NEMLINEÁRIS FUNKCIONÁL. Banach terekben. Domokos András

NEMLINEÁRIS FUNKCIONÁL ANALÍZIS Duális leképezések és akretív operátorok Banach terekben Domokos András Kolozsvár, 2000

Tartalomjegyzék Bevezető. Alapfogalmak................................ 2.2 Gyenge topológiák Banach terekben.....................3 Gyenge zártság és kompaktság....................... 7.4 Reflexív Banach terek........................... 20 2 Banach terek geometriai tulajdonságai 25 2. Szigorúan konvex Banach terek...................... 25 2.2 Lokálisan uniform konvex Banach terek.................. 28 2.3 Uniform konvex Banach terek....................... 30 3 A duális leképezés 35 3. Konvex függvények............................. 35 3.2 A duális leképezés tulajdonságai...................... 4 3.3 A duális leképezés és a tér kapcsolata................... 47 3.4 Példák.................................... 56 4 Akretív operátorok 59 4. Félskaláris szorzat Banach terekben.................... 59 4.2 Akretív operátorok............................. 70 5 Akretív operátorok és differenciálegyenletek 77 5. Vektor értékű disztribúciók......................... 77

2 TARTALOMJEGYZÉK 5.2 Nemexpanzív operátorok félcsoportjai................... 83 5.3 Differenciálegyenletek Banach terekben.................. 85 5.4 Differenciálegyenletek integrál megoldásai................. 98 Szakirodalom 03

Bevezető E könyv az 999-2000 és a 2000-200 tanévben a Babeş-Bolyai Tudományegyetem Matematika Karán tartott Nemlineáris Analízis kurzus anyagára épül. Megszerkesztésében éppúgy didaktikai, mint tudományos szempontok is érvényesülnek. Célja a bevezetés a nemlineáris analízis egy olyan területére, amelyik a Banach terek geometriai tulajdonságaira és az akretív operátorok elméletére alapozik. Alkalmazásaik a differenciálegyenletek és parciális differenciálegyenleteken keresztül kiterjednek sok más tudományág területére is. Ezek közül megemlíthetjük a folyadékok diffúziós problémáit, a hővezetést és a népességdinamikát modelláló evolúciós problémákat. E könyv felépítésének elsődleges célja, hogy olyan ismereteket adjon át, amelyek egy jól meghatározott irányba vezetik az olvasót és megismertetik az ezen a területen alkalmazott gondolkodásmóddal és bizonyítási technikákkal. Emiatt azon tételek és tulajdonságok bizonyításaira helyezzük a hangsúlyt, amelyek ezt a célt szolgálják. Sok sikert és türelmet kívánok az olvasáshoz. E könyv megírását a Domus Hungarica Scientiarium et Artium is támogatta a szerzőnek biztosított kutatói ösztöndíja által.

2. BEVEZETŐ. Alapfogalmak Ebben a fejezetben megemlítjük azokat a topológikus terekre, lineáris topológikus terekre, lokálisan konvex terekre és ezeken értelmezett folytonos függvényekre vonatkozó alapfogalmakat, amelyekre a következő fejezetekben szükségünk lesz. Definíció.. Legyen X egy halmaz. Ha megadunk egy X részhalmazaiból álló τ rendszert a következő tulajdonságokkal:., X τ; 2. G i τ, i I i I G i τ; 3. G,..., G n τ i n G i τ, akkor azt mondjuk, hogy X-en értelmeztünk egy τ topológiát és az (X, τ) kettőst topológikus térnek nevezzük. A τ halmazrendszer elemeit nyílt halmazoknak nevezzük. Legyen (X, τ) egy topológikus tér, X 0 X és τ 0 = {G X 0 : G τ}. Ekkor τ 0 teljesíti a nyílt halmazokra vonatkozó feltételeket és ezáltal az X 0 -n értelmeztünk egy τ 0 topológiát, amit a τ által származtatott topológiának nevezünk. Ha G X egy nyílt halmaz, akkor az F = X \ G halmazt zárt halmaznak nevezzük. Legyen x X. Egy V X halmazt az x pont környezetének nevezzük, ha létezik G τ úgy, hogy x G V. Egy x pont környezeteinek rendszerét N (x)-el fogjuk jelölni. Egy B(x), x környezeteiből álló, halmazrendszert x környezetbázisának nevezzük, ha bármely V N (x) esetén létezik B B(x) úgy, hogy B V. Megjegyezzük, hogy egy topológia megadása szempontjából egyenértékű ha megadjuk a nyílt halmazok rendszerét, vagy bármely elemnek megadjuk egy környezetbázisát. Egy (X, τ) topológikus tér τ topológiáját megszámlálható topológiának nevezzük, ha bármely pontnak létezik olyan környezetbázisa, amely megszámlálható halmazt tartalmaz. Példaként megemlíthetjük a normált terekben a norma topológiáját, mert

.. ALAPFOGALMAK 3 bármely x pontnak a B(x) = {B(x, r) : r > 0, r Q} halmazrendszer környezetbázisa. B(x, r) jelöli az x középpontú r sugarú zárt gömböt. Legyen M X. Azt mondjuk, hogy x M belső pontja M-nek, ha M környezete x-nek. Az M belső pontjainak halmazát intm-el jelöljük és M belsejének nevezzük. M belsejét úgy is értelmezhetjük, mint az M-ben levő nyílt halmazok egyesítését. Az M-et tartalmazó összes zárt halmazok metszetét M lezárásának nevezzük és M-el jelöljük. Az M \ intm halmazt M határának nevezzük és M-el jelöljük. Legyen M X. Azt mondjuk, hogy M sűrű X-ben, ha M = X. Azt mondjuk, hogy X szeparábilis topológikus tér, ha létezik egy megszámlálható és sűrű részhalmaza. Az M X halmazról azt mondjuk, hogy kompakt, ha bármely nyílt lefedéséből kiválasztható egy véges lefedés. A kompaktság sorozatokkal is jellemezhető. Ennek érdekében bevezetjük az általánosított sorozatokat. Legyen (I, ) egy rendezett halmaz, amely jobbra irányított, azaz bármely i, j I esetén létezik k I úgy, hogy i k és j k. X halmazbeli általánosított sorozatnak nevezünk egy olyan x : I X függvényt, ahol I egy rendezett, jobbra irányított halmaz. Az általánosított sorozat elemei x i = x(i) és ezért a sorozatot (x i ) i I -vel, vagy egyszerűbben csak (x i )-vel jelöljük. Egy általánosított sorozatot csak sorozatnak nevezünk, ha I = N. Legyen (x i ) i I R egy általánosított sorozat. lim inf i I x i = x ε > 0 i ε ú.h. i i ε, x i > x ε és ε > 0 i, i i ú.h. x i < x + ε,

4. BEVEZETŐ lim sup x i = x i I ε > 0 i ε ú.h. i i ε, x i < x + ε és ε > 0 i, i i ú.h. x i > x ε Egy (X, τ) topológikus térbeli (x i ) i I általánosított sorozat konvergál az x X elemhez, ha bármely V N (x) esetén létezik i V I úgy, hogy bármely i i V esetén x i V. (x i ) R konvergens, ha lim inf i I x i = lim sup x i = lim x i = x. i I i I Legyen I = (0, ) a szokásos rendezési relációval és x i = sin i, y i = i. Ekkor (x i ) nem konvergens, (y i ) konvergens habár nem korlátos. Egy (y j ) j J általánosított sorozatot az (x i ) i I általánosított sorozat általánosított részsorozatának nevezzük, ha létezik egy ϕ : J I függvény úgy, hogy: (i) y j = x ϕ(j), j J; (ii) i I, j i J ú.h. j j i ϕ(j) i. Lehetségesek olyan esetek is, amikor egy sorozatnak nincsenek konvergens részsorozatai, de vannak konvergens általánosított részsorozatai [9, 8]. Egy M halmaz kompaktságát általánosított sorozatokkal úgy jellemezhetjük, hogy bármely M-beli általánosított sorozatnak van konvergens általánosított részsorozata. Az olyan halmazokat, amelyek esetében bármely sorozatnak van konvergens részsorozata, szekvenciálisan kompakt halmazoknak nevezzük. Megszámlálható topológiára nézve a kompaktság és szekvenciális kompaktság egyenértékű fogalmak. Tekintsük a (X, τ) és (Y, σ) topológikus tereket. Az f : X Y függvényről azt mondjuk, hogy folytonos az x 0 X pontban, ha V N (f(x 0 )), U N (x) ú.h. x U f(x) V. Az f függvényről azt mondjuk, hogy folytonos az X halmazon, ha folytonos X minden pontjában..

