ACTA CAROLUS ROBERTUS Károly Róbert Főisol tudomáyos özleméyei Alpítv: (
ACTA CAROLUS ROBERTUS ( Mtemti szeció AZ INTEGRÁLSZÁMÍTÁS OKTATÁSÁRÓL KÖRTESI PÉTER Összefogllás A htározott itegrál értelmezése sorá ülöböző itegrál-összegeel tlálozhtu. Nyilvávló, hogy htározott itegrál potos or létezi, h eze z itegrálösszege overgese. Ez zt is jeleti, hogy h egy htározott itegrál létezi, mert pl. v primitív függvéye z dott itervllumo, vgy z itervllumo folytoos függvéy itegrálját teitjü, or ez htározott itegrál egybe midefjt, sjátos formáb felírt itegrál-összege htárértée is. Kulcsszv: itegrálszámítás, itegrál összege, ottás, Abstrct The eductio of the itegrl clculus While itroducig the otio of defiite itegrl oe use differet itegrl sums. By defiitio the defiit itegrl eists ectly whe the give sums coverge. Oce the defiite itegrl eists (e.g. the give fuctio hs pimitive or it is cotious o tht itervl it will be the it of ll sums, eve specil form itegrl sums s well. Keywords: itegrl clculus, itegrl sum, techig Elméleti háttér H z f Riem itegrálhtó z elmélet szerit (f, d, ([Deiger, Gyúró 999 Riem itegrál összeg htárértée z hol z dott felosztás megfelelő itervllumhoz trtozó függetle változót jelöli. H tehát dott egy itegrálhtó f : b,br itervllum egy egyelőözű felosztás, mégpedig,b felosztásot, függvéy és z részitervllumor, or z itervllum osztópotji hlmz: b b b b,,,..., (, Ehhez épezzü b b itegrálösszeget, hol b b,b hosszúságú 4
Az itegrálszámítás ottásáról redre z f függvéye z b b (, részitervllumo jobboldli végpotjáb felvett értéei, eor z előbbie értelmébe: s b b b d H bizoyos összege htárértéée iszámítás célu, or már cs zt ell felismerü, hogy milye függvéyhez és milye itervllumhoz trtozó itegrálösszeg írhtó fel.. Péld. Számítsu i övetező összeg htárértéét:... Az dott összeg redre átlíthtó: ( (............,hol f : ez viszot egy itegrálhtó függvéy, és ismert, hogy: d Tehát felírhtó: d..., R,, d 44
ACTA CAROLUS ROBERTUS ( Mtemti szeció A vázolt módszer yilvá más módosításol is llmzhtó, pl. h z itegrálösszeget em részitervllumo felső, hem z lsó végpotjáb, vgy ár egy öztes potjáb (felezőpot írju fel, vgy h z itervllum felosztás em, hem pl., részre törtéi. Ezebe z esetebe megfelelő módosításo utá hsoló számíthtó i z dott összege htárértée.. Péld. Számítsu i övetező összeg htárértéét: (... (. Az dott összeg redre átlíthtó: (... ( ( (... ( hol f :,,, R ez viszot egy itegrálhtó függvéy, és ismert, hogy: d d si. Tehát felírhtó:... ( d si. Az elv llmzhtó htározott itegrál helyett például z improprius itegrálo eseté is, bizoyos megszorításol. Elégséges például, h z itegrdusz függvéy pozitív és mooto csöeő lásd pl.:( Démidovitch et l., 968.. péld. Számítsu i övetezőösszeg htárértéét:... Az dott összeg redre átlíthtó:... 45
Az itegrálszámítás ottásáról (... hol f :, R,, ez viszot egy improprius itegrálhoz vezet, és ismert, hogy d Tehát felírhtó: d d.... d d Bizoyos esetebe z dott összeg cs egy felsőorlátját tudju meghtározi, de ez is fotos, hisze felülről orlátos pozitív tgú összege egy mooto övevő soroztot lot, tehát z összege-sorozt (sor mooto ő és felülről orlátos or overges sorozt ( sor overges. Tehát ez módszer llms bizoyos soro overgeciájá vizsgáltár is. 4. Péld. Igzolju, hogy z s... egy overges sor részösszege (Drghicescu et l., 976. Az dott sor felülről orlátozhtó z improprius itegrál egy lehetséges itegrál összegée htárértéével, cs például elegedjü zt iötést, hogy részitervllumo hossz csöeő ell, hogy legye. Felírhtju: s d..., d,,,,...,,..., és eor mivel z itervllum egy lehetséges felosztás z részitervllumo hossz, ez ugy em csöe -hoz, de llms rr, hogy lulról orlátozz z itegrál értéét. Tehát mg z összeg is htárértébe z dott improprius itegrál egy lsó orlátj. Ugyor: 46
ACTA CAROLUS ROBERTUS ( Mtemti szeció d b Tehát b d b... b d,. zz sor felülről orlátos és emellett sor pozitív tgú, tehát mooto övevő, és így overges. 5. Péld. R Legye f :, Egy Riem-értelembe itegrálhtó függvéy. Az ( szigorú pozitív tgú sorozt övetező tuljdosággl redelezi (Giurgiu Turtoiu, 98: m(,,...,... Bizoyítsu be, hogy b Megoldás: (...... d... Vegyü felosztáso soroztát, hol,...,...,..., d;......,...,; és melyre felosztás ormáj m(,,...,.... H függvéyértéeet potos felosztási potob vesszü, zz...,,,...... rögtö beláthtó, hogy z egyes felosztásohoz trtozó Riem-féle összeg (f,......... 47
Az itegrálszámítás ottásáról és így eze összege soroztá htárértée (mivel felosztáso ormáj trt ullához, éppe d b Teitsü,,,...,,..., felosztásot, melyere z osztópoto,,,...,. Észrevehető, hogy és ezért. Az egyes özbe esőpotot újból felosztási potob válsztv,,, (,,..., ; ( f, ( ho: (f,, Mivel z f függvéy itegrálhtó, így orlátos is, tehát létezi oly M, melyre M, bármely,. ( értére. Ee lpjá M vgyis z (-es összefüggés jobboldlá másodi tg htárértée ull. Az ( összefüggésbe htárértére térve pju: Köszöetyilváítás: d. A tulmáy TÁMOP-4...B-//KONV-- projet támogtásávl észült el. Hivtozott forráso: Deiger G. Gyuró L. (999: Alízis gyorlto, Nemzeti Töyvidó, Budpest, 999, 7-7, 65-67., 48
ACTA CAROLUS ROBERTUS ( Mtemti szeció Démidovitch M., et ll. (968: Recueil d'eercices et de problemes d'lyse mthemtique, Mir Moscou, 968, 59. Drghicescu et ll. (976: Ghid de pregtire l mtemtic, Scrisul Romiesc, Criov, 976, 95-96. Giurgiu I. - Turtoiu F. (98: Culegere de probleme de mtemtic, Ed. Didctic si pedgogic, Bucuresti, 98, 7-9. Szerző: Körtesi Péter,PhD egyetemi doces Misolci Egyetem, Alízis Tszé mtp@ui-misolc.hu 49