a ¾(L 1 ;L 1 ) topol ogia szerint. Mivel a feltev es szerint a C \ B 1 halmaz ¾(L 1 ;L 1 )-z art, ez ert f 0 2 C \ B 1, vagyis a C \ B 1 z art a sztochasztikus konvergenci ara n ezve. 2. Most l assuk be, hogy ha a C konvex k upra a C \ B 1 halmaz z art a sztochasztikus konvergenci ara n ezve, akkor a C \ B 1 egy uttal ¾(L 1 ;L 1 )- z art. Legyen g 0 2 L 1 eleme C \ B 1 halmaz L 1 -beli lez artj anak az L 1 - norma topol ogia szerint. Ekkor l etezik (g n ) sorozat C \ B 1 -b}ol, melyre P g n! g 0 a norma topol ogia szerint, amib}ol g n! g0, ez viszont a sztochasztikus z arts ag miatt azt jelenti, hogy g 0 2 C \ B 1, vagyis C \ B 1 z art L 1 -ben a norma topol ogia szerint. TekintsÄuk a (L 1 ; L 1 ) du alis p art

22 102 Badics Tam as { Medvegyev P eter az h»; i = E(» ) kanonikus dualit assal. Mivel az (L 1 ; k k 1 ) lok alisan konvex Hausdor -topologikus vektort er, es a C \ B 1 konvex, ez ert a norma z arts agb ol käovetkezik a ¾(L 1 ;L 1 ) z arts ag 25. A lesz}uk ³tett topol ogia de n ³ci oja alapj an a C \ B 1 halmaz z art ¾(L 1 ; L 1 ) topol ogia L 1 -re vonatkoz o lesz}uk ³t es ere n ezve 26. MegjegyezzÄuk, hogy a ¾(L 1 ; L 1 ) topol ogia lesz}uk ³t ese az L 1 -t eren durv abb, mint ¾(L 1 ; L 1 ): Ennek igazol as ahoz elegend}o a käornyezetb azisokat fel ³rni es felhaszn alni, hogy ha egy X t eren valamely A csal ad altal gener alt legsz}ukebb topol ogia, akkor az A csal ad lesz}uk ³t ese egy Y µ X halmazra eppen a Y -ra val o lesz}uk ³t es et gener alja. Igy teh at, mivel a C \B 1 halmaz z art az L 1 -ben az ¾(L 1 ;L 1 ) lesz}uk ³t es ere vonatkoz olag, a ¾(L 1 ; L 1 ) egy a ¾(L 1 ; L 1 ) lesz}uk ³t es en el nomabb topol ogia, ez ert a C\B 1 halmaz ¾(L 1 ; L 1 )-z art Mikor lesz egy sztochasztikus integr al lok alis marting al Mik ent m ar jeleztäuk, sztochasztikus integr alon mindig szemimarting al ertelemben vett integr alt ertäunk. Eppen ez ert a lok alis marting alok szerint vett sztochasztikus integr alok nem lesznek automatikusan lok alis marting alok. Ezen seg ³t a käovetkez}o all ³t as: 2.11 T etel (Ansel{Stricker). Legyen M egy lok alis marting al, es tegyäuk fel, hogy a H el}orejelezhet}o sztochasztikus folyamat szemimarting al ertelemben integr alhat o az M szerint. Ha a H strat egia megengedett, vagyis egy u val os sz amra, minden t 0-ra (H ²M) t u; akkor a H ² M lok alis marting al A sztochasztikus anal ³zis n eh any tov abbi t etele Ebben az alpontban a käonnyebb käovethet}os eg erdek eben n eh any k es}obb felhaszn al asra keräul}o t etelt id ezäunk. Ezek megtal alhat oak Medvegyev [2007a, 25 Rudin [1973], Theorem 3.12, vagy gyelembe v eve, hogy az L 1 t er lok alisan konvex Hausdor -t er, felhaszn alhatjuk a Hahn{Banach-t etelnek azt az { el}obbin el altal anosabb { käovetkezm eny et, hogy egy konvex halmazdualit assal kompatibilis topol ogi ak szerintilez artjaugyanazahalmaz. Ld.: Krist ofj anos: Azanal ³ziselemei IV (lel}ohely: 26 Ha valamely z 2L 1 elem nincsen bennea halmazban, akkormivelegy uttalz2l 1 ; vanolyankäornyezetea¾(l 1 ;L 1 )-ben,amelynemmetszbeleahalmazba. Nyilv anennek a käornyezetnek a lesz}uk ³t ese az L 1 -re sem metsz bele, vagyis a halmaz komplementere ny ³lt. 27 Egy m asik gondolatmenet a käovetkez}o: Ha a halmaz z art a sztochasztikus konvergenci aban, akkor z art az L 2 ( ) t erben is, ugyanis az L 2 -konvergens sorozatoknak van majdnem mindenhol, ³gy a m ert ek v egess ege miatt sztochasztikusan is konvergens r eszsorozata. Mivela halmazkonvex,ez erta z art es agyeng en z art halmazok egybeesnek, ³gyahalmaz¾(L 2 ;L 2 )z art. Demivelahalmazr eszeazl 1 z artegys eggäombj enek,ez ert ¾(L 1 ;L 2 ) z art, ugyanis ha egy L 1 -b}ol vett elem nem lenne benne az L 2 altal gener alt topol ogiaszerintilez artban,akkoram ert ekv egess egemiattazl 2 -bensemlennebennea lez artban. Deism eteltenam ert ekv egess egemiattl 2 µl 1 ; ³gya¾(L 1 ;L 1 )topol ogi aban täobb a ny ³lt halmaz, mint a ¾(L 1 ;L 2 ) topol ogi aban, ³gy täobb a z art halmaz is, teh at a halmaz¾(l 1 ;L 1 )z art. 28 At etelkäuläonf elealakjaimegtal alhat ok: Emery[1979],valamintAnsel{Stricker[1994]- ben,ld. m eg: Medvegyev[2007b].

23 A p enzäugyi eszkäozäok araz as anak alapt etele b]-ben T etel (Speci alis szemimarting alok sztochasztikus integr al asa). LegyenX egy speci alis szemimarting al, amelynek kanonikus felbont asa legyen X = X (0) + M + A. Ha a H folyamat X-integr alhat o, akkor a H ² X szemimarting alpontosan akkor speci alis szemimarting al, ha a H lok alis marting al ertelemben M-integr alhat o, es a H Lebesgue{Stieltjes ertelemben A- integr alhat o. Ebben az esetben a H ² X kanonikus felbont asa H ² X = H ² M + H ² A T etel (Korl atos v altoz as u folyamat Hahn-felbont asa). Legyen A egy v eges v altoz as u el}orejelezhet}o folyamat, amelyre A 0 = 0. Ekkor l eteznek a diszjunkt es el}orejelezhet}o B + es B halmazok, amelyek uni oja az IR + halmaz, es amelyekre teljesäul, hogy a  B+ ² A es a  B ² A folyamatok näovekv}oek, es 29 Var(A) =   B+ B ² A : 2.7 A szemimarting al topol ogia es M emin t etele A szemimarting alok ter enek topol ogiz al asa t avolr ol sem egyszer}u feladat. Ennek oka, hogy m eg a trajekt ori ak egyenletes konvergenci aja sem biztos ³tja, hogy szemimarting alok hat ar ert eke szemimarting al maradjon. P eldak ent erdemes a käovetkez}ore gondolni: egy determinisztikus folyamat pontosan akkor szemimarting al, ha korl atos v altoz as u. Eml ekeztetäunk, hogy a mindenhol folytonos, desehol sem deriv alhat o fäuggv eny konstrukci oja sor an egy nem korl atos v altoz as u fäuggv enyt korl atos v altoz as u fäuggv enyek 30 egyenletesen konvergenshat ar ert ekek ent all ³tunk el}o. Akorl atos v altoz as u fäuggv enyek azonos ³that ok a m ert ekekkel 31. A v eges m ert ekek käor eben a term eszetes norma a teljes megv altoz as. Ha ¹ egy v eges m ert ek, akkor k¹k = ± X Z sup j¹(a i )j = sup K d¹ ; (A i) jkj 1 i ahol az els}o szupr emumot az alaphalmaz Äosszes legfeljebb megsz aml alhat o elemb}ol all o m erhet}o part ³ci oj an kell venni. A m asodik egyenl}os eg vil agos, es term eszetesen a szupr emumot az egyn el nem nagyobb abszol ut ert ekkel rendelkez}o m erhet}o fäuggv enyek szerint kell venni. Ebb}ol käovetkez}oen az IR + f elegyenesen ertelmezett v eges megv altoz as u fäuggv enyek 32 käor eben a term eszetes topol ogi at a Z kv k ± n n = jv (0)j + sup K dv ±= jv (0)j + sup j(k ² V ) n j jkj 1 jkj Medvegyev[2007b]: Theorem26bizony ³t as anak 2.pontja. 30 Line aristäortfäuggv enyek! 31 Pontosabban csak egy konstans ert ekt}ol eltekintve azonos ³that ok a m ert ekekkel. Az IR + f elegyenesenanullapontbannulla ert eketfelvev}okorl atosv altoz as ufäuggv enyek azonos ³that ok a v eges m ert ekekkel. Ez ert szäuks eges aszemimarting al topol ogia de n ³ci oj aban azs(0)k(0)szerepeltet ese. 32 Vagyis az olyan fäuggv enyek, amelyek megv altoz asa minden kompakt intervallumon v eges.

24 104 Badics Tam as { Medvegyev P eter f elnorm akkal erdemes de ni alni. Ha V v eges megv altoz as u trajekt ori akkal rendelkez}o folyamat, akkor a topol ogi at erdemes a trajekt ori ak altal de ni alt m ert ekekhez rendelt f elnorm ak altal alkotott val osz ³n}us egi v altoz ok sztochasztikus konvergenci aj aval de ni alni. Eml ekeztetäunk, hogy val osz ³n}us egi v altoz ok egy (» n ) sorozata pontosan akkor tart sztochasztikusan null ahoz, ha E(j» n j ^ 1)! 0. A szemimarting al topol ogia a teljes megv altoz as altal de ni alt topol ogi at altal anos ³tja: 2.14 De n ³ci o. A szemimarting alok ter en az ksk S ± = 1 X n=1 2 n sup E(jK (0)S (0) + (K ² S) n j ^ 1) jkj 1 kv azinorma altal gener alt topol ogi at szemimarting al topol ogi anak nevezzäuk T etel (Aszemimarting al topol ogia jellemz ese). Szemimarting alok egy S k sorozata pontosan akkor konverg al a 0-hoz a szemimarting al topol ogia szerint, ha minden t-re S k (0)! P S (0) es K ² S k P! 0 a K-ban egyenletesen, ahol a K befutja az Äosszes jkj 1 el}orejelezhet}o t folyamatot. Az alapt etel igazol asa sor an kiemelked}oen fontos szerepet fog j atszani a käovetkez}o t etel: 2.16 T etel (M emin). Ha S jeläoli a szemimarting alok halmaz at, akkor egy räogz ³tett szemimarting al szerinti sztochasztikus integr alk ent fel ³rhat o szemimarting alok az (S; k k S ) kv azi-norm alt t er z art alter et alkotj ak M emin t etel ere val o visszavezet es Most t erjäunk r a az alapt etel bizony ³t as ara. A bizony ³t as els}o l ep esek ent az alapt etel bizony ³t as at visszavezetjäuk M emin t etel ere. 3.1 A sztochasztikus integr alok ert ek enek kiterjeszt ese a v egtelenbe El}oszÄor l assuk be a käovetkez}o, m ar täobbszäor hivatkozott all ³t ast: 3.1 All ³t as. Ha az S kiel eg ³ti az arbitr azsmentess eg felt etel et, es ha a H egy megengedett strat egia, akkor a (H ² S) 1 l etezik es v eges. Bizony ³t as. Term eszetesen az all ³t as nyilv anval o lenne, ha m ar tudn ank az alapt etelt, ugyanis akkor a H ² S egy alulr ol korl atos lok alis marting al lenne a Q alatt, es ³gy egy uttal egy alulr ol korl atos szupermarting al is lenne a Q alatt, es a nem negat ³v szupermarting alok konvergencia t etel eb}ol m ar käovetkezne az all ³t as. Ennek f eny eben nem t ul meglep}o, hogy a bizony ³t as eml ekeztet a nem negat ³v szupermarting alok konvergenci aj anak igazol as ara. VegyÄunk teh at tetsz}oleges < sz amokat. Megmutatjuk, hogy az olyan 33 V.Äo.: M emin [1980].

25 A p enzäugyi eszkäozäok araz as anak alapt etele kimenetelek halmaza, amelyre a H ² S v egtelen sokszor alulr ol atmetszi a [ ; ] szakaszt, nulla val osz ³n}us eg}u. De ni aljuk a ¾ 0 ± = 0 ± = 0 meg all asi id}okb}ol kiindulva a ¾ n ± = inf ft n 1 : (H ² S) t g n ± = inf ft ¾n : (H ² S) t g meg all asi id}oket. A szok asos m odon, ha az in mum mäogäotti halmaz Äures, akkor de ni aljuk az in mum ert ek et +1-nek. A (¾ n ; n ] intervallumokon a H ² S alulr ol atmetszi a [ ; ] szakaszt. Legyen K ± = HÂ([ n (¾ n ; n ]) : A Â([ n (¾ n ; n ]) folyamat balr ol folytonos es adapt alt, teh at el}orejelezhet}o, ³gy a K is el}orejelezhet}o. A H ² S megengedett, ³gy alulr ol korl atos egy u sz ammal. Vil agos, hogy ez a tulajdons aga a K ² S-nek is megmarad. Ugyanakkor nyilv anval oan, ha valamely kimenetelre ¾ n < n < 1; akkor erre a kimenetelre HÂ((¾ n ; n ]) ² S > 0 ; käovetkez esk eppen ha valamely kimenetelre n < 1 minden n-re, vagyis ha valamely kimenetelre v egtelen sok atmetsz es van, akkor lim (K ² S)( n) = 1 : n!1 TegyÄuk fel, hogy ez egy pozit ³v val osz ³n}us eg}u C halmazon teljesäul. A C komplementer en nem tudjuk, mik ent viselkedik a K²S, ³gy be kell vezetnäunk egy (t n ) id}opontsorozatot es a n meg all asi id}o helyett a n ^ t n korl atos meg all asi id}oket kell tekinteni. De ni aljuk a K n ± = K 1 n Â([0; n ^ t n ]) integrandusokat. Vil agos, hogy mindegyik K n megengedett, (K n ² S) 1 ertelmes, ugyanis a n ^ t n < 1 id}opont ut an az integr alfolyamat m ar nem v altozik. Az is vil agos, hogy a K n ² S negat ³v r esze egyenletesen null ahoz tart. Az is vil agos, hogy ahol az atmetsz esek sz ama v egtelen, vagyis a C halmazon, az integr alok näoveked ese a [0; n ] szakaszon legal abb. A C halmazon a n minden n-re v eges, ³gy ha t % 1; akkor V alasszuk a t n sz amokat ugy, hogy Ha B ± = C \ (\ n f n t n g), akkor C \ f n > tg & ; : P (C \ f n > t n g) P (C) 2 n+1 : P (B) = P (C n B c ) = P(C) P(C \ B c ) =

26 106 Badics Tam as { Medvegyev P eter = P (C) P (C \ ([ n f n t n g c )) = = P (C) P ([ n C \ f n > tg) P (C) X P (C \ f n > t n g) n P (C) X n P (C) P(C) > 0 : 2n+1 2 Ha szäuks eges, akkor a B halmazon a feletti felesleges näovekm enyeket, illetve a B c halmazon a nem negat ³v ert ekeket a d ³jmentes lomtalan ³t as felt etele seg ³ts eg evel elhagyhatjuk. Ez ert alkalmas l n 0 sorozat seg ³ts eg evel az L 1 t erben (K n ² S n ) 1 l n! ( )Â B ; amely ellentmond a nincsen arbitr azs felt etelnek. Igy az atmetsz esek sz ama majdnem mindenhol v eges. Ebb}ol käovetkez}oen egy nulla m ert ek}u halmazt ol eltekintve a hat ar ert ek l etezik. Mivel a H ² S alulr ol korl atos, a hat ar ert ek vagy v eges, vagy +1, de ez ut obbit a m ar bemutatott m odon ki tudjuk z arni A lehets eges,,kasz al asok" ter enek korl atoss aga El}oszÄor vizsg aljuk meg a lehets eges,,kasz al asok" ter et, vagyis azt a halmazt, amely elemei megengedett befektet esek szerinti sztochasztikus integr alk ent all ³that ok el}o. KezdjÄuk n eh any viszonylag egyszer}u lemm aval. 3.2 Lemma. RÄogz ³tsÄunk egy u sz amot. Ha az S szemimarting al eleget tesz az arbitr azsmentess eg felt etel enek, akkor a f(h ² S) 1 : H u-megengedettg (2) korl atos az L 0 -ban 35. Az arbitr azsmentess eg felt etel enek teljesäul esekor a (2) halmaz L 0 t erben val o lez artja is korl atos az L 0 t erben. Bizony ³t as. Az alulr ol val o u-korl atoss ag elemi käovetkezm enye, hogy ha (H n ) egy u-megengedett sorozat es n & 0 tetsz}oleges, akkor az f n n ± = (H n n ² S) 1 sorozat negat ³v r esze egyenletesen null ahoz tart. Ebb}ol käovetkez}oen, mik ent l attuk, az (f n n ) sztochasztikusan null ahoz tart. Ha most az (f n ) nem lenne korl atos, akkor l etezne olyan " > 0; hogy egy r eszsorozatra 34 Legyen n az els}o olyan id}opont, ahol ah²s atmetszi az n ert eket. JelÄolje C azon kimenetelekhalmaz at,aholv egtelensok n v eges,vagyisaholazintegr alv egtelenheztart. Vil agos, hogy n % 1; ugyanis a sztochasztikus integr alok trajekt ori ai v eges szakaszon korl atosak. De ni aljuk a K n integr alokat, majd ezt käovet}oen ism eteljäuk meg a m ar bemutatottgondolatmenetet. 35 Eml ekeztetäunk, hogy az L 0 t erben a korl atoss ag, vagyis a sztochasztikus konvergenci aban akorl atoss agde n ³ci ojaa käovetkez}o: Egy A halmazakkorkorl atos asztochasztikus konvergenci aban, ha minden " > 0 sz amhoz van olyan N, hogy P(jfj>N)< " minden f 2Aeset en.

27 A p enzäugyi eszkäozäok araz as anak alapt etele P (f nk > k) > ". De ez lehetetlen, mert az (f nk =k) sztochasztikusan null ahoz tart es ez ert P (f nk > k) = P(f nk =k > 1) P(jf nk =kj > 1) " : Az all ³t as m asodik fele egy altal anos eszrev etel: ha egy halmaz korl atos az L 0 t erben, akkor a lez artja is korl atos 36. Legyen ugyanis az (f n ) a lez ar asb ol vett olyan sorozat, amelyre P (jf n j > n + 1) > " > 0: Minden n-re legyen g n olyan fäuggv eny, amely käozel van az f n -hez, vagyis amelyre P (jf n g n j > 1) < "=4. A (g n ) korl atoss aga miatt van olyan N, hogy P (jg n j > N) < "=4. Ekkor ha n N; akkor P(jf n j > n + 1) P (jf n g n j > 1) +P (jg n j > n) "=2 ; ami lehetetlen De n ³ci o. Tetsz}oleges X sztochasztikus folyamat eset en X ± = sup jxj t : t Lemma. Ha az S szemimarting al eleget tesz az arbitr azsmentess eg felt etel enek, akkor tetsz}oleges u eset en a f(h ² S) : H u-megengedettg halmaz korl atos L 0 -ban. Speci alisan a (H ²S) fäuggv eny minden megengedett H folyamatra majdnem mindenhol v eges. Bizony ³t as. TegyÄuk fel, hogy van olyan u; amelyre a halmaz nem korl atos. Ekkor valamely " > 0-ra l etezne egy (H n ) u-megengedett sorozat, amelyre Ekkor a P((H n ² S) > n) > " : n ± = inf ft : jh n ² Sj > ng meg all asi id}okre P ( n < 1) > " es a f n < 1g halmazon (H n ² S) n n. Ekkor a K n ± = H n Â([0; n ]) u-megengedett folyamatokra P((K n ² S) 1 > n) > " > 0. KÄovetkez esk eppen a ((K n ² S) 1 ) halmaz nem korl atos a sztochasztikus konvergenci aban, ami viszont ellentmond az el}oz}o lemm anak A C 0 Fatou-z arts aga es a C gyenge* z arts aga T erjäunk r a a C gyenge* z arts ag anak igazol as ara. 3.5 De n ³ci o. Az L 0 t er egy D r eszhalmaz at Fatou-z artnak nevezzäuk, ha minden (f n ) alulr ol egyenletesen korl atos D-beli sorozat eset en, ha f n! f majdnem biztosan, akkor f 2 D. 36 Ez altal abantopologikusvektorterekben isigaz.

28 108 Badics Tam as { Medvegyev P eter Ha a D halmaz k up, akkor a D Fatou-z arts aga ekvivalens a käovetkez}ovel: Ha (f n ) egy olyan D-beli sorozat amelyre f n 1 es f n! f majdnem biztosan, akkor f 2 D: 3.6 All ³t as. Ha a C 0 Fatou-z art, akkor a C k up ¾(L 1 ;L 1 )-z art. Bizony ³t as. Legyen (f n ) egy C\B 1 µ C 0 -beli sorozat, amely sztochasztikusan tart valamely f 2 L 0 elemhez. Ekkor valamely (f nk ) r eszsorozatra feltehet}o, hogy f nk! f majdnem biztosan. Mivel (f nk ) µ B 1, ez ert a sorozat elemei 1-n el nem kisebbek. A C 0 felt etelezett Fatou-z arts ag ab ol käovetkezik, hogy f 2 C 0 : Nyilv an az f 2 B 1 is teljesäul, vagyis a C \ B 1 halmaz z art a sztochasztikus konvergenci ara n ezve, amib}ol az all ³t as az el}oz}o all ³t asunk alapj an m ar käovetkezik. 2 ÄOsszefoglalva, az alapt etel bizony ³t as at a käovetkez}o all ³t asra vezettäuk vissza: 3.7 All ³t as. Ha az S folyamat egy korl atos szemimarting al, amely eleget tesz az arbitr azsmentess eg felt etel enek, akkor a C 0 k up Fatou-z art. 3.4 A maxim alis elem es a Fatou-z arts ag T erjäunk r a a C 0 k up Fatou-z arts ag anak bizony ³t as ara. Az egyszer}us eg kedv e ert (h n ) jeläoljäon egy olyan C 0 -beli sorozatot, amelyre h n 1 es amelyre h n! h. A Fatou-z arts ag de n ³ci oj anak ertelm eben nyilv an elegend}o m.m. bel atni, hogy h 2 C 0. A tov abbiakban räogz ³tsÄuk a h elemet es legyen n o D = ± f h j 9(K n ) : K n 1-megengedett es (K n m.m. ² S) 1! f : Ha K 0 (1) jeläoli az 1-megengedett,,kasz al asokat", akkor D = cl (K 0 (1)) \ h + L 0 + ; ahol a lez ar as az L 0 t erben, vagyis a sztochasztikus konvergenci aban ertend}o. 3.8 Lemma. A D halmaz nem Äures, es tartalmaz maxim alis elemet. Bizony ³t as. Mivel h n 2 C 0, ez ert minden n-re l etezik egy g n 2 K 0 melyre g n h n. Ekkor az 2.2 lemma miatt l etezik a gn 0 2 convfg n ;g n+1 ;g n+2 ;...g majdnem mindenhol konvergens sorozat, amelyre gn 0! g. KÄonnyen l athat o, hogy a (h n )-b}ol a megfelel}o s ulyokkal anal og m odon k epzett (h 0 n) sorozat is konvergens, es h 0 n! h, valamint g0 n h0 n. KÄovetkez esk eppen g h, es ez ert g 2 D, vagyis a D halmaz nem Äures. VegyÄuk eszre, hogy a D az L 0 t erben korl atos, hiszen benne van a K 0 (1) halmaz L 0 -beli lez artj aban. A cl(k 0 (1)) halmaz viszont a 3.2 lemma miatt az L 0 t erben korl atos. A D halmaz nyilv an L 0 -ban z art, ez ert a 2.7 lemma ertelm eben a D halmaz tartalmaz maxim alis elemet. 2 A tov abbiakban jeläolje f 0 a D halmaz egyik maxim alis elem et. A käovetkez}o lemm ab ol l atni fogjuk, mi käoze van az f 0 2 cl (K 0 ) fäuggv enynek az alapt etelhez.

