MODELLEK ÉS ALGORITMUSOK ELŐADÁS

MODELLEK ÉS ALGORITMUSOK ELŐADÁS Szerkesztette: Balogh Tamás 214. december 7. Ha hibát találsz, kérlek jelezd a info@baloghtamas.hu e-mail címen! Ez a Mű a Creative Commons Nevezd meg! - Ne add el! - Így add tovább! 3. Unported Licenc feltételeinek megfelelően szabadon felhasználható. 1

A jegyzet Bozzay Árpád és Varga Sándor B szakirányos hallgatók Modellek és algoritmusok 214/1 féléves előadásjegyzete alapján készült. Nem tartalmazza a megjegyzéseket, példákat, bizonyításokat, csupán a definíciókat, kimondott tételeket és állításokat. 1. Előadás 1.1. Inverz függvény tétel 1.1 Tétel (Globális). I R nyílt intervallum, f : I R. Tegyük fel, hogy f differenciálható, és f > az egész I-n. f 1 és differenciálható is, és (f 1 ) (y) = 1 f (f 1 (y)). 1.2 Tétel (Lokális). I R nyílt intervallum, f : I R. Tegyük fel, hogy a I, hogy f folytonosan differenciálható a-ban, és f (a) >. U = K(a), V = K(f(a)), f : U V bijekció, és (f 1 ) (x) = 1 f (f 1 (x)) x V. 1.1.1. Általánosítás 1.3 Tétel (Inverz függvény tétel). Ω R n nyílt, f : Ω R n. Tegyük fel, hogy i, f folytonosan differenciálható Ω-n, ii, a Ω, det f (a). bijekció, és U Ω nyílt, V R n nyílt, a U, f(a) V, f : U V (f 1 ) (x) = ( f (f 1 (x))) 1 (x V ). 1.2. Implicit függvény tétel f R 2 R, H := {(x, y): f(x, y) = }. y kifejezhető-e? 1.4 Definíció. f R 2 R, H := {(x, y): f(x, y) = }. Ha U 1, U 2 nyílt halmazok, ϕ: U 1 U 2, hogy f(x, ϕ(x)) =, akkor ϕ kielégíti az f(x, y) = implicit egyenletet. 2. Előadás 2.1 Tétel (Implicit függvény tétel, speciális eset). Ω R 2 nyílt, f : Ω R. Tegyük fel, hogy i, f folytonosan differenciálható Ω-n, ii, (a, b) Ω, f(a, b) =, δ 2 f(a, b). 2

i, U 1, U 2, R nyílt, a U 1, b U 2, ϕ: U 1 U 2 bijekció, ϕ(a) = b és f(x, ϕ(x)) = (x U 1 ), ii, ϕ folytonosan differenciálható, és ϕ (x) = δ 1f(x, ϕ(x)) δ 2 f(x, ϕ(x)) (x U 1 ). 2.2 Tétel (Implicit függvény tétel, általános eset). Ω 1 R n 1, Ω 2 R n 2, f : Ω 1 Ω 2 R n 2. Tegyük fel, hogy i, f folytonosan differenciálható Ω 1 Ω 2 -n, ii, a Ω 1, b Ω 2, f(a, b) =, det δ 2 f(a, b). i, U 1 Ω 1, U 2 Ω 2 nyílt halmazok, ϕ: U 1 U 2 bijekció, ϕ(a) = b és ii, ϕ folytonosan differenciálható és f(x, ϕ(x)) = (x U 1 ), ( 1 ϕ (x) = δ 2 f(x, ϕ(x))) δ1 f(x, ϕ(x)) (x U 1 ). 2.3 Definíció. δ 2 f(a, b) = δ 1 f(a, b) = ( R n 2 y f(a, y)) ( R n 1 y f(x, b)) y=b x=a R n 2 n 2, R n 2 n 1. 3. Előadás 3.1. Feltételes szélsőérték 3.1 Definíció. f-nek feltételes lokális minimuma (maximuma) van a c H pontban a g i = feltételekre nézve, ha K(x), f(x) f(c) (f(x) f(c)) x K(c) H. 3.2 Tétel (Szükséges feltétel feltételes lokális szélőértékre). U R n nyílt, f, g i : U R, i = 1,..., m. Tegyük fel, hogy i, f, g i folytonosan differenciálható, i = 1,..., m, ii, f-nek létezik feltételes lokális szélsőértéke c H-ban, iii, g i(c) vektorok lineárisan függetlenek. λ 1,... λ m R, hogy L (c) =, ahol L(x) = f(x) + λ 1 g 1 (x) +... + λ m g m (x). 3

