Végtelen sorok konvergencia kritériumai

Eötvös Loránd Tudományegyetem Természettudományi kar Végtelen sorok konvergencia kritériumai BSc szakdolgozat Készítette: Témavezeto : Bogye Tamara Bátkai András Matematika BSc egyetemi docens Matematika tanári Alkalmazott analízis szakirány Tanszék Budapest 202

Tartalomjegyzék Bevezetés 4. Végtelen sorok története 5.. Ókor..................................... 5.2. Közép és koraújkor............................. 6 2. Alavető fogalmak és ismertebb kritériumok 2 2.. Alapfeltételek és definíciók......................... 2 2.2. Végtelen sorok és műveletek........................ 4 2.3. A legismertebb kritériumok......................... 5 2.4. Minoráns kritérium............................. 5 2.5. Majoráns kritérium............................. 6 2.6. Leibniz - kritérium............................. 6 2.7. Cauchy-féle Gyökkritérium......................... 7 2.8. d Alambert féle hányadoskritérium.................... 9 2.9. Hányados-minoráns kritérium....................... 2 2.0. Hányados-majoráns kritérium....................... 2 3. Kevésbé ismert kritériumok 22 3.. Raabe kritérium............................... 22 3.2. Kummer kritérium............................. 25 3.3. Bertrand - kritérium............................. 26 3.4. Gauss - kritérium.............................. 27 3.5. Integrálkritérium.............................. 29 3.6. Kondenzációs kritérium........................... 3 2

3.7. Jermakov - kritérium............................ 32 3.8. Dirichlet I. kritériuma............................ 34 3.9. Dirichlet II. kritériuma........................... 34 3.0. Abel - kritérium............................... 35 3.. Logaritmikus kritérium........................... 36 4. Végtelen sorok a középiskolában 38 4.. Számsorozatok............................... 38 4.2. Végtelen sorok............................... 4 Köszönetnyilvánítás 42 3

Bevezetés Szakdolgozatom témájaként a végtelen sorok konvergencia kritériumait választottam. Fontosnak tartottam, hogy olyan területét mutassam meg a matematikának, mely hozzám is közel áll. A tudományra fogékony embereket mindig is foglalkoztatta az a gondolat, hogy vajon mi lehet egy - egy végtelen sor összege, és ezt hogyan számolhatjuk ki. E, korokon átívelő problémára szeretnék néhány megoldást mutatni munkám során. http://de.inforapid.org/index.php5?search=konvergenzkriterium 4

. fejezet Végtelen sorok története.. Ókor Az ókorban is gyakran voltak olyan problémák, feladatok, melyek megoldásához bizonyos sorozatok, sorok ismerete elengedhetetlen volt, ezért már az akkori tudósokat is mélyen foglalkoztatták. A babilóniai aritmetika foglalozott először a mértani sorozattal és a négyzetszámok sorozatával. Ám az egyiptomiaktól sem álltak távol ezen ismeretek. Az ókori görögöknél pedig már megjelentek az egynél kisebb kvóciensű geometriai sorozat tagjaiból álló végtelen sorok, és ezek összegei. Erre a leghíresebb példák Zenon (i.e. 490-430) paradoxonjai, mint például Akhilleusz és a teknős versenye, vagy a kilőtt nyíl problémája. Az Akhilleusz feladat alapja, hogy a hős versenyre kel a teknőssel, úgy, hogy az utóbbi előnnyel indul a megmérettetésen. Ám a futó sosem éri utol a teknőst, mert mire sikerül ledolgoznia a teknősbéka eredetileg kapott előnyét, addigra a teknős már megint megtesz egy távot, s amíg ezt is lefutja Akhilleusz, addigra a teknős újabb előnyt szerez, és így tovább. Tehát a verseny sosem ér véget. Ebből a feltevésből kiindulva tagadta a mozgást Zenon. Most viszgáljuk meg ezt a feladatot matematikailag leírva. Vegyük a teknős előnyét a verseny kezdetén egységnyinek, és tegyük fel, hogy Akhilleusz sebessége k-szorosa a teknősének (k > ). Így Akhilleusznak a következő távokat kell megtennie egymás után:, k, k 2,..., k n,... 5

A verseny idejét úgy kapjuk, hogy az időegységnek az hosszúságú előny lefutási idejét vesszük. Ekkor a verseny, k + k 2 +... + k n +... ideig tartott. Ebből gondolta Zenon, hogy mivel egyre nagyobb pozitív számokat adunk össze, ezért soha nem ér célba Akhilleusz. Ám már Arisztotelész (i.e. 384-322) felismerte, hogy az ilyen, és hasonló, egynél kisebb kvóciensű geometriai soroknak van véges összege. ( A fenti esetben ez k ). k.2. Közép és koraújkor Ritkán, ám a középkorban is felbukkantak a végtelen összegek. A XIV. században Richard Swineshead foglalkozott egy fizikai probléma kapcsán a végtelen sorokkal, majd Nicole Oresme (323-382) vizsgálta az + 2 + 3 +... + n +... harmonikus sort. Bebizonyította többek között azt is, hogy ezen összeg "bármely számnál nagyobb". A konvergencia illetve a divergencia fogalma ekkor még ismeretlen volt. A XV. században leginkább csillagászati, kerület, és terület számítási problémák kapcsán találkozhatunk a végtelen sorokkal. A XV I. században Francois Viete (540-605) megadta a mértani sor összegének képletét. Az elkövetkezendő korokban pedig virágzásnak indult a sorelmélet fejlődése. Gregory De Saint Vincent (584-667) XV III. századi matematikus foglalkozott mélyebben Zenon apóriáival. Rájött, hogy, ha a végtelen geometriai sor kvóciense egynél kisebb, akkor összege véges. Ezt a sor limeszének nevezte és a sor végének fogalmaként használta. Úgy vélte, hogy ezt a véget sosem érhetjük el, ám bármilyen kis számnál jobban meg tudjuk közelíteni. Munkássága során sikerült bizonyítania a hiperbola alatti terület és a logaritmus közti 0 +x dx = ln( + x) kapcsolatot. Később ezt az összefüggést Nicolus Mercator (620-687) alkalmazta az ln( + x) kiszámításához használható végtelen sor kifejezésére. Végtelen osztással = x + +x x2 x 3 +... 6

kapta, majd ennek integrálásával úgynevezett Mercator sorhoz jutott. James Gregory (638-675). Az 0 dx = arctan x összefüggést felhasználva vég- +x 2 telen osztással ln( + x) = x x2 2 + x3 3 x4 4 +... Hasonló módszerrel fejezte ki az arctan x sorát = x 2 + x 4 x 6 +... +x 2 egyenlőséghez jutott. Ezt a felfedezést, az úgynevezett Gregory sort, ami azonos arctan x Taylor-sorával 67-ben közölte Gregory, 40 évvel Taylor előtt. Ezekben az időkben kezdték el komolyabban vizsgálni, hogy az eddig csak alkalmazott sorok mikor konvergensek, mikor divergensek, van-e véges összegük, és, ha igen, akkor mikor? Ezen kérdések vizsgálata sokszor szült vitákat és ellentmondásokat. Erre kiváló példa Jacob Bernoulli (654-705) egyik feltevése. Azt állította, hogy egy olyan sor, melynek általános tagja nullához tart, annak az összege végtelen is lehet. Ez a kijelentése még a következő században is nagy port kavart. Ám fenti megállapítása ellenére Bernoulli néha egy-egy divergens sor vizsgálatakor ellentmondásokba ütközött. Tekintsük meg ennek példájaként az alábbi feladatot. Ezen egyenlőségeket adjuk össze, ekkor: + 2 + 4 +... = 2 + + +... = 2 3 6 2 3 5 + 0 + 20 +... = 2 5... + 2 + 3 + 4 +... = 2( 3 + 5 +...). Mint látható a bal oldalon a harmonikus sort kaptuk, míg jobb oldalon a páratlan számok reciprokainak sorát. Most mindkét oldalt 2-vel elosztva 7

