LIKVIDITÁSI KOCKÁZATOK

LIKVIDITÁSI KOCKÁZATOK SZAKDOLGOZAT Írta: Kiss Blanka Biztosítási és pénzügyi matematika MSc Kvantitatív pénzügyek szakirány Témavezet : Prokaj Vilmos egyetemi docens Valószín ségelméleti és Statisztika Tanszék Eötvös Loránd Tudományegyetem Természettudományi Kar 214

Köszönetnyilvánítás Ezúton szeretnék köszönetet mondani témavezet mnek, Prokaj Vilmosnak, aki szakértelmével, hasznos tanácsaival segítette a szakdolgozatom elkészítését. Érdekes szakirodalommal látott el, útmutatást adott az R program használatával kapcsolatban és mindig id t szakított rá, hogy a kérdéseimet megválaszolja.

Tartalomjegyzék Tartalomjegyzék i 1. Elméleti háttér 3 1.1. Modell................................. 3 1.2. Kínálati görbe............................. 5 1.3. Származtatott termékek kínálati görbéje.............. 12 2. Szuperlineáris modell 17 2.1. Alapfeltevések............................. 17 2.2. Piaci korlát.............................. 2 2.3. Kereskedési volumen korlát...................... 21 2.4. Szuperfedezés............................. 22 3. Diszkrét idej modell 24 3.1. A modell felírása........................... 24 3.2. Optimális fedezeti stratégia..................... 26 3.3. Kockázatsemleges marginális ár................... 28 4. Illikviditás modellje 31 i

4.1. A modell sajátosságai......................... 31 4.2. Minimalizálási probléma....................... 34 4.3. Az optimális megoldás közelítése................... 36 5. Likviditás a gyakorlatban 37 5.1. Numerikus módszer.......................... 37 5.2. Érzékenységvizsgálat......................... 39 5.3. Tesztelés valós adatokon....................... 42 5.4. Összegzés............................... 44 Irodalomjegyzék 45 ii

Bevezetés A likviditási kockázat azt a bizonytalanságot, illetve annak a veszélyét fejezi ki, hogy egy gazdasági szerepl csak késve tudja, vagy egyáltalán nem tudja kiegyenlíteni a tartozásait. A 27-28-as válság kapcsán irányult nagy gyelem erre a kockázat típusra, mivel a bankközi piac összeomlásának egyik kiváltó oka a likviditás megsz nése volt. Kétféle értelemben beszélhetünk likviditásról, bár a két fogalom összefügg egymással. Az egyik a nanszírozási likviditás, ami egyrészt azt jelenti, hogy a likviditási hiánnyal küzd piaci szerepl k likvid eszközökhöz juthatnak és így ki tudják elégíteni a rövid távú kötelezettségeiket. Másrészt a likviditási felesleggel rendelkez pénzügyi szerepl k kihelyezhetik a felesleges likvid eszközeiket. A másik fogalom, az eszközlikviditás: egy eszközt akkor nevezünk likvidnek, ha rövid id n belül, jelent s veszteségek nélkül értékesíthet. A szakdolgozatom témája az eszközlikviditás modellezése. A modellek célja, hogy egy megfelel kockázati mérték segítségével mérhet vé tegye és beárazza a likviditási kockázatot, vagyis a kockázatot likviditási költségként beépítjük a kereskedett eszközök árába. Az els fejezetben bemutatásra kerül modell folytonos kereskedési stratégiák mellett egy sztochasztikus kínálati görbével írja le a likviditási költséget. A kínálati görbe a kereskedési volumen és egy a gazdasági helyzetet leíró paraméter függvényében határozza meg a részvények árfolyamát. A likviditási költségekre vonatkozó modell egyfajta speciális eseteként a tranzakciós költségek felírására is láthatunk néhány példát. Végül a kiterjesztett Black-Scholes piac származtatott termékeire is felírjuk a kínálati görbéket. A második fejezetben a szuper-replikálást vizsgáljuk folytonos kereskedési stratégiák esetén. Ebben a modellben a kínálati görbét nem a kereskedési volumen, hanem a kereskedési ráta függvényében írjuk fel. Ez a ráta a kereskedés sebességét méri, azaz az egységnyi id alatt megvalósuló tranzakciók mennyiségét egy adott értékpapírra vonatkozóan. További módosítás az els fejezetben ismerte- 1

tett modellhez képest, hogy a piaci súrlódást is gyelembe vesszük. A harmadik fejezetben a diszkrét idej és nagy volumen kereskedések egyik modellje szerepel, amely Rásonyi Miklóstól származik. Egy részvényekb l és készpénzb l álló portfólió fedezésére keresünk optimális stratégiát az egyes tranzakciók során felmerül likviditási költségek mellett. A negydik fejezetben az illikviditás hatása jelenik meg költségként a modellben, azonban ebben a felírásban maga az illikviditás nincs hatással az alaptermék árfolyamára. Az ötödik fejezetben az illikviditási modell fedezeti stratégiáját szemléltetem egy példán keresztül, valamint összehasonlítom a Black-Scholes modell szerinti delta-hedge stratégiával. 2

1. fejezet Elméleti háttér 1.1. Modell Adott az (Ω, F, (F t ) t T, P) ltrált valószín ségi mez az F t ltrációval és P valószín ségi mértékkel, ahol T rögzített id t jelöl. Egy osztalékot nem zet részvényekb l és r kamatráta szerint kamatozó bankbetétb l álló piacot vizsgálunk. S(t, x) jelöli egy részvény árát a t [, T ] id pontban. Az x változó el jele mutatja a kereskedés irányát: ha x <, akkor eladásról, ha x >, akkor vételr l van szó, az x = eset pedig a marginális árnak felel meg. Az egyszer ség kedvéért a továbbiakban feltesszük, hogy r =. 1.1. Deníció. Az ( (X t, Y t : t [, T ]), τ ) hármas egy kereskedési stratégiát de- niál, ahol X t jelöli, hogy a keresked nek hány darab részvénye van a t id pontban, Y t jelöli a pénz mennyiségét a t id pontban, τ pedig a részvények likvidálási idejét jelenti, melyre a következ megszorítások vonatkoznak: X Y, X T =, és X = H1 [,τ). X t, Y t és H(t, ω) el rejelezhet folyamatok, τ T pedig megállási id az (F t : t T ) ltrációra vonatkozóan. 3

1.2. Deníció. Az ((X t, Y t : t [, T ]), τ) hármassal adott kereskedési stratégia egy önnanszírozó kereskedési stratégia, ha teljesülnek rá a következ k: X t véges kvadratikus variációjú cadlag folyamat, Y = X S(, X ), és < t T esetén Y t = Y + X S(, X ) + t ahol L t a likviditási költséget jelöli: L t = u t X u ( S(u, Xu ) S(u, ) ) + X u ds(u, ) X t S(t, ) L t, t S x (u, )d[x, X]c u és L =, valamint [X, X] c t az X kvadratikus variációjának folytonos részét jelöli a t id pontban. Y t tehát a kezdetben rendelkezésre álló pénzb l, a kumulált nyereségekb l (illetve veszteségekb l), a pozíció létrehozásának költségéb l és a likviditási költségekb l tev dik össze. A likviditási költséget fel lehet írni a diszkrét és a folytonos árhatások költségeinek összegeként. Folytonos kereskedési stratégia esetén a diszkrét rész a id pont után nyilván elt nik, induláskor pedig L = X ( S(, X ) S(, ) ). Deníció szerint L t, így S(, X ) S(, ), ez utóbbi egyenl tlenség pedig azt mutatja, hogy a kereskedési volumen hatással van a részvény árára. Ha a kereskedési stratégia még véges variációjú is, akkor a folytonos rész is elt nik, mivel ekkor [X, X] c t =. Tehát folytonos, véges variációjú, önnanszírozó kereskedési stratégia esetén a teljes likviditási költség megegyezik a kezdeti pozíció értékével, és ez az érték L. 1.3. Deníció. Θ β az alulról korlátos kereskedési stratégiák halmaza, ha β - ra Θ β { (X, Y, τ) önnanszírozó stratégia t X uds(u, ) β t-re 1 valószín séggel }. Az (X, Y, τ) θ β önnanszírozó stratégiákat β-megengedett stratégiáknak hívjuk. Az eszközárazás második alaptételének következménye, hogy egy olyan arbitrázsmentes piacon, melyen létezik egyértelm Q martingál mérték, egy C származtatott követelés értéke: E Q (C). Tehát normál piaci körülmények között 4