29 A p enzäugyi eszkäozäok araz as anak alapt etele Lemma. Ha f 0 2 K 0 akkor C 0 k up Fatou-z art 37. Bizony ³t as. Az 3.8 lemm at megel}oz}oen bevezetett jeläol eseket alkalmazva, a C 0 Fatou-z arts ag ahoz elegend}o bel atni, hogy h 2 C 0, ami a C 0 de n ³ci oja szerint azzal ekvivalens, hogy l etezik egy f 2 K 0, amelyre f h. Ha f 0 2 K 0 ; akkor ez nyilv an teljesäul, hiszen minden f 2 D-re de n ³ci o szerint f h. 2 Ebb}ol käovetkez}oen teh at azt kell igazolni, hogy a D halmaz b armely f 0 maxim alis eleme el}o all ³that o valamely 1-megengedett integrandus szerinti integr alk ent. 3.5 A käozel ³t}o sorozatok egyenletes konvergenci aja Az f 0 -r ol csak azt tudjuk, hogy eleme a cl (K 0 (1)) t ernek, vagyis csak azt tudjuk, hogy az f 0 1-megengedett integrandusok altal de ni alt,,kasz al asok" sztochasztikus konvergenci aban vett hat ar ert eke 38. A probl ema abb ol ered, hogy nemtudjuk, hogy az integr alk ent el}o all ³that o v altoz ok hat ar ert ekemikor all ³that o el}o integr alk ent. A helyzet hasonl ³t a käovetkez}ore: TegyÄuk fel, hogy ± line aris funkcion alok valamely (g n ) sorozat ara az n = hgn ;fi sz amsorozat konvergens. Mit tudunk mondani a (g n ) sorozat, vagy legal abb valamilyen r eszsorozat anak konvergenci aj ara? El}oszÄor azt mutatjuk meg, hogy a käozel ³t}o sorozathoz tartoz o integr alfolyamatok egy alkalmas r eszsorozat anak trajekt ori ai egyenletesen konvergensek Lemma. Ha (H n ) olyan 1-megengedett keresked esi strat egi akb ol all o sorozat, amelyre (H n m.m. ² S) 1! f 0, akkor az ± F n;m = ((H n H m ) ² S) = ± sup j(h n ² S) t (H m ² S) t j (3) t val osz ³n}us egi v altoz o sztochasztikusan tart a null ahoz, valah anyszor n;m! 1. SzÄuks eg eset en r eszsorozatra att erve feltehet}o, hogy a (H n ² S) sorozat trajekt ori ai majdnem minden kimenetelre az egyenletes konvergencia topol ogi aban Cauchy-sorozatot alkotnak. Bizony ³t as. TegyÄuk fel, hogy a lemma nem teljesäul, vagyis l etezik egy 1 > 0 es egy (n k ; m k ) v egtelenhez tart o sorozat, amelyre P supj(h nk ² S) t (H mk ² S) t j > 2 2 : t Ilyenkor es a P sup((h nk H mk ) ² S) t > t P sup((h m k H n k ) ² S) t > t 37 Es ³gyaC k up ¾(L 1 ;L 1 )-z art. 38 Ugyanis, mivel csak azt tudjuk, hogy az L 0 korl atos es z art r eszhalmazaiban van maxim aliselem,ez ertak 0(1)halmaztlekellz arniasztochasztikuskonvergenci aban.

30 110 Badics Tam as { Medvegyev P eter egyenl}otlens eg käozäul az egyik v egtelen sokszor fordul el}o. Ez ert, szäuks eg eset en az (n k ;m k ) helyett az (m k ;n k ) sorozatra att erve m ar feltehet}o, hogy minden k-ra P sup((h n k H m k ) ² S) t > : t Legyen k ± = inf f t j ((H n k H m k ) ² S) t g : Ekkor nyilv an teljesäul a P ( k < 1). De ni aljuk az el}orejelezhet}o L k folyamatot a käovetkez}ok eppen: L k ± = H nk Â([0; k ]) + H mk Â(( k ;1)) : L assuk be, hogy az L k folyamat 1-megengedett. Egyszer}u sz amol assal az L k de n ³ci oj at felhaszn alva L k ² S t = (Hnk Â([0; k ]) ² S) t + (H mk Â(( k ;1)) ² S) t = = (H nk Â([0; k ]) ² S) t + (H mk ² S) t (H mk Â([0; k ]) ² S) t = = (H nk ² S) k t + (H mk ² S) t (H mk ² S) k t = = ((H nk H mk ) ² S) k t + (H mk ² S) t : Ha valamely kimenetelre t k, akkor L k ² S t = (Hnk ² S) t 1, mivel a feltev es szerint H nk 1-megengedett. Ha viszont k < t, akkor a k de n ³ci oj ab ol, valamint az integr alfolyamat trajekt ori ainak jobbr ol val o folytonoss ag ab ol käovetkez}oen ((H nk H mk ) ² S) k t = ((H nk H mk ) ² S) k 0 ; ³gy mivel a H m k is 1-megengedett, az L k val oban 1-megengedett. Ebb}ol käovetkez}oen az L k ² S ertelmes. Legyen 1 ½ k ± = L k ² S 1 = ((Hnk H mk ) ² S) k 1 + (H mk ² S) 1 : Ekkor ½ k = à k + ' k, ahol es ' k ± = (H nk ² S) 1 Â( k = 1) + (H mk ² S) 1 Â( k < 1) = = ((H nk H mk ) ² S) 1 Â( k = 1) + (H mk ² S) 1 Â( k < 1) + + (H mk ² S) 1 Â( k = 1) = = ((H n k H m k ) ² S) 1 Â( k = 1) + (H m k ² S) 1 = = ((H n k H m k ) ² S) k 1 Â( k = 1) + (H m k ² S) 1 à k ± = ½k ' k = ((H n k H m k ) ² S) k 1 Â( k < 1) : A 2.2 kompakts agi lemma alapj an, felhaszn alva, hogy a k de n ³ci oja miatt a à k alulr ol korl atos 39, a megfelel}o konvex kombin aci okra att erve feltehet}o, 39 Akifejez esmindenkimenetelrevagy >0;vagy 0; ³gya0egy als okorl at.

31 A p enzäugyi eszkäozäok araz as anak alapt etele m.m. hogy valamely à 0 v altoz ora à k! à 0. A felt etel szerint majdnem mindenhol lim ² S) k!1 (Hmk 1 = lim ² S) k!1 (Hnk 1 = f 0 : A ' k v altoz o de n ³ci oja miatt minden kimenetelre a ' k vagy a (H m k ² S) 1 v altoz o, vagy a (H n m.m. k ² S)1 ; ³gy trivi alisan lim k!1 ' k = f 0. Ugyanakkor a f k < 1g halmazon a k de n ³ci oja es a sztochasztikus integr al jobbr ol val o folytonoss aga miatt az eml ³tett f k < 1g halmazon à k = ((H nk H mk ) ² S) k 1 = ((Hnk H mk ) ² S)( k ) : A fenti P ( k < 1) egyenl}otlens egb}ol käovetkezik, hogy P(à k ) : Ekkor a 2.5 kompakts agi lemma alapj an a konvex kombin aci o à 0 hat ar ert ek ere P (à 0 > 0) > 0. Teh at a ½ k sorozat valamely konvex kombin aci oib ol all o sorozat az f 0 +à 0 v altoz ohoz konverg al, ami ellentmond az f 0 maximalit as anak. V egäul t erjäunk r a a megfelel}o r eszsorozat kiv alaszt as ara. Alemma m ar bel atott r esze alapj an l etezik olyan (n k ) indexsorozat, hogy P ((H n k H n l ) ² S) > 2 k < 2 k ; valah anyszor l k. A Borel{Cantelli-lemma miatt majdnem minden kimenetelre v eges sok indext}ol eltekintve ((H nk H nl ) ² S) < 2 k minden l k eset en, amib}ol az all ³t as m ar evidens. 2 A lemma alapj an egy r eszsorozatra att erve majdnem minden kimenetelre a (H n ² S) sorozat trajekt ori ai Cauchy-sorozatot alkotnak az egyenletes konvergencia topol ogi aban. A jobbr ol regul aris fäuggv enyek teljess ege 40 miatt erv enyes a käovetkez}o: 3.11 Lemma. Az el}oz}o lemma felt etelei mellett l etezik olyan X jobbr ol regul aris, adapt alt folyamat, hogy X ± = lim k!1 Hnk ² S ; ahol a konvergencia trajekt ori ank ent egyenletesen ertend}o, vagyis supj(x H n k ² S) t j m.m.! 0 : (4) t Miel}ott az al abbi hossz u sz amol asokra r at eräunk, erdemes räoviden v azolni a h atralev}o sz amol asok c elj at. Az egyenletes konvergencia miatt: f 0 = lim k!1 (Hn k ² S) 1 = lim k!1 t!1 (Hn k ² S) t = = lim lim t!1 k!1 (Hn k ² S) t = lim X t = X 1 : t!1 40 Eml ekeztetäunk, hogy jobbr ol regul aris fäuggv enyeken az olyan fäuggv enyek halmaz at ertjäuk,amelyek jobbr olfolytonosak es rendelkeznek bal oldali hat ar ert ekkel. Azegyenletes konvergenciafelcser elhet}oahat ar ert ekkel, ³gy ajobbr ol regul aris fäuggv enyek azegyenletes konvergenciaszerintvetttopol ogi aban z arthalmaztalkotnak, ³gy teljesmetrikus teret alkotnak.

32 112 Badics Tam as { Medvegyev P eter Az X folyamatr ol azonban nem tudjuk, hogy szemimarting al, ugyanis a (H n ² S) 1 m.m.! f 0 (5) konvergenci ab ol bel atott H n k ² S! X trajekt ori ank ent val o egyenletes konvergencia t ul gyenge ahhoz, hogy garant alja, hogy az X szemimarting al legyen. Azt meg pl ane nem tudjuk, hogy az X az S szerint sztochasztikus integr al lenne. TegyÄuk fel, hogy l eteznek olyan L n 2 convfh n k ;k ng (6) strat egi ak, amelyekre a L k ² S sztochasztikus integr alok a szemimarting al topol ogia szerint konverg alnak. Nyilv an az (5) miatt tov abbra is (L n ² S) 1 m.m.! f 0 ; ³gy a m ar bel atottak miatt az L n ² S trajekt ori ai egyenletesen konverg alnak. M emin-t etele 41 szerint az S szerinti sztochasztikus integr alok halmaza z art a szemimarting altopol ogi ara n ezve, käovetkez esk eppen l etezik egy el}orejelezhet}o L folyamat, hogy L k ² S! L ² S a szemimarting al topol ogia szerint. A (6) miatt az Äosszes L k strat egia 1-megengedett, ³gy az L is 1-megengedett. De ekkor, felhaszn alva, hogy a szemimarting al topol ogi aban val o konvergenci ab ol käovetkezik a minden id}opontban val o sztochasztikus konvergencia, (L ² S) 1 = ± lim (L ² S) t!1 t = lim lim t!1 n!1 (Ln ² S) t = = lim n!1 t!1 (Ln ² S) t = lim n!1 (Ln ² S) 1 = f 0 ; ahol a k et hat ar ert ek az im ent l atott egyenletes konvergencia miatt cser elhet}o fel 42. KÄovetkez esk eppen f 0 2 K 0 ; amib}ol a 3.9 lemma miatt a C 0 k up Fatouz art, käovetkez esk eppen a 3.7 all ³t ast, ³gy az alapt etelt is igazoltuk. H atra van azonban m eg a szemimarting al topol ogi aban konvergens (L n ) sorozat megkonstru al asa! 4 A szemimarting al topol ogi aban konvergens sorozat l etez ese Most t erjäunk r a a bizony ³t as legnehezebb r esz ere, a szemimarting al topol ogi aban konvergens sorozat meghat aroz as ara. 4.1 Uj m ert ekre val o att er es Tov abbra is f 0 jeläolje a D halmaz maxim alis elem et es (H n ) legyen egy olyan 1-megengedett sorozat, amelyre (H n ² S) 1 m.m.! f 0 : Mik ent l attuk 43, 41 Medvegyev[2007b],M emin[1980]. 42Ä Onmag aban a szemimarting al topol ogi aban val o konvergencia nem garant alja a trajekt ori ak teljes id}otengelyen val oegyenletes konvergenci aj at. 43 V.Äo.: 3.4lemma.

33 A p enzäugyi eszkäozäok araz as anak alapt etele a (H n ² S) halmaz korl atos az L 0 t erben, ³gy egy nullm ert ek}u halmazt ol eltekintve q = ± sup supj(h n ² S) t j = sup(h n ² S) < 1 : n t n ÄOsszefoglalva, egy alkalmas r eszsorozatra att erve igaz a käovetkez}o 44 : 4.1 Lemma. A (H n ² S) sorozat majdnem biztosan t-ben egyenletesen konverg al valamely X folyamathoz, es a q ± = sup n sup t v altoz o majdnem biztosan v eges. j(h n ² S) t j = sup(h n ² S) n 4.2 Lemma. L etezik olyan, P-vel ekvivalens R val osz ³n}us egi m ert ek, hogy lim k sup j(h n ² S) n;m!1 t (H m ² S) t j k L 2 (R) = 0 : A Radon{Nikodym deriv alt korl atos. Bizony ³t as. Legyen t dr dp ± = exp( q) E P [exp( q)] ; ahol q az el}oz}o lemm aban de ni alt v altoz o. Az R val osz ³n}us egi m ert ek, ugyanis a kifejez es integr alja eppen egy. Ekkor nyilv an q 2 L 2 (R), ez ert a sztochasztikus konvergenci ara vonatkoz o major alt konvergencia t etel szerint a fenti hat ar ert ek l etezik, es 0-val egyenl}o. 2 Atov abbiakban a fent de ni alt R val osz ³n}us egi m ert ekkel fogunk dolgozni. VegyÄuk eszre, hogy ha egym as ut an k et m ert ekcser et hajtunk v egre, akkor a Radon{Nikodym deriv altak Äosszeszorz odnak. A P-r}ol az R-re val o att er es Radon{Nikodym deriv altja korl atos. Mivel a m ert ek v eges, egy integr alhat o fäuggv enyt tetsz}oleges korl atos, m erhet}o fäuggv ennyel szorozva integr alhat o fäuggv enyt kapunk. Ha a m ert ekcser et k et l ep esben hajtjuk v egre, el}oszäor att eräunk a P-r}ol az R-re, majd az R-r}ol a Q-ra, akkor a dq=dp pontosan akkor integr alhat o, ha integr alhat o a dq=dr. Mivel a kock azatmentes m ert ekreval o att er esradon{nikodymderiv altj anak integr alhat os ag at a korl atos dr=dp nem erinti, ez ert az egyszer}us eg kedv e ert az R-re val o hivatkoz ast elhagyjuk es az alapul vett m ert eket tov abbra is P-vel fogjuk jeläolni. A szemimarting alok halmaza nem m odosul a m ert ekcsere sor an 45, es mivel S-r}ol feltesszäuk, hogy korl atos, ez ert az S speci alis szemimarting al. TekinthetjÄuk teh at az S = M + A kanonikus dekompoz ³ci oj at, ahol M lok alis marting al, A pedig el}orejelezhet}o, v eges v altoz as u folyamat. VegyÄuk eszre, hogy a m ert ekcser et käovet}oen az sup t j(h n ² S) t j q 2 L 2 ( ) 44 Atov abbiakbanazegyszer}ubbindexel eskedv e ertmindigevvelar eszsorozattalfogunk dolgozni. 45 Medvegyev[2007a]: Corollary4.58.

34 114 Badics Tam as { Medvegyev P eter miatt a H n ²S egy speci alis szemimarting al 46. Ebb}ol käovetkez}oen 47 a H n ²S kanonikus felbont asa H n ² S = H n ² M + H n ² A ; ahol az els}o integr al lok alis marting al, a m asodik pedig egy korl atos v altoz as u folyamat. A (H n ² S) szemimarting al topol ogi aban val o konvergenci aj ahoz elegend}o bel atni, hogy a (H n ² M) es a (H n ² A) konvergensek a szemimarting al topol ogi aban. 4.2 N eh any egyszer}u becsl es El}oszÄor egy Äonmag aban is erdekes becsl est mutatunk be: 4.3 Lemma. Legyen S egy szemimarting al, amelynek ugr asaira teljesäul a k( S) k p < 1 egyenl}otlens eg, ahol 1 < p 1. Ekkor az S speci alis szemimarting al, valamint az S = S (0) + M + A kanonikus felbont as eset en teljesäulnek a es a egyenl}otlens egek. ( A) p p ( S) p 1 p ( M) p 2p 1 ( S) p 1 p Bizony ³t as. AjelÄol es egyszer}us ³t ese c elj ab ol tegyäuk fel, hogy S (0) =0. Ha akkor az ugr asokra tett felt etel miatt ¾ n ± = inf ft : js (t)j > ng ; js ¾n j S¾ n + j S (¾n )j n + j S (¾ n )j n + sup t>0 j Sj 2 L p ( ) µ L 1 ( ): Igy supt js ¾n j (t) 2 L 1 ( ), teh at a sup s t js (s)j lok alisan integr alhat o, ³gy az S egy speci alis szemimarting al 48. De n ³ci o szerint a speci alis szemimarting alok kanonikus felbont as aban az A el}orejelezhet}o, ³gy a A is el}orejelezhet}o. KÄovetkez esk eppen A = p ( A). A ( S) a felt etel szerint integr alhat o, käovetkez esk eppen az L(t) = ± E ( S) j F t egyenletesen integr alhat o marting al. Term eszetesen j S (t)j = E(j S (t)j j F t ) E ( S) j F t L(t) ; 46 V.Äo.: Medvegyev[2007a],Theorem4.44,257. oldal. 47 V.Äo.: 2.12t etel. 48 Medvegyev[2007a]: Theorem4.44.

35 A p enzäugyi eszkäozäok araz as anak alapt etele ³gy p (j Sj) pl = L. Mivel p ( M) = 0; ez ert j Aj = j p ( A)j = j p ( S M)j = j p ( S) p ( M)j = = j p ( S)j p (j Sj) L : Ha 1 > p > 1; akkor a Doob-egyenl}otlens eg szerint ( A) p sup jl(t)j p p p 1 kl(1)k ± p = p ( S) p 1 p : Ha p = 1, akkor minden t-re ³gy t j A(t)j L (t) = E ( S) j F t E ( S) 1 j F t = ( S) 1 : ( A) ± 1 = supj A(t)j ( S) 1 : t 1 Ebb}ol mind a k et esetben sup j Mj t p sup j Sj + sup t p t ( S) p + p p 1 j Aj p ( S) p ; ami eppen a k ³v ant m asodik egyenl}otlens eg. 2 Gyakran hasznos a käovetkez}o egyszer}u eszrev etel: 4.4 Lemma. Legyenek (g k ) 1 k n nemnegat ³v, az ( ; F;P) val osz ³n}us egi mez}on ertelmezett m erhet}o fäuggv enyek. TegyÄuk fel, hogy l eteznek az (a k ) 1 k n es ± pozit ³v sz amok, amelyekre teljesäul, hogy minden k-ra P (g k a k ) ±. Ekkor minden 0 < < 1 eset en à X n! nx ±(1 ) P g k ± a k 1 ± : k=1 k=1 Bizony ³t as. Legyen g = ± P n k=1 g k, es jeläoljäuk A-val az egyenl}otlens egben szerepl}o fg ± Pn k=1 a k g halmazt. Nyilv an nx nx E (gâ(a c )) a k ± P(A c ) = a k ± (1 P(A)) : M asfel}ol E (gâ(a c )) = k=1 nx E(g k Â(A c )) k=1 k=1 nx E (g k Â(A c )Â(fg k a k g)) k=1

36 116 Badics Tam as { Medvegyev P eter nx a k P(A c \ fg k a k g) k=1 nx a k ± k=1 nx a k P (A): k=1 nx a k (P (fg k a k g) P (A)) k=1 A k et egyenl}otlens eg egybevet es eb}ol käovetkezik, hogy nx a k P (A) k=1 nx a k ± P(A) k=1 nx a k ± k=1 nx a k ± ; amib}ol P n k=1 P(A) a k± P n P k=1 a k± ; n k=1 a k P n k=1 a k± ; amib}ol a P n k=1 a k 6= 0, felhaszn al as aval käovetkezik a lemma. 2 k=1 A käovetkez}o becsl es az el}oz}o becsl es käozvetlen käovetkezm enye: 4.5 Lemma. Legyenek (g k ) 1 k n nemnegat ³v, az ( ; F;P) val osz ³n}us egi mez}on ertelmezett m erhet}o fäuggv enyek. TegyÄuk fel, hogy l eteznek a es b pozit ³v sz amok, melyekre teljesäul, hogy minden k-ra P (g k a) b. Ekkor à X n! P g k nab b 2 2 : k=1 4.3 N eh any szäorny}u becsl es 4.6 Lemma. Ha H jeläoli azon 1-megengedett H integrandusokat, amelyekre (H ² S) 2, akkor minden > 0 eset en a (H ² M) j H 2 H ª halmaz korl atos L 0 -ban. Bizony ³t as. RÄogz ³tett > 0 eset en, a H halmaz de n ³ci oja szerint, minden H 2 H folyamatra (H ² S) 2 teljesäul, ez ert a H ²S szemimarting al, a speci alis szemimarting alok karakteriz aci os t etele 49 miatt speci alis szemimarting al. Ekkor H ²M sztochasztikus integr allok alis marting alszerinti integr al ertelemben l etezik, ez ert de n ³ci o szerint lok alis marting al 50, valamint H ² S kanonikus dekompoz ³ci oja H ² M + H ² A alak u 51. TegyÄuk fel, hogy a (H ² S) j H 2 H ª halmaz nem korl atos az L 0 -ban. L etezik teh at egy > 0 es egy H -beli (K n ) sorozat, hogy minden n 1 eset en P (K n ² M) > n 3 > 8. Tudjuk, hogy ³ (K E n ² S) 2 2 ; 49 Medvegyev[2007a]: Theorem Medvegyev[2007a]: De nition Medvegyev[2007a]: Theorem4.49.

