Matematika I. Mőszaki informatikai mérnm. Galambos GáborG JGYPK 2011

Mtemtik I. Mőszki informtiki mérnm rnöksszisztens http://jgypk.u jgypk.u-szeged.hu/tnszek/szmtech/oktts oktts/mtemtik-.pdf Glmbos GáborG JGYPK 0-0 Mtemtik I. Felsıfokú Szkképzés

A Mtemtik I. fıbb f témái: t Hlmzok: Alpfoglmk, mőveletek m hlmzokkl, számhlm mhlm- zok,, végtelen v hlmzok. Reláci ciók: Alpfoglmk, reláci ciók k tuljdonsági (reflexív, szim- metrikus,, trnzitív, ekvivlenci reláci ció,, trichotómi, rendezés, jól-j rendezés). Függvények: Alpfoglmk, függvf ggvények ábrázolás, mőveletek m függvényekkel, speciális függvf ggvények (pl. rekurzív v függvf ggvények). Mtemtiki logik: Alpfoglmk, logiki mőveletek, m logiki függvények, következtetk vetkeztetések és s szbályik. Lineáris lgebr lpji: Lineáris egyenletrendszerek, mátrixok, m determinánsok, nsok, lineáris egyenletrendszerek numerikus megoldási. Kombintórik rik: Alpfoglmk, permutáci ció és s tuljdonsági, kombináci ciók, binomiális együttht tthtók, vriáci ciók. Gráfelm felmélet: let: Alpfoglmk, gráfok ábrázolás, klsszikus gráfbej fbejárások, párosp rosítások, sok, mgyr módszer, m fgráfok. fok. Mtemtik I. Felsıfokú Szkképzés

A Mtemtik II. fıbb témái: Vlószínőségszámítás Intervllum, távolság, környezet Vlós függvények Számsoroztok és sorok Függvények htárértéke, folytonosság Differenciálszámítás Differenciálhtó függvények vizsgált Integrálszámítás Mtemtik I. Felsıfokú Szkképzés

Az elıdás Bánhegyesiné Topor Gizell, Bánhegyesi Zoltán: Mtemtik, nem mtemtik szkosoknk.okj informtik sorozt. Mőszki Kidó, Budpest, 00. ISBN 96-6-66-5. (Megrendelhetı: www.muszkikido.hu.) Csernyák László: Anlízis, Mtemtik közgzdászoknk sorozt. Nemzeti Tnkönyvkidó, Budpest, 005, ISBN 96 9 50 8. lpján lett összeállítv. (Keress rá Google-n: Csernyák László ) Mtemtik I. Felsıfokú Szkképzés 4

A közös k s tuljdonságok lpján n csoportb fogllhtó tárgykt, fogl- mkt hlmzoknk nevezzük. Pl. bélyeggyb lyeggyőjtemény, embercsoportok, számok, függvf ggvények. A hlmzhoz trtozó egyedeket hlmz elemeinek nevezzük. Melyek z elemek legfontosbb tuljdonsági? Egyértelm rtelmően en eldönthet nthetı,, hogy z elem hozzátrtozik trtozik-e e hlmzhoz. A hlmz minden eleme többi t elemtıl l megkülönb nböztethetı. Egy hlmzbn egy elem csk egyszer fordul elı. Egy hlmz nem lehet önmgánk nk z eleme. Georg Cntor (845-98) lpozt meg hlmzelmélet foglmát. Mtemtik I. Felsıfokú Szkképzés 5

Azt, hogy egy h dolog eleme H hlmznk h H jelöléssel írjuk le. H h nem eleme H hlmznk, kkor h H jelölést lklmz- zuk. Pl. H N-nel jelölj ljük k természetes számok hlmzát, kkor 5 N és - N. Bármely hlmzt egyértelm rtelmően en meghtározz rozzák k z elemei: h H egy hlmz, kkor bármely b x dologr vgy x H vgy x H áll fenn. Két t hlmzt kkor tekintünk nk zonosnk,, h elemei ugynzok, zz H és K hlmz kkor egyenlı,, h h H esetén h K is teljesül, l, és h h H kkor h K is igz. Jelölése: H = K. K Mtemtik I. Felsıfokú Szkképzés 6

Egy hlmzt megdhtunk elemeinek felsorolásávl vgy egy olyn tuljdonsággl, mely hlmz elemeit egyértelm rtelmően en meghtározz. Pl. A -ml oszthtó természetes számok hlmz így írhtó le: H = {0,, 6, 9, }} vgy H = {x{ x N és x oszthtó -ml}. Hlmzok ábrázolás: Venn-digrm Mtemtik I. Felsıfokú Szkképzés 7

Azt hlmzt, melynek egyetlen eleme sincs, üres hlmznk nevezzük, és -vl vgy { }-vl} jelölj ljük. Pl. Tekintsük k következk vetkezı hlmzt: A = {zon vlós x számok, melyekre sin x + cos x = igz} Mivel sin x és s cos x mindig csk - és s + közék esı értékeket vehet fel, ezért z egyenlet csk kkor lehet igz, h sin x = és s cos x = egyszerre teljesül. l. π A sin x = megoldás: x = + kπ, hol k Z. A cos x = megoldás: x = kπ, hol k Z. Ezért nincs olyn x vlós s szám, mely egyenletünknek nknek megoldás lenne. Ezért A =. Mtemtik I. Felsıfokú Szkképzés 8

Változtssuk meg z A hlmz definíci cióját: B = {zon vlós s számok hlmz,, melyekre sin x + cos x = igz} Vn különbsk nbség g két k t definíci ció között? Az A hlmz üres hlmz, B hlmz nem üres hlmz, mert egyet- len elemet trtlmz, ti. z A üres hlmzt. Könnyő belátni, hogy csk egy üres hlmz vn. (Hsználni kell két t hlmz zonosságár vontkozó definíci ciót.) Mtemtik I. Felsıfokú Szkképzés 9

Induljunk ki z utók k hlmzából. l. Keressünk olyn tuljdonságokt, melyek lpján n tovább bonthtjuk z utók hlmzát! Mondjunk további hlmzokt, és s bontsuk ezeket részekre! r Venn digrmml: Autók Személyut lyutók Mtemtik I. Felsıfokú Szkképzés 0

Egy K hlmzt H hlmz részhlmzánk nevezünk, nk, h K hl- mz minden eleme egyben H-nk is eleme. Jelölése: K H. A definíci cióból l következik, k hogy minden hlmz része r sját t mgánk, hiszen minden x H -ból következik, hogy x H,, tehát t H H trtlmzás s mindig igz. Az üres hlmz minden hlmznk részhlmz. r Egy K hlmzt H hlmz vlódi részhlmzánk nevezünk, nk, h K részhlmz H-nk és H-nk vn leglább egy eleme, mely nem eleme K-nk. Jelölése: K H. Tétel: K H kkor és s csk kkor igz, h K H, de H K. Tétel: H K H és H K, kkor H = K. Mtemtik I. Felsıfokú Szkképzés

Tekintsünk nk egy A hlmzt, mely részhlmz r H-nk. Azt hlmzt, mely H vlmennyi A-hoz nem trtozó elemét t trtlmzz, z A hlmz H-r vontkozttott komplementer (kiegész szítı) ) hlmzánk nevezzük. Jelölése: A = {x{ x H és x A } H A A Mtemtik I. Felsıfokú Szkképzés

Néhány egyszerő megállp llpítás: Egy hlmz önmgár vontkozttott komplementere z üres hlmz. Az üres hlmz komplementere mg hlmz. Egy hlmz bármely b másik m hlmzr vontkozttott komple- menterének nek komplementere mg hlmz. H két k t hlmznk ugynrr hlmzr vontkozttott komple- mentere egyenlı,, kkor két k t hlmz is egyenlı egymássl. (Ez megfordítv is igz.) Mtemtik I. Felsıfokú Szkképzés

Mőveletek hlmzokkl Az A és B hlmzoknk z A B szimbólumml jelölt lt Descrtes-féle szorztán z összes olyn rendezett (,b(,b) ) párokbp rokból álló hlmzt értjük, melyekre A és b B. Jelölése: A B = { (,b(,b) ) A és b B }. H A = B, kkor z A A helyett z A jelölést is hsználjuk. Pl. Legyen A = {,, } és B = {e,{ f} f A B = e (, e) (, e) (, e) (, (, (, f f f f ) ) ) Mtemtik I. Felsıfokú Szkképzés 4

A táblt blázt felfoghtó egy speciális szorzótábl blánk. A szorzthlmz elemeinek számát t két k t hlmz elemeinek szorzt dj. Tétel: A Descrtes-szorz szorzás s mővelete m nem kommuttív. (Nem felcserélhet lhetı). A szorzthlmz kettınél l több t hlmz szorztár r is értelmezett, ekkor rendezett hármsok, h négyesek, n stb. lesznek szorzthlmz elemei. A szorzthlmz lehetıvé teszi mtemtiki lkztok konstrukcióját is: Mtemtik I. Felsıfokú Szkképzés 5

N N Mtemtik I. Felsıfokú Szkképzés 6

A mőveletekrm veletekrıl áltlábn Egy H hlmzon értelmezett (belsı,, kétvk tváltozós) mővelet nem más, m mint H H szorzthlmz leképez pezése önmgáb H hlmzb, zz minden (x,y( x,y) H H rendezett párhoz p H egy elemét t rendeljük hozzá.. Mtemtik jelöléssel: φ: : (x,y( x,y) H H z = f(x,y) H Három lpvetı mőveleti tuljdonságot fogunk definiálni: Asszocitivitás s (csoportosítht thtóság) Kommuttivitás s (felcserélhet lhetıség) Disztributivitás s (széttgolht ttgolhtóság) g) Mtemtik I. Felsıfokú Szkképzés 7

Asszocitivitás Egy H hlmzon értelmezett mőveletet kkor mondunk sszocitív- nk,, h bármely b x, y, z H elemre fennáll, hogy (x y) z = x (y z) ) = x y z. H egy mővelet m sszocitív, kkor zárójelet z bárhov b lehet rkni, de z elemek sorrendje lényeges. l Asszocitív v mővelet m vlós s számok hlmzán értelmezett összedás és s szorzás. s. Nem sszocitív v mővelet m htványoz nyozás, hiszen ( ) ( ) A bl oldl eredménye 8 = 64, jobb oldlé 9 = 5. Mtemtik I. Felsıfokú Szkképzés 8

Kommuttivitás Egy H hlmzon értelmezett mőveletet kkor mondunk kommuttívnk vnk,, h bármely b x, y H elemre fennáll, hogy x y = y x. H egy mővelet m kommuttív, kkor mővelet m eredménye független f mőveletben résztvevr sztvevı elemek sorrendjétıl Kommuttív v mővelet m vlós s számok hlmzán értelmezett összedás és s szorzás, s, vgy z egybevágósági gi trnszformáci ciók egymás s utáni végrehjtv grehjtás. Nem kommuttív v mővelet m kivonás, hiszen 5 5. Mtemtik I. Felsıfokú Szkképzés 9

Disztributivitás Legyen dott H hlmzon értelmezett két k t mővelet m és.. A mőveletet blról l disztributív mőveletre nézve, n h bármely b x, y z H elemre fennáll, x (y z) ) = (x( y) (x z) ). Legyen dott H hlmzon értelmezett két k t mővelet m és.. A mőveletet jobbról l disztributív mőveletre nézve, n h bármely b x, y z H elemre fennáll, (x y) z = (x( z) (x y) ). H egy mővelet m blról l is és s jobbról l is disztributív v egy másik m mőveletre nézve, n kkor egyszerően en disztributivitásr sról beszélünk. A vlós s számok körében k definiált szorzás s mővelete m disztributív v z ugynitt definiált összedás s mőveletm veletére nézve. n Mtemtik I. Felsıfokú Szkképzés 0

Zártság A H hlmznk egy K részhlmzát t mőveletre nézve n zártnk mondunk, bármely b x, y K elemekre igz, hogy x y K. Pl. pozitív v pártln p számok hlmz z összedásr sr nézve n nem zárt, de szorzásr sr nézve n zárt. z Mtemtik I. Felsıfokú Szkképzés

Hlmzok uniój Az A és B hlmzok unióján (egyesítésén) zt hlmzt értjük, mely zokt és s csk zokt z elemeket trtlmzz, melyek A és B közül l leglább z egyiknek elemei. Jelölése: A B. Az A és B hlmzokt z unió tgjink nevezzük. A B A hlmzok egyesítés s három h vgy több t tgr is definiálht lhtó: : Az A, A,,, A n, hlmzok unióján (egyesítésén) zt hlmzt értjük, mely zokt és s csk zokt z elemeket trtlmzz, melyek A i (i=,,,,, n) ) hlmzok közül k l leglább z egyiknek elemei. Jelölése: A A A n. Mtemtik I. Felsıfokú Szkképzés

Az unióképz pzés s mőveletm veletének legfontosbb tuljdonsági: Az unióképz pzés s mővelete m kommuttív. Az unióképz pzés s mővelete m sszocitív. Az unióképz pzés s mővelete m idempotens: A A = A. A = A. A B = B kkor és s csk kkor, h A B. A B = kkor és s csk kkor, h A = és B =. Legyen A egy hlmz, és s legyen A B. H A' z A hlmz B-re vontkozttott komplementer hlmz, kkor A A' = B. Mtemtik I. Felsıfokú Szkképzés

Hlmzok metszete Az A és B hlmzok metszetén (közös s részr szén) zt hlmzt értjük, mely zokt és s csk zokt z elemeket trtlmzz, melyek mind z A mind B hlmznk elemei. Jelölése: A B. Az A és B hlmzokt z metszet tgjink nevezzük. Pl. Legyen K = { osztói}, és L = {0 osztói}. Ekkor K = {,,, 4, 6, } és H = {,, 4, 5, 0, 0}. Így A B ={, =, 4}. A metszethlmz éppen és s 0 közös k s osztóink hlmz. A hlmzok metszete három h vgy több t tgr is definiálht lhtó: : Az A, A,,, A n, hlmzok metszetén zt hlmzt értjük, mely zokt és csk zokt z elemeket trtlmzz, melyek A i (i=,,,, n) n hlmzok mindegyikének nek eleme. Jelölése: A A A n. Mtemtik I. Felsıfokú Szkképzés 4

Az metszetképz pzés s mőveletm veletének legfontosbb tuljdonsági: Az metszetképz pzés s mővelete m kommuttív. Az metszetképz pzés s mővelete m sszocitív. Az metszetképz pzés s mővelete m idempotens: A A = A. A =. A B = A kkor és s csk kkor, h A B. Legyen A egy hlmz, és s legyen A B. H A' z A hlmz B-re vontkozttott komplementer hlmz, kkor A A' =. Az unió metszetképz pzésre nézve n disztributív. A metszet z unióképz pzése nézve n disztributív. Mtemtik I. Felsıfokú Szkképzés 5

Szemléltess ltessük, hogy unió metszetképésre sre nézve n disztributív! A (B C ) = (A( B) (A C) A (B C ) (A B) (A C) A B A B C C Mtemtik I. Felsıfokú Szkképzés 6

