A LORENTZ-FÉLE SEBESSÉGTRANSZFORMÁCIÓ SZEMLÉLTETÉSE ENERGIA-IMPULZUS DIAGRAMOKKAL Bokor Nándor BME, Fizika Tanszék. Összegzés

Átírás

1 Kepler-0 (fntázirjz) Föld 4. ár. A Kepler-0 olygónkéhoz viszonyított érete. száított töeg-sugár reláció lpján úgy tûnik, hogy e plnét vsgj teljes olygótöeghez viszonyítv vlivel ngyo, int Földé (olygónk vsnikkel gj teljes töeg 32,6%-). Összegzés Az igzán ngy jelentôségû felfedezés z olyn Földhöz hsonló éretû olygók egtlálás voln, elyek csillguk lkhtósági zónáján keringenek. Azonn necsk Földünk éretével egegyezô plnéták lehetnek érdekesek, hne nál ngyo kôzetolygók is, hiszen ezek egfelelô környezeti feltételek teljesülése esetén szintén életet hordozhtnk felszínükön. Az összetételre vontkozó száítási eredények felhsználásávl ngyszerû összehsonlításokt végezhetünk ngy töegû kôzetolygók és i Földünk tuljdonsági között. Α Földhöz hsonló felépítésû, de nnál ngyo töegû szuper-földek geológii érteleen ktív égitestek, hiszen gs elsô hôérsékletük intenzíve geodinikát trtht fenn, elôsegítve ezzel htékony leeztektonikát. Száos kuttás pedig látásztni látszik zt feltételezést, ely szerint leeztektonik léte elôsegítette földi élet fejlôdését. Így szuper-földek egfelelô kritériuok teljesülése esetén kár kedvezô feltételeket is nyújthtnk z olyn típusú élet száár, int it i itt Földön egisertünk. Az élet jellegét eghtározó vgy efolyásoló fiziki préterek közül pedig z egyik legfontos felszíni nehézségi gyorsulás értéke, ivel ez sz felsô htárt z élôlények töegének és éretének egy dott plnét ioszféráján. A Kepler-ûrtávcsô érései áltl Földünkhöz hsonló, és nál ngyo éretû olygók esetén várhtó felfedezések szá kár tö százt is elérheti, ely dttöeg ár segíti szkeereket Tejútrendszereli potenciálisn lkhtó olygók lehetséges száánk ecsléséen. A 200-es év összes ejelentett exoolygó-felfedezése száz körül volt, és eôl 8 z elsôként Kepler-ûrtávcsôvel detektált plnét, ely rány növekedésére lehet száítni következô éveken. ivel kis töegû exoolygókt illetôen is töeges felfedezések várhtók, Kepler vlóságos forrdlt indítht el z exoolygó-kuttás területén. Linkgyûjteény: Kepler: Kepler-9d: xoolygó enciklopédi: Irodlo. Szó R.: Bolygóárdt és sztroszeizológi. Fiziki Szele 59/4 (2009) Futó P.: Szuper-Földek. Terészet Világ 4 (200) P. Futó: Detiled internl structure odel for super-rths in cse of rth-like coposition. Lunr nd Plnetry Science XLI. (200) #024, Houston. 4. N.. Btlh: Kepler s First Rocky Plnet: Kepler-0. Astrophys. J. 729 (20) 27. A FIZIKA TANÍTÁSA A LORNTZ-FÉL SBSSÉGTRANSZFORÁCIÓ SZLÉLTTÉS NRGIA-IPULZUS DIAGRAOKKAL Bokor Nándor B, Fizik Tnszék Furcs és kicsit egzotikus péld reltivisztikus jelenségek energi-ipulzus digrokkl [] vló szeléltetésére Lorentz-féle seességtrnszforációs képlet levezetése. gy tisztán kinetiki kérdést ugynis diniki foglk segítségével (energiegrdás, ipulzusegrdás) szeléltet és vezet le. Az [] cikkhez hsonlón itt is c egységeket hsználok. A seességek tehát dienzió nélküli száok, elyek csk ( ) és közötti értékeket vehetnek fel; töeg, ipulzus és energi pedig ind ugynn z egységen érendô. gy S vontkozttási rendszeren egy eteor v seességgel ozog lr, egy ûrhjó pedig u seességgel jor. A kérdés: ekkor v seességgel ozog lr eteor z ûrhjóhoz képest, zz z ûrhjóhoz rögzített S vontkozttási rendszeren? A FIZIKA TANÍTÁSA 89