37 A p enzäugyi eszkäozäok araz as anak alapt etele ez ert a (K n ² S) 2 v altoz ora alkalmazva a Markov-egyenl}otlens eget: P (K n ² S) n ³ (K = P n ² S) 2 n 2 2 n : 2 n o 2 Legyen N olyan, hogy ha n N, akkor max n ; 1 2 n < 2 6, es de ni aljuk a n meg all asi id}oket a käovetkez}ok eppen: n ± = inf t j j(k n ² M) t j n 3 vagy j(k n ² S) t j n ª : Ekkor az L n ± = 1 n 2 K n  [0; n ] integrandusra teljesäulnek a käovetkez}ok: 1. L n ²M lok alis marting al, hiszen a bizony ³t as elej en elmondottak szerint K n ² M, es ³gy L n ² M is lok alis marting al. 2. Ha n N, akkor P (L n ² M) n P (K n ² M) n 3 P (K n ² S) n 8 2 n 2 7 : Ezt a käovetkez}ok eppen l athatjuk be. Azokra az! kimenetelekre, melyekre es (K n ² M) (!) n 3 (K n ² S) (!) < n ; nyilv an (K n ² M) n n 3, vagyis 1 n 2 K n ² M n n. KÄovetkez esk eppen (L n ² M) n : Ezen kimenetelek halmaz anak val osz ³n}us ege nyilv an nem kisebb, mint P (K n ² M) n 3 P (K n ² S) n : 3. L n ² S ugr asai nem kisebbek, mint (n + 1)=n 2. Val oban, a n meg all asi id}o de n ³ci oja miatt a (K n ² S) n folyamat fels}o korl atja a [0; n ) intervallumon n, es mivel 1-megengedett folyamatr ol van sz o, az ert eke [0; n ]- on nem kisebb, mint 1, ez ert (K n ² S) n = K n  [0; n] ² S ugr asai nem kisebbek, mint (n + 1). 4. (L n ² M) 2 n+ (L n ² M) 2 n n+ 6. Az egyenl}otlens eg els}o n 2 fele abb ol käovetkezik, hogy n de n ³ci oja miatt a (K n ² M) n = K n  [0;Tn] ² M folyamat ert eke a [0; n ) intervallumon legfeljebb n 3. Az egyenl}otlens eg m asodik r esz enek igazol as ahoz vegyäuk gyelembe, hogy ( (L n ² S)) 2 (L n ² S) ; es mivel a K n 2 H miatt (L n ² S) 2 n 2 ; (7)

38 118 Badics Tam as { Medvegyev P eter ez ert az im ent bel atott 4.3 lemma alapj an (L n ² M) n 2 6 n 2 : A 4. pont alapj an L n ² M 2 H 2, ³gy egyenletesen integr alhat o. Minden n-re de ni aljuk a ( n;i ) meg all asi id}okb}ol all o sorozatot a käovetkez}ok eppen: ± Legyen n;0 = 0, valamint n;i ± = inf n t j t n;i 1 es (L n ² M) t (L n ² M) n;i 1 1 o : Ekkor minden n N-re erv enyes a käovetkez}o becsl es: (L n ² M) n;i (L n ² M) n;i (L n ² M) n;i n 2 < 1 + < 2 : (8) JelÄoljÄuk k n -el n =4 eg eszr esz et. L assuk be, hogy minden i = 1;... ;k n es tetsz}oleges n N eset en P( n;i < 1) > 6. Mivel ( n;i ) i 0 meg all asi id}ok monoton näov}o sorozata, nyilv an elegend}o az egyenl}otlens eget i = k n -re bizony ³tani. Legyen B = ± f n;kn < 1g, es becsäuljäuk (L n ² M)  B c kifejez es L 2 -norm aj at. (L n ² M)  B c 2 X kn L n  ( n;i 1; n;i] ² M ÂB c 2 i=1 Xk n i=1 L n  ² M 2 ( n;i 1 : ; n;i ] Ahogy meg allap ³tottuk, L n ² M, es ez ert az L n  ( n;i 1 ² M is egyenletesen integr alhat o marting al, ez ert az L n  ; n;i] ( n;i 1 ² M folyamat a [0;1] ; n;i] intervallumon is marting al 52, ³gy alkalmazhatjuk a Doob-egyenl}otlens eget 53 : L n  ² M 2 ( n;i 1 2 L n  ² M ; n;i ] ( n;i 1 ; n;i ] 1 2 ; amib}ol teh at, felhaszn alva (9)-et, (8)-at, majd a k n de n ³ci oj at: (L n ² M)  B c 2 2 k n X i=1 L n  ² M ( n;i 1 ; n;i] 1 2 4k n n : Ebb}ol a Markov-egyenl}otlens eg felhaszn al as aval kapjuk, hogy P (L n ² M)  B c n 2 ; (9) vagyis P B c \ (L n ² M) n ª 2 < ; 52 Medvegyev[2007a]: Corollary Medvegyev[2007a]: Corollary1.53.

39 A p enzäugyi eszkäozäok araz as anak alapt etele amib}ol: P(B) P (L n ² M) n P B c \ (L n ² M) n ª > 7 = 6 : (10) Teh at val oban P ( n ; i < 1) > 6 : VezessÄuk be az f n;i = (L n ² M) Tn;i (L n ² M) Tn;i 1 es a B n;i = f n;i ª jeläol eseket. Megmutatjuk, hogy P (B n;i ) > 2. Mivel az L n ² M folyamat egyenletesen integr alhat o marting al, a meg all asi opci okr ol sz ol o t etelb}ol 54 käovetkezik, hogy E (f n;i ) = E f + n;i E f n;i = 0 ; amib}ol E f n;i = E f + E(jf n;i j) n;i = : (11) 2 Ebb}ol, a n! j (L o n ² M) n;i (L n ² M) n;i 1 1 f! j n;kn < 1g tartalmaz as, a (10) becsl es, valamint a Markov-egyenl}otlens eg felhaszn al as aval kapjuk, hogy E f n;i > 3. Mivel B c n;i halmazon f n;i kisebb -n al, ez ert E f n;i  B n;i E f n;i > 2 : (12) A Cauchy{Schwarz egyenl}otlens eg, majd a (8) becsl es felhaszn al as aval: E f n;i  B n;i kfn;i k 2 P (B n;i ) 12 2P (B n;i ) 1 2 : (13) V egäul (12) es (13) sorok egybevet es evel pedig kapjuk, hogy P(B n;i ) > 2. Most t erjäunk r a L n ² A vizsg alat ara. Felhaszn alva (7) sort, minden i-re kapjuk: (L n ² S) n;i (L n ² S) n;i n 2 : Ebb}ol a Markov-egyenl}otlens eg felhaszn al as aval: Pµ (L n ² S) (Ln n;i ² S) 2 n;i 1 n µ 2 2 n 2 n = n 2 : VegyÄuk eszre, hogy! j f n;i ª n ½! j (L n ² S) n;i (L n ² S) n;i 1 2ņ ¾ µ µ ½! j (L n ² A) n;i (L n ² A) n;i 1 2ņ ¾ ; 54 Medvegyev[2007a]: Theorem1.86.

40 120 Badics Tam as { Medvegyev P eter ugyanis eset en az (L n ² A) n;i (L n ² A) n;i 1 < 2ņ f n;i es az (L n ² S) n;i (L n 2 ² S) n;i 1 < n egyäutt nem teljesäulhet. A fenti tartalmaz asb ol es a P f n;i 2 becsl esb}ol käovetkezik, hogy minden i k n, es n N-re teljesäul, hogy P µ(l n ² A) n;i (L n ² A) n;i 1 2ņ > 2 n 2 : (14) Az L n ²A nyilv an korl atos v altoz as u, es a bizony ³t as elej en elmondottak szerint megegyezik L n ² S folyamat kanonikus felbont as anak korl atos v altoz as u r esz evel, ez ert el}orejelezhet}o is. Alkalmazhatjuk teh at r a a 2.13 Hahn felbont asi t etelt. Legyen B+ n es B n olyan el}orejelezhet}o halmazokb ol all o part ³ci oja az IR + halmaznak, amelyekre teljesäul, hogy L n  B n + ² A es L n  B n ² A folyamatok pozit ³v ert ekeket vesznek fel, es trajekt ori ai näovekv}oek. JelÄoljÄuk R n -el az L n  B n + \[0; n;kn ] folyamatot. Ekkor az R n ² A folyamat kiel eg ³ti az al abbi egyenl}otlens eget: (R n ² A) n;i (R n ² A) n;i 1 (L n ² A) n;i (L n ² A) n;i 1 ; hiszen a bal oldal i k n eset en L n  B n + \[0; n;k n ] ² A n;i L n  B n + \[0; n;k n ] ² A n;i 1 = = L n  B n + ² A L n  n;i B n + ² A = n;i 1 = L n  B n Â[0; n;i 1] + +  ( n;i 1; n;i] ² A L n  n;i B n +  [0; n;i 1] ² A = n;i 1 = L n  B n +  ( n;i 1; n;i] ² A n;i : A jobb oldal pedig hasonl o atalak ³t asokkal L n ( B n + +  B n ) ( n;i 1; n;i] ² A n;i ; ahol L n  B n  ( n;i 1 ; n;i ] ² A =  B n ² L n  ( n;i 1 ; n;i ] ² A negat ³v ert ekeket felvev}o folyamat. Ezt (14) sorral egybevetve kapjuk, hogy i k n, es n N eset en: P µ(r n ² A) n;i (R n ² A) n;i 1 2ņ > 2 n 2 : (15) Mivel R n ² S ugr asai r esz et k epezik L n ² S ugr asainak, ez ert ( (R n ² S)) ( (L n ² S)) n + 1 n 2 2 n : (16)

41 A p enzäugyi eszkäozäok araz as anak alapt etele L assuk be a (R n ² M) n;kn 2 2 k n X i=1 kf n;i k 2 2 (17) egyenl}otlens eget. Nyilv an teljesäulnek a käovetkez}o egyenl}os egek: (R n ² M) n;kn = (R n ² M) n;kn (1) = = L n  B n + \[0; n;k n ] ² M n;kn (1) = = L n  B n + \[0; n;kn ] ² M (1) =  B n + \[0; n;kn ] ² (L n ² M) (1) : Figyelembe v eve, hogy L n ² M 2 H 2 0, ³gy55  B n + \[0; n;kn ] ² (L n ² M) (1) 2 2 =  B n + \[0; n;kn ] ² (L n ² M) 2 H 2 ; amib}ol az It^o-izometria 56 felhaszn al as aval,  B n + \[0; n;kn ] ² (L n ² M) (1) 2 =  2 B n 2 + \[0; n;kn ] = L n ²M µz 1 ³ µz = E  ] 2 1 B n + \[0; n;k n d[l n ² M] E  [0; n;k n ] d[l n ² M] 0 =  [0; n;kn 2 ] =  L n ²M [0; n;kn ] ² (L n ² M) (1) 2 = 2 = (L n ² M) n;kn 2 2 ; a fentieket egybevetve teh at kapjuk, hogy (R n ² M) 2 (L n n;kn ² M) 2 : 2 n;kn 2 Mivel L n ² M 2 H 2, ³gy L n ² M egyenletesen integr alhat o, ez ert a meg all asi opci okr ol sz ol o t etel alapj an amib}ol: = k n X i=1 E (L n ² M) n;i j F n;i 1 = (L n ² M) n;i 1 ; k n X i=1 kf n;ik 2 2 = E ³E(L n ²M) 2 n;i +(L n ²M) 2 n;i 1 2(L n ²M) n;i (L n ²M) n;i 1 jf n;i 1 = = = k n X i=1 k X n i=1 ³ E E ³(L n ²M) 2 n;i (L n ²M) 2 n;i 1 jf n;i 1 = E ³(L 2 n;i 1 n ²M) 2 n;i (L n ²M) = (L n ²M) n;k n 55 Medvegyev[2007a]: Theorem Medvegyev[2007a]: Theorem2.88/ ; =

42 122 Badics Tam as { Medvegyev P eter amib}ol (17) egyenl}otlens eg m ar käovetkezik. A kor abbi (8) becsl es es (17) alapj an, n N eset en: (R n ² M) n;kn 2 2 < 4k n : (18) Mivel L n ² M 2 H 2, ez ert nyilv an R n ² M 2 H 2, vagyis R n ² M egyenletesen integr alhat o marting al, ez ert alkalmazhat o a Doob-egyenl}otlens eg 57 az R n ² M n;kn = R n ² M, [0;1]-en ertelmezett marting alra, vagyis supj(r n ² M) t j 2 4 (R n ² M) 2 = t 0 = 4 (R n ² M) n;kn 2 2 < 16k n : (19) B ar az R n ²S megengedetts eg er}ol nem tudunk semmit, a fentiek seg ³ts eg evel megmutatjuk, hogy a folyamat csak kis val osz ³n}us eggelvesz fel kis ert ekeket. Mivel R n ² A folyamat näovekv}o, ez ert nemnegat ³v, ³gy R n ² S = R n ² M + R n ² A R n ² M : Ezt felhaszn alva, majd alkalmazva a Markov-egyenl}otlens eget, majd a (19) sort: P inf t 0 Legyen (R n ² S) t k n n 4 1 P sup j(r n ² M) t j k n n 1 4 t 0 E sup t 0 j(r n ² M) t j 2 k 2 n n 1 2 < 16k n k 2 n n 1 2 n o ¾ ± n = inf t j (R n ² S) t < k n n 4 1 : Mivel ¾ n (!) < 1 eset en (R n ² S) ¾n(!) k nn 1 4, ez ert amib}ol a fenti egyenl}otlens eg alapj an inf t 0 f(rn ² S)(!;t)g k n n 1 4 ; P (¾ n < 1) 16p n k n : = 16p n k n : ± Most de ni aljuk a käovetkez}o integrandust: V n = 1 k n R n  [0;¾n ]. Ekkor a (16) becsl es alapj an a V n ² S ugr asai nem kisebbek mint 2 nk n ; ez ert a V n ² S nem kisebb mint n nk n, vagyis lim (V n ² S) 1 1 = 0 : (20) n!1 57 Medvegyev[2007a]: Corollary1.53,(1.18)sor

43 A p enzäugyi eszkäozäok araz as anak alapt etele Teh at V n olyan megengedett integrandus, melynek egyenletes als o korl atja 0-hoz tart. Az al abbiakban bel atjuk, hogy (V n ² S) 1 pozit ³v val osz ³n}us eggel pozit ³v. Mivel a (15) becsl es, es a 4.5 lemma alapj an µ P (R n ² A) n;k µ kn 2ņ 2 n 2 > 2 n 2 ; n 2 2 ez ert µ P (V n ² A) n;kn 1 µ 2ņ 2 n 2 > 2 n 2 P (¾ n < 1) ; 2 2 amib}ol µ P (V n ² A) n;kn 1 µ 2ņ 2 n 2 > 2 n p n k n : Ekkor, mivel a V n ² A trajekt ori ai näovekv}oek, µ P (V n ² A) 1 1 µ 2ņ 2 n 2 > 2 n 2 16p n ; 2 2 k n tov abb a az n 2 n 2! 3 2, es az 2 n 2 16p n 2 k n! 2 2 miatt el eg nagy n-re P (V n ² A) > 4 4 : (21) Most pr ob aljuk meg a (V n ² S) 1 = (V n ² A) 1 + (V n ² M) 1 felbont asban a m asodik tagot, vagyis a (V n ² M) 1 v altoz ot becsäulni. Bel atjuk, hogy (V n ² M) 1 tart 0-hoz L 2 -ben. A V n folyamat de n ³ci oja alapj an: k(v n ² M) 1 k 2 = 1 k n R n  [0;¾n] ² M (1) 2 = = 1 k n Â[0;¾n] ² (R n ² M) (1) 2 : Tudjuk, hogy R n ² M 2 H 2, ez ert alkalmazhat o az It^o-izometria 58, amib}ol  [0;¾n ] ² (R n ² M) (1) s µz 1 2 = E  2 [0;¾ d n] [Rn ² M] 0 s µz 1 E 0 1 d[r n ² M] : Ism et az It^o-izometria, valamint az R n = R n  [0; n;kn ] felhaszn al as aval, s µz 1 E 1d [R n ² M] = (1 ² (R n ² M))(1) 2 = 0 = R n  [0; n;k n ] ² M (1) 2 = (R n ² M) n;kn (1) 2 = (R n ² M) n;k n 2 : 58 Medvegyev[2007a]: Theorem2.88.

44 124 Badics Tam as { Medvegyev P eter A fentieket egybevetve a (18) seg ³ts eg evel (V n ² M) k n (R n ² M) n;kn 2 2 p kn! 0 : A Markov-egyenl}otlens eg alapj an, Az µ P j(v n ² M) 1 j > 3 8 E (V n ² M) 2 1! 0 : ½! j (V n ² A) 1 > 3 4 ½! j (V n ² S) 1 > 3 8 ¾ [ tartalmaz as, es a (21) egyenl}otlens eg miatt: P (V n ² S) 1 > ¾ µ ½! j j(v n ² M) 1 j > P j(v n ² M) 1 j > 3 2 > 8 4 ; amib}ol a fenti konvergencia miatt, el eg nagy n-re: P (V n ² S) 1 > 3 2 > 8 8 : Ekkor teh at a g ± n = (V n ² S) 1 olyan K 0 -beli sorozat, melyre a (20) sor miatt lim n!1 kg n k 1 = 0, de a fenti egyenl}otlens eg alapj an a g P n! 0 nem teljesäul, ami ellentmond a 2.6 lemm anak Lemma. Legyen n c ± = inf f t j j(h n ² M) t j cg es legyen K n c ± = H n Â(( n c ;1)) : Ekkor minden " > 0-hoz l etezik egy c 0 > 0, hogy minden n eset en, tetsz}oleges ( 1;...; n) konvex s ulyokra es minden c c 0 sz amra ÃÃ n! X P ikc i ² M! > " < " : i=1 Bizony ³t as. TegyÄuk fel, hogy az all ³t assalellent etben l etezik egy > 0 sz am, hogy minden c 0 eset en l eteznek a ( 1;...; n) konvex s ulyok es a c c 0 sz am, hogy ÃÃ n!! X P ikc i ² M > > : i=1 Mivel a 4.1 lemma alapj an a q = sup n sup t j(h n ² S) t j val osz ³n}us egi v altoz o majdnem biztosan v eges, ez ert l etezik olyan N 2 IN, hogy P(q > N) < 4. De ni aljuk a käovetkez}o meg all asi id}ot: = inf f t j 9n 1 : j(h n ² S) t j > N g : ¾

45 A p enzäugyi eszkäozäok araz as anak alapt etele Ha valamely!-ra (!) < 1, akkor l etezik egy n 2 IN, melyre sup t j(h n ² S) t j > N, ez ert q > N, teh at P ( < 1) < 4. Legyen ±= sup n ksup t j(h n ² S) t jk 2. Ekkor a v eges, hiszen minden n-re ksup t j(h n ² S) t jk 2) kqk 2, es a 4.2 lemma bizony ³t as aban l attuk, hogy kqk 2 < 1. Mivel minden n-re a H n 1-megengedett integrandus, es (H n ² S) 2, ez ert a el}oz}o 4.6 lemma alapj an a (H n ² M) ª n 1 halmaz korl atos az L0 -ban, vagyis lim sup P (H n ² M) c = 0 : c!1 n Ebb}ol viszont a f n c < 1g µ (H n ² M) c ª tartalmaz as miatt lim sup P ( n c!1 c n < 1) = 0 ; (22) ez ert tetsz}oleges 0 < ± < 4 eset en l etezik a c 1 sz am, melyre minden c c 1 es minden n 2 IN eset en P ( c n < 1) < ± 2. Nyilv an minden n-re (K n c ² S) 2 2 (H n ² S) Â f n c <1g 2 ; valamint a HÄolder-egyen}otlens egb}ol es (H n ² S) q felhaszn al as aval: (H n ² S) Â f n c <1g 2 kqk 4 P( c n < 1)1 4 : Szint en a 4.2 lemma bizony ³t asa alapj an kqk 4 < 1 is teljesäul, ez ert a fentiek alapj an l etezik egy c 2 sz am, hogy c c 2 eset en minden n-re (K n c ² S) 2 2 kqk 4 P ( n c < 1)14 ± : (23) RÄogz ³tsÄunk egy c maxfc 1 ;c 2 g sz amot. Az indirekt feltev es szerint l eteznek a ( 1;... ; n) konvex s ulyok, melyekre ÃÃ n! X P ikc i ² M! > > ; i=1 es legyen ¾ = ± inf t j P n i=1 ikc i ² M ª t. Legyen K = ± P n i=1 ikc i Â[0;minf ;¾g]. Ekkor teljesäul a (Ã X n ) ikc i ² M! > µ (K ² M) ª [ f < 1g i=1 tartalmaz as, hiszen ha! eleme a bal oldalnak, akkor erre a kimenetelre teljesäul, hogy ¾ < 1, ez ert ha ¾ < akkor (K ² M), ha pedig ¾, akkor a ¾ < 1 miatt < 1. Ebb}ol pedig käovetkezik a P (K ² M) > P ( < 1) > 3 4 (24)

46 126 Badics Tam as { Medvegyev P eter egyenl}otlens eg, m asr eszt a (K ² S) Pn i=1 i K i c ² S es (23) egyenl}otlens egb}ol käovetkezik, hogy (K ² S) 2 ± : (25) Most vizsg aljuk meg hogy a K megengedett-e. A K es K i c de n ³ci oja alapj an: ³ X n (K ² S) t = ih i  ( i c ;1] [0;minf ;¾g] ² S = t = = = = i=1 nx i=1 nx i=1 nx i=1 nx i=1 i³ H i  ( i c ;1] ² S minf ;¾g t = i³ H i ² S H i  [0; i c ] ² S minf ;¾g t = i ³ H i ² S H i ² S c i minft; ;¾g H i³ i ² S H i ² S g : minft; ;¾g minft; ;¾; c i Ha t i c akkor minft; ;¾g = min t; ;¾; i cª ez ert az ut obbi kifejez es ezen kimenetelekre nulla, m asr eszt t > i c eset en min t; ;¾; i cª = min ;¾; i c ª. Teh at az ut obbi kifejez es a nx i=1 ³ H iâ ft> i c g i ² S minft; ;¾g H i ² S g minf ;¾; c i alakba ³rhat o. Ha i c < vagy ¾ <, akkor mivel H i 1-megengedett a (K ² S) t -re kapott kifejez es es meg all asi id}o de n ³ci oja alapj an erv enyes a (K ² S) t nx iâ ft> i c g( 1 N) i=1 egyenl}otlens eg. Ha i c es ¾, akkor t > i c eset en minft; ; ¾g = min ; ¾; i cª = ; ez ert az egyenl}otlens eg ezen kimenetelekreisteljesäul. Azt kaptuk teh at, hogy (K ² S) t (N + 1)F t ; ahol F t = P n i=1 iâ ( i c ;1], egy näovekv}o adapt alt es balr ol folytonos, es ³gy el}orejelezhet}o folyamat. Mivel c c 1, ez ert c 1 v alaszt asa miatt P(T n c < 1) < ± 2, ez ert E(F 1 ) ± 2, amib}ol a Markov-egyenl}otlens eg felhaszn al as aval kapjuk, hogy P(F 1 > ±) ±, amib}ol käovetkezik, hogy a º ± = inf ft j F t > ±g m odon de ni alt meg all asi id}ore teljesäul, hogy P (º < 1) ± < 4. Legyen K 0 = K [0;º]. Erre (23) becsl es miatt teljesäul, hogy (K 0 ² S) 2 ± ; =

