Harmadik fejezet Nevezetes valószíűségi változók Valamely valószíűségi változóhoz kapcsolódó kérdésekre akkor tuduk potos választ adi, ha a változó eloszlása ismert, vagy megközelítőleg ismert. Ebbe a fejezetbe a leggyakrabba előforduló valószíűség-eloszlásokat tekitjük át. Megjegyezzük, hogy a matematikai statisztika irodalma jóval több valószíűségeloszlást tart yilvá. Természetese mide eloszlás em adható meg, de elegedőe sok eloszlás közül választva szite mide eloszlás jól közelíthetõ. 3.1. A Poisso-eloszlás A Poisso-eloszlás egyike a méröki gyakorlatba és az iformatikába leggyakrabba megjeleő valószíűség-eloszlásokak. Eek elleére az előző fejezetbe tárgyalt eloszlásokhoz képest csak jóval összetettebb matematikai modellekbe mutatható be. Legegyszerűbbe a biomiális eloszlásból kiidulva juthatuk el a Poisso-eloszláshoz. Bizoyos meyiségű yersayagból m számú terméket készíteek. Az összes yersayagba számú szeyeződésszemcse va. Mi a valószíűsége, hogy egy termékbe potosa k szemcse kerül? Ez a kérdés például akkor válhat léyegessé, amikor bizoyos számúál több szeyeződésszemcsét tartalmazó termék selejtek tekitedő. Leegyszerűsítve így fogalmazhatuk: számú szemcsét kell elhelyezi m dobozba. Mi a valószíűsége, hogy egy dobozba k számú szemcse jut? Aak a valószíűsége, hogy egy adott szemcse egy adott dobozba kerül p = 1/m. Így a biomiális eloszlás képletét haszálva: k p k 1 p k aak a valószíűsége, hogy k szemcse jut egy dobozba. Ez a valószíűség egy hosszabb gyártási periódusba érdekes, amikor m agyo agy, de az egy termékre jutó szeyeződésszemcsék /m száma em változik. Legye λ = /m. A lim k λ k 1 λ k határérték kiszámításához részletese kiírjuk a biomiális együtthatót, és egy kicsit átalakítjuk: 1... k + 1 k λ k 1 λ 1 λ k k! 1
3. FEJEZET. NEVEZETES VALÓSZÍNŰSÉGI VÁLTOZÓK Itt az első tört és az utolsó téyező egyhez tart, a középső -től függő téyező pedig e λ -hoz egy evezetes határértéktétel szerit. Tehát: λ paraméterű Poisso-eloszlásak evezzük a p k 1 p k λk k k! e λ 3.1.1 P ξ = k = λk k! e λ, ahol k = 0, 1,... és λ > 0 3.1. valószíűség-eloszlást. Lejjebb megmutatjuk, hogy λ az eloszlás várható értéke. Amit így kaptuk, az a Poisso-féle határértéktétel: 3.1. tétel: Poisso-féle határértéktétel A p sikervalószíűségű biomiális eloszlás Poisso-eloszláshoz tart, ha az alteratíva ismétléséek száma tart a végtelehez úgy, hogy eközbe a biomiális eloszlás várható értéke p álladó marad. Más szóval, ha agy p-hez képest, akkor a biomiális eloszlás Poisso-eloszlással közelíthető. A Poisso-eloszlásra voatkozó több kérdésre a geerátorfüggvéy módszere hatékoya haszálható. Ha egy diszkrét valószíűségi változó csak pozitív egész értékeket vesz fel, akkor geerátorfüggvéye Gz = P ξ = z 3.1.3 =1 hatváysorral adott, feltételezve, hogy a G összegfüggvéy létezik. Mide esetre z < 1 eseté a hatváysor tetszőleges diszkrét eloszlásál létezik. A Poisso-eloszlás geerátorfüggvéye mide z IR eseté értelmezve va. Gz = e λz 1 3.1.4 3.1. példa: Haszáljuk a geerátorfüggvéyt a Poisso-eloszlás várható értékéek és szóráségyzetéek kiszámítására! Akkor 3.1.3-ból differeciálással és z = 1 helyettesítéssel kapjuk, hogy G 1 = P ξ = = Mξ, 3.1.5 és ismételt differeciálással Ebből G 1 = =1 P ξ = 1 = Mξ Mξ. =1 ξ = G 1 + G 1 G 1. 3.1.6 Most alkalmazzuk a 3.1.5 és 3.1.6 általáos képleteket a Poisso-eloszlásra: G z = λe λz 1, G z = λ e λz 1.
