Kétáltozós ekto-skalá függények Definíció: Az olyan függényt amely az ( endezett alós számpáokhoz ( R R ( ektot endel kétáltozós ekto-skalá függénynek neezzük. : ( ( ( x( i + y( j + z( k Az ektoal együtt annak i j k bázisbeli koodinátái is függényei. x x( y y( z z( agyis a kétáltozós ekto-skalá függény egyenétékű háom kétáltozós függényből álló skalá függényendszeel. Felületek egyenlete paamétees megadása: Ha az ( kétáltozós ekto-skalá függény egyik áltozóját (paaméteét ögzítjük pl. akko az egyáltozós ekto-skalá függényhez jtnk. Minden ilyen ögzített paamétehez egy tégöbe tatozik az egyenlet egy göbeseeg egyenlete. A másik paaméte ögzítéseiel az ( egyenletű göbeseeg egyenletét kapjk. Ezeket paamétegöbéknek neezzük. Ebből köetkezően az ( függény képe - általában felület.
Ha az F felület az ( kétáltozós ekto-skalá függény képe akko az ( felület paaméteés ektoegyenlete a felület Gass-féle paaméteei az sík a Gass-féle paamétesík. a Felületek megadási módja: Paaméteezett megadási mód: : ( ( definíció alapján. Explicit megadási mód: z f (x y Implicit megadási mód: F (x y z. PÉLDA: Egység sgaú gömbfelület különböző megadási lehetőségei: Explicit alak: z ± 1 x y x + y 1. Implicit alak: x + y + z 1 x 1; y 1; z 1. Paamétees alak: x( sin cos y( sin sin z( cos Polákoodináták π π. Ebben a koodináta endszeben egy pont háom koodinátája: ( θ z az ába szeinti. x cosθ y sinθ z z θ π. x y tgθ. x + y
Gömbi koodináták Ebben a koodináta endszeben egy pont háom koodinátája: ( ρ θ φ az ába szeinti. x ρ sin φ cosθ y ρ sin φ sinθ z( ρ cosφ ρ θ π φ π. ρ x + y ρ sin φ. + z Diffeenciálható függények a egláis felületen Éintőekto Az ( függény és szeint paciálisan dïffeenciálható az ( helyen ha az ( + ( ( ( lim ( + ( ( ( lim éges hatáétékek léteznek. A paciális deiáltak geometiai jelentése
Az ekto a pontban. Az ( helyen. konstans tégöbéhez húzott éintőekto ( ekto pedig konstans tégöbéhez húzott éintőekto Koodinátákkal adott ektook esetén: x y z ( ( i + ( j + ( k x y z ( ( i + ( j + ( k. Legyen ( Felületi göbe felület egyenletében és egy közös t paaméte függénye. ( x((t (ti + y((t (t j + z((t (tk (t Ekko ( má csak egy paaméte függénye agyis képe tégöbe amely a felületen halad. Ennek az egyáltozós ekto-skalá függénynek a t szeinti deiáltja (t (t + agy öiden: (t (t +. Éintősík nomálekto Felületek éintő síkja paamétees esetben Ha ( x( i + y( j + z( k A nomálekto számítása paaméteesen adott felületek esetén: a felület paamétees alakjában az x y és z két-áltozós függények paciális deiáltjai folytonosak akko az éintősík nomálektoa ha az n ekto nem a nllekto. n ( (
Sík egyenlete általánosan: Ahol (x y z a sík nomálektoa. P A(x x B(y y C(z z + + ( az éintési pont és n (A BC Felületek éintő síkja explicit esetben: z f (x y Az explicit alakú felületnél a paaméteek A nomál ekto: n x és y : (x y xi + yj + f (x yk i 1 j 1 k f x f y f f i j + k. x y Az éintősík egyenletée a kétáltozós függényeknél megismet fomla adódik: f (x y x (x x f (x y + y (y y (z z Kétpaamétees ekto-skalá függény felszíne DEFINÍCIÓ Az ( paaméteesen adott felület felszínét a T tatomány felett a köetkező hatáétékkel ételmezzük ha létezik: ds S ( ( dd. T ( ( dd : az elemi felület felszíne. Példa: A gömb felszínének számítása: A gömb paamétees alakja: x( R sin cos y( R sin sin z( R cos π π. Paciális deiáltak: ( ( R sin sin i + (R sin cos j + k ( (R cos cosi + (R cos sin j + ( R sin k. Vektoiális szozat: ( (
( R sin cosi (R Elemi felület felszíne: ds sin sin j + ( R sin cos sin R sin cos cos k. ( ( R sin dd. Gyakoló feladatok