használhatjuk a klasszikus kockázati mértékeket és árazási formulákat. Kritikus gazdasági helyzetben azonban nincs mindig lehet ség a folytonos és kis mennyiség kereskedésre, hiszen el fordulhat, hogy az egész portfóliónkat azonnal likvidálni kell, ezért ilyen piaci körülmények között fontos befektetési szempont a likviditási költség is. 1.2. Kínálati görbe A likviditási kockázatot a kínálati görbe segítségével fogjuk mérni. Egy ajánlatvezérelt piacon például a limitáras megbízások biztosítják a likviditás kínálatát a piaci áras megbízások pedig a keresletet és a kereskedett mennyiség függvényében ábrázolják a marginális árakat, ami a marginális keresleti-kínálati görbe. Az általunk alkalmazott lineáris kínálati görbe meredeksége a gazdasági helyzet függvénye. Azért érdemes ennek függvényében meghatározni a görbét, mert például egy nagy gazdasági válság esetén az összes részvény illikviddé válhat. Feltesszük továbbá, hogy a keresked k árelfogadók és az árfolyamok függetlenek az egyes keresked k viselkedését l, kockázatkerülésük mértékét l, a befektetési stratégiáiktól valamint a múltbeli kereskedésikt l. 1.4. Deníció. A kínálati görbe egyenlete: S(t, x) = S(t, ) ( 1 + α k 1 k x + α n (1 1 k )x ), ahol S(t, ) az eszközárfolyamat, 1 k a piaci körülmények indikátorfüggvénye, vagyis 1 k = 1 kritikus helyzetben, az α k α n konstansok pedig a görbe meredekségét jelölik kritikus illetve normál piaci körülmények között. A kínálati görbe egyenletének második tagjából látszik, hogy ez is függ a kereskedési volument l. Ahhoz, hogy fel tudjuk írni a tényleges egyenletet, meg kell becsülnünk az α k, α n meredekségeket. Ehhez feltesszük, hogy az eszközárfolyamat egy diúziós folyamat: ds i (t, ) = µ i (t)s i (t, )dt + σ i (t)s i (t, )dw i (t), ahol µ i (t) és σ i (t) korlátos folyamatok, valamint dw i (t)dw j (t) = η ij dt. i = Tegyük fel, hogy a rendelkezésünkre áll m darab meggyelés diszkrét id pontokban az eszköz árfolyamáról és a kereskedési volumenr l: (t j, S i (t j, x j ), x i j) m j=1 i-re. A likviditási költség meghatározásához elegend a kritikus id pontokat vizsgálni, hiszen normál körülmények között elhanyagolható a likviditási költség. 5

Tekintsünk egy részvényt és írjuk fel a kínálati görbe logaritmusát a t 1 kritikus id pontban: log S(t 1, x 1 ) = log S(t 1, ) + log ( 1 + α k 1 k x t1 + α n (1 1 k )x t1 ). Legyen t 2 a következ kritikus id pont az adathalmazból és vegyük a két id pontban meggyelhet eszközárak logaritmusának különbségét: log S(t 2, x t2 ) S(t 1, x t1 ) = log S(t 2, ) S(t 1, ) + log 1 + α kx t2 1 + α k x t1 = t2 = (µ(t) 1 t 1 2 σ(t)2 )dt + ahol kihasználtuk, hogy 1 k = 1. Tehát log S(t 2, x t2 ) S(t 1, x t1 ) t2 t2 t 1 t 1 (µ(t) 1 2 σ(t)2 )dt + σ(t)dw (t) + log 1 + α kx t2 1 + α k x t1, t2 t 1 σ(t)dw (t) + α k (x t2 x t1 ) Ha feltesszük, hogy µ és σ konstansok, akkor minden egyes eszközre külön regressziót alkalmazva, kapunk egy becslést α k -ra, ahol t 2 t 1 σ(t)dw (t) a regressziós hiba. A kockázati mérték és a likviditási költségek meghatározásához tekintsünk egy portfóliót és vizsgáljuk ennek értékváltozását. Jelölje VT L a portfólió azon értékét a T id pontban, amely tartalmazza a likviditási költségeket is: ahol V L T Y T + X T S(T, ) = Y + X S(, X ) + L T = u T X u ( S(u, Xu ) S(u, ) ) + T T X u ds(u, ) L T, S x (u, )d[x, X]c u. Tegyük fel, hogy T az els kritikus id pont a piacon, ekkor közvetlenül T el tt a portfólió értéke: V T Y T + X T S(T, ) = Y + X S(, X ) + T X u ds(u, ), ez az érték pedig nem más, mint a portfólió T id pontbeli értéke likviditási költségek nélkül. Tegyük fel, hogy a T kritikus id pontban likvidálnunk kell a portfólió θ [, 1] hányadát, ennek költségei: L T = θx T ( S(T, θxt ) S(T, ) ). 6

Ha X T >, akkor a likvidáció során eladtunk részvényeket és ekkor S(T, θx T ) S(T, ) <, így L T >. Ha X T <, az azt jelenti, hogy részvényeket vettünk, ekkor S(T, θx T ) S(T, ) >, így L T > ebben az esetben is. Tehát a portfólió értéke a likviditási költségekkel mindig kisebb vagy egyenl, mint likviditási költségek nélkül: V L T = V T L T = V T + θx T ( S(T, θxt ) S(T, ) ) V T. Nézzük azt az esetet, amikor a portfóliónk csak egyféle részvényb l áll - nem tartunk pénzt sem - a pozíciónk értéke X T és θ részét szeretnénk likvidálni. ( Mivel T egy kritikus id pont, ezért 1 k = 1, így L T = θx T S(T, )(1 αk θx T ) S(T, ) ) = θ 2 XT 2S(T, )α k >. A portfólió értéke a likviditási költséggel: V L T = X T S(T, ) L T = X T S(T, )(1 α k θ 2 X T ) = V T (1 α k θ 2 X T ) V T. Az egyenlet utolsó tagjában α k és θ 2 negatív el jellel szerepelnek, ami azt mutatja, hogy a portfólió értéke α k és θ növelésével csökken. Tekintsünk egy általánosabb esetet, amikor a portfóliónk N darab részvényb l és pénzb l áll. Jelölje i = 1,..., N a részvényeket, illetve i = a készpénzt, melyr l feltesszük, hogy a mennyisége nem befolyásolja a likviditási költségeket, továbbá α k. Legyen az i-edik részvényb l a pozíciónk mérete Xi, melynek θ i részét szeretnénk likvidálni. Ekkor a portfólió értéke T-ben a likviditási költségekkel együtt: V T L = i 1 X i T S i (T, ) ( 1 α i k(θ i ) 2 X i T ) + X T S (T, ) V T = i 1 X i T S i (T, ) + X T S (T, ), vagyis minden egyes részvényre az egy-részvényes esetben kapott költséggel kell számolni. Folytonos esetben a következ ket tesszük fel a kínálati görbér l: 1. S(t, x) F t -mérhet és nemnegatív, 2. x S(t, x) x-ben 1 valószín séggel nem csökken majdnem minden t-re, 3. S kétszer folytonosan dierenciálható x szerint, 4. S(, ) szemimartingál, 7