3.3 Tétel (Elégséges feltétel feltételes lokális szélsőértékre). U R n nyílt, f, g i : U R, i = 1,..., m. Tegyük fel, hogy i, f, g i folytonosan differenciálható, i = 1,..., m, ii, L (c) =, c H, iii, g i(c) vektorok lineárisan függetlenek, iv, L (c) feltételesen pozitív definit, azaz L (c) h, h > g (c) h =, ahol g = g 1.. g m h R n \ {}, amelyre f-nek létezik feltételes lokális minimuma c-ben. 4. Előadás 4.1. Differenciálegyenletek 4.1 Definíció (Szakaszonként folytonosan differenciálható függvény). [α, β] R korlátos, zárt intervallum, ϕ: [α, β] R n szakaszonként folytonosan differenciálható, ha ϕ folytonos, és α = t < t 1 <... < t n = β, hogy ϕ (ti folytonosan differenciálható,t i+1 ) (i =,..., n 1). 4.2 Definíció (Összefüggő halmaz). D R n összefuggő halmaz, ha x, y D : ϕ: [α, β] D szakaszonként folytonosan differenciálható függvény, hogy ϕ(α) = x és ϕ(β) = y ([α, β] R). 4.3 Definíció (Tartomány). D R n tartomány, ha D nyílt, és összefüggő. 4.4 Definíció (Differenciálegyenlet). D R n+1 tartomány, f : D R n folytonos. Az x (t) = f(t, x(t)) egyenletet elsőrendű explicit differenciálegyenletnek nevezzük, ahol x: I R n folytonosan differenciálható, I R nyílt intervallum, és (t, x(t)) D t I. 4.5 Definíció (Kezdeti érték probléma). D R n+1 tartomány, f : D R n folytonos, (τ, ξ) D, τ R, ξ R n. Az x (t) = f(t, x(t)) feladatot kezdeti érték problémának nevezzük. 4.6 Tétel (Peano egzisztencia tétel). D R n+1, f : D R n folytonos, (τ, ξ) D. Az x (t) = f(t, x(t)), x(τ) = ξ kezdeti érték problémának létezik megoldása. 4

