Opkut deníciók és tételek

Hasonló dokumentumok
A lineáris programozás alapfeladata Standard alak Az LP feladat megoldása Az LP megoldása: a szimplex algoritmus 2017/

A lineáris programozás alapfeladata Standard alak Az LP feladat megoldása Az LP megoldása: a szimplex algoritmus 2018/

Dualitás Dualitási tételek Általános LP feladat Komplementáris lazaság 2017/ Szegedi Tudományegyetem Informatikai Intézet

Áttekintés LP és geometria Többcélú LP LP és egy dinamikus modell 2017/ Szegedi Tudományegyetem Informatikai Intézet

A szimplex algoritmus

A szimplex algoritmus

A szimplex tábla. p. 1

Kétfázisú szimplex algoritmus és speciális esetei

11. Előadás. 11. előadás Bevezetés a lineáris programozásba

Optimalizálás alapfeladata Legmeredekebb lejtő Lagrange függvény Log-barrier módszer Büntetőfüggvény módszer 2017/

1/ gyakorlat. Lineáris Programozási feladatok megoldása szimplex módszerrel. Pécsi Tudományegyetem PTI

Dualitás Dualitási tételek Általános LP feladat Komplementáris lazaság 2015/ Szegedi Tudományegyetem Informatikai Tanszékcsoport

Alkalmazott optimalizálás és játékelmélet Lineáris programozás Gyakorlófeladatok. Rétvári Gábor

Nem-lineáris programozási feladatok

A lineáris programozás alapjai

Nemlineáris programozás 2.

1/ gyakorlat. Lineáris Programozási feladatok megoldása szimplex módszerrel. Pécsi Tudományegyetem PTI

Bázistranszformáció és alkalmazásai 2.

Szinguláris értékek. Wettl Ferenc április 3. Wettl Ferenc Szinguláris értékek április 3. 1 / 28

Szemidenit optimalizálás és az S-lemma

Operációkutatás. Vaik Zsuzsanna. ajánlott jegyzet: Szilágyi Péter: Operációkutatás

Sorozatok, sorok, függvények határértéke és folytonossága Leindler Schipp - Analízis I. könyve + jegyzetek, kidolgozások alapján

Döntési rendszerek I.

1. Parciális függvény, parciális derivált (ismétlés)

Szinguláris értékek. Wettl Ferenc április 12. Wettl Ferenc Szinguláris értékek április / 35

1. feladat Az egyensúly algoritmus viselkedése: Tekintsük a kétdimenziós Euklideszi teret, mint metrikus teret. A pontok

Lineáris algebra 2. Filip Ferdinánd december 7. siva.banki.hu/jegyzetek

Operációkutatás. 4. konzultáció: Szállítási feladat. A feladat LP modellje

Magasabbfokú egyenletek

Követelmények Motiváció Matematikai modellezés: példák A lineáris programozás alapfeladata 2017/ Szegedi Tudományegyetem Informatikai Intézet

Jegyzet. az Operációkutatás II cím tantárgyhoz. Király Tamás és Papp Olga. Utolsó frissítés: február

Operációkutatás I. Bajalinov, Erik, Nyíregyházi Főiskola, Matematika és Informatika Intézete Bekéné Rácz, Anett, Debreceni Egyetem, Informatikai Kar

Vektorterek. Wettl Ferenc február 17. Wettl Ferenc Vektorterek február / 27

Totális Unimodularitás és LP dualitás. Tapolcai János

Mátrixjátékok tiszta nyeregponttal

Követelmények Motiváció Matematikai modellezés: példák A lineáris programozás alapfeladata 2017/ Szegedi Tudományegyetem Informatikai Intézet

LINEÁRIS PROGRAMOZÁSI FELADATOK MEGOLDÁSA SZIMPLEX MÓDSZERREL

A fontosabb definíciók

HALMAZELMÉLET feladatsor 1.

