Függvée és tuljdosági 67 III FEJEZET FÜGGVÉNYEK III A üggvé oglm és éhá tuljdoság III A üggvé értelmezése A üggvé oglmávl z előző évee már tláloztu Eddigi ismereteitere támszodv válsszáto i z7 lái megeleltetése özül üggvéeet és idooljáto meg miért em üggvée zo meleet em válsztottto i! ) ) ) ) 5) - 5 7 c - 5 7 c - 5 7 c - 5 7 - - 0 () 0 c 6) :{ 0 5 7 9 } R ( ) 7) : ( 5] R ( ) 8) :{ 5 6 7 8 9 0 } { e é g l m s t u } hol (i) megeleltetés szó i-edi etűje 9) :{ e é l m s t } { 5 6 7 8 9 0 } ( ) z etű sorszám megeleltetés szó Most már emléeztethetü üggvé értelmezésére Értelmezés H A és B ét hlmz or zt megeleltetést mel z A hlmz mide eges eleméhez hozzáredel egetle elemet B hlmzól z A- értelmezett B értéészletű üggvée evezzü és z : A B szimólumml jelöljü Emléeztetü éhá otos üggvéeel pcsoltos oglomr III A üggvé értéeie hlmz: Im Értelmezés H : A B üggvé or üggvéértée hlmz z { ( A} Im ) hlmz Az péld eseté Im { c } B A péld eseté { c } B Im
68 Függvée és tuljdosági Az 5 péld eseté Im { 0 } míg 8 péld eseté Im m e g l t é s III A üggvé grioj: Gr Értelmezés H Példá { } B : A B üggvé or üggvé grioj { A } Gr ( ( ) ) hlmz Az péld eseté Gr {( ) ( c ) ( 5 ) ( 7 )} A péld eseté Gr {( ) ( c ) ( 5 c ) ( 7 c )} Az 5 péld eseté Gr {( ) ( ) ( 0 0 ) ( ) ( )} A 8 péld eseté Gr { ( m ) ( e ) ( g ) ( ) (5 e ) ( 6 l ) ( 7 e ) ( 8 l ) (9 t ) (0 e) ( t ) ( é ) ( s ) } Megjegzés A Gr elemeie szám megegezi z A elemeie számávl és Im elemeie szám legelje z A elemeie számávl egelő III Vlmel számüggvé grius épe H : A B üggvé és A B R or Gr számpároól áll H Gr elemeit Descrtes-oordiát redszere árázolju megpju üggvé grius épét tehát grius ép grio (Gr ( ) A ) síeli épe {( ) } Feldt Az lái árá özül mele em lehete üggvée grius épei? III ár III ár O O O O - III ár III ár
Függvée és tuljdosági 69 Megjegzés A üggvé értelmezési trtomá grius épe z O tegelre eső vetülete és üggvé értéeie hlmz (Im) grius épe z OY tegelre eső vetülete Olvssáto le z áráról z ) és ) üggvé értelmezési trtomáát és üggvéértée hlmzát! III5 Két üggvé griojá metszete és grius épe metszéspotji Htározzu meg z g : A B üggvé A B R grius épée (vg griojá) metszéspotjit A grio értelmezése lpjá ( ) Gr ( ) és ( ) Grg g( ) ( ) ( ) tehát z egeletredszert ell megoldi Az -t iüszöölve z g( ) ( ) g( ) () egelethez jutu H z () egelet megoldási hlmz M or { ( ( ) M } ét grio metszéspotji hlmz és ee hlmz síeli épe ét üggvé grius épée metszete 5 Péld Az ( ) és g( ) ( g : R R ) üggvée grius épeie metszéspotjit meghtározhtju h megoldju z egeletet Az egelet megoldáshlmz: M tehát { } ( ( ) ) ( ) és ( ) metszéspoto és ( ( ) ) zz 6 Az ( ) g( ) iejezés mérti értelmezése H g : A R R ét üggvé or z A ( ( )) és B ( g( )) pot ( A) ugzo üggőleges egeese helezedi el (lásd melléelt árát) tehát z AB szsz hossz z A B szsz hosszávl egelő és ez ( ) g() Íg ( ) g() z és g üggvée griojá szcisszájú potji özti távolság O - () g () O III5 ár A' B' A B III6 ár
70 Függvée és tuljdosági 6 Példá Htározzu meg z g : R R () 5 és g() üggvé grius épée zot z zoos szcisszájú potjit mele özött távolság 5-él em go Megoldás A ért eltételt zo ( ()) illetve ( g()) poto teljesíti melere ( ) g( ) 5 zz 5 H ezt z egelőtleséget megoldju z vg eltételehez jutu Íg z egelőtleség z itervllum tlálhtó értée eseté teljesül A grius épe is láthtju számítási helességét - O 5 7 5 - III7 ár Htározzu meg z m vlós prméter zo értééit melre z III 8 ár g : R R ( ) és g ( ) 6 m üggvée grius épeie zoos szcisszájú potji özötti távolságo özül legise egség hosszúságú Megoldás Mtemtiilg ért összeüggés mi ( ) g( ) R egelettel írhtó le De ( ) g( ) 8 m
Függvée és tuljdosági 7 tehát zot z m R értéeet eressü melere 8 m iejezés miimum Mivel ez miimum em 0 8 m 0 egelete ics göe és íg 8 ( m) < 0 Ez viszot zt jeleti hog g : R R g( ) 8 m üggvé előjeltrtó és íg (mivel domiás tg egütthtój pozitív) z szolút érté elhghtó tehát g miimum ell hog lege De g miimumát eseté veszi el tehát 8 m m 8 Vizsgálju z : ( 0 ) R ( ) üggvé grius épét lotó poto z O tegeltől vló távolságát! A pott távolságo özött v-e legise? Megoldás Az ( ( )) pot z O-től vló távolság ( ) mert > 0 Tételezzü el hog létezi legise távolság ezt jelöljü m-mel Mivel * 0 R övetezi hog m 0 tehát m > 0 és m > 0 Ez viszot zt -6 jeleteé hog m - - / O / - - - - -5 III9 ár > 0 és ez elletmodás mert -él go vlós szám m végtele so létezi Például z Az elő elletmodás zt muttj hog m legise távolság ee z esete em létezi Alpos megvizsgálju z elői egelőtleséget láthtju hog ármel m > 0 eseté ( ) m m Vgis z grius épe és z O tegel özött tetszőlegese is távolságo lépe el élül hog grio metszeé tegelt Sőt elég g -re z ( ( )) pot távolság z O tegeltől ármel előre rögzített pozitív üszöszámál ise
7 Függvée és tuljdosági Például: 0 000 0 0000 000 0000 0 H éhá értéet iszámolu III9 árá láthtó hozzávetőleges grius épet észíthetjü H ét üggvé grius épe z elő tpsztlt módo viseledi or zt modju hog szimptotius özelede egmáshoz 6 Értelmezés Az g : R R üggvée grius épei szimptotius > 0 úg hog ( ) g( ) < m > m 0 özelede egmáshoz h ( ) Bizoítsáto e hog z ( 0 ) 0 0 : R ( ) é s g : R R g ( ) üggvée grius épei szimptotius özelede egmáshoz! Megoldás ( ) ( ) ( )( ) tehát ( ) Ie övetezi hog ( ) g( ) < m < < H < 0 or 0 - em válszthtju m m m -t de válszthtju 0-t Tehát h 0 m 0 or m m ( ) g( ) < m > 0 Az értelmezés lpjá ét üggvé grius épe szimptotius özeledi egmáshoz III7 Mooto üggvée 7 Értelmezés Az : I R R üggvét szigorú övevőe evezzü h z rgumetumo öveedésével üggvéértée is öveede vgis h < eseté : I ( ) < ( ) Hsoló h < eseté : I ) > ( ) or z -et szigorú ( csöeőe evezzü H z elői értelmezésee szigorú egelőtleségeet -re illetve -re cseréljü or övevő illetve csöeő üggvé értelmezé-séhez jutu A üggvét mooto evezzü h z övevő vg csöeő Beláthtó hog z elői értelmezése övetező tömöre ormá is megoglmzhtó:
Függvée és tuljdosági 7 Az üggvé or és cs or R R I : szigorú övevő h ; 0 ) ( ) ( I > szigorú csöeő h I < 0 ) ( ) ( ; övevő h ; ) ( ) ( I 0 csöeő h ) ( ) ( I 0 Ee lpjá láthtó hog z ( ) R ) ( : 0 szigorú övevő mert 0 ) ( ) ( > Mit jelet grior votozó z hog övevő (vg csöeő)? Vizsgálju z ( ) ( ) A és ( ) ( ) B potot h < (lásd III0 árát)! Mivel ( ) ( ) > B pot ( élegeese ell elhelezedie tehát grio ármel ét potj özül (z O-hez viszoítv) ell mgs leie melie go z szcisszáj QM O ( ) A Q M Hsoló meggodolás lpjá töltséte i z lái modt ürese hgott helet úg hog igz állításhoz jussto! H g eg szigorú csöeő üggvé or g griojá ármel ét potj özül z (O-hez viszoítv) v mgs mele III0 ár 7 Feldt ) Az eddigie lpjá dötséte el hog övetező grioo özül mele árázol övevő üggvéeet és mele csöeőet! Azo üggvée esetée mele em mooto z egész R-e htározzáto meg mootoitási itervllumot! Vizsgáljáto meg szigorú mootoitást is! ) Tulmáozzáto z { } R R ) ( \ : és üggvé mootoitását! R R g : ) ( g
7 Függvée és tuljdosági III ár III ár - O O III ár III ár O - III6 ár III5 ár - O O A ésőiee gr vizsgálju mjd ol üggvée mootoitását meleet tö egszerű üggvé összege vg szorztét pu Ezért érdemes övetező tételt megjegezi: 7 Tétel H g : I R R övevő (csöeő) üggvé or g is övevő (csöeő) H g : I R R övevő (csöeő) üggvé or g övevő H : I R R mooto és létezi or is övevő
Függvée és tuljdosági 75 H : I R R szigorú övevő és g : I R R csöeő or z ( ) g( ) egelete em létezi egél tö megoldás (A izoításo z értelmezése lpjá zoli) III8 Kove üggvée és oáv üggvée H z : R R ( ) üggvé grius épé ét tetszőleges potot összeötü pott szsz midig hozzátrtozó grioív ölött helezedi el Köe rjzolhtu ol grius épet mele h ét potját összeötjü or pott szsz hozzátrtozó grioív ölött helezedi el (pl g : R R g( ) üggvé grioj) A továi h I eg itervllum or z : I R R üggvét ovee vg domorú (oáv vg homorú) evezzü h grius épée ármel ét potját összeötő szsz hozzátrtozó grioív ölött (ltt) helezedi el vg egeesi grio ívvel Ez lpjá eg grioról rögtö meg tudju állpíti hog z ove vg oáv üggvéhez trtozi A melléelt árá midegié eg-eg üggvé grius épét láthtod Néhá mellé em írtu od hog ove vg oáv üggvéhez trtozi Ezeről dötsd el te hog milee! KONKÁV KONVEX O O III7 ár III8 ár O O O III9 ár III0 ár III ár Az eddigie lpjá ármel grius épről öe eldöthetjü hog hozzátrtozó üggvé ove vg oáv Cshog legtö üggvét em grius épével szotu értelmezi hem vlmile mtemtii összeüggéssel ezért szüségü v oveitás (ovitás) mtemtii értelmezésére is Próálju átülteti mtemtii elvezete mit z elő láttu Hszálju melléelt ár jelöléseit!
76 Függvée és tuljdosági () 0 ( ) 0 D E M P III ár () N O A B C 0 H 0 [ ] or 0 0 ( 0 ) ( ) λ( ) ( λ) λ 0 AB hol λ-vl jelöltü z 0 rá értéét H 0 z [ ] itervllum- AC változi or λ [ 0 ] itervllum változi és 0 [ ] eseté létezi egetle λ [ 0 ] melre 0 ( λ ) λ Másrészt 0 [ ( 0 ) ( ) ] és DE MP AB párhuzmosságo lpjá tehát DF MN AC ( ) 0 0 ( ) ( ( ) 0 ) ( ) ( ( ) ( ) ) ( ) ( ) ( ) λ ( ( ) ( ) ) ( λ) ( ) λ ( ) Az MN szsz z MN ív ölött helezedi el tehát mide 0 [ ] eseté z 0 - hoz trtozó 0 em ise z (0)-ál (Az ( 0 0 ) pot húro v míg z ( 0 ( 0 )) z íve) Ezt z ( λ) ( ) λ ( ) (( λ) λ) λ [ 0 ] I egelőség ejezi i tehát ijelethetjü övetező értelmezést: 8 Értelmezés Az : I R R üggvé (I eg itervllum) ove (domorú) h ( λ ) ( ) λ ( ) (( λ) λ) λ [ 0 ] I H z egelőtleség szigorú zt modju hog z üggvé szigorú ove H z elői egelőtleség jo oldl go mit l oldl vg egelő vele or zt modju z üggvé oáv (homorú) 8 Példá ) Az : R R ( ) R 0 üggvé ove is és oáv is de em szigorú ove és em szigorú oáv
Függvée és tuljdosági 77 ) Az : R R ( ) c üggvé szigorú ove h > 0 és szigorú oáv h < 0 Az egelete megoldásor gr hszálu mootoitást vg oveitást z egelete szereplő üggvé vizsgált lpjá Az ile típusú godoltmeete leírásá egszerűsítése céljáól érdemes megvizsgáli hog mile pcsolt áll e oveitás és üggvéeel végzett művelete özött Erre votozi övetező tétel: 8 Tétel H z : I R R üggvé ove (oáv) or oáv (ove) H g : I R R ove (oáv) üggvé or z g is ove (oáv) H : I R R szigorú ove és g : I R R oáv or z () g() egelete legtö ét megoldás v Bizoítás Lege I λ [ 0] H ove or (( λ ) λ) ( λ) ( ) λ ( ) H z egelőtleség midét oldlát () -gel szorozzu or ( )(( λ) λ) ( λ)( )( ) λ( )( ) egelőtleséghez jutu mi éppe zt ejezi i hog üggvé oáv Lege I λ [ 0 ] Mivel és g ét ove üggvé (( λ ) λ) ( λ) ( ) λ ( ) és g( ( λ ) λ) ( λ) g( ) λg( ) H z egelőtlesége megelelő oldlit összedju z ( g)( ( λ) λ) ( λ)( g)( ) λ( g)( ) egelőtleséget pju mel lpjá z g ove üggvé Beláthtó hog h ét üggvé özül leglá z egi szigorú ove or z összeg is szigorú ove Az tuljdoság lpjá g ove és tuljdoság szerit g szigorú ove üggvé Az és g üggvé grioj áltl meghtározott metszéspoto szcisszáj z g üggvée zérus hele ezért elegedő zt igzoli hog szigorú ove üggvée eg egeessel legtö ét metszéspotj lehet Feltételezzü hog léteze z < < szcisszájú metszéspoto Eor m h( ) h ( λ ( λ) ) < λh( ) ( λ) h( ) m (Felhszáltu hog h < < or ol λ [0 ] mel eseté ( λ) λ hol ; vlmit zt hog h ( ) h ( ) z egees egelete) Íg z m < m egelőtleséghez jutu mi ilvávló hmis Ez cs eltételezésü hmis volt mitt lehetséges tehát eg szigorú ove üggvée és eg egeese em lehet ettőél tö metszéspotj