47 A p enzäugyi eszkäozäok araz as anak alapt etele valamint (24) becsl es es a (K ² M) ª µ (K 0 ² M) ª [ fº < 1g tartalmaz asb ol kapjuk, hogy P (K 0 ² M) > 3 4 ± > 2 : Az F t balr ol folytonoss ag ab ol käovetkezik, hogy K 0 ² S (N + 1)±, ez ert L ± = K0 (N+1)± egy 1-megengedett folyamat. Ekkor fenti egyenl}otlens egek alapj an egyr eszt L ± ² S 2 1 N + 1 ; vagyis minden ± < =4 eset en L ± ² M 2 H 1, m asr eszt N+1 L Pµ ± ² M > (N + 1)± 2 ; vagyis az f(l ± ²M) g ±< 4 halmaz nem korl atos L0 -ban, ami ellentmond a 4.6 lemm anak Lemma. Az el}oz}o lemm aban haszn alt jeläol eseket alkalmazva, minden " > 0-hoz l etezik egy c 0 > 0, hogy minden c c 0 sz amra tetsz}oleges jhj 1 el}orejelezhet}o folyamatra es tetsz}oleges ( 1;... ; n) konvex s ulyokra ³³³ P h nx ikc i i=1 Speci alisan, ha c c 0, akkor p ² M > " < 5" : X n ikc i ² M S < 6 p " : i=1 Bizony ³t as. RÄogz ³tsÄunk egy " > 0 sz amot, es c 0 legyen olyan, hogy teljesäuljäon r a, hogy minden n eset en, tetsz}oleges ( 1;... ; n) konvex s ulyokra es minden c c 0 sz amra ³³ X n P ikc i ² M > " < " : i=1 Az el}oz}o lemma ertelm eben ilyen c 0 l etezik. Az el}oz}o lemma bizony ³t as anak (22) es (23) sorait gyelembe v eve, a c 0 -t v alasszuk meg ugy, hogy minden c c 0 sz amra a sup (Kc n ² S) 2 " n 6 egyenl}otlens eg is teljesäuljäon. Tov abb a ( (K n c ² S)) 2(K n c ² S), ez ert az el}oz}o lemma bizony ³t as anak (23) sor at felhaszn alva ( (K n c ² S)) 2 2±,

48 128 Badics Tam as { Medvegyev P eter ekkor teh at alkalmazhat o a 4.3 lemma, miszerint a K n c ² S speci alis szemimarting al, es ³gy 2.12 t etelszerint, ha M az S kanonikus felbont as anak lok alis marting al r esze, akkor K n c ²S kanonikus felbont as anak lok alis marting al r esze eppen K n c ² M. Ekkor viszont a 4.3 lemma alapj an minden n-re tetsz}oleges ¾ meg all asi id}ore es c > c 0 -ra: k( (K n c ² M)) ¾ k 2 " : VegyÄunk egy tetsz}oleges 1-n el nem nagyobb abszol ut ert ek}u el}orejelezhet}o folyamatot, egy c c 0 sz amot es a ( 1;...; n) konvex s ulyokat, es de ni aljuk a n ¾ = ± inf t j meg all asi id}ot. Ekkor nyilv an nx i=1 i ³ X n sup ikc i ² M " + t t ¾ i=1 amit a fenti becsl essel egybevetve t ¾ K i c ² M o t > " nx i=1 ³ X n sup ikc i ² M i=1 i K i c ² M (¾) ; t 2" ; 2 ami azt jelenti, hogy a P n i=1 ik câ i [0;¾] ² M lok alis marting alra teljesäul, hogy sup t 0 ³³ X n i=1 ikcâ [0;¾] i ² M t 2" : 2 Ebb}ol viszont a Burkholder-egyenl}otlens egb}ol 59 käovetkezik, hogy ³³³ X n E ikcâ [0;¾] i ² M (1) < 1 ; i=1 ez ert a H 2 marting alok karakteriz aci os t etele 60 alapj an P n i=1 ikc iâ [0;¾] ² M 2 H 2 0, ez ert h P n i=1 ik câ i [0;¾] ² M 2 H 2 0 : Az It^o-izometria alapj an ³ nx h ikcâ [0;¾] i ² M = khk P n H 2 ( i=1 iki c  [0;¾])²M v i=1 u ³h³ X t n i ³ E ikc iâ X n [0;¾] ² M (1) = ikc i  [0;¾] ² M = H 2 i=1 i=1 ³³ X n = sup ikcâ [0;¾] i ² M 2" : t 0 t 2 i=1 59 Medvegyev[2007a],Theorem Medvegyev[2007a],Proposition2.84.

49 A p enzäugyi eszkäozäok araz as anak alapt etele Ebb}ol pedig a Markov-egyenl}otlens eg alapj an ³³³ P h nx i=1 ikcâ [0;¾] i p ² M > " < 4" ; m asr eszt a ¾ meg all asi id}o de n ³ci oja miatt P(¾ < 1) < ", ez ert ³³³ P h ³³³ P h nx ikc i i=1 nx ikcâ [0;¾] i ² M i=1 p ² M > " > p " +P (¾ < 1) < 5" : n h P n T erjäunk r a a m asodik all ³t asra. JelÄoljÄuk a i=1 ik c i p o ² M > " halmazt A-val. Feltehet}o, hogy " egyn elkisebb, ez ert minden fentitulajdons ag u h-ra ³ E³ h ² ³ n X i=1 ikc i ² M ^ 1 E  A +  A cp " = E(ÂA ) +E  A cp " < 5" + p " ; m amib}ol 1X n=1 n ³ 2 n sup E³ h ² jhj 1 ³ n X i=1 ikc i ² M ^ 1 n o < 5" + p " < 6" : A szemimarting al topol ogi aban konvergens sorozatok meghat aroz asa Most m ar r at erhetäunk a szemimarting al topol ogi aban konvergens sorozatok meghat aroz as ara. 4.9 Lemma. L etezik olyan L n 2 conv H k ;k n ª sorozat, amelyre az (L n ² M) konverg al a szemimarting al topol ogi aban. Bizony ³t as. Az el}oz}o lemma szerint minden n-hez l etezik olyan c n sz am, hogy tetsz}oleges ( 1;...; m) konvex s ulyokra mx ikc i n ² M i=1 S < 1 n : (26) Eml ekeztetäunk, hogy K n c n ± = H n  n c n ;1 es n c n ± = inf ft j j(h n ² M) t j c n g :

50 130 Badics Tam as { Medvegyev P eter 1. A c k n meg all asi id}o de n ³ci oja miatt H k  0; c k n ² M cn + H k ² M : cn k Mivel a H n ²S speci alis szemimarting al, ez ert a H n ²S kanonikus felbont asa H n ² S = H n ² M + H n ² A : Mivel a 4.1 lemma szerint sup n (H n ² S) = q < 1, ez ert H k ² M cn k 2 3 H k ² S 2 6 H k ² S 2 6 q 2 ; amit Äosszevetve a fenti egyenl}otlens eggel, kapjuk, hogy H k  0; k c n ² M H 2 c n + 6 kqk 2 : 2. Legyen G ± = b i2in H 2 i, ahol b jeläoli a H 2 i Hilbert-terek käuls}o Hilbert- Äosszeg et, amely maga is Hilbert-t er 61. Tudjuk, hogy tetsz}oleges (X i ) 2 G q P sorozat norm aja i kx ik 2 H. TekintsÄuk azt az X k µ G sorozatot, amelynek n-edik 2 i koordin at aja X k n ± = 1 2 n (c n + 6 kqk 2 ) Hk  0; k c n ² M : Az X k sorozat korl atos G-ben a G norm aja szerint. Mivel egy Hilbertt erben minden korl atos sorozatnak van gyeng en konvergens r eszsorzata 62, ez ert az altal anoss ag megszor ³t asa n elkäul feltehet}o, hogy az X k sorozat a G szorzatban gyeng en konverg al valamely X-hez. Mazur t etele alapj an l etezik 63 olyan Y k 2 conv X k ;X k+1 ;... ª sorozat, amelyik a G szorzat norm aj aban konvergens. Ez ert az Y k koordin at ai H 2 -ben konverg alnak, vagyis minden k eset en l eteznek a k0, k1,..., kn k konvex s ulyok, hogy az XN k Yn k = kj H k+j  0; c k n ² M j=0 sorozat minden n eset en konverg al H 2 -ben. 3. L assuk be, hogy ha L k ± = P N k j=0 kj Hk+j, akkor az L k ² M sorozat Cauchy-sorozat a szemimarting al topol ogia szerint. Legyen adott egy " > 0 es legyen 1=N < ". Ekkor tetsz}oleges k;l indexekre L k ² M L l ² M ± XN k XN l S = kjh k+j ² M ljh l+j ² M S Y N k Y N l XN k S + j=0 61 Krist of[1997]: 221.oldal. 62 Tallos[1999]: 8.15T etel. 63 Rudin[1991]: 3.13Theorem. j=0 kj Kk+j c N j=0 N l X ² M + S j=0 lj Kl+j c N ² M S :

51 A p enzäugyi eszkäozäok araz as anak alapt etele A c N de n ³ci oja es (26) miatt az ut obbi k et tag mindegyike kisebb, mint ". M asr eszt, felhaszn alva, hogy a sztochasztikus integr alok a null aban nulla ert eket vesznek fel, ± S = ± = 1X 2 n sup n=1 jkj 1 = Y k N YN l E K (0) YN k YN l (0) + K ² Y k N YN l 1X 2 n sup n=1 1X n=1 jkj 1 E K ² YN k Y N l n ^ 1 2 n sup E K ² YN k Y l N ^ 1 = jkj 1 = sup E K ² YN k Y l N ^ 1 jkj 1 sup E K ² YN k Y l ± N = jkj 1 = sup K ² YN k Y l 1 N sup jkj 1 jkj 1 = sup K ² Y k N Y l H N 2 : jkj 1 K ² Y k N Y l N 2 = n ^ 1 = Ez utols o kifejez es az It^o-izometri aval s Z 1 E( K 2 d YN k Y q N l ) E( YN k Y N l (1)) = YN k YN l H 2 ; sup jkj 1 0 vagyis Y k N YN l S 2 Y k N YN l H 2 : Az Yn k minden n-re, ³gy N-re is konverg al a H 2 -ben, ez ert el eg nagy k-ra es l-re az YN k Y N l S is kisebb, mint ". Ezzel a lemm at bel attuk Lemma. Az el}oz}o lemm aban de ni alt L k sorozatra teljesäul, hogy az L k ² A sorozat konvergens a szemimarting al topol ogi aban. Bizony ³t as. A szemimarting al topol ogi at jellemz}o 2.15 t etel miatt elegend}o megmutatni, hogy minden t-re a sztochasztikus konvergenci aban egyenletesen a jkj 1 folyamatokon. 1. A (K ² ((L k L m ) ² A)) t! 0 K ² ((L k L m ) ² A) Var(K ² ((L k L m ) ² A)) = jkj ² Var((L k L m ) ² A) Var((L k L m ) ² A)

52 132 Badics Tam as { Medvegyev P eter egyenl}otlens egek miatt elegend}o bel atni, hogy Var L k L m ² A (1)! 0 sztochasztikusan, amint k; m! 1. TegyÄuk fel, hogy ez nem teljesäul, vagyis l eteznek az (i k ;j k ) näovekv}o, eg esz ert ek}u sorozatok es egy > 0 sz am, hogy P Var((L ik L jk ) ² A)(1) > > : A korl atos v altoz as u folyamatok Hahn-felbont asa alapj an l etezik egy h k, f+1; 1g-beli ert ekeket felvev}o el}orejelezhet}o folyamat, amelyre Var (L ik L jk ) ² A = h k ² (L ik L jk ) ² A : De ni aljuk az R k integrandust a käovetkez}ok eppen: R k ± = L j k A h k konstrukci oja miatt az 1 + h k L ik L jk = 1 2 L i k + L jk + h k (L ik L jk ) : (R k L ik ) ² A = 1 (h k 1)(L ik L jk ) ² A 2 (R k L jk ) ² A = 1 (h k + 1)(L ik L jk ) ² A 2 (27) folyamatok näovekv}oek, es Var (L i k L j k ) ² A (1) = (R k L i k ) ² A (1)) + (R k L j k ) ² A (1)) : Feltehet}o, hogy minden k-ra P (R k L ik ) ² A (1) > 2 > 2 ; (28) ugyanis a rel aci onak vagy az i k -val, vagy a j k -val v egtelen sokszor teljesäulni kell, ³gy, ha szäuks eges, az i k es a j k indexeket felcser eljäuk. 2. L assuk be, hogy (R k L ik )²M sztochasztikusan 0-hoz tart. TegyÄuk fel, hogy az all ³t asunkkal ellent etben valamely -ra v egtelen sok k indexre Legyen P (R k L i k ) ² M > > : ¾ ± = inf t j (R k L i k ) ² M (t) > ª : Az indirekt feltev es miatt P(¾ < 1) >, ez ert l etezik egy s sz am, hogy P (¾ < s) > =2. Ekkor, felhaszn alva a (27) els}o sor at, azt kapjuk, hogy egy =2-n el nagyobb val osz ³n}us eg}u halmazon v egtelen sok k-ra (R k L ik ) ² M (¾ ^ s) = (R k L ik ) ² M ¾ (s) = = 1 (Â([0;¾])(h k 1)(L ik L jk )) ² M (s) : 2 Ez azonban ellentmond as, hiszen a K ± = 1 2 Â([0;¾])(hk 1)

53 A p enzäugyi eszkäozäok araz as anak alapt etele el}orejelezhet}o folyamatra jkj 1, es el}oz}o lemm ank alapj an (L ik L jk ) ² M! 0 a szemimarting al topol ogi aban, ez ert a 2.15 t etel alapj an a sztochasztikus konvergenci aban K(L i k L j k ) ² M (s)! 0 : Nyilv an hasonl o all ³t as teljesäul (R k L jk ) ² M -ra is. 3. Legyen (± k ) egy pozit ³v sz amokb ol all o null ahoz konverg al o sorozat. Az altal anoss ag megszor ³t asa n elkäul feltehet}o, hogy minden k-ra P (R k L i k ) ² M > ±k vagy (R k L j k ) ² M > ±k < ±k : (29) Legyen ± k = inff t j (R k ² M) t < max((l i k ² M)t ;(L j k ² M)t ) ± k g. A f k < 1g halmazon l etezik t, amelyre (R k ² M) t < max((l ik ² M) t ;(L jk ² M) t ) ± k ; vagyis vagy (R k ² M) t < (L ik ² M) t ± k, vagy (R k ² M) t < (L jk ² M) t ± k teljesäul. Azaz, vagy ((R k L i k )²M)t < ± k, vagy ((R k L j k )²M)t < ± k, amib}ol vagy ((R k L i k ) ² M) > ± k, vagy ((R k L j k ) ² M) > ± k. Ebb}ol viszont a (29) sor miatt P( k < 1) < ± k. 4. Legyen er k ± = R k Â([0; k ]). L assuk be, hogy az er k integrandus (1 + ± k )-megengedett. El}oszÄor tegyäuk fel, hogy t < k. Az (R k L ik ) ² A es az (R k L jk ) ² A folyamatok näovekv}oek es a 0-ban 0 ert eket vesznek fel, ³gy mindk et folyamat nem negat ³v, ez ert ( er k ² S) t = (R k ² S) t = (R k ² A) t + (R k ² M) t A k de n ³ci oja miatt maxf(l i k ² A) t ;(L j k ² A) t g + (R k ² M) t : (R k ² M) t maxf(l ik ² M) t ;(L jk ² M) t g ± k : Ezt a fenti egyenl}otlens eggel Äosszevetve, kihaszn alva, hogy az L ik es az L jk 1-megengedett: ( er k ² S) t maxf(l ik ² A) t ; (L jk ² A) t g + maxf(l ik ² M) t ; (L jk ² M) t g ± k maxf(l i k ² S) t ; (L j k ² S) t g ± k 1 ± k : M asodszor tegyäuk fel, hogy t = k. Az R k konstrukci oja miatt a (R k ² S) vagy a (L i k ² S), vagy a (L j k ² S) ugr assal egyezik meg. Az altal anoss ag megszor ³t asa n elkäul feltehet}o, hogy ( (R k ² S)) k = ( (L ik ² S)) k. Elemi sz amol assal ( er k ² S)( k ) = ( er k ² S)( k ) + ( er k ² S)( k ) maxf(l ik ² S);(L jk ² S)g( k ) ± k + ( (L ik ² S))( k ) (L i k ² S)( k ) ± k + ( (L i k ² S))( k ) = = (L ik ² S)( k ) ± k 1 ± k :

54 134 Badics Tam as { Medvegyev P eter Vagyis er k val oban (1+± k )-megengedett, ³gy az er k =(1+± k ) folyamat 1-megengedett. 5. BecsÄuljÄuk az ( er k =(1 + ± k ) ² S) 1 v altoz o (L i k ² S)1 -t}ol val o elt er es et. Ehhez tekintsäuk a käovetkez}o felbont ast: ³ er k ² S L i k ² S 1 + ± k 1 = ± k (( er k L i k ) ² S) 1 ± k 1 + ± k (L i k ² S) 1 = = ± k ³ (( er k L ik ) ² A) 1 + (( er k L ik ) ² M) 1 ± k 1 + ± k (L ik ² S) 1 : Az utols o tag nyilv an null ahoz tart. Figyelembe v eve a P ( k < 1) < ± k egyenl}otlens eget es a (28) sort, az els}o tagra, el eg nagy k-ra ³ P (( er k L ik ) ² A) 1 > > 2 4 : Tov abb a tudjuk, hogy az (R k L ik )²A nemnegat ³v ert ek}u, amib}ol käovetkezik, hogy liminf (( er k L ik ) ² A) 1 0 : (30) k!1 Ha ugyanis egy pozit ³v m ert ek}u halmazon a hat ar ert ek negat ³v lenne, akkor el eg nagy k-ra a P( k < 1) < ± k < miatt ellentmond ast kapn ank, hiszen csak egy legfeljebb ± k val osz ³n}us eg}u halmazon teljesäulhet, hogy a hat ar ert ek negat ³v. V egezetäul becsäuljäuk meg a m asodik tagot. Trivi alisan a f k = 1g halmazon R k = er k. Mik ent l attuk, az ((R k L ik ) ² M) sztochasztikusan tart 0-hoz, käovetkez esk eppen a P( k < 1) < ± k! 0 miatt (( er k L i k ) ² M) P! 0 : Az altal anoss ag megszor ³t asa n elkäul feltehet}o, hogy ez a konvergencia majdnem mindenhol ertelemben is teljesäul, ez ert (( er k L ik ) ² M) 1 m.m.! 0 : (31) 6. A 2.2 kompakts agi lemma alapj an l etezik a V k 2 convf e R k L ik ; e R k+1 L ik+1 ;... g sorozat, hogy a (V k m.m. ²S) 1! g, es (30) valamint (31) miatt g 0: Felhaszn alva (29) sort, el eg nagy k-ra: ³ P (( R ek L ik ) ² S) 1 > ³ 2 ± k P (( R ek L ik ) ² A) 1 > 2 P ³(( er k L i k ) ² M) 1 < ± k > 4 ± k > (32) 8 : Ism et (30) es (31) sorokb ol käovetkezik, hogy lim inf k!1 (( er k L ik ) ² S) 1 0 ;

55 A p enzäugyi eszkäozäok araz as anak alapt etele amib}ol vagyis lim sup((( R ek L ik ) ² S) 1 ) 0 ; k!1 lim k!1 ((( er k L ik ) ² S) 1 ) = 0 : Jegorov t etele miatt alkalmas C 2 F halmazon  C (V k ²S) 1 tart egyenletesen  C g-hez a C halmazon, ahol P( nc) <. Ekkor a 2.2 kompakts agi lemm at 16 a  C (( er k L i k )²S)1 sorozatra alkalmazva a V k -ban szerepl}o s ulyok nyilv an most is megfelel}oek lesznek, es az egyenletes konvergencia miatt a lemm aban a- ert ek et tetsz}olegesen kicsirev alaszthatjuk, ez ert (32) sort is gyelembe v eve kapjuk, hogy P(g > 0) > 0. Ekkor viszont, mivel (L i k m.m. ²S) 1! f 0, es mivel 1 az 1+± k -sorozattal val o szorz as nem v altoztatja meg a hat ar ert eket, ez ert a fenti s ulyok egy uttal egy olyan n U k 2 conv e R k 1 + ± k ; 1-megengedett integrandust adnak, melyre a er k+1 o ; ± k+1 lim k!1 (Uk ² S) 1 = g + f 0 f 0 is teljesäul, es az egyenl}otlens eg egy pozit ³v m ert ek}u halmazon pozit ³v, ami ellentmond az f 0 maximalit as anak. 2 Irodalom 1. Ansel, J. P.{Stricker, C. [1994]: Converture des actifs contingents et prix maximum.annalesdel'instituthenripoincare{probabilit esetstatistiques, vol Dunford,N.{Schwartz,J.T.[1958]:Linear Operators,Part I:General Theory, Interscience Publishers,New York. 3. Delbaen,F.{Shachermayer,W.[1994]:A General Version of the Fundamental Theoremof Asset Pricing, Mathematische Annalen, vol. 300, pp. 463{520, Springer,Berlin. 4. Delbaen,F.-Shachermayer,W.:[2006]:TheMathematicsofArbitrage,Springer-Verlag,Berlin. 5. Emery, H. [1979]: Une topologie sur l'espace dessemimartingales. In Dellacherieetal.(eds.)S eminairedeprobabilit esxiii,springerlecturenotes inmathematics721,pp.260{ Krist ofj.[1997]:azanal ³ziselemeiIII,ELTE,Budapest. 7. Krist ofj.:azanal ³ziselemeiIV,lel}ohely: 8. Medvegyev,P.[2002]:Val osz ³n}us egsz am ³t as,aula,budapest. 9. Medvegyev, P. [2002]: A p enzäugyi eszkäozäok araz as anakalapt etele diszkr et idej}umodellekben.käozgazdas agiszemle,xlix,2002,574{ Medvegyev,P.[2004]:Sztochasztikusanal ³zis,Budapest,Typotex.