5. S(, x) folytonos trajektóriájú minden x-re. Ekkor a portfólió értéke likviditási költségekkel együtt a t T id pontban: V L t = Y t + X t S(t, ) = t X u ds(u, ) u t X u ( S(u, Xu ) S(u, ) ) t S x (u, )d[x, X]c u. Ezt az értéket nevezzük a portfólió marked-to-market (piaci) értékének, amit mindig a marginális árakból határozunk meg. Ezen kívül értelmes még a likvidációs érték, amit a t id pontbeli piaci árakkal számolunk ki: X t > mellett Y t + X t S(t, X t ), valamint a portfólió felhalmozott költségeib l adódó érték: Y t. Egy önnanszírozó stratégia eredményességét is a portfólió ezen három módszer szerint számolt értékeinek összehasonlításával becsülhetjük meg. 1.5. Deníció. A piacon arbitrázs lehet ség van, ha létezik olyan (X, Y, τ) önnanszírozó stratégia, melyre teljesül, hogy P(Y T ) = 1 és P(Y T > ) >. 1.1. Tétel (Arbitrázsmentes piac elégséges feltétele). [8] Ha létezik olyan P-vel ekvivalens Q valószín ségi mérték, amely szerint S(, ) lokális martingál, akkor a piac arbitrázsmentes minden (X, Y, τ) θ β stratégiával bármely β esetén. A portfólió marked-to-market kiértékelésénél likviditási költséggel számolunk, így ha létezik a megfelel Q valószín ségi mérték, akkor a piac arbitrázsmentes. Nyilván akkor sem lesz arbitrázs lehet ség a piacon, ha gyelembe vesszük a likviditási költségeket is, mivel ezekr l beláttuk, hogy nem negatívak. Ahhoz, hogy a megfelel ekvivalens lokális martingál mérték létezésére elégséges feltételt tudjunk adni, bevezetjük a free lunch with vanishing risk fogalmat. 1.6. Deníció (Free Lunch with Vanishing Risk). Free Lunch with Vanishing Risk-r l (FLVR) beszélünk, ha az alábbi két eset közül valamelyik fennáll: létezik olyan megengedett önnanszírozó stratégia, amely arbitrázs lehet séget biztosít, létezik az β n -megengedett önnanszírozó stratégiáknak olyan (X n, Y n, τ n ) n 1 sorozata és egy f nem azonosan nulla, nem negatív, F T -mérhet valószín ségi változó, hogy β n és YT n f eloszlásban. 8

1.2. Tétel (Az eszközárazás els alaptétele). [8] Tegyük fel, hogy nincs arbitrázs lehet ség a kiterjesztett piacon. Ebben az esetben akkor és csak akkor nincs FLVR lehet ség, ha létezik olyan P-vel ekvivalens Q valószín ségi mérték, amely szerint S(, ) lokális martingál. 1.7. Deníció. Egy kiterjesztett piac teljes, ha bármely, a Q-mérték szerint négyzetesen integrálható, C származtatott követelés esetén létezik önnanszírozó stratégiáknak olyan (X n, Y n, τ n ) sorozata, melyre YT n C (n ) az L 2 (dq) térben. 1.3. Tétel (Az eszközárazás második alaptétele). [8] Tegyük fel, hogy létezik olyan egyértelm Q valószín ségi mérték, amely P-vel ekvivalens és amely szerint S(, ) lokális martingál. Ekkor a kiterjesztett piac teljes. A tranzakciós költségeket is fel lehet írni a likviditási kockázatra deniált formulák speciális eseteként, viszont ebben az esetben a kínálati görbék - most tranzakciós görbék - nem lesznek kétszer folytonosan dierenciálhatóak. Háromféle tranzakciós költséget deniálunk: 1.8. Deníció. 1. Fix tranzakciós költség, ami nem függ a tranzakció volumenét l, csak az értékpapír árfolyamától: S(t, x) = S(t, ) + a x. 2. Arányos tranzakciós költség, ami a kereskedés pénzben kifejezett értékével arányos: S(t, x) = S(t, ) ( 1 + β sign(x) ) pénzegységenként a kereskedés költsége és β > konstans. 3. A harmadik típusú költség az el z kett valamilyen kombinációja, melyre két példát mutatunk be: Fidelity: S(t, x) = S(t, ) + β x + sign(x)γ1 { x >δ}, ahol β, γ és δ pozitív konstansok. Vanguard: S(t, x) = S(t, ) + max{α, x c}, ahol α és c pozitív konstansok. x 1.4. Tétel. [8] Egy X, nem azonosan nulla, folytonos kereskedési stratégia x tranzakciós költségek mellett végtelen nagy költséget eredményez véges id alatt. Bizonyítás. [8] Fix tranzakciós költségen az imént deniált költséget értjük. Diszkrét esetben jelölje = T T 1... T n = T a kereskedési id pontokat és legyen a kereskedési stratégia X = n 1 i= X i1 [Ti,T i+1 ). A teljes tranzakciós 9

költség: n 1 i= a1 {X i X i 1 }, ami pontosan na, ha X i X i 1 i-re. Ha feltesszük, hogy X folytonos trajektóriájú, akkor a teljes tranzakciós költség a következ képpen néz ki: T C(X) = lim sup n a1 {XT n X T n } = lim sup i i+1 Ti n n Πn an Πn (X), ahol Π n a [, T ] intervallumból vett megállási id k egy véges növekv sorozatát jelöli, N Πn (X) pedig az X T n i X T n i+1 esetek számát a Π n -beli Ti n megállási id kre. A lim sup azt fejezi ki, hogy mindig a legnagyobb megállási id re, vagyis az utolsó kereskedési id pontra vonatkozóan számoljuk el a tranzakciós költséget. Azonban lim sup n N Πn (X) =, így a teljes költség végtelen. Ha a kereskedési stratégia tartalmaz ugró és folytonos részeket is, akkor a folytonos részeken felmerül végtelen nagyságú költségek miatt természetesen a teljes költség is végtelen nagy lesz. 1.5. Tétel. [8] Arányos tranzakciós költségek mellett egy X folytonos kereskedési stratégia végtelen nagy költségeket eredményez, ha X trajektóriái nem véges variációjúak. A teljes tranzakciós költség ugyanis a T b S(s, ) dx s trajektóriánkénti Stieltjes integrállal kapható, ahol b az 1.8-as deníció 2. pontjában szerepl konstans, dx s pedig az X teljes variációja szerinti integrálást jelöli. Bizonyítás. [8] Legyen Π n ismét [, T ]-beli megállási id k sorozata úgy, mint az 1.4-es tételnél és legyen X folytonos kereskedési stratégia. Ekkor a teljes tranzakciós költség: T C(X) = lim sup n T n i Π k S(T n k, ) X T n k X T n k 1 b. Ha X trajektóriái véges variációjúak, akkor ez éppen b T S(s, ) dx s -hez konvergál, a végtelen variációjú esetben pedig -hez tart. 1.6. Tétel. [8] A harmadik típusú, kombinált tranzakciós költségek mellett egy nem azonosan nulla X folytonos kereskedési stratégia teljes költsége véges id alatt végtelen nagy. 1

Bizonyítás. [8] Folytonos X kereskedési stratégia esetén a teljes költség: T C(X) lim sup n T n i Π k δ1 {XT n X T n } lim sup δn Πn (X), i i+1 n ahol δ konstans, Π n és N Πn (X) pedig ugyanaz, mint az 1.4-es tételnél. Az 1.4-es tétel bizonyításában láttuk, hogy lim sup n N Πn (X) =, így a teljes költség ismét végtelen. Szintén egy speciális esetként vizsgálhatjuk a likvid részvényeket. Az elmélet szerint a tökéletesen likvid részvények kínálati görbéjének meredeksége lenne, a gyakorlatban azonban nincsenek ilyen részvények. Marcel Blais és Philip Protter a kereskedési könyv alapján elemezték a piacon likvidnek nevezett részvényeket, mint például a BP, ATT, IBM részvények. Blais megmutatta, hogy 99, 99%-os szignikancia szinten el lehet utasítani azt a nullhipotézist, hogy a vizsgált likvid részvények kínálati görbéinek meredeksége. Ezt követ en lineáris regresszió segítségével azt az eredményt kapta, hogy a kínálati görbék felírhatók S(t, x) = M t x + S(t, ) alakban, ahol (M t ) t egy folytonos trajektóriájú sztochasztikus folyamat. 1.7. Tétel. [8] Egy lineáris kínálati görbével rendelkez likvid részvény és egy X cadlag, véges kvadratikus variációjú kereskedési stratégia esetén egy önnanszírozó kereskedési stratégia pénzpiaci értéke: Y t = X t S(t, ) + t X u ds(u, ) t M u d[x, X] u. Az illikvid részvények kínálati görbéire, a tranzakciós görbékhez hasonlóan, nem teljesül a kétszer folytonosan dierenciálhatóság feltétele. A piacon meggyelt adatok azt mutatják, hogy a kínálati görbe szakaszonként lineáris lesz egy ugrással, amit értelmezhetünk bid-ask spreadként. Jelölje S(t, ) a marginális ask, S(t, + ) a marginális bid árfolyamot, γ(t) = S(t, + ) S(t, ) pedig a bid-ask spreadet. Ekkor a kínálati görbe az α, β folytonos sztochasztikus folyamatokkal: { β(t)x + S(t, + ), ha x, S(t, x) = α(t)x + S(t, ), x <, alakú, vagyis az ugrás el tti és utáni részre két különböz folyamatként tekinthetünk. Tegyük fel, hogy S(t, + ) és S(t, ) t-ben folytonos függvények és tekintsük a véges variációjú trajektóriákkal rendelkez X kereskedési stratégiákat, 11