78 Függvée és tuljdosági 8 A Jese-egelőtleség A ove üggvée egi legismerte tuljdoság z lái egelőtleség H I eg itervllum és ove (oáv) üggvé or eseté: R R I : N ( ) [ ] I 0 és h λ λ λ λ Bizoítás A mtemtii idució módszerét llmzzu eseté z értelmezés lpjá igz z egelőtleség H -re igz or ármel I -re és ármel λ -r [ ] 0 λ h or érvées z egelőtleség Tehát λ ( ) ( ) ( ) λ λ λ λ λ λ λ j j j j j j λ λ λ λ λ λ j j j j j j j j λ λ λ λ λ λ j j j j j j j j () λ λ λ Tehát z egelőtleség igz -re is Azt ellee igzoli hog ( ) -re is igz ezért z változót és λ λ λ egütthtót tetszőlegese megválszthtju H [ 0 ] α α α úg hog or llmzzu z ( egelőtleséget z és α j j ) j j j α számo-r hol α j j j λ és ( ) λ λ λ
Függvée és tuljdosági 79 λ λ λ Tehát érvées övetező egelőtleség: ( ) ( ) ( ) j α j j α j j j j α j j Eől övetezi hog α j j α j j tehát Jese-egelőtleség j j érvées tetszőleges ( ) számr (és súlr) is Íg mtemtii idució elve lpjá ijeletett tétel igz 85 Megjegzés Legtöször z h : I R R ove or ( ) ( ) ( ) ( ) α α α súlot hszálju Íg Ez z egelőtleség diret úto (z előihez hsoló iducióvl) is igzolhtó és or ( ) ( ) is igz h -ről cs zt tudju hog I eseté (ez iztosítj z idució első részét) Az előihez hsoló idució segítségével igzolhtó számti illetve mérti özépráoso özötti egelőtleség is Vgis h > 0 or A ésőiee még vissztérü Jese-egelőtleség és özépráoso özötti összeüggésre III9 Ijetív üggvée Eg üggvé ülööző rgumetumor vett értéei lehete megegező vg ülöözőe Például z : R R ( ) üggvé értéei eseté megegeze: ( ) ( ) Ugor z : R R () üggvé eseté em tlálu ét ülööző és értéet melere üggvéértée megegezée Vló h üggvéértée egelő leée ez zt jeleteé hog ( ) ( ) zz mi cs eseté áll e Az ile típusú üggvéeet mele redeleze zzl tuljdosággl hog ülööző értée üggvéértéei is ülöözőe ijetív üggvéee evezzü
80 Függvée és tuljdosági 9 Értelmezés Az : A B üggvé ijetív h Amit láttu z ( ) eseté ) ( ) : R R üggvé em ijetív A ( ( ) üggvé ijetív viszot z : R R 9 Megjegzés H eg üggvéről zt szereté izoíti hog em ijetív elegedő ét ol ülööző és értéet tlálu melee z -e vett épei megegeze Azt hog üggvé ijetív áltlá úg igzolju hog megmuttju hog z ( ) ( ) egelőségől övetezi z egelőség (Itt zt logiá jól ismert tuljdoságot hszálju: p q ijeletés egeértéű ijeletéssel) q 9 Példá 5 Az : R R ( ) és g : [ 0 ) R g( ) üggvé ijetív Vló h és ol R * -eli érté melre ( ( ) or 5 5 5 5 Ugor h ) ( 0 tehát ) 0 és íg 0 -ől melere és ol értée [ ) 0 ( )( g ( ) g( ) or ) 0 tehát ( pozitív értée tehát 0 ) Amit látju z üggvé z R-e em ijetív de [ 0 )-e ige Ugíg igzolhtó hog ( 0] - is ijetív A övetező üggvée em ijetíve: ) : R R ( ) [ ]; ) g : R R g( ) { }; c) h : R R h ( ) Az egészrész- és törtrész-üggvée eseté ári go öe tlálht ol rgumetumot melee üggvéértéei em egelő Például [ ] [ 5] és 5 { 7 ( ) } Íg eze üggvée em ijetíve Eg icsit eheze dolgu h üggvé eseté hisz itt em iztos hog zol tlálu ol és értéet melre h( )h( ) Próálju ol rgumetumot tláli melere h() egelő -gel zz szdtggl! h () 0 ( ) 0 Ee z egelete R-e ét ülööző megoldás v: 0 és Íg h ( 0 ) h( ) és h üggvé em ijetív p
Függvée és tuljdosági 8 III0 Az ijetivitás vizsgált üggvé grius épée segítségével Vizsgálju meg z : R R ( ) és g : R R g( ) [ ] vlmit {} h : R R h( ) üggvée grius épét! O - - - O III ár III ár H zt szereté megvizsgáli hog eg előre megdott 0 értéet üggvé mile rgumetumor vesz el elegedő z ( ) egeletet 0 megoldi mi em jelet mást mit z 0 egeletű egeese üggvé griojávl vló metszéspotji szcisszáit eresi Nilvávló hog h üggvé grioját z egees tö pot is metszi or z 0 értéet üggvé tö ülööző eseté is elveszi tehát üggvé em ijetív Tehát z ijetivitást grius ép segítségével övetezőéppe lehet megállpíti: H létezi ol 0 egeletű (vízszites) egees mel üggvé grius épét tö pot metszi or üggvé em ijetív A elrjzolt üggvée egie sem ijetív Az első üggvé eseté z egees z és szcisszájú poto z egeletű egees z és szcisszájú poto is metszi griot A másodi üggvé eseté z vg z egeletű egees tö pot is metszi griot: z z [ ] itervllum tlálhtó összes -re z z [ 0] itervllum tlálhtó összes -re A hrmdi üggvé eseté például z O III5 ár
8 Függvée és tuljdosági 5 egees tö pot is metszi griot: z st szcisszájú poto Viszot z ( ) : R R üggvé grius épét ármile vízszites egeessel is metszeé soh em pá egél tö : ( ) metszéspotot Ezért üggvé ijetív Ugíg z [ 0 ] R üggvé eseté is metszéspoto szám egél em tö - O O 0 III6 ár III7 ár III Az ijetivitás és mootoitás viszo Tétel H z : A B üggvé szigorú mooto or ijetív is Bizoítás Feltételezzü hog szigorú övevő ( izoítás lóg h szigorú csöeő) és lege A H < or mivel szigorú övevő: ( ) < ( ) és h > or ( ) > ( ) tehát ( ) ( ) egi esete sem Ie övetezi hog ijetív Megjegzés A tétel ordítottj em igz Léteze ol ijetív üggvée mele em mootoo Ilee például z h { } < 0 : R R ( ) h vg h : R R h( ) [ 0 ] h > üggvée III Ijetív üggvée l oldli iverze { } { 5 6 7 } Feldt Adott z : üggvé hol A { } B { 5 6 7 } g ( ) g( ) 5 és g( ) 6 Szeresszü ol { } { } g : 5 6 7 üggvét melre: g A Há ile üggvé létezi?