+ + +... = + +... 2 4 6 3 5 kapjuk. Ami ellentmondás, ugyanis, mint tudjuk ez nem lehetséges. Ilyen, és hasonló tévutak után érkezünk el a XV II XV III. század fordulójára, ahol két kiváló tudós munkássága hozta meg az egyik nagy áttörést a sorelmélet fejlődésében. Sir Isac Newton (642-727) és Gottfried Wilheim Leibniz (646-76) a kor fizikai problémáit vizsgálva jutottak el megállapításaikhoz. Őket tartják számon a függvénytan megalapítóiként, a differenciálszámítás, illetve integrálszámítás felfedezőiként is. Ekkoriban a mechanikában még csak közelítő számításokat tudtak végezni, ám elsőként Newton és Leibniz polinomokat kezdtek el alkalmazni ezen közelítésekre. A függvényeket végtelen polinomokként, azaz hatványsorokként írták fel, ugyanis ezeket könnyebb volt -tagonkéntintegrálni. Munkássága során Newton is rájött Mercatortól függetlenül, hogy igaz. Megállapította továbbá ln( + x) = x x2 2 + x3 3 +... arcsin x = x + 6 x3 + 3 40 x5 + 5 2 x7 +...-t. Ezen sor segítségével kapta meg a sin x függvény hatványsorát, az alábbiak szerint. Vezessük be az arcsin x = s jelölést. Ekkor s = x + 6 x3 + 3 40 x5 + 5 2 x7 +... A továbbiakban egyenlőre a fenti sornak csak az első 3 elemét vizsgáljuk. Nézzük az x = s + p felbontást. 0 = p + 6 (s3 + 3s 2 p +...) + 3 40 (s5 +...). Ekkor alkalmazzuk a határozatlan együtthatók módszerét. A p = A, p = As, p = As 2 kipróbálásával mindig A = 0-t kapunk, ám p = As 3 helyettesítés esetén A + = 0 A = 6 6 érték jön ki. Tehát x = s 6 x3 +... Most helyettesítsünk be p = 6 s3 + q-t 8

amiből jól látható. Ebből következően 0 = q + 6 ( 2 s5 +...) + 3 40 (s5 +...). q = ( 2 3 40 )s5 = 20 s5 x = s 6 s3 + 20 s5 +... x = sin x beírásával megkapjuk a sor első tagjait. Ezt tovább gondolva sin s = s s3 2 3 + s5 2 3 4 5 s 7 2 3 4 5 6 7 +... hatványsort kapjuk. Hasonlóképpen írta le végtelen polinomként a cos x-et is. Eleinte azt hitte minden függvény hatvány sorba fejthető, ezáltal az integrálás egy könnyed eljárássá válik majd. Csak évtizedekkel Newton után jöttek rá hogy ez koránt sincs így. Sorba fejtési eljárásához gyakran használta többek között a binomiális tételt, racionális függvényeknél a Gregory eljárást, vagy éppen az új változók bevezetését. Néhány esetben foglalkozott a sor konvergenciájával, ám csak addig vizsgálódott, amíg meg nem állapította, hogy egy hatványsor elég kicsi x értékekre konvergens. Ezzel szemben Leibniz a zárt alak előnyeit hangsúlyozta, s többnyire ezzel is dolgozott. Persze Ő is alkalmazta a végtelen sorokat, s Newtontól függetlenül szintén hatványsorba fejtette a sin x, cos x függvényeket. Kedvelt eljárása a sorba fejtéskor az úgy nevezet határozatlan együtthatók módszere a = A + Bx + b+x Cx2 + Dx 3 +... ahol A, B, C, D,... határozatlan együtthatók. Mindkét oldalt szorozta (b + x)-el, majd az azonos x hatványok együtthatóit egyenlővé téve kapta meg A, B, C, D,... együtthatók értékeit. Kutatásai során sokat foglalkozott a konvergenciával is. Egyik levelében kifejtette, hogy ha egy alternáló sor tagjai abszolút értékben csökkennek, és 0-hoz tartanak, akkor konvergens a sor. Ez a mai nevén a Leibniz-kritérium. Ezen gondolatmeneteken tovább haladva jutott el Brook Taylor (685-73) 75-ben publikált eredményéhez, melyben a Newton-féle interpolációs képlet általánosításával adta meg a függvények sorba fejtéséhez szükséges leghatékonyabb eljárást. A kor másik híres matematikusa volt Leonhard 9

Euler (707-783) is, akinek nevéhez számtalan eredmény fűződik. Sorba fejtette például az exponenciális függvényt, különböző törtfüggvényeket és gyökfüggvényeket, Newton és Leibniz eljárásainak segítségével. A gyökök és együtthatók közti összefüggés alkalmazéséval numerikus sorok összegeit írta le, összefüggést talált a végtelen sorok és végtelen szorzatok között is. 797-ben Lagrange megjelentette Théorie des fonctious analytiques ( Az analitikus függvények elmélete) című könyvét. Ebben a differenciálás algebrai módszereit részletezi. Többek között bizonyította, hogy minden f(x + h) függvény majdnem mindenütt kifejezhető f(x + h) = f(x) + a h + a 2 h 2 +... + a n h n + R n alakú Taylor - sorral csak algebrai úton. A differenciál hányadosokat Taylor sor együtthatóiént értelmezte. Így a határérték fogalmát kikerülte. Fő hibája, hogy csak az analitikus függvényekre érvényes. Elsőként határozta meg a (R n ) maradéktagot konkrét függvényeknél, és először állította elő a Taylor - sor maradéktagját integrál alakban. Ő használta először a középértéktételt, a derivált kifejezést, és az f (x) illetve az f (n) (x) jelöléseket. A legnagyobb áttörést a XIX. századi felismerések hozták meg. Jean Le Rond D Alambert (707-783) már megkülönböztetett konvergens illetve divergens sorokat is, és megfogalmazta a róla elnevezett hányados kritériumot. Az 800-as évek elején Jean Baptiste Fourier (768-830),Carl Friedrich Gauss (777-855), Bernard Bolzano (78-848), Niels Henrik Abel (802-829) igyekeztek letisztázni a konvergencia illetve divergencia fogalmait. Ám a sorelmélet precíz fogalmainak megalkotásában a legnagyobb szerep kétségtelenül Augustin Louis Cauchy (789-857) személyéhez köthető. Meghatározta, hogy egy végtelen sor összege részletösszegek sorozatának hatátértéke, tehát egy sor akkor konvergens, ha ez a határérték létezik. A váltakozó előjelű sorokra bevezette az abszolút konvergencia fogalmát. Összefüggést adott az abszolútértékű tagok álltal alkotott sor konvergenciája és az eredeti sor konvergenciája között. Konvergencia vizsgálati eredménye - képpen megfogalmazott több konvergencia kritériumot is. Ezek közül a leghíresebb a Róla elnevezett Cauchy-féle konvergencia kritérium. Bevezette a komplex változójú hatványsoroknál a konvergencia sugár fogalmát, amely kiszámítható az r = lim sup n a n 0

összefüggés alapján. Ez az úgy nevezetett Cauchy-Hadamard formula. Azt a következtetést állapította meg, hogy a függvény hatványsorának konvergenciája nem feltétlenül jelenti azt, hogy a sor az alapfüggvényhez tart. Észrevette, hogy ha két sor abszolút konvergens, akkor direkt szorzatuk is konvergens, és a határértéke az alapsor határértékeinek szorzata. A tudomány további fejlődését olyan kiemelkedő tudósok segítették, mint Peter Gustav Lejenue Dirichlet (805-857), Karl Theodor Wilhelm Weierstrass (85-897), Georg Friedrich Bernhard Riemann(826-866), Simeon David Poisson (78-840), Moritz Cantor (829-920), Henry Louis Lebesgue (875-94), Riesz Frigyes (880-956), Fejér Lipót (880-959), Haar Alfréd (885-933). Természetesen napjainkban is vannak, akik e tudományág elkötelezett hívei.