amelyek felírhatók két diszjunkt tartójú, monoton növekv, ugrásokat tartalmazó folyamat különbségeként, azaz X t = X + C t A t. Ezen feltételek mellett a következ tétel érvényes: 1.8. Tétel. [8] Egy ugró lineáris kínálati görbével rendelkez illikvid részvény és egy cadlag, véges variációjú x kereskedési stratégia mellett egy önnanszírozó kereskedési stratégia pénzpiaci értéke: Y t = Y X t S(t, + ) + t t X u ds(u, + ) t ( S(u, + )1 Λ c(u) S(u, )1 Λ (u) ) dx u, ahol Λ az A folyamat tartója. ( β(u)1λ c(u) + α(u)1 Λ (u) ) d[x, X] u 1.3. Származtatott termékek kínálati görbéje A kiterjesztett eszközárazási alaptételek mellett, azaz a kiterjesztett Black-Scholes piacon kétszer folytonosan dierenciálható (C 2 ) kínálati görbéink vannak és megengedjük a folytonos kereskedési stratégiákat, így egy adott részvényre szóló opció ára egyértelm. Ez az arbitrázsmentesség szükséges feltétele, azonban ez azt is jelenti, hogy az opciók kínálati görbéje egy vízszintes egyenes, vagyis nincs árhatás az opciókra nézve. Ez viszont nyilván ellent mond a piacon tapasztalt ármozgásoknak, ezért a megfelel modell felépítéséhez külön kínálati görbéket kell bevezetnünk az opciókra is, a korábban már deniált görbéket csak a részvényekre használhatjuk. Ha opciókra alkalmazzuk a fenti modellt, akkor a folytonos és véges variációjú kereskedési stratégiák lehet vé teszik a befektet k számára, hogy a részvények segítségével kinullázzák a likviditási költségeket. Ahhoz, hogy a likviditási költséget ne lehessen elkerülni, vagy a kínálati görbékre vonatkozó C 2 -feltételt kell elhagynunk, vagy ki kell zárni a folytonos kereskedés lehet ségét. Ez utóbbi áll inkább a gyakorlattal összhangban, hiszen a folytonos kereskedés egy adott befektet számára megvalósíthatatlan, csak elméletben lehet egyszer stratégiákkal közelíteni. Tehát módosítsuk a korábbi modellünket a diszkrét stratégiákra vonatkozóan, amelyek mellett elkerülhetetlen lesz a likviditási költség. 1.9. Deníció. X t egy egyszer önnanszírozó kereskedési stratégia, ha N X t = x τ 1 {τ }(t) + x τj 1 (τj 1,τ j ](t), 12 j=1

ahol 1. τ j F-beli megállási id j-re, 2. x τj F τj 1 j-re, vagyis a folyamat el rejelezhet, 3. τ és τ j > τ j 1 + δ egy rögzített < δ-ra. A deníció 3. pontjából látszik, hogy ezek a stratégiák nem folytonosak, mivel ha egy tranzakció lezajlik, akkor a következ kereskedés csak legalább δ > id egység múlva következhet be. A kereskedési stratégiák 1.9-es deníciója szerinti osztálya mellett a piac arbitrázsmentes marad, azonban a tranzakciók közötti minimum távolság (δ) miatt nem lesz közelít leg teljes. Egy nem teljes piacon viszont egy opció replikálásának költsége függ a stratégiától, így nem érvényes a kiterjesztett második eszközárazási alaptétel. Tehát az opciók árára is hatással van a kereskedési volumen, azaz a kínálati görbék nem vízszintes egyenesek. A következ kben az opciók szuper-replikálását vizsgáljuk diszkrét kereskedési stratégiák mellett arbitrázsmentes piacon. Egy diszkrét kereskedési stratégia likviditási költsége: L T = N (x τj+1 x τj ) ( S(τ j, x τj+1 x τj ) S(τ j, ) ), j= azaz a fedezett opciók számának növelésével az árak lineárisan növekednek, a likviditási költség pedig ennek következtében már négyzetesen növekszik. A C T = max{s(t, ) K, } kizetési függvénnyel rendelkez opció replikálásának hibája és a likviditási költség összege adja egy diszkrét kereskedési stratégia fedezési hibáját x T = -ra: C T Y T = C T ( N 1 ( y + x S(, ) + x τj+1 S(τj+1, ) S(τ j, ) )) + L T. j= (1.1) A replikálási hiba az el jelét l függ en többletet vagy hiányt jelent a replikáló portfólió értékében a kötelezettség értékéhez képest. Mivel az alaptermék, azaz a részvény likviditási költségei a kereskedési volumen függvényei voltak, ezért nyilván a szuper-replikáció költsége is függeni fog a volument l. Ahhoz, hogy egy fels korlátot tudjunk adni az opciók kínálati görbéjére, a szuper-replikáció költségének minimumát kell meghatározni. Tegyük fel, hogy 1 darab európai 13

call opciónk van és a replikáló portfólió marked-to-market értéke a t id pontban: Z t = X t S(t, ) + Y t. Ekkor az optimalizálási probléma a következ : ahol min Z feltéve, hogy Z T C T = max{s(t, ) K, }, (1.2) (X,Y ) Z T = y + x S(, ) + N 1 j= x τj+1 ( S(τj+1, ) S(τ j, ) ) L T. Mivel Z T = X T S(T, ) + Y T deníció szerint és X T =, hiszen a részvényt T-ben likvidáljuk, ezért Z T = Y T az 1.1-es egyenlet alapján. Ha feltesszük, hogy a befektet k mindig tudják fedezni a portfóliójukat 1 egységnyi alaptermék megvásárlásával, akkor létezik megoldása az 1.2-es optimalizációs problémának. 1.1. Lemma. [5] Az optimális fedezeti stratégia szerint minden lehetséges id pontban kereskedünk a lehet legkisebb mennyiségekkel. Ezzel a stratégiával lehet minimalizálni a várható likviditási költséget a δ-id közönként keresked szuperreplikáló portfóliók esetén. Tekintsük a bizonyítást a Black-Scholes modellre, mint speciális esetre. Bizonyítás. [5] A megfelel martingál mérték mellett E(C T ) E(Z T ) = y + x S(, ) E(L T ). Hasonlítsuk össze két különböz kereskedés likviditási költségeit: az els kereskedés során a és a t id pontokban hajtunk végre a > és b > volumen tranzakciókat, míg a második során csak a t id pontban kereskedünk a + b > mennyiségben. Tegyük fel, hogy a részvény kínálati görbéje kielégíti az S(t, x) = e αx S(t, ) egyenletet α > mellett, ha S(t, ) s t e rt = s e µt+σwt e rt, (1.3) ahol µ és σ konstansok, (W t ) t [,T ] pedig standard Wiener-folyamat. Ekkor az els és a második kereskedés likviditási költségei rendre: S(, )(e αa 1) + E ( S(t, ) ) (e αb 1) és E ( S(t, ) ) (e α(a+b) 1). A martingál mérték szerinti diszkontált részvényárfolyam martingál, így µ = r σ2 esetén: 2 ( ) E S(t, ) = E (s e σ2 2 t+σwt ) = s = S(, ). er 14