Függvée és tuljdosági 8 Megoldás ( g )( ) A g( ( ) ) A Ez or lehetséges h g ( ) Láthtó hog zo B-eli értée mele -e em üggvéértéei g ehelettesítési értéeie iszámításor em jelee meg íg g(7) lehet vg ár is A melléelt digrmo láthtó eg ol g üggvé mel teljesíti ért eltételt Még ét ile üggvé 5 6 7 szereszthető (eg mele g( 7 ) Feldt Az :{ } { 5 6 7 } g ( 7 ) és eg mele ) Tehát összese három ile üggvé létezi üggvé digrmj z lái árá láthtó Szereszthető-e ol g üggvé mel teljesíteé z előző eldt eltételeit? Megoldás Mivel teljesülie ell A eseté z ezért 6 6 zz g(6) és g(6) de eg ile megeleltetés em üggvé Láthtó hog z () () egelőség mitt em szereszthető ile üggvé tehát z o z hog üggvé em ijetív g { } { 5 6 7 } Tétel A övetező ét állítás egeértéű: : üggvé ijetív; g : B A úg hog g A Bizoítás Elő igzolju hog ( ) g g eltétele A g üggvét övetezőéppe szeresztjü meg: ( ( ) ) h 0 B épelem (zz 0 A úg hog ( 0 ) 0 ) or ( 0 ) 0 H 0 B em épelem or g( 0 ) eg tetsz[leges A-eli elem Rögzítsü eg A -t és mide ile 0 eseté lege g ( 0) Tehát h ( ) g( ) h ( ) A Eg ile g üggvé eseté g g A ( )( ) ( ( )) A impliáció igzolás: ( g )( ) A g( ( ) ) A Feltételezzü hog em ijetív Eor A melre ( ) ( ) Eől övetezi hog ( g )( ) g( ( )) és ( g )( ) g( ( )) De ( ) ( ) és g üggvé tehát mi elletmod ét szám megválsztásá Követezéséppe ijetív g 5 6 7
8 Függvée és tuljdosági Megjegzés Az elői tétele szereplő g üggvét z l oldli iverzée evezzü Megoldott eldto Lege : A B és g : C A ét üggvé Bizoítsu e hog h g ijetív üggvé or g is ijetív üggvé Megoldás H C eseté g( ) g( ) g g zz ( g)( ) ( g or ( ( ) ) ( ( )) )( ) g ho z ijetivitás szerit övetezi hog Tehát g ijetív üggvé H : A B és g : C A ét ijetív üggvé or g szité ijetív üggvé Megoldás H C eseté g g or z összeüggés z ( g( )) ( g( )) ( ) ( ) ( )( ) ( )( ) l írhtó ho ijetivitás értelmée övetezi hog g g eől pedig g ijetivitás lpjá z egelőséghez jutu Tehát g ijetív üggvé III Szürjetív üggvée E ejezet potjá láttu hog z : A B üggvé eseté z Im B vg Im B Az ol üggvéeet mele üggvéértéeie hlmz megegezi z értétrtomál szürjetív üggvéee evezzü Az ile üggvée eseté B hlmz mide eleme épelem Értelmezés Az : A B üggvé szürjetív h B eseté létezi ol A melre () Megjegzés H vlmel üggvéről zt szereté igzoli hog em szürjetív or elegedő eg ol elemet tláli z érté-trtomá mel em épelem Példá Az : 0 0 8 ( ) üggvé szürjetív mivel { } { } Im { ( 0) () () () } { 0 8 } és ez megegezi z értétrtomál Az : R R ( ) üggvé szürjetív mivel R R úg hog ( ) Az : R R ( ) üggvé em szürjetív mivel z em épelem (em létezi ol R melre ) de z : R [ 0 ) ( ) üggvé szürjetív mivel [ 0 ) eseté R úg hog ( ) (ile z vg z )
Függvée és tuljdosági 85 Hsolóéppe z : R R ( ) si üggvé em szürjetív mivel Im [ ] R de z R [ ] ( : ) si üggvé már szürjetív A szürjetivitás vizsgált üggvé grius épée segítségével Aárcs z ijetivitás grius vizsgáltor szürjetivitás vizsgáltor is zt ell megvizsgálu hog z 0 egeletű egees hászor metszi üggvé grioját tetszőleges B eseté / III8 ár III0 ár O III9 ár O Ahhoz hog üggvé szürjetív lege z ( ) 0 egelete leglá eg megoldás ell hog lege Ez zt jeleti hog z egeese leglá eg pot ell metszeie griot Rjzolju el z elő vizsgált üggvée özül éhá grius épét és tulmáozzu szürjetivitást! Az : R R ( ) üggvé grius épé észrevehető hog 0 R eseté z egees cs eg pot metszi griot tehát 0 üggvé szürjetív (lásd III 9 árát)
86 Függvée és tuljdosági : [ ) Az R R ( ) és : R 0 ( ) üggvée ugz grioj (lásd III 0 árát) de z első em szürjetív mivel h 0-t tetszőlegese válsztju z R-ől or z egeletű egees em metszi griot Ee elleére szürjetív mivel z [ 0 ) egeese mid metszi griot (ét pot is) 0 0 egeletű A si : R R üggvé grioját vizsgálv (lásd III 8 árát) észrevehető hog 0 [ ] eseté z 0 egees üggvé grius épét végtele so pot metszi tehát h z értétrtomá [ ] itervllum or üggvé szürjetív de h z értétrtomá R or pl z egeletű egeese ics özös potj griol III5 Szürjetív üggvé jo oldli iverze 5 Feldt Adott z :{ 0 } { 5 } üggvé mele Ve Euler-digrmj melléelt árá láthtó Szeresszü ol g :{ 5 } { 0 } üggvét melre g B hol A { 0 } és B { 5} Megoldás g g B g ( )( ) ( ( )) B mel z B g g( ) sémávl írhtó le Tehát például -r g g() és mivel ( ) ezért g() Hsolóéppe g(5) A g() lehet 0 vg tehát ét üggvét is szereszthetü Ee ét üggvée Ve Euler-digrmj láthtó z lái árá: - 0 5 5-0 5-0 5 Feldt Az :{ 0 } { 5} árá láthtó Szereszthető-e ol :{ 5 } { 0 } üggvé digrmj melléelt g üggvé hog g B? Megoldás Mivel g B ( g)( 5 ) 5 zz - ( g() 5 ) 5 Lege g ( 5 ) A eor ( ) 5 de z 5 z 0 üggvée em épeleme mert em létezi ol elem A- melre () 5 Tehát árhog is válsztá g(5)-öt 5 g üggvé em teljesíteé megdott eltételt