.. ALAPFOGALMAK 5 Tulajdonság.. A következő kijelentések ekvivalensek:. f folytonos X-en. 2. G Y nyílt f (G) nyílt. 3. F Y zárt f (F ) zárt. 4. Ha x i x X f(x i ) f(x). Definíció..2 Azt mondjuk, hogy f : X R alulról félig folytonos (a.f.f.) az x 0 pontban, ha x i x 0 lim inf i I f(x i ) f(x 0 ). Azt mondjuk, hogy f : X R felülről félig folytonos (f.f.f.) az x 0 pontban, ha x i x 0 lim sup f(x i ) f(x 0 ). i I Ha f : X R folytonos az x 0 pontban, akkor x i x lim inf i I f(x i ) = lim sup f(x i ) = lim f(x i ) = f(x). i I i I Tulajdonság..2 Ha f : X Y folytonos és K X kompakt, akkor f(k) kompakt. Definíció..3 Legyen (X, +, ) egy lineáris tér és az X-en megadunk egy τ topológiát. Azt mondjuk, hogy az (X, +,, τ) egy lineáris topológikus tér, ha az összeadás és a skalárral való szorzás folytonosak. A következőkben mindig valós skalárokkal fogunk dolgozni. Az előbbi definícióból következik, hogy egy lineáris topológikus tér esetén elég ha megadjuk az origó egy környezetbázisát. Legyen B az origó egy környezetbázisa. Ekkor egy x X elem esetén B(x) = {x + B : B B} az x egy környezetbázisát alkotja. Egy lineáris térbeli (x i ) i I általánosított sorozatot Cauchy (fundamentális) sorozatnak

6. BEVEZETŐ nevezünk, ha az origónak bármely U környezete estén létezik i 0, j 0 I ú.h. x i x j U bármely i i 0, j j 0 esetén. Minden konvergens általánosított sorozat egyben Cauchy sorozat is. Egy lineáris teret teljesnek nevezünk, ha bármilyen általánosított Cauchy sorozat konvergens. Definíció..4 Egy K X halmazról azt mondjuk, hogy konvex, ha x, y K, t [0, ] ( t)x + ty K. Egy M X halmaz esetén konvm jelöli M konvex burkolóját, azaz az M halmazt tartalmazó összes konvex halmazok keresztmetszetét. konvm jelöli a konvex burkoló lezárását. Definíció..5 Az X lineáris topológikus térről azt mondjuk, hogy lokálisan konvex, ha létezik az origónak egy csupán konvex halmazokból álló környezetbázisa. A lokálisan konvex terek jellemzése érdekében bevezetjük a félnorma fogalmát. Definíció..6 Legyen X egy lineáris tér. Egy p : X R függvényt félnormának nevezünk, ha:. p(tx) = t p(x), t R, x X. 2. p(x + y) p(x) + p(y), x, y X. Definíció..7 Ha egy p félnorma még teljesíti a 3. p(x) = 0 x = 0 feltételt is, akkor normának nevezzük. Tétel.. Egy X lineáris topológikus tér lokálisan konvex akkor és csakis akkor, ha létezik egy (p i ) i I félnorma család ú.h. a B = {V i,...,i n,ε : i,..., i n I, ε > 0}, halmazrendszer egy környezetbázisa az origónak, ahol V i,...,i n,ε = { x X : p ij (x) < ε, j {,..., n} }.

.. ALAPFOGALMAK 7 Példa... Legyen l : R 2 R egy lineáris függvény. Ekkor p(x) = l(x) egy félnorma és ezen félnorma segítségével az origó egy környezetbázisának az elemei a V p,ε = { x R 2 : l(x) < ε } halmazok. A későbbiekben az általunk tanulmányozott lokális konvex terek félnormái hasonlóak az előbbi példában szereplővel. Megállapíthatjuk, hogy az origónak környezetbázisát ilyen V p,ε sávok és ezek véges metszetei alkotják. Ezen sávok az origóra nézve szimmetrikusak és két párhuzamos hipersík, az l(x) = ε és az l(x) = ε, között helyezkednek el. Végtelen dimenziós terek esetében véges számú ilyen sáv metszete sohasem korlátos. Ezért, végtelen dimenziós Banach terek esetében, az általunk tárgyalt gyenge topológiáknak nincs korlátos halmazokból álló környezetbázisa. Definíció..8 Ha egy X lineáris téren megadunk egy : X R + normát, akkor az (X, ) teret normált térnek nevezzük. Egy normált tér egyben lokálisan konvex tér is. Normált terek esetében viszont az origónak mindig van korlátos halmazokból, azaz gömbökből álló környezetbázisa. Definíció..9 Ha egy normált térben bármilyen Cauchy (fundamentális) sorozat konvergens, akkor a teret Banach térnek nevezzük. Definíció..0 Legyen X egy lineáris tér. Egy, : X X R függvényt skaláris szorzatnak nevezzük, ha teljesíti a következő feltételeket:. x, x 0, x X és x, x = 0 x = 0. 2. x, y = y, x, x, y X. 3. αx + βy, z = α x, z + β y, z, α, β R, x, y, z X. Egy skaláris szorzat mindig származtat egy normát a x = x, x képlet segítségével. Fordítva, egy norma skaláris szorzatból származik akkor és csakis akkor, ha teljesíti a paralelogramma egyenlőséget, azaz x + y 2 + x y 2 = 2 ( x 2 + y 2), x, y X.

8. BEVEZETŐ Definíció.. Ha egy X lineáris téren megadunk egy, skaláris szorzatot, akkor az (X,, ) párost prehilbert térnek nevezzük. Ha ebben a térben bármilyen Cauchy sorozat konvergens, akkor a teret Hilbert térnek nevezzük. Példa..2. Legyen X = C[0, 2π] és x = max{ x(t) : t [0, 2π]}. Ekkor (X, ) Banach tér. Ugyanez elmondható a következő esetben is: X = C 2π (R), vagyis a valós számok halmazán értelmezett folytonos és 2π periódusú függvények halmaza és x = max{ x(t) : t [0, 2π]}. Példa..3. Tekintsük az R n teret a következő normákkal: (x,..., x n ) p = p x p +... + x n p amikor p < és (x,..., x n ) = max{ x,..., x n }. Az R n bármelyik normával Banach teret alkot, de ezen normák közül csak 2 származik skaláris szorzatból. Ez a skaláris szorzat a következő: (x,..., x n ), (y,..., y n ) = x y +... + x n y n. Példa..4. Legyen Ω R n, p < és { I p (Ω) = x : Ω R : x Lebesque mérhető és Ω } x(t) p dt < +. Az I p (Ω) lineáris tér a függvények összeadására és skalárral való szorzására nézve. Tekintsük az I p (Ω) faktorizálását az x y x(t) = y(t) m.m. t Ω

.. ALAPFOGALMAK 9 ekvivalencia relációval. A kapott faktorhalmazt L p (Ω)-val jelöljük, ami ugyancsak egy lineáris tér. Értelmezzük Lp (Ω)-n a következő normát: ( x p = x(t) p dt Ω ahol x az [x] ekvivalencia osztálynak egy reprezentánsát jelöli. Az (L p (Ω), p ) Banach tér bámilyen p esetén, de csak p = 2-re Hilbert tér. ) p Ebben az esetben a normát származtató skaláris szorzat: x, y = x(t)y(t)dt. p = esetében az előbbi szerkesztés a következőképpen alakul: Ω I (Ω) = {x : Ω R : x Lebesque mérhető és c > 0, ú.h. x(t) c, m.m.t Ω}. Az L (Ω) lineáris teret az I (Ω)-nak az előbbi ekvivalencia reláció szerinti faktorizálásából kapjuk. Értelmezhetjük a következő normát: x = ess sup x(t) = inf{c > 0 : x(t) c, m.m. t Ω}. t Ω (L (Ω), ) Banach tér ebben az esetben is. Példa..5. A függvényterekhez hasonlóan sorozattereket is értelmezhetünk. Legyen p és l p = { (x n ) R : } x n p <. l p egy lineáris tér és értelmezhetjük rajta a következő normát: ( ) p (x n ) p = x n p. (l p, p ) Banach tér bármilyen p < esetén, viszont csak p = 2-re Hilbert tér. p = esetén n= n= l = {(x n ) R : (x n ) korlátos}.