Ezt a martingál tulajdonságot kihasználva kapjuk, hogy: (e αa 1) + (e αb 1) < (e α(a+b) 1), vagyis a két tranzakciós kereskedés likviditási költsége alacsonyabb, mint az egy tranzakció alatt végrehajtott kereskedésé, ami pont azt jelenti, hogy a gyakoribb kereskedés csökkenti a likviditási költségeket. Az 1.1-es részben már láthattuk, hogy folytonos és véges variációjú stratégia esetén a likviditási költség, így intuitíven is adódik az 1.1-es lemma, hiszen a kereskedés folytonosságát az egyre s r bb tranzakciókkal lehet közelíteni. Az optimális fedezeti stratégiával tehát nem biztos, hogy a legkisebb likvidtási költséget érjük el, hiszen például a triviális stratégia - amikor egyáltalán nem kereskedünk - likviditási költséget eredményez, viszont ekkor a fedezeti hibát nem tudjuk korlátozni. Az 1.1-es lemma ismeretében tekintsük az 1.2-es optimalizálási probléma numerikus megoldását. A problémát diszkrét idej dinamikus programként reprezentáljuk rögzített idej lépésközökkel, δ pedig egy adott befektet kereskedései között eltelt id k minimumát jelöli. A tranzakciós költségeket tartalmazó modellel szemben, ahol a folytonos kereskedés végtelen nagy opciós árakat eredményez, ebben a modellben a eset jól deniált. Például az alábbi folytonos, véges variációjú, önnanszírozó kereskedési stratégiával lehet közelíteni egy európai call opció kizetési függvényét: n1 Xt n [ 1 n =,T 1 )(t) t N(h(u))du, ha t T 1; n (t 1 n )+ n n ( T X n ) (T 1 n ) txn (T, ha T 1 t T, 1 n ) n ahol N(.) a standard normális eloszlásfüggvényt jelöli és h(t) log(s t) log(k) + r(t t) σ T t + σ 2 T t. A módszer a geometriai Brown-mozgás binomiális közelítésén alapul. A marginális részvényárfolyam az 1.3-as egyenlet szerinti geometriai Brown mozgást végez, amit most binomiális részvényárfolyamattal közelítünk és egy két lépéses példát vizsgálunk. Tekintsünk egy kétperiódusos binomiális fát, melyben a részvény kezd árfolyamát S, a felfelé illetve lefelé történ elmozdulást pedig u és d jelöli. Így egy periódus múlva ( = 1) a részvény ára S u vagy S d lehet, míg lejáratkor, vagyis két periódus után S uu, S ud = S du és S dd értékeket vehet 15

fel a részvény ára. Ha az els periódusban felfelé mozdul el a részvényárfolyam, akkor x u -t és y u -t kell meghatározni, ahol x u a részvények értékét, y u pedig a pénzmennyiséget jelöli a t = 1 id pontban. Ekkor az optimalizálási probléma két feltételt tartalmaz: min Z u 1 = y u + x u S u + α(x u x 1 ) 2 S u feltéve, hogy y u + x u S uu max{s uu K, } és y u + x u S du max{s du K, }. Ha lefelé mozdul a részvényárfolyam, akkor az el bbihez hasonlóan a minimalizálási feladat a következ alakot ölti: min Z u 1 = y u + x u S u + α(x u x 1 ) 2 S u feltéve, hogy y d + x d S du max{s du K, } és y d + x d S dd max{s dd K, }. Az optimális megoldásokat jelölje x u, x d, y u és y d, amik t = -ban -val egyenl k, így ekkor az optimalizálási probléma az alábbi: min Z = x 1 S + y 1 + αx 2 1S, ha x 1 S + y 1 + x 1 (S u S) = y u + x us u + α(x u x 1 ) 2 S u és x 1 S + y 1 + x 1 (S d S) = y d + x ds d + α(x d x 1 ) 2 S d. Ezt megoldva, az optimális x 1 és y 1 értékekkel kifejezve a call opció szuperreplikálás szerinti ára: x 1S+y 1+α(x 1) 2 S. A két feltétel pedig a részvényárfolyam alakulását írja le az els periódus során a két lehetséges trajektórián. Az egyenletek bal oldalán a portfólió kezdeti értékének és a részvénypozícióból származó nyereségek (illetve veszteségek) összege áll, míg a jobb oldalon a replikáló portfólió optimális értékeinek és a kiigazításokból származó likviditási költségeknek az összegei vannak. 16

2. fejezet Szuperlineáris modell 2.1. Alapfeltevések Az el z fejezetben már megismerkedtünk az eszközárazás alaptételeinek a kiterjesztett változataival, azonban fel lehet építeni még ennél is általánosabb, illetve a gyakorlatot precízebben leíró modellt. Az 1.3-as részben egy európai call opción keresztül láthattuk, hogy hogyan m ködik a szuper-replikálás diszkrét esetben. Többek között ezt fogjuk megvizsgálni ebben a fejezetben a folytonos esetre is. A folytonos idej kereskedés árhatását vizsgálva az árakat az egységnyi id alatt végbemen tranzakciók volumenének függvényében határozzuk meg, azaz tulajdonképpen a kereskedés intenzitását mérjük, ami likviditás szempontjából sokkal hasznosabb mutató lehet, mint önmagában a kereskedett mennyiség. A másik fontos eleme a modellnek a megfelel árazási függvény deniálása. A tranzakciós költségeket alkalmazó piaci modellekben például egy olyan ( S, Q) pár határozta meg az eszközárakat, ahol S a Q valószín ségi mérték szerint martingál volt és a bid-ask spreaden belül mozgott az értéke. Piaci súrlódás esetén tehát módosítani kell a súrlódásmentes piacra felépített kockázatmentes árazási formula valószín ségi mértékét és eszközár folyamatát. A súrlódásmentes piaci modellekben el rejelezhet folyamatok, a tranzakciós költségek modelljeiben pedig véges variációjú folyamatok írják le a kereskedett részvények számának alakulását. A szuperlineáris modellben viszont, mivel a kereskedési stratégiák csak véges kereskedési ráta mellett valósíthatóak meg, a kereskedett részvények számát felírhatjuk abszolút folytonos folyamatként is. A véges kereskedési rátára 17

vonatkozó megszorítás következménye, hogy az eszközár folyamatok nem csak a szemimartingálokra, hanem a cadlag folyamatokra is jól deniáltak, illetve, hogy a portfólió azonnali likvidálása lehetetlen. Ismét legyen adott az (Ω, F, (F t ) t [,T ], P) ltrált valószín ségi mez, F t ltrációval, ahol F = F T és T véges id horizontot jelöl. S a kockázatmentes eszköz (bankbetét) a piacon, amit ármérce folyamatként használunk, vagyis St 1 minden t [, T ] esetén, továbbá adott d darab kockázatos eszköz, melyeket az (St) i 1 i d t [,T ] adaptált, cadlag folyamatok írnak le. Tehát S egy d-dimenziós folyamatot jelöl, melynek elemei az S i -k (1 i d), xy alatt az azonos dimenziójú x és y vektorok skaláris szorzatát értjük, x pedig az x Euklideszi normáját fejezi ki. 2.1. Deníció. A φ folyamat egy ésszer stratégiát deniál, ha a következ osztályba tartozik: A := {φ : φ egy R d -érték folyamat, melyre T φ u du < 1 valószín séggel}. A denícióban szerepl φ folyamat reprezentálja a kereskedés gyorsaságát, vagyis azt a sebességet id ben kifejezve, hogy milyen gyorsan változik a piacon forgó eszközök mennyisége a tranzakciók során, míg az T φ u du < feltétel azt biztosítja, hogy az abszolút forgalom, azaz a vásárolt és eladott részvények számának kumulált összege, véges id alatt véges marad. Az ésszer stratégiák negatív vagyont is eredményezhetnek, ezért zet képesség szempontjából gyengébben teljesítenek, mint a megengedett stratégiák. Egy másik különbség a kétféle stratégia között az, hogy a részvények számát leíró folyamat egy ésszer stratégia esetén id szerint dierenciálható a deníció szerint. Egy súrlódásmentes piacon az önnanszírozási feltétel azt jelenti, hogy a T id pontban a pénzpiaci pozíciónk: V T (z) = z T S t φ t dt, (2.1) ahol z a kezd t két jelöli, az integrál értéke pedig a vásárlásokból és eladásokból származó költségek és nyereségek együttese. Egy adott φ stratégia mellett a megszorítások csökkentik ezt a pénzpiaci pozíciót, mivel a vásárlások költségesebbek lesznek, az eladások pedig kisebb nyereséget fognak eredményezni. A megszorításoknak ezen árhatását egy G függvénnyel fogjuk leírni. 18