Függvée és tuljdosági 87 5 Tétel A övetező ét állítás egeértéű: : A B szürjetív üggvé; g : B A üggvé úg hog g B Bizoítás : A B szürjetív üggvé B A melre () A g üggvét úg szeresztjü meg hog g ( 0 ) 0 és ( 0 ) 0 lege (mivel szürjetív létezi ile 0 z A- h tö ile is v or eget válsztu özülü) Az íg szeresztett g üggvé eseté ( g)( 0 ) ( g( 0 )) ( 0 ) 0 0 B eseté g B ( g)( ) B H B-ől eg tetszőleges 0 -t válsztu or g lesz hol g( 0 ) A Tehát létezi ol ( ( 0 )) 0 0 g( 0 ) A melre ( 0 ) 0 mi zt jeleti hog z szürjetív üggvé Tehát B hlmz mide eleme épelem 5 Megjegzés Az elői tétele szereplő g üggvét z üggvé jo oldli iverzée evezzü 5 Megoldott eldto Bizoítsu e hog h z : A B és g : C A üggvée g összetett üggvée szürjetív or z is szürjetív Megoldás g : C B szürjetív B eseté c C úg hog ( g) ( c) De g() c A tehát B eseté g( c) A úg hog ( ) Bizoítsu e hog h z : A B és g : C A üggvée szürjetíve or z g üggvé is szürjetív Megoldás Mivel szürjetív B eseté létezi ol A melre De mivel A és g is szürjetív üggvé B c C úg hog ( g( c) ) III6 Bijetív üggvée ( ) () c c C melre g Tehát 6 Értelmezés Az : A B üggvét ijetíve evezzü h ijetív és szürjetív 6 Példá Az : R R ( ) üggvé ijetív mivel ijetív és szürjetív is (izoítottu hog ijetív és szürjetív is)
88 Függvée és tuljdosági [ ) [ ) Az : 0 0 ( ) üggvé ijetív (Az 9 és z prgrus igzoltu hog h z értelmezési trtomá [ 0 ) or z üggvé ijetív és h z értétrtomá [ 0 ) or szürjetív) π π Az : [ ] ( ) si üggvé ijetív (A grius ép segítségével ogju eláti) III7 A ijetivitás tulmáozás grius ép segítségével Az 0 prgrus igzoltu hog z : A B üggvé or és cs or ijetív h ármel 0 egeletű egees ( 0 B ) üggvé grioját legtö eg pot metszi; z prgrus zt igzoltu hog z or és cs or szürjetív h ármel 0 0 B egeletű egees üggvé grioját leglá eg pot metszi Azol eláthtó hog z üggvé or és cs or lesz ijetív h ét eltétel egszerre teljesül zz ármel 0 0 B egeletű egees üggvé grioját egetle pot metszi 7 Példá Az : R R ( ) üggvé ijetív mivel 0 0 R egees griot potos eg pot metszi (III ár) 0 [ ) [ ) [ ) Az : 0 0 ( ) üggvé is hsoló meggodolás lpjá ijetív mert mide 0 0 egeese eg és csis eg potj 0 özös griol (III ár) π π Az : [ ] ( ) si üggvé griojá és z egeese eseté tehát ijetív (III ár) egetle özös potj v ármel [ ] 0 0 0 0 π 0 π III ár III ár III ár
Függvée és tuljdosági 89 7 Megoldott eldt H : A B és g : C A ijetív üggvée or g is ijetív Megoldás Az pot igzoltu hog h és g ijetív üggvée or g is ijetív Az 5 pot eldtá pedig zt hog h és g szürjetíve or g is szürjetív A ét eredmé lpjá z g ijetív is III8 Ivertálhtó üggvée 8 Értelmezés Az : A B üggvét ivertálhtó evezzü h létezi ol : B A üggvé melre B és A Az üggvét z iverz üggvéée evezzü 8 Példá Az : R R ( ) üggvée z : R R ( ) üggvé z iverz üggvée mert ( )( ) R és ( )( ) R Tehát és [ ) [ ) Az : 0 0 ( ) üggvée z () R : [ 0 ) [ 0 ) üggvé z iverz üggvée mert ( )( ) ( ) [ 0 ) és ( )( ) ( ) ( ) [ 0 ) [ 0 ) és [ 0 ) 8 Tétel A övetező állításo egeértéűe: z üggvé ijetív; R Tehát : A B z : A B üggvé ivertálhtó Bizoítás Mivel ijetív ijetív is és szürjetív is Az 5 tétele izoítottu hog z ijetív üggvée v l oldli iverze; 5 tétele pedig zt hog szürjetív üggvée v jo oldli iverze zz : B A úg hog A és B Már cs zt ell elátu hog z és üggvée egelő Az összetétel sszocitivitás értelmée ( ) ( )
90 Függvée és tuljdosági Mivel : B A úg hog övetezi hog z ijetív mivel : B A úg hog B övetezi hog z szürjetív tehát z ijetív III9 Az iverz üggvé grioj 9 Feldt Bizoítsáto e hog vlmel ( ) első szögelezőre ézve z M ( ) pot M és Bizoítás Teitsü z ( ) M ( ) poto Igzoli ogju hog eze egmás szimmetriusi z egeletű egeesre ézve Az árá láthtó jelöléseel zol eláthtó hog NMP M égzet (mide oldl hosszú szögei 90 -os) Íg PN átló merőleges z M M átlór és elezi zt mi éppe zt jeleti hog M z M szimmetrius PN egeesre ézve A M pot szimmetrius z O N M T III ár 9 Tétel H : A B ijetív üggvé és : B A z iverz üggvé or z és z üggvée grius épe egmás szimmetriusi z első szögelezőre ézve () O () P M' Bizoítás Bizoítju hog h z griojá- tetszőleges potját válsztju i z első szögelező szeriti szimmetrius z griojá v Lege ( ( ) ) Gr Amit z 9 eldt izoítottu pot ee szimmetrius z ( ( ) ) ( ( ) ) Gr ( ( ) ) igz egelőség Tehát z ( ( ) ) ( ( ) ) szimmetrius z mi pot griojá tlálhtó és ezzel tételüet izoítottu III5 ár
Függvée és tuljdosági 9 9 Megoldott eldto Bizoítsu e hog h z : A B ijetív üggvé övevő or : B A is övevő Megoldás H < B or mivel ijetív üggvé A úg hog ( ) H és ( ) or ( ) ( ) megválsztásá ezért ( ) ( ) ( ) < ( ) mert övevő Ez elletmod z < De ( ) ( ) és tehát ( ) < ( ) Bizoítottu hog h < or Tehát övevő Bizoítsu e hog h z : A B ijetív üggvé övevő és ove : or z B A üggvé oáv Megoldás H B és λ [ 0] mivel ijetív A úg hog ( ) ( ) Az üggvé ove ezért λ λ λ λ () ( ( ) ) ( ) ( ) ( ) Mivel övevő z előző eldt értelmée is övevő íg z () egelőtleségől zol övetezi hog Tehát ( λ ( ) ( λ) ( )) ( ( λ ( λ) ) ) zz ( λ ( λ) ) λ ( λ) λ ( ) ( λ) ( ) oáv üggvé III0 Iverz trigoometrii üggvée 0 Feldt Oldju meg si egeletet! Megoldás Felrjzolju trigoometrii ört és megeressü rjt zot potot mele ordiátáj zz megszeresztjü z egeletű egeese örrel vló metszéspotját Láthtju hog [ 0 π] itervllum cs ét ol érté v melre si z egi π 6 mási π 5π π π Mivel sziuszüggvé periodius π 6 6 6 vlós számo lesze z egelet megoldási hol Z III6 ár 5π illetve π lú 6