5. Előadás 5.1 Definíció. D R n+1 tartomány, f : D R n folytonos, (τ, ξ) D. Az x (t) = f(t, x(t)), x(τ) = ξ kezdeti érték probléma globálisan egyértelműen oldható meg, ha ϕ és ψ is megoldás, akkor ϕ(t) = ψ(t) t D ϕ D ψ. 5.2 Definíció. Ha az x (t) = f(t, x(t)), x(τ) = ξ kezdeti érték probléma globálisan egyértelműen oldható meg, akkor legyen ϕ = ϕ, azaz A ϕ neve teljes megoldás. D ϕ = I=Dϕ ϕ mo. I és ϕ(t) := ϕ(t), t D ϕ D ϕ. 5.3 Definíció. Az x (t) = f(t, x(t)), x(τ) = ξ kezdeti érték probléma lokálisan egyértelműen oldható meg, a (τ, ξ) D ponton, ha K(τ, ξ) D környezet, hogy a feladatot, illetve f-t erre szűkítve a kezdeti érték probléma globálisan egyértelműen oldható meg. 5.4 Megjegyzés. Ha x (t) = f(t, x(t)), x(τ) = ξ globálisan megoldható lokálisan megoldható, de ha lokálisan megoldható globálisan megoldható. 5.5 Tétel. Ha az x (t) = f(t, x(t)), x(τ) = ξ kezdeti érték probléma (τ, ξ) D esetén lokálisan egyértelműen oldható meg, akkor globálisan egyértelműen is. 5.6 Definíció. D R n+1 tartomány, f : D R n folytonos függvény kielégíti a 2. változójában a lokális Lipschitz feltételt a (τ, ξ) D pontban, ha környezet, és L >, hogy K(τ, ξ) D f(t, u) f(t, ū) L u ū (t, u), (t, ū) K(τ, ξ) (t R; u, ū R n ). 5.7 Tétel (Picard-Lindelöff tétel). Tegyük fel, hogy D R n+1 tartomány, f : D R n folytonos függvény kielégíti a lokális Lipschitz feltételt a (τ, ξ) D pontban. az x (t) = f(t, x(t)), x(τ) = ξ kezdeti érték probléma lokálisan egyértelműen oldható meg a (τ, ξ) pontban. 5.8 Tétel. x (t) = f(t, x(t)), x(τ) = ξ kezdeti érték proléma ekvivalens az integrálegyenlettel. x(t) = ξ + t τ f(s, x(s))ds 5.9 Tétel. Ha a Picard-Lindelöff tétel feltételei (τ, ξ) D pontban teljesülnek, akkor x (t) = f(t, x(t)), x(τ) = ξ kezdeti érték probléma globálisan egyértelműen oldható meg (τ, ξ) D esetén. 5.1 Tétel. Ha f : D R n folytonosan differenciálható, akkor kielégíti a Lipschitz feltételt (τ, ξ) D-ben. 5

6. Előadás 6.1. Szeparábilis differenciálegyenlet 6.1 Definíció. I 1, I 2 R nyílt intervallum, f : I 1 R, g : I 2 R folytonos függvények. Az x (t) = f(t) g(x(t)) differenciál egyenletet szeparábilis (vagy szétválasztható változójú) differenciálegyenletnek nevezzük. 6.2 Tétel. Ha / R g, akkor az x = f g x szeparábilis differenciálegyenlet az x(τ) = ξ kezdeti értékkel globálisan egyértelműen megoldható. 6.2. Elsőrendű lineáris differenciálegyenlet 6.3 Definíció. I R nyílt intervallum, f, g : I R folytonos. Az x + fx = g differenciálegyenletet elsőrendű lineáris differenciálegyenletnek nevezzük. 6.4 Tétel. Az x + f x = g lineáris differenciálegyenlet az x(τ) = ξ kezdeti értékkel globálisan egyértelműen megoldható. 6.5 Tétel. Legyen ψ az inhomogén egyenlet (x +f x = g) megoldása. ψ megoldása az inhomogén ψ = ψ + ϕ, ahol ϕ megoldása a homogén. 7. Előadás 8. Előadás 8.1. Az x = Ax homogén lineáris DER megoldása Csak akkor létezik megoldóképlet, ha A állandó mátrix, azaz a i,j állandó. 8.1 Tétel. Tekintsük az x = Ax differenciálegyenlet rendszert és legyen A állandó mátrix. Tegyük fel, hogy A-nak n db lineárisan független sajátvektora: s 1,..., s n, a hozzátartozó sajátértékek: λ 1,..., λ n. s i e λ it (i = 1,..., n) a differenciálegyenlet rendszer alaprendszere. 8.2 Megjegyzés. Hasonló tétel igaz, ha A-nak n db különböző sajátértéke. 8.2. Az x = Ax inhomogén lineáris DER megoldása Jelölje M ih az x = Ax + b egyenlet teljes megoldásainak halmazát. Legyen Ψ M ih. 8.3 Tétel. Ψ M ih Ψ = Ψ + ε, ahol ε M h. 8.4 Tétel. i, Az x = Ax + b differenciálegyenlet rendszer összes megoldása: ii, Ha Ψ(τ) = ξ, akkor t Ψ(t) = Φ(t) c + Φ(t) Φ(s) 1 b(s)ds (c R n ). τ t Ψ(t) = Φ(t) Φ(τ) 1 ξ + Φ(t) Φ(s) 1 b(s)ds. τ 6