2.2. Deníció (Súrlódás). JelöljeO az opcionális σ-algebrát Ω [, T ]-n. Legyen G : Ω [, T ] R d R + egy O B(R d )-mérhet függvény, melyre teljesül, hogy G(ω, t,.) konvex az x változó szerint, továbbá G(ω, t, x) G(ω, t, ) minden ω, t, x esetén. A továbbiakban a G t (x) := G(ω, t, x) jelölést használjuk, ahol a G t (x) halmaz már független ω-tól. G t (x) konvexitásából következik, hogy a gyorsabb kereskedés magasabb költségeket jelent, vagyis a sebességnek ára van. A G(ω, t, x) G(ω, t, ) feltétel azt jelenti, hogy bármilyen kereskedésnél olcsóbb, ha nem hajtunk végre semmilyen tranzakciót. Fontos különbség más modellekhez képest, hogy G(ω, t, ) nem azonosan. Felvehet pozitív értéket is, ami azt reprezentálja, hogy a piaci kereskedésben való részvételnek is van valamekkora díja. Egy adott φ A stratégia és z R d+1 kezd pozíció mellett, a kockázatos eszközökre vonatkozó pozíciónk a t [, T ] id pontban, a részvények kezdeti számának és a további forgalomnak az összege, azaz: V i t (z, φ) := z i + t φ i udu 1 i d. Míg a kockázatmentes eszközre vonatkozó, vagyis a pénzpiaci pozíciónk a G függvénnyel felírva: V t (z, φ) := z t φ u S u du t G u (φ u )du, ahol az utolsó tag fejezi ki a 2.2-es feltevés miatti árhatást a 2.1-es egyenlethez képest. Vt tehát felvehet akár értéket is valamely stratégiára. Ha speciálisan csak egy kockázatos eszközünk van, akkor ennek ára egy tranzakció végrehajtása során: S t = S t + G t(φ t ), φ t ami nagyobb, mint S t, ha vételr l és kisebb, mint S t, ha eladásról van szó, mivel a G függvény pozitív. 2.3. Deníció (Szuperlinearitás). Legyen α > 1 és H egy tetsz leges folyamat, melyre a következ k teljesülnek: T inf H t > 1 valószín séggel, (2.2) t [,T ] G t (x) H t x α minden ω, t, x esetén, (2.3) sup G t (x)dt < 1 valószín séggel, minden N > -ra, (2.4) x N sup G t () K valamely konstans K-val. (2.5) t [,T ] 19

A 2.3-as egyenl tlenség a szuperlinearitás legfontosabb feltétele, ami azt fejezi ki, hogy például egy kétszer gyorsabb kereskedés, vagyis a tranzakciók között eltelt id felezése, pozitív mennyiséggel növeli a kereskedés költségeit. A 2.2-es feltétel azt jelenti, hogy a súrlódások soha nem t nnek el, míg a 2.4-es feltétel szerint véges id alatt végesek maradnak. A 2.5-ös egyenl tlenség szerint a kereskedésben való részvétel díja egyenletesen korlátos ω Ω-ban. 2.2. Piaci korlát Általában ha egy modell stratégiáit szeretnénk közelíteni, akkor például a folytonosságot az egyre növekv nagy sebesség kereskedéssel lehetne szimulálni, ez azonban végtelen nagy forgalomhoz vezetne. A szuperlineáris feltételnek azonban van egy korlátosságra vonatkozó tulajdonsága is, mely szerint egy rögzített kezd pozíció esetén az ésszer stratégiák kizetései felülr l korlátosak. Ezt a korlátot nevezzük piaci korlátnak, amit egy B < valószín ségi változó fejez ki, ami G-t l és S-t l függ, de a stratégiától nem. Ilyen korlátossággal általában más modellek nem rendelkeznek, de ennek gyengébb változatai meggyelhet k: például arbitrázsmentes piacon az x-megengedett stratégiák kizetései korlátosak L -ban, ha fennáll az NFLVR feltétel, illetve tranzakciós költségek mellett az RNFLVR feltétel teljesülése esetén. 2.4. Deníció (Duális súrlódás). A G függvényt duális súrlódásnak nevezzük, ahol G a G függvény Fenchel-Legendre-féle konvex konjugáltját jelöli, azaz G t (y) := sup x R d ( xy Gt (x) ), y R d, t [, T ]. 2.1. Lemma. [6] A 2.3-as feltétel mellett a B := T G t ( S t )dt valószín ségi változó 1 valószín séggel véges. Bizonyítás. [6] El ször nézzük a d = 1 esetet. Ekkor a (2.3)-as egyenl tlenség szerint: G t (y) sup(ry H t r α ) = α 1 r R α α 1 1 α H 1 1 α t y α α 1, ahol az egyenlet jobb oldala a konvex konjugált kiszámításával adódik. Mivel S cadlag folyamat, ezért sup t [,T ] S t 1 valószín séggel véges, továbbá tudjuk, 2

hogy inf t [,T ] H t pozitív a (2.2)-es feltétel szerint, így y = S t -vel i=1 sup G t ( S t ) < t [,T ] 1 valószín séggel, ami éppen a bizonyítandó állítást adja. Most tekintsük a d > 1 esetet. Ismét a (2.3)-as egyenl tlenséget használjuk ki, majd kiszámoljuk a megfelel konvex konjugált vektoros alakját: ( d ) d ( G t (y) sup r i y i H t r α sup r i y i H ) d ( t r R d r R d r α sup xy i H ) t d x R d x α. i=1 A skalár esetben már láttuk, hogy a megfelel szuprémum véges, így ezek összege is véges, amib l következik az állítás. 2.2. Lemma. [6] A 2.3-as feltétel mellett bármely φ A stratégiával teljesül, hogy V T (z, φ) z + B 1 valószín séggel. Mivel B 1 valószín séggel véges, ezért a lemmából látszik, hogy kezdeti befektetéssel nem lehet tetsz legesen nagy nyereséget elérni, vagyis csak korlátozott számban léteznek arbitrázslehet ségek, mert a legtöbb nyereséget a szuperlinearitás megsemmisíti. i=1 2.3. Kereskedési volumen korlát Legyen Q egy P-vel ekvivalens valószín ségi mérték és jelölje L 1 (Q) a (d + 1)- dimenziós Q-integrálható valószín ségi változók Banach terét, L (A) pedig az A- érték valószín ségi változók halmazát, ahol A az euklideszi tér egy részhalmaza, melynek topológiája a sztochasztikus konvergencia. Legyen 1 < β < α rögzített, ahol α a 2.3-as denícióban szerepl konstans, γ pedig jelölje β konjugáltját, azaz 1 β + 1 γ = 1. 2.5. Deníció. Legyen P a Q P valószín ségi mértékek egy olyan halmaza, amelyre teljesül, hogy T E Q H β β α t (1 + S t ) αβ α β dt <. P jelölje a Q P valószín ségi mértékek azon halmazát, melyre T T E Q S t dt < és E Q sup G t (x)dt < minden N 1-re. x N 21