56 136 Badics Tam as { Medvegyev P eter 11. Medvegyev,P.[2006]:A Dalang-Morton-Willinger t etel,szigma,vol.37,1-2, pp.73{ Medvegyev,P.[2007a]:StochasticIntegrationTheory,OxfordUniversityPress. 14. M emin,j.[1980]:espacedesemimartingalesetchangement deprobabilit e, Z.W.Verw.Geb,1980,52,pp.9{ Rudin,W.[1991]:FunctionalAnalysis,McGraw-Hill,New York. 16. Tallos P.[1999]:Dinamikairendszerekalapjai,Aula,Budapest. THEFUNDAMENTAL THEOREM OF ASSET PRICING FOR LOCALLY BOUNDED SEMIMARTINGALES 13. Medvegyev,P.[2007b]:Technicalresultsfor no-arbitrage theorems in continuoustime,k ezirat. TheDelbaenandSchachermayer'stheoremisoneofthedeepestresultsofmathematical nance. In this article we tried torethink and slightlysimplifythe original proof of the theorem to make understandable for nonspecialists whoare familiar withgeneral theory of stochastic processes. We give a detailed proof of the theorem andwegivenewproofsforsomeoftheusedstatements.

57 Szigma, XL. (2009) HAT EKONYS AG N Ä OVEL ESE TERVEZ ESSEL - AVAGY: AGGREG ALT TERVEZ ES ALKALMAZ ASA EGY MAGYAR V ALLALATN AL 1 GELEI ANDREA, P ALFI J OZSEF, DOBOS IMRE Budapesti Corvinus Egyetem { Holl oh azi Porcel an Manufakt ura Zrt. A cikk alapvet}o k erd ese, hogy mik eppen haszn alhat o a tervez es a termel esi folyamatok, s ezzel a v allalati m}ukäod es eg esz enek hat ekonys agnäovel ese erdek eben. A termel estervez es szintjei es eszkäozei käozäul a käoz ept av u aggreg alt tervez esre koncentr alunk. Ennek oka els}osorban az, hogy tapasztalatunk szerint e tervez esi szint gyakorlati alkalmaz asa m eg nem tekinthet}o elterjedtnek, s ebb}ol käovetkez}oen az eszkäoz alaposabb ismerete es alkalmaz as anak elterjed ese jelent}os tartal ekokat t arhat fel a m}ukäod esi hat ekonys ag näovel ese ter en. A dolgozat a termel estervez es klasszikusnak tekinthet}o modellj et alkalmazza egy hazai v allalat eset eben. Az elemz es sor an vizsg aljuk a modell alkalmazhat os ag at esa käuläonbäoz}o tervez esi alternat ³v ak hat as at a hat ekonys ag näovel es ere. Amodell sz am ³t og epes megold as at a Microsoft ExcelSolver programj aval v egeztäuk. Kulcsszavak: hat ekonys ag, aggreg alt tervez es, matematikaiprogramoz as, optimaliz al as, esettanulm any 1 Bevezet es Tanulm anyunk alapvet}o k erd ese, hogy mik eppen haszn alhat o a tervez es a termel esifolyamatok, sezzela v allalatim}ukäod es eg esz enek hat ekonys agnäovel ese erdek eben. Ma Magyarorsz agon a m}ukäod esihat ekonys ag probl em aja mind az egyesv allalatok, mind rajtuk keresztäul a gazdas ag eg esz enek egyik kulcsk erd ese. Ahat ekonys ag potenci alis forr asainak felt ar asa sor an ugyanakkor mind a gyakorlati, mind az elm eleti szakemberek leggyakrabban az Äuzemi szint}u termel esi folyamatok szervez es eben, illetve az ezzel kapcsolatos m}uszaki es hum an er}oforr asmenedzsment probl em akban gondolkodnak. Tapasztalatunk szerint a magyar gazdas ag szerepl}oi nem haszn alj ak ki azokat a hat ekonys agnäovel esi lehet}os egeket, melyek az el}obb eml ³tett megval os ³t asi folyamat tervez esi eszkäozt ar anak fejleszt es evel erhet}ok el. Dolgozatunkban az aggreg alt tervez esnek a gyakorlati alkalmazhat os ag at es a hat ekonys ag näovel es ere gyakorolt hat as at vizsg aljuk a Holl oh aziporcel an Manufakt ura Zrt. v allalatn al. A bemutat asra keräul}o konkr et esettanulm any igazolja, hogy a termel estervez esi folyamatainak fejleszt ese jelent}os hat assal lehet a v allalat hat ekonys ag anak näovel es ere. A termel estervez es szintjei es eszkäozei käozäul a käoz ept av u, un. 1 Be erkezett: 2009.szeptember25. andrea.gelei@uni-corvinus.hu.

58 138 Gelei Andrea { P al J ozsef { Dobos Imre aggreg alt tervez esre koncentr alunk. Ennek oka els}osorban az, hogy tapasztalatunk szerint e tervez esi szint gyakorlati alkalmaz asa m eg nem tekinthet}o elterjedtnek, s ebb}ol käovetkez}oen az eszkäoz alaposabb ismerete es alkalmaz as anak elterjed ese jelent}os tartal ekokat t arhat fel a m}ukäod esi hat ekonys ag näovel ese ter en. A dolgozat käovetkez}o r eszekb}ol all. A m asodik fejezetben räoviden ismertetjäuk a termel estervez es rendszer et, ezen beläul r eszletesebben az aggreg alt tervez es c elj at es m}ukäod esi logik aj at. A harmadik fejezetben bemutatjuk azt a k et optimaliz aci os aggreg alt tervez esi modellt, amelyet az esettanulm anyunkban alkalmaztunk, illetveismertetjäuk azokat azalapadatokat, melyeket az elemz eshez Äosszegy}ujtÄottÄunk es indul o adatokk ent alkalmaztunk. A negyedik fejezetben az elv egzett optimaliz al asok (futtat asok) käozäul ÄotÄot ismertetäunk, majd a kapott eredm enyeket ert ekeljäuk. Az Äot futtat as käozäul h arom eredm eny et hasonl ³tjuk Äossze a hat ekonys agi, p enzäugyi hat asok szempontj ab ol, es aj anl asokat fogalmazunk meg a v allalati menedzsment sz am ara a käovetend}o strat egi at illet}oen. V egäul az utols o, hatodik fejezetben Äosszefoglaljuk dolgozatunk eredm enyeit. 2 Az aggreg alt tervez es helye es feladata a termel estervez esi rendszerben A termel estervez es enek alapvet}o c elja, hogy a piaci kereslet min el magasabb szinten täort en}o kiel eg ³t es et biztos ³tsa a rendelkez esre all o er}oforr asok hat ekony kihaszn al asa mellett. A kereslet v allalatokn al meg gyelhet}o er}oteljes ingadoz asa term eszetesen nem teszi lehet}ov e, hogy az er}oforr asokat 100%- os hat asfokkal haszn aljuk fel. A termel es tervez es enek feladata m egis az, hogy a(zels}osorban) keresleti bizonytalans agokat gyelembe v eve, nagyr eszt keresleti el}orejelz esek es felt etelez esek alapj an a jäov}obeli termel es id}oben Äutemezett mennyis egeit a käolts eghat ekonys ag szempontja alapj an meghat arozza (Nahmias (1989), Chase, Aquilano (1993)). A termel estervez es folyamata szorosan illeszkedik a v allalat strat egiai tervez es enek folyamat aba, s täobb szakaszra bonthat o (1. abra). A termel estervez es a strat egiai, Äuzleti tervb}ol indul ki, ep ³t a v allalat ert ekes ³t esi terv ere esazoperat ³v termel estervez esanyagszäuks eglet tervez es eig (Material Requirements Planning, MRP), illetve a termel es napi Äutemez es eig terjed. Astrat egiaitervez es, illetveaz operat ³v termel estervez eskäozäotti helyezkedik el az aggreg alt tervez es. Az aggreg alt tervez es a leghosszabb id}ot avon gondolkod o termel estervez esi szint, ugyanakkor a v allalat käoz ept av u tervez esi rendszer enek r esze. Az aggreg alt tervez es teh at az eves Äuzleti es ert ekes ³t esi tervet ford ³tja le eves termel esi tervv e. Az aggreg alt tervez es feladata a kereslet es a k ³n alat käolts eghat ekony Äosszehangol asa, els}osorban a v allalat k ³n alati oldal anak befoly asol asa r ev en. A v allalat, illetve termel esi rendszer enek k ³n alata a rendelkez esre all o er}oforr asok, kapacit asok (hum an es g epi egyar ant), ebb}ol käovetkez}oen a termel esi Äutem es az ehhez kapcsol od o k eszletek jelentik.

59 Hat ekonys ag näovel ese tervez essel Vállalati stratégiai tervezés Hosszú táv Pénzügyi tervezés Üzleti elrejelzés Termék és piactervezés Erforrás (kapacitás) tervezés Aggregált termeléstervezés Közép táv Termék elrejelzés Termelési vezérprogram Durva kapacitás tervezés Anyagszükséglet tervezés Kapacitásszükséglet tervezés Rövid táv Termelési tevékenység irányítás Beszerzés tervezés és irányítás Input/output tervezés és irányítás 1. abra. A termel estervez es egyes szakaszai es fel ep ³t ese (Chase, Aquilano (1993))

60 140 Gelei Andrea { P al J ozsef { Dobos Imre Az aggreg alt tervez es sor an arra keressäuk a v alaszt, hogy a tervezett ert ekes ³t est e k ³n alati t enyez}ok milyen kombin aci oj aval lehets eges käolts eghat ekonyan megval os ³tani. Az aggreg alt tervez es {, mint arra elnevez ese is utal { e tervez esi tev ekenys eget aggreg altan, a f}o term ekcsoportok szintj en v egzi. Az aggreg alt tervez es alapj at k epezi az anyagszäuks eglet tervez esnek. Ennek r esze a termel esi vez erprogram kialak ³t asa, mely az aggreg alt termel esi terv keretsz amaira alapozva m ar konkr et term ekt ³pusokra bontva hat arozza meg a räovid t av u (pl. havi, vagy heti, k etheti) termel esi, gy art asi tervet. Ezt az un. termel esi vez erprogramot bontja le a räovid t av u termel estervez es es Äutemez es konkr et napi operat ³v tervekk e, gy art asi feladatokk a. Mint az az 1. abr ab ol l atszik, a termel estervez eshierarchikus l ep eseit folyamatosan k ³s eri egy a tervez esi id}ohorizont aggreg alts agi szintj enek megfelel}o, teh at egyre r eszletesebb adatokkal sz amol o kapacit asellen}orz es es tervez es (Evans et al. (1990)). Az esettanulm any k esz ³t esekor felm ertäuk a Holl oh azi Porcel an Manufakt ura Zrt. termel estervez esi gyakorlat at. E termel estervez es a v allalatn al is hierarchikus fel ep ³t es}u volt. A käoz ept av u, jellemz}oen eves termel estervez es az eves Äuzleti terv k esz ³t es enek r eszek ent keräult kialak ³t asra. Az eves termel esi terv jellemz}oen a tulajdonosi elv ar asok alapj an kialakul o eves arbev eteli tervre epäult. Az eves arbev eteli tervet a tervez esi folyamat sor an a v allalat a kor abbi tapasztalatok alapj an, teh at alapvet}oen b azis szeml eletben osztotta le havi termel esi tervekk e oly m odon, hogy a v arhat o keresletingadoz asok ismert ciklusaira ( ev eleji h onapokban igen alacsony ert ekes ³t esi volumen, m ³g az ev utols o k et h onapja sor an a janu ari ert ekes ³t esnek ak ar Äot-hatszoros at kitev}o keresleti cs ucs) a tervez essor an felk eszäult. Ez gyakorlatilag azt jelentette, hogy a termel esi folyamat v elt sz}uk keresztmetszete alapj an meghat arozott havi maxim alis kibocs at asi mennyis egekkel tervezve a kapacit asok viszonylag egyenletes terhel es evel az ev eleji, alacsonyabb kereslettel jellemezhet}o h onapokban k eszletfelhalmoz assal k eszäul fel az ev v egi keresleti cs ucsokra. Az eves termel esi terv mellett teh at a v allalat eves k eszletv altoz astervet is k esz ³tett, mely a havi tervezett ert ekes ³t esi volumen, illetve termel esi volumen käuläonbs egek ent ad odott. Az evestermel estervez es, illetveazt k ³s er}o k eszlettervez es alapvet}o probl em aj anak azt l atjuk, hogy: ² az reakt ³v, amennyiben b azisszeml eletben, a kialakult tapasztalatok, häuvelykujj-szab alyok alapj an täort enik; ² azt els}osorban a p enzäugyi szeml elet jellemzi es hi anyzik bel}ole az operat ³v m}ukäod est es a m}ukäod esi hat ekonys ag szempontj at t amogat o megkäozel ³t es; ² r eszben az el}oz}oekb}ol käovetkez}oen a tervez est nem k ³s eri a rendelkez esre all o er}oforr asok, kapacit asok szisztematikus, a m}ukäod esi hat ekonys agot szem el}ott tart o vizsg alata. Az aggreg alt tervez es val oban az eves Äuzleti es marketing tervet kell, hogy leford ³tsa eves termel esi tervv e. A p enzäugyi, nansz ³roz asi ig enyek

61 Hat ekonys ag näovel ese tervez essel vizsg alata mellett ugyanakkor azaggreg alt termel estervez es, teh at az eves termel estervez eskiemelt c elja azis, hogy (aggreg alt adatok alapj an) ellen}orizzea rendelkez esre all o er}oforr asok, kapacit asok mennyis eg et es azok adott keretei käozäott käolts eghat ekony m odon hangolja Äossze a keresletet es a v allalat sz am ara rendelkez esre all o er}oforr asok (g epi es hum an) felhaszn al as at. V elem enyäunk szerint az operat ³v m}ukäod es hat ekonys ag anak näovel es et t amogat o aggreg alt termel estervez es eszkäoz enek tudatos haszn alata hasznos eszkäoze lehet a Holl oh azi Porcel an Manufakt ura Zrt. m}ukäod esi hat ekonys aga näovel es enek. Tanulm anyunk tov abbi r esz eben bemutatjuk, hogy mik eppen j arulhat hozz a az aggreg alt termel estervez es eszkäoz enek alkalmaz asa a vizsg alt v allalat m}ukäod esi hat ekonys ag anak näovel es ehez. 3 Az esettanulm anyban alkalmazott aggreg alt tervez esi modellek Az aggreg alt tervez es c elja teh at, hogy a v allalat menedzsmentje sz am ara meghat arozza, az ert ekes ³t esi tervnek val o megfelel es milyen er}oforr as kombin aci oval val os ³that o meg hat ekonyan (Nahmias (1989), Hax es Candea (1984)). A vizsg alt er}oforr asok {, mint azt m ar eml ³tettÄuk { a rendelkez esre all o g epi es hum an kapacit as es a k eszlet allom any. A Holl oh azi Porcel an Manufakt ura Zrt. esettanulm anya sor an az aggreg alt tervez esnek k et modellj et is alkalmaztuk. A modellek abban käuläonbäoznek, hogy megengedik-e, haszn alj ak-e a t ul or at vagy sem. Amodellek param etereit es v altoz oit azal abbiakban ÄosszegezzÄuk (a param eterek is jelzik, hogy a vizsg alt termel esi rendszer hum an er}oforr as-korl atos). Param eterek 1) Kereslettel kapcsolatos param eterek S t a kereslet mennyis ege a t-ik peri odusban, 2) Hum an er}oforr as kapacit assal kapcsolatos param eterek k C W C H C F C O C U egys egnyi munkaer}o termel ekenys ege a peri odusban, egy dolgoz o atlagos munkab ere, Ft/f}o/h o, egy uj dolgoz o felv etel enek, betan ³t as anak käolts ege, Ft/f}o/h o, egy uj dolgoz o elbocs at as anak käolts ege, Ft/f}o/h o, egy dolgoz o t ul or aj anak käolts ege, Ft/f}o/h o, egy dolgoz o ki nem haszn alt munkaerej enek käolts ege, Ft/f}o/h o. 3) G epi er}oforr assal kapcsolatos param eterek C t a rendelkez esre all o g epi kapacit as a t-ik peri odusban, (ez alland o lesz a modellekben es egyenl}o a v allalat termel esi folyamat anak sz}uk keresztmetszete altal k epzett kapacit askorl attal, az eget}o kemence kapacit as aval),

62 142 Gelei Andrea { P al J ozsef { Dobos Imre 4) K eszlet-param eterek I 1 t C I a biztons agi k eszlet a t-ik peri odusban, egys egnyi anyag k eszlettart asi käolts ege, Ft / tonna / h o, 5) Egy eb param eterek T a tervez esi peri odusok sz ama, esetäunkben 12 h onap, vagyis ennyi peri odus, C P egys egnyi term ek termel esi käolts ege, Ft / tonna / h o, Azaggreg alt tervez es a rendelkez esre all o er}oforr asok käuläonf ele kombin aci oit alkalmazva elt er}o tervez esi alternat ³v akat fogalmaz meg. A tervez esi alternat ³v ak ertelmez ese es ert ekel ese szempontj ab ol a Holl oh azi Porcel an Manufakt ura Zrt. eset eben az al abbi v altoz ok relev ansak. V altoz ok I t P t W t a k eszlet allom any a t-ik peri odus v eg en, nemnegat ³v, a termel es mennyis ege a t-ik peri odusban, nemnegat ³v, a munkaer}o allom anya a t-ik peri odus v eg en, nemnegat ³v, H t a felvett/elbocs atott dolgoz ok sz ama a t-ik peri odusban, ha negat ³v, akkor elbocs at as, ha pozit ³v, akkor felv etel, O t a t ul ora/ki nem haszn alt munkaer}o a t-ik peri odusban, ha pozit ³v, akkor t ul or aztat as, ha negat ³v, akkor ki nem haszn alt munkaid}o. Atov abbiakban a fenti param eterek es v altoz ok haszn alat aval vizsg aljuk meg a k et alapmodellt 3.1 Aggreg alt tervez esi modell t ul or aval Els}ok ent a modell matematikai ÄosszefÄugg eseit mutatjuk be: 1. K eszlet{termel es ÄosszefÄugg es: I t = I t 1 + P t S t (t = 1;2;... ;T) : (1) Az ÄosszefÄugg es azt mondja ki, hogy a peri odus (h onap) z ar ok eszlet et ugy hat arozhatjuk meg, hogy a peri odus elej en rendelkez esre all o k eszlet allom anyhoz hozz aadjuk a termel es mennyis eg et, amib}ol kiel eg ³tjÄuk a keresletet. 2. A munkaer}o egyens ulya: W t = W t 1 + H t (t = 1;2;...;T) : (2) Ez azt ³rja le, hogy a peri odus v egi munkaer}o allom anya megegyezik a peri odus elej en rendelkez esre all o munkaer}o es a felv etel/elbocs at as Äosszeg evel. Ha felv etel van, akkor a munkaer}o allom anya n}o, elbocs at as eset en csäokken.

63 Hat ekonys ag näovel ese tervez essel Kapacit askorl at: 0 P t C t (t = 1;2;... ;T) : (3) A kapacit askorl atot (C t ) nem l epheti t ul a termel es. A sz am ³t asainkban ez 40 tonna/h o, egyenl}o az eget}o kemence kapacit as aval, mint a termel esi folyamat sz}uk keresztmetszet enek egys egnyi peri odusra jut o kibocs at as aval. 4. A termel es mennyis ege es a munkaer}o käozäotti ÄosszefÄugg es: P t = k W t + O t (t = 1; 2;...; T) : (4) A termel es mennyis eg et ugy hat arozhatjuk meg, hogy a munkaer}o altal rendes munkaid}oben lehet}ov e tett termel esi mennyis eghez hozz aadjuk a t ul or aban el}o all ³tott term ekmennyis eget. 5. Biztons agi k eszlet: I t I 1 t (t = 1; 2;...; T) : (5) Itt I 1 t az el}ore megadott/elv art biztons agi k eszlet nagys ag at jeläoli, amelyet a menedzsment ³r el}o a tervez esi horizonton. V egäul a minimaliz aland o käolts egfäuggv enyt ³rjuk le: TX [C I I t + C W W t + C P P t + f(h t ) + g(o t )]! min ; (6) t=1 ahol es ½ CF H f(h t ) = t ha H t < 0 C H H t ha H t 0 ; g(o t ) = ½ CU O t ha O t < 0 C O O t ha O t 0 : A käolts egfäuggv eny teh at Äot r eszb}ol all egy peri odusban: a k eszlettart as käolts ege (C I I t ), a munkaer}o käolts ege (C W W t ), a termel esi käolts eg (C P P t ), a felv etel/elbocs at as käolts ege (f(h t )), a t ul ora/ki nem haszn alt munkaer}o käolts ege (g(o t )). Ezen k ³vÄul tudjuk, hogy a k eszlet, a munkaer}o es a termel es nemnegat ³v: I t 0; W t 0; P t 0 (t = 1;2;... ;T): (7)

64 144 Gelei Andrea { P al J ozsef { Dobos Imre 3.2 Aggreg alt tervez esi modellt ul orafelhaszn al asan elkäul M asodik modelläunk ÄosszefÄugg eseiazonosak az (1)-(7) modell ÄosszefÄugg eseivel. A käuläonbs eg egyedäul a t ul ora elsz amol as aban jelentkezik, a (4) ÄosszefÄugg esn el, ugyanis itt nem engedjäuk meg a t ul or at es term eszetesen a (6) c elfäuggv enyb}ol a t ul ora/ki nem haszn alt munkaer}o käolts ege is hi anyzik. Az attekinthet}os eg kedv e ert ujra Äosszefoglaljuk az ÄosszefÄugg eseket. 1. K eszlet{termel es ÄosszefÄugg es: I t = I t 1 + P t S t (t = 1;2;... ;T) : Az ÄosszefÄugg es azt mondja ki, hogy a peri odus (h onap) z ar ok eszlet et ugy hat arozhatjuk meg, hogy a peri odus elej en rendelkez esre all o k eszlet allom anyhoz hozz aadjuk a termel es mennyis eg et, amib}ol kiel eg ³tjÄuk a keresletet. 2. A munkaer}o egyens ulya: W t = W t 1 + H t (t = 1;2;...;T) : Ez azt ³rja le, hogy a peri odus v egi munkaer}o allom anya megegyezik a peri odus elej en rendelkez esre all o munkaer}o es a felv etel/elbocs at as Äosszeg evel. Ha felv etel van, akkor a munkaer}o allom anya n}o, elbocs at as eset en csäokken. 3. Kapacit askorl at: 0 P t C t (t = 1;2;... ;T) : A kapacit askorl atot (C t ) nem l epheti t ul a termel es. A sz am ³t asainkban ez 40 tonna / h o. 4. A termel es mennyis ege es a munkaer}o käozäotti ÄosszefÄugg es: P t = k W t (t = 1;2;...;T) : A termel es mennyis ege most nem lehet nagyobb, mint a rendelkez esre all o munkaer}o altal biztos ³tott kapacit as. Ezzel a szeml elettel a termel esnek k et korl atja van: a g epi kapacit as es a munkaer}o kapacit asa. 5. Biztons agi k eszlet: I t I 1 t (t = 1; 2;...; T) : Itt I 1 t az el}ore megadott/elv art biztons agi k eszlet nagys ag at jeläoli, amelyet a menedzsment ³r el}o a tervez esi horizonton. Ha nincs el}o ³rt biztons agi k eszlet, akkor a null at vehetjäuk annak. V egäul a minimaliz aland o käolts egfäuggv enyt ³rjuk le: TX [C I I t + C W W t + C P P t + f(h t )]! min ; t=1 ahol f(h t ) = ½ CF H t ha H t < 0 C H H t ha H t 0 :