9 Függvée és tuljdosági 0 Megjegzés A eti godoltmeet si 0 egelet eseté [ ] -re llmzhtó (h pl 0 or ét metszéspotot III és IV 0 < egede tlálju) Észrevehető hog [ ] 0 eseté si 0 egelete z I és IV eged egesítésée egetle megoldás v (h 0 0 or z I h 0 < 0 or IV egede) π π 0 Tétel Az : [ ] ( ) si üggvé ijetív Bizoítás Az 0 megjegzés lpjá si 0 egelete 0 [ ] eseté z I és IV eged egesítésée potos eg megoldás v mi zt jeleti hog eti üggvé ijetív π π 0 Értelmezés Az : [ ] ( ) si üggvé iverzét árusz sziusz üggvée evezzü és z rc si szimólumml jelöljü Tehát π π rc si : [ ] és rc si si és π π π π π Például rc si rc si rc si0 0 rc si( ) 05 Az rcsi üggvé grius épe π π A si : [ ] üggvé III7 ár π grius épét már ismerjü Az 9 tétele izoítottu hog eg üggvée és z iverzée grioji szimmetrius z első szögelezőre ézve π H ezt tuljdoságot hszálju or - O öe megszereszthetjü z rcsi π üggvé grioját (A III 7 árá vstg vol) 06 Megjegzés Mivel - sziuszüggvé szigorú övevő π π π - z rc si üggvé is szigorú övevő 07 Feldt Bizoítsu e hog rc si rc si rc si
Függvée és tuljdosági 9 Megoldás Vezessü e z hog si és cos si rc si és rc si jelöléseet Ez zt jeleti π π si tehát cos és Eől övetezi hog ( ) si cos si cos Mivel és z rc si üggvé övevő π π rc si Hsolóéppe π π π π rc si ho Tehát π π si( ) és mi zt jeleti hog ( ) rc si Az eltétel mit láttu go otos mivel ez iztosítj zt hog π π rc si rc si és h ez eltétel em teljesüle or z π π rcsi rcsi em lehet egelő rc si z -vel (mivel rc si z ) Ez z lái példáól is láthtó: π π 7π rc si rc si és 6 5π rc si rc si 08 Jelölés A si egelet megoldáshlmzát Arc si -l jelöljü { R } Arc si si Tehát Arc si si Megjegzés Arc si Arc si Arc si ( ) [ ] 09 Példá Htározzu meg Arc si és Arc si hlmzt! Arc si R si A trigoometrii örö si egelete ét π π megoldás v: és íg R-e z egelet megoldáshlmz: 6 6
9 Függvée és tuljdosági π π π Arc si π Z π π Z π Z 6 6 6 π π ( ) π Z ( ) π Z 6 6 ( ) rc si π Z rc si R si π A trigoometrii öre si egelet megoldási: π és π π Íg z egelet megoldáshlmz π π Arc si π π Z π Z π ( ) ( ) π Z rc si π Z Beláthtó hog eti éplete em cs z és értée eseté áll e tehát Arc si {( ) rc si π Z } 00 Tétel Az : [ 0 π] [ ] ( ) cos üggvé ijetív Bizoítsáto e tételt elhszálv z 0 tétel izoítását 0 Értelmezés Az : [ 0 π ] [ ] ( ) cos üggvé iverzét árusz osziusz üggvée evezzü és z rc cos szimólumml jelöljü tehát rc cos cos és 0 π Péld rc cos π 6 [ ] π π rc cos π rc cos ( ) π 0 Az rc cos üggvé grius épe Az rc cos: [ ] [ 0 π] üggvé grius épe cos : [ 0 π ] [ ] üggvé grius épée z első szögelező szeriti szimmetrius (A III8 árá vstg volll jelöltü) 0 Megjegzés Mivel osziuszüggvé [ 0 π] - szigorú csöeő z rc cos üggvé is szigorú csöeő rc cos - O - π III8ár cos π
Függvée és tuljdosági 95 0 Jelölés A cos egelet megoldáshlmzát Arc cos -l jelöljü: { R cos } Arc cos 05 Példá Htározzu meg rc cos -t és z Arc cos -t! Arc cos R cos A trigoometrius öre cos egelete ét megoldás v: π π és π Mivel 6 6 osziuszüggvé periodius R-e z egelet megoldáshlmz: π Arc cos π Z 6 π π π π Z ± π Z ± rc cos π Z 6 6 Arc cos R cos Az egelete trigoometrii öre ét π 5π π megoldás v: π és π tehát R-e megoldáshlmz: 6 6 6 5π 5π Arc cos π Z π π Z 6 6 5π ± π Z ± Arc cos π Z 6 Beláthtó hog eti éplete emcs és eseté áll e tehát Arc cos { ± rc cos π Z} III9 ár 06 Feldt Oldju meg tg egeletet! Megoldás A trigoometrius öre megoldásot grius úto htározzu meg Láthtó hog z π egelete öre ét megoldás v: és π 5π π Mivel tgesüggvé periodius és periódus π z egelet megoldáshlmz:
96 Függvée és tuljdosági π 5π M π Z π Z Észrevehető hog másodi hlmz egelő z π elsővel íg M π Z A godoltmeet hsoló tg > 0 egelet megoldás eseté 07 Megjegzés A tg > 0 egelete trigoometrius öre ugcs ét megoldás v z egi II mási IV egede Beláthtó tehát hog R eseté tg egelete z I és IV eged egesítésée eg megoldás v π π 08 Tétel Az : R ( ) tg üggvé ijetív Bizoítás Az 0 megjegzés lpjá tg 0 egelete z I és IV eged egesítésée potos eg megoldás v mi zt jeleti hog eti üggvé ijetív π π 09 Értelmezés Az : R ( ) tg üggvé iverzét árusz tges üggvée evezzü és z rc tg szimólumml jelöljü Tehát rc tg tg és π π π π Például rc tg rc tg ( ) rc tg 0 0 6 00 Az rc tg üggvé grius épe π π Az rc tg üggvé grius épe z : R ( ) tg üggvé grius épée szimmetrius z első szögelezőre ézve (A III 0 árá vstg volll jelöltü) 07 Megjezés Mivel tg üggvé tg π szigorú övevő π itervllumo z rc tg rc tg üggvé is szigorú övevő O 08 Jelölés A tg egelet megoldáshlmzát Arc tg -l jelöljü Arc tg R tg III0 ár { } Példá Htározzu meg z rc tg és z ( ) rc tg értéét!