2. fejezet Alavető fogalmak és ismertebb kritériumok 2.. Alapfeltételek és definíciók Ebben a fejezetben bevezetem a végtelen sor fogalmát, a konvergenciáját, a sorokkal való néhány műveletet. Illetve azokat a leggyakrabban használt kritériumokat, melyeket egyetemi tanulmányaim során ismertem meg. 2... Definíció. []A a n végtelen sor részletösszegein az s n = n i= a i, n Z + számokat értjük. Ha a részletösszegekből képzett (s n ) sorozat konvegens és határértéke A, akkor azt mondjuk, hogy a a n végtelen sor konvergens és az összege A. Ennek jelölése a n = A. Tehát s 0 = 0 a k = a 0 k=0 s = a k = a 0 + a k=0 s n = n a k = a 0 + a +...a n k=0 Amennyiben az (s n ) sorozat divergens akkor azt mondjuk, hogy a a n végtelen sor divergens. Ha lim n s n = (vagy ) akkor azt mondjuk, hogy a n végtelen sor összege (vagy ). Ennek jelölése a n = (illetve ). 2

2..2. Példa. []+ + + +... sor n-dik részletösszege s 2 4 8 n = n igaz, hogy lim n s n = 2 ezért a sor konvergens és összege 2. i=0 2 i = 2 2 n. Mivel 2..3. Tétel. []Ha (a n ) sor konvergens, akkor lim n a n = 0. Bizonyítás. A sor összege legyen A. Mivel és a n = (a +... + a n ) (a +... + a n ) (a +... + a n ) = s n (a +... + a n ) = s n igaz, ezért a n = s n s n Tehát a n A A = 0. Ám ez a tételben szereplő feltétel a konvergenciához szükséges, de nem elégséges feltétele. 2..4. Tétel. []. Egy nem negatív tagú sor akkor és csak akkor konvergens ha részletösszegeinek sorozata korlátos felölről. 2. Ha egy nem negatív tagú sor divergens akkor az összege végtelen. Bizonyítás. Ha a sor tagjai nem negatívak, akkor a sor részletösszegeinek sorozata monoton nő. Ha ezen sorozat korlátos felülről, akkor konvergens, ha viszont nem korlátos akkor a végtelenhez tart. Tehát a végtelen sor vagy konvergens, vagy divergens és az összege végtelen. Így a végtelen harmonikus sor is divergens és az összege. A következő kritérium megadja egy sor konvergenciájának pontos feltételét, ám a gyakorlatban ritkán alkalmazható, mert nehéz ellenőrizni. 2..5. Tétel. []Cauchy - kritérium A a n végtelen sor akkor és csak akkor konvergens, ha ɛ > 0 - hoz N index, hogy n N és bármely m n -re a n+ + a n+2 +... + a m < ɛ. 3

2..6. Példa. []Vegyük a úgynevezett végtelen harmonikus sort. n Bizonyítás. Nézzük a sor s n, n-ik részletösszegét, amely ( + 2 +... + n ) és s 2n-t. s 2n s n = ( + 2 +... + 2n ) ( + 2 +... + n ) = ( n+ + n+2 +... + 2n ) 2n n = 2 n-re. Tegyük fel, hogy a harmonikus sor konvergál A-hoz. Ekkor, ha n akkor s 2n s n A A = 0, ami nem lehet. Tehát a sor divergens. 2.2. Végtelen sorok és műveletek 2.2.. Tétel. []Legyen a n sor konvergens és összege A, valamint b n sor is konvergens és összege B és egy c R szám. (a n ±b n ) és c a n sorok egyaránt n=0 n=0 konvergesek akkor összegük A ± B illetve c A. n=0 n=0 2.2.2. Tétel. []Konvergens sorba tetszőleges számú zárójelet beiktatva, véges számú tagját hozzáadva vagy elhagyva a sor konvergenciájának illetve divergenciájának ténye nem változik. 2.2.3. Definíció. []A a n konvergens sor első n (n Z + ) tagjának elhagyásával nyert h n = n =n+ n=0 a n konverges sor összegét az eredeti sor maradékösszegének hívjuk. 2.2.4. Tétel. [] a n konvergens sor maradékösszegeinek h n (n Z + ) végtelen sorozata nullsorozat. n=0 2.2.5. Definíció. []A a n végtelen sort abszolút konvergensnek nevezzük, ha a a n sor konvergens. n=0 n=0 2.2.6. Tétel. []. Minden abszolút konvergens sor konvergens. 2. Egy abszolút konvergens sor bármely átrendezettje is abszolút konvergens, és összege megegyezik az eredeti sor összegével. 4

n=0 2.2.7. Definíció. []A a n végtelen sort feltételesen konvergensnek mondjuk, ha konvergens, de nem abszolút konvergens. 2.2.8. Definíció. []Az (a n ) számsorozatot akkor nevezzük korlátos változásúnak, ha (an+ a n ) sor abszolút konvergens. 2.2.9. Tétel. []Riemann átrendezési tétele Ha (a n ) sor feltételesen konvergens akkor az átrendezettjei között van olyan amelyiknek az összege, van amelyiknek, minden A R számra van olyan amelyik konvergens és az összege A, és olyan is van amelyik divergens és nincs összege. 2.3. A legismertebb kritériumok Mivel a már bemutatott Cauchy - kritériumról elmondható, hogy feltétele nehezen ellenőrizhető, ezért szükség van további kritériumokra. Ezek a gyakorlatbeli alkalmazás során egyszerűbben ellenőrizhetőek. 2.4. Minoráns kritérium 2.4.. Tétel. []Ha 0 a n,b n és N, hogy az a n b n n > N-re valamint a n divergens, akkor a b n is divergens. Bizonyítás. a n sor n-edik részletösszege legyen s n, míg b n pedig S n. A feltételből következően s n és S n monoton nő és minden n esetén a s n S n. a n - ről tudjuk, hogy divergens, azaz lim n s n =. Ebből következően lim n S n =, tehát b n is divergens sor. 2.4.2. Példa. [] Tudjuk, hogy n kérdéses sort. Tehát a konvergens - e vagy divergens? 2n+ divergens és 3n < 2n+. Tehát a sor divergens. 2n+ = 3n 3 n sor minorálja a 5