0,424 0,576. f) P (X 2 = 3) g) P (X 3 = 1) h) P (X 4 = 1 vagy 2 X 2 = 2) i) P (X 7 = 3, X 4 = 1, X 2 = 2 X 0 = 2) j) P (X 7 = 3, X 4 = 1, X 2 = 2)

Jegyzet. az Operációkutatás (elemz, programozó matematikus) tárgyhoz április. Fábián Csaba, Király Tamás, Papp Olga

lineáris programozás esetében. Ennek ez idő szerint legkorábbi formalizálását

Lineáris leképezések. Wettl Ferenc március 9. Wettl Ferenc Lineáris leképezések március 9. 1 / 31

Nemkonvex kvadratikus egyenlőtlenségrendszerek pontos dualitással

Döntési rendszerek I.

Érzékenységvizsgálat

Szimplex módszer, szimplex tábla Példaként tekintsük a következ LP feladatot:

Lineáris algebrai alapok

Lineáris egyenletrendszerek

10. Előadás. 1. Feltétel nélküli optimalizálás: Az eljárás alapjai

Glevitzky Béla. Operációkutatás I. mobidiák könyvtár

További programozási esetek Hiperbolikus, kvadratikus, integer, bináris, többcélú programozás

Függvények július 13. f(x) = 1 x+x 2 f() = 1 ()+() 2 f(f(x)) = 1 (1 x+x 2 )+(1 x+x 2 ) 2 Rendezés után kapjuk, hogy:

A KroneckerCapelli-tételb l következik, hogy egy Bx = 0 homogén lineáris egyenletrendszernek

2. SZÉLSŽÉRTÉKSZÁMÍTÁS. 2.1 A széls érték fogalma, létezése

A tiszta stratégiával a biztosan elérhető nyereség:

1. Házi feladat. Határidő: I. Legyen f : R R, f(x) = x 2, valamint. d : R + 0 R+ 0

Jegyzet. az Operációkutatás II cím tantárgyhoz. Utolsó frissítés: május 20. Király Tamás el adásai alapján készítette Papp Olga

Gazdasági matematika II. tanmenet

Lineáris programozás. Modellalkotás Grafikus megoldás Feladattípusok Szimplex módszer

Modellek és Algoritmusok - 2.ZH Elmélet

1/ gyakorlat. Hiperbolikus programozási feladat megoldása. Pécsi Tudományegyetem PTI

Lineáris algebra és a rang fogalma (el adásvázlat, szeptember 29.) Maróti Miklós

Kvadratikus alakok és euklideszi terek (előadásvázlat, október 5.) Maróti Miklós, Kátai-Urbán Kamilla

Bevezetés a játékelméletbe Kétszemélyes zérusösszegű mátrixjáték, optimális stratégia

11. Előadás. 1. Lineáris egyenlőség feltételek melletti minimalizálás

1. feladatsor: Vektorterek, lineáris kombináció, mátrixok, determináns (megoldás)

Boros Zoltán február

út hosszát. Ha a két várost nem köti össze út, akkor legyen c ij = W, ahol W már az előzőekben is alkalmazott megfelelően nagy szám.

Utolsó el adás. Wettl Ferenc BME Algebra Tanszék, Wettl Ferenc (BME) Utolsó el adás / 20

A DÖNTÉSELMÉLET ELEMEI

Lagrange-féle multiplikátor módszer és alkalmazása

4. Fuzzy relációk. Gépi intelligencia I. Fodor János NIMGI1MIEM BMF NIK IMRI

Konjugált gradiens módszer

Kódelméleti és kriptográai alkalmazások

Megoldott feladatok november 30. n+3 szigorúan monoton csökken, 5. n+3. lim a n = lim. n+3 = 2n+3 n+4 2n+1

1. tétel - Gráfok alapfogalmai

MATEMATIKA 2. dolgozat megoldása (A csoport)

