Wieer-folyamatok defiiciója. A fukcioális cetrális határeloszlástétel. A valószíűségszámítás egyik agyo fotos fogalma a Wieer-folyamat, amelyet Browmozgásak is hívak. Az első elevezés e fogalom első matematikailag precíz bevezetőjére, Norbert Wieerre, a második pedig egy Brow evű XIX. századba élt agol biológusra utal, aki egy folyadékba levő, egymással ütköző apró részecskék mozgását taulmáyozta. Később kiderült, hogy a Wieer-folyamat az egy részecske (véletle) pályáját leíró legjobb matematikai modell. Korábbi taulmáyaikba láttuk, hogy a valószíűségi változók körébe a ormális eloszlás, a vektor értékű valószíűségi változók között a több-dimeziós ormális eloszlás közpoti szerepet játszik. A Wieerfolyamat hasolóa fotos szerepet játszik a sztochasztikus folyamatok elméletébe, és tulajdoképpe úgy tekithető, mit a stadard ormális eloszlású valószíűségi változók megfelelelője a sztochasztikus folyamatok között. Eek a meglehetőse agyvoalú kijeletések potosabb értelmet ad a később ismertetett fukcioális cetrális határeloszlástétel. A továbbiakba felhaszálom a korábba tárgyalt sztochasztikus folyamatokról szóló alapvető fogalmakat és eredméyeket. A Wieer-folyamat defiiciójáak megadása előtt vezessük be a következő egyszerű defiiciót (elevezést). Szochasztikus folyamat trajektóriájáak a fogalma. Legye adva egy T idexhalmazzal paraméterezett ξ t (ω) = ξ(t, ω) sztochasztikus folyamat. Eek egy rögzített ω elemi eseméyhez tartozó trajektóriájá a T halmazo defiiált ξ(t, ω), t T, függvéyt értjük. Bevezetjük továbbá a következő fogalmat is. Gauss (sztochasztikus) folyamat defiiciója. Egy ξ t, t T, folyamatot Gaussfolyamatak evezük, ha eek mide véges dimeziós eloszlása ormális eloszlású, azaz T halmaz mide T 0 = {t 1,..., t k } véges részhalmazára a (ξ t1,..., ξ tk ) véletle vektor több-dimeziós ormális eloszlású vektor. 1. feladat: Idézzük fel a több-dimeziós ormális eloszlás defiicióját. Lássuk be, hogy egy -dimeziós (X 1,..., X ) ormális eloszlású véletle vektor eloszlását meghatározzák az EX j, 1 j várható értékek és a Cov (X j, X k ) = EX j X k EX j EX k, 1 j, k, kovariaciák. Megfogalmazom a Wieer-folyamat defiicióját. Wieer-folyamat defiiciója. Egy a [0, T ] 0 < T, itervallumo értelmezett Wieer-folyamato olya Gauss-folyamatot értük, amelyre a) EW (t) = 0, 0 t T, EW (s)w (t) = mi(s, t), s, t T. b) A W (t, ω) folyamat trajektóriája mide ω elemi eseméyre folytoos függvéy a [0, T ] itervallumo. A Wieer-folyamat defiiciója kapcsá számos kérdést tisztázi kell. A fő kérdés az, hogy a fet megadott defiició értelmes-e. Először tisztázi kell az a) potot. 1
Modhatjuk-e, hogy defiiáltuk a Wieer-folyamat véges dimeziós eloszlásait kozisztes módo? A defiició b) potja még rejtélyesebb. A Kolmogorov-féle alaptételbe semmilye kijeletés em szerepelt a sztochasztikus folyamat trajektóriáját illetőe. Hoa tudjuk, hogy létezik folytoos trajektóriájú, a Wieer-folyamat a) feltételét teljesítő Gauss-folyamat? Ha létezik, akkor mit modhatuk a folytoos trajektória létezéséről? Automatikusa teljesül-e ez a követelméy, vagy teük kell-e valamit eek teljesítése érdekébe? Az első kérdés megválaszolása egyszerűbb. Egyrészt az előbb megfogalmazott 1. feladat egyik állítása szerit a várható érték és a kovariacia megadásával és azzal a megkötéssel, hogy a Wieer-folyamat Gauss-folyamat, egyértelműe megadtuk e folyamat véges dimeziós eloszlásait. Másrészt igaz az alábbi. feladat állítása:. feladat. Rögzítsük valamely 0 t 1 < t < < t T számokat, vegyük függetle, ulla várható értékű és t j t j 1, 1 j, t 0 = 0, ormális eloszlású η j valószíűségi változókat, és defiiáljuk a Z k = k η j, 1 k valószíűségi változókat. Lássuk be, hogy a (Z 1,..., Z ) véletle vektor eloszlása megegyezik a Wieer-folyamatba defiiált (W (t 1 ),..., W (t )) véletle vektor eloszlásával. Lássuk be eek az észrevételek a segítségével, hogy a Wieer-folyamat defiiciójába előírt véges dimeziós eloszlások kozisztesek. A. feladat állítása azt jeleti, hogy a Kolmogorov-féle alaptétel szerit létezik a Wieer-folyamat defiicójába szereplő a) tulajdoságot teljesítő Gauss-folyamat. A b) tulajdosággal kapcsolatba a helyzet boyolultabb. Oldjuk meg először a következő feladatot. 