65 Hat ekonys ag näovel ese tervez essel A käolts egfäuggv eny teh at n egy r eszb}ol all egy peri odusban: a k eszlettart as käolts ege (C I I t ), a munkaer}o käolts ege (C W W t ), a termel esi käolts eg (C P P t ), a felv etel/elbocs at as käolts ege (f(h t )). Ezen k ³vÄul tudjuk, hogy a k eszlet, a munkaer}o es a termel es nemnegat ³v: I t 0; W t 0; P t 0 (t = 1;2;... ;T): 3.3 A modell alkalmaz asa sor an haszn alt indul o adatok A modell sz am ³t og epes megold as at a Microsoft Excel Solver programj aval v egeztäuk. A modell futtat asa es elemz ese sor an a v allalat vezet es evel egyeztetett alapadatokra ep ³tettÄunk. Ahol szäuks eg volt r a, ott r eszletesen magyar azzuk az alapadatokra epäul}o, de tov abbi sz am ³t asok m odj at. Az elemz esi r eszben a k es}obbi futtat asok ert ekel ese sor an mindig jelezzäuk, hogy mi ert m odos ³tottunk bizonyosadatokat, illetve mely adatok, milyen jelleg}u v altoztat as ara keräult az adott futtat asn al sor! A keresletet a rendelkez esäunkre bocs atott 2007-es havi arbev eteli terv alapj an hat aroztuk meg. Ezek az adatok Ft-ban voltak a v allalatn aladottak, amit a modell sz am ara volumen-adatokk a kellett transzform alnunk. Az aggreg alt tervez est a porcel angy art as saj atoss agaib ol ad od oan tonn ara v egeztäuk el. A gyakorlatban ismert Ft/kg atlagos arbev etel (10 milli o Ft/tonna) häuvelykujj szab allyal a tervezett ert ekes ³t esi volumeneket ki tudtuk sz amolni. (Janu arban pl. 29,53 milli o Ft, azaz 1,97 tonna a v arhat o ert ekes ³t es mennyis ege.) A v allalat keresleti jellemz}oi, illetve termel esi es min}os egi mutat ok ismeret eben ugyanakkor azt is l atni kell, hogy ehhez az ert ekes ³t esi mennyis eghez nagyobb gy art asi volumeneket kell ind ³tani (nehezen el}ore jelezhet}o az ert ekes ³tett aruk strukt ur aja, min}os egi hib ak viszonylag magas ar anya). 50%-os selejttel, majd 100%-os plusz k eszletig ennyel sz amolva kaptuk a modellben szerepl}o keresleti adatokat tonn aban. Mind az 50, mind a 100%-os r atart asn altudatosan kiss e t ulterveztäuk a termel est, hiszen ez az ert ekes ³t eshez szäuks eges mennyis eg k etszeres megdupl az as at jelenti. P elda a sz am ³t as m odj ara: Janu ar: 29,53 milli o Ft / (10 milli o Ft/tonna / 4)! 11,81 tonna. A sz am ³t as m odja teh at gyelembeveszi a piaci keresletet, abb ol indul ki, de a termel esi rendszer jellemz}oi (a sz eles term eksk ala miatt az egyes term ekek ir anti igen bizonytalan kereslet, a term ek gy art asi folyamat alatti, de azt käovet}oen is erv enyes käonny}u s eräul ekenys ege) miatt gyakorlatilag brutt os ³tja azokat. Amodellben kereslet alatt kezelt mennyis egeket ez ert brutt o keresletnek tekinthetjäuk. Ezek alapj an a 2007-es havi arbev eteli es termel esi tervben szerepl}o ert ekes ³t esi terv teljes ³t es ehez szäuks eges elv art termel esi volumen (St), a käovetkez}ok eppen alakul:

66 146 Gelei Andrea { P al J ozsef { Dobos Imre Janu ar: 29,53milli oft! 11,81tonna, Febru ar: 62,36milli oft! 24,94tonna, M arcius: 72,24milli oft! 28,89tonna, Aprilis: 78,78milli oft! 31,51tonna, M ajus: 104,2milli oft! 41,68tonna, J unius: 96,34milli oft! 38,54tonna, J ulius: 91,95milli oft! 36,78tonna, Augusztus: 102,93milli oft! 41,17tonna, Szeptember: 106,22milli oft! 42,49tonna, Okt ober: 88,6milli oft! 35,44tonna, November: 148,09milli oft! 59,24tonna, December: 168,95milli oft! 67,58tonna. Kapacit askorl at (C t ): 40 tonna/h o (Egy h onapban 20 norm al munkanappal, illetve 8 nap lehets eges t ul or aval sz amolva.) Munkaer}o allom anya (W 0 ): 150 f}o janu ari indul o allom any. Biztons agi k eszlet (I 1 t ): 10 tonna /h o Egys egnyi munkaer}o termel ekenys ege (k): ² Norm al munkaid}o (20 nap/h o): 0,2353 tonna / f}o / 20 nap (30 tonna / h o min}os egi term ekhez 15%-os selejt mellett 35,295 tonna/h o Äossztermel es szäuks eges. Ezt a volument 150-nel osztva kapjuk az egy f}ore jut o munkaer}o termel ekenys eg et.) ² T ul ora idej eben (8 nap/h o): 0,09412 tonna / f}o / 8 nap (A fenti sz am ³t asban szerepl}o 35,295 tonna/h o kibocs at ast osztottuk 20-szal. Igy megkaptuk a szäuks eges napi kibocs at as mennyis eg et. Ezt osztva 150- nek kapjuk az egy f}ore jut o munkaer}o termel ekenys eg et.) ² T ul ora idej eben (4 nap/h o): 0, tonna / f}o / 4 nap (A fenti sz am ³t asban szerepl}o 35,295 tonna/h o kibocs at ast osztottuk 20-szal. Igy megkaptuk a szäuks eges napi kibocs at as mennyis eg et. Ezt osztva 150-nek kapjuk az egy f}ore jut o munkaer}o termel ekenys eg et. Majd ezt feleztäuk a n egy napnyi t ul or ahoz.) KÄolts egek: ² K eszlettart as käolts ege (C I ): Ft/tonna/ ev (10%-os eves kamatr ata mellett, 1800 Ft/kg sz ³nes aru ert ekkel sz amolva), ez havi bont asban Ft/tonna/h o ² Munkaer}o käolts ege (C W ): Ft /f}o /h o ² Termel esi käolts eg (C P ): Ft /kg sz ³nes aru, Ft/tonna ² Felv etel käolts ege (C F ): nincs, azaz 0 Ft ² Elbocs at as käolts ege (C H ): Ft/f}o

67 Hat ekonys ag näovel ese tervez essel ² T ul ora käolts ege (C O ): Ft/ ora/f}o, ami havonta (20 nap) Ft/f}o/h o (Ez azt jelenti, hogy, amennyiben egy dolgoz o csak t ul or azna eg esz h onapban, akkor ennyibe keräulne a v allalatnak.) ² Ki nem haszn alt munkaer}o käolts ege (C U ): Ft/f}o/h o 4 Az optimaliz al asok eredm enyei A k et alapmodell lehet}ov e tette, hogy a param eterekre erz ekenys egi vizsg alatokat is v egezzäunk. Ennek megfelel}oen bizonyos param eterek v altoztat as aval Äot käuläonbäoz}o esetet vizsg altunk. Term eszetesen folyamatosan jelezzäuk, amikor a param etert az el}oz}oekben ismertetetthez k epest m odos ³tjuk! Jelen fejezetben az egyes alternat ³v ak megold as at mutatjuk be, es a käovetkeztet eseket foglaljuk Äossze. A fejezetet ugy ep ³tettÄuk fel, hogy Äon all o alfejezetekben szerepelnek az egyes szcen ari ok, majd a hatodik alfejezet a legfontosabb alternat ³v ak Äosszehasonl ³t as at v egzi el. 4.1 Az els}o modell eredm enyei: T ul ora megenged ese Az aggreg alt termel estervez esi modell els}o futtat asa a 3.3. alfejezetben megadott alapadatokkal täort ent. Az eredm enyäul kapott aggreg alt termel esi terv jellemz}oi a käovetkez}ok: ² A v allalatnak a kereslethez k epest rendelkez esre all o sz}ukäos kapacit asok miatt gyakorlatilag folyamatosan maxim alis g epkapacit as kihaszn al as mellett kell m}ukäodnie (kiv eve november). ² A t ul ora lehet}os eg et megengedve, illetve annak idej et nem korl atozva (8 h etv egi nappal sz amolva havonta) a javasolt legink abb käolts egk ³m el}o er}oforr as-hasznos ³t asazalkalmazottil etsz am150 f}or}oltäort en}o le ep ³t ese 122 f}ore, illetve ezzel p arhuzamosan az alkalmazottak folyamatos t ul- or aztat asa. Ebben az esetben az optim alisnak tartott termel esi terv legfontosabb jellemz}oit, ³gy a g epi kapacit asterhel es mellett a k eszletfelhalmoz as, illetve le ep ³t es Äutem et, a k eszletszint alakul as at mutatja be a 2. abra. Ezt a megold ast azonban k et szempontb ol sem tartottuk a gyakorlat sz am ara val oban käovetend}onek. Egyr eszt a dolgoz ok folyamatos alland o t ul or aztat asa a v allalat hum an er}oforr as anak v egletekig täort en}o kihaszn al as at jelenteni, ami m ar käoz ept avon is a dolgoz oi lojalit as radik alis roml as ahoz, r aad asul v arhat oan a min}os egi helyzet tov abbi s ulyosbod as ahoz vezetne. Az is jelent}os ellen erv e megold assal szemben, hogy b ar a v altoz o käolts egeket gyelembev eveez megfelel}onek tekinthet}o, azelbocs at asok egyszeri käolts ege igen magas (28 MFt).

68 148 Gelei Andrea { P al J ozsef { Dobos Imre Tonna Kereslet Készletszint Kapacitáskihasználtság Készletfelhalmozás Hónap 2. abra. A Holl oh azi Porcel an Manufakt ura Zrt. aggreg alt termel estervez esi modellj enek eredm enye { Els}o modell alapadatokkal täort en}o futtat asa (1. fut as) K ³s erleti jelleggel futtattuk a modellt csäokken}o t ul or aztat asi lehet}os eggel is (pl. havi 4 nap, teh at k et h etv ege megengedett t ul ora, illetve nulla megengedett). Az eredm enyek azt mutatt ak, hogy valamikor az 50% es a 0%-os tervezett, illetve megengedett t ul ora käozäott az adott termel esi (kapacit as, termel ekenys eg), illetve käolts eg adatok mellett e ekt ³vv e, el}ov e v alik a v allalat eset eben a hum an er}oforr as korl at. A40 tonna/h o g epi kapacit asis igen käozel van ahhoz, hogy val os korl att a v aljon, hiszen a g epi kapacit askorl at miatt maxim alisan el erhet}o kibocs at asi volumen tonna = 480 tonna/ ev. Ez all szemben a sz am ³tott 460,07 tonna brutt o kereslettel. A fut asok eredm enye felh ³vta a gyelmet arra, hogy a vizsg alt v allalatn al a g epi kapacit asok mellett a hum an er}oforr as kapacit asa is käonnyen e ekt ³v korl atj av a v alhat a termel esnek. B ar a v allalat m}ukäod es ere ma is jellemz}o a t ul or aztat as kapacit asnäovel}o eszkäozk ent täort en}o alkalmaz asa, ugy v eljäuk, hogy ezt az eszkäozt mag aba az eves termel esi tervbe nem erdemes el}ore be ep ³teni, hiszen ezzel a betervezett kapacit asb}ov ³t essel a v allalat egy fontos rugalmass agi eszkäozr}ol mond le. Ez ert a modell käovetkez}okben ismertetett fut asain al t ul or at nem engedtäunk meg. (Ennek erdek eben m odos ³tottuk a modell bels}o strukt ur aj at, s a tov abbiakban ezzel a m odos ³tott, a 3.2 alfejezetben m ar ismertetett m asodik modellel dolgoztunk.) 4.2 A m asodik modell eredm enyei: t ul ora kiz ar asa Az aggreg alt termel esi terv m asodik fut as an al az alapadatokb ol indultunk ki, de {, mint azt eml ³tettÄuk { megv altoztattuk mag anak a modellnek a bels}o strukt ur aj at (ismertetve a 3.2 alfejezetben), amennyiben az eves termel esi terv k esz ³t es en el nem engedtäuk meg a t ul or aztat ast. E m asodik fut as eredm enye szerint a v allalat a tervezett keresletet es az ig enyelt biztons agi k eszlet szintj et a t ul or aztat as eszkäoze n elkäul, a jelenlegi m}ukäod esi es käolts egparam eterek mellett m ar csak abban az esetben tudja

69 Hat ekonys ag näovel ese tervez essel legy artani, ha 20 f}ovel megemeli dolgoz oi l etsz am at! Ez ism et meger}os ³ti, hogy a v allalatn ala g epi kapacit askorl at mellett a hum an er}oforr as korl atj aval is foglalkozni kell a menedzsmentnek. A hum an er}oforr as korl atj at vagy a dolgoz oi l etsz am emel es evel (ezt javasolta els}ok ent modelläunk), vagy a dolgoz ok termel ekenys eg enek jav ³t as aval lehet feloldani. (Amodellaz eddigiekben 0,2353 tonna /f}o /h o (1 h onap 20 munkanap) termel ekenys egi mutat oval sz amolt.) Ez ut obbi esetet vizsg aljuk meg az 5. fut as sor an. A javasolt l etsz amb}ov ³t es eset en a modell gyakorlatilag folyamatosan a g epi kapacit askorl aton, illetve ahhoz käozel tervezi a termel est. A k eszletfelhalmoz as es csäokkent es javasolt Äuteme az adott kereslet mellett majdnem megegyezik az el}oz}o fut as eredm eny evel Tonna 20 Kereslet Készletszint Kapacitáskihasználtság Készletfelhalmozás Hónap 3. abra. A Holl oh azi Porcel an Manufakt ura Zrt. aggreg alt termel estervez esi modellj enek eredm enye { (t ul ora n elkäul, 2. fut as) 4.3 A harmadik fut as eredm enye: T ul ora kiz ar asa es v altoz o biztons agi k eszlet ModellÄunkben eddig 10 tonna / h o alland o biztons agi k eszlettel sz amoltunk. Val oj aban ugyanakkor ilyen standard havi biztons agi k eszlet tart asa nem a legjobb k eszletez esi strat egia. A biztons agi k eszlet tart as anak c elja az, hogy a bizonytalan keresletb}ol ad od o nem v art helyzetekre reag alni tudjunk. Ennek megfelel}oen a biztons agi k eszlet szintj et ugy erdemes meghat aroznunk, hogy azt fäugg}ov e tesszäuk egyr eszt a kereslet v arhat o mennyis eg et}ol, illetve annak bizonytalans ag at ol. A biztons agi k eszlet es a keresleti bizonytalans ag käozäotti kapcsolat r eszletes matematikai vizsg alat ara az adatok jelenleg nem allnak rendelkez esre. Az ismert v allalati gyakorlati megold asokat gyelembe v eve häuvelykujj szab alyk ent haszn alhatjuk a käovetkez}o ir anyelvet: Adott h onap biztons agi k eszlete az }ot käovet}o h onap keresleti ingadoz asaira täort en}o felk eszäul est szolg alja. A cs ucsid}oszakban (a v allalatn al november es december) a kereslet 60%- at tekintsäuk szäuks egesbiztons agi k eszletnek,m ³g a täobbi h onap eset eben a kereslet 40%- at. Az ³gy sz am ³tott biztons agi k eszletszintek, az un. cs usztatott biztons agi k eszletek a Holl oh azi Porcel an Manufakt ura Zrt.

70 150 Gelei Andrea { P al J ozsef { Dobos Imre eset eben a käovetkez}ok eppen alakulnak: Janu ar: 29,53milli oft! 11,81tonna! 9,976tonna Febru ar: 62,36milli oft! 24,94tonna! 11,556tonna M arcius: 72,24milli oft! 28,89tonna! 17,646tonna Aprilis: 78,78milli oft! 31,51tonna! 16,672tonna M ajus: 104,2milli oft! 41,68tonna! 15,416tonna J unius: 96,34milli oft! 38,54tonna! 14,712tonna J ulius: 91,95milli oft! 36,78tonna! 16,648tonna Augusztus: 102,93milli oft! 41,17tonna! 19,996tonna Szeptember: 106,22milli oft! 42,49tonna! 14,176tonna Okt ober: 88,6milli oft! 35,44tonna! 35,544tonna November: 148,09milli oft! 59,24tonna! 40,548tonna December: 168,95milli oft! 67,58tonna! 4,724tonna Amodell teh at most az aktu alis havi kereslet, plusz az el}oz}oekben bemutatott biztons agi k eszlet Äosszeg et tekinti Äosszes keresletnek. Ez az Äosszes kereslet az eddigi 10 tonna/h o biztons agi k eszletszinthez k epest, mint az l atszik jelent}os Äosszkereslet-nÄoveked est jelent. Olyan jelent}os ez a näoveked es, hogy modelläunk azadottnak vett g epi kapacit as korl at el egtelens ege miatt nem adott megval os ³that o megold ast. 4.4 A negyedik fut as eredm enye: T ul ora kiz ar asa es näovekv}o kapacit as Mint arra a v allalatn al v egzett interj uk sor an f eny deräult, a v allalat az erz ekelt g epi kapacit askorl at old asa erdek eben az eget}okemence fel ep ³tm eny enek v altoztat as at hat arozta el. Inform aci oink szerint ez a v altoz as az eget}okemence (m azas eget es) kapacit as at v arhat oan 27%-kal näoveli. Ez azt jelenti, hogy a jelenlegi 40 tonna/h o kapacit asr ol a termel esi rendszer (amennyiben a megfelel}o munkaer}o-ell at as biztos ³tott) 55 tonna/h o feh er aru (teh at m ar form azott es egetett, de m eg nem festett es d ³sz ³tett aru) kibocs at as ara v alik k epess e. Enn el a fut asn al ez ert m ar ezzel a g epi kapacit askorl attal sz amoltunk. Az aggreg alt tervez esi modell 4. fut asa sor an azt vizsg altuk, hogy vajon k epes-e, s ha igen milyen strat egi aval käolts eghat ekonyan legy artani a megemelt g epi kapacit assal el}o all ³that o maxim alis mennyis eget a v allalat termel esi rendszere? Amennyiben a g epkapacit as korl atja 55 tonna/h o, az evente maximum 660 tonna feh er aru legy art as at teszi szäuks egess e. Ez a 660 tonna/ ev az el}oz}o modellekben sz amolt eves kereslet, azaz 460 tonna 1,4348-szorosa. Felt etelezve a keresleti ciklusok v altozatlans ag at ez azt jelenti, hogy a jelen k erd esäunk megv alaszol as ahoz szäuks eges megnäovelt keresleti mennyis egeket megkapjuk, ha a havi keresleti adatokat felszorozzuk 1,4348- cal. Az ³gy kapott keresleti mennyis egek a käovetkez}ok:

71 Hat ekonys ag näovel ese tervez essel Janu ar: 29,53milli oft! 11,81tonna! 16,94tonna Febru ar: 62,36milli oft! 24,94tonna! 35,78tonna M arcius: 72,24milli oft! 28,89tonna! 41,45tonna Aprilis: 78,78milli oft! 31,51tonna! 45,21tonna M ajus: 104,2milli oft! 41,68tonna! 59,80tonna J unius: 96,34milli oft! 38,54tonna! 55,30tonna J ulius: 91,95milli oft! 36,78tonna! 52,77tonna Augusztus: 102,93milli oft! 41,17tonna! 59,07tonna Szeptember: 106,22milli oft! 42,49tonna! 60,96tonna Okt ober: 88,6milli oft! 35,44tonna! 50,85tonna November: 148,09milli oft! 59,24tonna! 85,00tonna December: 168,95milli oft! 67,58tonna! 96,96tonna Amodellt e keresleti adatokkal, 55 tonna/h o g epi kapacit askorl attal (cs usztatott biztons agik eszletszinttelsz amolva, de a täobbiparam etert v altozatlanul hagyva) futtattuk. Eredm eny itt is azt mutatta, hogy a hum an er}oforr as komoly korl atja jelenleg a rendszernek, hiszen a megemelt keresleti mennyis egek legy art as at a jelenlegi 150 f}o helyett csak 234 f}o alkalmaz asa mellett tudja csak a termel esi rendszer biztos ³tani! 4.5 Az ÄotÄodik modell eredm enyei: T ul ora kiz ar asa es näovekv}o munkatermel ekenys eg Mint az el}oz}oekben bemutatott fut asok eredm eny eb}ol kideräul, a Holl oh azi Porcel an Manufakt ura Zrt. termel esi rendszer eben a g epi es a hum an kapacit as egyar ant käonnyen val os korl atoz o t enyez}oj ev e v alhat a gy art asi output näovel es enek. A t enyleges kibocs at asimennyis eg näovel es et csak a k et er}oforr as g epi es hum an kapacit asainak p arhuzamos, Äosszehangolt fejleszt es evel lehet biztos ³tani. A hum an er}oforr as kapacit as at k et m odon is emelni lehet: egyr eszt a l etsz am b}ov ³t es evel, m asr eszt a dolgoz ok termel ekenys eg enek näovel es evel lehet biztos ³tani. Az ÄotÄodik fut as sor an a 2. futtat asb ol kiindulva (nincs t ul ora, alapadatok, teh at indul o keresleti mennyis egek, 150 f}os l etsz ammal, 40 tonna/h o g epi kapacit askorl attal,10 tonna/ h o biztons agi k eszletszinttel) arra a k erd esre kerestäuk a v alaszt, hogy vajon az adott termel esi feladat megoldhat o-e a l etsz am b}ov ³t ese helyett az egy f}ore jut o termel ekenys eg emel ese r ev en. Eredm enyäul azt kaptuk, hogy abban az esetben val os ³that o meg az eves termel esi feladat, ha a g epi es a hum an er}oforr as kibocs at asa megegyezik egym assal. Jelenleg a g epi kapacit as maxim alis kibocs at asa 40 tonna / h o es 150 f}ovel dolgozik a gy ar. Az egy f}ore jut o termel ekenys egnek teh at 0,2667 tonna/dolgoz o (=40 tonna/h o osztva 150 f}ovel) kellene, hogy legyen. Az egy dolgoz ora jut o termel ekenys egnek ez a näoveked ese azindul o 0,2353-hoz k epest 13%-os emelked est jelent. E szerint a 3. fejezetben szerepl}o param eterek melletti indul o termel esi feladatot a v allalat vagy 20 ember felv etel evel, vagy a termel ekenys eg 13%-os emel es evel tudja biztos ³tani. A modell altal javasolt kapacit asterhel est, k eszlet-felhalmoz asi Äutemet es az ezek eredm enyek eppen ad od o Äosszk eszlet szintj et mutatja a 4. abra.