3.. AZ EXPONENCIÁLIS ÉS A GAMMA-ELOSZLÁS 3 A λ szám tehát a Poisso-eloszlás várható értéke és egybe szóráségyzete. A következő, a gyakorlatba agy jeletőségű tétel bizoyítása ismét a geerátorfüggvéy módszere alapul. Azt a köye kiszámítható állítástfogjuk felhaszáli, hogy függetle, egész értékeket felvevő valószíűségi változók összegéek geerátorfüggvéye az összeadadók geerátorfüggvéyéek a szorzata. 3.. tétel: Ha ξ 1 és ξ λ 1 ill. λ paraméterű Poisso-eloszlású függetle valószíűségi változók, akkor ξ 1 + ξ ugyacsak Poisso-eloszlású, és paramétere λ 1 + λ. Bizoyítás: ξ i geerátorfüggvéye G i z = e λ iz 1 i = 1, 3.1.4 szerit. ξ 1 + ξ geerátorfüggvéye G = G 1 G, azaz Gz = e λ 1z 1 e λ z 1 = e λ 1+λ z 1. Ez pedig éppe egy λ 1 + λ paraméterű Poisso-eloszlás geerátorfüggvéye. A Poisso eloszlást a biomiális eloszlásból, aak speciális esetekét kaptuk meg. Komoly előye, hogy em kell ismeri a p valószíűséget, -et, a kísérletek számát, csak λ-t. Poisso eloszlás eseté aak a valószíűsége, hogy a siker száma k vagy aál több legye [ P ξ k = 1 e λ 1!λ + λ! + + λk 1 k 1 Ez a kifejezés olya gyakra fordul elő, hogy külö eve is va:,,poisso féle expoeciális függvéy, és értékeit táblázatba foglalták. Jól haszálható időegység alatt bekövetkező eseméyek számáak, terület egységre eső potok számáak, készletezési, sorba állási, radioaktív atomok bomlásával kapcsolatos valószíűségek leírására.] 3.. Az expoeciális és a gamma-eloszlás Az expoeciális eloszlás már az előző fejezetbe is felbukkat, sűrűségfüggvéye f : x exp λx, ahol λ pozitív paraméter. Az expoeciális eloszlás várható értéke λ 1. A tipikus expoeciális eloszlású valószíűségi változó egy olya véletle időtartam, amely ha egy x időpotig em ért véget, akkor úgy tekithető, mitha az egész folyamat csak az x időpotba kezdődött vola: P ξ x + y ξ x = P ξ y 3..1 Ez midig teljesül egy expoeciális eloszlású ξ valószíűségi változóra. Szavakkal úgy fejezzük ki, hogy az expoeciális eloszlásak icse emlékezete, 3..1 bizoyításához a valószíűségeket ki kell fejezi az eloszlásfüggvéy segítségével: P ξ x + y ξ x = P x ξ x + y P x ξ = e λx e λx+y e λx = F ξx + y F ξ x 1 F ξ x = 1 e λy = F ξ y = P ξ y.