2.5. Majoráns kritérium 2.5.. Tétel. []Ha 0 a n,b n és N, hogy az a n b n n > N-re valamint b n konveges, akkor a a n is konvergens. Bizonyítás. a n sor n-edik részletösszege legyen s n, míg b n pedig S n. s n és S n monoton nő és minden n esetén s n S n a feltétel alpján. Tudjuk, hogy b n sor konvergens és összege b. Tehát minden n esetén S n b. Ebből következően s n b is teljesül, tehát s n monoton nő és korlátos, azaz konvergens. 2.5.2. Példa. []Konvergens - e vagy divergens az alábbi sor?. Például a konvergens sor majorálja az eredeti sort, ha n > 5. n 4 +5n 25 n=n, n 4 Tehát sor konvergens. n 4 +5n 25 2.6. Leibniz - kritérium 2.6.. Tétel. []Ha az (a n ) sorozat monoton csökkenő és nullához tart, akkor ( ) n a n sor konvergens. Bizonyítás. A sor n-ik részletösszege legyen s n. A feltételből következik, hogy s 2 s 4... s 2n s 2n s 2n 3... s 3 s n-re. Így (s 2n ) sorozat monoton csökkenő és alulról korlátos, míg az s 2n sorozat monoton növő és felülről korlátos. Ebből következően mind kettő konvergens. Mivel igaz, hogy s 2n s 2n = a 2n 0 lim n s 2n = lim n s 2n Amiből következik, hogy az (s n ) sorozat konvergens. 2.6.2. Példa. []Döntsük el a következő sorról, hogy konvergens - e vagy divergens? ( ) n n+ Az n n (n+2). n+ n (n+2) = n+2 n (n+2) = n+2 n (n+2) n (n+2) = n n (n+2) n. - ről pedig tudjuk, hogy tart a nullához. A sorozat két egymást követő tagjának különbségével megvizsgáljuk a monotoritást: 6

= n (n+) = 0. n+ n n (n+) n (n+) Tehát a n+ sorozatról megállapítottuk, hogy monoton fogyó nullsorozat, ezért az ere- n (n+2) deti sor a Leibniz - kritérium szerint konvergens. A soron követező kritérium a sor abszolút konvergenciájára illetve divergenciájára ad meg elégséges feltételt. A sor n-edik tagjénak n-edik gyöke segítésgével. 2.7. Cauchy-féle Gyökkritérium 2.7.. Tétel. []. Ha olyan q < szám, hogy n a n < q teljesül elég nagy n esetén, akkor a n sor abszolút konvergens. 2. Ha lim n n a n <, akkor a n sor abszolút konvergens. 3. Ha végtelen sok n index esetén n a n akkor a a n sor divergens. n=0 7

Bizonyítás... feltétel szerint a n < q n minden elég nagy n esetén. A q n geometriai sorról tudjuk q. Ha q, akkor [2.3 Tétel] szerint a sor divergens mivel a konvergenciához szükséges feltétel nem teljesül: lim q k 0. Ha q < akkor s n = q k = qn+ q és q k = lim s n = q ugyanis lim n q n+ = 0. Tehát a n abszolút konvergens. 2. Válasszunk egy q számot úgy, hogy igaz legyen lim n n a n < q <. Ez esetben n a n < q teljesül minden elég nagy n-re. Ekkor a bizonyítást visszavezethetjük az. pontbeli bizonyításra. Tehát a n sor abszolút konvergens. 3. A feltételből láthatjuk, hogy a n, tehát a sor nem tart nullához, így divergens lesz. 2.7.2. Példa. []Konvergens vagy divergens a ( ) n5 sor? n 4 A fenti tételt alkalamazva: n ( ) n 4 n5 = ( ) n4. n 4 Tudjuk, hogy lim n ( n 4 ) n4 e <. Tehát az eredeti sor konvergens. Megjegyzés 2.. lim n n (a n = feltételből sem a sor konvergenciájára, sem pedig a divergenciájára vonatkozólag semmit sem következtethetünk. Például: sor konvergens, míg divergens, pedig lim n 2 n n n n 2 n = lim n = n a n sor konvergenciájához nem elég, hogy elég nagy n-re n a n < Mert ebből csak az következik, hogy a n < elég nagy n-re, és nem az, hogy a n 0 ami a konvergenciához lenne szükséges feltétel. 8

2.8. d Alambert féle hányadoskritérium 2.8.. Tétel. []Legyen a n, a n > 0 n Z + sor konvergens, ha q R, melyre fennáll: n=0 A sor divergens ha a n+ a n. Bizonyítás. Vegyük a n=0 következik, hogy a 2 q a. a 3 a 2 q3 q 2 a n+ a n q < n Z +. q n geometriai sort. Ekkor a 2 a q2 q, tehát a 2 a q. Ebből tehát a 3 q q a q = q 2 a. Ebből már belátható, hogy általánosságban a n+ q a n q 2 a n... q n a. Azaz q n majorálja a n+ sort, így az eredeti sor konvergens. Divergencia esetén a n+ a n, a fentiekhez hasonló módon a a 2 a, tehát a 2 a. a 3 a 2 ebből következik, hogy a 3 a 2 2 a. Általánosságban a n+ a n... a. Ez egy nem nulla, monoton növő sorozat. Tehát az eredeti sor divergens. Megjegyzés:. A hányadoskritérium feltételei nem szükségesek, hogy egy sor konvergens legyen. n Például sor konvergens, annak ellenére, hogy lim 2 n 2 n =. (n+) 2 Tehát nem létezik olyan q <, hogy igaz lenne n 2 (n+) 2 n Z +. < q minden elég nagy 2. Ha lim n a n+ a n = feltételből sem a konvergenciára sem a divergenciára nem lehet következtetni, például divergens, konvergens, n n 2 pedig lim n n n+ = lim n n2 (n+) 2 =. 2.8.2. Következmény. []Ha a n > 0 akkor a n konvergens. n=0 lim n a n+ a n < 9

2.8.3. Példa. []Konvergens - e az a n = 2n n! n n végtelen sor? a n+ 2 n+ (n+)! (n+) n+ 2 = n n! n n a n = Mivel tudjuk, hogy Tehát a n konvergens. 2 n 2 (n+)! (n+) n (n+) 2 n n! = 2 n n n = n+ n+ n = + n n+ 2n (n+)! n 2 n n! (n+) n. Ezért a fenti egyenlet tovább egyenlő: 2 2 <. (+ n )n e n n = 2 n n 2.8.4. Állítás. []Ha (a n ) sorozat tagjai különböznek 0-tól, és lim sup a n+ a n < akkor lim sup n a n <. 2.8.5. Következmény. []Ha (a n ) sorozat tagjai nullától különböznek és a n sorról a hányadoskritériummal eldönthető, hogy konvergens-e, akkor a gyökritériummal is. De fordítva sajnos ez nem igaz. 2.8.6. Példa. [] n x n sor abszolút konvergenciája x < esetén a hányados kritériummal: n=0 (n+) x n+ = x n+ n x n n x <, ha n. Gyökkritériummal: n n x n = n n x n = n n x x 3 n ha n páros 2.8.7. Példa. []Adott (a n ) = n=0 5 n ha n páratlan Gyökitériummal: lim n 2n a 2n = 3 lim n 2n+ a 2n+ = 5 sup n a n = 3 konvergens. 20

Hányadoskritériummal: aa n+ a n = Tehát: lim sup a n+ a n ( 3 5 5 )n ha n páros ( 5 3 3 )n ha n páratlan = gyökkritériummal könnyedén míg hányadoskritériummal nem dönthető el ez esetben a konvergencia. A Hányados-minoráns és a Hányados-majoráns kritériumok következményei a majoráns illetve a minoráns kritériumoknak. 2.9. Hányados-minoráns kritérium Ha (z n ) pozitív tagú sor divegens, N Z + pedig olyan, hogy ettől kezdve k egészre a k > 0 és a k+ a k z k+ z k akkor (a k ) sor is divergens. Bizonyítás. A fenti feltételben szereplő egyenlőtlenséget N < n mellett k = N-re, k = N + -re...,k = n indexre felírva majd összeszorozva őket kapjuk, hogy N < n a n a N zn z N 2.0. Hányados-majoráns kritérium Ha (z n ) pozitív tagú konvergens sor, N Z + pedig olyan, hogy ettől kezdve k Z a k+ a k z k+ z k akkor (a n ) abszolút konvergens sor. Bizonyítás. A fenti feltételben szereplő egyenlőtlenséget N > n melett k = N-re, k = N + -re...,k = n indexre felírva majd összeszorozva őket kapjuk, hogy N < n a n a N zn z N 2