2 (A lr irányuló v és v seességeket negtívnk, jor irányuló u -t pozitívnk tekinte.) A levezetéshez odképzelünk egy hrdik ojektuot: egy ûrkint, ely eteorrl együtt v seességgel ozog lr, és elynek töegét z lái szepont szerint válsztjuk eg: S legyen éppen z vontkozttási rendszer, elyen z töegû ûrkinól és z töegû ûrhjóól álló rendszer töegközéppontj nyugszik! Nyilván tetszôleges u, v és ellett tlálhtó ilyen töeg (ég h esetleg ne relisztikus is egy ilyen töegû ûrkin), és h képzeleteli ûrkinr levezetjük v (v, u) seességtrnszforációs összefüggést, ugynz képlet utotikusn érvényes lesz vele együtt ozgó eteorr is. Az. árán láthtó z ûrhjó-ûrkin rendszer energi-ipulzus digrj z S vontkozttási rendszerôl nézve. Az áráról leolvshtó, hogy ) A rendszer eredô energi-ipulzus vektor z árán szggtott vonlll jelölt vektor függôleges (hiszen S töegközépponti rendszer); 2) Az ûrhjó energi-ipulzus vektor z -hez trtozó hiperolár utt; 3) Az ûrkin energi-ipulzus vektor vektorkivonás szályink egfelelôen utotikusn kidódik (ez β dôlésszögû vektor z árán). Az ûrhjó és z ûrkin energi-ipulzus vektoránk dôlésszöge dj eg z S -en ért seességüket: u tnα v tnβ A (2)-en szereplô ínusz elôjel ok, hogy v negtív szá, z árákon szereplô hegyesszögeket viszont z átláthtóság kedvéért ind pozitívnk vesze. Az S töegközépponti rendszeren z ipulzusés energiegrdás egyenletei: u v 0, u 2 v 2 () (2) (3). ár. Az ûrhjó-ûrkin rendszer energi-ipulzus digrj S-ôl nézve. állt), tehát töegközéppont energi-ipulzus vektor α szöggel dôl lr z -tengelyhez képest. A helyzetet 2. ár uttj. A töegközéppont energi-ipulzus vektorát terészetesen olyn hosszúr kell rjzolni, hogy z -hez trtozó hiperolár illeszkedjen. Az árán ilyen ódon két vektor különségeként isét utotikusn kidódik z ûrkin energiipulzus vektor is, ely ost β szöggel dôl z -tengelyhez képest. A β dôlésszög különözik z. ár β-jától: éppen ezt fejezi ki seességtrnszforáció. A seességtrnszforációs képlet levezetése ezek után ne ás, int z. és 2. árákon szereplô α, β és β szögek tngensei közötti összefüggés egtlálás. 2. ár. Az ûrhjó-ûrkin rendszer energi-ipulzus digrj z ûrhjó vontkozttási rendszeréôl, S -ôl nézve. p u 2 v 2, (4) hol z ár szerinti felsô hiperolához trtozó töegérték, rendszer össztöege. (3) és (4) koinálásávl könnyen kiküszöölhetô: u u 2 v. (5) i z. ár energi-ipulzus digrjánk egfelelôje z ûrhjóhoz rögzített S vontkozttási rendszeren? Az S -eli, új ár egszerkesztéséhez z lái gondoltenettel jutunk el. Az S rendszeren ) z töegû ûrhjó áll, tehát z ô energi-ipulzus vektor lesz függôleges; 2) z ûrhjó-ûrkin rendszer töegközéppontj éppen ( u ) seességgel ozog lr (hiszen S-en p p 90 FIZIKAI SZL 20 / 3

3 A keresett v seesség ugynis v tnβ (6) lk írhtó ( ínusz elôjel ok isét z, hogy z árákon szereplô hegyesszögeket következetesen pozitívnk, lr uttó seességeket viszont negtívnk tekinte). A 2. áráól ügyelve z elôjelekre egyszerûen felírhtók tngensek (és ezzel seességek): u tnα p, (7) v tnβ p, (8) hol p és töegközéppont ipulzus, illetve energiáj z S vontkozttási rendszeren. -re, (5) felhsználásávl u 2 u u 2 v (9) dódik. (8)-t és (7)-et elosztv, (9) felhsználásávl következôt kpjuk: v u u 2 u v (0) elyôl dódik Lorentz-féle seességtrnszforációs képlet: Kitérô v v u uv. v u u u 2 v, () H speciális reltivitáselélet helyett egy olyn furcs elélet lenne érvényes, ely szerint z. és 2. árákon hiperolák helyett vízszintes egyenesek szerepelnének, kkor 3. árá n láthtó digrot kpnánk (z ár helytkrékossági okokól egyásr vetítve uttj z S és S rendszereli szituációkt). z eseten int z áráról leolvshtó tngensek közötti összefüggés egyszerûen lenne, iôl tnβ tnα v v u tnβ Glilei-féle seességtrnszforáció dódn. (2) (3) 3. ár. Furcs elélet. A helyes elélethez visszknyrodv: ott is 3. árához hsonló helyzet lkul ki kis seességeknél. Olynkor ugynis z energi-ipulzus vektorok ngyon kis szöggel dôlnek z -tengelyhez képest, tehát hiperoláknk csk középsô, gykorltilg vízszintes egyenessel helyettesíthetô része kp szerepet. (Ilyenkor terészetesen (2) helyett ne csk tngensek, hne közelítôleg guk szögek is dditívk.) A fényrôl A () seességtrnszforációs képlet ne csk töegpontok seességére ûködik, hne helyesen dj vissz reltivitáselélet egyik lp-posztulátuát, fényseesség ért értékének inercirendszertôl független voltát is: például v érték ellett v -re is ( )-et d. Kifogásolhtó, hogy ()-et eredényezô levezetés csk nygi pontok esetére érvényes, hiszen (3) és (4) egyenleteken szereplô ipulzus- és energikifejezés fénysugárr ne írhtó fel ( fényre vontkozó 0és v itt). H zonn z kifejezéseket egyránt p f -fel helyettesítjük p f fény- részecske ipulzusát jelöli, i egyenlô z f energiájávl, levezetés expliciten fénysugárr is könnyen végigvihetô ( kezdô lépéseket lásd késô). Tnulságos egnéznünk, hogyn viselkedik z. és 2. ár, h eteor helyett fényrészecske lr hldó ojektu. Az S -eli helyzetet 4. ár uttj. Az áltlánosság isét seit se sérül, h z ûrhjó töegét kkoránk feltételezzük, hogy z ûrh- v v 2 és v 2 p A FIZIKA TANÍTÁSA 9