Ezen jelölések mellett egy W valószín ségi változóra (ami lehet többdimenziós is), legyen P(W ) := {Q P : E Q W < }, P(W ) := {Q P : EQ W < }. Dellacherie és Meyer [4] eredményei alapján a 2.3-as szuperlinearitási feltételek mellett P(W ) minden W-re. 2.3. Lemma. [6] Legyen Q P és φ A olyan, hogy E Q ξ <, ahol ξ a ξ negatív részét jelöli és Ekkor T T ξ := S t φ t dt G t (φ t )dt. T E Q φ t β (1 + S t ) β dt <. Ez a lemma azt mutatja meg, hogy ha egy kereskedés során a kizetés negatív része véges valamely valószín ségi mérték szerint, akkor a kereskedési sebességnek integrálhatónak kell lennie. Ehhez hasonló volt a tranzakciós költségek modelljében az a tulajdonság, mely szerint egy megengedett stratégia teljes variációja felülr l korlátos. Mindkét esetben az az intuíció, hogy az indokolatlanul gyakori kereskedés korlátlan veszteségeket eredményezhet, viszont mivel a prot mértékét (ami lehet negatív is) közvetlenül nem tudjuk korlátozni, így a kereskedési volumen szabályozásán keresztül szorítjuk valamilyen korlátok közé az esetleges veszteségeket. 2.4. Szuperfedezés A 2.3-as lemma egy fontos következménye, hogy az ésszer stratégiával szuperfedezett többváltozós kizetések osztálya zárt L 1 -ben. C := {V T (, φ) : φ A} L (R d+1 + ) 2.1. Tétel. [6] A 2.3-as szuperlinearitás mellett a C L 1 (Q) halmaz zárt L 1 (Q)- ban minden olyan Q P valószín ségi mértékre, amely szerint T S t dt integrálható. 22

Végül következzen a szuperfedezés egyik f tétele, amely folytonos idej kereskedésre vonatkozóan az els duális karakterizációja a fedezhet származtatott követeléseknek, az árhatás gyelembevételével. A kezdeti pozíciók és a követelések is többváltozósak, a kereskedési sebesség pedig véges az árhatás következtében. 2.2. Tétel. [6] Legyen W L (R d+1 ), z R d+1, Z = ( Z 1 Z,..., Z d Z )1 {Z } és tegyük fel, hogy teljesül a 2.3-as szuperlinearitás. Ezen feltételek mellett, akkor és csak akkor létezik olyan φ A kereskedési stratégia, amelyre V T (z, φ) W 1 valószín séggel, ha T Z z E Q (Z T W ) E Q Zt G t ( Z t S t )dt, minden Q P valószín ségi mértékre és minden R d+1 + -beli korlátos Z Q-martingállal, amelyre teljesül, hogy Z = 1 és Z i t = (i = 1,..., d) a {Z t = } halmazon. Tehát a tétel szerint egy származtatott követelés szuperfedezeti ára a teljesítési árra vonatkozó martingál mérték szerinti várható érték szuprémumának és egy úgynevezett bírságnak a különbsége. Ez a bírság, azt méri, hogy mekkora a különbség az árnyékár és a tényleges árfolyam között. A tétel jelent sége továbbá, hogy akkor is érvényes, ha nem létezik martingál mérték, illetve ha az eszközár folyamat nem szemimartingál. 23

3. fejezet Diszkrét idej modell 3.1. A modell felírása Az eddigiekhez hasonlóan ennek a modellnek is az az alapgondolata, hogy a kereskedési volumen valamilyen módon hatással van a kereskedett eszközök árára és ezt a hatást egyfajta likviditási költségként lehet leírni. Ebben a fejezetben a kifejezetten nagy volumen tranzakciók esetére szorítkozunk és megnézzük, hogy ekkor milyen elégséges feltételeket lehet felírni az arbitrázsmentességre illetve, hogy létezik-e optimális fedezeti stratégia. Egy diszkrét idej modellt fogunk megvizsgálni, ahol a portfóliót - ami készpénzb l és egy bizonyos fajta részvényb l áll - az utolsó vizsgált id pontban likvidáljuk, így a végén csak készpénzünk lesz. Az optimalitás itt azt fogja jelenteni, hogy ennek a pénzmennyiségnek a hasznosságát szeretnénk maximalizálni, az arbitrázsmentesség pedig nyilván szükséges feltétele a véges optimum létezésének. Legyen adott az (Ω, F, P) valószín ségi mez az (F n ) n N+1 ltrációval és jelölje (S n ) n N a diszkrét idej szigorúan pozitív eszközár folyamatot, melyre teljesül, hogy S n L 1 n N és adaptált az (F n ) n N+1 ltrációhoz. Legyen a ϕ : R (, ] olyan függvény, amely szigorúan konvex és szigorúan növekv azon a tartományán, ahol véges értékeket vesz fel, továbbá 24

inf x ϕ (x) =, sup ϕ (x) =, ϕ() =. (3.1) x A ϕ függvény konkáv duális függvényét pedig a következ képpen deniáljuk: ϕ(w) inf{ϕ(x) + wx}. A portfólió n 1 és n id pontok közötti kiigazítása azt jelenti, hogy a portfólióban szerepl részvények száma X n 1 -r l X n -re, a készpénz mennyisége pedig Y n 1 -r l Y n -re változik, ahol Y n = Y n 1 ϕ(x n X n 1 )S n 1 = Y n 1 ϕ( X n )S n 1. (3.2) Y n = Y n 1 ϕ(x n X n 1 )S n 1 = Y n 1 ϕ( X n )S n 1. A ϕ függvény értéke tehát a portfólióban tartott részvények számának változásából ered költség. A továbbiakban feltesszük, hogy a kamatláb valamint, hogy X n F n 1 -mérhet, amib l következik, hogy X és Y el rejelezhet folyamatok. A portfólió kezel feladata tehát a készpénz hasznosságának, vagyis az E(U(Y N+1 )) értéknek a maximalizálása úgy, hogy az N id pont után S N részvényár mellett likvidálja a teljes portfóliót. Az U : R [, ) hasznossági függvény szigorúan növekv és szigorúan konkáv a D = {x : U(x) > } véges tartományán, és teljesülnek rá az Inada-feltételek, azaz sup x D U (x) = +, inf U (x) =, x D ahol D a D belsejét jelöli, mint a valós egyenes egy részhalmazát. A hasznossági függvény véges tartománya legyen a továbbiakban D = R. Ezen feltételek mellett az optimalizálási probléma az n id pontban azt jelenti, hogy a portfólió kezel jének meg kell határoznia azt a ( X j ) N j=n+1 folyamatot, amely szerint elvégezve a portfólió kiigazítását majd a likvidálást, a végs vagyon hasznossága maximális lesz. Tehát lényegében egy optimális kereskedési stratégiát keresünk. Egy adott stratégia mellett ez a végs vagyon a következ : Y N+1 = y ϕ( x N j=n+1 X j )S N N j=n+1 ϕ( X j )S j 1, ahol y jelöli az n id pontbeli készpénz mennyiségét, x az n id pontban a portfólióban szerepl részvények darabszámát. Ennek hasznosságát jelölje a Φ n (x, y, ( X)) = 25

U(Y N+1 ) függvény. Deniáljuk minden n [, N] egész számra a v n (x, y) véletlen folyamatot a következ képpen: v n (x, y) ess sup E n ( U(YN+1 ) X n = x, Y n = y ) ess sup E n ( Φn (x, y, ( X)) ), (3.3) ahol E n az F n σ-algebrára vonatkozó feltételes várható értéket jelöli és a lényeges szuprémum az összes ( X) el rejelezhet folyamatra vonatkozik. Tegyük fel, hogy minden x, y-ra és minden n-re v n (x, y) < 1 valószín séggel. Ekkor az alábbi tétel teljesül v n (x, y)-ra. 3.1. Tétel. [3] v n (x, y) minden n-re 1 valószín séggel konkáv és növekv az x és az y változójában is. A bizonyítás el bb diadikus törtekre megy, majd ezek egyértelm kiterjesztésével adódik az állítás valós (x, y)-okra is. 3.2. Optimális fedezeti stratégia Ahhoz, hogy belássuk, hogy valóban létezik optimális fedezeti stratégia, azt kell megmutatni, hogy a 3.3-as egyenletben a szuprémum az optimális stratégiával maximum lesz. A továbbiakban tegyük fel, hogy S n ϕ( t S n ) L 1 minden n- re és minden t > -ra. Deniáljuk a v n folyamat konvex duális függvényét a következ képpen: ṽ n (η) sup{v n (x, y) η 1 x η 2 y}, x,y ahol η = (η 1, η 2 ) szigorúan pozitív, azaz mindkét változója pozitív. Ha például kezdetben x = darab részvénnyel és y = 1 egységnyi készpénzzel rendelkezünk és az a stratégiánk, hogy soha nem fektetünk kockázatos eszközbe, akkor a konvex duális függvény értéke ṽ n (η) sup{v n (, 1) η 2 } = U(1) η 2, azaz egy konstans alsó korlátot kaptunk ṽ n (η)-ra. A fels korlát megadásához el bb a Φ n függvény feltételes várható értékére adunk egy korlátot úgy, hogy Φ n (x, y, ( X))-et kifejezzük Φ n+1 (x, y, ( X))-ként, azaz nem az n id pontból indulunk x, y kezdeti értékekkel, hanem (n + 1)-b l x darab részvénnyel és y egységnyi készpénzzel, ahol x = x + X n és y = y ϕ( X n )S n 1. 26