3. fejezet Kevésbé ismert kritériumok Ebben a fejezetben olyan további kritériumokat mutatok meg, melyek túlmutatnak egyetemi tanulmányaimon. A soron következő négy kritériumban közös, hogy feltételeik tartalmazzák a vizsgált sor két szomszédos tagjának hányadosát, és a sor abszolút konvergenciáját, illetve divergenciáját határozzák meg. Azt is mondhatjuk, hogy a hányados kritérium általánosításai. 3.. Raabe kritérium Tegyük fel, hogy minden pozitív egész n-re az a n pozitív tagú sorozat, és legyen R n = n ( an a n+ ). Ha lim inf R n > (a n ) sor konvergens. 2. Ha R n egy indextől kezdve (a n ) sor divergens. Bizonyítás.. A feltétel szerint létezik olyan pozitív r és olyan pozitív egész N index, hogy, ha s n > N akkor teljesül a n ( an a n+ ) > + r egyenlőtlenség. Ha ezt a kövezkező módon átrendezzük: n a n (n + ) a n+ > r a n+, n N 22

majd N, N +,..., n indexekre is írjuk fel: N a N (N + ) a N+ > r a N+ (N + ) a N+ (N + 2) a N+2 > r a N+2. n a n (n + ) a n+ > r a n+ Adjuk össze az egyenlőtlenségeket és becsüljük felülről a bal oldalt. Ezt átalakítva N a N > N a N (n + ) a n+ > r N a N r > n+ l=n+ kapjuk. Mindkét oldalhoz hozzáadjuk a N a l -t. l= a l. n+ l=n+ a l. N a N r + N l= a l > n+ l= a l. Ekkor jól látható, hogy a bal oldalon álló szám a jobb oldali részletösszegek felső korlátja. Tehát a l konvergens. 2. Az előzőekhez hasonlóan adódik, csak itt n ( an a n+ ), n N összefüggést alakítjuk át és írjuk fel N, N +,...,n indexekre. Majd az így nyert egyenlőtlenségeket összeadva, és (n + )-el elosztva N a N n+ a n+ kapjuk. A minoráns kritériumot alkalmazva kiderül, hogy a l divergens sor. 3... Példa. []Döntsük el a következő sorról, hogy konvergens - e vagy sem! n ( α n) = an sorozatból képzett végtelen sor. Ha α 0, és α Z + akkor a n pozitív tagú sorozat. Alkalmazzuk a Raabe - kritériumot: 23

Kis trükkel átalakítva: R n = n (( α! n! (α n)! α! (n+)! (α (n+)!) ) ) = n ( n+ α n ). R n = n ( n α+α+ ) = n ( + α+ n ) = (α + ) α + n α n α n α eredményre jutunk. Amiből következik, hogy a sor konvergens. 24

3.2. Kummer kritérium Tegyük fel, hogy minden pozitív egész n-re a n > 0, és c n pozitív tagú segédsorozat, melyre igaz, hogy =. Ekkor c n. Ha lim inf(c n a n a n+ c n+ ) > 0 (a n ) konvergens. 2. Ha egy indextől nézve c n a n a n+ c n+ 0 a n divergens. Bizonyítás.. lim inf(c n a n a n+ c n+ ) > 0 feltételből következik, hogy létezik olyan ɛ R +, hogy egy N indextől kezdve egyenlőtlenség fennáll. Ezt átalakítva c n a n a n+ c n+ ɛ c n a n c n+ a n+ ɛ a n+ kapjuk. Tehát (c n a n ) egy indextől monoton csökkenő pozitív tagú sorozat így konvergens. (cn a n c n+ a n+ ) konvergens sor, mert n esetén s n = n (c k a k c k+ a k+ ) = c a c n a n c a lim n c n a n k= teljsül. Alkalmazzuk a majoráns kritériumot így látható, hogy ɛ a n konvergens. Tehát a n is konvergens. 2. A feltétel szerint létezik olyan N index, amelytől kezdve igaz lesz. Tehát akkor az következik. Mivel c n kapjuk, hogy a n divergens. c n a n a n+ c n+ 0 a n a n+ c n c n+ = cn c n+. = ezért a hányados - minoráns kritériumot alkalmazva 25

3.3. Bertrand - kritérium Tegyük fel, hogy pozitív egész n-re a n > 0 sorozat és B n = (n ( an a n+ ) ) ln n, n Z +.. Ha lim inf B n > konvergens a a n sor 2. Ha egy indextől kezdve B n a n divergens. Bizonyítás.. A Kummer kritériumot alkalmazzuk c n = n ln n, n Z +, n 2 segédsorozattal. lim inf(n ln n a n a n+ (n + ) ln(n + )) > 0 ezt átalakítjuk: lim inf(ln n (n ( an a n+ ) ) + (n + ) ln n n+ ) > 0 majd a következő összefüggés: (n + ) ln n n+ = (n + ) ln( + n ) = ln( + n )(n+) segítségével kapjuk: lim inf ln n(n ( an a n+ ) ) <, ami a kritérium feltétele a konvergenciához. 2. Itt ugyanúgy a Kummer kritériumot alkalmazzuk a c n = n ln n, n 2 segédsorozattal. Azaz, ha: (n ln n a n a n+ (n ) ln(n + )) 0 Akkor átrendezve: ln n (n ( an a n+ ) ) + (n + ) ln n n+ ) 0 26

kapjuk. Az (n + ) ln n vizsgálva láthatjuk, hogy egyenlő n+ ln( + n )(n+) - hez. Tehát (n + ) ln n n+ <. így a következő ln n (n ( an a n+ ) ) egyenlőtlenségre jutunk. Tehát a végtelen sor divergens. 3.3.. Példa. []Döntsük el, hogy konvergens vagy divergens - e az alábbi sor. n ln n? Alkalmazzuk a Bertrand kritériumot, ekkor B n = ln(n ( (n+) ln(n+) n ln n ) ) 0. (n + ) ln(n + ) n ln n ln n = (n + ) ln( + n ) Tehát az eredeti sor divergens. lim inf(n + ) ln( + n ) 0 3.4. Gauss - kritérium Tegyük fel, hogy pozitív egész n-re a n > 0 sorozat, és olyan α, β R +, γ R és (b m ) korlátos sorozat, hogy an a n+ = α + γ n + bn n +β, n Z + akkor, ha. α > esetén konvergens, α < esetén pedig divergens a (a n ) végtelen sor. 2. Ha α = és γ > akkor konvergens. Ha pedig α = és γ akkor (a n ) végtelen sor divergens. Bizonyítás. 2. α = esetén a Raabe - kritériumot alkalmazva lim n n ( an a n+ ) = lim n γ + bn n β = γ. Ekkor γ > esetben (a n ) konvergens, γ < esetén deivergens. Amennyiben γ = Bertrand - kritériummal belátható, hogy divergens. Ugyanis 27