Feladatok a Gazdasági matematika II. tárgy gyakorlataihoz

Bevezetés az algebrába 2 Vektor- és mátrixnorma

Analízis előadás és gyakorlat vázlat

Optimalizálási eljárások GYAKORLAT, MSc hallgatók számára. Analízis R d -ben

Konvex optimalizálás feladatok

Lineáris algebra gyakorlat

Sorozatok és Sorozatok és / 18

A Formális nyelvek vizsga teljesítése. a) Normál A vizsgán 60 pont szerezhet, amely két 30 pontos részb l áll össze az alábbi módon:

Abszolút folytonos valószín ségi változó (4. el adás)

Diszkrét Matematika MSc hallgatók számára. 14. Előadás

4. Előadás: Erős dualitás

17. előadás: Vektorok a térben

3. el adás: Determinánsok

5 = hiszen és az utóbbi mátrix determinánsa a középs½o oszlop szerint kifejtve: 3 7 ( 2) = (példa vége). 7 5 = 8. det 6.

DiMat II Végtelen halmazok

Egyváltozós függvények 1.

Operációkutatás. Vaik Zsuzsanna. Budapest október 10. First Prev Next Last Go Back Full Screen Close Quit

Lineáris programozás. A mese

Fraktálok. Kontrakciók Affin leképezések. Czirbusz Sándor ELTE IK, Komputeralgebra Tanszék. TARTALOMJEGYZÉK Kontrakciók Affin transzformációk

1. Komplex függvények dierenciálhatósága, Cauchy-Riemann egyenletek. Hatványsorok, elemi függvények

szantai Az operációkutatás matematikai módszerei

Diszkrét Matematika MSc hallgatók számára. 4. Előadás

Átírás:

Opkut deníciók és tételek Készítette: Bán József Deníciók 1. Deníció (Lineáris programozási feladat). Keressük meg adott lineáris, R n értelmezési tartományú függvény, az ún. célfüggvény széls értékét (minimumát vagy maximumát) értelmezési tartományának adott lineáris korlátokkal (feltételekkel) meghatározott részében. 2. Deníció (Lehetséges megoldás). Olyan x R n vektor, amely kielégíti a feladat feltételrendszerét jelölés: lehetséges megoldások halmaza: L ( R n ) 3. Deníció (Optimális megoldás). Olyan lehetséges megoldás, amelyen a célfüggvény felveszi a maximumát (minimumát). 4. Deníció (Lineáris feltétel). Olyan ' ', ' ' egyenl tlenség vagy egyenlet, amely csak lineáris illetve konstans tagokat tartalmaz. 5. Deníció (Standard alakú lineáris programozási feladat). a ij x i b i i = 1, 2,..., m x j 0 max c i x i = z i = 1, 2,..., n 6. Deníció (Szótár). x n+i = b i a ij x j z = c j x j 1 i = 1, 2,..., m

2 7. Deníció (Természetes (vagy döntési) változók). A standard alakú feladatban szerepl változók (x 1, x 2,..., x n ). 8. Deníció (Mesterséges (vagy slack) változók). A szótár felírásakor felvett új, nemnegatív változók (x n+1, x n+2,..., x n+m ) 9. Deníció (Bázisváltozók, más néven Bázis). A szótár feltétel egyenleteinek bal oldalán álló változók, jelölés - Bázisváltozók indexhalmaza: B 10. Deníció. A szótár feltételeinek jobb oldalán álló változók jelölés - Nembázisváltozók indexhalmaza: N 11. Deníció (Szótár bázismegoldása). Olyan x vektor, amelyben a bázisváltozók értékei az ket tartalmazó egyenletek jobb oldali konstansai, a nembázis változók értéke nulla. 12. Deníció (Lehetséges bázismegoldás). Olyan bázismegoldás, ami egyben lehetséges megoldás is, azaz a szótárra teljesül, hogy b i 0i = 1, 2,..., m 13. Deníció (Pivot lépés). Új szótár megadása egy bázis és nembázis változó szerepének felcserélésével 14. Deníció (Belép változó). A szimplex algoritmus egy iterációnak belép változója az a nembázis változó, ami a következ szótárra áttérés hatására bázisváltozóvá válik. 15. Deníció (Kilép változó). A szimplex algoritmus egy iterációnak belép változója az a nembázis változó, ami a következ szótárra áttérés hatására nembázis változóvá válik. 16. Deníció (Szótárak ekvivalenciája). Két szótár ekvivalens, ha lehetséges megoldásaik és a hozzájuk tartozó célfüggvényértékek rendre megegyeznek. 17. Deníció (Nem korlátos LP feladat). Ha az LP feladat maximalizálandó (minimalizálandó) és célfüggvénye tetsz legesen nagy (kicsi) értéket felvehet a lehetséges megoldásainak halmazán, akkor a feladatot nem korlátosnak nevezzük. 18. Deníció (Pivot szabály). Olyan szabály, ami egyértelm vé teszi, hogy a szimplex algoritmusban mely változók legyenek a belép - és a kilép változók, ha több változó is teljesíti az alapfeltételeket.