Hlmzok különbsk nbsége Az A és B hlmzok különbségén z A hlmznk zt részr szét értjük, melyek nem trtoznk B hlmzhoz. Jelölése: A \ B. A különbsk nbségképzés s mőveletm veletének legfontosbb tuljdonsági: Az A \ B különbséghlmz mindig részhlmz r A-nk. Amennyiben egy A hlmzból l kivonjuk nnk egy B részhlm- zát, kkor B hlmznk A-r vontkozó komplementerét t kpjuk: A \ B = B'. A B \ A különbséghlmzt z A \ B szimmetrikus párjp rjánk nevezzük. A B \ A és s z A \ B hlmzoknk nincs közös k s eleme (diszjunktk). A \ = A és \ A = és A \ A =. A különbsk nbségképzés s mővelete m nem kommuttív. A különbsk nbségképzés s mővelete m nem sszocitív. Mtemtik I. Felsıfokú Szkképzés 7

Szimmetrikus differenci Az A és B hlmzok szimmetrikus differenciáján z hlmzt értjük, A B = {A \ B} {B \ A} A B A B A definíci cióból l következk vetkezı tuljdonságok következnek: k A A = A B = B A A = A= A. ( A B ) C = A ( B C ) ( mővelet m sszocitív). Mtemtik I. Felsıfokú Szkképzés 8

Venn digrmm segíts tségével ábrázoljuk ( A B ) C hlmzmőveletet! A B C Mtemtik I. Felsıfokú Szkképzés 9

Számhlmzok Természetes számok A természetes számok hlmzát t Peno xiómákkl (889) írhtjuk le. Giuseppe Peno (858 9). Kurt Gödel: : Minden xiómrendszerben léteznek l olyn állítások, melyek nem eldönthet nthetık, zz melyeknek bizonyítás és s cáfolt c z dott rendszeren belül l nem végezhetv gezhetı el. Mtemtik I. Felsıfokú Szkképzés 0

A Peno xiómák:. A 0 természetes szám, zz 0 N.. Bármely n természetes számnk létezik l egy és s csk egy z n számt mtól l különbk nbözı n' rákövetkezıje, melyik szintén természe sze- tes szám.. Nincs olyn természetes szám, melynek 0 rákövetkezr vetkezıje. 4. Különbözı természetes számoknk különbk nbözı rákövetkezr vetkezıje. 5. H egy K hlmz z N részhlmz, tovább bbá K rendelkezik z - es xióm szerinti tuljdonsággl, és s minden K-beli elem rákövetkezıje e is K hlmzbn vn, kkor K = N. Mtemtik I. Felsıfokú Szkképzés

A Peno xiómák (formlizáltn): ltn):. 0 N.. H n N, kkor n' N.. H n' = 0, kkor n N. 4. H m, n N, és m n,, kkor n' m'. 5. H egy K hlmzr igz, hogy (i) K N, (ii) 0 K,, (iii( iii) ) h n K,, kkor n' K, kkor K = N. Mtemtik I. Felsıfokú Szkképzés

Az 5-ös 5 s xiómát t szokás s teljes indukció xiómájánk nevezni. Legyen α(n) ) minden n N-re értelmezett állítás, és s tegyük k fel, hogy teljesül l következk vetkezı két t feltétel: tel: z α() állítás s igz, h vlmely n N esetén α(n) ) igz, kkor α(n+ n+) is igz, Ekkor α(n) ) minden n N esetén n igz. A teljes indukció xiómájánk változtv ltozt: Legyen k N, és α(n) ) minden k n N-re értelmezett állítás, és tegyük k fel, hogy teljesül l következk vetkezı két t feltétel: tel: z α(k) állítás s igz, h vlmely n N esetén α(n) ) igz, kkor α(n+ n+) is igz, Ekkor α(n) ) minden k n N esetén n igz. Mtemtik I. Felsıfokú Szkképzés

Nézzünk egy teljes indukciós s bizonyítást: Bizonyítsuk be, hogy z elsı n természetes szám összege n ( n + ) S ( n ) =. Biz.. A tétel t tel állítás n = -re igz, hiszen S() =.. Tegyük k fel, hogy z állítást vlmely n -re már m r beláttuk. Ekkor S ( n + ) = S ( n) + ) ( n + )( n + ) = Ezért tétel t tel állítás igz. + ( n =. n( n + ) + ( n + ) = n( n + ) + ( n + ) = Mtemtik I. Felsıfokú Szkképzés 4

N-ben két t mővelet m definiálht lhtó: : z összedás, s, és s szorzás. s. mindkét mőveletre bebizonyítht thtó,, hogy sszocitív és s kommuttív, és belátht thtó,, hogy z összedás s szorzásr sr nézve n disztributív v mővelet. m Esetleg beszélni z egységelemr gelemrıl és s zérus z elemrıl. l. Mtemtik I. Felsıfokú Szkképzés 5

Egész számok Próbáljuk meg kiterjeszteni természetes számok hlmzát, és s z zon értelmezett összedás és s szorzás s mőveletm veletét. t. A hlmz kiterjesztésénél l trtsuk be következk vetkezı elveket: Az új hlmznk természetes számok hlmz legyen részhlmr szhlm- z. Az új j hlmz elemein legyen elvégezhet gezhetı kivonás mővelete. Az összedás és s szorzás s mőveletm veletét úgy kell értelmezni z új hl- mzon,, hogy h mőveleteket m N-beli elemekre lklmzzuk, kkor ugynzt z eredményt kell kpnunk, mint korábbn. Érvényesüljön permnenci elve, zz mőveletekre minél l többt zonosság g mrdjon érvényben. Mtemtik I. Felsıfokú Szkképzés 6

Az n természetes szám m ellentettjének nek nevezzük, és n-nel nel jelölj ljük k z n + x = 0 egyenlet megoldását. Tehát n-et z n +( n) ) = ( n)( ) + n = 0 összefüggés értelmezi. A pozitív v természetes számok ellentettjei természetes számokkl együtt lkotják k z egész számok hlmzát.. Az egész számok hlmzánk jele: Z. A permnenci elvének megfelelıen en z összedás s z egész számok hlmzán n következk vetkezıképpen értelmezhetı: Tetszıleges n, m N-re, ( n)) +( m) ) = (n + m). n + ( m) = ( m) + n n m, = 0, ( n m), Mtemtik I. Felsıfokú Szkképzés 7 h h h n n n > = < m m m.

Rcionális számok Legyen p, q N és q 0. Keressük qx = p egyenlet megoldását t z egész számok hlmzán. H megoldás s nem egész, kkor p-nek q- vl vló osztását t jelölj ljük p/q-vl, és s ezt egy új j számnk tekintjük. k. A p/q lkú számokt, hol q 0, rcionális (tört)sz rt)számoknk nevezzük, hol p törtszt rtszám száml mlálój és q törtszt rtszám nevezıje je.. A rcionális számok jelölése: Q. Az egész számok olyn törtszt rtszámok, melyeknek nevezıje. A rcionális számok hlmzán n rcionális mőveletek m összedás, s, kivonás, szorzás, s, osztás elvégezhet gezhetık. (Ez zt jelenti, hogy e mőveletek eredménye nem vezet ki rcionális számok hlmzából.) l.) Mtemtik I. Felsıfokú Szkképzés 8

p Amennyiben zt krjuk, hogy lkú számok ugynúgy visel- kedjenek, mint z egész számok tovább bbá z eddigi mőveletek m tuljdonsági (sszocitivitás, s, kommuttivitás, disztributivitás) s) érvényben mrdjnk, z összedást st és s szorzást st következıképpen kell definiálni: c d bc + = + b d bd b c d = c bd Mtemtik I. Felsıfokú Szkképzés 9

Bizonyítsuk be, hogy, végtelen szkszos tizedes tört t egy rcionális szám m tizedes tört t lkj! = + + + + L,... = + + + + L 4 6 4 0 0 0 0 0 0 6 = = + 00 = + = + = 0 00 99 99 0 8 99 Keressünk áltlános megoldást egy végtelen v szkszos tizedes tört t rcionális törtszt rtszámmá lkításár! Mtemtik I. Felsıfokú Szkképzés 40

A rcionális pontok számegyenesen ábrázolhtók. Belátht thtó,, hogy számegyenesen bármely b két k t rcionális pont között k vn egy két k számt mtól l eltérı újbb rcionális pont. A rcionális pontok számegyenesen egyenletesen sőrőn s helyezked- nek el. Mtemtik I. Felsıfokú Szkképzés 4

Vlós s számok Vnnk olyn számok, melyek nem írhtók k fel két k t egész szám hánydosként. nt. Ilyen pl.. p Bizonyítsuk be, hogy nem írhtó fel lkbn, hol p,q Z. q Biz. p Tfh. z állítás s nem igz. Ekkor =, hol (p,q( p,q) ) =. q Emeljük k mindkét t oldlt négyzetre: n = Ebbıl l dódik, dik, hogy q = p, mi lehetetlen, hiszen p és q reltív prímek. p q. Mtemtik I. Felsıfokú Szkképzés 4

Azokt számokt, melyek nem írhtók k fel két k t egész szám hánydosként, nt, irrcionális számoknk nevezzük. Jele: Q. Az irrcionális számok zok számok, melyek végtelen v nem szkszos tizedes tört t formájábn felírht rhtók. A rcionális pontok bár b r mindenütt sőrőn s n helyezkednek el szám- egyenesen, mégsem m töltik t zt teljesen ki. A lukkbn helyezkednek z irrcionális számok. A rcionális és s z irrcionális pontok teljesen kitöltik számegye megye- nest. A számegyenes pontjink megfeleltethetı számok hlmzát t vlós számok lkotják. k. Jele: R. Mtemtik I. Felsıfokú Szkképzés 4

Tétel: Az irrcionális számok hlmz rcionális számok komplementer hlmz vlós s számok hlmzár vontkozón. n. Q* = R Q. Természetes számok Egész számok Rcionális számok Vlós s számok Mtemtik I. Felsıfokú Szkképzés 44

Algebri és s trnszcendens számok Láttuk zt, hogy számhlmzok között k vlós s számok hlmz legtágbb gbb hlmz, mely két k t diszjunkt hlmzr rcionális és s z irrcionális bonthtó. Létezik vlós s számok hlmzánk másfm sféle felbontás részhlm- zokr? Kis kitérı következik Mtemtik I. Felsıfokú Szkképzés 45

Polinomokról áltlábn A polinom (többtg bbtgú lgebri kifejezés) egy olyn kifejezés, melyben csk számok és s változv ltozók k egész kitevıjő htványink szorzti illetve ilyenek összegei szerepelnek. PéldP ldául: p(x,y,z,u) ) = 5x5 4 y 6 - xz +y 5 u 7 q(x) ) = x + 6x + 9 A polinombn számokkl szorzott htványszorztokt monomnk (egytgoknk) nevezzük. Pl. p-nél l z 5x5 4 y 6, xz és s z y 5 u 7 tgok). A monomokbn lévıl számszorz mszorzókt polinom együttht tthtóink hívjuk. Mtemtik I. Felsıfokú Szkképzés 46

Egynemőnek nek különböznek. Mőveletek polinomokkl Az egyes monomokbn változv ltozók k kitevıinek inek összege dj meg z dott monom fokát.. A polinom fokánk benne lévıl monomok fokánk mximumát t tekintjük. k. A 0 fokú monomokt konstns polinomoknk nevezzük. nevezünk nk két k t monomot, h csk együttht tthtóbn Polinomokt úgy dunk össze,, hogy z egynemő egytgok együttht tthtóit összedjuk: p + ( x, y) = 5 x y + xy 6 y q + 6 ( x, y, z) = x y 7xy 8yz ( p + q)( x, y, z) = 7 x y 5xy + 6 y + 8 yz 6 Mtemtik I. Felsıfokú Szkképzés 47

A polinomok szorzáskor skor minden tgot minden tggl beszorzunk és s keletkezı szorztokbn z zonos változv ltozók k htványit z zonos lpú htványok szorzásánk szbály lyávl számítjuk ki. Pl.: p ( x, y) = x + xy q ( x, z) = x 7z ( p q)( x, y, z) = x x + x ( 7 z ) + xy x + xy ( 7 z ) = = 5 4 x 7 x z + x y 7 xyz Mtemtik I. Felsıfokú Szkképzés 48

Speciális polinomok A polinomok legegyszerőbb megjelenési formái i z egyváltoz ltozós polinomok. Például z 8x 7x + 6 egy hrmdfokú,, egyváltoz ltozós s polinom. Az x fokszám szerint csökken kkenı sorrendbe írv, z elsı monom fok, másodikm sodiké, hrmdiké 0. A hrmdfokú tg együttht tthtój 8, másodfokm sodfokúé -7, konstns tg 6. Egy polinomot homogén n fokszámúnk nevezünk, nk, h benne minden monom fok egyenlı.. Pl. binomiális tétel: t tel: ( + b) b 4 = 4 + 44 b + 66 b + 4b4 + b 4 Mtemtik I. Felsıfokú Szkképzés 49

Egy számot lgebri számnk nevezünk, nk, h létezik l olyn rcionális együttht tthtós s polinom, melynek gyöke. H z számhoz ilyen polinom nem tlálht lhtó,, kkor trnszcendens szám. H z számhoz tlálht lhtó egy n-ed fokú polinom, melynek ı gyöke, de egyetlen lcsonybb fokú polinomnk már r nem gyöke, kkor egy n-ed fokú lgebri szám. Tétel: z elsıfok fokú lgebri számok rcionális számok. Tétel: Elsınél l mgsbb fokú lgebri szám m nem lehet rcionális szám. Mtemtik I. Felsıfokú Szkképzés 50

Az irrcionális lgebri számok megközel zelíthetık k rcionális számok soroztávl. A esetében ez sorozt: 4 4 44 44,,,, 0 00 000 0000 Liouville: : A = + + + + L + +L L n q q q q végtelen sor htárért rtéke minden q > esetén n trnszcendens szám. A π és s z e is trnszcendens szám. (Errıl l többet t gykorlton) Mtemtik I. Felsıfokú Szkképzés 5

Számhlmzok számoss mosság Végtelen hlmzok Természetes számb mból l vgy négyzeteikbn gyzeteikbıl l vn több? t Az A és s B hlmzról l kkor mondjuk, hogy egyenlı számoss mosságúk, h vn olyn kölcsk lcsönösen sen egyértelm rtelmő megfeleltetés s z elemeik között, mely A minden eleméhez B egy meghtározott elemét rendeli hozzá, és s mely B minden elemét t hozzárendeli A vlmely eleméhez. 0 0 4 9 4 6 n n Mtemtik I. Felsıfokú Szkképzés 5

Azt z eredményt kptuk, hogy természetes számok és s négyzeteik n ugynnnyin vnnk, zz N és s négyzetszn gyzetszámok hlmz zonos számoss mosságú. Az eredmény meglepı,hiszen zt kptuk, hogy rész ugynnnyi, mint z egész! Végtelen hlmzok esetében nincs értelme több,, kevesebb vgy z ugynnyi kifejezéseknek. Végtelennek nevezzük k zt hlmzt, melynek vn önmgávl egyenlı számoss mosságú vlódi részhlmz. r Mtemtik I. Felsıfokú Szkképzés 5