N N E n [Φ n (x, y, ( X))] = E n [U(y ϕ( x X j )S N ϕ( X j )S j 1 )] = j=n+1 j=n+1 N N = E n [E n+1 [U(y ϕ( X n )S n+1 ϕ( x X n X j )S N ϕ( X j )S j 1 )]] = j=n+2 j=n+2 N N = E n [E n+1 [U(y ϕ( x X j )S N ϕ( X j )S j 1 )]] = j=n+2 j=n+2 = E n [E n+1 [Φ n+1 (x, y, ( X n ))]] E n [v n+1 (x, y )] Ezen egyenl tlenség felhasználásával megmutatható, hogy teljesül az alábbi lemma. 3.1. Lemma. [3] Minden n-re és minden szigorúan pozitív η-ra ṽ n (η) η 2 S n ϕ( η 1 η 2 S n ) + E n [ṽ n+1 (η)]. Könnyen igazolható, hogy ṽ n (η) L 1 minden n-re és minden szigorúan pozitív η-ra, amib l következik, hogy v n (x, y) L 1 minden x, y-ra és minden n-re. Ekkor egy rögzített szigorúan pozitív η esetén fennáll a következ összefüggés v n (x, y) sup E n v n+1 (x + x, y ϕ( x)s n ) x sup E n [ṽ n+1 (η) + η 1 (x + x) + η 2 (y ϕ( x)s n )] x = E n ṽ n+1 (η) + η 1 x + η 2 y + sup[η 1 x η 2 ϕ( x)s n ]. x Ha x, akkor a 3.1-es feltételek miatt ϕ( x) gyorsabban tart a végtelenhez, így sup x [η 1 x η 2 ϕ( x)s n ], x esetén pedig x a ϕ-nél gyorsabban tart -hez, így a szuprémum ismét -hez tart, ami azt jelenti, hogy a szuprémum ebben az esetben egy maximum. Ez pedig pontosan azt jelenti, hogy létezik optimális stratégia, amit a következ tétel fogalmaz meg: 3.2. Tétel. [3] Az eddigi feltevések mellett a 3.3-as optimalizálási problémának létezik megoldása az olyan (X, Y ) el rejelezhet folyamatok halmazából, melyekre teljesül, hogy X = x és Y n = y. Az itt bemutatott konstrukciót egy Bellman-típusú egyenlettel lehet leírni, melynek lényege, hogy egy állapot hasznossága az adott állapotba való eljutás 27

költségének illetve jutalmának és a következ állapot várható hasznosságának összege. 3.3. Tétel (Bellman-egyenlet). [3] Minden n N esetén v n (x, y) = sup E n [v n+1 (x + x, y ϕ( x)s n )]. x 3.3. Kockázatsemleges marginális ár A korábbi jelölések mellett legyenek az n id pontban X n = x és Y n = y a részvényre és a készpénzre vonatkozó kezdeti értékeink és tegyük fel, hogy a ( X m ) N m=n+1 folyamat optimális stratégia ezekre a kezdeti értékekre. Legyen ennek az optimális stratégiának egy módosított változata a ( X m (ε) ) N m=n+1 folyamat, amelyet a következ képpen deniálunk X (ε) m = ε + X n+1, m = n + 1, X m, m > n + 1. A N + 1 id pontban a készpénz mennyisége ezen új stratégia mellett Y (ε) N+1 = Y N+1 [ϕ( X (ε) n+1) ϕ( X n+1 )]S n [ϕ( X N ε) ϕ( X N )]S N = Y N+1 [ϕ( X n+1 + ε) ϕ( X n+1 )]S n [ϕ( X N ε) ϕ( X N )]S N, ami ε-ban konkáv. Az optimalitás miatt bármely ε esetén E n [U(Y N+1 )] E n [U(Y (ε) N+1 )], ezért az ε szerinti derivált nulla, azaz E n [U (Y N+1 )(ϕ ( X n+1 )S n ϕ ( X N )S N )] =. 3.4. Tétel. [3] Az eddigi feltevések mellett legyen a ( X m ) N m=n+1 folyamat az optimális megoldás v n (x, y) maximalizálására, a N +1 id pontban Y N+1 egységnyi készpénzzel. Ekkor a v n függvény mindkét változója szerint majdnem mindenütt dierenciálható és D x v n (x, y) = E n [S N ϕ ( X N )U (Y N+1 )] = S n ϕ ( X n+1 )E n [U (Y N+1 )], D y v n (x, y) = E n [U (Y N+1 )]. 28

Az M n ϕ ( X n+1 )S n folyamat martingál a Q mérték szerint, ahol dq dp = U (Y N+1 ). Az eddigiek során sehol nem használtuk ki az arbitrázsmentességet, ami azt jelenti, hogy létezhet egyszerre arbitrázs lehet ség és optimális portfólió egy illikvid piacon. Az arbitrázst itt a következ módon deniáljuk. 3.1. Deníció (Arbitrázs). (X, Y ) egy arbitrázs lehet ség, ha X és Y olyan el rejelezhet folyamatok, melyekre teljesül, hogy X = Y = X N+1 =, kielégítik a 3.2-es egyenletet, továbbá Y N+1 és P (Y N+1 > ) >. Nézzünk egy konkrét példát az arbitrázs és az optimális portfólió egyidej létezésére. Tekintsünk egy 1 periódusos piacot, ahol S = 1, ϕ(x) = e x 1 és P (S 1 = 1) = P (S 4 1 = 1) = 1. A els tranzakció során x (log 1, ) darab 2 2 2 részvényt vásárolunk, ami a periódus végén, azaz a 2. id pontban a következ készpénzt eredményezi a teljes portfólió likvidálása után: Y 2 = Y 1 ϕ( X 2 )S 1 = (Y ϕ( X 1 )S ) ϕ( X 2 )S 1 = = Y ϕ(x 1 X )S ϕ(x 2 X 1 )S 1 = ϕ(x ) 1 ϕ( x)s 1 = = (e x 1) (e x 1)S 1 = (e x 1)(e x S 1 1). Mivel x (log 1, ), ezért 1 < 2 2 ex < 1 e x 1 <, illetve 1 < e x < 2 és S 1 1 2 e x S 1 1 <, tehát Y 2 >, ami arbitrázst jelent. Egy adott hasznossági függvény mellett optimális portfólió is létezik, mert a modellre teljesül, hogy minden x, y-ra n-re és tre v n (x, y) < 1 valószín séggel és S n ϕ( t S n ) L 1. A stratégia szerint a id pontban veszünk x darab részvényt és t = 1-ben eladjuk mindet, így a marginális ár t = -ban e x, míg t = 1-ben e x S 1. Ahhoz, hogy a marginális árfolyamat martingál legyen valamely P-vel ekvivalens mérték mellett, annak kell teljesülnie, hogy t = 1-ben a két lehetséges marginális részvényár közül az egyik nagyobb, a másik pedig kisebb legyen, mint a kezdeti marginális árfolyam, vagyis e x 1 4 < ex és e x 1 2 > ex. Ez a két egyenl tlenség az x (log 1 2, log 1 2 ) értékre teljesül, így a példában megadott optimális stratégia egy adott hasznossági függvény mellett mindig eleget tesz ezeknek a korlátoknak. 29