3 19. Deníció (Klasszikus Szimplex algoritmus pivot szabálya). - A lehetséges belép változók közül válasszuk a legnagyobb c k érték t, több ilyen esetén azok közül a legkisebb index t. - A lehetséges kilép változók köül válasszuk a legkisebb l index egyenlet változóját. 20. Deníció (Degenerált iterációs lépés). Olyan szimplex iteráció, amelyben nem változik a bázismegoldás. 21. Deníció (Degenerált bázismegoldás). Olyan bázismegoldás, amelyben egy vagy több bázisváltozó értéke 0. 22. Deníció (Ciklizáció). Ha a Szimplex algoritmus valamely iterációja végén egy korábbi iteráció szótárát kapjuk meg újra, akkor azt ciklizációnak nevezzük. 23. Deníció (Legkisebb index szabálya). - A lehetséges belép változók közül válasszuk a legkisebb index t. - A lehetséges kilép változók közül válasszuk a legkisebb index t. 24. Deníció (Lexikograkus rendezés). Egy x R n vektor lexikogra- kusan kisebb vagy egyenl, mint egy y R n vektor, ha létezik olyan i index, amelyre x i < y i és x j = y j j = 1, 2,..., i 1, vagy x = y - Dichotom, reexív, tranzitív és antiszimmetrikus - Teljes rendezés 25. Deníció. Egészítsük ki szimbolikus ɛ konstansokkal az induló szótárat, majd - A lehetséges belép változók közül válasszuk a legnagyobb c k érték t, több ilyen esetén azok közül a legkisebb index t. - A lehetséges kilép változók közül válasszuk azt, amelynek l index egyenletére a [a lɛ1 a lɛ2... a lɛm ] vektor lexikograkusan a legkisebb

4 26. Deníció (Primál duál feladatpár). a ij x i b i i = 1, 2,..., m Primál feladat x j 0 i = 1, 2,..., n max c i x i = z a ij y i c j j = 1, 2,..., n Duál feladat y i 0 j = 1, 2,..., m min b i y i = w 27. Deníció (Általános LP feladat dualitás esetben). a ij x j b i i I a ij x j = b i i E x j 0 max c j x j = z i R - Ámnf. hogy az egyenl tlenségek mind ' ', a korlátos változók 0 alsó korlátosak - Jelölje a szabad változók indexhalmazát F - Legyen összesen n váltzó és m feltétel