Megszáml mlálhtón n végtelen v hlmzok Megszáml mlálhtón n végtelenv vgy megszáml mlálhtó hlmzoknk nevezzük k zokt hlmzokt, melyeknek ugynnnyi elemük k vn, mint mennyi természetes szám. H A megszáml mlálhtó hlmz, kkor elemei kölcsk lcsönösen sen megfelel- tethetık k természetes számok hlmzánk elemeivel. Könnyő belátni, hogy természetes számok helyett tekinthetjük k pozitív v természetes számok hlmzát. Miért? A pozitív v természetes számoknk vló egyértelm rtelmő megfeleltetés s zt jelenti, hogy hlmz elemei sorbrendezhetık. Mtemtik I. Felsıfokú Szkképzés 54

H z elemek sorbrendezhetık,, kkor z A hlmz felírht rhtó végte- len sorozt formájábn:,,, 4,, n, Ennek z következmk vetkezménye, hogy h egy hlmz elemei sorbrendezhetık,, kkor hlmz elemeinek számoss mosság megegye- zik természetes számok számoss mosságávl. Egyszerő példák: A pozitív v páros p számok és s prímsz mszámok mok hlmz megszáml mlálhtó. Tétel: Egy megszáml mlálhtó hlmz bármely b végtelen v részhlmz r szintén n megszáml mlálhtó. Bizonyítás s egyszerő. Mtemtik I. Felsıfokú Szkképzés 55

Tétel: Megszáml mlálhtó és s véges v hlmz egyesítésével nyert hlmz is megszáml mlálhtó. Biz. H A = {{,,, 4,, n, }} z dott megszáml mlálhtó hlmz és b, b, b,, b k véges v hlmz elemei, kkor z új j hlmz elrendezése: b, b, b,, b k,,,, 4,, n, és s hozzárendel rendelés eltolássl ismét t megoldhtó. Az összes egész számok hlmz is megszáml mlálhtó.. Ngyság szerint z elemek nem lkotnk soroztot, de sorb rendezés s más m módon elérhet rhetı: 0 4 5 0 - - - Mtemtik I. Felsıfokú Szkképzés 56

Következmény: N és Z zonos számoss mosságúk: : N = Z. Áltlánosítás-: két k t megszáml mlálhtó hlmz egyesítésével kpott hlmz is megszáml mlálhtó. Áltlánosítás-: megszáml mlálhtón n végtelen v sok megszáml mlálhtó hlmz egyesítésével kpott hlmz is megszáml mlálhtó. A rcionális számok hlmz megszáml mlálhtó. Figyelem: ez zt jelenti, hogy ugynnnyi rcionális szám m vn, mint hány pozitív v egész szám! Mtemtik I. Felsıfokú Szkképzés 57

Az elıbbi állítás s bizonyításához elısz ször r belátjuk, hogy pozitív rcionális számok hlmz megszáml mlálhtó: Alkossuk meg következk vetkezı elrendezést: / / / 4/ / / / 4/ / / / 4/ /4 /4 /4 4/4 Járjuk be táblt bláztot átlósn! Hgyjuk ki táblt bláztból l z egyszerősíthet thetı törteket blr tolv sort! A mrdék k táblt bláztbn minden pozitív v rcionális szám m egyszer szerepel. Mtemtik I. Felsıfokú Szkképzés 58

Ugynezt rendezést elvégezhetj gezhetjük k negtív v rcionális számokr is, és s lklmzzuk két k t megszáml mlálhtó hlmz egyesítésére kimondott tételt! telt! H fenti kiinduló tábláztbn p/q lkú törtek helyére (p,q( p,q) ) lkú rendezett párokt p írunk, kkor zt kpjuk, hogy pozitív v egész számokb mokból l képezhetk pezhetı rendezett párok p hlmz is megszáml mlálhtó. Mtemtik I. Felsıfokú Szkképzés 59

Kontinuum számoss mosságú hlmzok Vizsgáljuk meg vlós s számok hlmzát, és s bevezetıként tegyük fel, hogy ezek számok is megszáml mlálhtón n végtelen v hlmzt lkotnk. Ekkor (0,) intervllumb esı vlós s számok hlmz mint vlós számok hlmzánk végtelen v részhlmz r megszáml mlálhtó. Ezért ebbe z intervllumb esı elemek soroztb rendezhetık. Legyen sorozt tgjink tizedestört kifejtése következk vetkezı: = 0,... = 0, 4... hol nk z n-edik vlós s szám k-dik tizedes jegyét t jelöli. li. = 0, 4 4... Mtemtik I. Felsıfokú Szkképzés 60

Most állítsuk elı b = számot következk vetkezıképpen: 0, bb bb4... b -et úgy válsztjuk, v hogy b. Ezért b. b -et úgy válsztjuk, v hogy b. Ezért b. b -et úgy válsztjuk, v hogy b. Ezért b. és így tovább bb Olyn számot konstruáltunk tehát, t, mely nincs megszáml mlálhtónn végtelen sok szám m között. k Mivel ilyen konstrukcióból l végtelen v sok készíthetı,, ezért (0,) intervllum vlós s számink hlmz nem megszáml mlálhtón n végtelen. v Egy olyn hlmzhoz jutottunk, melyben z elemek szám többt bb, mint megszáml mlálhtón n végtelen v számoss mosságú hlmzok elemszám m. Mtemtik I. Felsıfokú Szkképzés 6

Ez csk kkor lehet, h z irrcionális számok hlmz sem meg- száml mlálhtó. A végtelennek v ezt másik m fokoztát Cntor nyomán konti- nuumszámoss mosságnk nevezzük. A vlós s számok hlmz tehát t nem megszáml mlálhtó. Cntor: LétezikL tezik-e e olyn számoss mosság, mely végtelen v számoss mosságnál ngyobb, de kontinuumszámoss mosságnál l kisebb? P. Cohen (96): A kérdk rdés s hlmzelmélet let xiómáib iból l nem cáfolhtó meg, de bizonyítni sem lehet. Létezik-e e kontinuumszámoss mosságnál l ngyobb számoss mosság? Mtemtik I. Felsıfokú Szkképzés 6

Egy A hlmz összes részhlmzink r hlmzát t z A htványhl nyhl- mzánk nevezzük. Jele: P(A). Bizonyítht thtó,, hogy minden A hlmzr A < P(A). Következmény: Minden számoss mosságnál l vn ngyobb számoss mosság. A tételnek t telnek olyn következmk vetkezményei vnnk, melyek ntinómi miához vezetnek. Az ntinómi olyn állítás, melynek z igzság is és s tétel t tel tgdás is bizonyítht thtó Mtemtik I. Felsıfokú Szkképzés 6

Reláci ciók, függvf ggvények A mindennpi életben kpcsoltok vesznek körül k l bennünket: nket: Szülı gyermek Adós hitelezı Eldó vevı stb A mtemtik többek között k tnulmányozz nyozz hlmzok ill. zok elemei közötti k kpcsoltokt. Ezeket reláci cióknk nevezzük. Jelölése: R b (( reláci cióbn vn b-vel). Mtemtik I. Felsıfokú Szkképzés 64

Pl. Legyen H = {,,, 4, 5}. Az R b jelentse: kisebb b-nél. Elısz ször ábrázoljuk reláci ciót t egy ábrávl, melyben pontok jelölik lik számokt, és s nyilk reláci ciót: H reláci cióbn vn b-vel, kkor -ból l irány nyított nyíl l (él)( mutt b-be: be: 5 4 Mely számokt jelölik lik z egyes pontok? Mtemtik I. Felsıfokú Szkképzés 65

Pl. Legyen H = {,, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 0}. Az R b jelentse: osztój b-nek. Az ábránkon z elızıhöz z hsonlón n h reláci cióbn vn b-vel, kkor -ból l irány nyított nyíl l (él)( mutt b-be. be. Vegyük k figyelembe, hogy bármely N + -r:.. (Ezt egy hurok éllel jelölj ljük.) 8 0 4 5 Mely számokt jelölik lik z egyes pontok? 6 9 7 Mtemtik I. Felsıfokú Szkképzés 66

Binér r (kételem telemő) ) reláci ció Az A és B hlmzok közötti k binér R reláci ció z (,( b) (( A, b B) rendezett párok p egy részhlmz. r A részhlmznk r zon (,( b) párok p lesznek z elemei, melyekre R b teljesül. l. Áltlánosn foglmzv: reláci ció két t vgy több t hlmz Descrtesféle szorztánk egy részhlmz. r Pl. Legyen A = {,, 6} és B = {0,, 4, 5}. Htározzuk meg z + b < 7 reláci ció elemeit, hol A, b B. 0 4 5 (, 0) (, ) (, 4) (, 5) (, 0) (, ) (, 4) (, 5) 6 (6, 0) (6, ) (6, 4) (6, 5) Mtemtik I. Felsıfokú Szkképzés 67

Egy reláci ciót t meghtározhtunk Az lphlmz és s vlmely tuljdonság g megdásávl A reláci cióhoz trtozó rendezett párok p felsorolásávl Gráffl Táblázttl A mtemtik gykrn csk egy hlmz elemei közötti k reláci ciókkl fogllkozik. Ilyenkor z A A szorzthlmz részhlmzit r kell megdni. Mtemtik I. Felsıfokú Szkképzés 68

Binér r reláci ciók k tuljdonsági H R H hlmzon értelmezett reláci ció, és s z R hlmz minden elemére teljesül, l, kkor z R reláci ció reflexív. Példák k reflexív v reláci ciókr: A pozitív v természetes számok hlmzán: osztój b-nek. A sík s k vlmennyi egyenesének nek hlmzán: párhuzmos b-vel. A vlós s számok hlmzán: egyenlı b-vel. Hogyn néz n z ki reláci ció,, h zt táblt bláztosn vgy gráffl djuk meg? Mtemtik I. Felsıfokú Szkképzés 69

h h h h 4 h 5 h h h h 4 h 5 h h h 5 h h 4 Mtemtik I. Felsıfokú Szkképzés 70

Egy H hlmzon értelmezett R binér r reláci ciót t kkor mondunk szimmetrikusnk,, h bármely b,b H-r R b és b R egyránt fennáll. Példák k szimmetrikus reláci ciókr: A pozitív v természetes számok hlmzán: egyenlı b-vel. A sík s k vlmennyi háromszh romszögének hlmzán: hsonló b-hez. A sík s k vlmennyi egyenesének nek hlmzán: merıleges b-re. A vlós s számok hlmzán: nem egyenlı b-vel. Hogyn néz n z ki reláci ció,, h zt táblt bláztosn vgy gráffl djuk meg? Mtemtik I. Felsıfokú Szkképzés 7

h h h h 4 h 5 h h h h 4 h 5 h h h 5 h h 4 Mtemtik I. Felsıfokú Szkképzés 7

Antiszimmetrikusnk nevezünk nk egy reláci ciót, h bármely b,b H-r z R b és s b R reláci ciók k közül k l legfeljebb z egyik áll fent. H z R reláci ció jelenlétét t kizárjuk, kkor szigorú értelemben ntiszimmetrikus reláci ció,, ellenkezı esetben tágbb értelemben ntiszimmetrikus. Példák k szigorún ntiszimmetrikus reláci ciókr: A pozitív v természetes számok hlmzán: kisebb b-nél. A vlódi részhlmz r B-nek. A természetes számok hlmzán: rákövetkezıje b-nek. A szigorún ntiszimmetrikus trtlmz hurkot. reláci ció gráfreprezent freprezentációj nem Mtemtik I. Felsıfokú Szkképzés 7

Egy H hlmzon értelmezett R binér r reláci ciót t kkor mondunk trnzitívnk vnk,, h bármely b,b,c H-r R b és b R c-bıl l következik, k hogy R c. Példák k trnzitív v reláci ciókr: A pozitív v természetes számok hlmzán: kisebb b-nél. A pozitív v természetes számok hlmzán: osztój b-nek. A sík s k vlmennyi háromszh romszögének hlmzán: hsonló b-hez. A sík s k vlmennyi egyenesének nek hlmzán: párhuzmos b-vel. Az A részhlmz B-nek (A( B). Mtemtik I. Felsıfokú Szkképzés 74

Ekvivlencireláci ciók A reflexív, szimmetrikus és s trnzitív v reláci ciót ekvivlencireláci ciónk nevezzük. Jelölése: ~ b. Pl. Legyen H egy cég c összes dolgozóink hlmz. Az R b jelentse zt, hogy ugynzon z emeleten dolgozik, mint b. Világos, hogy ez reláci ció reflexív, mert R. szimmetrikus, mert h R b, kkor b R. trnzitív, hiszen R b és b R c, kkor R c. További példp ldák: A pozitív v természetes számok hlmzán: egyenlı b-vel. A sík s k vlmennyi egyenesének nek hlmzán: párhuzmos b-vel. A részhlmz B-nek (A( B). Mtemtik I. Felsıfokú Szkképzés 75

Egy nevezetes ekvivlenci reláci ció kongruenci reláci ció: : Legyen,b Z és m N. b (mod m) Olvsv: kongruens b-vel modulo m.. Jelentése: és b m-mel mel osztv ugynzt mrdékot dj. Azok számok, melyek kongruensek egymássl (modulo m), zok egy mrdékoszt kosztályb trtoznk. Tétel: A mrdékoszt kosztályok z egész számok hlmzánk diszjunkt részhlmzit lkotják, k, h m-et rögzr gzítjük. Bizonyítsuk be (esetleg gykorlton), hogy kongruenci ekvi- vlencireláci ció. Mtemtik I. Felsıfokú Szkképzés 76

Ekvivlenciosztályok lyok Legyen R T hlmzon értelmezett ekvivlencireláci ció, és s legyen T.. Az ekvivlenciosztály lyánk nevezzük T-nek z -vl ekvi- vlens elemeinek hlmzát, zz z -vl reláci cióbn lévıl elemek hlmzát. Jelölése: T(). (T()( T ). Tétel: Legyen,b T, és b.. H T()-nk és T(b)-nek vn nem üres metszete, kkor két k ekvivlenciosztály ly megegyezik Tegyük k fel, hogy T() és T(b) ekvivlenciosztályoknk lyoknk vn közös k eleme. Legyen ez x. Mivel x T() és x T(b), ezért x ~ és x ~ b egyidejőleg. Így trnzitivitás s mitt ~ b., ezért T(b), mi mitt T() T(b). Hsonlón n megmutthtó,, hogy T(b) T(). Így T() ) = T(b). Mtemtik I. Felsıfokú Szkképzés 77

Következmény: Két K t különbk nbözı ekvivlnciosztály ly metszete z üres hlmz. Egy ekvivlenciosztályt lyt bármely eleme meghtározz. H T z lphlmz, kkor T* * jelöli li T hlmzhoz trtozó ekviv- lenciosztályok lyok hlmzát. Péld. Legyen T z egész számok hlmz. Az egész számokt írjuk tört t lkb, és s T hlmzon értelmezzük k következk vetkezı reláci ciót: ω Rω', hol ω = / b és ω' = ' / b' b és b' b = ' b, b 0, b' 0. 6 Ezért példp ldául R. 5 0 Lássuk be, hogy z így definiált reláci ció reflexív, szimmetrikus és trnzitív. (Azz ekvivlencireláci ció.) Htározzuk meg z ekvivlenciosztályok lyok számát! Mtemtik I. Felsıfokú Szkképzés 78

Vnnk más m s reláci ciók k is, melyek tuljdonsági mitt kitüntetett figyelmet érdemelnek. A H hlmzt rendezettnek mondjuk, h elemein értelmezve vn egy b reláci ció,, mely rendelkezik z lábbi tuljdonságokkl: hmis (irreflexivitás) h b igz, kkor b hmis (sszimetri) h b igz, és b c igz, kkor c igz (trnzitivitás) h b, kkor z b és s b közül l leglább z egyik igz (trichotómi). Mtemtik I. Felsıfokú Szkképzés 79