0. BEVEZETŐ l egy Banach tér a következő normával: (x n ) = sup x n. n N Példa..6. A disztribuciók tere mint lokálisan konvex tér. Legyen Ω R n egy nyílt halmaz. C 0 (Ω)-val jelöljük az Ω-n értelmezett akárhányszor differenciálható, kompakt tartójú függvények halmazát. Egy x : Ω R függvény tartóján a következő halmazt értjük: Legyen K Ω kompakt halmaz és supp x = {t Ω : x(t) 0}. C 0 (K, Ω) = {x C 0 (Ω) : suppx K}. Bármilyen K K kompakt halmaz, m N és x C 0 (K, Ω) esetén legyen p K,m félnorma C 0 (K, Ω)-n. p K,m(x) = sup t K k m D k x(t). C 0 (K, Ω) a p K,m félnormákkal lokálisan konvex teret alkot. C 0 (Ω)-n a következőképpen értelmezünk egy lokálisan konvex topológiát: - az origó egy környezetbázisa azon U C 0 (Ω) halmazokból áll, amelyekre U konvex, tu U, t és bármilyen K Ω kompakt halmazra U C 0 (K, Ω) egy környezete az origónak a C 0 (K, Ω) lokálisan konvex térben. A C 0 (Ω)-n értelmezett lokálisan konvex teret D(Ω)-val jelöljük. Ezen a téren a függvénysorozatok konvergenciája a következőt jelenti: x n x akkor és csakis akkor, ha: - létezik K Ω kompakt halmaz ú.h. suppx n, suppx K; - D k x n egyenletesen konvergál a K kompakt halmazon D k x-hez, bármilyen rendű differenciál esetén. A D(Ω)-n értelmezett lineáris és folytonos függvényeket disztribucióknak nevezzük.

.2. GYENGE TOPOLÓGIÁK BANACH TEREKBEN.2 Gyenge topológiák Banach terekben Definíció.2. Legyen X egy lokálisan konvex tér. Az X = {x : X R : x lineáris és folytonos}, lineáris teret az X duális terének nevezzük. X jelöli az X biduális terét, amit az X Banach tér duálisaként értelmezhetünk. Példa.2... R n duálisa önmaga, függetlenül attól, hogy melyik normát értelmezzük rajta. 2. < p < esetén az L p (Ω) és l p terek duálisai L q (Ω) és l q, ahol + =. p q 3. L (Ω) és l duálisai L (Ω) és l. 4. A D(Ω) tér duális terét D (Ω)-val jelöljük és a disztribuciók lineáris terét alkotja. Ha X egy Banach tér, akkor X -on értelmezhető a következő norma, amivel együtt X egy Banach teret alkot: x = sup x (x). x = Ezután az x (x) = x, x jelölést fogjuk használni. Definíció.2.2 Az X -on a fentebbi norma által származtatott topológiát a norma topológiájának vagy erős topológiának nevezzük. A norma topológiájára nézve X -ban az origónak egy környezetbázisa a B = {B (0, ε) : ε > 0} halmazrendszer, ahol B (0, ε) az X -beli origó középpontú ε sugarú zárt gömböt jelöli. A következőkben B jelöli az X -beli zárt egységgömböt, B az X-beli zárt egységgömböt, valamint S és S ezek határait.

2. BEVEZETŐ Megemlítünk olyan tulajdonságokat és tételeket is, amelyek a funkcionál analízis klasszikus eredményeihez sorolhatók. Legyen X egy Banach tér. Tulajdonság.2. [8] Legyen U egy zárt altere X-nek és x U. x X ú.h. x, x = és x, s = 0, s U. Ekkor létezik Tulajdonság.2.2 [8] Bármilyen x X esetén létezik x X ú.h. x = és x, x = x. Tétel.2. Helly tétele [8] Legyen x 0 X és U X egy véges dimenziós altér. Ekkor bármilyen ε > 0 esetén létezik x ε X ú.h. és x ε x 0 + ε x, x = x, x ε, x U. Tétel.2.2 Riesz tétele [8] Legyen X egy Hilbert tér és x 0 X. Ekkor létezik x 0 X ú.h. x 0, x = x 0, x, x X. Az X -on értelmezünk két másik topológiát is, amelyek gyengébbek a norma topológiájánál. Legyen x X tetszőleges. Ekkor a p x : X R, egy félnormát határoz meg X -on. p x (x ) = x, x, Definíció.2.3 A B w = { V x,...,x n,ε : x,..., x n X, ε > 0 } halmazrendszer, ahol V x,...,x n,ε = {x X : p xi (x ) < ε, i {,..., n}}, az origónak egy környezetbázisát alkotja X -on egy lokálisan konvex topológia számára, amelyet az X gyenge topológiájának nevezünk és σ(x, X)-el jelölünk.

.2. GYENGE TOPOLÓGIÁK BANACH TEREKBEN 3 Legyen x X tetszőleges. Ekkor a p x : X R, p x (x ) = x, x, egy félnormát határoz meg X -on. Definíció.2.4 A B w = { V x,...,x n,ε } : x,..., x n X, ε > 0 halmazrendszer, ahol V x,...,x n,ε = { x X : p x i (x ) < ε, i {,..., n} }, az origó egy környezetbázisát alkotja X -on egy lokálisan konvex topológia számára, amelyet az X gyenge topológiájának nevezünk és σ(x, X )-gal jelöljünk. Meghatározunk egy gyenge topológiát X-en is. Legyen x X tetszőleges. Ekkor a p x : X R, p x (x) = x, x, egy félnormát határoz meg X-en. Definíció.2.5 A B w = { V x,...,x n,ε : x,..., x n X, ε > 0 } halmazrendszer, ahol V x,...,x n,ε = { x X : p x i (x) < ε, i {,..., n} }, az origó egy környezetbázisát alkotja X-en egy lokálisan konvex topológia számára, amelyet az X gyenge topológiájának nevezünk és σ(x, X )-gal jelölünk.

4. BEVEZETŐ Sorozatok konvergenciájára a következő jelöléseket fogjuk használni: - x i x és x i x, amikor X-en és X -on a norma topológiáját tekintjük; - x i x, amikor X-en a gyenge topológiát tekintjük; - x i x, amikor az X -on a gyenge, σ(x, X ), topológiát tekintjük; - x i x, amikor az X -on a gyenge, σ(x, X), topológiát tekintjük. Véges dimenziós X tér esetén X-en a norma topológiája és a gyenge topológia ekvivalens. Ugyanakkor X -on a norma topológiája, a gyenge és a gyenge -topológiák ekvivalensek. Abban az esetben ha X nem véges dimenziós, a fentebb említett erős és gyenge topológiák különbözők. A következő implikációk érvényesek. x i x x i x x i x x i x x i x x i x x i x x i x. Amint az előbbiekben láttuk, sorozatok erős konvergenciája implikálja a gyenge konvergenciát. Ez fordítva általában nem igaz. Ez azt jelenti, hogy végtelen dimenziós Banach terekben általánosított sorozatok gyenge konvergenciája nem implikálja mindig az erős konvergenciát. Viszont az l -beli sorozatok gyenge és erős konvergenciája ekvivalens. A gyenge konvergenciák jellemzéséről a következőket írhatjuk: Tulajdonság.2.3 x i x x, x i x, x, x X ; x i x x, x i x, x, x X ;

.2. GYENGE TOPOLÓGIÁK BANACH TEREKBEN 5 x i x x i, x x, x, x X. Tulajdonság.2.4 Ha x i x X, akkor x lim inf i I x i. Bizonyítás. Az.2.2 tulajdonságból következik, hogy létezik x X ú.h. x = és x, x = x. Ezért x i x, x i x, x = x, tehát lim inf x i x. Ez az előbbi tulajdonság ekvivalens azzal, hogy a : X R norma gyengén alulról félig folytonos, amit a következő fejezetben is felhasználunk. Példa.2.2. Legyen p, q > ú.h. /p + /q = és Ω R n. Ekkor x n x L p (Ω) -ban x n (t)x (t)dt x(t)x (t)dt, x L q (Ω). Ω Ω Példa.2.3. Legyen e n = (0,..., 0,, 0,...) l 2 (-es az n-ik helyen) bármely n N esetén és θ = (0,..., 0,...). Ekkor e n θ, mivel bármely x = (x n ) l 2 -re e n, x = x n 0, n. Ugyanakkor az (e n ) sorozat erősen nem konvergál, mert e n e n+ = 2, bármely n N esetén. Megjegyzés. Ha egy (x n ) sorozartra fennáll, hogy x, x n konvergens, x X, még nem vonja maga után, hogy az (x n ) sorozat gyengén konvergens. Példaként említhetjuk a C([0, ]) Banach teret és az x n (t) = t n függvénysorozatot. A C([0, ])

6. BEVEZETŐ izomorf a [0, ] intervallumon korlátos változású függvények azon alterével, amelynek elemei a (0, ) intervallumon jobbról folytonosak és a zéróban zéró értéket vesznek fel. Ez alapján ha x C([0, ]), akkor úgy lehet tekinteni, hogy x : [0, ] R korlátos változású, (0, )-en jobbról folytonos, x (0) = 0 és x, x = 0 x(t)dx (t). Legyen x(t) = { 0, 0 < t <, t = Mivel x n (t) x(t), t [0, ], következik, hogy 0 x n (t)dx (t) 0 x(t)dx (t), x C([0, ]), tehát x, x n konvergens x C([0, ]). De x C([0, ]), tehát (x n ) nem konvergál gyengén egyetlen C([0,])-beli függvényhez sem.