5 28. Deníció (Általános LP feladat duálisa dualitás esetben). a ij y i c j j R a ij y i = c j y i 0 min b i y i = w j F i I 29. Deníció (Inkonzisztencia). egyenletek és egyenl tlenségek egy m elem a ij x j b i i I a ij x j = b i i E rendszere inkonzisztens, ha léteznek olyan y 1, y 2,..., y m valós számok, amelyekre teljesül, hogy a ij y i = 0 b i y i < 0 y i 0 j = 1, 2,..., n i I 30. Deníció (R n ). n-dimenziós lineáris tér a valós számok felett - Elemei az n elem valós vektorok 31. Deníció (E n ). n-dimenziós euklideszi tér, olyan R n, amelyben értelmezett egy bels szorzat és egy távolság függvény a következ módon - (x, y) = x T y = x 1 y 1 + x 2 y 2 +... + x n y n - d(x, y) = (x 1 y 1 ) 2 + (x 2 y 2 ) 2 +... + (x n y n ) 2

6 32. Deníció (Pont). egy x E n vektor 33. Deníció. x 1 ( E n ) és x 2 ( E n ) különböz pontokat összeköt szakasz: ahol λ [0, 1] és tetsz leges. {x : x E n, x = λx 1 + (1 λ)x 2 }, 34. Deníció. x 1, x 2 végpontú szakasz felez pontja: 1 2 x 1 + 1 2 x 2 pont 35. Deníció (Ponthalmaz csúcspontja). Olyan pont, amely nem áll el egyetlen ponthalmazbeli szakasz felez pontjaként sem. 36. Deníció (n-dimenziós sík). {x : x E n, a 1 x 1 + a 2 x 2 +... + a n x n = b}, ahol a 1, a 2,..., a n, b R és rögzítettek 37. Deníció. {x : x E n, a 1 x 1 + a 2 x 2 +... + a n x n b}, ahol a 1, a 2,..., a n, b R és rögzítettek 38. Deníció (Konvex ponthalmaz). Olyan ponthalmaz, amely tartalmazza bármely két pontját összeköt szakasz pontjait is. 39. Deníció (Zárt ponthalmaz). Olyan ponthalmaz, amely tartalmazza a pontjaiból képezhet tetsz leges konvergens sorozat határértékét is. 40. Deníció (Korlátos ponthalmaz). Olyan ponthalmaz, amelynek minden x pontjára teljesül, hogy d(0, x) K, ahol K egy rögzített valós szám. 41. Deníció (Poliéder). Zárt, véges sok csúcsponttal rendelkez ponthalmaz. 42. Deníció (Egy f függvény gradiens függvénye). [ f f(x) =, f,..., f ] x 1 x 2 x n 43. Deníció (Egy f függvény x pontjához tartozó Hesse mátrix). [ ] 2 f Hf(x) = x 1 x j

44. Deníció (Az optimalizálási feladathoz társított Log Barrier függvény). { log(bi a Φ i (x) = i x), a i x < b i i = 1, 2,..., m, a i x b i 45. Deníció (Az optimalizálási feladathoz társított Log Barrier feladat). max f(x) + Φ i (x) 46. Deníció (A standard alakú LP feladathoz társított Log Barrier feladat). Ax + w = b max c T x + µ log(x 1 ) + µ log(w j ) 47. Deníció (Mátrix játék kizetési mátrix). Olyan M mátrix, amelyben az m ij elemek a sor játékos nyereményei, amennyiben a sor játékos i-t, az oszlop játékos j-t lép a játékban. 48. Deníció (Tiszta stratégia). A kizetési mátrix sorait (oszlopait) a sor (oszlop) játékos tiszta stratégiáinak nevezzük. 49. Deníció (Sztochasztikus vektor). Olyan nem negatív vektor, amelyben az elemek össze 1 50. Deníció (Kevert stratégia). Sztochasztikus vektor, amelynek i. eleme annak valószín sége, hogy a játékos az i tiszta stratégiát játssza egy fordulójában. 51. Deníció (Mátrix játék értéke). A játékhoz tartozó Minimax tétel szerinti z = w érték. 52. Deníció (Igazságos játék). Egy mátrix játék igazságos, ha értéke 0 53. Deníció (Szimmetrikus játék). Egy mátrix játék szimmetrikus, ha mátrixának minden elemére teljesül, hogy a ij = a ji 54. Deníció (Dominancia). Egy Am n-es kizetési mátrix egy r sora dominálja az s sort, ha minden j = 1, 2,..., n-re a rj a sj, hasonlóan egy r oszlop dominálja az s oszlopot, ha minden i = 1, 2,..., m-re a ir a is 7