A természetes számok hlmz, rcionális számok hlmz és s vlós s számok hlmz rendezett < ( > ) reláci ciór nézve. n Egy rendezett hlmzt jólrendezettnek mondunk, h bármely b nem üres részhlmzr szhlmzánk vn kezdı eleme, zz olyn eleme, melyet z dott rendezés s szerint z dott részhlmz r egyetlen eleme sem elız z meg. Példák A természetes számok ngyság g szerint rendezett hlmz jólrende- zett. A rcionális és s vlós s számok hlmz nem jólrendezett j hlmz. Bizonyítsuk be, hogy rcionális számok hlmz nem jólrendezett! j Mtemtik I. Felsıfokú Szkképzés 80

Függvények H vlmely A hlmz elemeihez dott utsítás s szerint egy B hlmz elemeit rendeljük k hozzá úgy, hogy A minden elemének megfeleltünk leglább egy B-beli elemet, kkor zt mondjuk, hogy z A hlmzt leképezz pezzük B hlmzr vgy hlmzb. H B hlmz összes elemét t megfeleltjük A elemeinek, kkor B hlmzr képezünk. H B hlmz egy részhlmzr szhlmzát t feleltjük k meg A elemeinek, kkor B hlmzb képezünk. Az A-t tárgyhlmznk,, elemeit tárgyelemeknek nevezzük. Az B-t képhlmznk,, elemeit képelemeknek nevezzük. A leképez pezést hozzárendel rendelési elıírás és s tárgyhlmz t egyértelm rtelmően en meghtározz. Jelölése: φ: A B, vgy φ(), h A. Mtemtik I. Felsıfokú Szkképzés 8

H minden A-r (;( φ()) A B, kkor φ reláci ciót leképez pezés- nek nevezzük. A φ és δ leképez pezéseket kkor tekintjük egyenlınek nek,, h bármely b A esetén φ() ) = δ(). A leképez pezéseket tárgyelemekhez t rendelt képelemek k szám, ill. képelemekhez rendelt tárgyelemek t szám szerint osztályozhtjuk: H minden egyes képelemnek k csk egy tárgyeleme t vn, kkor leképez pezés egy-egy egyértelmő vgy kölcsönösen sen egyértelm rtelmő. A B Mtemtik I. Felsıfokú Szkképzés 8

H vlmely képelemnek k több t tárgyeleme t vn, kkor leképez pezés több-egyértelmő. A B Pl. háromszh romszögek terület letük Mtemtik I. Felsıfokú Szkképzés 8

H több t képelemnek k egy tárgyeleme t vn, kkor leképez pezés egytöbbértelmő. A B Pl. ny gyerekei Mtemtik I. Felsıfokú Szkképzés 84

H több t képelemnek k több t tárgyeleme t is lehet, kkor leképez pezés több-többértelmő. A B Pl. tuljdonosok cégek Mtemtik I. Felsıfokú Szkképzés 85

A függvf ggvény mint leképez pezés Legyen dott két k t hlmz, A és B. Függvénynek nevezünk nk minden olyn binér r (kételem telemő) ) reláci ciót, mely z A hlmz minden elemének B hlmz egyetlen elemét t felelteti meg. Következmény: Minden függvf ggvény reláci ció,, de nem minden reláci ció függvény: függvf ggvény egy A hlmznk egyértelm rtelmő leképez pezése egy B hlmzr. Az A hlmzt függvf ggvény értelmezési trtomány nyánk,, B hlmzt függvény értékkészletének nevezzük. A függvf ggvénykpcsolt jelölése: y = f(x). Mtemtik I. Felsıfokú Szkképzés 86

A fentiek értelmében egy függvf ggvény kkor vn pontosn meghtározv, h megdjuk Az értelmezési trtományt (z A hlmzt) z értékkészletet ( B hlmzt) A hozzárendel rendelést, zz zt leképez pezést, mely minden x A elemet társt rsít t egy y B elemmel. H B minden eleme képe k z A hlmz egy elemének, kkor z f függvényt szürjekt rjektívnek nevezzük. H z A hlmz két k t különbk nbözı elemének mindig különbk nbözık k B- beli képei, k kkor leképez pezés injektív. H egy függvf ggvény egyszerre szürjekt rjektív és s injektív v (zz kölcsönösen sen egyértelm rtelmő), kkor bijektív. Mtemtik I. Felsıfokú Szkképzés 87

A függvf ggvények ábrázolás, megdás A függvf ggvények, mint speciális binér r reláci ciók k megdását t négy n módon m végezhetjük: utsítás táblázt Descrtes digrm Venn digrm Függvények ábrázolás utsítássl ssl Például: f: R R, f(x) ) = x. Mtemtik I. Felsıfokú Szkképzés 88

Függvények megdás táblt blázttl b b b b 4 b 5 + + 4 5 + + + hol i A és b i B, i =,,,5.,5. Mtemtik I. Felsıfokú Szkképzés 89

Függvények megdás Descrtes digrmml Vegyük észre, hogy digrm elkész szítését t egy y = (x-)( függvény- kpcsolt lpján n végeztv geztük k el. Mtemtik I. Felsıfokú Szkképzés 90

Függvények megdás Venn digrmml A B A két k t hlmzt zárt z síkidombn s elhelyezett pontok ábrázolják. Minden pontot nyíl l köt k össze képével. k A kiinduló hlmz minden pontj egyetlen nyíl l kiindulópontj. Mtemtik I. Felsıfokú Szkképzés 9

Az összetett függvf ggvény Legyen dott három h hlmz, A, B, C, C és s legyen f z A egy leképez pezése B-be, és g B leképez pezése C-be. Feleltesse meg f z A minden elemének B egy és s cskis egy y elemét, és s feleltesse meg g B ezen y elemének C egy és s cskis egy z elemét. Így z A minden x elemének megfelel C egy és s cskis egy z eleme. Az így definiált hozzárendel rendelés s leképezte z A hlmzt C hlmzb: z = g(f(x)). g Ez z új j leképez pezés s z f és g függvénybıl álló összetett leképez pezés, két t leképez pezés s szorzt. Jelölése: g f. Az f és g leképez pezések g f szorztán z f és g leképez pezések egymás utáni végrehjtv grehjtását értjük k ebben sorrendben. (Az f függvény értékkészletét t trtlmzni kell g függvény értelmezési trtomány nyá- nk!) Mtemtik I. Felsıfokú Szkképzés 9

Tétel: : Két K t leképez pezés összetétele tele nem kommuttív. Péld: Legyen f : R R, f(x) ) = x, g : R R, g(x) ) = cos x. Ekkor g f = cos (x( ) és f g = cos x. Ábrázoljuk két k t függvf ggvényt! Mtemtik I. Felsıfokú Szkképzés 9

Inverz függvf ggvény Az f: A B létesítsen tsen z A és B elemei között k kölcsk lcsönösen sen egyértelm rtelmő hozzárendel rendelést. Ekkor B minden eleme egyetlen A-beli elemnek képe, k zz minden y B-hez trtozik egyetlen x A úgy, hogy y = f(x). Így B-n értelmezett g függvényt kptunk: g: B B A. H y B,, kkor g(y) ) z z egyértelm rtelmően en meghtározott x A, melyre f(x) ) = y. Ezt függvf ggvényt z f függvény inverz függvf ggvényéneknek nevezzük. Jelölése: f -. H f - z f függvény inverze, kkor f értelmezési trtomány z f - függvény értékkészlete, és f értékkészlete z f - értelmezési trtomá- ny. Mtemtik I. Felsıfokú Szkképzés 94

H z (x,( f(x)) z f grfikonjánk nk egy pontj, kkor z (f(x),( x) ) z f - függvény grfikonjánk nk egy pontj, zz két k t függvf ggvény grfikonji egymásnk tükörkt rképei, hol tükrt krözés s tengelye z y = x egyenes. f : R R, f(x) ) = x, f - (x)) = log x, f(x) ) = x f - (x)) = log x Mtemtik I. Felsıfokú Szkképzés 95

Rekurzív v soroztok Oldjuk meg következk vetkezı feldtot: : Hány H nyúl l szármzik egyetlen pár p nyúlt ltól, l, h tudjuk, hogy minden pár p r hvont új j párnk p d életet, és z újszülött nyulk két k t hónpos h koruktól l lesznek szülıképesek? hónp 4 5 6 7 8 9 0 nyúlp lpár 5 8 4 55 Fiboncci sorozt: n = n- + n- n = 5 + 5 n 5 n Mtemtik I. Felsıfokú Szkképzés 96

A Fiboncci-sorozt néhány ny tuljdonság: A sorozt n.. eleme -gyel ngyobb, mint z elsı n- elem összege. n kkor oszthtó -vel, h h n = k lkú. 4 oszój n -nek,, h n = 6k lkú. Nyitott problém: A Fiboncci-sorozt soroztbn véges v sok, vgy végtelen v sok prímsz mszám m vn-e? Mtemtik I. Felsıfokú Szkképzés 97

Az ítélet mint függvf ggvény Az táncolt b-vel reláci ció egy lphlmzon értelmezett tuljdonság. H z (,b(,b) ) párr p tuljdonság g fennáll zz z állítás s igz kkor pár p r reláci cióhoz trtozik. Az így elıáll llított függvf ggvény értelmezési trtomány z összes lehetséges párok p hlmz, z A B hlmz. A szorzthlmz minden eleméhez egy igz vgy egy hmis érték trtozik. Ezért kpott függvf ggvény minden elempárhoz egy logiki értéket rendel. Az így kpott függvf ggvényt kijelentésf sfüggvénynek (predikátumf tumfügg- vénynek) nevezzük. Mtemtik I. Felsıfokú Szkképzés 98

A mtemtiki logik lpji A logik gondolkodás s tárgyt rgyát t képezk pezı konkrét t problémákt któl, trtlmi informáci cióktól l elvontkoztt, és s gondolkodási folymt elemeinek, megállp llpításink közös, k következtetk vetkeztetés szempontjából l lényeges l trtlmát t hsználj fel. Ez közös k s trtlom, vgy közös k s jellemzı z állítások igzságért rtéke, mi ltt klsszikus kétértk rtékő logikábn zt tényt érjük, hogy egy állítás s igz vgy nem igz (hmis). A logikánk zt z ágát, mely fenti módon m közelk zelíti gondolkodás s kérdk rdéseit klsszikus kétértékő logikánk nevezzük.(ez zt jelenti, hogy klsszikus kétértk rtékő logik számár z állítások két k t lehetséges igzságért rtéke z lp. Ez z igzságért rték k bizonytlnságot nem trtlmz, két k t igzságért rték kizárj egymást. st.) Mtemtik I. Felsıfokú Szkképzés 99

Egy megállp llpítást logik szempontjából l kkor tekintünk nk állításnk, h eldönthet nthetı ról, hogy igz vgy hmis. Többértékő logikák k létezl tezése: fuzzy logik. A mtemtiki logikát t elsısorbn sorbn mtemtiki kuttásokbn lklmzzák, k, de mindennpi élet és s kuttások minden olyn terület letén n hsználht lhtó,, hol z igzságért rték mint bsztrkció elfogdhtó. Így számítástudom studomány és s mesterséges intelligenci is lklmzz mtemtiki logikát. A mtemtiki logik kiemelkedı lkji: Gottfried Wilhelm Leibnitz (646 76) George Boole (85 864) Mtemtik I. Felsıfokú Szkképzés 00

Állításon vgy kijelentésen olyn kijelentı mondtot értünk, mely egyértelm rtelmően en igz vgy hmis. Egy állítás s egyidejőleg nem lehet igz is és s hmis is (ellentmondástlns stlnság g elve). Egy állítás s nem lehet sem nem igz sem nem hmis (kizárt hrmdik elve). Vnnk olyn kijelentések, melyekkel logik nem fogllkozik: x < 5, mert dott x nélkül l z állításnk nincs meghtározott igzságértéke. z út t holnp csúsz szós s lesz,, mert z dott pillntbn nem dönthetı el z állítás. z zért,, mert típusú állítások. Mtemtik I. Felsıfokú Szkképzés 0

Mőveletek állításokkl, logiki értékekkel Logiki mőveletenm olyn eljárást értünk, mely egy vgy több t kijelentésb sbıl l (ezek mővelet m tgji) olyn kijelentést képez k (ez mővelet eredménye), melynek igz vgy hmis voltát t tgok igz, ill. hmis volt egyértelm rtelmően en meghtározz. A mőveleteket egy-,, két-, k, háromh rom-, n-változósnk nevezzük szerint, hogy egy-,, két-, k, háromh rom-, n kijelentésb sbıl l képeznek k új kijelentést. Az állítások körében k is elegendı logiki értékek közötti k mőveleteket tisztázni. zni. Mtemtik I. Felsıfokú Szkképzés 0

Negáci ció Egy p kijelentés negáci cióján n (tgdásán) nem igz, hogy p kijelentést (vgy ennek egy nyelvtnilg átfoglmzott lkját) értjük. A A számítógép p nem síkidoms kidom. Ez egy egyváltoz ltozós ítélet, mely egy állítás s (ti. A A számítógép síkidom ) ) tgdásából áll. (Nem vizsgáljuk z eredeti állítás igzságtrtlm gtrtlmát.) t.) A negáci ció mőveletének igzságt gtábláj: p p i h h i Mtemtik I. Felsıfokú Szkképzés 0

Konjunkció Két t kijelentés, p és q konjunkcióján (összekpcsolásán) p és q kijelentést (vgy ennek egy nyelvtnilg átfoglmzott lkját) értjük. A A osztój -nek és s 4 osztój 6-nk. nk. Ez z állítás s igz, mert z elıtgj és s z utótgj tgj is igz. A konjunkció kkor és s csk kkor igz, h mindkét t tgj igz. Jelölése: p q. A konjunkció mőveletének igzságt gtábláj: p q p q i i i i h h h i h h h h Mtemtik I. Felsıfokú Szkképzés 04

Diszjunkció Két t kijelentés, p és q diszjunkcióján (szétv tválsztásán) p vgy q kijelentést (vgy ennek egy nyelvtnilg átfoglmzott lkját) értjük. (Megengedı értelmő összekpcsolás.) s.) Tejet vgy kkót t reggelizünk. nk. Ez z állítás s kkor igz, h leglább z egyik tgj igz. Jelölése: p q. A diszjunkció mőveletének igzságt gtábláj: p q p q i i i i h i h i i h h h Mtemtik I. Felsıfokú Szkképzés 05

Az ítéletklkulusbn logiki értékeket, logiki változv ltozókt és s rjtuk végzett v mőveleteket m leíró jelsoroztokt z ítéletklkulus formuláink nevezzük. Két formulát t zonosnk nevezünk nk,, h két k t formul benne szereplı változók k minden lehetséges értékére re ugynzt logiki értéket állítj elı. Péld: A (B C ) = A A bizonyítás s bból áll, hogy kimuttjuk z A ( A B ) állítás s kkor és s csk kkor igz, mikor z A állítás. Elegendı zt bebizonyítni, hogy z állítások változv ltozók k logiki értékeire megegyeznek. Mtemtik I. Felsıfokú Szkképzés 06