lim n n ( an a n+ ) ln n = lim bn ln n n β = 0, ami kisebb mint.. Ha α >, akkor hányadoskritériummal lim n a n+ a n = lim n α+ γ n + bn n +β = α ami kisebb, mint, tehát a (a n ) sor konvergens. Ha az α < akkor értelemszerűen adódik, hogy α > tehát a sor divergens. 3.4.. Példa. []Konvergens - e vagy divergens a ( (2n )!! ) k, n Z +, k > 0 sor? Ha (2n)!! Vizsgáljuk (2n )!! a n (2n)!! a n+ = ( (2n+)!! (2n+2)!! ) k = ( 2n+2 2n+ )k = ( + 2n+ )k -t. n ( an a n+ ) = n (( + 2n+ )k ) = n ( ( ) k + ( ) k 2n+ 2 ( 2n+ )2 +... + ( ) k k ( 2n+ )k ). Felhasználjuk a binomiális tételt, így lim n n ( an a n+ ) = k 2. Ekkor Raabe - kritériumot alkalmazva kiderül, hogy ha k > 2 akkor konvergens, ha k < 2 akkor viszont divergens a sor. Már csak azt kell megvizsgálnunk, hogy k = 2 esetén milyen. Ha k = 2: a n a n+ = ( 2n+2 2n+ )2 = ( + 2n+ )2 = + 2 + = + ( ) + = 2n+ (2n+) 2 n 2n+ (2n+) 2 + n n (2n+) + (2n+) 2 Alkalmazva a Gauss tesztet: = + n + n 2 ( n 2n+ + n2 (2n+) 2 ). b n = n 2n+ + n2 (2n+) 2 28

segédsorozattal. Ekkor α =, β = és γ = értékek mellett teljesül az egyenlőtlenség, amiből következik, hogy a sor divergens.tehát az eredeti sorunk k > 2 esetén konvergens, k 2 esetén pedig divergens. A következő három tételben szereplő kritériumok csak olyan sorokra használhatóak, melynek tagjai nem negatívak és monoton csökkenő sorozatot képeznek. Az integrálkritérium a kondenzációs kritérium, és Jermakov - kritérium nem csak elégségesek, hanem szükségesek is a konvergenciához. 3.5. Integrálkritérium 3.5.. Tétel. []Legyen a Z és f : [a, ] R félegyenesen monoton csökkenő és nem negatív függvény. f(n) végtelen sor akkor és csak akkor konvergens (illetve divergens), ha a n=a f(x)dx improprius integrál konvergens (divergens). Bizonyítás. Tettszőleges n > a egész szám esetén nézzük az [a, n] intervallum a, a +,...,n egész számokkal való felosztását. Az f függvény ezen felosztásához tartozó alsó és felső összegét jelöljük s n illetve S n -nel. Ekkor f (i) = s n n f(x)dx S a n = n f(i) i=a+ igaz, ugyanis f mondoton csökkenő, az [i, i] intervallumon f legkisebb értéke f(i), a legnagyobb pedig f(i ). Tudjuk, hogy f nem negatív, ezért h h f(x)dx függény monoton nő, tehát a f(x)dx improprius integrál létezik. Továbbá vagy véges, a ha konvergens az integrál, vagy végtelen, ha divergens. Az integrál konvergens akkor n n f(x)dx korlátos. Ekkot s a n-ről is tudjuk, hogy korlátos, tehát f(n) sor konvergens. Amennyiben viszont az integrál divergens akkor elmondható, hogy n n f(x)dx a a végtelenhez tart. Ekkor S n sorozat is a végtelenhez tart, így f(n) végtelen sor divergens. 3.5.2. Példa. [] n=0 n konvergens -e? n 2 +2 x dx = lim y x 2 +2 n i=a x dx = x 2 +2 lim y [ 2 ln(x2 + 2)] y = lim y ( 2 ) ln(y2 + 2) 2 ) ln(2 + 2) = n=a n=a lim y ( 2 ) ln(y2 + 2) 2 ) ln(3) = lim y 2 ln( y2 +2 3 ). 29

Tehát a sor divergens. 3.5.3. Példa. [] n α α > hiperharmonikus sor konvergens -e? y dn = lim n α y n α dn = lim n [ n α+ α+ ]y = lim n ( y α ). α α Tehát az intergrál konvergens, ebből következően a hiperharmonikus sor is konvergens. 30

3.6. Kondenzációs kritérium 3.6.. Tétel. []Legyen (a n ) sorozat monoton csökkenő és nem negatív, akkor (a n ) és (2n a 2 n) végtelen sorok egyszerre konvergensek, vagy egyszerre divergensek. Bizonyítás. A fenti két sor mindegyike nem negatív tagú, tehát a konvergencia attól függ, hogy a részletösszeg - sorozat korlátos - e felülről. Ehhez kellenek s n = n a k illetve S n = n 2 k a 2 k k= k= sorok részletösszegei. Illetve s 0 = 0 és S 0 = 0. Mivel ezen felül a 2n a i i > 2 n így S n S n = 2 n a 2 n s 2 n+ s 2 n S n = n (S k S k ) n (s 2 k+ s 2 k) = s 2 n+ s 2. k= k= Tehát ha (S n ) felülről korlátos, akkor (s 2 n+) is. monoton növő, korlátos felülről, ugyanis a 2 n a i amiből adódik (a n ) sor (s n ) részletösszeg - sorozat i 2 n így S n S n = 2 n a 2 n 2 (s 2 n s 2 n ) S n = (S k S k ) 2 (s 2 n s ). Tehát, ha (s n ) felülről korlátos akkor (S n ) is az. 3.6.2. Példa. []Konvergens vagy divergens a A kondenzációs kritérium alapján 2n (2 n ) α = 2 n = (2 n )α végtelen sor ahol α > 0? n α = 2 n α n Tudjuk, hogy α > 0, tehát 2 α >. Mivel tudjuk, hogy az erederi sor is konvergens.. (2 α ) n konvergens, ezért (2 α ) n 3

3.7. Jermakov - kritérium 3.7.. Tétel. []Tegyük fel, hogy f : [0, ] R + monoton csökkenő függvény, és lim n e n f(e n ) f(n) λ > akkor f(n) sor divergens. = λ. Amennyiben λ < akkor f(n) sor konvergens, ha pedig Bizonyítás. Tegyük fel, hogy f pozitív, monoton fogyó és lim x e x f(e x ) f(x) = λ. f(n) konvergenciája az integrál kritérium miatt ekvivalens azzal, hogy 0 f(x)dx konvergens. Így λ < esetén elég bebizonyítani, hogy az improprius integrál konvergens. Tekintsük a, b R, 0 a < b esetén y = e x helyettesítést. e b e a f(y)dy = b a ex f(e x )dx ekkor igaz lesz, mert f monoton függvény Riemann-integrálható a korlátos és zárt [e a, e b ]- n. A fenti feltevésből következik, hogy létezik x 0 > 0 melyre minden x > x 0 esetén teljesül, hogy e x f(e x ) f(x) < +λ 2 <. Vezessük be a b 0 = x 0 és a b n+ = e bn, n Z + jelölést. Ekkor Hasonlóképpen b2 b f(y)dy = b b 0 e x f(e x )dx < +λ b 2 b 0 f(y)dy. b3 b 2 f(y)dy < +λ b2 2 b f(y)dy < ( +λ 2 )2 b b 0 f(y)dy teljesül. Teljes indukcióval könnyen belátható, hogy Ebből következően igaz lesz, hogy bn+ x 0 f(y)dy = n bk+ b k f(y)dy < ( +λ 2 )k b b 0 f(y)dy, k Z +. k=o bk+ b k f(y)dy < n k=o ( +λ e x 0 2 )k x 0 f(y)dy < 2 e x 0 λ x 0 f(y)dy. Az első tényezőt az +λ 2 kvóciensű mértani sor összegével becsüljük. Amennyiben b n b < b n+, akkor b x 0 f(y)dy < b n+ x 0 f(y)dy < 2 e x 0 λ x 0 f(y)dy teljesül. Ekkor a bal oldali Riemann-integrál a felső határ korlátos függvénye, így b x 0 f(y)dy = lim x x 0 f(y)dy < 2 e x 0 λ x 0 f(y)dy 32