4 3. FEJEZET. NEVEZETES VALÓSZÍNŰSÉGI VÁLTOZÓK Bizoyítható, hogy csak az expoeciális eloszlásak ics emlékezete a sűrűségfüggvéyel redelkező folytoos eloszlások között. Expoeciális eloszlás alkalmazható például radioaktív bomlási folyamatok sorá, és olya meghibásodásra, élettartamra voatkozó problémák esetébe, ahol a meghibásodás em az öregedésből, haem pl. valamilye véletle igadozástól, behatástól függ. Az expoeciális eloszlás befoglalható a gamma-eloszlások családjába. Legye α és β pozitív paraméter. A gamma-eloszlás a gamma-függvéyről kapta a evét, mivel defiíciójába a gamma függvéy szerepel. A gamma függvéyre voatkozó legfotosabb ismeretek a függelékbe megtalálhatók. Az α-dredű gamma-eloszlás sűrűségfüggvéye fx = { 1 β α Γα xα 1 e x/β ha x > 0, 0 külöbe. 3.. Kiszámolható, hogy a gamma-eloszlás várható értéke αβ és variaciája αβ. Az α = 1 választás vezet az expoeciális eloszláshoz. A gamma-eloszlás mometumgeeráló függvéye t > β eseté va értelmezve és mt = 1 βt α t > β. 3..3 3.3. tétel: Ha a ξ 1, ξ,..., ξ valószíűségi változók függetleek és ξ i gamma-eloszlású α i és β paraméterrel 1 i, akkor ξ 1 +ξ +...+ξ ugyacsak gamma-eloszlású, α 1 +α +...+α és β paraméterrel. Bizoyítás: A mometumgeeráló függvéy módszerét haszáljuk. 3..3 szerit ξ i mometumgeeráló függvéye m i t = 1 βt α i és a?? tétel szerit ξ 1 +... + ξ mometumgeeráló függvéye mt = m i t = 1 βt α 1+α + +α i=1 amiből látszik, hogy egy gamma-eloszláshoz tartozik, és a paraméterek kiolvashatók. A Poisso eloszlás megadja az idő itervallum alatt bekövetkező eseméyek számáak valószíűségét, a két eseméy között eltelt idő pedig expoeciális eloszlást követ. 3.3. A ormális eloszlás A ξ valószíűségi változót ormális, avagy Nm, -eloszlásúak evezzük, ha sűrűségfüggvéye fx = 1 e x m 3.3.1 π alakú, ahol < m < és > 0. Mivel fm x = fm + x, az Nm, sűrűségfüggvéy szimmetrikus m-re, és m a várható értéke. Parciális itegrálással számolható ki, hogy Nm, szórása éppe.
3.3. A NORMÁLIS ELOSZLÁS 5 Ha m = 0 és = 1, akkor stadard ormális eloszlásról beszélük. Eek eloszlásfüggvéye Φx = 1 x e t / dt 3.3. π A Φx értékeket táblázatból vehetjük, mivel az itegrál em adható meg köye kezelhető képlettel. A táblázat csak pozitív x-ekre tartalmazza Φx-et, egatív x értékekre a Φ x = 1 Φx összefüggést haszáljuk. A táblázatból látható, de fejbe tartai is érdemes, hogy a stadard ormális eloszlás 99% valószíűséggel 3 és 3 között veszi fel értékeit. Megjegyzés: A műszaki irodalomba gyakra haszált Erf hibafüggvéy defiíciója Erfx := x π 0 e t dt, tehát Φx = 1 Erf x. 3.4. tétel: Ha a ξ valószíűségi változó Nm, eloszlású, akkor η = ξ m stadard ormális eloszlású. Nevezetese a m P a < ξ < b = P < η < b m b m a m = Φ Φ 3.. példa: Legye a ξ valószíűségi változó N3, eloszlású. Mekkora legye az A szám ahhoz, hogy a, A itervallumba 1/ valószíűséggel esseek ξ értékei? és a Ha F a ξ valószíűségi változó eloszlásfüggvéye, akkor P ξ A = F A F A 3 3 A 3 = Φ Φ = Φ A 3 Φ = 3 1 Φ 1 1 + Φ, egyelethez jutuk, amit Φ táblázata segítségével olduk meg: A 3/ = Φ 1 0.8085 = 0.875, amiből A = 4.745. 3.3. példa: Egy gyártó 1000 Ft-os egységáro árulja termékeit. Ha egy termék 80 g-ál kisebb, akkor eladhatatla, és teljes veszteséget jelet. A termékek tömege ormális eloszlást mutat w 0 várható értékkel és 10 g szórással. Egy termék előállítási költsége c = 5w + 30, ahol w a termék súlya. Milye átlagos w 0 súly maximalizálja a profitot? Aak a valószíűsége, hogy egy termék eladhatatla w 80 p = Φ, 10 és 1 p1000 5w + 30 a bevétel, amelyek várható értéke a maximalizáladó. A 970 1000p 5w 0 várható érték maximumát differeciálással határozzuk meg: 1000 d w0 80 Φ = 100 Φ w0 80 = 5 dw 0 10 10 összetett függvéyt kellett differeciáli. Az egyelet két gyöke közül w 0 = 109.6 ad csak maximumot, a feladat természetéből adódóa.