Tehát t zt kell igzolnunk, hogy p, q tetszıleges állítások esetén n fönnáll-e e p = p (p q ) egyenlıség. g. Készítsük k el z igzságt gtábláztot: p q r = p q p r i i i i i h h i h i h h h h h h Mivel táblt bláztunk elsı és s utolsó oszlop megegyezik, ezért z állításunk igz. Mtemtik I. Felsıfokú Szkképzés 07

Tétel: Bármely logiki mővelet m kifejezhetı negáci ció és s konjunkció mőveletével. vel. Nem bizonyítjuk, de megmuttjuk z elıáll llításokt: p q = ( p q ) p q p q p q ( p q ) i i h h i i i h h i i i h i i h i i h h i i h h Mtemtik I. Felsıfokú Szkképzés 08

Logiki vgy : kommuttív: p q = q p A logiki mőveletek m tuljdonsági sszocitív: (p( q) r = p (q r) disztributív: p (q r) = (p( q) (p r) idempotens: p p = p Logiki és : kommuttív: p q = q p sszocitív: (p( q) r = p (q r) disztributív: p (q r) = (p( q) (p r) idempotens: p p = p Mtemtik I. Felsıfokú Szkképzés 09

További logiki mőveletekm A p kkor q lkú kifejezéseket implikáci ciónk nevezzük. (Itt p z elıtg és q z utótg.) tg.) H részvr szvények ár csökken, kkor nem dom el ıket. ket. (Amennyiben részvr szvények ár nem csökken, kkor igznk tekintjük k z állítást kár r eldtm részvr szvényeket, kár r nem, mert erre vontkozón n nem mondtunk elıre.) Jelölése: p q. Az implikáci ció mőveletének igzságt gtábláj: p q p q i i i i h h h i i h h i Mtemtik I. Felsıfokú Szkképzés 0

Tétel: Az implikáci ció nem kommuttív és s nem sszocitív v mővelet. m Az implikáci ció kifejezése diszjunkcióvl és s negáci cióvl: p p q p q i h i i i h h h h i i i h i h i p q p q i i i i h h h i i h h i Ezért: p q = p q. Amennyiben figyelembe vesszük k z implikáci ció kifejezhetıségét t negáci cióvl és s konjunkcióvl, zt kpjuk, hogy: p q = (p q). Mtemtik I. Felsıfokú Szkképzés

A h p kkor q, és s h q kkor p p ekvivlenciánk nk nevezzük. lkú kifejezéseket Egy négyszn gyszög g kkor és s csk kkor húrnh rnégyszög, g, h szemközti zti szögeinek összege 80. (Figyeljük k meg, hogy itt két k állítást tettünk egyszerre.) Jelölése: p q. A definíci ció szerint p q = (p q) ( q p) Az ekvivlenci mőveletm veletének igzságt gtábláj: p q p q p q = (p q) ( q p) p q = ( p q) ( q p) p q = (p q) ( p q) i i i i h h h i h h h i Mtemtik I. Felsıfokú Szkképzés

A nem igz, hogy h p kkor q, és s h q kkor p p lkú kifejezéseket ntivlenciánk nk nevezzük. A mővelet m kizáró vgy ismert (XOR). Az ntivlenci kkor és csk kkor igz, h két k állítás s logiki értéke különbk nbözı. Jelölése: p q. A mővelet m z igzságt gtábláztból l kizárj zokt z eseteket, melyekben mindkét állítás s igz, tehát t formálisn z ekvivlenci tgdását t jelenti. p q = (p q ) Az ntivlenci mőveletm veletének igzságt gtábláj: p q p q p q = q p p q = (p q ) p q = (p q) ( p q) p q = ( p q) (p q) i i h i h i h i i h h h Mtemtik I. Felsıfokú Szkképzés

A sem p sem q lkú összetett kifejezéseket sem-sem (Webb-féle) mőveletnek nevezzük. A mővelet m diszjunkció tgdás (NOR). Jelölése: p q. Érvényes következk vetkezı zonosság: p q = (p q ) A Webb-féle mővelet m igzságt gtábláj: p q p q p q = q p i i h i h h h i h h h i Mtemtik I. Felsıfokú Szkképzés 4

A nem p vgy nem q lkú kifejezéseket Sheffer-féle mőveletnek m nevezzük. Vgy iszik z ember vgy vezet. A mővelet m konjunkció tgdás (NAND). Ebben z esetben két k t kijelentés s közül k l legfeljebb z egyik igz. Jelölése: p q. Érvényes következk vetkezı két t zonosság: p q = (p q ) p q = p q Az Sheffer-féle mővelet m igzságt gtábláj: p q p q i i h i h i h i i h h i Mtemtik I. Felsıfokú Szkképzés 5

A logiki függvf ggvény foglm Az eddigiekben kétvk tváltozós s mőveleteket m vizsgáltunk, melyek tekinthetık k kétvk tváltozós s függvf ggvényeknek is. Ebben z esetben z értelmezési trtomány z {i,{ h} hlmz és s z értékkészlet is z {i,{ h} hlmzból l vló. Legyen i = és n = 0. Az ilyen típust pusú függvényeket igzságf gfüggvénynek vgy Boolefüggvénynek nevezzük. A kétvk tváltozós s Boole-függv ggvények mintájár definiálht lhtó z n- változós s Boole-függv ggvény is: ekkor mind z értelmezési trtomány, mind z értékkészlet egy olyn szám n-es, melynek elemei {0, } hlmzból l szármznk. Mtemtik I. Felsıfokú Szkképzés 6

Hány drb n-változós s Boole-függv ggvény vn? Az értéktábláztnk n oszlop vn, és s minden helyre vgy 0-t 0 t vgy -et írunk. Ezért összesen n sorunk lesz. Minden sorbn kétfk tféle módon m válszthtjuk v meg függvényértéket, ti. vgy 0-t 0 t vgy -t. Így Boole függvf ggvények szám: n. n n n. 4 4 6 8 56 4 6 6556 5 49496796 6 64,84 0 9 Mtemtik I. Felsıfokú Szkképzés 7

p 0 0 q 0 0 f f = q q mindig f 0 f = p q diszjunkció f 0 f = p q = p q implikáci ció f 4 0 0 f 4 = q q f 5 0 f 5 = q p = q p implikáci ció f 6 0 0 f 6 = p p f 7 0 0 f 7 = p q = (p q) ( q p) ekvivllenci f 8 0 0 0 f 8 = p q konjunkció f 9 0 0 0 0 f 9 = q q soh f 0 0 0 0 f0 = p q = (p q ) sem-sem f 0 0 0 f = (p q) = p q implikáci ció tgd f 0 0 f = q negáci ció f 0 0 0 f = (q p) = q p implikáci ció tgd f 4 0 0 f 4 = p negáci ció f 5 0 0 f 5 = p q ntivlenci f Mtemtik I. Felsıfokú Szkképzés 8 6 0 f 6 = p q = (p q ) Sheffer mőveletm tgdás tgdás

Normálform lformák és s függvf ggvényrendszerek A kétvk tváltozós s függvf ggvényeknél l láttuk, l hogy mindegyik felírht rhtó negáci ció,, konjunkció vlmint diszjunkció mőveleteinek segíts tségével. Megmutthtó ez érvényes z n-változós s Boole-függv ggvényekre is oly módon, hogy felírht rhtó egy olyn formul, mely z dott n változóból épül l fel, és s mőveletkm veletként,, és s logiki mőveleteket hsználjuk. Az így felírt formul értéke pontosn kkor lesz igz, mikor z átlkítndó függvény értéke is igz. A fenti állítást nem bizonyítjuk, hnem egy példp ldát t muttunk konstrukciór. r. Mtemtik I. Felsıfokú Szkképzés 9

x x x g(x,x,x ) 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 g(x,x,x ) = (x x x ) ( x x x ) ( x x x ) Mtemtik I. Felsıfokú Szkképzés 0

Eljárás-: olyn formulát állítottunk elı,, mivel z értéktáblázttl megdott igzságf gfüggvényt ki tudjuk fejezni. A formul jellemzıi: formul konjunkciók diszjunkciój j, minden konjunkciós tg vgy egy változv ltozó vgy nnk negáltj, minden diszjunkciós tgbn minden változv ltozó szerepel, ugynz változv ltozó egy konjunkcióbn csk egyszer szerepel, nincs két k t olyn diszjunkciós sorrendjében különbk nböznek. tg, melyek csk változv ltozók A fenti tuljdonságú formulát teljes diszjunktív v normálform lformánk nevezzük. Mtemtik I. Felsıfokú Szkképzés

x x x h(x,x,x ) 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 h(x,x,x ) = ( x x x ) (x x x ) (x x x ) (x x x ) Mtemtik I. Felsıfokú Szkképzés

Eljárás-: olyn formulát állítottunk elı,, mivel z értéktáblázttl megdott igzságf gfüggvényt ki tudjuk fejezni. A formul jellemzıi: formul diszjunkciók konjunkciój j, minden diszjunkciós tg vgy egy változv ltozó vgy nnk negáltj, minden konjunkciós tgbn minden változv ltozó szerepel, ugynz változv ltozó egy diszjunkcióbn csk egyszer szerepel, nincs két k t olyn konjunkciós sorrendjében különbk nböznek. tg, melyek csk változv ltozók A fenti tuljdonságú formulát teljes konjunktív v normálform lformánk nevezzük. Mtemtik I. Felsıfokú Szkképzés

A fenti két k t elıáll llítás s következmk vetkezménye, hogy három h mővelet m (,(, ) teljes függvf ggvényrendszert lkot, zz bármely b igzságf gfüggvény elıáll llíthtó ezek segíts tségével. Tétel: A negáci ció és s konjunkció (, ) önmgukbn is teljes függvényrendszert lkotnk. Biz. A tétel t tel állítás zonnl következik k bból, hogy diszjunkció kifejezhetı fenti két k t mővelet m segíts tségével: p q = ( p q ) Mtemtik I. Felsıfokú Szkképzés 4

Gykorlt nyg: A következtetk vetkeztetés Gykrn hsznált következtetk vetkeztetési szbályok Leválszt lsztási si szbály Elvevı szbály Hipotetikus szillogizmus Indirekt bizonyítás Kontrpozíci ció Mtemtik I. Felsıfokú Szkképzés 5

Logiki ármkörök Gykrn elıfordul, hogy dott elemekbıl l kell összeállítni ármkört rt oly módon, m hogy z elıre meghtározott gykorlti célt c elégítsen ki. A legegyszerőbb esetekben z ármkört rt ármforrásból, kpcsolókb kból és s fogysztókb kból l kell felépíteni. Soros kpcsolás s esetében nnk feltétele, tele, hogy z ármkörben rben árm folyjék k z, hogy mindkét t kpcsoló be legyen kpcsolv: x x Legyen x i értéke igz, h z x i kpcsoló bekpcsolt állpotbn vn. Annk logiki feltétele, tele, hogy lámp l égjen: x x. Mtemtik I. Felsıfokú Szkképzés 6

Párhuzmos kpcsolás s esetében nnk feltétele, tele, hogy z ármkörben rben árm folyjék k z, hogy leglább z egyik kpcsoló be legyen kpcsolv: x x Legyen x i értéke igz, h z x i kpcsoló bekpcsolt állpotbn vn. Annk logiki feltétele, tele, hogy lámp l égjen: x x. Mtemtik I. Felsıfokú Szkképzés 7

Az utomták A kibernetikábn bn (informtikábn) különfk nféle informáci ció átlkító eszközöket ket utomtáknk nevezzük. Egy utomtánk véges v sok bemenete vn, ezek kívülrk lrıl l kpják k z informáci ciót. Az utomt mőködése m úgy jellemezhetı,, hogy megdjuk kimeneteken megjelenı dtot bemenı dtok függvf ggvényében, zz megdjuk k drb kimeneti informáci ciót t leíró n-változós függvényeket (hol k kimenetek szám, n pedig bemenetek számánk felel meg). Az is nyilvánvl nvló,, hogy mind bemenetek mind kimenetek igzságf gfüggvények (z értékkészlete {0, } hlmzból l kerül l ki. Az utomták k ennél l bonyolultbbk, de nekünk nk most ennyi elég. Mtemtik I. Felsıfokú Szkképzés 8

Egyszerő véges utomtáknk nevezzük k zokt z elektronikus ármköri ri egységeket, geket, melyek z egyes logiki ármköröknek knek felelnek meg. Mivel minden logiki mővelet m elıáll llíthtó konjunkció,, diszjunkció és s negáci ció segíts tségével (ezek teljes függvényrendszert lkotnk), ezért ezek leggykrbbn lklmzott ármkörök. k. Jellemzıik: A konjunkciónk nk megfelelı ÉS S kpunk két t (esetleg több) t bemenete és s egy kimenete vn. A kimeneten kkor és s csk kkor vn impulzus ezt jelölj ljük k -gyel h mindegyik bemeneten vn impulzus. Jelölése: ÉS Mtemtik I. Felsıfokú Szkképzés 9

A diszjunkciónk nk megfelelı VAGY kpunk két t (esetleg több) t bemenete és s egy kimenete vn. A kimeneten kkor és s csk kkor vn impulzus ezt jelölj ljük k -gyel h leglább bemeneten vn impulzus. Jelölése: VAGY A negáci ciónk megfelelı NEM (INVERTER) kpunk egy bemenete és s egy kimenete vn. A kimeneten kkor és s csk kkor vn impulzus ezt jelölj ljük k -gyel h bemeneten nincs impulzus. Jelölése: NEM Mtemtik I. Felsıfokú Szkképzés 0

A digitális készk szülékek építıelemeinek legjelentısebb csoportját t z un. logiki ármkörök k lkotják. k. A logiki ármkörök k bármely b teljes logiki függvf ggvényrendszernek megfelelı ármkörökbıl így z ÉS, VAGY és s NEM ármkörökbıl felépíthet thetık. Péld A logiki kizáró vgy (XOR) normál l formáj: x x = ( x x ) (x x ) x NEM ÉS VAGY NEM ÉS x Mtemtik I. Felsıfokú Szkképzés

Gykorlt: Készítsük k el más m s logiki függvf ggvény ármkörét! Logiki progrmozás Nem kétértk rtékő logikák Mtemtik I. Felsıfokú Szkképzés

A lineáris lgebr lpji Oldjunk meg egy kétismeretlenes k lineáris egyenletrendszert! Induljunk ki z elsıfok fokú kétismeretlenes lineáris egyenletrendszer áltlános lkjából: l: x + b y = c x + b y = Az un. egyenlı együttht tthtók módszerét t fogjuk lklmzni: olyn konstnsokkl szorozzuk két k t egyenletet, hogy z egyenletek összedás s után n csk z x (ill. z y) ) mrdjon ismeretlenként nt z egyenletben. Az így kpott egyismeretlenes elsıfok fokú egyenletet már m egyszerően en megoldhtjuk. c Mtemtik I. Felsıfokú Szkképzés

Szorozzuk meg z elsı egyenletet b -vel, másodikt m (-b )-gyel, mjd djuk össze z egyenleteket. Azt kpjuk, hogy: ( b b x = c b c b Ebbıl l kpjuk: cb cb x = b b (Ennek kifejezésnek kkor vn csk értelme, h b b 0. ) Hsonlón n kpjuk, hogy ) y c c c c = =, h b b b b b b 0 Mtemtik I. Felsıfokú Szkképzés 4