.3. GYENGE ZÁRTSÁG ÉS KOMPAKTSÁG 7.3 Banach terek részhalmazainak korlátossága, gyenge zártsága és kompaktsága Egy X lineáris topológikus térbeli M halmazt korlátosnak nevezzük, ha az origó bármely U környezete esetén létezik ε > 0 ú.h. δ M U, 0 δ < ε. Legyen X egy Banach tér. Egy M X halmaz korlátossága az erős topológiára nézve ekvivalens az M korlátosságával az X gyenge topológiájára nézve. Jelölje M az M lezárását az erős topológiára nézve és M w az M lezárását a gyenge topológiára nézve. Ekkor M M w. Egyenlőség nem lehetséges minden esetben. Ezt támasztja alá a korábbi.2.3 példa, amelyik azt is mutatja, hogy az l 2 Hilbert térben az egységgömb felszínének gyenge lezárása az egész egységgömb. Tétel.3. (Mazur) Egy Banach térben a konvex halmazok erős és gyenge lezárása megegyezik. Bizonyítás. Legyen M X egy konvex halmaz. Azt kell bizonyítanunk, hogy M w M, mivel a fordított bennfoglalás mindig igaz. Legyen x 0 M w. Feltételezzük, hogy x 0 M. Ekkor létezik x X és γ > 0 ú.h. x, x 0 < γ x, x, x M. (.3.) Legyen 0 < ε < γ x, x 0. A V x,ε = {x X : x, x < ε} halmaz egy környezete, a gyenge topológiában, az origónak. Továbbá, x 0 + V x,ε egy környezete az x 0 pontnak a gyenge topológiában. létezik x V x,ε ú.h. x = x 0 + x és így Bármilyen x x 0 + V x,ε esetén x, x = x, x 0 + x < x, x 0 + ε < γ.

8. BEVEZETŐ Innen viszont az következik, hogy x M, tehát x M, bármely x x 0 + V x,ε esetén. Ez utóbbi ellentmond azzal, hogy x M w. Ami a Banach terek részhalmazainak kompaktságát illeti, megjegyezhetjük, hogy véges dimenziós terek esetében a korlátos és zárt halmazok kompaktak. Ez nem igaz végtelen dimenziós Banach terek esetén, mivel a zárt egységgömb nem kompakt az erős topológiára nézve és gyenge kompaktsága is csak reflexív Banach terekben igaz. Általános esetben a következő tétel érvényes. A tétel igaz normált terek esetén is, de mivel Banach terekkel foglalkozunk, ezekben jelentjük ki. Tétel.3.2 (Alaoglu-Bourbaki) [6, 8] Legyen X egy Banach tér. Ekkor B, az X -beli a zárt egységgömb, gyenge kompakt. Bizonyítás. Legyen x X és I x = [ x, x ] R kompakt halmaz, és tekintsük a T = x X I x szorzatteret, amelynek elemei olyan f : X x X I x leképezések, amelyek teljesítik az f(x) I x, x X feltételt. A T térben a szorzat topológiára való konvergencia azt jelenti, hogy f i f f i (x) f(x), x X. Ekkor B T és a szorzat topológia által származtatott topológia B -on pontosan a gyenge topológia. Tychonov tétele miatt T, mint kompakt topológikus terek szorzattere, kompakt. Emiatt csak azt kell bizonyítani, hogy B zárt T -ben. Ezért legyen (x i ) i I B és f T ú.h. x i f a T topológiájára nézve. Ezen feltételek mellett f lineáris, mert f(αx + βy) = lim i I x i, αx + βy = lim i I x i, αx + lim i I x i, βy = αf(x) + βf(y).

.3. GYENGE ZÁRTSÁG ÉS KOMPAKTSÁG 9 Továbbá tehát f B. f(x) = lim i I x i, x x, Megjegyzés. Az előbbi tétel következménye, hogy X bármely korlátos és gyenge - zárt halmaza gyenge -kompakt.

20. BEVEZETŐ.4 Reflexív Banach terek Legyen X egy Banach tér. Értelmezzük az I : X X leképezést a következő módon: I(x)(x ) = x, x, x X, x X. Az I leképezés egy lineáris izometria és ezért folytonos és injektív. E leképezés miatt úgy tekinthetjük, hogy X X. Ha B -al jelöljük az X -beli zárt egységgömböt, akkor Helly tétele azt mondja, hogy B sűrű B -ban a σ(x, X ) topológiára nézve. Ez azt jelenti, hogy bármely x B esetén létezik (x i ) i I B ú.h. I(x i ) konvergál x -hoz a σ(x, X ) topológiára nézve (jelölés: I(x i ) x ). Definíció.4. Azon X Banach tereket, amelyek esetében az I leképezés szürjektív, reflexív Banach tereknek nevezzük. Reflexív Banach terek esetében úgy tekinthetjük, hogy X = X. Ugyanakkor az X -on meghatározott két gyenge topológia, a σ(x, X) és a σ(x, X ), ekvivalens. A következőkben a reflexív Banach terek két jellemzését adjuk. Tétel.4. X reflexív akkor és csakis akkor ha X reflexív. Bizonyítás. Legyen I : X X és I : X X a két lineáris izometria. Mivel X reflexív, bármilyen x X esetén létezik x X ú.h. x = I(x). Legyen x X. Ezen elem esetén létezik x = x I X ú.h. I (x ) = x, mert x, x = x, I(x) = x I, x = x, x = = I(x), x = x, x, x X. Feltételezzük, hogy X reflexív és X nem reflexív. Ekkor I(X) zárt altere X -nak és létezik x 0 X \ I(X). Az.2. tulajdonságból

.4. REFLEXÍV BANACH TEREK 2 következik, hogy létezik x X ú.h. x, x 0 = és x, I(x) = 0, x X. Mivel X reflexív, létezik x X ú.h. x = I (x ). Ekkor viszont 0 = x, I(x) = I(x), x = x, x, x X, tehát x 0 és innen x 0, ami ellentmodás azzal, hogy x, x 0 =. Tétel.4.2 X reflexív akkor és csakis akkor, ha B, az X-beli zárt egységgömb, gyengén kompakt. Bizonyítás. Az Alaoglu-Bourbaki tételt X -ra alkalmazva az kapjuk, hogy B σ(x, X ) kompakt. Mivel X reflexív, I(B) = B. Legyen (x i ) i I B. Mivel (I(x i )) i I B, következik, hogy létezik (I(x j )) j J általánosított részsorozat és x = I(x) B ú.h. I(x j ) I(x). Ez viszont ekvivalens azzal, hogy I(x j ), x I(x), x, x X x, x j x, x, x X x j x. Elég azt bizonyítanunk, hogy I(B) = B. Legyen x B. Mivel I(B) sűrű B -ban, következik, hogy létezik (x i ) i I B ú.h. I(x i ) x. Mivel B gyengén kompakt, létezik (x j ) j J általánosított részsorozat és x B ú.h. x j x. Ekkor viszont I(x j ) I(x) és mivel az I(x i ) konvergens általánosított sorozatnak egyetlen torlódási pontja lehet, következik, hogy x = I(x).