3. feladat: Legye adva egy ξ t, 0 t 1, a [0, 1] itervallummal mit idex halmazzal idexelt sztochasztikus folyamat valamely (Ω, A, P ) valószíűségi mező. Jelölje F a ξ t, 0 t 1, valószíűségi változók által geerált σ-algebrát. Lássuk be, hogy az az eseméy, hogy a ξ t folyamat folytoos trajektóriájú ics bee az F σ-algebrába. A 3. feladat eredméye azért érdekes a számukra, mert csak az ott defiiált σ-algebra eseméyeiek a valószíűségéről tuduk beszéli. Ha alaposabba meggodoljuk be lehet láti, hogy egy sztochasztikus folyamat véges dimeziós eloszlásaiak ismeretébe em beszélhetük aak az eseméyek a valószíűségéről, hogy a sztochasztikus folyamat mide trajektóriája folytoos függvéy. Viszot lehetőségük va arra, hogy ha adva va egy sztochasztikus folyamat, akkor megpróbáljuk aak trajektóriáit,,kijavítai úgy, hogy a sztochasztikus folyamatot defiiáló valószíűségi változókat egy ull-mértékű halmazo megváltoztatuk. Ezáltal a sztochasztikus folyamat véges dimeziós eloszlásait em változtatjuk meg, viszot bizoyos esetekbe esélyük va arra, hogy egy sztochasztikus folyamatba kotium sok ull-mértékű halmazo változtatva a trajektóriák tulajdoságait megváltoztatva jobb tulajdoságú trajektóriákat kapuk. Az alábbiakba megfogalmazok és bebizoyítok egy eredméyt, amely elégséges feltételt ad arra, hogy egy sztochasztikus folyamat valószíűségi változóit ull-mértékű halmazo megváltoztatva olya sztochasztikus folyamatot kapjuk, amelyek trajektóriái
folytoosak. (Természetese az új folyamat véges dimeziós eloszlásai megegyezek az eredeti folyamat véges dimeziós eloszlásaival.) Azutá megmutatom, hogy ez az eredméy alkalmazható a Wieer-folyamatok esetébe is. Ez lehetővé teszi, hogy a Wieer-folyamat defiiciójába megköveteljük a b) tulajdoságot. Az eredméy megfogalmazása előtt bevezetem a következő defiiciót. Sztochasztikus folyamat sztochasztikus folytoosságáak a defiiciója. Legye adva egy sztochasztikus folyamat X(t), a t b, valamely [a, b] itervallumo. Azt modjuk, hogy ez a sztochasztikus folyamat folytoos valamely a t b potba, ha mide ε > 0 számra teljesül a feltétel mide t t számsorozatra. lim P ( X(t, ω) X(t, ω) > ε) = 0 t t Most megfogalmazom a következő Lemmát. Lemma sztochasztikus folyamat folytoos trajektóriáiról. Legye adva egy X(t, ω), 0 t 1, sztochasztikus folyamat a [0, 1] itervallumo. Teljesítse ez a sztochasztikus folyamat a következő két tulajdoságot. a) Az X(t, ω) sztochasztikus folyamat sztochasztikusa folytoos a [0, 1] itervallum mide potjába. b) A sztochasztikus folyamat majdem mide X(t, ω), 0 t 1, ω Ω, trajektóriája redelkezik a következő tulajdosággal. Az X ( k, ω ), = 1,,..., 0 k függvéy, azaz az X(, ω) függvéy megszorítása a diadikusa racioális potokra, egyeletese folytoos. Ekkor létezik olya X(t, ω), 0 t 1, sztochasztikus folyamat, amelyek mide X(, ω) trajektóriája folytoos függvéy, és P ( X(t, ω) = X(t, ω)) = 1 mide 0 t 1 potba. Megjegyzés: Belátható, hogy a Lemmába szereplő a) és b) feltétel teljesülése vagy em teljesülése az X(t, ω) sztochasztikus folyamat véges dimeziós eloszlásaitól függ. A Lemma bizoyítása. Defiiáljuk az X(t, ω) sztochasztikus folyamatot a következő módo: Legye X(t, ω) = 0 mide 0 t 1 számra egy olya ω esetébe, amelyre az X ( k, ω ) függvéy em egyeletese folytoos. Az olya ω elemi eseméyekre viszot, amelyekre ez a függvéy egyeletese folytoos a diadikusa racioális potokba tekitsük mide 0 t 1 számra egy olya k = k (t) sorozatot, = 1,,..., amelyre k = t, és legye X(t, ω) = lim X ( k, ω ). Ez a limesz létezik, mert az X ( k, ω ), lim = 1,,..., sorozat Cauchy sorozat. Az X(t, ω) és X(t, ω) valószíűségi változó 1 valószíűséggel megegyezik, mert mid a kettőhöz sztochasztikusa (a mértékelmélet yelvé mértékbe) kovergál az X ( k, ω ), = 1,,..., sorozat. Ezekívül az X(, ω) trajektóriák folytoos függvéyek mide ω Ω elemi eseméyre. 3