Figyeljük k meg kpott megoldások szerkezetét! t! Mind száml mláló- bn,, mind nevezıben négyn gy-négy számb mból l zonos módon m képeztk peztünk egy új j számot. Vezessük k be erre mőveleti m utsításr sr következk vetkezı jelölést: b b b =. b Ezt z új j objektumot z,, b, b számokb mokból l képzett k másodrendő determinánsnk nsnk nevezzük. Azt mondjuk, hogy z, b elemek fıátló mentén, n, míg m g z, b elemek mellékátl tló mentén n fekszenek. Egy másodrendm sodrendő determináns ns értékét úgy számoljuk ki, hogy fıátlóbeli elemek szorztából l kivonjuk mellékátl tló mentén n fekvı számok szorztát. t. Mtemtik I. Felsıfokú Szkképzés 5

A másodrendm sodrendő determináns ns segíts tségével z egyenletek megoldási következı lkbn írhtók k fel: c b c hol D x = c c b b b b = D c x, y = = D b x =, Dy =, D = c b c Itt D-t t z egyenletrendszer determináns nsánk nk nevezzük. A D x (ill. D y ) determinánst nst D-bıl úgy kpjuk, hogy z x (ill. z y) együttht tthtóink helyébe beírtuk z egyenletrendszer jobb oldlán álló számokt. Mtemtik I. Felsıfokú Szkképzés 6 c b D y D, b b

Péld: és x + y x + y Most rendszer determináns: ns: D = = = 7 5 = 7 D x = = 8, Dy 5 = = 0. 7 =. 5 Ezért: x = D D x = 8 = 4, y = D y D = =. Helyettesítéssel ssel ellenırizz rizzük k z eredmény helyességét! Mtemtik I. Felsıfokú Szkképzés 7

A másodrendm sodrendő determináns ns tuljdonsági Tétel: A determináns ns értéke elıjelet vált, v h két k t sorát t (vgy két k oszlopát) megcserélj ljük. Biz. b b = ( b b ) = b b = b b, b b = ( b b ) = b b = b b. Következmény-: A determináns ns értéke nem változik, v h z elemeket fıátlf tlór tükrt krözzük. Mtemtik I. Felsıfokú Szkképzés 8

Következmény-: Minden olyn tétel, t tel, mely érvényes egy másodrenm sodrendő determináns ns sorir kimondv, érvényes mrd kkor is, h zt determináns ns oszlopir mondjuk ki. Tétel: H egy determinánst nst egy soránk minden elemét megszoroz- zuk egy k konstnssl, kkor determináns ns értéke k-szorosár r nı. n Biz. b k = k( b b ) = kb bk = b k b kb. Mtemtik I. Felsıfokú Szkképzés 9

Tétel: H másodrendm sodrendő determináns ns két k t sor elemrıl-elemre elemre meg- egyezik, kkor determináns ns értéke null. Biz. b b = b ( b ) = 0. Következmény-: H másodrendm sodrendő determináns ns egyik sor másik m soránk többszt bbszöröse, se, kkor determináns ns értéke null. Biz. k b kb = k b b = 0. Mtemtik I. Felsıfokú Szkképzés 40

Tétel: H másodrendm sodrendő determinánsbn nsbn vlmelyik sor (vgy oszlop) felbonthtó két t elem összegére, kkor determináns ns felírht rhtó két determináns ns összegeként. Biz. + + c c b b = ( + c ) b ( + c ) b = = b b ) + ( c b c ) ( b = = b b + c c b b. Mtemtik I. Felsıfokú Szkképzés 4

Tétel: Egy determináns ns értéke nem változik, v h egy soránk konstns-szoros szorosát t hozzádjuk másik m sorhoz. Biz. + k b + kb b = b b + k kb b = = b b + k b b = b b = b b. Mtemtik I. Felsıfokú Szkképzés 4

Gykorlt: Oldjuk meg 00. oldlon levı feldtot! Mtemtik I. Felsıfokú Szkképzés 4

Hrmdrendő determinánson nson következk vetkezı -s elrendezést értjük: melynek értékét t következk vetkezı képlettel számítjuk ki: = +. + Mtemtik I. Felsıfokú Szkképzés 44

Egy hrmdrendő determináns ns fıátlóján z és s z elemeket összekötı egyenes szkszt értjük: A determináns ns mellékátl tlój z és s z elemeket összekötı egyenes szksz. A determináns ns értékét t Srrus szbállyl htározhtjuk meg: + + Mtemtik I. Felsıfokú Szkképzés 45

Kifejtési Tétel: T A hrmdrendő determináns ns értéke kiszámítht thtó másodrendő determinánsok nsok súlyozott s összegeként. Biz. = + + ( ) + ( ) + ( ) + = = Mtemtik I. Felsıfokú Szkképzés 46

Egy hrmdrendő determináns ns ij eleméhez trtozó ldeterminánson nson zt másodrendm sodrendő determinánst nst értjük, melyet úgy kpunk, hogy elhgyjuk determináns ns i.. sorát és j.. oszlopát. Az ij elemhez trtozó Jelölése: A = Megjegyzés: Kifejtési TételbenT z ldetermináns ns elıjele +, h z indexek összege páros, p és s ( ),( h z indexek összege pártln. p Mtemtik I. Felsıfokú Szkképzés 47

Az elsıfok fokú három ismeretlenes egyenletrendszer Tekintsük k következk vetkezı egyenletrendszert! x + x + x = b x x + + x x Jelölj ljük k z egyenletrendszer determináns nsát D-vel, és s jelölje lje D i zt hrmdrendő determinánst nst,, melyet D-bıl úgy kpunk, hogy D i- dik oszlopát t z egyenletrendszer jobboldlán álló értékekkel helyettesítj tjük. Pl. b D = + + x x b b = = b b Mtemtik I. Felsıfokú Szkképzés 48

Tétel(Crmer szbály): H z egyenletrendszer determináns ns nem 0, kkor z egyenletrendszernek pontosn egy megoldás vn. Az i-dik ismeretlen értéke egy olyn törttel t egyenlı,, melynek nevezıje rendszer determináns, ns, száml mlálój pedig D i : x i Di =, i =,,. D Megjegyzés: A tétel t tel állítás igz n ismeretlenes egyenletrendszer esetén n is. Mtemtik I. Felsıfokú Szkképzés 49

Gykorlt: könyv k 0-04. 04. oldlon lévıl példák. Mtemtik I. Felsıfokú Szkképzés 50

Oldjuk meg következk vetkezı egyenletrendszert: x x + x = x + 8x 6x 6x + 0x + x Az egyenletrendszer determináns: ns: D = 6 8 0 6 = 5 Számoljuk most ki D i determinánsok nsok értékeit: = 4+ 7+ 0 48+ 8+ 60= 56 D = 5 8 6 04 D = 5 6 = 9 D = 0 = 4 0 6 = 4 4 Mtemtik I. Felsıfokú Szkképzés 5

Ezért z egyenletrendszer megoldás: x 04 56 = = = D D x 9 56 = = = D D 4 x 0 56 = = = D D 5 6 Az értékek visszhelyettesítésével vel ellenırizz rizzük k megoldás helyességét! Mtemtik I. Felsıfokú Szkképzés 5

A determináns ns foglmánk áltlánosításs n-ed rendő determinánsnk nsnk nevezzük k zt z n elembıl álló, n sorb és n oszlopb rendezett táblt bláztot, melynek értékét t következı- képpen számítjuk ki: M n M n K K O K hol A ij z ij elemhez trtozó (n-)-ed rendő ldetermináns. ns. n n M nn Megjegyzés: fenti kifejtést z ldeterminánsokon nsokon ddig folyttjuk, míg g másodrendm sodrendő ldeterminánsokhoz nsokhoz nem jutunk. (Rekurz( Rekurzív definíci ció) Mtemtik I. Felsıfokú Szkképzés 5 = n j= ( ) i+ j ij A ij

Az n-ed rendő determinánsokr nsokr érvényes tételek t telek I. A determinánst nst bármely b sor vgy oszlop szerint kifejtve ugynzt z eredményt kpjuk. A determináns ns értéke nem változik, v h elemeit fıátlf tlór tükrözzük. (Következm vetkezmény: sorokr kimondott tételek t telek érvényesek z oszlopokr is.) A determináns ns értéke elıjelet vált, v h két k t sorát t megcserélj ljük. H determináns ns két k t sor megegyezik, kkor determináns ns értéke zérus. z H determináns ns vlmely sor csup zérus z elemet trtlmz, kkor determináns ns értéke zérus. z H egy determináns ns vlmely soránk elemeit egy másik m sorhoz trtozó ldeterminánsokkl nsokkl szorozzuk, kkor kpott szorzt értéke zérusz Mtemtik I. Felsıfokú Szkképzés 54

Az n-ed rendő determinánsokr nsokr érvényes tételek t telek II. H determináns ns fıátlf tlój felett (ltt) csup zérus z elem áll, kkor determináns ns értékét t fıátlf tlóbeli elemek szorztából l megkp- htjuk. H egy determináns ns egy sorábn minden elem felbonthtó két elem összegére, kkor determináns ns felírht rhtó két t determináns ns összegeként. H determináns ns egy soránk minden elemét t megszorozzuk egy k konstnssl, kkor determináns ns értéke k-szorosár r növekszik. n (Következm vetkezmény: h determináns ns egyik sor egy másik m sor többszöröse, se, kkor determináns ns értéke zérus.) z A determináns ns értéke nem változik, v h vlmely sorához egy másik soránk konstnsszorosát t hozzádjuk. Mtemtik I. Felsıfokú Szkképzés 55

Htározzuk meg z lábbi determináns ns értékét: t: 4 8 8 0 4 = 4 8 0 4 = 4 4 5 6 = 6 6 6 6 6 6 5 6 6 = 0 Mtemtik I. Felsıfokú Szkképzés 56

Htározzuk meg z lábbi determináns ns értékét: t: 00 0 0 0 00 0 0 0 0 0 04 04 05 = 0 0 = 0 0 04 05 06 0 Htározzuk meg z lábbi determináns ns értékét: t: 0 0 0 0 0 0 0 0 0 = 0 0 05 Mtemtik I. Felsıfokú Szkképzés 57

Mátrixok Mátrixnk nevezünk nk n m drb tégllp t lkbn elrendezett vlós számot. Jelölése A(n,m) ) vgy A n m, hol n m mátrix típust pus, n mátrix sorink, m mátrix m oszlopink szám. A n m = M n M n A mátrixbn m tlálht lhtó ij számok mátrix elemei,, hol i-t sorindexnek, j-t t oszlopindexnek nevezzük. K K O K m m M nm Mtemtik I. Felsıfokú Szkképzés 58

Két t mátrixm kkor és s csk kkor egyenlı,, h zonos típust pusúk, és s z zonos helyen álló elemeik megegyeznek. Azz A = (( ij ) n m és B = (b( ij ) p q esetén A = B, h n = p és m = q, q tovább bbá ij = b ij minden i,j párr, hol i n, j m. Speciális mátrixok: m négyzetes (kvdrtikus) mátrix: m n = m. m sormátrix trix: n =. oszlopmátrix trix: m =. zérusmátrix: ij = 0, minden i,j párr. egységm gmátrix: ii = és ij = 0, h i j. szimmetrikus mátrixm trix: ij = ji ntiszimmetrikus mátrix: ij = - ji, h i j, és ii = 0 Az utolsó három definíci ció csk négyzetes n mátrixokr m érvényes! Mtemtik I. Felsıfokú Szkképzés 59

Mőveletek mátrixokklm Az A = (( ij ) n m és B = (b( ij ) n m mátrixok összegén zt C = (c( ij mátrixot értjük, melyre c ij = ij + b ij. Összedni csk zonos típust pusú mátrixokt lehet! Péld: ij ) n m + 4 = 5 4 4 Mtemtik I. Felsıfokú Szkképzés 60

Mátrixot egy λ sklárrl úgy szorzunk,, hogy mátrix m minden elemét szorozzuk konstnssl. H A = (( ij ) n m és λ egy vlós s szám, kkor C = (c( ij ) n m =λ A, h c ij = λ ij i n, j m. Péld: 6 = 9 Legyenek A, A,,, A n zonos típust pusú mátrixok, és s legyenek dottk k, k, k n konstnsok. Ekkor L = k A + k A +... + k kifejezést z A, A,,, A n mátrixok lineáris kombináci ciójánk nevezzük. Mtemtik I. Felsıfokú Szkképzés 6 n A n = n i = k i A i

Az A = (( ij ) n m és B = (b( ij ) p q mátrixokt ebben sorrendben konformábilisnek nevezünk, nk, h m = p. p Az A = (( ij ) n m és s B = (b( ij ) m l mátrixok szorztán zt C = (c( ij mátrixot értjük, melyre c ij = ib j + i b j + K + im b mj = m k = ik b kj ij ) n l Péld A B = 5 0 = 7 5 9 Tétel: A mátrixszorzm trixszorzás s nem kommuttív, és s nem zérusosztó-mentes, de sszocitív és s z összedásr sr nézve n disztributív. Mtemtik I. Felsıfokú Szkképzés 6

Az A = (( ij ) n m mátrix trnszponáltj ltján zt z Az A * = (( ji mátrixot értjük, melyre ij = * ji ji ) * m n Péld: A = 5 4 A = 4 5 Egy négyzetes A mátrix determináns nsán mátrix m elemeibıl l képzett k determinánst nst értjük. Jelölése: A vgy det A. Az A mátrixot regulárisnk risnk nevezzük, h det A 0. Az A mátrixot m szingulárisnk nevezzük, h det A = 0 Mtemtik I. Felsıfokú Szkképzés 6

Az E n n mátrixot egységm gmátrixnk nevezzük, h e ii =, és e ij = 0, h i j. Egy A = (( ij ) n n négyzetes mátrix m inverzén zt A - = (( ij mátrixot értjük, melyre igz, hogy AA = A A = E ij ) - n n Péld: A = A = 9 5 9 9 9 5 9 9 A mátrixszorzm trixszorzás s segíts tségével ellenırizz rizzük számítás s helyességét! Mtemtik I. Felsıfokú Szkképzés 64

Tétel: Legyen A invertálht lhtó mátrix, z inverzét t jelölje lje B=(b ij ). Ekkor fennáll, hogy i+ j ( ) det Aji bij =. det A hol A ji z A mátrix ji eleméhez trtozó djungált ldetermináns. ns. Péld: Számítsuk ki z A mátrix inverzét, h A = det A = = b + ) det A det A ( = = = b + ) det det A ( A = = = 0 0 b ( A = = = + ) det det A Mtemtik I. Felsıfokú Szkképzés 65

Mtemtik I. Felsıfokú Szkképzés 66 det det ) ( = = = + A A b = 0 B det det ) ( = = = + A A b det det ) ( = = = + A A b det det ) ( = = = + A A b det det ) ( = = = + A A b det det ) ( = = = + A A b = A

Mtemtik I. Felsıfokú Szkképzés 67 = A = = 0 0 0 0 0 0 0 AB = 0 B

Lineáris egyenletrendszerek Legyen A mxn egy mátrix, m b, b,, b m pedig sklárok. Lineáris egyenletrendszernek nevezzük k z lábbi egyenletrendszert L m x x x + + + x x m x + K+ + K+ Az n számot z ismeretlenek számánk nk,, míg m m-et z egyenletek számánk nevezzük. n n + K+ x mn n x n x = n = b = b b m Mtemtik I. Felsıfokú Szkképzés 68