72 152 Gelei Andrea { P al J ozsef { Dobos Imre Tonna Kereslet Készletszint Kapacitáskihasználtság Készletfelhalmozás Hónap 4. abra. A Holl oh azi Porcel an Manufakt ura Zrt. aggreg alt termel estervez esi modellj enek eredm enye (egy f}ore jut o termel ekenys eg: 0,2667 tonna) Elemz esäunk azt is kimutatta, hogy az egy dolgoz ora jut o termel ekenys eg ilyen szint}u näoveked es evel a v allalat k epess e v alik a cs usztatott biztons agi k eszlettel megemelt eves termel esi teher kezel es ere is! 4.6 AzÄosszehasonl ³that oalternat ³v ak hat ekonys ag szempontj ab ol täort en}o ert ekel ese Az el}oz}oekben a Holl oh azi Porcel an Manufakt ura Zrt. aggreg alt tervez esi modellj et vizsg altuk a modell param etereinek v altoztat as aval. Ennek sor an fontosfelismer esre jutottunk, mely szerint {, mint azt a kor abbiakban m ar kiemeltäuk { a Holl oh aziporcel anmanufakt ura Zrt. termel esirendszere a vizsg alat id}opontj aban nem csak g epi, de hum an kapacit as korl atjainak hat ar an is volt! A käovetkez}okben az Äosszehasonl ³that o fut asok termel estervez esre vonatkoz o, illetve ebb}ol ad od o p enzäugyi vonatkoz as u eredm enyeit elemezzäuk. A fentiekben bemutatott futtat asok käozäul Äosszehasonl ³that o az1., a 2. esaz 5. modell megold asai. Az 1. t abl azatban, eml ekeztet}oäul Äosszefoglaljuk a h arom futtat as sor an kezelt param etereket. T ul ora Egydolgoz ora jut otermel ekenys eg Alkalmazkod as alapvet}oform aja 1. fut as 2. fut as 5. fut as Megengedett (havi8nap) Nem megengedett 0,2353 0,2353 T ul or aztat as L etsz amb}ov ³t es Nemmegengedett 0,2667(13%-os näoveked es) Termel ekenys eg näovel ese TÄobbi param eter (indul okereslet, 10 tonna/h o biztons agi k eszlet,käolts egadatok stb.) v altozatlanok;l asd 3.fejezet 1. t abl azat. A h arom kiemelt futtat as param etereinek es tulajdons againak Äosszefoglal asa

73 Hat ekonys ag näovel ese tervez essel AkÄovetkez}okben teh at a h arom kiemelt futtat as eset eben Äosszehasonl ³tjuk a modell altal javasolt termel esi terveket es azok jellemz}oit. Eml ekezzäunk arra, hogy az els}o fut as eset eben az aggreg alt termel esi terv az elbocs at as (150 f}or}ol 122 f}ore) esezzelp arhuzamosan a t ul or aztat aseszkäoz evel elt, sennek seg ³ts eg evel tudta a käolts eghat ekony megold ast kialak ³tani. A m asodik fut as eset en m ar nem engedtäunk meg t ul or at, az ³gy fell ep}o hum an er}oforr as korl atot a l etsz am 150-r}ol 170 f}ore täort en}o emel es evel tudta feloldani es ennek alapj an adott javaslatot. V egäul az 5. fut as sor an a termel ekenys eg 13%-os näovel es eveltudtuk a l etsz amemelked est kiv altani. Ahum an er}oforr as korl atj at teh at a termel ekenys eg emel es evel lehetett itt feloldani. Az al abbiakban ismertetjäuk a h arom fut as sor an javasolt termel esi alternat ³v at a javasolt kapacit asterhel es, a tervvel megval os ³t asa sor an kialakul o k eszletszint, a k eszletfelhalmoz as eves Äuteme, v egäul, de nem utols o sorban a modell ert ekel ese szempontj ab ol relev ans v altoz o käolts egek szempontja alapj an. H onapok 1. fut as 2. fut as 5. fut as ,37 30, ,40 35, ,87 36, ,69 37, ,67 39, , , , t abl azat. Az aggreg alt termel esi tervez es altal javasolt kapacit asterhel esek a h arom Äosszehasonl ³tott alternat ³va eset en (tonna/h o) Kapacitásterhelés futás 2. futás 5. futás Hónapok 5. abra. Az aggreg alt termel esi tervez es altal javasolt kapacit asterhel esek a h arom Äosszehasonl ³tott alternat ³va eset en (tonna/h o) Mint l atjuk az els}o alternat ³va (1. fut as) gyakorlatilag folyamatos maxim alis kapacit asterhel essel javasolja a termel esi tervet az ev sor an el}o all ³tani.

74 154 Gelei Andrea { P al J ozsef { Dobos Imre Kiv etel a november, amikor 20,07 tonna/h o termel esi volumennel sz amol a modell. A m asik k et fut as kapacit asterhel es enek Äutemez ese szinte azonos. Az els}o fut ashoz k epest az ev elej en kisebb, de folyamatosan emelked}o termel esi volumen gy art as at javasolja, majd a 8., illetve a 6. h onapra emelkedik 40 tonna/h ora. Innent}ol kezdve folyamatosan maxim alis kapacit asterhel est javasol. H onapok 1. fut as 2. fut as 5. fut as 1. 38,19 33,56 28, ,25 44,02 39, ,36 51,01 47, ,85 56,18 53, ,17 52,18 51, ,63 52,72 52, ,85 55,92 55, ,68 54,75 54, ,19 52,26 52, ,82 56,82 56, ,58 37,58 57, Havi atlagosk eszletszint 58,3 46,4 46,7 3. t abl azat. Az aggreg alt termel esi tervez es altal javasolt termel esi tervet k ³s er}o k eszletszint alakul asa a h arom Äosszehasonl ³tott alternat ³va eset en (tonna/h o) Készletszint Hónapok 1. futás 2. futás 5. futás 6. abra. Az aggreg alt termel esi tervez es altal javasolt termel esi tervet k ³s er}o k eszletszint alakul asa a h arom Äosszehasonl ³tott alternat ³va eset en (tonna/h o) Azel}oz}oekben bemutatott kapacit asterhel es es Äutemez esmellett kialakult k eszletszint alakul as at mutatja a 3. t abl azat, illetve a 6. abra. Mint l atjuk, az els}o fut as (l etsz amcsäokkent essel es t ul or aztat assal) jelent}osen magasabb k eszletfelhalmoz ast es ez altal k eszlet nansz ³roz asi terhet jelent a v allalatnak, mint a m asik kett}o fut as eredm enyek eppen kapott k eszletszint. (Ezek ism et nagyon hasonl oak egym ashoz.) Az els}o fut as eredm enyek eppen kapott atlagk eszlet szintje 58,3 tonna /h o, m ³g a m asodik fut as (l etsz amb}ov ³t es) eset eben az atlagk eszlet 47,4 tonna/h o, illetve az 5. fut as eset en (termel ekenys eg jav ³t asa) 46,7 tonna/h o. Jelent}os käuläonbs eg jelentkezik a k eszletmaximumok eset eben. Az 1. fut as sor an 75,85 tonna/h o j uliusban, m ³g a 2. fut asn al ez a

75 Hat ekonys ag näovel ese tervez essel cs ucs aprilisban gyelhet}o meg, s csak 56,18 tonna/h o. Az 5. fut as eset en a k eszletszint novemberben eri el maximum at, mely 57,58 tonna/h o. A h arom fut as altal javasolt h arom alternat ³v eves termel esi terv szempontj ab ol a b erkäolts eg es a k eszlettart as käolts ege a k et relev ans Äosszehasonl ³t asi t enyez}o, hiszen a gy art asi käolts eg a kereslet es a biztons agi k eszlet nagys ag anak v altozatlans aga miatt mindh arom esetben ugyanaz. A käovetkez}o t abl azat tartalmazza a h arom alternat ³va e kiemelt v altoz o käolts egek szempontj ab ol täort en}o vizsg alat at. KÄolts egek 1.fut as 2.fut as 5.fut as B erkäolts eg 190,3 265,2 234,0 T ul orakäolts ege 76,1 K eszlettart askäolts ege 10,5 8,4 8,4 ÄOsszesv altoz okäolts eg 276,8 273,5 242,4 Egyszerikiad as(elbocs at as) 28,0 4. t abl azat. A h arom kiemelt eves termel esi alternat ³va Äosszehasonl ³t asa a relev ans v altoz o käolts egek alapj an (MFt) A fenti t abl azatb ol k et f}o käovetkeztet es vonhat o le: Egyr eszt az els}o k et fut as altal javasolt v altozat nagyj ab ol ugyanazzal a v altoz o käolts eggel j ar. A b er jelleg}u kiad asokat tekintve a javasolt t ul or aztat as, illetve a javasolt l etsz amb}ov ³t es käolts eg gyakorlatilag egyforma käolts eggel oldhat o meg. Ugyanakkor a t ul ora mellett megval osul o termel esi terv valamivel magasabb k eszletszinttel j ar, mint a l etsz amb}ov ³t essel täort en}o alkalmazkod as. A k eszletez esi käolts egekben kimutathat o käuläonbs eg a k et sz oban forg o alternat ³va eset en ugyanakkor kicsi. Jelent}osebb megtakar ³t as erhet}o el m asr eszt a termel ekenys eg jav ³t as aval. A sz am ³t asban szerepl}o 13%-os termel ekenys egjavul as a modell futtat as anak eredm enyek eppen eves szinten Ft megtakar ³t ast biztos ³t, mely els}osorban a k eszletszint csäokkent ese miatt val osulhat meg. Eza megtakar ³t asi potenci al mindenk eppen felh ³vja a gyelmet arra, hogy a termel esi rendszer teljes ³tm eny enek näovel ese sor an kiemelt jelent}os eget kell tulajdon ³tani a termel ekenys eg näovel es enek! A termel ekenys eg näovel es enek egyik legfontosabb form aja a gy artott term ekek min}os eg enek näovel ese, a selejtar any csäokkent ese kell, hogy legyen! 5 ÄOsszefoglal as Meggy}oz}od esäunk, hogy a v allalati m}ukäod es hat ekonys ag anak näovel ese a mai magyar gazdas ag versenyk epess eg enek egyik kiemelked}oen fontos feladata. A hat ekonys ag näovel es enek sz amos eszkäoze van. CikkÄunkkel egy olyan eszkäozre altal aban a termel estervez esre, ezen beläulkäuläonäosen azaggreg alt tervez esre k ³v antuk felh ³vnia gyelmet, mely nem tartozik a prefer alt, gyakran alkalmazott eszkäozäok käoz e. Dolgozatunk azaggreg alt tervez es konkr et v allalati gyakorlatban täort en}o alkalmaz as at mutatta be. Az eredm enyeink azt mutatj ak, hogy ez a tervez esi eszkäoz alkalmas a v allalat termel esi folyamatainak m elyebb meg ert es ere, s eräul ekeny pontjainak felt ar as ara es elengedhetetlen a

76 156 Gelei Andrea { P al J ozsef { Dobos Imre hat ekony termel esi terv megv alaszt as ahoz. Rem eljäuk, hogy eredm enyeink felh ³vj ak a hazai, a glob alis ell at asi l ancnak jellemz}oen egy ebk ent besz all ³t oi poz ³ci oban l ev}o v allalatok gyelm et arra, hogy a tervez esi eszkäozt ar, ezen beläul a termel estervez es eszkäozt ar anak szisztematikus alkalmaz asa r ev en versenyel}onyre tehetnek szert. Irodalom 1. Chase,R.B.,Aquilano,N.J.(1985):Productionandoperationsmanagement: Alifecycleapproach,Irwin,HomewoodIL 2. Evans,J.R.,Anderson,D.R.,Sweeney,D.J.,Williams,T.A.(1990):Applied productionandoperationsmanagement,west Publishing Company,St.Paul etal.mn 3. Hax,A.C.,Candea,D.(1984):Productionandinventorymanagement,Prentice-Hall,Inc.,EnglwoodCli s NJ 4. Nahmias, S. (1989): Production and operations analysis, Irwin, Homewood IL,BostonMA IMPROVINGEFFICIENCY WITH PRODUCTION PLANNING{ APPLYING AGGREGATE PLANNING AT A HUNGARIAN COMPANY The article demonstrates how productionplanning,especially aggregate production planning can positively in uence the competitiveness of production rms. First the structure of production planning, di erent, but interconnectedlevels ofit are introducedthanthe aggregate planningis elaboratedinmore details. Reasonfor focusing on aggregate planning lies in the fact that according to our experience aggregate planning is an operation planning method applied least of all production planning methods in Hungary. Due to this we are convinced that demonstrating a real case study in this area can help managers to realize that adopting it cansigni cantlyin uence e±ciency inoperation and represent important source of development. WeappliedaclassicaggregateplanningmodelforaHungarianproducingcompany. Wehavetestedtheadaptabilityofthemodelandalsothee ect ofdi erent concrete planning scenarios on e±ciency. Solutionof the mathematical model is calculated using the program of Microsoft Excel Solver. Key words: e±ciency, aggregate planning, mathematical programming, optimization,case study.

77 Szigma, XL. (2009) AZ AHP M ODSZER EGY LEHETS EGES ALKALMAZ ASA TRENDEK EL } OREJELZ ES ERE 1 DULEBA SZABOLCS Ny ³regyh azi F}oiskola 1 Bevezet es Az Analytic Hierarchy Process (AHP) els}osorban az EgyesÄult Allamokban es a T avol-keleten alkalmazott däont est amogat o m odszer, mely täobb szerz}o altal kritiz alt (Dyer, 1990; Tversky es Simmonson, 1993; Perez, 1995), de k ets egk ³vÄul sz amosgyakorlatieredm enyt tudhat maga mäogäott (Zahedi, 1986; Carlsson es Walden, 1995; Yang es Shi, 2002). Elm eleti oldalr ol legink abb a komplex matematikai megalapozotts agot k erik sz amon az ellenz}ok, a gyakorlati szakemberek pedig az el}ofordul o fals käovetkeztet eseket kritiz alj ak. Az ut obbi oka kutat asaink alapj an els}osorban az, hogy a m odszert t ul sz eles spektrumon alkalmazz ak, mikäozben nem vizsg alj ak, hogy adott probl ema megold as an al egy altal an teljesäulnek-e a felhaszn al asra vonatkoz o krit eriumok. Kutat asaink sor an, illetve ennek a tanulm anynak a meg ³r asakor ennek a hib anak az elkeräul es ere ford ³tottunk käuläonäos gyelmet, hiszen az AHP-nek uj teräuleten: a trend-el}orejelz esben val o felhaszn alhat os ag at vizsg altuk. (A nemzetkäozi szakirodalomban mindäossze egy p eld at lehet tal alni a met odus hasonl o c elokra val o alkalmaz as ara: az EU 5th FP keret eben k eszäult SU- LOGTRA2000 tanulm anyt [12], azonban ebben a kutat asban nem vizsg alt ak az alkalmazhat os agot, s}ot a prognosztiz alt trend-v altoz asokat sem käovett ek nyomon. Ennek ellen ere referencia-kutat ask ent felhaszn altuk a publik alt tudom anyos eredm enyeit.) Trendek meg allap ³t as ahoz altal aban a hazai es az eur opai szakirodalom a relev ans m ultbeli adatok extrapol aci oj at haszn alja. Ezek az ugynevezett forecasting m odszerek, melyekn el matematikai- statisztikai m odszerekkel id}osorokb ol vagy täobbv altoz osadatelemz esb}olmeg allap ³tott ÄosszefÄugg esek alapj an jäon l etre az el}orejelz es (Nov aky, 1999). Gyorsan v altoz o piacokon a- zonban mint a vizsg alt speci alis teräuleten, a logisztikai piacok eset eben is ez kev esb e hat ekony met odus. Sokkal jobban el}orejelezhet}ok a v arhat o v altoz asok, ha az extrapol aci ot kieg esz ³ti egy jäov}orevonatkoz o v elem enyszint ezis a megfelel}o szak ert}okt}ol, szektorszerepl}okt}ol. Ezt a szakirodalom foresight t ³pus u el}orejelz eseknek nevezi (Krist of, 2002). AzAHP-t egy ertelm}uen a foresight t ³pusba sorolhatjuk. A konzekvens v elem enyszint ezisen t ul az AHP-nek van m eg k et attrakt ³v 1 Atanulm anytaszerz}oprof. Rapcs aktam aseml ek enekaj anlja,ez utonkäoszäonvemeg mindazt az ert ekes szakmai seg ³ts eget, amelyet t}ole kapott. Be erkezett: m ajus 4. duleba@nyf.hu.

78 158 Duleba Szabolcs von asa a predikci o szempontj ab ol: konzisztencia-, valamint erz ekenys egvizsg alat lefolytat as ara is alkalmas. A konzisztencia vizsg alata az ert l enyeges, mert a helytelen v alaszok azonnal kisz}urhet}ok, valamint az el}orejelz es bekäovetkez esi es ely ere is utalhat. Az erz ekenys eg-vizsg alatok pedig kimutatj ak, hogy a trend mely befoly asol o t enyez}ok hat as ara v altozhat legink abb a vizsg alt id}ointervallumon. A fenti okok miatt v alasztottuk a m odszert, a käovetkez}okben pedig bemutatjuk a fel all ³tott AHP trendmodellt, majd az anal ³zis sor an kapott eredm enyeket. 2 Az AHP alapvet ese A m odszer bemutat as at (Rapcs ak, 2007) alapj an v egezzäuk el. Az AHP-t komplex, vagyis Äosszetett probl em ak megold as ara fejlesztett ek ki. Ebb}ol käovetkezik, hogy az alapk erd esre (p eld aul, hogy melyik araj anlatot v alasszuk, melyik eszkäozt szerezzäuk be stb.) käozvetlenäul nagyon neh ez v alaszolni, ez ert olyan r eszekre kell bontani, amelyek käuläon-käuläon megv alaszol asa m ar käonynyebb feladat. A v egc el mindig az alternat ³v ak käozäul täort en}o v alaszt as. Mivel käozvetlenäul nem tudunk (vagy m eg nem akarunk) a lehet}os egek käozäul däonteni, szempontokat all ³tunk fel, amelyek alapj an käozvetetten ert ekeljäuk az alternat ³v akat. Amennyiben m eg bonyolultabb a probl ema, a szempontokat is m eg tov abb bontjuk alszempontokra es ezek alapj an ert ekeläunk. A däont esben a käuläonbäoz}o szempontok szerint az alternat ³v akra vonatkoz o inform aci ok alapj an egy v egs}o, kardin alis alternat ³va-sorrendet tudunk fel all ³tani. SokkalkÄonnyebb azonban az ert ekel es, ha egy bizonyosszempont alapj an az egyik v alaszt asi lehet}os eget egy m asikhoz viszony ³tunk csak, nem pedig az Äosszeslehets eges alternat ³v ahoz. Azt a legtäobb esetben el lehet däonteni, hogy bizonyos szempontb ol k et alternat ³va käozäul melyik a däont eshoz o sz am ara az el}onyäosebb vagy egyform an el}onyäosek (ahol nem, ott nem haszn alhat o az AHP). A m odszer teh at sorozatos p aros Äosszehasonl ³t asokb ol all. Ezeket az Äosszehasonl ³t asokat, hogy attekinthet}o rendszerben legyenek, Saaty (1977) [11] m atrixokba rendezte, es ezzel megalkotta az AHP matematikai alapj at. A bevezet esben le ³rtaknak megfelel}oen a modell fel all ³t asa el}ott ert ekelni kell a met odus alkalmazhat os ag at, illetve annak korl atait. 2.1 A m odszer trendmeghat aroz asra val o alkalmazhat os ag anak vizsg alata 1. Az alkalmazhat os ag els}o krit eriuma, hogy a probl ema, esetäunkben a trendek meg allap ³t asa, dekompon alhat o. Amennyiben az egyes trendek befoly asol o t enyez}oit azonos ³tjuk, az Äosszes faktor v altoz asa egyben az adott trend v altoz as at adja. A v altoz asi alternat ³v akat pedig käozvetlenäul a befoly asol o faktorokhoz rendelhetjäuk hozz a, ³gy a faktorokra vonatkoz oan allap ³thatunk meg alternat ³va-sorrendet. Az Äosszes faktorra meg allap ³tott alternat ³va sor-

79 Az AHP m odszer egy lehets eges alkalmaz asa trendek el}orejelz es ere 159 rend viszont a befoly asol o t enyez}ok trendben betäoltäott s uly an keresztäul az eg esz trendrevonatkoz oan kijeläoli a v egs}o alternat ³va-sorrendet. Azel}obbiek alapj an fel all ³tott trendmodellt mutatja az 1. abra. 2. P aros Äosszehasonl ³that os ag. L enyeges vizsg alni, hogy a probl ema szempontj ab ol a modell elemei käozäott elv egezhet}o-e a Saaty-f ele sk al aval val o oszt alyoz as. A hierarchia els}o szintj en, vagyis a faktorok trendben betäoltäott jelent}os eg en el arr ol kell däonteni a kitäolt}onek, hogy v elem enye szerint h anyszor nagyobb/kisebb egy adott faktor trendben betäoltäott s ulya, mint egy m asik faktor e (pl. jobban befoly asolja-e az inverz logisztika t erh od ³t as at az EU käornyezetv edelmi szab alyoz asa, mint a fogyaszt oi ig enyek). A hierarchia m asodik szintj en, vagyis a faktorokra vonatkoz o alternat ³va-sorrend meg allap ³t as an al arr ol kell däontenie a kitäolt}onek, hogy h anyszor nagyobb/kisebb az es elye az adott alternat ³va bekäovetkez es enek, mint egy m asik enak (pl. nagyobb-eaz es elye annak, hogy a käornyezetv edelmi szab alyoz as nagym ert ekben szigorodik, mint hogy alacsony m ert ekben). A fentiek alapj an az Äosszehasonl ³that os ag a hierarchia mindk et szintj en megval osul. 3. Konzisztencia. Fontos indik atora a modell alkalmazhat os ag anak a konzisztens kitäolt eseknek a vizsg alata. A Saaty altal meghat arozott käovetkezetlens egi h anyadost (CR) kisz amolva a lefolytatott kutat as 32 kitäoltäott k erd}o ³v eb}ol mindäossze 4 volt a 0,1-es krit erium ert ek felett. Az elfogadhat o inkonzisztencia szinttel rendelkez}o m atrixok 87,5%-os ar anya kell}oen szigni k ans ahhoz, hogy ebb}ol a szempontb ol alkalmazhat onak ³t eljäuk meg a m odszert. 4. Az eredm enyek szakmai indokolhat os aga. Akonzisztens kitäolt esek nem felt etlenäul jelentik a meghozott däont esek helyess eg et, hiszen käovetkezetesen is lehet rossz v alaszokat adni. Amennyiben a fel all ³tott modell alkalmaz asakor szakmailag ertelmezhetetlen vagy er}osen vitathat o eredm eny jäon ki, az c afolhatja a m odszer l etjogosults ag at egy adott teräuleten. Ennek vizsg alat ara egyr eszt sz eleskäor}u szakirodalmi anyagot haszn altunk fel (Baumgarten, 2000; Foster, 2004; Cushman es Wake eld, 2007), m asr eszt a m ar eml ³tett SULOG- TRAreferencia-kutat ast, v egäul a modell eredm enyeibirtok aban a kitäolt}okkel käozäoltäuk a m odszer alapj an levont käovetkeztet eseket, amelyeket azok szakmailag indokolhat onak tal altak. 5. A progn ozis bekäovetkez es enek vizsg alata. Teljes csak akkor lehet a m odszer alkalmazhat os ag anak bizony ³t asa, ha a kapott eredm enyek nagy sz azal ekban be is käovetkeznek a vizsg alt id}ointervallum v eg ere (kutat asunk eset eben ez 2010). Az Äosszehasonl ³t asalapj aul szolg al o SULOGTRA projekt 2000{2010-es intervallumon k eszäult, azonban a käozrem}ukäod}ok ugy t aj ekoztattak, hogy id}okäozi ellen}orz est nem v egeznek. Ez a krit erium teh at egyel}ore m eg nincs teljes ³tve. 2.2 A m odszer alkalmaz as anak korl atai 1. Szubjektivit as. A kapott eredm enyek v elem enyszint ezist jelentenek, a kitäolt}ok indirekt m odon megkapott szubjekt ³v däont es et. Semmik epp sem tekintend}o teh at optimumnak a fel all ³tott progn ozis, ink abb konszenzusnak