4 jó-fényrészecske rendszer eredô energi-ipulzus vektor függôleges legyen, hogy z ár uttj. Az S -eli energi-ipulzus digr szerkesztése ezt z 5. ár uttj teljesen 2. ár intájár történik. Cskhogy ost, ivel z S -eli ár β-ját 45 -osr válsztottuk, utotikusn hiperolák geoetrii tuljdonságként dódik z z eredény, hogy z S -eli árán is β 45 -os szögen fog dôlni fényrészecske energi-ipulzus vektor z -tengelyhez képest. Az energi-ipulzus digrok világán fényseesség invrinciáj tehát geoetrii szerkesztésként dódik. A 4. és 5. árákon ugynkkor z is látszik, hogy fényrészecske S -eli és S -eli energi-ipulzus vektor ne ugynolyn hosszú (precízeen: ne ugynkkor energiát képvisel). ekkor két energi rány? Az S -eli ipulzus- és energi-egrdás egyenletei következôk (vesd össze (3) és (4)): elyekôl p f kiküszöölésével u u 2 p f 0, u 2 p f, ( u) u u 2 u (4) (5) (6) dódik (ezt kpnánk (5)-ôl is, v helyettesítéssel). A fényrészecske S -eli és S -eli energiájánk rány: A szálálón szereplô p f (hogy z 5. áráól leolvshtó) ne ás, int z töegû ûrhjó-fényrészecske rendszer ipulzus S -en, íg nevezôen szereplô p f (hogy 4. árán látszik) egyenlô z töegû ûrhjó S-eli ipulzusávl. ôl: f f u f f u 2 u u 2 p f p f. u u, (7) (8) 4. ár. Az ûrhjó-fényrészecske rendszer energi-ipulzus digrj S-ôl nézve. p f 45 p hol z utolsó lépésen felhsznált (6)-ot. A (8) képlet ( f hf, f hf helyettesítéssel) éppen fényhullár vontkozó Doppler-effektus képlete. H z S rendszeren fény frekvenciáját f-nek érjük, kkor fénysugárrl szeen hldó S ûrhjóeli egfigyelô (8) képlet szerinti értéken ngyo f frekvenciájúnk észleli fénysugrt. int (8) egyenlet utolsó lépéséôl látszik, két frekvenci rány közvetlenül is leolvshtó 4. (vgy z 5.) ár energi-ipulzus digrjáról, int két hiperolához trtozó és töegek rány. (Terészetesen Doppler-effektus, int lpvetôen kinetiki effektus ely legszorosn z idôdiltációhoz kötôdik téridôeli (t,x) inkowski-digron is szeléltethetô és levezethetô [2].) Záró egjegyzés Célo csupán z energi-ipulzus digrok néhány érdekes tuljdonságánk euttás volt. Ne fogllkozt például zzl z esettel, ikor z u és v szöget zár e. kkor z energi-ipulzus digr 3-di- 5. ár. Az ûrhjó-fényrészecske rendszer energi-ipulzus digrj z ûrhjó vontkozttási rendszeréôl, S -ôl nézve. p f p 92 FIZIKAI SZL 20 / 3

5 enziós, és hiperolák helyett hiperoloidok szerepelnek rjt []. Várhtó, hogy hsonló okoskodássl kidódn egy-egy ilyen áráól erôleges seességkoponensre vontkozó isert trnszforációs képlet és z áltlános irányfüggô Doppler-effektus képlete is. Irodlo. Bokor N.: Ütközések elezése energi-ipulzus digrokkl. Fiziki Szele 6 (20) Bokor N.: Az elektroágneses és z kusztiki Doppler-effektus elezése geoetrii digrokkl. Fiziki Szele 58 (2008) A FIZIKA TANÍTÁSA 93