Bevezetve z ismeretlenekbıl és s jobb oldli sklárokb rokból l képezettk x b x b X = B= M M x n b n oszlopmátrixokt (oszlopvektorokt), lineáris egyenletrendszert rövidített (mátrix lkbn megdott) formábn is felírhtjuk: AX = B A lineáris egyenletrendszerhez trtozó lpmátrix z A mátrix, míg m z un. bıvített lpmátrix trix: L n b L n b M M m m L mn bm Mtemtik I. Felsıfokú Szkképzés 69

H b, b,, b m sklárok mindegyike zéró, z, kkor homogén lineáris egyenletrendszerrıl beszélünk, míg m g ellenkezı esetben inhomogén n lineáris egyenletrendszerrıl. A (ξ(, ξ,, ξ n ) vektort lineáris egyenletrendszer megoldásánk nevezzük, h ξ + ξ + K + ξ = b L m ξ + ξ + ξ + K + m teljesül. l. Triviális megoldás ltt csup zérusbz rusból álló megoldást értjük. Az ettıl l eltérı megoldást nemtriviális megoldásnk nevezzük. n n ξ + K + mn n ξ n ξ n = = b b m Mtemtik I. Felsıfokú Szkképzés 70

Tétel: : A homogén n lineáris egyenletrendszernek mindig vn megoldás,, hiszen triviális megoldás s egy ilyen rendszernek megoldás. A Crmer szbály állítás igz n ismeretlenes egyenletrendszer esetén n is. Tétel(Crmer szbály): H z egyenletrendszer determináns ns nem 0, kkor z egyenletrendszernek pontosn egy megoldás vn. Az i-dik ismeretlen értéke egy olyn törttel t egyenlı,, melynek nevezıje rendszer determináns, ns, száml mlálój pedig D i : x i Di =, i =,, K, n. D Mtemtik I. Felsıfokú Szkképzés 7

Lineáris egyenletrenszerek numerikus megoldás Guss elimináci ció x + x + + n x n = n+ x + x + + n x n = n+ n x + n x + + nn x n = nn+ hol in+ =b i Az eljárás lényege: Olyn egyenletrendszer kilkítás s, melynek együttht tthtó mátrix háromszög g lkú. Mtemtik I. Felsıfokú Szkképzés 7

Az lgoritmus: (0) x (0) + x + + (0) n x n = (0) n+ (0) x + (0) x + + (0) n x n = (0) n+ (0) n x + (0) n x + (0) + nn x n = (0) nn+. Minden és n- közé esı i-re végezzük el következıket:. Jelölj ljük s (i-) j -vel z egyenletrendszer j. sorát z i. lépésben. Tegyük fel, hogy (i-) ii 0. Legyen q (i-) j = (i-) / (i-). = (i ji / (i ii. Legyen s (i ) j = s (i-) j q (i-) j s (i-) i minden j>i-re re. Mtemtik I. Felsıfokú Szkképzés 7

A számítások sok befejezése után következı feldtot kpjuk: (0) x + (0) x + + (0) n x n = (0) n+ () x + + () n x n = () n+ nn (n-) x n = nn+ (n-) Amibıl megoldás: n + ( j ) ( j ) jn jt x t t = j + =, j = n,( n ), K, ( j x j ) jj Mtemtik I. Felsıfokú Szkképzés 74

Htározzuk meg következı egyenletrendszer megoldását! x +x -x =9 x +x +x =4 x -x -x = x + x x 5 - x - x + x - x = 9 = - 7 = x + x x - x + x 6x = 9 = - = 6 q (0) q (0) (0) =/ (0) =/ q () () = -5 A megoldás: + x = - 9 ( 6 + ) x = = x = = Mtemtik I. Felsıfokú Szkképzés 75

Mekkor mőveletigény (osztásoksok és szorzások sok szám m) )? Az lgoritmusból dódik dik, hogy minden j-re (n-j) osztást st és (n-j)(n- j+) szorzást st kell elvégezni gezni. Ezért rt: n j = = [( )( ) ( )] n j n j + + n j = ( n j ) + ( n j ) ( n ) n ( n ) 6 + n ( n ) = n j = n + n 6 5 n n j = A visszhelyettesítés mőveletigénye n osztás és n(n-)/ szorzás. Ezért z összes mővelet: n + n 5n n + n n + n n + = = n + O( n ) 6 Mtemtik I. Felsıfokú Szkképzés 76

Guss elimináci ció fıelem kiválszt lsztásslssl. Minden és n- közé esı i-re végezzük el következıket:. Legyen ( kj j ) = mx j l n ( lj n ). H k j,, kkor cserélj ljük k meg k. sort j. sorrl. 4. Folytssuk z eljárást, Guss-elimin elimináció () és s () lépésével. l Mtemtik I. Felsıfokú Szkképzés 77

Tétel: : H lineáris egyenletrendszer A mátrix nem szinguláris, kkor fenti eljárássl kiválsztott ( 0 ) ( ) ( ) ( n ),,, K, nn elemek egyike sem lehet zérus. z Biz.: Mivel z A mátrix nem szinguláris, ezért det(a) (A) 0. A fıelemkiválsztásossos Guss módszer m végén v n fejtsük k ki kihárom- szögelt gelt mátrixot fıátlf tlób esı elemek szerint: det( A) = ± ( 0 ) () ( ) ( n ) K nn 0 Attól l függf ggıen, hogy páros p vgy pártln p számú sorcserét t hjtottunk végre. Mtemtik I. Felsıfokú Szkképzés 78

Htározzuk meg z elızı egyenletrendszer megoldását fıelem f kiválszt lsztásánk módszerm dszerével! x +x -x =9 x +x +x =4 x -x -x = x + x x 5 - x - x + x - x = 9 = - 7 = x + x 5 - x x - x - x + x = 9 7 = = - q (0) q (0) (0) =/ (0) =/ x - + x 5 x - x - x x 0 7 = = - 0 q () () = /5 Mtemtik I. Felsıfokú Szkképzés 79 = 9 x =-, x =, x =

Guss elimináci ció teljes fıelem f kiválszt lsztásslssl Az elızı módszert szokás s részleges r fıelem f kiválszt lsztásnk snk nevezni. Teljes fıelem f kiválszt lsztásnál l z együttht tthtó mátrix mrdék részének legngyobb bszolút értékő elemét t sor- és s oszlopcserékkel mátrix m digonális elemének helyére visszük. Azz j. lépésben legyen ) ( j ) mx{ : j i, k n } ( j pq = ik Mtemtik I. Felsıfokú Szkképzés 80

p j =j (j=,,,n),n) j= ( j pq meghtároz rozás ) Hibjelzés ( j pq ) =0 t=p j p j =p q p q =t ( j ) ij = ( j ) ik = ( j ) ij (j) ik - / ( j ) jj (j) (j) ij ij (i=j+,,n),n) (i=j+,..,n k=j+,,n+),n+) j=j+ j n- n ( j ) ( j ) jn+ jt x pt t= j+ x p =, j = n,( n ), K, VÉGE j ( j ) jj Mtemtik I. Felsıfokú Szkképzés 8

Htározzuk meg z elızı egyenletrendszer megoldását fıelem f kiválszt lsztásánk módszerm dszerével! x +x -x =9 x +x +x =4 x -x -x = x +x -x =9 x +x +x =4 -x +x -x = x + x - x 5 x - x 5 + x 7 - x = 9 = - = 4 p = (,,) p = (,,) q (0) q (0) (0) =/ (0) =-/ / Mtemtik I. Felsıfokú Szkképzés 8

x -x + x 7 - x x 5 x x = 9 = 4 = x - x 7 - x + x x 8 x = 9 = 4 = 8 p = (,,) q () () = -5/7 x =, x =-, x = Figyeljük k meg z indexeket és s permutáci ció vektor viszonyát! Mtemtik I. Felsıfokú Szkképzés 8

Guss-Jordn elimináció x + x + + n x n = n+ x + x + + n x n = n+ n x + n x + + nn x n = nn+ hol in+ =b i Az eljárás lényege: Ekvivlens átlkításokkl olyn egyenlet- rendszer kilkítás s, melynek együttht tthtó mátrix egységm gmátrix. Mtemtik I. Felsıfokú Szkképzés 84

(0) x (0) + x + + (0) n x n = (0) n+ (0) x + (0) x + + (0) n x n = (0) n+ (0) n x + (0) n x + (0) + nn x n = (0) nn+. Minden és n- közé esı i-re végezzük el következıt:. Legyen s (i-) j z egyenletrendszer j. sor z i. lépésben. Tegyük fel, hogy (i-) ii 0.. Legyen s i = s (i i és s j = s (i ) j ij (i-) / (i-) ii, (i-) (i) ij s (i) i minden j i-re. Mtemtik I. Felsıfokú Szkképzés 85

(0) (0) + + + (0) x (0) () x () n x n = () n+ (0) x + (0) () (0) (0) x + + () n x n = () n+ (0) () n x + () (0) + + (0) nn x n = (0) n x () nn+ s () =s (0) / / (0), s () j = s (0) j () s () minden j i-re. j=,,n Mtemtik I. Felsıfokú Szkképzés 86

Az i. lépésben: x + + (0) + (0) n x n = (0) i x + n+ (0) (0) n x n (0) ii x + + = n+ (0) () n x + + nn x n = (0) nn+ s () =s (0) / / (0), s () j = s (0) j () s () minden j i-re. j=,,, n Mtemtik I. Felsıfokú Szkképzés 87

Htározzuk meg z elızı egyenletrendszer megoldását fıelem f kiválszt lsztásánk módszerm dszerével! x +x -x =9 x +x +x =4 x -x -x = 9 4 = 0 0 5 9 7 = 0 0 0 0 6 5 6 6 = Mtemtik I. Felsıfokú Szkképzés 88

0 5 0 0 0 6 6 6 = 0 0 0 0 0 0 Amibıl l megoldás: x = - x = x = Mtemtik I. Felsıfokú Szkképzés 89

Mátrix invertálás Guss-Jordn elimináci cióvl Az elızıekben ekben leírt módszer m egyszerő gykorlti módszert m d mátrixok invertálht lhtóságánk eldönt ntésére és s z inverzmátrix meghtározásár. Megjegyzés. (Mátrix invertálás szimultán n Guss elimináci cióvl.) Legyen dv egy négyzetes n mátrix, m melyet Guss elimináci cióvl egységm gmátrixszá lkítottunk: E E K k k EA = I A mátrix m tehát t invertálht lhtó és s inverze: A = Ek Ek K E = E k E k K EI Ez zt jelenti, hogy h z A mátrixot Guss elimináci cióvl, zz elemi sorátlk tlkításokkl egységm gmátrixszá lkítjuk, s ugynezeket z elemi sorátlk tlkításokt végrehjtjuk v z egységm gmátrixon, végeredmény A inverze lesz. Tehát t z elimináci ciót t egyszerre, szimultán n hjtjuk végre v két k t mátrixon, m de z elemi sorátlk tlkításokt z A htározz meg, z egységm gmátrix csk elszenvedi. Mtemtik I. Felsıfokú Szkképzés 90

(A módszer m végrehjtv grehjtáskor természetesen nem kell z elemi mátrixokt felírni, zoknk csk bizonyításn snál l vn szerepük.) Gykorltilg leírjuk egymás s mellé z invertálnd lndó mátrixot (bl oldl) és s z egységm gmátrixot (jobb oldl), mjd. Guss elimináci cióvl lépcsl pcsıs s lkúr hozzuk ezt hosszú mátrixot. H bloldli négyzetes n mátrix m nem trtlmz csup zéróból álló sort (háromsz romszög g lkú és s fıátlf tlóbn nincs zérus), z kkor mátrix m invertálht lhtó,, s z eljárást folyttjuk.. Elemi sorátlk tlkításokkl lulról l fölfelf lfelé hldv elérj rjük, hogy bloldlon egységm gmátrix legyen. A jobb oldlon z inverzmátrix vn. Mtemtik I. Felsıfokú Szkképzés 9

Mtemtik I. Felsıfokú Szkképzés 9 Ht Htározzuk rozzuk meg meg k következ vetkezı mátrix inverz trix inverzét! t! 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 = = = = = Ellen Ellenırz rzés: s:

Megoldhtó,, hogy kombintórik gykorlt nyg legyen?? Jvslt: Kezdjük k félév f v gykorltát t kombintórik rikávl.. Ez elegendı idıt t d z elıd dásnk hhoz, hogy elıre hldjon! Mtemtik I. Felsıfokú Szkképzés 9

Gráfelm felmélet let lpji Legyen V elemeknek egy véges v hlmz, és E V elemeibıl képezett rendezett párok p esetleg üres hlmz. Gráfnk nevezzük V és E áltl meghtározott struktúrát. t. Jelölése: G(V,E) V(G) A G csúcshlmz cshlmz E(G) A G élhlmz v v e 5 v e e e v 4 e = {v,v 4 } összeköti v és v 4 csúcsokt csokt v és v szomszédos csúcsok csok, e és e 4 szomszédos élek, e 4 és v 5 illeszkednek. e 4 v 5 Idınk nként nt v v jelölést fogjuk hsználni {v,v } helyett. Mtemtik I. Felsıfokú Szkképzés 94

V(G) ) elemeinek számát t gráf f rendjének nek nevezzük. Jelölése: n(g). E(G) ) elemeinek számát t gráf f méretm retének nevezzük. Jelölése: m(g). Az n-ed rendő, m mérető gráfot G(n,m) vgy G n,m jelöli. li. Legyen G gráf f csúcshlmz cshlmz V(G) = {v, v,, v n } és élhlmz E(G) = {e, e,, e m }. A gráf f leírht rhtó mátrixokkl. A szomszéds dsági mátrixm A(G) = [ ij ] nxn ij = { h v i v j E(G) 0 h v i v j E(G) hol Az illeszkedési si mátrixm B(G) = [b ij ] nxm { ij = h v i és e j illeszkedik 0 különben. b ij hol Mtemtik I. Felsıfokú Szkképzés 95

e v v e e e 4 e 5 v v v v v 4 e e e e 4 e 5 v 4 A = 0 0 0 0 0 0 v v v v 4 B = 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 v v v v 4 Egy gráf, és hozzá ttozó szomszédsági és illeszkedési mátrixok Mtemtik I. Felsıfokú Szkképzés 96

Csúcsok fokszám Egy G gráf v csúcs csánk fokszámán csúcshoz cshoz illeszkedı élek számát értjük. Jelölése: deg G v vgy deg v. Jelılje lje v csúccsl ccsl szomszédos csúcsok csok hlmzát Γ(v). deg G v= Γ(v) (v). Egy csúcsot csot párosnk vgy pártlnnk nevezzük k ttól l függf ggıen, hogy fokszám páros p vgy pártln. p Egy csúcsot csot izoláltnk ltnk nevezünk, nk, h deg v = 0, és vég-csúcsnk,, h deg v =. δ(g) = min deg G v G gráf minimális fokszám m. v G (G) = mx deg G v G gráf mximális fokszám m. v G Mtemtik I. Felsıfokú Szkképzés 97

v 5 v 6 v 7 v 8 v 5 4 v v v 4 v 9 deg G v = deg G v 4 = 4 deg G v 9 = δ(g) = deg G v 8 = (G) = deg G v 6 = 5 Csúcsfoksz csfokszámok egy gráfbn Mtemtik I. Felsıfokú Szkképzés 98