Függvée és tuljdosági 97 { R tg } rc tg A trigoometrius öre tg egelete ét π π megoldás v: és H igeleme vesszü tges-üggvé π π periodicitását or Arc tg π Z π Z π π Z { rc tg π Z} Arc tg ( ) { R tg } A trigoometrius öre tg egelete ét megoldás v: π és π π π π π Eől övetezi hog π π π Arc tg ( ) π π Z π π Z π Z rc tg π Z { ( ) } Beláthtó hog eti éplete em cs { } Arc tg tg ( π) eseté áll e íg { rc π Z} ( ) 00 Tétel Az : 0 R ctg üggvé ijetív Bizoítsd e tételt elhszálv z 0 tétel izoítását 0 Értelmezés Az : ( 0 π ) R ( ) ctg üggvé iverzét árusz otges üggvée evezzü és z rc ctg szimólumml jelöljü Tehát rc ctg ctg és ( 0 π) π π π π Péld: rc ctg rc ctg ( ) π rc ctg 0 6 0 Az rc ctg üggvé grius épe Az rc ctg : ( 0 π üggvé grius épe grius épée z első szögelező szeriti szimmetrius R ) ( π) R 0 Jelölés A ctg egelet megoldáshlmzát rc ctg -l jelöljü: Arc ctg R ctg { } 0 Példá Htározzu meg z Arc ctg -et és z Arc ctg ( ) -t! Arc ctg { R ctg } A ( 0 π) itervllum ctg egelete eg meg- π oldás v z A ctg üggvé periodicitásáól dódó ctg : 0 üggvé O ctg III ár rc ctg
98 Függvée és tuljdosági A ctg π ctg π Z Arc { ctg π Z} egelete ( π) π 5π π íg 6 6 rc 0 itervllum egetle megoldás v: 5π Arc ctg ( ) π Z { ctg ( ) π Z} 6 rc Beláthtó hog eti éplete emcs és eseté áll e tehát 05 Megoldott eldto { ± rc π Z} Arc ctg ctg Írju egszerű lgeri l z E si rc cos iejezést! Megoldás H rc cos ϕ or ( rc cos ) cos cos si ϕ ϕ E E rc si si cos iejezést h R Írju egszerű l z ( ) ( ) π π π π Megoldás E( ) rc si ( si cos ) h vgis h H π π or π π π π tehát és íg Az eddigie lpjá: Észrevehető hog Íg E( ) ( ) rc si ( si( π) ) rc si ( si( π ) ) π E E( ) π π ( ) E π π π periodius és periódus π tehát π π E ( π) E( ) Z π π ( ) π π π Z π π π ( π) π π
Függvée és tuljdosági 99 Bizoítsu e hog rc tg rc tg rc tg π π π megoldás Mivel rc tg elégséges igzoli hog rc tg rc tg π π De z rc tg üggvé övevő tehát rc tg< rc tg < és π π π rc tg< rc tg < Eől övetezi hog < rc tg rc tg < π tehát π elégséges igzoli hog tg ( rc tg rc tg) tg π tg Ez igz mert tg és ( ) ( rc tg ) tg( rc tg ) tg rc tg rc tg tg rc tg tg rc tg ( ) ( ) 5 5 megoldás A melléelt égzetháló tg ϕ és tg ϕ tehát ϕ ϕ rc tg rc tg De D A és B pot ollieáris tehát DAC z ABC π ülső szöge Íg m (DAC ) m (ABC ) m (BCA ) π mert ABC egelő szárú és derészögű háromszög B D A ϕ ϕ III ár [ ] ( ) π h Bizoítsu e hog rc tg rcsi π h tg ϕ Megoldás H rc tg ϕ or tg ϕ tehát si ϕ tg ϕ π π H or > ϕ és íg l oldl: ϕ rcsi ( siϕ) ϕ rcsi ( si ( π ϕ) ) ϕ π ϕ π π π π H < or < ϕ < vgis π < ϕ < Tehát ϕ rcsi ( ϕ) ϕ rcsi si ( ϕ π) ϕ ϕ π C ( ) π
00 Függvée és tuljdosági 5 Számítsu i z S rc tg összeget! Megoldás Az rctg iejezést rc tg rc tg l szereté elíri Ehhez z egelősége ell teljesülie tehát h P or ( )P H iüszööljü z -et z p 0 egelethez jutu p és ez p ±-re teljes égzet H p or vg Az első megoldás em d jó elotást mide -r másodiól viszot z rc tg rc tg ( ) rc tg ( ) : elotáshoz jutu Ezt összegezzü h { } rc tg Tehát rc tg ( ) π S rc tg rc tg rc tg ( ) rc tg ( ) rc tg ( ) rc tg ( ) 7 rc tg ( ) rc tg ( ) S rc tg rc tg Megjegzés Példtár áltlá z rc tg elotássl dolgoz Írd egszerű l! ) tg( rc tg ) ) cos( rc cos ) cos c) rc tg cos si d) rcsi ( ) ( ) 06 Gorlto és eldto rc tg rc tg
Függvée és tuljdosági 0 Bizoítsd e hog: ) rc cos rc cos rc cos ; 7 ) rc tg rc tg rc tg rc tg5 ; c) rc cos 9 π rc si ; 8 π d) rc tg rc tg rc tg 5 8 Számítsd i z ( ) ) S rc ctg és ) S rc tg összegeet! III A vlós számo éhá tuljdoság III Számhlmzo legise és leggo elemei Korlátos hlmzo Vlmel véges hlmz vizsgáltor pl z X 0 5 hlmz eseté vlószíű hog zol meg tudju állpíti hog z X legise eleme és leggo z 5 Vgis 5 X Ezt mi X és 5 m X szimólumml jelöljü Értelmezés ) Az A hlmz legise eleme z z A elem melre ármel A eseté Ezt z mi A szimólumml jelöljü ) Az A hlmz leggo eleme z z A elem melre ármel A eseté Ezt z m A szimólumml jelöljü Végtele hlmzo eseté már em ile egszerű legise elem illetve leggo elem megtlálás hisz z 6 eldt esetée láttu hog z > 0 hlmz ics legise eleme Hsoló helzet 5 0 hlmzo eseté is ( ] ( ) ( ] [ ) ( ] X em létezi mi és m X ( 5) sem mi sem m em létezi
0 Függvée és tuljdosági [ ) X mi m em létezi X [ ] mi m X mi m em létezi [ ) hlmzo léeges eltérést mutt (ár midettőe létezi miimum és em létezi mimum) hisz másodi itervllum végtele hosszúságú és íg sol természetese z hog ics mimum Az ejt ülösége potos mtemtii megoglmzásá céljáól vlós számhlmz részhlmzit ét osztál sorolju Azot hlmzot mele véges hosszúságú itervllum elhelezhető orlátos töit pedig orlátl ogju evezi Ezt övetező értelmezése oglltu: Az elői példá szereplő X ( 5) és [ ) Értelmezés Az X R hlmz orlátos h létezi és R úg hog X Megjegzése Az X egelőtleséget teljesítő számot z X lsó orlátji z X egelőtleséget teljesítő számot z X első orlátji evezzü H X-e v lsó orlátj or X-et lulról orlátos evezzü míg h első orlátj v or elülről orlátos Eszerit z értelmezés zt állítj hog X orlátos h lulról is és elülről is orlátos Láthtó hog z lsó illetve első orláto hlmz üres vg végtele Például z ( ] hlmz első orlátj és lsó orlátj Tehát z ( ] hlmz első orláti hlmz [ ) és z lsó orláto hlmz ( ] Persze első orláto özött legise és z lsó orláto özött z leggo Példá Az lái hlmzo özül éhához em írtu od első illetve z lsó orláto hlmzát illetve legise első és leggo lsó orlátot A hiázó dtot írd e te! A ( ) ( ) em orlátos sem lulról sem elülről A ( ] [ ) elülről em orlátos lsó orláti hlmz ( ] és leggo lsó orlátj A { 0} orlátos midét oldlról lsó orláti ( ] orláti [ ) első itervllum helezede el legise első orlátj és leggo lsó orlátj Eze ege hlmz leggo és legise elemével egelő Az N leggo elem legise eleme ics első orláti z [ ) elemei lsó orláti ( 0] elemei Leggo lsó orlátj 0 legise első orlátj z