8.3. Magasabb rendű differenciálegyenlet 8.5 Definíció. D R n+1 tartomány, h: D R folytonos. Az y (n) (t) = h(t, y(t), y (t),..., y (n 1) (t)) feladatot n-ed rendű differenciálegyenletnek nevezzük. Jel: y (n) = h (id, y, y,..., y (n 1) ). 8.6 Tétel. φ megoldása az y (n) = h (id, y, y,..., y (n 1) ) differenciálegyenletnek Ψ megoldása az x = f (id, x) differenciál egyenlet rendszernek. 8.7 Definíció. Az y (n) = h (id, y, y,..., y (n 1) ), y(τ) = ξ 1, y (τ) = ξ 2,..., y (n 1) (τ) = ξ n feladatot kezdeti érték problémának nevezzük. 8.8 Tétel. A differenciálegyenlet rendszerekre tanult tételek (picard-lindelöff, Peano) igazak maradnak n-ed rendű differenciál egyenletekre is. 9. Előadás 9.1. Magasabbrendű lineáris differenciálegyenlet 9.1 Definíció. Legyen a,... a n 1, b: I R folytonos és korlátos függvények. az y (n) + a n 1 y (n 1) +... + a 1 y + a y = b egyenletet n-ed rendű lineáris differenciálegyenletnek nevezzük. 9.2 Tétel. ϕ kielégíti az y (n) +a n 1 y (n 1) +...+a 1 y +a y = b lineáris differenciálegyenletet Ψ kielégíti az x = Ax + b lineáris differenciálegyenlet rendszert. 9.3 Definíció. A differenciálegyenlet homogén, ha b =, inhomogén különben. (ezmitőldef?:o) 9.4 Tétel. Tekintsük az y (n) + a n 1 y (n 1) +... + a 1 y + a y = differenciálegyenletet. i, M h C h (I, R), M h altér, dim M h = h, ii, ϕ 1,... ϕ n M h lineárisan függetlenek t I-re det ϕ 1 (t)... ϕ n (t) ϕ 1(t)... ϕ n(t). 1 (t)... ϕ (n 1) (t) ϕ (n 1) (ezt valaki nézze már meg, mert a hozott anyag elég érdekes, van valahol "minden t eleme I-re" és egy "létezik t eleme I-re") 9.5 Tétel. Legyen Ψ M ih. Ψ M ih Ψ = Ψ + ϕ, ahol ϕ M h. n 7

9.6 Definíció. Az y (n) + a n 1 y (n 1) +... + a 1 y + a y = differenciálegyenlet karakterisztikus polinomján a polinomot értjük. K(z) = z n + a n 1 z n 1 +... + a 1 z + a 9.7 Tétel. ϕ(t) = e λt M h λ gyöke K-nak. 9.8 Tétel. Ha K-nak n db különböző gyöke, λ 1,... λ n, akkor ϕ i (t) = e λ it, i = 1,... n a differenciálegyenlet alaprendszere. 9.9 Definíció. Ha {ϕ 1,..., ϕ n } M h lineárisan függetlenek, akkor ezt a differenciálegyenlet alaprendszerének nevezzük. 9.1 Tétel. Tegyük fel, hogy K(z) = (z λ 1 ) m 1 + (z λ r ) mr, ahol λ 1,..., λ n különbözőek, és m 1 +... + m r = n. ϕ i,j (t) = t i e λjt, i = 1,..., r, i =,..., m j 1 alaprendszert alkot. 9.11 Tétel. Valós alaprendszer is van. 9.2. Az inhomogén állandó együtthatós differenciálegyenlet megoldása 9.12 Tétel. Ha c(t) kielégíti a Φ(t)c (t) = b(t) egyenletet, akkor c 1 (t)ϕ 1 (t) +... + c n (t)ϕ n (t) M ih. 9.13 Tétel. Legyen P, Q polinom, α, β, c 1, 2, A, B R. Ha α + β i k-szoros gyöke k-nak (ha nem gyöke, akkor k = ) és ahol Q foka nagyobb mint P foka. 1. Előadás b(t) = P (t)e αt (c 1 cos βt + c 2 sin βt). ϕ(t) = t k Q(t)e αt (A cos βt + B sin βt) M ih, 1.1. Függvénysorozatok, függvénysorok A R, f n : A R, n N. 1.1 Definíció. Az (f n ) sorozatot függvénysorozatnak nevezzük, a f n sort pedig függvénysornak nevezzük, ahol ez alatt a függvénysorozatot értjük. ( n f k, ) n N 8