22. BEVEZETŐ Megjegyzés. Az előbbi tételt úgy is kijelenthettük volna, hogy X reflexív akkor és csakis akkor, ha bármely korlátos, zárt és konvex halmaz gyengén kompakt. Példa.4... L p (Ω) reflexív, ha < p <, mert (L p (Ω)) = L q (Ω) és (L q (Ω)) = L p (Ω), ahol /p + /q =. 2. L (Ω) és L (Ω) nem reflexívek, mivel (L (Ω)) = L (Ω) és (L (Ω)) = M(Ω), a végesen additív pozitív Radon mértékek halmaza, amelyik nem egyenlő L (Ω)-val. A függvényterek közül nem reflexív a C([0, ]) sem. 3. A sorozatterek közül reflexív az l p, < p < esetben. Nem reflexív a c 0, l, l. Ez utóbbiak között a következő relációk érvényesek: (c 0 ) = l, (l ) = l. 4. Bármilyen Hilbert tér reflexív, mivel Riesz Frigyes tétele alapján, egy Hilbert tér duálisa megfeleltethető önmagának. 5. A véges dimenziós Banach terek reflexívek. Bizonyítunk egy olyan tulajdonságot amely reflexív terekben érvényes és fontos szerepet fog játszani a következő fejezetekben. Tulajdonság.4. Legyen X egy reflexív Banach tér. Ekkor bármilyen x 0 X, x 0 = esetén létezik x 0 X ú.h. x 0 =, x 0, x 0 =. Bizonyítás. Legyen x 0 X, x 0 =. Bármilyen x X, x esetén x 0, x. Ugyanakkor sup x 0, x =. x Az x 0, mint egy lineáris és folytonos függvény, gyengén is folytonos. B gyengén kompakt, tehát x 0 eléri maximumát B-n, azaz létezik x 0 B ú.h. x 0 = és x 0, x 0 =.

.4. REFLEXÍV BANACH TEREK 23 Példa.4.2 Legyen x : c 0 R ú.h. Ekkor x, (x n ) = n= x = x n n!, (x n) c 0. de bármely (x n ) c 0, (x n ) esetén x n, n N és bármely 0 < ε < esetén n= n! létezik n ε N ú.h. x n < ε, n n 0. Emiatt x, (x n ) < Ez a példa is mutatja, hogy c 0 nem reflexív. n= n!.

24. BEVEZETŐ

2 Banach terek geometriai tulajdonságai 2. Szigorúan konvex Banach terek Ebben a fejezetben a Banach terek azon tulajdonságaival foglalkozunk, amelyeket a norma származtat. Ezeket geometriai tulajdonságoknak nevezik, mivel többek között az egységgömb felszínének alakjával, annak gömbölyűségével vannak kapcsolatban. Definíció 2.. Egy X Banach teret szigorúan konvexnek nevezünk, ha bármely x, y X, x = y =, x y elemekre fennáll, hogy ( t)x + ty <, t (0, ). E definíció alapján, egy szigorúan konvex Banach tér egységgömbjének felszíne nem tartalmaz szakaszokat. Példa 2.... Az első fejezetben említett (R n, p ) Banach terek < p < esetén szigorúan konvexek, p = és p = esetén nem szigorúan konvexek. 2. A függvényterek közül a C([0, ]), L (Ω), L (Ω) nem szigorúan konvexek. Az L p (Ω) terek szigorúan konvexek, ha < p <. 3. A sorozatterek közül a c 0, l, l nem szigorúan konvexek, az l p terek, < p < 25

26 2. BANACH TEREK GEOMETRIAI TULAJDONSÁGAI esetében viszont szigorúan konvexek. A szigorúan konvex Banach tereket a következőképpen lehet jellemezni. Tétel 2.. Egy X Banach tér esetén ekvivalensek a következő kijelentések:. X szigorúan konvex. 2. Bármilyen x X legtöbb egy pontban éri el maximumát az egységgömb határán. 3. Bármilyen x, y X, x = y =, x y, esetén (x + y) <. 2 Bizonyítás.. 2. Feltételezzük, hogy létezik x X és x, y X ú.h. x = y =, x y és x, x = x, y = x. Ekkor x = x, 2 (x + y) x (x + y). 2 Tehát Ugyanakkor tehát ami ellentmond a szigorú konvexitásnak. 2. 3. Legyen x, y X ú.h. (x + y). 2 2 (x + y) ( x + y ), 2 (x + y) =, 2 x = y =, x y, (x + y) =. 2 A Hahn-Banach tételből következik, hogy létezik x X ú.h. x =, x, (x + y) =. 2

2.. SZIGORÚAN KONVEX BANACH TEREK 27 Ugyanakkor x, x és x, y, tehát x, x = x, y =. Ez viszont ellentmond a 2.-nek. 3.. Jelöljük (u, v)-vel az X Banach térben az u-t a v-vel összekötő, végpontok nélküli, szakaszt. Legyen x, y X ú.h. x = y = és x y. Ekkor (x + y) <, ami azt jelenti, 2 hogy (x+y) az egységgömb belsejében van. Az egységgömb egy konvex halmaz, tehát 2 az (x, (x + y)) és az ( (x + y), y) végpontok nélküli szakaszok teljes egészükben az 2 2 egységgömb belsejében vannak, ez pedig a szigorú konvexitást igazolja.

28 2. BANACH TEREK GEOMETRIAI TULAJDONSÁGAI 2.2 Lokálisan uniform konvex Banach terek Definíció 2.2. Az X Banach teret lokálisan uniform konvexnek nevezzük, ha bármely x X, x = és bármely ε > 0 esetén létezik δ = δ(x, ε) > 0 ú.h. bármely y X, y =, elemre (x + y) δ x y ε. (2.2.) 2 Az előbbi definicióban a (2.2.) implikációt a következőképpen is írhattuk volna: x y ε (x + y) δ. 2 A lokális uniform konvexitásnak a következő ekvivalens definicióját is adhattuk volna: Definíció 2.2.2 X lokálisan uniform konvex, ha bármilyen x X, x = és bármilyen (x n ) n N X, x n =, n N sorozat esetén x + x n 2 x x n 0, vagy lim inf x x n > 0 lim sup x + x n < 2. n N Bármilyen lokálisan uniform konvex tér egyben szigorúan konvex is. Ez valóban így van, mert ha x = y = és x y, akkor az x X-hez és ε = x y > 0-hoz rendelhetünk egy δ > 0 számot ú.h. n N (x + y) δ <. 2 A fordított implikáció csak véges dimenziós Banach terek esetében igaz. A lokálisan uniform terek fontossága a következő két tulajdonságukban rejlik. Tulajdonság 2.2. [4] Bármilyen X reflexív Banach térben meg lehet határozni egy, az eredeti normával ekvivalens új normát, ú.h. az új normát tekintve az X és az X is lokálisan uniform konvex Banach tér lesz.

2.2. LOKÁLISAN UNIFORM KONVEX BANACH TEREK 29 Megjegyezzük, hogy egy ekvivalens norma bevezetésével az X elemei ugyanazok a függvények maradnak. Lokálisan uniform konvex terekben a gyenge és az erős konvergencia között a következő kapcsolat létezik. Tulajdonság 2.2.2 Legyen X egy lokálisan uniform konvex Banach tér, x X és (x n ) n N X. Ekkor x n x és x n x x n x. Bizonyítás. Ha x = 0 akkor evidens, mert x n 0 implikálja, hogy x n 0. Ha x 0, akkor legyen Ekkor y + y n 2y és így y = x x és y n = x n x n. 2 = 2y lim inf n y + y n lim sup y + y n 2. n Tehát lim y + y n = 2 n és a lokális uniform konvexitás miatt y y n 0, azaz y n y. Ezáltal x n x.

30 2. BANACH TEREK GEOMETRIAI TULAJDONSÁGAI 2.3 Uniform konvex Banach terek Definíció 2.3. Egy X Banach teret uniform konvexnek nevezünk, ha bármilyen ε > 0 esetén létezik δ = δ(ε) ú.h. (x + y) δ x y ε (2.3.) 2 bármilyen x, y X, x = y =, esetén. Az előbbi definicióban a (2.3.) implikációt a következőképpen is írhattuk volna: x y ε (x + y) δ. 2 Az uniform konvexitásnak a következő ekvivalens definıicióját is adhattuk volna: Definíció 2.3.2 X uniform konvex, ha bármilyen (x n ) n N X, x n = n N és (y n ) n N X, y n = n N, sorozatok esetén x n + y n 2 x n y n 0 vagy lim inf x n y n > 0 lim sup x n + y n < 2. n N Bármilyen uniform konvex tér egyben lokálisan uniform konvex és szigorúan konvex is. A fordított implikáció csak véges dimenziós Banach terek esetében igaz. n N Tulajdonság 2.3. Legyen X egy véges dimenziós Banach tér. Ekkor X szigorúan konvex akkor és csakis akkor, ha uniform konvex. Bizonyítás. Azt kell bizonyítanunk, hogy ha X szigorúan konvex, akkor uniform konvex is, mivel fordítva mindig igaz. Legyen (x n ) n N és (y n ) n N két sorozat ú.h. x n = y n =, n N, 2 (x n + y n ) és x n y n 0.

