ANALÍZIS III. ELMÉLETI KÉRDÉSEK Szerkesztette: Balogh Tamás 2014. március 17. Ha hibát találsz, kérlek jelezd a info@baloghtamas.hu e-mail címen! Ez a Mű a Creative Commons Nevezd meg! - Ne add el! - Így add tovább! 3.0 Unported Licenc feltételeinek megfelelően szabadon felhasználható. 1
1. Definiálja a metrikus teret! Legyen M. Az (M, ϱ) párt metrikus távolságnak nevezzük, ha ϱ: M M R és 1. ϱ(x, y) 0 ( x, y M), 2. ϱ(x, y) = 0 x = y, 3. ϱ(x, y) = ϱ(y, x) ( x, y M), 4. ϱ(x, y) ϱ(x, z) + ϱ(z, y) ( x, y, z M). Ahol ϱ a metrika, ϱ(x, y) az x és y távolsága. 2. Hogyan értelmeztük az (R n, ϱ 2 ) metrikus teret? (R n n, ϱ 2 ) metrikus tér, ahol ϱ 2 (x, y) := (x i y i ) 2. 3. Fogalmazza meg a Cauchy-Bunyakovszkij-féle egyenlőtlenséget! a i, b i R i = 1,... n. Ekkor n a i b i n a 2 i n b 2 i b i = 0 i = 1,... n vagy λ R : a i = λb i i = 1,... n. 4. Irja le a normált tér definícjóját! (X, ) normált tér, ha 1. X lineáris vektortér R felett, 2. : X R és i, x 0 ( x X), ii, x = 0 x = 0, iii, λx = λ x ( x X, λ R), iv, x + y x + y ( x, y X). 5. Definiálja R n -en a 2 (1 p + ) normát! 6. Hogyan értelmezzük az (R n, 2 ) normált térben egy pont környezetét? (R n, 2 ) normált tér, a R n, r > 0. K r (a) := {x R n : x a 2 < r} az a r-sugarú környezete vagy az a közepű r-sugarú nyílt gömb. 2
7. Mit jelent az, hogy egy (R n, 2 )-beli sorozat konvergens? (R n, 2 ) normált tér, (a k ): N R n vektorsorozat konvergens, ha α R n, ε > 0 k 0 N, k k 0 : a k α 2 < ε. Jelölés: α = lim a k. 8. Milyen ekvivalens állításokat ismer normált térbeli sorozat konvergenciájára? (R n, 2 ) normált tér, (a k ): N R n. Ekkor a következő tulajdonságok ekvivalensek: 1. (a k ) konvergens, 2. α R n, ε > 0 k 0 N, k k 0 : a k K ε (α), 3. α R n lim a k α 2 = 0. 9. Fogalmazza meg normált térbeli konvergens sorozatok alaptulajdonságait! (R n, 2 ) norrmált tér, (a k ): N R n. Ekkor 1. Ha (a k ) konvergens és lim a k = α, akkor i,! α, ii, (a k ) korlátos, iii, ν : N N indexsorozatra lim a ν(k) = α 2. ν 1, ν 2 : N N indexsorozat. Ha lim a ν1 (k) lim a ν2 (k), akkor (a k ) divergens. 10. Milyen műveleti tételeket ismer normált térbeli konvergens sorozatokra? (R n, 2 ) normált tér, (a k ), (b k ): N R n sorozatok konvergensek, α = lim a k, β = lim b k. Ekkor 1. (a k + b k ) is konvergens, és lim(a k + b k ) = α + β, 2. (λa k ) is konvergens, és lim(λa k ) = λα (λ R). 11. Hogyan jellemezhető R n -beli sorozat konvergenciája a koordinátasorozatokkal? Ekkor (a k ): N R n, a k = (a (1) k, a(2) k,..., a(n) k ) Rn. lim a k = α, k α = (α (1),..., α (n) ) R n lim a (i) k = α (i) ( i = 1,... n). k 12. Mit jelent az, hogy egy normált térbeli sorozat Cauchy-sorozat? (a k ): N R n Cauchy sorozat, ha ε > 0, k 0, k, l k 0 : a k a l < ε. 3
13. Milyen kapcsolat van normált térben a Cauchy-sorozatok és a konvergens sorozatok között? (a k ): N R n konvergens Cauchy sorozat. 14. Definiálja a torlódási pont fogalmát! A R n, a R n az A torlódási pontja, ha K(a) : K(a) \ {a} A. Jelölés: A a torlódási pontok halmaza. 