6 3. FEJEZET. NEVEZETES VALÓSZÍNŰSÉGI VÁLTOZÓK Normális eloszlás alkalmazható mérési hibákra, méret igadozásokra és olya élettartam vizsgálatokra, ahol a készülékek, alkatrészek redszeres kopással meek tökre. A ormális eloszlás fotosságát tükrözi a következő tétel, amely szerit bizoyos feltételek eseté ormális eloszlással közelíthető a biomiális eloszlás. 3.5. tétel: Moivre Laplace-tétel Legye ξ 0, 1,,..., értékeket felvevő valószíűségi változó, amelyek eloszlása biomiális p sikervalószíűséggel. Ekkor a ξ = ξ p pq valószíűségi változók eloszlása a stadard ormális eloszláshoz tart, amikor +. A tételt a gyakorlatba a biomiális eloszlás közelítésére haszáljuk a következő alakba: b p a p P a ξ b Φ Φ pq pq 3.3.3 Ez a közelítés akkor alkalmazható, ha p és q 5-él agyobb. Megjegyzés: A 3.1 gyakorlat megoldásába megtapasztalhatjuk a tétel jeletőségét. 3.4. példa: Egy hallgatóak 0 tesztkérdésre kell igeel vagy emmel válaszolia, és p = 50 %-os valószíűséggel ad helyes választ. Mi a valószíűsége, hogy legalább 15 kérdésre ad helyes választ? p = q = 10 > 5, így alkalmazhatjuk a 3.3.3 közelítést. P 15 ξ = 1 0.989 = 1.1% a meglepőe alacsoy esély. 3.6. tétel: Az Nm, ormális eloszlású valószíűségi változó mometumgeeráló függvéye m 0 t = expmt + t /. 3.3.4 Bizoyítás: A mometumgeeráló függvéy defiíciója szerit az m 0 t = = 1 π 1 π e tx e x m dx exp [ /x mx + m tx] dx. A kitevőbe teljes égyzetté való kiegészítés utá azt kapjuk, hogy m 0 t = e mt+t / 1 π exp x m + t dx. Az itegrál értéke π, és így a bizoyítadó képlethez jutottuk. 3.7. tétel: Legye ξ i Nm i, i ormális eloszlású valószíűségi változó i = 1,. Ha ξ 1 és ξ függetle, akkor ξ 1 + ξ is ormális eloszlású, m = m 1 + m várható értékkel és = 1 + szórással.