2.3. UNIFORM KONVEX BANACH TEREK 3 Mivel X véges dimenziós, az egységgömb kompakt halmaz, tehát létezik két részsorozat (x nk ) k N és (y n k) k N ú.h. Ekkor ami ellentmond a szigorú konvexitásnak. x nk x, y n k y és x = y =. (x + y) = és x y, 2 E tulajdonság és a 2.. példa alapján az (R n, p ) uniform konvex tér bármilyen < p < esetén. Példa 2.3. Bármilyen Hilbert tér uniform konvex. Ahhoz, hogy ezt bizonyítsuk, azt kell felhasználnunk, hogy x n y n 2 + x n + y n 2 = 2 ( x n 2 + y n 2) = 4, amikor x n = y n =. Az előbbi egyenlőségből következik, hogy ha x n + y n 2, akkor x n y n 0. Példa 2.3.2 Az l p és L p (Ω) terek uniform konvexek, ha < p <. Bebizonyítjuk az L p (Ω) terek uniform konvexitását. Felhasználjuk a következő két egyenlőtlenséget [0]: (x + y) 2 ( 2 ( x + y ) 2 x p + ) p 2 y p max{ x, y } (2.3.2) és 2 ( x p + y p ) (x + y) 2 ahol c >, s = ha p < 2 és s = p 2 p c (x y) 2 p s ( 2 ( x p + y p ) ha p 2, rögzített konstansok. Legyen x, y L p (Ω). A következő jelöléseket használjuk: ( m = 2 x p + ) p 2 y p, M = max{ x, y }. ) s, (2.3.3)

32 2. BANACH TEREK GEOMETRIAI TULAJDONSÁGAI Ahhoz, hogy az uniform konvexitás fennálljon, tetszőleges ε > 0 számhoz kell létezzen δ > 0 ú.h. 2 x + y ( δ)m x y εm. 2 Felhasználva a 2.3.2 és 2.3.3 relációkat, azt kapjuk, hogy és δ ( Ha a δ értéket úgy választjuk, hogy c ( ) p ) p s x y 2m ( ) p s c x y ( δ) p. 2m δ = ( ( ) cε) p p s, akkor x y εm εm. 2 Egy Banach tér reflexivításából nem lehet következtetéseket levonni a tér geometriájára vonatkozóan. Példaként az R n -et lehetne említeni, mert több ekvivalens normát lehet rajta bevezetni, mindegyik különböző geometriai tulajdonsággal. Fordított implikáció lehetséges uniform konvex terek esetében. Tétel 2.3. (Milman, Pettis) Bármilyen uniform konvex Banach tér reflexív. Bizonyítás. Legyen x X. Feltételezhetjük, hogy x =. Mivel I(B) sűrű B -ban, létezik (x i ) i I B ú.h. I(x i ) x. Ezáltal I(x i + x j ) x -hoz, tehát 2 = 2 x lim inf i,j I I(x i + x j ) lim sup I(x i + x j ) 2, i,j I

2.3. UNIFORM KONVEX BANACH TEREK 33 tehát Az uniform konvexitás miatt lim I(x i + x j ) = 2 és i,j I lim x i x j = 0. i,j I A tér teljességéből következik, hogy az (x i ) i I x B, x = elemhez, mert egyenlőtlenségek miatt tehát = x lim inf i I Emiatt I(x i ) I(x), tehát I(x) = x. lim x i + x j = 2. i,j I általánosított sorozat konvergens egy I(x i ) lim sup I(x i ) i I lim I(x i ) =, i I lim x i =. i I Amint említettük, egy X reflexív Banach térben bevezethető egy norma, amelynek segítségével X és X is lokálisan uniform konvex. Hasonló általános eredmény ekvivalens uniform konvex norma bevezethetőségéről nem lehetséges. Emiatt azokat az X Banach tereket, amelyekben létezik olyan ekvivalens norma, amelynek segítségével X és X is uniform konvex, szuperreflexív tereknek nevezzük és a reflexív tereknek egy speciális osztályát alkotják. Bebizonyítunk egy olyan tulajdonságot, amelyet az 5. fejezetben fogunk használni. Tulajdonság 2.3.2 Legyen X egy uniform konvex Banach tér és < p <. Létezik egy monoton növekvő δ p : R + R + függvény ú.h. δ p (r) > 0, amikor r > 0 és bármely x, y X, x + y > 0, esetén p ( )) (x + y) x y x 2 ( p + y p δ p. sup{ x, y } 2

34 2. BANACH TEREK GEOMETRIAI TULAJDONSÁGAI Bizonyítás. Elég megmutatni, hogy x =, y és x y ε esetén fennáll (x + y) 2 p ( δ p (ε)) + y p 2 Feltételezzük, hogy nem igaz. Ekkor létezik egy ε > 0 és két (x n ) n N, (y n ) n N sorozat ú.h. x n =, y n, x n y n ε és mégis lim n 2 (x n + y n ) p 2 ( + y n p ) =. Ez a határérték csak akkor lehetséges, ha y n, mert bármilyen c 0, c. esetén ( 2 ( + c)) p ( + 2 cp ) és egyenlőség csak c = esetén lehetséges. Ezért ami ellentmond az uniform konvexitásnak. < 2 (x n + y n ),

3 A duális leképezés 3. Konvex függvények Ebben a paragrafusban megemlítjük a konvex függvényekre és azok differenciálására vonatkozó alapvető fogalmakat és eredményeket. Legyen X egy Banach tér és K X egy konvex halmaz. Definíció 3.. Egy f : K R függvényt konvexnek nevezünk, ha f(( t)x + ty) ( t)f(x) + tf(y), x, y K, t [0, ]. Definíció 3..2 Egy f : K R konvex függvény epigráfjának nevezzük a következő halmazt: epi f = {(x, t) K R : t f(x)}. Az előbbi definícióból látszik, hogy f konvex függvény akkor és csakis akkor, ha epif konvex halmaz. Definíció 3..3 Az f : K R függvényt alulról félig folytonosnak (a.f.f.) nevezzük x 0 K-ban, ha f(x 0 ) = lim inf x x 0 f(x) = sup r>0 inf f(x). x K B(x 0,r) Sorozatokkal a következőképpen lehet meghatározni az alulról félig folytonosságot: x n x 0 f(x 0 ) lim inf n f(x n). 35

36 3. A DUÁLIS LEKÉPEZÉS Ugyanakkor azt mondjuk, hogy f a.f.f. K-n, ha a.f.f. bármelyik x 0 K pontban. Ez alapján belátható, hogy f a.f.f. K-n, ha bármilyen t R esetén az {x K : f(x) t} nívóhalmazok zártak. Ha a nívóhalmazok az X-beli gyenge topológiára nézve zártak, azt mondjuk, hogy f gyengén a.f.f. A konvex és a.f.f. függvények jellemzéséről a következőt mondhatjuk. Tulajdonság 3.. Legyen K konvex és zárt. Ekkor egy f : K R, f + függvény konvex és a.f.f. akkor és csakis akkor, ha epif konvex és zárt. Ebből a tulajdonságból látszik, hogy konvex függvények esetén az alulról félig folytonosság ekvivalens a gyengén alulról félig folytonossággal. Definíció 3..4 Legyen f : K R egy konvex függvény és x 0 K. Az x 0 X funkcionált f szubgradiensének nevezzük az x 0 pontban, ha f(x) f(x 0 ) x 0, x x 0, x K. Az f függvény x 0 pontbeli szubdifferenciáljának nevezzük az szubgradiensekből álló halmazt, vagyis f(x 0 ) = {x 0 X : f(x) f(x 0 ) x 0, x x 0, x K}. Példa 3.. Legyen f : R R, f(x) = x. Ekkor, x < 0 ( x ) = [, ], x = 0, x > 0. Példa 3..2 Legyen K X egy konvex, zárt halmaz. Tekintsük az I K : K R, I K (x) = { 0, x K +, x K

3.. KONVEX FÜGGVÉNYEK 37 függvényt, amit a K halmaz indikátor függvényének nevezünk. amikor K zárt és konvex, az I K konvex és a.f.f. Szubdifferenciálja: I K (x 0 ) =, x 0 K {0}, x 0 intk {x 0 X : x 0, x x 0 0, x K}, x 0 K. Ebben az esetben, A I K (x 0 ) halmazt a K halmaz normális kúpjának nevezzük az x 0 pontban. Tulajdonság 3..2 Legyen K X zárt és konvex, f : K R, f +, konvex és a.f.f. Ekkor f(x), x K. Definíció 3..5 Legyenek X, Y Banach terek, K X, x 0 intk és f : K Y. ) Azt mondjuk, hogy f Gâteaux differenciálható az x 0 pontban, ha létezik egy Df(x 0 ) L(X, Y ) lineáris leképezés ú.h. f(x 0 + th) f(x 0 ) lim t 0 t = Df(x 0 )(h), h X. 2) Azt modjuk, hogy f Fréchet differenciálható az x 0 pontban, ha létezik egy Df(x 0 ) L(X, Y ) lineáris leképezés ú.h. f(x) f(x 0 ) Df(x 0 )(x x 0 ) lim x x 0 x x 0 = 0. Ha f differenciálható egy halmaz minden pontjában akkor azt mondjuk, hogy f differenciálható az illető halmazon. A Fréchet differenciálhatóságból következik a Gâteaux differenciálhatóság. Fordítva csak abban az esetben igaz, ha X = R. Azonban, ha f Gâteaux differenciálható az x 0 pont egy környezetében és Df( ) folytonos x 0 -ban, akkor f Fréchet differenciálható x 0 -ban. Példa 3..3 Egy egyszerű példa egy olyan függvényre, amelyik Gâteaux, de nem Fréchet differenciálható az origóban: f : R 2 R, f(x, y) = {, y = x2 0 0, máshol.