igaz lesz. Ebből következően f improrius integrálja konvergens [x 0, )-n, ezért [0, ) intervallumon is. Ezzel a konvergenciával ekvivalens f(n) konvergenciája. A divergenciát hasonló módon bizonyíthatjuk. Ha λ >, akkor az előbbi bizonyítást megimésmételhetjük fordított reláció jelekkel egészen addig a pontig ahol +λ 2 kvóciensű mértani sor összegével becsültünk. Így elmondható, hogy bn x 0 f(y)dy > n ( +λ 2 )k e x 0 x 0 k=0 lesz igaz. A jobb olali Riemann - integrál pozitív és Ebből következően A pozitív f függvény b n x 0 ( +λ k=0 lim n bn x 0 2 )k = f(y)dy = f(y)dy f(y)dy improprius integrálja létezik és végtelen vagy egy valós szám. Létezik olyan szigorúan monoton növő és végtelenhez tartó (b n ) sorozat, hogy bn x 0 f(y)dy (átviteli elv miatt). b n x 0 integrál kritérium szerint f(n) divergens. f(y)dy = lim n b x 0 f(y)dy = Tehát az 3.7.2. Példa. []Döntsük el, hogy a n=2 (n 2) konvergens-e vagy sem! n ln n A Jermakov kritériumot alkalmazva f(x) =, x [2, ] függvényre: x ln x f(e x ) e x f(x) = e x x ex x ln x Tehát a feltételek alapján a sor divergens. = ln x 3.7.3. Definíció. []Az (a n ) számsorozatot, akkor nevezzük korlátos változásúnak, ha n (a n+ a n ) sorozatból képzett végtelen sor abszolút konvergens. Egy számsorozat pontosan akkor korlátos változású, ha előállítható két konvergens monoton növő sorozat különbsége ként. A következő három kritérium a sorok abszolút konvergenciájának eldöntésére nem alkalmasak. Közös ismérvük, hogy a tételekben szereplő soroknak a tagjai két sorozat szorzatából tevődnek össze. 33

3.8. Dirichlet I. kritériuma 3.8.. Tétel. []Ha (b n ) sorozat (s n ) részéletössezeg - sorozata korlátos, és (a n ) korlátos változású nullsorozat, akkor a sn (a n a n+ ) és a (a n b n ) sor is konvergens, összegeik pedig egyenlőek. Bizonyítás. s n (a n a n+ ) sor abszolút konvergens, ugyanis ha a tagok abszolútértékét nézzük, akkor a belőlük képzett sor a részletösszegeinek alapján korlátos. n s k (a k a k+ ) = n n s k a k a k+ sup{ s k } a k a k+ k= k= k= ahol k, n Z +. A s n (a n a n+ ) abszolút konvergens sor, így konvergens is. Vezessük be az s 0 = 0 jelöléssel k Z + -ra y k = s k s k -et, így: n a k y k = n a k (s k s k ) = n a k s k n a k s k = k= k= k= k= n a k s k n a k+ s k = a n s n + n s k (a k a k+ ). k= k= k= Mivel (s n ) korlátos sorozat, (a n ) pedig nullsorozat, ezért (a n s n ) nullsorozat. Ha nézzük a két sor határértékét, akkor n a k y k = lim n a n s n + (a k a k+ ) s k = s k (a k a k+ )-et k= k= k= kapjuk, amit bizonyítani is szerettünk volna. 3.9. Dirichlet II. kritériuma 3.9.. Tétel. []Tegyük fel, hogy (b n ) sorozat részletösszegeinek sorozata korlátos, és az (a n ) monoton csökkenő és nullához tart. Ekkor a n b n végtelen sor konvergens. Bizonyítás. Kell, hogy ha (a n ) monoton csökennő nullsorozat, akkor korlátos változású. (an a n+ ) állandó előjelű, nem negatív előjelű tagú sorra: n a k a k+ = n (a k a k+ ) = a n a n+ a k= ha n. Majd Dirichlet I. tétele alapján (a n b n ) konvergens. k= 34

Megjegyzés. Dirichlet I. kritériumának következménye Dirichlet II. kritériuma. 2. Dirichlet II. kritérium speciális esete a Leibnzt - kritériummal egyezik meg. Méghozzá (b n ) = ( ) n illetve (b n ) = ( ) n esetekben. 3.9.2. Példa. []Nézzük a cos n. A (b n n) = (cos n) sorozat részletösszegei korlátosak az (a n ) = pedig monoton csökkenő nullsorozat. Belátni az s n n = sorról kell azt, hogy valóban korlátos. Ötlet: szorozzunk sin 2. s n sin = n cos k sin = cos sin +... + cos(n ) sin + cos n sin = 2 2 2 2 2 k= ( sin( ) + sin( + )... sin((n ) ) + sin((n ) + ) 2 2 2 2 2 k= sin(n 2 ) + sin(n + 2 )) = 2 (sin(n + 2 ) sin 2 ). így s n = sin(n+ 2 ) sin 2 2 sin, tehát tényleg korlátos az s n. Ebből következően 2 cos n n konvergens. 3.0. Abel - kritérium 3.0.. Tétel. []Ha b n sor konvergens, az (a n ) pedig korlátos változású sorozat, akkor a n b n sor konvergens. Bizonyítás. Mivel (a n ) korlátos változású, ezért konvergens. részletösszegeinek sorozata korlátos. b n sor konvergens, akkor b n lim n a n s n = lim n a n lim n s n = lim n a n így a n b n konvergens, és a n b n = lim n a n b n + s n (a n a n ). (Dirichlet I. konvergenciájának bizonyítása alapján) 35

3.0.2. Példa. []Döntsük el, hogy konvergens - e a 9 2 n n! = 9 9 2 n n! sorozat? n! ( 2 )n sor konvergens az Abel - kritérium szerint, ugyanis a n = n! monoton csökkenő nullasorozat, és ( 2 )n konvergens mértani sor. 3.0.3. Példa. []Konvergens - e a ( + n )n cos n? cos n n n konvergens ezt beláttuk a Dirichlet - kritériummal. Az ( + n )n sorozatról tudjuk, hogy korlátos változású, ugyanis korlátos és monoton. Tehát a két sorozat szorzataként kapott végtelen sor konvergens. 3.. Logaritmikus kritérium 3... Tétel. []Adott (a n ) pozitív tagú sor és L n = ln an ln n, (n 2, n Z+ ).. Ha lim inf L n > akkor a n konvergens 2. Ha egy indextől kezdve L n akkor (a n ) divergens. Bizonyítás. Ha lim infl n > akkor létezik N Z + és r R +, hogy ln an ln n + r igaz minden n N esetén. Ezt átalakítva ln a n ( + r) ln n kapjuk. Majd ( )-el szorozva mindkét oldalt ln a n ( + r) ln n = ln n +r egyenlőtlenség teljesül. Exponenciális függvény szigorú monoton növekedése miatt a n. n +r n +r hiperharmonikus sor r R + esetén konvergens, így majoráns kritériumot alkalmazva a n is konvergens. Hasonló módon bizonyíthatjuk a divergenciát is. Egy N indextől kezdve ln an ln n ln a n ln n a n n 36

teljesül. A n harmonikus sor divergens. A minoráns kritériumot alkalmazva arra jutunk, hogy a n divergens. 3..2. Példa. []Döntsük el, hogy a n=3 A logaritmikus kritérium alapján a ( ) ln (ln ln n) L n = lnn ln n = ln(ln ln n)ln n ln n Tehát a feltétel szerint a sor konvergens. (ln ln n) ln n = konvergens-e vagy sem! ln n ln ln ln n lnn = ln ln ln n. 37