3.4. A LOGARITMIKUS NORMÁLIS ELOSZLÁS 7 Bizoyítás: Valóba, az m i t = expm i t + i t / mometumgeeráló függvéyek szorzata exp m 1 t + m t + 1 + t a?? tétel alapjá ξ 1 + ξ mometumgeeráló függvéye. kiolvashatók. Belőle a ormális eloszlás paraméterei A szórás a valószíűségi változók igadozásáak leggyakrabba haszált mértéke. Egy valószíűségi változó bizoytalaságáak főkét az iformációelméletbe haszált másik mértéke az etrópia. ξ etrópiáját az f ξ x l f ξ x dx = Hξ 3.3.5. itegrállal lehet megadi. Köyű kiszámoli az Nm, eloszlás etrópiáját, ami az l πe + l 3.3.6 értékek adódik. A képletből látszik, hogy ormális eloszlásra az etrópia bármilye valós értéket felvehet. A agy szórás agy etrópiát, azaz agy bizoytalaságot jelet. Az Nm, ormális eloszlás evezetes tulajdosága, hogy a szórású és m várható értékű eloszlások között a legagyobb az etrópiája, azaz mide más szórású m várható értékű eloszlás etrópiája 3.3.6-ál kisebb. A következő eloszlások majd a statisztikai vizsgálatokba leszek fotosak. 3.4. A logaritmikus ormális eloszlás Egy pozitív értékeket felvevő ξ valószíűségi változót logaritmikus ormális eloszlásúak vagy logormális eloszlásúak moduk, ha a η = l ξ valószíűségi változó ormális eloszlású. Tételezzük fel, hogy η eloszlása Nm,. Ekkor az eloszlásfüggvéy defiíciója szerit F ξ x = P ξ < x = P η < l x = 1 π l x e t m dt. Ebből differeciálással adódik, hogy f ξ x = 1 l x m exp πx x > 0. 3.4.1 Az irodalomba m helyett α és helyett β paraméter is szokott szerepeli. Az m és betűk haszálata azoba azért célszerű, mert utalak a megfelelő ormális eloszlásra. Itegrálással kiszámolható ξ várható értéke és szórása: Mξ = e m+ /, ξ = e m+ e 1 3.4. A logormális eloszlás evezetes tulajdosága, hogy ha ξ logormális eloszlású, akkor az aξ b valószíűségi változó is logormális eloszlású tetszőleges pozitív a és b számokra.
8 3. FEJEZET. NEVEZETES VALÓSZÍNŰSÉGI VÁLTOZÓK 3.5. A khi-égyzet és a khi-eloszlás számú függetle stadard ormális eloszlású valószíűségi változó égyzetösszegéek eloszlását szabadságfokú χ -eloszlásak evezik. A χ -eloszlás sűrűségfüggvéye f x = x 1 e x Γ/ x > 0 3.5.1 A evezőbe előforduló gamma függvéy értelmezése és tulajdoságai a függelékbe találhatók meg. 3.8. tétel: Az szabadságfokú χ -eloszlás mometumgeeráló függvéyét, várható értékét és szórását a következő képletek adják meg: mt = 1 t / t > 1/, M =, =. 3.5. Az η valószíűségi változó eloszlását χ-eloszlásak evezzük, ha az η valószíűségi változó χ -eloszlású. Ez az eloszlás a matematikai statisztikába játszik fotos szerepet. Az - szabadságfokú χ-eloszlás sűrűségfüggvéye és várható értéke f x = x 1 e x / / Γ/ x > 0 3.5.3 M = Γ + 1/. 3.5.4 Γ/ Megjegyezzük, hogy a példák között szerepel a két szabadságfokú χ -eloszlás sűrűségfüggvéyéek levezetése. A következő példába rámutatuk a Maxwell-eloszlás lásd a?? példát és a három szabadságfokú χ -eloszlás kapcsolatára. 3.5. példa: A kietikus gázelmélet szerit egy yugalomba lévő gáz egy molekulájáak egymásra merőleges x, y és z iráyú sebességkompoesei függetleek, és N0, eloszlású valószíűségi változóak tekithetők. Legye ξ x, ξ y és ξ z a három sebességkompoes. A sebességvektor v = ξx + ξy + ξz hosszáak sűrűségfüggvéyét a Maxwell-féle sebességeloszlási törvéy adja meg, amit most levezetük. A ξ x /, ξ y / és ξ z / valószíűségi változók stadard ormális eloszlásúak, így v/ három szabadságfokú χ -eloszlású valószíűségi változó. A χ -eloszlás sűrűségfüggvéyéből és f v/ x = x e x / 3/ Γ3/ = x e x/ π f v x = f v/ x = 3 x e x / π.3.11 α paramétere és az utóbbi képlet -ja között az α = / összefüggés áll fe. Ezért = m/kt.
3.6. A T VAGY STUDENT ELOSZLÁS 9 3.6. A t vagy studet eloszlás Az η valószíűségi változót szabadságfokú t-eloszlásúak evezzük, ha megadhatók olya stadard ormális eloszlású, függetle ξ 0, ξ 1,..., ξ valószíűségi változók, hogy ξ0 η = ξ 1 + ξ + + ξ