Az előző lemma segítségével bebizoyítom az alábbi állítást, amely a korábbi eredméyekkel együtt biztosítja, hogy létezik Wieer-folyamat. Tétel (folytoos trajektóriájú) Wieer-folyamat létezéséről. Legye adva egy olya W (t, ω), 0 t 1, Gauss-folyamat a [0, 1] itervallumo, amely teljesíti a Wieer-folyamat defiiciójába szereplő a) feltételt. Ekkor létezik olya W (t, ω), 0 t 1, Wieer-folyamat a [0, 1] itervallumo, amelyre P (W (t, ω) = W (t, ω)) = 1, és trajektóriái 1 valószíűséggel folytoosak. A Wieer-folyamat létezéséről szóló tétel bizoyítása. Elég megmutati, hogy midkét a Lemmába szereplő feltétel teljesül egy olya W (t, ω) Gauss-folyamatra, amely teljesíti a Wieer-folyamat defiiciójába szereplő a) feltételt. Ezek közül az a) tulajdoság teljesülése yílvávaló a Csebisev egyelőtleség alapjá, mert W (t, ω) W (t, ω) 0 várható értékű és t t szóráségyzetű valószíűségi változó. A b) tulajdoság bizoyításához elég megmutati azt, hogy ( ( ) ( ) ) P W k, ω W k 1, ω > /8 <. (A) =1 sup 1 k Ebből ugyais a Borel-Catelli lemma alapjá következik, hogy létezik olya Ω Ω, P ( Ω) = 1 eseméy, amelyre igaz, hogy ( mide ω Ω elemi eseméyre va olya (ω) küszöbidex úgy, hogy sup W k, ω ) W ( k 1, ω ) /8 mide (ω) 1 k számra. Azt állítom, hogy ebből következik, hogy ha t és s két olya diadikus racioális szám, amelyre 0 < t s < L valamely (agy) L egész számra, ω Ω, L (ω) akkor X(t, ω) X(s, ω) ( sup W k, ω ) W ( k 1, ω ) /8 1000 =L 1 k =L L/8, ahoa következik, hogy a W (t, ω) folyamat teljesíti a b) tulajdoságot, ha ω Ω. A feti egyelőtleségsorozat első egyelőtleségéek belátása érdekébe tekitsük a leghosszabb [ ] [ k, k+1 j itervallumokat, amelyekre k ] j, k+1 j [s, t]. Egy vagy két ilye j itervallum va, és j L. Legye eze itervallumok egyesítéséek a bal végpotja k, j jobb végpotja pedig k, k = k + 1 vagy k = k +. Mid az [ ] [ ] s, k j mid a k j, t j itervallum előállítható külöböző hosszúságú j, j j+1, hosszúságú diadikus itervallumok egyesítésekét. Az előbbiekből következik, hogy az [s, t] itervallum előáll j, j L, hosszúságú diadikus itervallumok egyesítésekét, és ebbe az egyesítésbe mide j L-re legfeljebb darab j hosszúságú itervallum szerepel. Ie következik a kívát egyelőtleség. Az (A) reláció bizoyításához vegyük észre, hogy ( ( ) ( ) ) P W k, ω W k 1, ω > /8 =1 sup 1 k =1 k=1 P ( W ( ) ( ) ) k, ω W k 1, ω > /8 4
=1 k=1 E ( W ( k, ω ) W ( k 1, ω )) 4 / = =1 3 / <, mert a W ( k, ω ) W ( k 1, ω ) valószíűségi változók ormális eloszlásúak, ulla várható értékkel és szóráségyzettel. Ezért a egyedik mometumuk 3. A tétel bizoyítását befejeztük. Megjegyzés: A feti tételbe beláttuk, hogy létezik a [0, 1] itervallumo defiiált Wieer-folyamat. A jelölések émi változtatásával be lehet láti ugyaezzel a módszerrel, hogy tetszőleges T > 0 számra létezik Wieer-folyamat a [0, T ] itervallumo. De be lehet láti azt, hogy létezik W (t, ω), t 0. Wieer-folyamat a pozitív félegyeese például a következő feladat megoldásáak a segítségével. Feladat: Legye W (t, ω), = 1,,..., 0 t 1, függetle Wieer-folyamatok sorozata a [0, 1] itervallumo. Lássuk be, hogy,,ezeket a függetle Wieer-folyamatokat összeragasztva, azaz defiiálva a W (t, ω) = W j (1, ω) + W [t]+1 ({t}, [t] ω), 0 t <, Wieer-folyamat a t 0 félegyeese, ahol [t] a t szám egész részet {t} pedit a t szám tört részét jelöli. Nem kötelező feladat: Mutassuk meg, (felhaszálva az előző bizoyítás godolatait, hogy ha egy X(t, ω), 0 t 1, sztochasztikus folyamat a [0, 1] itervallumo teljesíti az E X(t, ω) X(s, ω) +α C t s 1+β feltételt alkalmas α > 0, β > 0 és C > 0 kostasokkal midet 0 s < t 1 számpárra, akkor létezik az X(t, ω) sztochasztikus folyamatak olya X(t, ω) módosítása, amelyre P (X(t, ω) = X(t, ω) mide 0 t 1 számra, és a X(t, ω) folyamat mide trajektóriája folytoos függvéy. (Valójába az α > 0 feltétel elhagyható a feltételkét szereplő egyelőtleségből. Azért tettük ezt fel, mert a legtöbb érdekes esetbe csak α > 0 számmal tudjuk biztosítai a kívát feltétel teljesülését.) 