15. Milyen ekvivalens állításokat ismer a torlódási pontról? a A K(a) : K(a) A végtelen halmaz a A (a k ): N A injektív sorozat: lim a k = a. 16. Definiálja a belső pont fogalmát! a R n belső pontja A R n -nek, ha K(a) A. 17. Mi a nyílt halmaz definíciója? A R n halmaz nyílt halmaz, ha minden pontja belső pont. 18. Milyen állításokat ismer zárt halmaz jellemzésére? A R n zárt A A, A R n zárt (a k ): N A konvergens sorozatra lim a k = α A. 19. Fogalmazza meg a Bolzano-Weierstrass-féle kiválasztási tételt! Ha az (a k ): N R n korlátos sorozat, akkor kiválasztható egy (a k ) ν = (a νk ) konvergens részsorozat. 20. Definiálja a normált terek közötti leképezések határértékét! f R n R m (n, m 1), a D f. f-nek határértéke a-ban, ha A R m, ε > 0 δ > 0, x K δ (a) \ {a} D f : f(x) K ε (A) A R m, ε > 0, δ > 0, x D f, 0 < x a < δ : f(x) A < ε. 21. Definiálja a normált terek közötti leképezések pontbeli folytonosságát! f R n R m folytonos az a D f pontban, ha ε > 0 δ > 0, x K δ (a) D f : f(x) K ε (f(a)) ε > 0 δ > 0, x D f, x a < δ : f(x) f(a) < ε. Jelölés: lim f = A, f C(a). a 22. Hogyan szól a folytonosságra vonatkozó átviteli elv? f R n R m, a D f. Ekkor f C(a) (x k ): N D f, lim x k = a : lim f(x k ) = f(a). 4
23. Mit tud a korlátos és zárt halmazon értelmezett folytonos függvény értékkészletéről? Ha f R n R m folytonos függvény és D f korlátos és zárt, akkor R f is korlátos és zárt. 24. Mondja ki a Weierstrass tételt! Ha f R n R folytonos függvény, D f korlátos és zárt, akkor max f és min f. 25. Mit tud a korlátos és zárt halmazon értelmezett folytonos függvény inverzéről? Ha f R n R m folytonos függvény, D f korlátos és zárt, f injektív, akkor f 1 folytonos. 26. Definiálja az egyenletes folytonosságot! f D n D m függvény egyenletesen folytonos, ha ε > 0 δ > 0, x, y D f, x y < δ : f(x) f(y) < ε. 27. Mondja ki a Heine-tételt! Ha f D n D m függvény folytonos, D f korlátos és zárt, akkkor f egyenletesen folytonos. 28. Mi a kontrakció definíciója? X R n, f : X X kontrakció, ha 0 q < 1 : f(x) f(y) q x y ( x, y X). 29. Fogalmazza meg a Banach-féle fixpont-tételt! X R n, f : X X kontrakció, X zárt. Ekkor i, f-nek! fixpontja, azaz! x X : f(x ) = x, ii, Ha x 0 X tetszőleges, x n+1 := f(x n ), akkor (x n ): N X konvergens és lim x n = x, iii, x n x qn 1 q x 1 x 0 (n N). 30. Mit jelent az, hogy egy L: R n R m leképezés lineáris? L: R n R m lineáris leképezés, ha Jelölés: α(r n, R m ). L(αx + βy) = αl(x) + βl(y) ( x, y R n α, β R). 31. Milyen normát értelmeztünk lineáris leképezésekre? L α(r n, R m ) operátornormája L := sup{ L(h) : h 1}. 5
32. Milyen egyenlőtlenséget ismer lineáris leképezések normájára? L(h) L h (h R n ). 33. Írja le az f R n R m függvény pontbeli (totális) deriválhatóságának a definícióját! f R n R m deriválható az a int D f pontban, ha Ekkor L = f (a). L α(r n, R m ) : lim h 0 f(a + h) f(a) L(h) h = 0. 34. Milyen ekvivalens átfogalmazást ismer a pontbeli deriválhatóságra a lineáris közelítéssel? f R n R m, a int D f. f D(a) L α(r n, R m ), ε: R n R m, lim 0 ε = 0 : f(a+h) f(a) = L(h)+ε(h) h 35. Milyen ekvivalens átfogalmazást ismer a pontbeli deriválhatóságra mátrixokkal? f R n R m, a int D f. f D(a) A R m n f(a + h) f(a) Ah : lim = 0 h 0 h A R m n, ε: R n R m, lim ε = 0 : f(a + h) f(a) = Ah + ε(h) h. 0 Ekkor f (a) = A. 36. Milyen kapcsolat van a pontbeli deriválhatóság és folytonosság között? 37. A deriválhatóság és a koordináta függvények deriválhatósága közötti kapcsolat. 38. Adja meg a kompozíció függvény deriváltját! 39. Adja meg az R n R típusú függvény parciális deriváltjainak a fogalmát! 6