Tétel ( Kézfogási Lemm): Tekintsük k G(n,m) ) gráfot, hol V(G) ) = {v, v,, v n }. Ekkor Biz.: n deg G v i = m i= Az állítás s zonnl következik k bból l ténybt nybıl, hogy minden él l két k csúcsr csr illeszkedik. Következmény: Bármely gráfbn pártln p csúcsok csok szám mindig páros. Mtemtik I. Felsıfokú Szkképzés 99

Azt gráfot, melynek nincsenek élei üres gráfnk nevezzük. A H gráf f G gráf részgráfj,, h V(H) V(G) és E(H) E(G). Részgráfok és s indukált részgrr szgráfok Legyen v V(G) és V(G) V(G).. A H = G v gráf v csúcs törlt rlésével áll elı G-bıl, h V(H) = V(G) {v} és E(H) G zon éleit trtlmzz, melyek nem illeszkednek v-re. v H e E(G), kkor H = G e részgráfj, melyre V(H) = V(G) és E(H) v = E(G) {e}. (egy él l kitörl rlése) G-nek egy olyn Mtemtik I. Felsıfokú Szkképzés 00

v e G G v G e Mtemtik I. Felsıfokú Szkképzés 0

H u és v G nem szomszédos csúcsi, csi, kkor G + f, hol f = uv, jelöli li zt gráfot, melynek csúcshlmz cshlmz V(G) és élhlmz E(G) { f }. Ezért G G + f. H G egy H részgráfjánk rendje megegyezik G rendjével, kkor H- t G feszítı részgráfjánk nevezzük. H U V(G) egy részhlmzr szhlmz, kkor U G-nek egy olyn U áltl indukált gráfj, mely csúcshlmz cshlmz U V(G) és élhlmz minden olyn élet trtlmz G-bıl, mely illeszkedik z U két t elemére. Mtemtik I. Felsıfokú Szkképzés 0

Speciális gráfok Egy G gráfot r-regulárisris gráfnk nevezünk, nk, h deg v = r minden v csúcs csár. G gráf Egy gráf f teljes,, h bármely b két k t csúcs cs szomszédos. H G = G(m,n),, kkor G (n-)-reguláris, és m = n(n-)/ )/. Jelölése: K n. 4-reguláris ris gráfok fok. Mtemtik I. Felsıfokú Szkképzés 0

A Petersen gráf Mtemtik I. Felsıfokú Szkképzés 04

Egy G gráf komplemens gráfj fján n zt G gráfot értjük, melyre V( G )= = V(G) u,v V(G), uv E( G ) kkor és s csk kkor, h uv E(G). Állítás-: : H G = G(m,n), kkor G egy olyn n-ed rendő gráf, melynek mérete: m n m = m Állítás- : : A K n teljes gráf f komplemens gráfj ( K n ) z n-ed rendő üres. Mtemtik I. Felsıfokú Szkképzés 05

Egy G gráfot k-részesnek mondunk, k,, h V(G) csúcspontji cspontji- nk hlmz úgy prticionálht lhtó k részhlmzr (V(,V,,V k ),, hogy E(G) elemei V i és V j -beli csúcsokt csokt kötnek k össze, hol i j. H k =, kkor gráf kétrészes. Tétel: : H G egy r-regulárisris kétrészes gráf, r, kkor V = V. Egy teljes kétrk trészes gráfot, hol V = r és V = s K(r,s)-el vgy K r,s el jelölj ljük k. (A K,s gráfot csillgnk nevezzük).,s - Mtemtik I. Felsıfokú Szkképzés 06

v v 4 v 5 v 7 v v v 6 v v v 5 v 7 V v v 4 v 6 V Egy kétrészes gráf két különbözı (izomorfikus) ábrázolás Mtemtik I. Felsıfokú Szkképzés 07

Mőveletek gáfokon Két t gráf egyesítésén n (unióján) n) zt G = G U G gráfot értjük, melyre V(G) = V(G ) U V(G ) és E(G) = E(G ) U E(G ). Péld: K U K U K,. Mtemtik I. Felsıfokú Szkképzés 08

Két t gráf összekpcsolásán zt G = G +G gráfot értjük, melyre V(G) = V(G ) U V(G ) és E(G) = E(G ) U E(G ) U{uv u V(G ) és v V(G )}. Péld: G G G +G Mtemtik I. Felsıfokú Szkképzés 09

Két t gráf direkt szorztán zt G = G G gráfot értjük, melyre V(G) = V(G ) V(G ) és két t csúcs: cs: (u(,u ) és s (v(,v ) kkor és s csk kkor szomszédos, h vgy u = v és u v E(G ) vgy u = v és u v E(G ) Péld: u v w u v w (u,u ) (u,v ) (u,w ) (v,u (v,v ) ) (v,w ) G G G = G G Mtemtik I. Felsıfokú Szkképzés 0

Gráfok bejárás Legyen u és v G gráf nem szüks kségképpen különbk nbözı két csúcs. cs. Egy W-vel jelölt lt u v sét G gráfbn csúcspontoknk cspontoknk és z éleknek egy olyn W: u = u 0,e,u,e,u,.,u k-,e k,u k = v véges, lternáló sorozt, mely z u csúcsponttl csponttl kezdıdik, dik, v csúccsl ccsl végzv gzıdik, és e i = u i- u i mindig egy él, i=,,,k,k. A k számot W sét hosszánk nevezzük. u u 4 u e e e 5 e4 k=6 u 6 =v e 6 u =u 5 e u Mtemtik I. Felsıfokú Szkképzés

Egy u v sétát zártnk vgy nyitottnk nevezünk nk ttól l függf ggıen, hogy u = v vgy u v. A u-v ösvény z egy olyn u v sét, melyben él l nem ismétl tlıdik, és egy u v út z egy olyn u v sét, melyben csúcspont cspont nem ismétl tlı- dik. Következmény-: minden út t egyben ısvény is. Következmény-: : Minden út t egyben sét s is, de megfordítottj áltlábn nem igz. Mtemtik I. Felsıfokú Szkképzés

Péld: v v 4 v v 5 v W T P : : : v v v,v,v,v,v5,v, v4,v,v 5,v,v, v 4,v,v, v 4 egy v -v 4 sét de nem ösvény. egy ösvény de nem út. egy út. Mtemtik I. Felsıfokú Szkképzés

Tétel: : H A G szomszéds dsági mátrix, m és V(G) = {v,v,,v n }, kkor z A k htványm nymátrix (i,j)) eleme,, k,, megdj k hosszúságú v i -v j sétákt G gráfbn fbn. Péld: 0 A = 0 v 0 0 v 4 v 0 v 0 0 0 A = 0 Mtemtik I. Felsıfokú Szkképzés 4 0 W W W W 4 : : : : A v v v v = 4,v,v,v,v,v,v,v,v 4 4,v,v,v,v 4 4 0

Egy nem triviális zárt z ösvényt körútnk nevezünk, nk, és s zt körutt, k melyben n különbözı csomópont szerepel, kırnek nevezzük. Egy ciklikus gráfbn nincs kör. k Egy körk páros,, h hossz páros, p egyébk bként kör k pártln. Egy k hosszúságú kört k-körnek nevezünk. nk. A -kör r háromszög. Azt z n-ed rendő gráfot, mely út, P n jelöli, li, és C n egy n csúcspont cspontú kört jelöl. l. Egy u csúcsr csról l zt mondjuk, hogy összeköthetı v csúccsl, ccsl, gráfbn létezik l egy u v út. Egy gráf összefüggı,, h bármely b két k t csúcs cs összeköthetı.. Egyébk bként gráf f nem összefüggı. Mtemtik I. Felsıfokú Szkképzés 5

Tétel: : Egy G gráf f csúcshlmz cshlmzán értelmezett összef sszefüggı reláci ció egy ekvivlnci reláci ció. Biz.: Házi feldt Azokt t részgrr szgráfokt, melyek z ekvivlenci reláci ció eredmé- nyeként nt létrejött tt ekvivlenci osztályoknk felelnek meg, G gráf összefüggı komponensének nek nevezzük. A G gráf f komponenseinek számát k(g) jelöli li. Egy összefüggı gráfbn z u és v csúcsok csok d(u,v) távolságán két k csúcspont cspont között k megdhtó u v utk minimális hosszát értjük. Mtemtik I. Felsıfokú Szkképzés 6

0 v v 6 v 7 v 8 v 5 v v 4 v v v 9 v v 6 v v 5 v 9 v 7 szint 0 szint szint v 4 v 8 szint Távolsági szintek v csúcsból kiindulv. Mtemtik I. Felsıfokú Szkképzés 7

A feszítı f problém Egy G gráf feszítı fáján zt feszítı részgráfot értjük, mely f. Tétel: : Minden összefüggı fánk vn feszítı részgráfj Biz.: Konstrukcióvl. Válsszunk V egy tetszıleges x V csúcspontot. cspontot. Legyen V i ={ y G : d(x,y)= i, i=,,,m,m }. H y i V i, i > 0 és x,z,z,,z,z i-,y i egy x y i 0 < j < i. út, kkor d(x,z j )= j, Az világos, hogy V j Ø,, h j < M, és s bármely b y V i -hez, i M, létezik leglább egy y' V i-, mely szomszédos y-nl.. ({y',y} E(G)). Mtemtik I. Felsıfokú Szkképzés 8

x V 0 V V V M- V M- V M Következmény-: A G(n,m) feszítıfáj: T(n,n-). Mtemtik I. Felsıfokú Szkképzés 9

Az optimlizáci ció-elmélet let egyik ismert problémáj z, hogy hogyn lehet megtlálni lni egy gráf f vlmilyen speciális tuljdonsággl rendelkezı feszítı fáját. Legyen dott G=(V,E) gráf és s egy pozitív értékő f függvény, mely gráf élein vn definiálv: f: E R E +. Keressük k zt T=(V,E ) összefüggı feszítı fát, melyre f ( T ) = f ( xy ), minimális lis. xy E Az ilyen tuljdonságú feszítı részfát gzdságos gos feszítı fánk nevezzük. Mtemtik I. Felsıfokú Szkképzés 0

Egy vlós s problém: Egy dott régir gióbn flvkt krunk összekötni vízvezetékkel. Ismerjük, hogy mennyibe kerül l z egyes flvk közötti vezetékek felépítése. Keressük k meg zt hálóztot, h mely legkevesebb költsk ltséggel építhetı fel! Péld: 4 5 4 4 Mtemtik I. Felsıfokú Szkképzés

Kruskl Algoritmus (956): Válsszuk ki legolcsóbb élet G-bıl, zz zt z élet, melyre f(e) minimális lis. A következk vetkezı élet még m g ki nem válsztottk v közül k l mindig úgy válsztjuk, hogy z legolcsóbb legyen. A válsztv lsztásnál l rr kell ügyelnünk, nk, hogy nem képezhetk pezhetünk körutt k kiválsztott élekbıl. l. H ilyen él l már m r nincs, kkor véget v ér r z lgoritmus. 4 5 4 f(t )=5 4 Mtemtik I. Felsıfokú Szkképzés

. Algoritmus: Az lgoritmus lényege l z, hogy drág élet csk kkor szbd válsztni, v h biztosítni tni krjuk gráf összefüggıségét. Töröljük k tehát t legdrágább élet gráfb fból l mindddig, míg g gráf összefüggı mrd. H ilyen él l már m r nincs, kkor véget v ér r z lgoritmus. 4 5 4 f(t )=5 4 Mtemtik I. Felsıfokú Szkképzés

A legrövidebb út t problémáj Rendeljünk nk G gráf f minden (u,v ) E(G) éléhez egy w(u,v) függvényt, és s nevezzük k ezt súlynk. Azt gráfot fot,, melynek élei súlyozv vnnk, súlyozott gráfnk nevezzük. Legyen w: E(G) R + egy függvf ggvény. Terjesszük k ki függvf ggvény definíci cióját t egy gráf H G részgráfjár: w( H ) = e E ( H ) w( e). Számos olyn optimlizáci ciós s problém létezik, l mely egy súlyozott s gráfbn keres egy olyn részgrr szgráfot, mely vlmilyen tuljdonság szerint minimális (vgy mximális). Mtemtik I. Felsıfokú Szkképzés 4

A legrövidebb út t problémáj: dott egy súlyozott s gráf, (vsút hálózt). Htározzuk meg legrövidebb utt gráf elıre dott két t csúcspontj cspontj (város) között. k Ebben környezetben k z út t hosszán n út áltl reprezentált részgrr szgráf súlyát t fogjuk érteni. The Dijkstr lgorithm (959) Tegyük k fel, hogy z u 0 és s v 0 csúcsok csok közötti k út t hosszát t krjuk meghtározni: Az lgoritmus egy fokoztosn növekvn vekvı S i hlmzt készk szít, hol 0 i n, és {u 0 } S i V(G). Minden lépésben l egy cimkét rendelünk nk csúcspontokhoz: cspontokhoz: l:(g) R { } úgy, hogy v S csúcshoz cshoz trtozó l(v) címke v csúcs távolst volságát t dj meg z u 0 csúcst cstól l z S indukált részgráf- bn. Mtemtik I. Felsıfokú Szkképzés 5

Elıkész szítı lépés: i = 0, S0 = { u0 Iteráci ciós s lépés: l }, 0, h v= u0 l( v) = w( u0, v), h u0 v és ( u0, v) E( G) különben H S i = V(G) kkor z lgoritmus befejezıdik dik. H S i V(G) kkor W = { vi vi Si, l( vi ) = min l( v )} és v S i legyen u i+ W egy tetszıleges csúcspontj cspontj. H l(u i+ ) = vgy u i+ = v 0 kkor z lgoritmus megáll ll. H l (u i+ ) < kkor S i+ = S i U {u i+ }, és s legyen l( z) = min{ l( z), l( ui+ ) + w ( ui+, z) ( ui+, z) E( G), z Si+ } i=i+. Mtemtik I. Felsıfokú Szkképzés 6

Mi Dijkstr's Algoritmus bonyolultság g? n-ben polinomiális lis: O(n ). Péld: v u 0 v 4 7 v v 0 Step ui+ = { vi vi Si, l( vi ) = min 0 l(u 0 ) l(v )l(v )l(vl(v ) l(v 0 ) 0 7 0 7 4 v S i 0 0 0 5 l( v )} u 0 u 0 v S i u 0 v v 0 5 u 0 v v 0 v 5 u 0 v v 0 v v l( z ) = min{ l( z ), l(ui + ) + w(ui+,z ) (ui+,z ) E(G ), z Si+ } Mtemtik I. Felsıfokú Szkképzés 7

Euler gráfok Egy olyn körutt k G Euler körnek mondjuk. gráfbn, mely trtlmzz G összes élét Egy Euler ösvény trtlmzz z összes élet, de nem zártz rt. Egy gráf Euler gráf,, h benne létezik l Euler-kör. r. Egy G gráfot párosnk (pártlnnk)) mondunk, h minden csúcs cs páros (pártln). Tétel : Egy összefüggı gráfbn kkor és s csk kkor vn Euler-körút, h gráf f minden csúcs cs páros. p Mtemtik I. Felsıfokú Szkképzés 8

Mtemtik I. Felsıfokú Szkképzés 9