38 3. A DUÁLIS LEKÉPEZÉS Példa 3..4 Tekintsük az f : X R, f(x) = x függvényt. f konvex, folytonos függvény és ha x 0 0, akkor x 0 ( x 0 ) x 0 =, x 0, x 0 = x 0. Bizonyítás. Legyen x 0 ( x 0 ). Ekkor x x 0 x 0, x x 0, x X. Innen x x 0 x 0, x x 0, amiből következik, hogy x 0. x = 0 esetében x 0 x 0, x 0, ahonnan x 0, x 0 x 0 és x 0. Az utóbbi relációk alapján x 0 = és x 0, x 0 = x 0. x 0, x x 0 = x 0, x x 0, x 0 x x 0. Tulajdonság 3..3 [4] Egy f : K R konvex, a.f.f. függvény Gâteaux differenciálható x 0 -ban akkor és csakis akkor, ha f(x 0 ) = {Df(x 0 )}. Definíció 3..6 Egy X Banach teret simának nevezünk, ha bármely x 0 0 pontban a norma Gâteaux differenciálható. A 3..4 példából és a 3..3 tulajdonságból következik, hogy: Tulajdonság 3..4 Egy X Banach tér sima akkor és csakis akkor, ha bármely x X, x 0, esetén létezik egyetlen x X ú.h. x =, x, x = x.

3.. KONVEX FÜGGVÉNYEK 39 Definíció 3..7 Egy X Banach teret lokálisan uniform simának nevezünk, ha bármely x 0 0 pontban a norma Fréchet differenciálható. Definíció 3..8 Egy X Banach teret uniform simának nevezünk, ha B- n, az egységgömb felületén, a norma egyenletesen Fréchet differenciálható. Egy Banach tér konvexitása és duálisának simasága között a következő összefüggések lehetségesek: Tulajdonság 3..5 ) X szigorúan konvex X sima. 2) X lokálisan uniform konvex X lokálisan uniform sima. 3) X uniform konvex X uniform sima. Bizonyítás. ) Legyen x 0 X, x 0 0. Mivel X szigorúan konvex, I(x 0 ) X csak egyetlen pontban éri el maximumát az X egységgömbjén és a 3..4 példa alapján ez azt jelenti, hogy ( x 0 ) egyetlen elemet tartalmaz. A 3..3 tulajdonság szerint ez a Gâteaux differenciálhatóság szükséges és elégséges feltétele. 2) Ennek a pontnak a bizonyítása érdekében a 3.3.7 tulajdonságra és a 3.2. megjegyzésre kell hivatkoznunk. Ezek alapján, ha X lokálisan uniform konvex, akkor a J duális leképezés folytonos és mivel az X egyben szigorúan konvex is, a norma Gâteaux differenciálható bármely x 0 pontban. Ugyanakkor ( x ) = x J(x), ami azt jelenti, hogy a Gâteaux differenciál folytonos, tehát a norma Fréchet differenciálható. 3) A bizonyítás hasonló az előbbi pont bizonyításához, csak itt azt kell figyelembe venni, hogy J egyenletesen folytonos az egységgömb határán. Továbbá igazolható ([4, 8]), hogy

40 3. A DUÁLIS LEKÉPEZÉS Tulajdonság 3..6 ) X sima X szigorúan konvex. 2) X uniform sima X uniform konvex. 3) X reflexív és sima X szigorúan konvex. 4) X uniform sima X uniform konvex. 5) X reflexív és szigorúan konvex X sima. 6) X reflexív és lokálisan uniform konvex X lokálisan uniform sima. 7) X uniform konvex X uniform sima.

3.2. A DUÁLIS LEKÉPEZÉS TULAJDONSÁGAI 4 3.2 A duális leképezés tulajdonságai Legyen X és Y két Banach tér. Egy olyan F leképezést, amelyik minden x X ponthoz, hozzárendel egy F (x) Y halmazt, halmazértékű, vagy többértékű leképezésnek nevezzük. Jelölés: F : X Y. A következő halmazt az F halmazértékű leképezés tényleges értelmezési tartományának nevezzük és DomF -el jelöljük: DomF = {x X : F (x) }. Definíció 3.2. Legyen X egy Banach tér. A J : X X, J(x) = {x X : x, x = x x = x 2 }, halmazértékű leképezést, az X Banach tér duális leképezésének nevezzük. Tétel 3.2. (Asplund) J(x) = ( ) 2 x 2. Bizonyítás. x = 0 esetén ( x 2) {0} = J(0) = 2 x=0. Tekintsünk egy tetszőleges x 0 elemet. Legyen x J(x). Ekkor x x, x = x és x x =. Innen amiből következik, hogy x x ( x ), x x ( x ) ( ) 2 x 2.

42 3. A DUÁLIS LEKÉPEZÉS Legyen x ( 2 x 2). Ekkor 2 y 2 2 x 2 x, y x, y X. (3.2.) Tekintsünk egy olyan tetszőleges y X elemet, amelyre y = x. A (3.2.) reláció ebben az esetben azt mutatja, hogy 0 x, y x. Tehát x, y x, x, y Y ú.h. y = x. Végigosztva az egyenlőtlenséget x -el, azt kapjuk, hogy Ez alapján ahonnan következik, hogy x, z x x, x, z X, z =. x = sup x, z z = x x, x x, x, x = x x. A (3.2.) egyelőtlenségben az y n = ( + ) x n elemeket helyettesítve, következik, hogy Innen 2 Ha n, akkor x 2 x, x. A (3.2.) egyenlőtlenségben az ( ( + ) 2 ) x 2 n x, n x. ( n 2 2 n + ) x 2 x, x. n 2 y n = ( ) x n

3.2. A DUÁLIS LEKÉPEZÉS TULAJDONSÁGAI 43 elemeket helyettesítve, a fordított egyenlőtlenséget kapjuk, azaz x 2 x, x. Tehát x 2 = x, x, és ezáltal x J(x). Megjegyzés 3.2.. Ha X szigorúan konvex, akkor a norma Gâteaux differenciálható bármely x 0 pontban. Ekkor mivel J(x), y = lim t 0 x + ty 2 x 2 2t ( ) J(x) = D 2 x 2 = x D( x ), x + ty x x + ty + x = lim t 0 t 2 = x D( x ). Összefoglaljuk a duális leképezés alapvető tulajdonságait: = Tulajdonság 3.2. ) Bármilyen x X esetén J(x), korlátos, konvex, gyenge -zárt és emiatt gyenge - kompakt. 2) A duális leképezés monoton, azaz x y, x y 0, x, y X, x J(x), y J(y). 3) J(tx) = tj(x) és J( x) = J(x), t > 0, x X. 4) J lineáris akkor és csakis akkor, ha X Hilbert tér. 5) Legyen J : X X az X duális leképezése. Ekkor x J(x) x J (x ). Az előbbi reláció azt jelenti, hogy ha X reflexív Banach tér, akkor J : X X a J inverzének tekinthető.