80 160 Duleba Szabolcs a jäov}obeli trendv altoz asokat illet}oen. A megk erdezettek kiv alaszt asa mindenk epp szisztematikus m odon megval os ³tand o, kiz ar olag a t ema szak ert}oi keräulhetnek a mint aba. Ezen t ul is r eszletesen elemeztäuk a minta egyedeit, els}osorban a szakm aban täoltäott evek sz ama, a strat egiai r al at as valamint a trendek ismerete szempontj ab ol. 2. A v alaszad as rugalmatlans aga. Az AHP folyamatban a k erd}o ³vek kitäolt}oinek nincs lehet}os egäuk a faktorok vagy alternat ³v ak megv altoztat as ara, sz amuk näovel es ere vagy csäokkent es ere. V elem enyäuket mindäossze a felk ³n alt befoly asol o t enyez}ok es alternat ³v ak Saaty-sk ala szerint ert ekel es eben juttathatj ak erv enyre. Nagyon l enyeges ez ert, hogy megalapozottan (szakirodalom, referencia-kutat as) v alasszuk meg a hierarchia elemeit, illetve, hogy ut olagosan lehet}os eget biztos ³tsunk a szak ert}ok sz am ara uj elemek javaslat ara, illetve a megl ev}ok csäokkent es ere vagy v altoztat asra. Az atrak asi rendszerek alkalmaz asa trend eset eben p eld aul a legnagyobb näoveked esi alternat ³v an al is magasabb Äutemet (25%) javasoltak ut olag a kitäolt}ok. 3. Az erz ekenys egvizsg alat parcialit asa. Az AHP elemz eshez felhaszn alt Expert Choice szoftver nem ad lehet}os eget egyszerre täobb faktor s uly anak v altoztat as ara. Gazdas agiel}orejelz esekn el fontoslenne, hogy vizsg aljuk täobb szempont egyäuttes s ulyv altoz as at, hiszen egy jäov}ore vonatkoz o szcen ari o id}otartama alatt minden szemponts uly egyszerre v altozhat. Az elemz esäunkben lefolytatott erz ekenys egvizsg alat viszont,,ceteris paribus" ertelmezend}o, vagyis egy vizsg alt faktor s uly anak v altoz asa hogyan v altoztatja meg az alternat ³va sorrendet, a täobbi faktor v altozatlans ag at felt etelezve. A parcialit as ellen ere m egis hasznos inform aci okhoz juthatunk a vizsg alat lefolytat as aval. 2.3 Az alkalmaz as l ep esei N egy l ep esben c elszer}u alkalmazni a met odust: 1. A däont esi probl ema pontos azonos ³t asa es a hierarchia megalkot asa 2. Elv egezni a däont esi elemek käozäotti p aronk enti Äosszehasonl ³t ast 3. A krit eriumok v egs}o s uly anak kisz am ³t asa 4. Megalkotni a v egleges kiv alaszt asi folyamatot Az 1. l ep esben meg kellett alkotnunk a logisztikai trendek jelent}os eg enek meghat aroz as ara alkalmas szempontf at: 1. abra. A trendvizsg alatra megalkotott modell

81 Az AHP m odszer egy lehets eges alkalmaz asa trendek el}orejelz es ere 161 A referencia kutat as alapj an hat aroztuk meg a 8 vizsg alt trendet, az ezeket befoly asol o 5 faktort es a 3 näoveked esi alternat ³v at. Az egyes trendekhez term eszetesen käuläonbäoz}o ÄosztÄonz}o t enyez}ok, valamint näoveked esi lehet}os egek tartoztak. A 2. l ep esben olyan Äosszehasonl ³t o m atrixokat konstru altunk, melyekben egyr eszt a kitäolt}o Äosszehasonl ³totta az adott trend befoly asol o t enyez}oinek fontoss ag at, m asr eszt ezen t enyez}ok näoveked esi alternat ³v ait. Igy indirekt m odon k erdezhettäunk r a a trend jäov}obeli fontoss ag ara/intenzit as ara, valamint fontos inform aci okat szerezhettäunk a szak ert}ok altal legjelent}osebbnek v elt faktorokr ol. A käovetkez}o p aros Äosszehasonl ³t asi m atrixokat (1. t abl azat) alkothatjuk meg minden egyes trendre: F 1 F 2 F m F 1 a 11 a 12 a 1m F 2 a 21 a 22 a 2m... F m a m1 a m2. a mm 1. t abl azat. Az egyes trendek faktorainak Äosszehasonl ³t o t abl azata Itt teh at Äosszehasonl ³tjuk az egyes trendek befoly asol o t enyez}oinek trendet meghat aroz o fontoss ag at. KitÄolt es ut an tapasztalati p aros Äosszehasonl ³t asi m atrixokat kapunk, melyekre igaz a reciprocit as krit eriuma, azaz: (a ji ) = (1=a ij ); a ij > 0, de m ar nem igaz däont}o val osz ³n}us eggel a konzisztencia krit eriuma, azaz: (a ik ) = (a ij a jk ). A konzisztenci at ez ert vizsg alni kell (a k es}obb bemutatand o CR alapj an). A reciprocit asb ol ad odik, hogy a f}o atl o minden eleme 1. Ezut an megvizsg aljuk minden egyesfaktor adott id}ointervallumra vonatkoz o v altoz asi alternat ³v ait. Az m-edik faktorra m = 1;...; 5 (2. t abl azat): F m A 1 A 2 A n A 1 a 11m a 12m a 1nm A 2 a 21m a 22m a 2nm... A n a n1m a n2m. a nnm 2. t abl azat. Az m-edik faktor v altoz asi alternat ³v ainak Äosszehasonl ³t asa Ezek szint en tapasztalati p aros Äosszehasonl ³t asi m atrixok lesznek, ugyanaz erv enyes r ajuk, amit fent is le ³rtunk. y sz am u trendet vizsg alva adott szektorban y (m + 1) m atrixot kell a däont eshoz oknak kitäolteniäuk. ² Az A 1 ; A 2 ;...; A n a trend v altoz asi alternat ³v ait jeläolik. Az alternat ³v akat szakmai konszenzus es a referencia-kutat as alapj an 5%, 12% es 20%-os ert ek}unek allap ³tottuk meg a vizsg alt intervallumra. ² Az F 1 ; F 2 ;... ;F m a trend befoly asol o t enyez}oit jeläolik. Szint en konszenzus alapj an 5 t enyez}ot allap ³tottunk meg (3. t abl azat).

82 162 Duleba Szabolcs ² Az a ij > 0 i = 1;... ;m es j = 1;...;m a tapasztalati m atrixok däont eshoz ok szerinti ert ekeit jeläolik a trend befoly asol o faktorainak fontoss ag ara vonatkoz oan. Vagyis ezek az ert ekek a käuläonbäoz}o befoly asol o faktorok fontoss agait (s ulyait) Äosszehasonl ³t o ar anysz amok. Ert ekei a käovetkez}okben bemutatand o Saaty-f ele sk ala elemei lehetnek. ² Az a ijk > 0 i = 1;...;n, j = 1;... ;n es k = 1;...;m jelentik a tapasztalati m atrixok däont eshoz o(k) szerinti ert ekeit adott faktor v altoz asialternat ³v aira vonatkoz oan. Vagyis ezek az ert ekek a käuläonbäoz}o v altoz asi alternat ³v ak bekäovetkez esies elyeit Äosszehasonl ³t o ar anysz amok. Szint en a Saaty-sk ala elemeit vehetik fel. A däont eshozatal sor an a däont eshoz o a däont esi feladat szempont s ulyainak meghat aroz as ara es az alternat ³v ak minden egyes alszempont (legalacsonyabb szinten l ev}o szempont) szerinti ki ert ekel es ere megadja a p arosäosszehasonl ³t as m atrixokat. A p aros Äosszehasonl ³t as intervallumsk al aja (Saaty-f ele sk ala) az AHP m odszertanban a käovetkez}o: 1 { egyform an fontos / el}onyäos; 3 { m ers ekelten fontosabb / el}onyäosebb; 5 { sokkal fontosabb / el}onyäosebb; 7 { nagyon sokkal fontosabb / el}onyäosebb; 9 { rendk ³vÄuli m ert ekben fontosabb / el}onyäosebb. A p aros Äosszehasonl ³t asn al felhaszn alhatjuk a 2, 4, 6, 8 käozbens}o ert ekeket is. A m atrixokban csak a f}o atl o fäoläotti elemeket täolti ki a v alaszad o, a reciprok m atrix tulajdons aga miatt a täobbi elem megad asa automatikus. Amennyiben al arendelt fontoss agot tulajdon ³t az Äosszevet esben adott alternat ³v anak, az: 1/3 { m ers ekelten al arendelt, 1/5 { nagym ert ekben al arendelt, 1/7 { nagyon nagym ert ekben al arendelt, 1/9 { rendk ³vÄuli m ert ekben al arendelt, valamint a käoztes: 1/2, 1/4, 1/6, 1/8 ert ekeket ³rhatja be a k erd}o ³vbe. Ujra hangs ulyozzuk, hogy a teljes kitäolt es sor an tapasztalati p aros Äosszehasonl ³t asi m atrixokat kapunk, amelyek szinte biztosan nem konzisztensek, de bizonyos hat aron beläul (a k es}obb bemutatott CR alapj an) käovetkezetesnek ert ekelhet}ok. A3. l ep esben kisz am ³tottuk a faktorok näoveked esi m atrix anak saj atvektorait, majd a trend faktorm atrix anak saj atvektor at, es (1) alapj an aggreg altuk. A m odszer 3 lehets eges Äosszes ³t}o v altozata (ide alis, min}os ³t}o, disztribut ³v) käozäul a disztribut ³v formul at v alasztottuk, hiszen ³gy tulajdonk eppen az 1 ert ek et osztjuk meg az alternat ³v ak käozäott. Ez altal explicit bekäovetkez esi es elyt tudunk meg allap ³tani, hiszen a 0 es 1 käozäotti ert ekek a v arhat o bekäovetkez esi val osz ³n}us eget reprezent alj ak. (1) x D j = mx i=1 w i w b ij P n k=1 b ik = mx i=1 µ wi w 1 P n k=1 b b ij ; ik

83 Az AHP m odszer egy lehets eges alkalmaz asa trendek el}orejelz es ere 163 ahol j = 1;...; n es w = P m i=1 w i. A w i > 0 i = 1;... ;m az i-edik faktor s uly at, az x j j = 1;...;n a keresett v egs}o rangsort ad o ert ekeket jeläolik. (1) azt mutatja, hogy ugy kapjuk meg adott trend kitäolt}o altal prefer alt näoveked esi forgat okäonyveit, hogy adott faktor näoveked esialternat ³v aira vonatkoz o saj atvektor koordin at ait (w i ) beszorozzuk a faktor trendben betäoltäott s uly aval (b ij ), majd alternat ³v ak szerint a faktorszorzatokat Äosszeadjuk. Igy a h arom alternat ³v ahoz hozz a tudunk rendelni egy-egy olyan sz amot, amely adott alternat ³va jäov}ore vonatkoz o bekäovetkez esi es ely et mutatja a kitäolt}o szerint. A h arom alternat ³v ahoz tartoz o sz am Äosszege 1, ³gy ha az egyikhez rendelt sz am pl. 0,6, ez azt jelenti, hogy a kitäolt}o 60%-os bekäovetkez esi es elyt tulajdon ³t ennek az intenzit asnak a trend vonatkoz as aban. Ezzel azonban m eg csak egy szak ert}o progn ozis at kaptuk meg, a m odszernek esetäunkben viszont csak akkor van ertelme, ha täobb kitäolt}o v alasz at tudjuk szintetiz alni. Ez ert a csoportos alkalmaz as at kell haszn alni az AHPnek. Ehhez szäuks egesaz egy eni däont eshoz ok p arosäosszehasonl ³t asi m atrixainak az aggreg al asa. A kitäolt}ok ugyanolyan index}u elemeit Acz el es Saaty (1983) alapj an a geometriai käoz ep kisz am ³t as aval (2) vonhatjuk Äossze, azaz: (2) f(y 1 ;...; y l ) = ly k=1 y 1=l k ; l 2 ; (y 1 ;... ;y l ) 2 I l ; ahol f az Äosszegz}o-fÄuggv eny, l pedig a kitäolt}ok sz ama. Az y i az i-edik kitäolt}o adott index}u m atrix elem et mutatja, I l pedig a pozit ³v sz am l-esek halmaz at jelenti. Az ³gy kapott aggreg alt m atrixnak azonban teljes ³teniekellk et felt etelt: a reciprocit asnak es a pozit ³v homogenit asnak a krit eriumait. A reciprocit asb ol käovetkezik, hogy azaggreg alt m atrixnak isreciproknak kell lennie. Apozit ³v homogenit as pedig azt jelenti, hogy ha mindegyik ert ekel es s-szeres ere n}o (s pozit ³v sz am), akkor a v egeredm enynek is s-szeresnek kell lennie. A vizsg alat lefolytat asa sor an mindk et krit erium ellen}orz esre keräult az aggreg alt m atrix v eletlenszer}uen kiv alasztott elemeire es minden esetben igazol odott. A4. l ep esben megalkothatjuk a v egleges däont est kutat asunkban a trendprognosztiz aci ot, amihez m eg k et mozzanat elengedhetetlen. Egyr eszt vizsg alni kell a kitäolt esek konzisztenci aj at, m asr eszt le kell folytatni az erz ekenys egvizsg alatot. (A bevezet}oben m ar indokoltuk ezek alkalmaz as anak szäuks egess eg et.) A konzisztencia-vizsg alat a (3) alapj an täort enik: (3) CI = max n n 1 ; ahol max a tapasztalati p aros Äosszehasonl ³t as m atrix legnagyobb saj at ert eke es n a p aros Äosszehasonl ³t as m atrix sorainak a sz ama. A käovetkezetlens egi indexek atlagos ert ekeit v eletlenszer}uen gener alt (nagy val osz ³n}us eggel inkonzisztens) p arosäosszehasonl ³t as m atrixok seg ³ts eg evel hat arozzuk meg minden n eset ere, es ezeket RI-vel jeläoljäuk. AkÄovetkezetlens egi h anyadost, amit CR

84 164 Duleba Szabolcs jeläol, a k et index h anyadosak ent kapjuk meg (4), azaz (4) CR = CI RI : Bizony ³that o (Rapcs ak, 2007), hogy pozit ³v reciprok m atrixokra max n, ez ert a käovetkezetlens egi h anyados ert eke nemnegat ³v sz am. A käovetkezetlens egi h anyados ert ekeit az AHP m odszert alkalmaz o Expert Choice (EC) szoftver k esz ³t}oi akkor tartj ak j onak, ha az ert eke kisebb, mint 0,1. M as megkäozel ³t est is alkalmaznak a m odszer kapcs an, de a 10%-os krit erium alkalmaz asa volt c elszer}u a kutat asunkban az elemz eshez haszn alt szoftver miatt. A sz am ³t asokat az,,expert Choice 8.0" nev}u däont est amogat o szoftver seg ³ts eg evel v egeztäuk el. 3 Azalkalmaz as bemutat asaegy trend p eld aj an keresztäul A vizsg alt 8 trend käozäul a logisztikai id}omegtakar ³t asi elvek alkalmaz as anak jäov}oj ere adott progn ozist mutatjuk be p eldak ent. El}ozetesen a käovetkez}o befoly asol o faktorok keräultek meg allap ³t asra: piacb}oväul es (piacb}ov), informatikai integr aci o (icint), informatikai fejl}od es (icfejl), j arm}uvek fejl}od ese (j armf), kommunik aci o standardiz aci oja (kommst). A h arom alternat ³va: 5, 12, 20%-osnÄoveked es 2010-re. Av alaszad oknak a 3. t abl azatban bemutatott m atrixokat kellett kitäolteniäuk. ID}OM. PIACB}OV ICINT ICFEJL J ARMF KOMMST PIACB}OV piacb}oväul es 1 Pl.: 7 ICINT infokommunik aci os 1 RSZ-ekintegr aci oja ICFEJL infokommunik aci os 1 RSZ-ekfejl}od ese J ARMF sz all ³t oj arm}uvek 1 fejleszt ese KOMMST kommunik aci o 1 standardiz aci oja 3. t abl azat. Id}omegtakar ³t asi elvek faktorainak Äosszehasonl ³t asa Afenti t abl azathoz a käovetkez}o k erd es tartozott a k erd}o ³vben:,,H anyszor nagyobb A faktor (pl. a piacb}oväul es) szerepe Bfaktorn al (pl. az info- es kommunik aci os integr aci o) az id}omegtakar ³t asielvek logisztikai alkalmaz as aban?" A kitäolt es megkäonny ³t ese erdek eben p eld at is bemutattunk a k erd}o ³vben.,,P eld aul a PIACB } OV-ICINT rubrik aba ³rt 7-es sz am azt jelenti, hogy a piacb}oväul es sokkal nagyobb szerepet täolt be a trendben, mint az info-komm

85 Az AHP m odszer egy lehets eges alkalmaz asa trendek el}orejelz es ere 165 integr aci o. Az ugyanide ³rt 1/7 azt jelenten e, hogy a piacb}oväul es sokkal kisebb jelent}os eg}u, mint az info-komm integr aci o." Az al abbi t abl azatokhoz (4. t abl azat) a käovetkez}o k erd est tettäuk fel:,, Ert ekelje az egyes faktorok näoveked esi lehet}os egeit 2010-re! Pl. H anyszor nagyobb az es elye a piacb}oväul es 5%-os m ert ek enek a 12%-os m ert ekn el?" A kitäolt es megkäonny ³t ese erdek eben szint en szolg altattunk p eld at:,,p eld aul a PIACB}OV t abl azat 5%-12% rubrik aj aba ³rt 2-es sz am azt jelenten e, hogy enyh en nagyobb az es elye a piacb}oväul es 5%-os m ert ek enek, mint a 12%-osnak. Az ugyanide ³rt 1/2 az enyh en kisebb es elyt mutatn a." PIACB } OV M ERT EK 5% 12% 20% 5% 1 Pl.:2 12% { 1 20% { { 1 4. t abl azat. A faktorok v altoz asi alternat ³v ainak Äosszehasonl ³t asa AkÄovetkez}okben käozäoljäuk a 28, käovetkezetess egi krit eriumon (CR < 0;1) beläul marad o kitäoltäott k erd}o ³v be ³rt ert ekei alapj an l etrejäott eredm enyeket a vizsg alt trend vonatkoz as aban. A szak ert}ok Äosszehasonl ³t asai alapj an a m ar eml ³tett,,Expert Choice" szoftver abr ai alapj an v egeztäuk el az elemz est. A2. abra alapj an els}osorban a piacb}oväul esfaktora hat a trendre, szint en jelent}os m eg az informatika integr aci oja, valamint a kommunik aci o standardiz aci oja, a marad ek k et faktort nem ³t elt ek nagy befoly as unak. Z ar ojelben szerepelnek a tizedes täort form aban kisz am ³tott faktors ulyok. Pl.,458 jelent ese: a t enyez}o 45,8%-ban magyar azza a trendet. 2. abra. A trend eredm enyk ent kapott faktors ulyai A bemutatott faktorok eset eben megfelel}o konzisztencia (0,08, m ³g a hat ar ert ek 0,1) mellett a v alaszad ok a käozepes m ert ek}u, 12%-os näoveked esi forgat okäonyvet tett ek az els}o helyre (3. abra). Ennek a näoveked esi szintnek 49,1%-os bekäovetkez esies elyt tulajdon ³tottak indirekt m odon a kitäolt}ok. M asodik helyre a 20%-os v altoz as keräult 36,4%-os bekäovetkez esi es ellyel, m ³g a legkev esb e es elyes a lass u intenzit as.

86 166 Duleba Szabolcs 3. abra. A trend v altoz asi alternat ³v ai es bekäovetkez esi es elyeik A 4. abra a dinamikus erz ekenys eg-vizsg alat eredm eny et mutatja. A feh er oszlopok adott faktor befoly asol o s uly at jelzik. Ak ek, piros es zäold gra konok az alternat ³v ak faktoronk enti es Äosszegzett eredm enyeit mutatj ak. Ha egy-egy faktor s uly at v altoztatjuk, akkor az alternat ³v ak v egs}o pontsz amaiv altoznak. Az abr an l athat o, hogy a piacb}oväul esiszempont Äonmag aban a legmagasabb, 20% näoveked est jelenten eazid}omegtakar ³t asielvek alkalmaz as aban, azonban f}oleg a k et käovetkez}o s uly u faktor miatt a v egleges sorrend a käozepes { magas { alacsony lett. Felt}un}o m eg, hogy egyik szempont szerint sem legval osz ³n}ubb a lass u, 5%-os näoveked es. 4. abra. Az erz ekenys egvizsg alat eredm enye Erdekes viszont, hogy az informatika integr aci oja s uly anak lecsäokkent es evel (0,256-r ol 0,054-re) a legmagasabb, 20%-os alternat ³va keräulne az els}o helyre (5. abra). Ezt a viszonylag drasztikuss ulycsäokkent est az indokolhatja, hogy c elzott korm anyzati t amogat ash ³j an (p aly azati ÄosztÄonz es n elkäul), saj at er}ob}ol nehezen tudnak l ep est tartani a kisebb szektor szerepl}ok a t}okeer}os v allalatokkal az egys eges informatikai eszkäozäok beszerz es eben, ez ert a lass u integr aci o val os vesz ely. Erre a szempontra erz ekeny a trend, amennyiben