1.2 Definíció. Az (f n ) függvénysorozat konvergenciahalmaza: KH(f n ) := {x A: (f n (x)) konv. }, a f n függvénysorozat konvergenciahalmaza: ( ) KH fn := {x A: f n (x) konv. }. 1.3 Definíció. Az (f n ) pontonkéni limesze: lim f n : KH(f n ) R, x lim f n (x). A f n összegfüggvénye: n= ( ) f n : KH fn R, x f n (x). n= 1.4 Definíció. Az (f n ) függvénysorozat egyenletesen konvergens, ha ε > n, n, m n x A: f n (x) f m (x) < ε. 1.5 Tétel. Az (f n ) sorozat egyenletesen konvergens, akkor és csak akkor, ha f : A R, ε > n, n n x A: f n (x) f(x) < ε. Az (f n ) függvénysorozat egyenletes konvergenciájáról szóló tételben megjelenő f-et az (f n ) egyenletes hatásfüggvényének nevezzük. Jele: f n f. 1.6 Megjegyzés. f n f pontonként A-n, akkor és csakis akkor, ha x A, ε > n, n n : f n (x) f(x) < ε. 1.7 Tétel. f n f f n f pontonként A-n, de f n f f n f pontonként A-n. 1.8 Tétel. f n : A R. Tegyük fel, hogy f n C(A), n N, és (f n ) egyenletesen konvergens. f = lim f n C(A). 1.9 Tétel (Weierstrass-tétel). f n : A R. Tekintsük a f n függvénysort és a a n számsort. Tegyük fel, hogy sup f n () a n n N, és a n konvergens. x A f n egyenletesen konvergens. 1.1 Definíció. f n egyenletesen konvergens, ha (s n ) egyenletesen konvergens, ahol n s n := f k. 1.11 Tétel. f n : [a, b] R, n N. Tegyük fel, hogy f n R[a, b], n N, és (f n ) egyenletesen konvergens. f := lim f n R[a, b] és b a b f = lim f n. a 9

1.12 Tétel. f n : [a, b] R, n N. Tegyük fel, hogy f n R[a, b], n N, és f n egyenletesen konvergens. f := f n R[a, b] és n= b b f = f n. a n= a 1.13 Tétel. f n : (a, b) R, n N. Tegyük fel, hogy 1. f n D(a, b) ( n N, 2. x (a, b): (f n (x )) konvergens, 3. (f n) egyenletesen konvergens. 1. (f n ) egyenletesen konvergens, 2. f = lim f n D(a, b), 3. f = lim f n. 11. Előadás 11.1. Fourier-sorok 11.1 Definíció. A n (a k cos kx + b k sin kx) polinomot trigonometrikus polinomnak nevezzük, a a k cos kx + b k sin kx sort pedig trigonometrikus sornak nevezzük. 11.2 Definíció. R 2π := {f : R R, f 2π-szerint periodikus és f R[, 2π]}, C 2π := {f : R R, f 2π-szerint periodikus és f C}. 11.3 Definíció. f, g R 2π ortogonális, ha f, g := fg =. 11.4 Definíció. A {ϕ n : n N} rendszer ortogonális, ha : n m ϕ n, ϕ m = ϕ n ϕ m = 1: n = m. 11.5 Tétel. Az {1, cos x, sin x, cos 2x, sin 2x,...} rendszer ortogonális. 11.6 Tétel. Az { 1, cos x, sinx cos 2x sin 2x,,...} 2π π π π π rendszer ortonormált. 1