4. feladat: Mutassuk meg, hogy egy a [0, 1] itervallumo defiiált folytoos trajektóriájú sztochasztikus folyamat tekithető, mit egy C([0, 1])-tér értékű, azaz a [0, 1] itervallumo értelmezett folytoos értékű függvéyekből álló, és a szuprémum ormával ellátott Baach tére értelmezett valószíűségi változó. A probléma jobb megértése érdekébe a megfogamazom e kérdés 4a) változatát, amely megmagyarázza, mi a probléma léyege. 4a. feladat: Világos, hogy egy a [0, 1] itervallumo értelmezett folytoos trajektóriájú X(t, ω) sztochasztikus folyamat az (Ω, A, P ) valószíűségi mezőt leképezi a C([0, 1]) térbe. De be kell láti, hogy ez a leképezés mérhető. Tudjuk, hogy mivel mide rögzített 0 t 1 számra az X(t, ) függvéy folytoos, azaz tetszőleges Borel mérhető B halmazra {ω : X(t, ω) B} A, (azaz a B halmaz ősképe mérhető). Lássuk be, hogy a C([0, 1]) tér tetszőleges mérhető D halmazára {ω : X(t, ω) D} A. 4b. feladat: Az 4. feladat állítása szerit tetszőleges a [0, 1] itervallumo defiiált folytoos trajektóriájú folyamat tekithető úgy, mit egy értékeit a C([0, 1]) térbe 5
felvevő valószíűségi változó. Lássuk be, hogy e folyamat véges dimeziós eloszlásai meghatározzák aak valószíűségét is, hogy véve egy tetszőleges Borel-mérhető halmazt a C([0, 1]) térbe, a sztochasztikus folyamat trajektóriái ebbe a halmazba esek. 5. feladat: Az előző tétel megoldásába fotos szerepet játszott az a lépés, hogy adjuk jó becslést aak valószíűségére, hogy egy ormális eloszlású valószíűségi változó egy adott számál agyobb értéket vesz fel. Ezt a becslést abba a bizoyításba a egyedik mometum becsléséek a segítségével kaptuk. Az ebbe a feladatba megfogalmazott becslés potosabb, és bizoyos ehezebb feladatokba erre va szükség. A következő jelölést fogjuk alkalmazi. Φ(x) jelöli a stadard ormális eloszlásfüggvéyt, ϕ(x) = 1 π e x /, eek sűrűségfüggvéyét. Mutassuk meg (parciális itegrálással), hogy mide x > 0 számra teljesül a következő egyelőtleség: ( 1 x 1 ) x 3 ϕ(x) < 1 Φ(x) < 1 x ϕ(x). Wieer-folyamatok tulajdoságai. Megfogalmazom azt a fotos eredméyt, amelyet fukcioális cetrális határeloszlástételek szokás evezi, és amely a szokásos cetrális határeloszlástétel természetes és fotos általáosítása. Először felidézem a cetrális határeloszlástétel általáos alakját. Ez a tétel arról szól, hogy ha tekitjük valószíűségi változókak egy szériasorozatát, azaz mide egyes k = 1,,... egész számra megadjuk valószíűségi változók ξ k,j, j = 1,,..., k, sorozatát, amelyek (rögzített k számra) függetleek, akkor a S k = k ξ k,j véletle összegek eloszlásba kovergálak a ormális eloszláshoz agyo általáos feltételek mellett. E feltételek közül a legfotosabb az úgyevezett Lideberg feltétel, amelyet külö felidézek. Lideberg feltétel defiiciója szériasorozatokra: Legye ξ k,j, k = 1,,..., 1 j k, olya szériasorozat, amelyre Eξ k,j = 0, Eξk,j <, k = 1,,..., 1 j k, és k lim = 1. Ez a szériasorozat akkor és csak akkor teljesíti a Lideberg feltételt, Eξk,j k ha tetszőleges ε > 0 számra lim k k ahol I(A) egy A halmaz idikátor függvéye. Eξ k,ji ({ ξ k,j > ε}) = 0, Cetrális határeloszlástétel szériasorozatokra a Lideberg feltétel teljesülése eseté. Legye ξ k,j, k = 1,,..., 1 j k, olya szériasorozat, amelyre Eξ k,j = 0, Eξk,j <, k = 1,,..., 1 j k k, lim = 1, és teljesítse e szériasorozat a Lideberg feltételt. Ekkor Eξk,j k 6