4. fejezet Végtelen sorok a középiskolában 4.. Számsorozatok A középiskolában a diákok először a számsorozat fogalmával és tulajdonságaival ismerkednek meg. A függvényekre vonatkozó ismereteikből kiindulva a valós értékű függvények értelmezési tartományának vizsgálatával jutnak el a valós számsorozat fogalmához. 4... Példa. [Számsorozatra], 5, 7, 9, 3... Ez f(x) függvény szerint: f() a = f(2) 5 a 2 = 5 f(3) 7 a 3 = 7. Az a i a sorozat i. eleme, az a n pedig az n. tag (általános tag). Ezek után a hozzárendelési módból kiindulva tárgyaljuk a sorozat megadási lehetőségeit. Ez történhet a tagok felsorolásával, vagy szövegesen, képlettel esetleg rekurzívan - megtudjuk az első néhány elemet, majd képletet adunk a további elemek kiszámítására. 38

4..2. Példa. [Szöveges megadás] A 2 számjegyeinek sorozata. 4..3. Példa. [Felsorolással való megadás] Ez a prímszámok sorozata. 4..4. Példa. [Képlettel való megadás] 4..5. Példa. [Rekurzív megadás] a = a 2 = 4 a 3 = a 4 = 4 a 5 = 2 2 3 5 7 3... {a n } = 2 n+ 3 a = a 2 = a 3 = 2... a n = a n 2 + a n Fibonacci-sorozat. A könnyebb átláthatóság és szemléltetés érdekében megmutatunk kétféle ábrázolási módot. Az egyik, mely szerint koordináta-rendszerben bejelöljük a sorozat néhány elemét, majd levonjuk a következtetést, hogy a grafikon diszkrét pontokból áll. A másik ábrázolási mód pedig, hogy számegyenesen szemléltetjük a sorozat tagjait. A következőkben a függvénytani tulajdonságok állnak az óra középpontjában. Tanult függvénytulajdonságok alapján értelmezzük a korlátosság, monotonitás, határérték fogalmait. 4..6. Példa. [] sorozatot tekintve {a n } = n 2 n+2 < n 2 n+2 = n+2 4 n+2 = 4 n+2 < Ezen a példán keresztül a diákok maguk tapasztalhatják és fogalmazhatják meg, hogy a sorozat korlátos és monoton növő. Rájönnek, hogy a korlátosság vizsgálata az értékkészletre vonatkozik, a monotonitásnál pedig az értelmezési tartományon vizsgáljuk az értékkészlet elemeit.több példán keresztül szemléltetés és ábrázolás útján a konvergencia és a határérték fogalmát is megtaníthatjuk. Ezután pontos definíciót is adhatunk ezekre a fogalmakra. 39

4..7. Definíció. []Egy sorozat konvergens és határértéke az A valós szám, ha bármely ɛ > 0 számhoz N pozitív egész küszöbindex, hogy bármely n N + esetén igaz, hogy a n A < ɛ. Azt is mondhatnánk, hogy a sorozatnak csak véges sok tagja van a határérték tettszőlegesen kis környezetén kívül. Ez a fogalom a diákok számára nehéznek és emészthetetlennek bizonyul. Ezért rengeteg példa gyakorlásával érhetünk el sikert. Ezen példák megoldása közben jön elő a divergens sorozat elnevezés is. Ezzel párhuzamosan fedezik fel, hogy:. Konvergens sorozatnak csak egy határértéke van. 2. Minden konvergens sorozat korlátos. 3. Minden monoton korlátos sorozat konvergens. 4. Vannak olyan sorozatok, amelyek nem konvergensek, de van konvergens részsorozatuk. Mindezek áttekintése után a sorozatokkal végzett műveletek tárgyalásába kezdünk.a függvények kapcsán már tanulták a műveleteket ezért egy művelet megadása után mintaszerűen végezhetik a többit. Az összeg -, különbség -, szorzat - és a hányados sorozat határértékére vonatkozó szabályokat illetve a rendőr szabályt mondjuk ki és bizonyítjuk. Legvégül a majdani könnyebb számítások érdekében tárgyaljuk néhány nevezetes sorozat határértékét. Ilyen sorok például az. a n = n sorozat, melynek konvergenciáját az arkhimédészi - axióma alapján vezetjük le. 2. A mértani sorozat melyet megvizsgálunk a kvóciens nagyságának szempontjából. 3. a n = n a 4. a n = n n 5. a n = an n! 6. a n = ( + n ) n 7. Számtani sorozatok Végül rengeteg gyakorló feladattal sajátítjuk el a határértékek kiszámítását. 40

4.2. Végtelen sorok A végtelen sorokat Zenon paradoxonjai alapján játékosan vezetjük be és vetjük fel az összegzés problémáját. A konklúzió levonása után pontos definíciót adunk a végtelen sorokra, melyet a számsorozatból vezetünk le. Mindezek után a mértani sor részletösszeg sorozatát a sor összegét és a konvergencia fogalmát tisztázzuk. Tárgyaljuk a nevezetes végtelen sorok határértékét. Levezetjük az összehasonlító (hányados, majoráns), hatvány illetve gyökkritériumot. Gyakorlásra kiválóak az alábbi példák: Döntsük el, hogy az alábbi sorok konvergensek - e vagy divergensek? ( n+ ) 3n ( n(n+2) ) ( x n n! n=0 ) 0 n 42 + 2 0, 5 + 5, 25 +... Egy 24 cm oldalú négyzet alakú papírlapot négy kisebb négyzetre vágunk, melyek oldala 2 cm. Három négyzetet oldalaikkal egymás melléhelyezünk. A negyediket négy kisebb négyzetre vágjuk, melyek oldalai 6 cm-esek. Ezek közül hármat a nagyobb négyzetek mellé teszünk. A negyedik négyzetet ismét négy kisebb négyzetre vágjuk, és az eljárást a végtelenségig folytatjuk. Határozza meg az egymás melletti négyzetek oldalainak együttes hosszát! 4

Köszönetnyilvánítás Ezúton szeretnék köszönetet mondani témavezetőmnek, Bátkai Andrásnak, aki, tudásával, szakmai tapasztalatával segítette munkámat. Hálával tartozom még évfolyamtársamnak, Szabó Dávidnak,és öcsémnek, Bogye Balázsnak akik bevezettek a L A TEX rejtelmeibe. Végül de nem utolsó sorban szüleimnek, akik mindvégig mellettem álltak, támogattak, és akik nélkül mindez sosem sikerült volna. 42

Irodalomjegyzék [] CSÁSZÁR ÁKOS, Végtelen sorok. Tankönyvkiadó, Budapest, 979. [2] DR. KONRAD KNOPP, Theory and application of infinite series. [3] DR. SZARKA ZOLTÁN, Végtelen sorozatok és sorok I. és II. kötet. Magas szinten könnyedén sorozat. LSI Alkalmazástechnikai Tanácsadó Szolgálat, Budapest, 988. [4] FARKAS MIKLÓS - HOFFMAN TIBORNÉ, Matematika IV. kötet - Végtelen sorok. Műegyetemi Kidaó, 994. [5] FRANTISEK DURIS, Infinite Series:Convergence Tests (Bachelor thesis).bratislava, 2009. oldwww.dcs.fmph.uniba.sk [6] LACZKOVICH MIKLÓS - T. SÓS VERA, Analízis II. Nemzeti Tankönyvkiadó, Budapest, 2007. [7] NÉMETH JÓZSEF, VElőadások a végtelen sorokról. Polygon Könyvtár, Szeged, 2002. [8] URBÁN JÁNOS, Határérték - számítás. Műszaki kiadó, Budapest, 2006. [9] SZILÁGYI TIVADAR, Végtelen sorok, hatványsorok. http://www.cs.elte.hu/ sztiv/5vs.pdf [0] HTTP://MATHWORLD.WOLFRAM.COM/TOPICS/CONVERGENCE.HTML [] SDT.SULINET.HU 43