44 3. A DUÁLIS LEKÉPEZÉS Bizonyítás. ) Az )-es tulajdonság annak a következménye, hogy J(x) = ( 2 x 2 ) és az 2 x 2 egy konvex és folytonos függvényt határoz meg. Bizonyítsuk előbb a J(x) konvexitását. Legyen x, x 2 J(x) és t [0, ]. Ekkor és 2 y 2 2 x 2 x, y x, y X 2 y 2 2 x 2 x 2, y x, y X. Az első egyenlőtlenséget ( t)-vel, a másodikat t-vel szorozva és összeadva azt kapjuk, hogy azaz 2 y 2 2 x 2 ( t)x + tx 2, y x, y X, ( t)x + tx 2 ( ) 2 x 2. Azért, hogy bizonyítsuk a J(x) gyenge zártságát, legyen (x i ) i I J(x) ú.h. x i x. A gyenge konvergencia miatt Ugyanakkor tehát x i, y x x, y x, y X. 2 y 2 2 x 2 x i, y x, y X, 2 y 2 2 x 2 x, y x, y X, 2) Legyen x J(x) és y J(y). Ezen elemekre fennáll, hogy és 2 y 2 2 x 2 x, y x 2 x 2 2 y 2 y, x y. Összeadva az utóbbi két egyenlőtlenséget, következik, hogy x y, x y 0.

3.2. A DUÁLIS LEKÉPEZÉS TULAJDONSÁGAI 45 3) Legyen t > 0. Ekkor x tj(x) t x, x = t x x = x 2 x, tx = x tx = tx 2 x J(tx). Továbbá x J( x) x, x = x x = x 2 x, x = x x = x 2 x J(x). 4) Legyen X egy Hilbert tér. Ekkor J(x), h = lim t 0 2 x + th 2 2 x 2 t = = 2 lim t 0 = 2 lim t 0 x + th, x + th x, x t 2t x, h + t 2 h, h t = = = 2 lim 2 x, h + t h, h = x, h, h X. t 0 Ez alapján a J(x) X lineáris és folytonos függvénynek megfeleltethető az x X elem ú.h. J(x), h = x, h, h X, ami azt is jelenti, hogy J lineáris és azt is, hogy úgy tekinthető mintha J = I az X tér identitása lenne. Tudjuk, hogy X Hilbert tér akkor és csakis akkor, ha fennáll a paralelogramma egyenlőség, azaz x + y 2 + x y 2 = 2 x 2 + 2 y 2, x, y X. Legyen x J(x) és y J(y). Mivel J lineáris x + y J(x + y) és x y J(x y).

46 3. A DUÁLIS LEKÉPEZÉS Ezáltal x + y 2 + x y 2 = x + y, x + y + x y, x y = = x, x + x, y + y, x + y, y + + x, x x, y y, x + y, y = = 2 x, x + 2 y, y = 2 x 2 + 2 y 2.

3.3. A DUÁLIS LEKÉPEZÉS ÉS A TÉR KAPCSOLATA 47 3.3 A duális leképezés és a tér geometriai tulajdonságai közötti kapcsolat Ebben a paragrafusban a duális leképezés azon tulajdonságaival foglalkozunk, amelyek a tér különböző geometriai tulajdonságaival vannak kapcsolatban. A hangsúlyt a duális leképezés monotonitására és folytonosságára helyezzük. Először megadjuk a különböző monotonitások definícióit. Legyen F : X X egy többértékű leképezés. Definíció 3.3. a) Azt mondjuk, hogy F monoton, ha x y, x y 0, x, y DomF, x F (x), y F (y). b) Azt mondjuk, hogy F szigorúan monoton, ha monoton és x y, x y > 0, x y DomF, x F (x), y F (y). c) Azt mondjuk, hogy F ϕ-monoton, ha x y, x y ϕ ( x y ) x y, x, y DomF, x F (x), y F (y), ahol ϕ : R + R + egy olyan monoton növekvő függvény, amelyre ϕ(0) = 0 és ϕ(r) > 0 amikor r > 0. d) Azt mondjuk, hogy F erősen monoton, ha x y, x y c x y 2, x, y DomF, x F (x), y F (y), ahol c > 0 egy rögzített konstans. Az előbbi definíciókból következik, hogy erősen monoton ϕ-monoton szigorúan monoton monoton.

48 3. A DUÁLIS LEKÉPEZÉS Tulajdonság 3.3. X szigorúan konvex akkor és csakis akkor, ha J szigorúan monoton. Bizonyítás. Legyen x y X és x J(x), y J(y). Feltételezzük, hogy x y, x y = 0. Ekkor tehát 0 = x y, x y = x, x x, y y, x + y, y x 2 x y y x + y 2 = ( x y ) 2 0, x = y. Mivel X szigorúan konvex és x, x x = x, következik, hogy Emiatt x, y < x 2. Hasonlóan x, y, és innen y, x < y 2. Ezek alapján ami ellentmondás. y y x x < x. < y, 0 = x y, x y = x, x x, y y, x + y, y > > x 2 x 2 y 2 + y 2 = 0, Legyen x, y X, t n (0, ), x J(x) és x n J(x + t n y). Ekkor 2 x + t ny 2 2 x 2 x, t n y és 2 x 2 2 x + t ny 2 x n, t n y.

3.3. A DUÁLIS LEKÉPEZÉS ÉS A TÉR KAPCSOLATA 49 Ezek alapján x, y 2 x + t ny 2 2 x 2 t n x n, y. (3.3.) Feltételezzük, hogy X nem szigorúan konvex, tehát létezik x x 2 X ú.h. x = x 2 = és tx + ( t)x 2 =, t (0, ). Egy t n 0 sorozat esetén x 2 + t n (x x 2 ) = és felhasználva a (3.3.) relációt, azt kapjuk, hogy az x 2 J(x 2 ) és x n J(x 2 + t n (x x 2 )) elemekre fennáll, hogy x 2, x x 2 2 x 2 + t n (x x 2 ) 2 2 x 2 2 t n x n, x x 2. (3.3.2) Innen x 2, x x 2 0 és x n, x x 2 0. Mivel x 2 + t n (x x 2 ) x 2, a [4] Prop 3.4 alapján létezik egy (x n k ) részsorozat és y J(x 2 ) ú.h. x n k, x x 2 y, x x 2. Ezáltal y J(x 2 ) és y, x x 2 = 0. Hasonló gondolatmenet alapján létezik z J(x ) ú.h. z, x 2 x = 0. Tehát x x 2, y J(x 2 ), z J(x ) és z y, x x 2 = 0, ami ellentmond a szigorú konvexitással. Megjegyzés. Ha J szigorúan monoton, akkor J injektív, azaz x x 2, x J(x ) és x 2 J(x 2 )-ből következik, hogy x x 2.

50 3. A DUÁLIS LEKÉPEZÉS Tulajdonság 3.3.2 [5] Ha X uniform konvex, akkor a duális leképezés ϕ R -monoton bármilyen B(0, R) zárt gömben. Bizonyítás. Legyen X uniform konvex és R > 0. Meghatározzuk a ϕ R : R + R + függvényt a következő módon: ϕ(0) = 0, ϕ(r) = ϕ(2r), r > 2R és 0 < r 2R esetén ϕ R (r) = inf x, y B(0, R) x y r x J(x), y J(y) x y x y, x y. A ϕ R függvény meghatározásából következik, hogy monoton növekvő. Azt kell tehát bizonyítanunk, hogy r > 0 esetén ϕ R (r) > 0. Feltételezzük az ellenkezőjét, azaz, hogy létezik r (0, 2R] úgy, hogy ϕ R (r) = 0. Ekkor léteznek (x n ) n N, (y n ) n N B(0, R), x n J(x n ), yn J(y n ) úgy, hogy x n y n r és x n y n x n y n, x n y n 0. Innen x n y n, x n y n 0 és mivel 0 ( x n y n ) 2 x n y n, x n y n, következik, hogy lim x n = lim y n = a > 0. n n Legyen u n = x n x n, v n = y n y n,

3.3. A DUÁLIS LEKÉPEZÉS ÉS A TÉR KAPCSOLATA 5 Mivel u n = x n x n x n J(x n) = J(u n ), v n = y n y n y n J(y n) = J(v n ). lim inf n u n v n = a az uniform konvexitás implikálja, hogy lim inf n x n y n r a, Ugyanakkor, mivel lim sup n x n y n = a lim sup u n v n < 2a. n és következik, hogy Emiatt tehát ami ellentmondás. lim n u n vn, u n v n = lim x n yn, x n y n = 0 n 0 ( u n 2 u n, v n ) + ( v n 2 v n, u n ) = = u n v n, u n v n 0, lim n u n, v n = lim v n n, u n =. lim n x n, y n = lim y n n, x n = a, 2a 2 = lim n x n, x n + y n lim n x n + y n x n < 2, A következő tulajdonság következik a 3.2. tulajdonság 4) pontjából: Tulajdonság 3.3.3 X Hilbert tér akkor és csakis akkor ha J lineáris és erősen monoton.