( ) a.) a szériasorozat tagjai teljesítik a lim sup Eξk,j = 0 kicsiségi feltételt. k 1 j k b.) Az S k = k ξ k,j, 1 k <, véletle összegek eloszlásba kovergálak a stadard, azaz ulla várható értékű és 1 szóráségyzetű ormális eloszláshoz, ha k. Be lehet láti azt is, hogy a cetrális eloszlástétel eze formája bizoyos értelembe éles, és tovább em javítható. Ezzel a kérdéssel itt em foglalkozuk. Viszot megfogalmazok egy olya eredméyt, amely azt fejezi ki, hogy ameyibe veszük egy a Lideberg feltételt teljesítő szériasorozatot, és rögzített k számra emcsak az S k = k ξ k,j véletle összeget vezetjük be, haem az összes S k (j) = j ξ k,p, 1 j k (B1) p=1 részletösszeget, és tekitjük az S k (j), 1 j k, sorozat eloszlását, akkor eek aszimptotikus viselkedése bizoyos értelembe jól leírható egy Wieer-folyamat segítségével. A feti állítás potos megfogalmazásáak érdekébe vezessük be a következő jelöléseket: Legye adva egy ξ 1,1,..., ξ 1,1.... ξ k,1,..., ξ k,k szériasorozat, amelyre Eξ k,j = 0, Eξk,j = σ k,j, k.. a lim k s k = 1 reláció. Vezessük be az S k(0) = 0, S k (j) = (B) σk,j = s k, és feltesszük, hogy teljesül j p=1 ξ k,p és s k (j) = s k (0) = 0, s k(j) = s k(j), 1 j k, k = 1,,..., meyiségeket. Adjuk meg eze s k meyiségek segítségével a következő a [0, 1] itervallumo defiiált X k (t) = X k (t, ω), 0 t 1, (véletle) folytoos függvéyeket: X k ( s k(j), ω) = S k (j), 0 j k és X k (t, ω) = s k (j) t s k (j) s k (j 1) X k( s k(j 1), ω) + t s k(j 1) s k (j) s k (j 1) X k( s k(j), ω) ha s k (j 1) t s k (j), 1 j k, (B3) azaz az X k (, ω) függvéy az s k (j) potokba megegyezek az első j ξ k,p (ω) valószíűségi változó összegével, a köztük levő potokba pedig lieáris függvéykét kiegészítjük őket. Tegyük fel, hogy a (B) szériasorozat teljesíti a Lideberg feltételt is. Ekkor 7 j p=1 σ p,
alkalmazható rá a cetrális határeloszlástétel. Némi plusz mukával be lehet láti, hogy emcsak az X k (1, ω) valószíűségi változók kovergálak eloszlásba a stadard ormális eloszláshoz, ha k, haem az is igaz, hogy mide rögzített t számra az X k (t, ω) valószíűségi változók kovergálak eloszlásba egy 0 várható értékű és t szóráségyzetű ormális eloszlású valószíűségi változóhoz. Sőt, az is igaz, hogy mide 0 t 1 < t < < t m 1 számokra az (X k (t 1, ω),..., X k (t m, ω)) véletle vektorok eloszlásba kovergálak egy olya (Z 1,..., Z m ) m-dimeziós ormális eloszlású vektor eloszlásához, amelyre EZ j = 0, 0 j k, EZ j Z j = mi(t j, t j ). Ez szemléletese azt jeleti, hogy agy k idexre a (B3) képletbe defiiált X k (t, ω) sztochasztikus folyamat közel va eloszlásba egy a [0, 1] itervallumo defiiált Wieer-folyamathoz. Az alábbiakba megfogalmazok egy tételt, amely a fet megfogalmazattokhoz hasoló, de tartalmasabb állítást fogalmaz meg. A tétel kimodása előtt emlékeztetek arra, hogy mit azt a 4. feladatba megfogalmazott állítás megfogalmazza, egy a [0, 1] itervallumo defiiált folytoos trajektóriájú sztochasztikus folyamatot tekithetük egy C([0, 1]) tére defiiált valószíűségi változóak is. Ezt az észrevételt alkalmazhatjuk mid a Wieer-folyamatra, mid a (B3) képletbe defiiált folyamatokra. Az a téy, hogy egy Wieer-folyamat felfogható úgy, mit egy értékeit a C([0, 1]) térbe felvevő valószíűségi változó lehetővé teszi, hogy bevezessük az alább megadadó Wieer mérték fogalmát. Wieer-mérték defiiciója. Legye adva egy Wieer-folyamat a [0, 1] itervallumba. Tekitsük ezt, mit egy értékeit a C([0, 1]) térbe felvevő valószíűségi változót. Eek eloszlását, azaz a µ W (A) = P (ω : W (, ω) A) függvéyt mide a C([0, 1]) térbeli Borel mérhető A halmazra, (azaz mide olya A halmazra, amely bee va a B([0, 1]) térbe lévő yílt halmazok által geerált legszűkebb σ-algebrába) Wieermértékek evezzük. Emlékeztetek továbbá arra, hogy az eloszlásba való kovergecia természetes általáosítását defiiálták tetszőleges szeparábilis metrikus térbe. Ezt gyege kovergeciáak