8 55. Deníció (Nyeregpont). Ha egy mátrix játékra M = m, akkor a mátrix a rs = m elemét a mátrix nyeregpontjának nevezzük. 56. Deníció (Nash egyensúly, equlibrium). Olyan stratégia pár, amely esetén egyik játékos sem tudja stratégiája változtatásával növelni a nyereségét, amennyiben a másik játékos nem változtat stratégiát. 57. Deníció (Prol). Egy döntéshozó egyéni preferencia sorrendje az alternatívák felett. 58. Deníció (Konszenzus függvény). Az F : P m P függvényt konszenzus függvénynek nevezzük. 59. Deníció (Egyszer többség). Helyezzük az a alternatívát a b elé, ha a döntéshozók többsége is ezt tette - Nem ad konszenzus függvényt. - Condorcet paradoxon. 60. Deníció. Jelölje b i (a) az i. prolban az a után következ alternatívák számát, és rendezzük az alternatívákat nagyság szerint a következ érték alapján b(a) = b i (a)

9 Tételek 1. Tétel. Minden lineáris programozási feladathoz megadható egy vele ekvivalens standard alakú feladat. 2. Tétel. A pivot lépés el tti és az utána el álló új szótár. 3. Tétel. Ha egy szótárban nincs pozitív c j j = 1, 2..., n + m célfüggvény együttható és negatív b i i = 1, 2,..., m konstans a feltételek egyenleteiben, akkor a szótár bázismegoldása. 4. Tétel. Ha egy szótárban van olyan pozitív c j j = 1, 2,..., n + m célfüggvény együttható, hogy minden a ij i = 1, 2,..., m együttható pozitív, akkor az LP feladat, amihez a szótár tartozik, nem korlátos 5. Tétel (Ciklizáció). Ha a szimplex algoritmus nem áll meg, akkor ciklizál. 6. Tétel (Bland szabály). A szimplex algoritmus véget ér, ha a legkisebb index szabályt használjuk. 7. Tétel (Szimplex módszer). Egy standard feladatnak akkor és csak akkor létezik lehetséges megoldása, ha 0 a hozzá felírt segédfeladat optimuma. 8. Tétel. Tetsz leges standard alakú lineáris programozási feladatra teljesülnek az alábbi állítások: - Ha nincs optimális megoldása, akkor vagy nem korlátos vagy nincs lehetséges megoldása. - Ha van lehetséges megoldása, akkor van lehetséges bázismegoldása is. - Ha van optimális megoldása, akkor van optimális bázismegoldása is. 9. Tétel (Gyenge dualitás tétele). Ha [x 1 x 2... x n ] a primál feladat lehetséges megoldása és [y 1 y 2... y m ] a duál feladat lehetséges megoldása, akkor c j x j b i y i 10. Tétel (Er s dualitás tétele). Ha x = [x 1 x 2... x n] a primál feladat egy optimális megoldása, akkor létezik a duális feladatnak egy y = [y1 y2... ym] optimális megoldása, amelyre teljesül, hogy c j x j b i yi