11.7 Definíció. Az {1, cos x, sin x, cos 2x, sin 2x,...} rendszert trigonometrikus rendszernek nevezzük. 11.8 Tétel. A trigonometrikus rendszer teljes C 2π -ben, azaz, ha h C 2π és akkor h. h(x) cos kxdx = h(x) sin kxdx = k, 11.9 Tétel. Ha a a k cos kx + b k sin kx sor egyenletesen konvergál, és f(x) = (a k cos kx + b k sin kx), akkor a = 1 2π a k = 1 π b k = 1 π f(x)dx, f(x) cos kx dx k 1 f(x) sin kx dx k 1. 11.1 Definíció. f R 2π. Az a := 1 2π a k := 1 π b k := 1 π f(x)dx, számokat f Fourier-együtthatóinak nevezük. A sort f Fourier-sorának nevezzük. f(x) cos kx dx k 1 f(x) sin kx dx k 1. a k cos kx + b k sin kx 11.11 Tétel (Da-Boir Reymond, Fejér). f C 2π, hogy f Fourier-sora egy pontban divergens. 11

12. Előadás 12.1 Tétel. Az f C 2π Fourier sora a a k cos kx + b k sin kx. Ha a Fourier-sor egyenletesen konvergens, akkor f(x) = a k cos kx + b k sin kx. 12.2 Definíció. C 2 2π = {f : R R f 2π szeint periodikus, f C 2 }, azaz f kétszer folytonosan differenciálható. 12.3 Tétel. Ha f C 2 2π, akkor f Fourier-sora egyenletesen konvergens, és f(x) = a k cos kx + b k sin kx. 12.4 Definíció. f szakaszonként folytonos a [, 2π]-n, ha > t < t 1 <... < t n = 2π, hogy f (ti 1,t i ) folytonos (i = 1,..., n), és lim x+ f = f(x + ) és lim x f = f(x ) ( x [, 2π]). 12.5 Tétel. Tegyük fel, hogy 1. f 2π szerint periodikus, 2. f szakaszonként folytonos a [, 2π]-n, 3. egy adott x [, 2π]-re f (x + ) = lim és f f(t) f(x) (x ) = lim. t x t x t x+ a k cos kx + b k sin kx = 12.6 Következmény. Tegyük fel, hogy 1. f 2π szerint periodikus, 2. f szakaszonként folytonos a [, 2π]-n, 3. f D(x) egy adott x-re. f(t) f(x) t x f(x + ) + f(x ). 2 a k cos kx + b k sin kx = f(x). 12

12.7 Tétel (Bessel-egyenlőség). Ha f R 2π, akkor n n min f(x) (a k cos kx + b k sin kx 2 = f(x) (a k cos kx + b k sin kx 2. 12.8 Tétel (Bessel-egyenlőtlenség). Ha f R 2π, akkor f 2 2 = 12.9 Tétel. Ha f R 2π, akkor L 2 normában, azaz ( f(x) 2 dx 2πa 2 ) + π a 2 k + b 2 k. k=1 (a k cos kx + b k sin kx) = f(x). lim f(x) n a k cos kx + b k sin kx 2 =. n Továbbá (Perseral formula) f(x) 2 dx = 2πa 2 + π (a 2 k + b 2 k). k=1 12.1 Tétel (Carlazon-tétel). Ha f R 2π, akkor majdnem minden x-re. (a k cos kx + b k sin kx) = f(x) ( ) 2, π x 12.11 Tétel. Ha f(x) = 2 x [, 2π], f(x + 2π) = f(x). Ekkkor egyenletes. f(x) = π2 12 + k=1 cos kx k 2 13