evezik általába az irodalomba, és euklidészi térbe levő valószíűségi mértékek esetébe ez ekvivales az eloszlásba való kovergeciával. Több külöböző alakja va eek a defiicióak, de ezek midegyike ekvivales. A defiiciókat megadom, de ekvivaleciájuk bizoyítását elhagyom. Valószíűségi mértékek (gyege) kovergeciájáak a defiiciója, a) defiició. Legye adva valószíűségi mértékek µ, = 1,..., sorozata egy (X, ρ) szeparábilis metrikus tér Borel mérhető részhalmazai. Azt modjuk, hogy e mértékek sorozata gyegé kovergál egy µ e szeparábilis metrikus tér Borel mérhető részhalmazai defiiált valószíűségi mértékhez, ha mide a metrikus tére értelmezett folytoos f(x) függvéyre lim f(x)µ ( dx) = f(x)µ( dx). Valószíűségi mértékek (gyege) kovergeciájáak a defiiciója, b1) defiició. Legye adva valószíűségi mértékek µ, = 1,..., sorozata egy (X, ρ) 8
szeparábilis metrikus tér Borel mérhető részhalmazai. Azt modjuk, hogy e mértékek sorozata gyegé kovergál egy µ e szeparábilis metrikus tér Borel mérhető részhalmazai defiiált valószíűségi mértékhez, ha mide a metrikus tére lévő zárt F halmazra lim sup µ (F ) µ(f ). Valószíűségi mértékek (gyege) kovergeciájáak a defiiciója, b) defiició. Legye adva valószíűségi mértékek µ, = 1,..., sorozata egy (X, ρ) szeparábilis metrikus tér Borel mérhető részhalmazai. Azt modjuk, hogy e mértékek sorozata gyegé kovergál egy µ e szeparábilis metrikus tér Borel mérhető részhalmazai defiiált valószíűségi mértékhez, ha mide a metrikus tére lévő yílt G halmazra lim if µ (G) µ(g). Megjegyzés. A gyege kovergecia a) defiiciója és a korábba taultak alapjá kimodhatjuk, hogy eloszlásfüggvéyek F sorozata a számegyeese akkor és csak akkor kovergál eloszlásba egy F eloszlásfüggvéyhez, ha az F eloszlásfüggvéyek által meghatározott µ Stieltjes (valószíűségi) mértékek gyegé kovergálak az F eloszlásfüggvéy által meghatározott µ Stieltjes mértékhez. Most kimodhatjuk az előbb szériasorozatok által defiiált véletle lieáris darabokból álló (töröttvoal) függvéyeket értékkét felvevő sztochasztikus folyamatok gyege kovergeciáját a Wieer-mértékhez. Ezt a tételt az irodalomba fukcioális cetrális határeloszlástételek hívják. Fukcioális cetrális határeloszlástétel. Legye adva egy a (B) képletbe leírt szériasorozat, amelyek tagjai teljesítik az Eξ k,j = 0, Eξk,j = σ k,j, k = 1,,..., 1 j k k, lim = 1 relációkat és a Lidebeg feltételt. Vezessük be az e szériasorozat σk,j k segítségével a (B3) formulába defiiált folytoos trajektóriájú X k (t) = X k (t, ω), 0 t 1, k = 1,,..., folytoos trajektóriájú sztochasztikus folyamatokat. Az X k (t, ω) sztochasztikus folyamatok gyegé kovergálak a Wieer mértékhez, ha k. Felmerül a kérdés, miért érdekes a feti eredméy. Azért, mert ez em pusztá egy absztrakt térbe megfogalmazott változata a cetrális határeloszlástételek, haem magukak a szériasorozatok részletösszegeiek aszimptotikus viselkedéséről is léyeges új iformációt tartalmaz. Aak érdekébe, hogy ezt megértsük lássuk be az alábbi egyszerű lemmát, amely azt fejezi ki, hogy egy folytoos traszformáció gyegé koverges valószíűségi mértékek sorozatát ismét valószíűségi mértékek gyegé koverges sorozatába visz. Potosabba megfogalmazva a következő eredméy érvéyes. Lemma gyegé koverges valószíűségi mértékek kovergeciájáról. Legye adva egy (X, X ) szeparábilis metrikus tér (itt X a ρ metrika segítségével az X tére 9