10 11. Tétel (1. Komplementaritás tétel). Egy x = [x 1 x 2... x n] primál lehetséges megoldás és egy y = [y 1 y 2... y m] duális lehetséges megoldás akkor és csak akkor optimálisak, ha teljesülnek a következ feltételek 1. Feltétel a ij yi = c j és/vagy x j = 0 igaz j = 1, 2,..., n 2. Feltétel a ij x j = b i és/vagy yi = 0 igaz i = 1, 2,..., m 12. Tétel (2. Komplementaritás tétel). Egy x = [x 1 x 2... x n] primál lehetséges megoldás akkor és csak akkor optimális, ha léteznek olyan y1y 2... ym valós számok, amelyekre teljesülnek az alább feltételek 1. Feltétel x j > 0 a ij yi = c j 2. Feltétel 3. Feltétel a ij x j < b i yi = 0 a ij yi c j j = 1, 2,..., n 4. Feltétel y i 0 i = 1, 2,..., m 13. Tétel. Ha egy LP feladatnak van legalább egy nem degenerált optimális megoldása, akkor létezik olyan pozitív ɛ, hogy a ij x i b i + t i i = 1, 2,..., m

11 x j 0 j = 1, 2,..., n max t i i = 1, 2,..., m c i x i = z LP feladatseregnek is van optimális megoldása, és az optimum értéke z (t 1, t 2,... t m ) = z + t i yi ahol z az eredeti LP feladat optimuma, y 1y 2... y m pedig a duális feladat optimális megoldása. 14. Tétel (Általános er s dualitás tétele). Ha egy lineáris programozási feladatnak van optimális megoldása, akkor a duálisának is, és ezek az optimumok megegyeznek. 15. Tétel (Tucker lehetetlenségi tétele egyenlet és egyenl tlenség rendszerekre). Egyenletek és egyenl tlenségek egy rendszere akkor és csak akkor megoldhatatlan, ha inkonzisztens 16. Tétel. Ha a g i feltételek lineárisak, akkor az f függvénynek az x pontban lokális maximum helye van, ha valahányszor egy ξ 0 vektorra teljesül ξ T g i (x ) = 0 minden i = 1, 2,..., m, akkor ξ T Hf(x )ξ < 0 is igaz rá. 17. Tétel. Akkor és csak akkor létezik a társított Log Barrier problémának optimuma, ha a kiindulási standard alakú LP feladatnak és a duálisának is léteznek lehetséges megoldásai. 18. Tétel. Ha egy primál (vagy duális) feladatnak létezik lehetséges megoldása és korlátos, akkor a társított Log Barrier feladatnak egyértelm en létezik optimuma. 19. Tétel (Minimax tétel). Minden m n méret A mátrixhoz léteznek olyan x m-dimenziós és y n-dimenziós stochasztikus vektorok, hogy min y x Ay = max xay, x ahol x és y rendre tetsz leges m és n dimenziós sztochasztikus vektorok.

12 20. Tétel (Dominancia tétel). Minden mátrix játékra igazak az alábbiak 1. Ha egy r sort dominál egy másik, akkor a sor játékosnak létezik olyan x kevert stratégiája, amelyben x r = 0, tehát az r sor törlése a mátrixból nem változtatja meg a játék értékét. 2. Ha egy s oszlopot dominál egy másik, akkor az oszlop játékosnak létezik olyan y kevert stratégiája, amelyben y s = 0, tehát az s oszlop törlése a mátrixból nem változtatja meg a játék értékét. 21. Tétel (Nyeregpont tétel). Ha egy A mátrixnak egy a rs elem nyeregpontja, akkor a sor játékos számára az r. sor illetve az oszlop játékos számára az s. oszlop választása optimális stratégia párt alkot, továbbá a játék értéke a rs 22. Tétel. Nem létezik olyan determinisztikus, teljes rendezést adó konszenzus függvény amely egyszerre kielégítené az alábbi 3 axiómát 1. axióma: ha egy a alternatíva minden prolban megel zi a b alternatívát, akkor a konszenzusban is. 2. axióma: a függvények argumentumul adott prol halmazban nincs olyan prol, amelyben valahányszor egy a alternatíva megel zi a b alternatívát, akkor a konszenzusban is így lesz független a többi proltól. 3. axióma: ha a és b alternatívák egymáshoz viszonyított sorrendjét nem változtatva módosítunk a prolokon, akkor a és b egymáshoz viszonyított sorrendje a konszenzusban sem változik.