defiiált yílt halmazok által geerált Borel σ-algebrát jelöli, és hasolóa értelmezzük később az Y σ-algebrát egy (Y, Y) tére) és azo valószíűségi változók µ sorozata, = 1,,..., amely az előbb defiiált gyege kovergecia értelmébe kovergál egy µ valószíűségi mértékhez. Legye adva ezekívül egy másik (Y, Y) szeparábilis metrikus tér, valamit egy T folytoos traszformáció az (X, X ) térből az (Y, Y) térbe. Ez a traszformáció természetes módo idukál egy traszformációt, amely mide az (X, X ) tére defiiált ν valószíűségi mértékek a következő T ν valószíűségi mértéket felelteti meg az (Y, Y) tére: T ν(b) = ν({x: T x B}) mide B Y halmazra. Ekkor a T µ valószíűségi mértékek gyegé kovergálak a T µ valószíűségi mértékhez. A lemma bizoyítása. Alkalmazzuk a gyege kovergecia a) defiicióját. Ekkor azt kell beláti, hogy tetszőleges az (Y, Y) tére folytoos g(y) függvéyre lim g(y)t µ ( dy) = g(y)t µ( dy). Vezessük be a g(y) függvéy f(x) = g(t x) ősképét. Ekkor az f(x) függvéy folytoos, és a mértékelmélet egyik fotos eredméye alapjá mértéktartó traszformációk szeriti itegrálokról f(x)µ(dx) = g(y)t µ(dy) és f(x)µ (dx) = g(y)t µ (dy) mide = 1,,... számra. A µ mértékek gyege kovergeciájából és az f(x) függvéy folytoosságából következik, hogy lim f(x)µ ( dx) = f(x)µ( dx) a feti szereposztással. A feti összefüggésekből következik a lemma állítása. Megjegyzés 1: Érdemes megfogalmazi a feti lemma állítását ekvivales módo mértékek helyett (metrikus térbeli értékeket felvevő) valószíűségi változók segítségével. Ez így szól. Legyebadva (X, X ) szeparábilis, metrikus térbeli értékeket felvevő valószíűségi változók ξ, = 1,... sorozata, amelyek eloszlásai kovergálak egy ξ ((X, X ) térbeli értékeket felvevő) valószíűségi változó eloszlásához. Legye T az (X, X ) tér egy folytoos leképezése valamely (Y, Y) szeparábilis metrikus térbe. Ekkor a T (ξ ) valószíűségi változók eloszlásai eloszlásba kovergálak a T (ξ) valószíűségi változó eloszlásához. Megjegyzés : Be lehet láti, hogy igaz a feti lemma olya élesítése, amely szerit a Lemma általáosítása érvéybe marad akkor is, ha gyegítjük azt a feltételt, hogy a T traszformáció folytoos. Elegedő csak ayit megköveteli, hogy a T traszformáció egy valószíűséggel folytoos a µ (határ)mérték szerit. Ez az általáosítás érdekes bizoyos alkalmazásokba. A feti lemma számukra abba a speciális esetbe érdekes, amikor az (X, X ) tér a [0, 1] itervallumo defiiált folytoos függvéyek C([0, 1]) tere, (Y, Y) a számegyees vagy egy véges dimeziós euklidészi tér a szokásos Borel σ-algebrával, és alkalmazuk egy T traszformációt a C([0, 1]) térből ebbe a véges dimeziós euklidészi térbe. Ekkor a fukcioális cetrális határeloszlástételek érdekes következméyei vaak. Tekithetjük például a következő példákat: T 1 f = sup f(x), T f = sup f(x), T 3 f = 0 x 1 0 x 1 1 0 f (x) dx, T 4 f = (T 1 f, T f, T 3 f). Ezek a traszformációk midegyike folytoos, ezek 10
közül az első három a számegyeesre, a egyedik a három dimeziós euklidészi térbe képez. A T 1 trasformáció alkalmazása például azt adja, hogy ha egy szériasorozat j teljesíti a fukcioális cetrális határeloszlástétel feltételeit, akkor a sup ξ k,p 1 j k p=1 valószíűségi változók eloszlásba kovergálak egy a [0, 1] itervallumba defiiált Wieer-folyamat szuprémumáak eloszlásához. Hasolóa lehet egy határeloszlástételt modai T, T 3 vagy T 4 traszformáció alkalmazása segítségével. Vegyük észre azt is, hogy a határeloszlás csak a határfolyamattól (a Wieer-folyamattól) függ, tehát mide a fukcioális cetrális határeloszlástétel feltételeit teljesítő szériasorozatra ugyaaz. Iformális módo a feti eredméyek úgy iterpretálhatóak, hogy a fukcioális határeloszlástétel feltételeit teljesítő szériasorozatokból képzett részletösszegek sorozatai agy idexre hasolóa viselkedek, és ezt a hasoló viselkedést a Wieer-folyamat segítségével írhatjuk le. Végül megjegyzem, hogy Brow agol biológusak az ismertetés elejé említett azo megfigyeléséek a hátterébe, amely miatt a Wieer-folyamatot Brow mozgásak is hívják, szité a fukcioális cetrális határeloszlástétel va. Egy apró részecske az idő folyamá sok egymástól függetle apró lökést kap, és mozgása az eze lökések hatására végzett sok kis egymástól függetle elmozdulás összegekét áll elő. A fukcioális cetrális határeloszlástétel szerit egy ilye pálya közelítőleg úgy viselkedik, mit egy Wieer-folyamat trajektóriája. Kiegészítés. Megjegyzések a feladatok megoldásához. 1. feladat Egy ξ = (ξ 1,..., ξ k ) vektort k-dimeziós stadard ormális eloszlású vektorak evezük, ha koordiátái függetle, stadard ormális eloszlású valószíűségi változók. Azokat a vektorokat evezzük ormális eloszlásúak, amelyek eloszlása megegyezik egy ξa + m véletle vektor eloszlásával, ahol ξ stadard ormális eloszlású vektor, A egy k k mátrix m egy k-dimeziós (determiisztikus) vektor. Némi számolással belátható, hogy egy ilye vektor kovariacia mátrixa D = A A alakú. A lieáris algebra bizoyos eredméyeiből következik, hogy a D = A A egyeletek (rögzített D mátrixra) akkor és csak akkor va megoldása, ha D szimmetrikus pozitív (szemi)defiit mátrix. (Miért?) Viszot egy ilye egyeletek em csak egy A mátrix lehet a megoldása. Eek elleére a D kovariacia mátrix és az m várható érték mátrix meghatározza egy ormális eloszlású vektor eloszlását. Eek egy lehetséges magyarázata: Elég megmutati, hogy a ξ ormális eloszlású valószíűségi változó Ee i(t,ξ) karakterisztikus függvéyét meghatározza a D kovariacia mátrix és m várható érték. Másrészt be lehet láti, hogy Ee i(t,ξ) = e (t,dt)/+i(m,t).. feladat Az eloszlások megegyezéséhez a tekitett vektorok ormális eloszlása és ulla várható értéke miatt elegedő a kovariaciamátrixok megegyezését elleőrízi. A kozisztecia köye látható, ha megértjük, miről va szó. 3. feladat (Vázlatos idoklás) A σ-algebra csak megszámlálható sok koordiátától függő eseméyeket tartalmaz. Egy függvéy ismerete viszot megszámlálható sok koordiátá- 11
jába em határozza meg, hogy folytoos-e, mert a többi koordiátába el lehet rotai a folytoosságot. t [0,1] t [0,1] 4. feladat Mid a 4), mid a 4a) mid a 4b) feladat megoldása a következő állítás igazolásá alapul: ( ) Tekitsük az (R [0,1], C [0,1] ) = R t, B t szorzatteret, ahol R t a számegyeesek B t pedig a számegyees σ-algebrájáak egy a t számmal paraméterezett példáya. Jelölje Z az összes a [0, 1] itervallumo folytoos függvéyből álló halmazt, és tekitsük az (R [0,1], C [0,1] ) tér Z, Z) megszorítását a Z halmazra. Ez azt jeleti, hogy vesszük a Z halmazt, és Z azokból a B halmzokból áll, amelyek előállak B = Z A, A C [0,1] alakba. Nem ehéz beláti, hogy Z a Z halmaz bizoyos részhalmazaiból álló σ-algebra. Azt állítjuk, hogy tetszőleges a C([0, 1]) térbe Borel mérhető halmaz bee va a Z σ-algebrába. (Az is igaz, hogy a Z σ-algebra megegyezik a C([0, 1]) tér Borel σ-algebrával, de eek az állításak a második felére em lesz szükségük.) Az előbbi állítás bizoyításához elég megmutati azt, hogy a C([0, 1]) tér mide G yílt halmazára G Z, mert ebből következik, hogy mide a yílt halmazok által geerált σ-algebrájába levő B halmazra, B Z. Tovább lehet redukáli az állítást a következő tipusú halmazokra: Ha x = x(t) C([0, 1]), ε > 0, akkor legye S(x, ε) = {y : y C([0, 1]), x(t) y(t) < ε}. Elég sup t [0,1] beláti, hogy mide S(x, ε) tipusú halmazra S(x, ε) Z, mert tetszőleges yílt halmaz előállítható megszámlálható sok ilye halmaz uiójakét. A következő meggodolás mutatja, hogy S(x, ε) Z. Jelölje Q a racioális számok halmazát a [0, 1] itervallumba. Ekkor (Miért?) S(x, ε) = =1 r Q { ( y : y Z, y(r) x(r) < 1 1 ) ε} Z. Az, hogy az X(, ω) folytoos trajektóriájú folyamat azt jeleti, hogy X(, ω) Z mide ω Ω elemi eseméyre. Mivel a C([0, 1]) tér mide B Borel mérhető halmaza előáll B = A Z, A C [0,1] alakba, ezért {ω : X(, ω) B} = {ω : X(, ω) B Z} = {ω : X(, ω) A} A, és a P (X(, ω) A) = P (X(, ω) B valószíűséget meghatározzák az X(, ω) sztochasztikus folyamat véges dimeziós eloszlásai. Ie következik mid a 4a) mid a 4b) feladat állítása. 5. feladat Parciális itegrálással belátható, hogy x e u / du = 1 x e x / x 1 u e u / du = 1 x e x / 1 x 3 e x / + és ebből az azoosságból levezethető a feladat állítása. 1 x 3 u 4 e u / du,