Függvée és tuljdosági 0 5 N 0 7 7 6 ( ) [ ) ( ] Mit z előiee láttu vizsgált orlátos hlmzo midegiée v legise első és leggo lsó orlátj Ez eláthtó mide ol hlmzr melet véges számú itervllum egesítéseét pu Nem meglepő tehát h zt állítju hog vlós számhlmz érvées övetező tuljdoság: 5 Aióm A vlós számhlmz ármel orlátos X részhlmzá létezi legise első és leggo lsó orlátj 6 Jelölés A leggo lsó orlátot z X hlmz iimumá evezzü és z i X szimólumml jelöljü A legise első orlátot z X hlmz szuprémumá evezzü és sup X szimólumml jelöljü 7 Péld A prgrus és 6 példájá vizsgált hlmzo eseté sup N i N 0 és sup > 0 i > 0 0 A ésőiee ez z ióm otos segédeszözü lesz ezért szuprémum és z iimum éhá tuljdoságát mtemtii ormá is ijeletjü 8 Tuljdoságo s X ( s első orlát) s sup X s R h s X s s ( s legiseelső orlát) i X ( s első orlát) i i X i R h i X i i ( s legiseelső orlát) H s sup X és R úg hog < s or létezi X úg hog < s Bizoítás A lehetetlere vló visszvezetés módszerét hszálju H X or eg első orlátj X -e tehát szuprémum másodi tuljdoság szerit s (mert s legise első orlát) Ez elletmod < s egelőtlesége tehát létezi ol X hog > De s mert s z első orlátj tehát < s 9 Megjegzés Az elői tuljdoság potjá előordulht hog s Például z X [ 0 ] {} hlmz szuprémum és h -t válsztu or s
0 Függvée és tuljdosági 0 Feldt Bizoítsu e hog h z A és B ét em üres részhlmz R-e és A B eseté or z A elülről B lulról orlátos és sup A i B Bizoítás Jelöljü 0 -vl B hlmz eg tetszőleges rögzített elemét A-r 0 tehát 0 első orlátj A- Íg A elülről orlátos és sup A 0 mert sup A legise első orlát Mivel 0 tetszőleges írhtju hog sup A B tehát sup A szám lsó orlátj B-e és íg B lulról orlátos Továá sup A i B mert i B leggo lsó orlátj B-e (tehát em lehet ise mit sup A orlát) Feldt Vizsgálju meg z X { N} és z { Z} orlátosságát h > { c N} Y hlmz rögzített szám Mi törtéi h X helett z X hlmzt vizsgálju ( c R rögzített osts)? Megoldás Mivel > z htvái övevő soroztot épeze: < < < < < < Ezért X legise eleme tehát X lulról orlátos és i X Másrészt elírhtó α l hol α > 0 tehát ( α) > α ( Newto-éle iejtése cs z első ét tgot trtju meg) H X elülről orlátos vol or eg M első orlátjár teljesüle z α < M N egelőtleség Ez elletmodás mert z M szám már em teljesíti α Tehát X elülről em orlátos Beláthtó hog vizsgáltor z itt megjelet egelősége midegiét c -vel ell szorozu tehát i X mi X c és X elülről em orlátos Az Y vizsgáltor egtív htváit is igeleme ell veü Az X Y eogllásól övetezi hog Y sem orlátos elülről H z htváit gságszeriti sorrede redezzü or z 0 < < < < < < < < < egelőtleségsorhoz jutu Ee lpjá 0 eg lsó orlátj z Y- Az > α egelőtleség szerit < tehát Y- tetszőlegese is pozitív α számo is v Íg i Y 0 (H i Y m > 0 or m < < N α zz < N és ez em igz) α m Az egelőtleséget Beroulli-egelőtlesége evezzü és szeriti iducióvl diret úto is igzoltu X
Függvée és tuljdosági 05 Megjegzés Az elői tuljdoságo lpjá érvéese övetező állításo: H > és M R or létezi ol N szám melre M < H ( 0 ) \ { } és M R or létezi ol N és N szám melre < M < H 0 < és c R osts or teljesülhet mide N eseté c 0 < < egelőtleség em 0 III Rcioális itevőjű htváo összehsolítás Az elő láttu hog h > or < meie m < és m Z p q Célu összehsolíti -t és -t h p q Q p < q A p és q rcioális számot törtét reprezetálju és özös evezőre hozzu Tehát létezi u v t Z t 0 úg u v hog: p q és u < v Az lái evivleciá cs z egész itevőjű t t htváo redezését hszálju: u v u v p q u v < t < t t < t < u < v tehát érvées övetező tétel: Tétel ) H > p q Q és p < q or < ) H ( 0 ) p q Q és p < q or > A eldt megoldásor láttu hog üggvéée Hsoló ecslést szereté di u p v p t p m t q p q -re dhtó lsó ecslés itevő m p m -re h 0 és m p N p Ezt hszálju mjd z ülöség ecslésére A öe tárglás edvért itt tételt izoítás előtt jeletjü i: Tétel m 0 or < p u v 0 hol u > v és u v p p p m ) H > és m p N p ) H és u p m p > [ ] N v p u v or < p
06 Függvée és tuljdosági Bizoítás ) m p m m m p p < < Mivel m p z m m m trtlmzz C p p tgot Másrészt m m C p p p m és m p m m C p p ise m m m és íg z p (mert p ( p ) ( p m ) m m p m m 0 p m p iejtése p m m p mp m mp p p m p m ) Tehát p m iejtés trtlmz eg ol tgot mel em p m -él Mivel iejtés töi tgj pozitív z egelőtleséget igzoltu u v u v ) Az ) lpjá p < tehát p v p u p v v p p u v < () p v De < tehát tétel szerit < és íg z () jo oldl ise mit p u v p Feldt Bizoítsu e hog h R s Q > és s < or létezi ol s melre s 0 > s s < 0 < Megoldás Tételezzü el hog hog s > < 0 ( s s) > 0 tehát létezi ol p Q p Az tétel első potj szerit h s s 0 s s s < s s s < 0 s 0 < H p or p tehát 0 < p < H összehsolítju z elői egelőtleségsor első és utolsó tgját övetezi: vg < or eldt szerit létezi ol Z hog < < s s s Íg < és [ ] tehát létezi s úg hog < < Ie övetezi hog z s s szám teljesíti ért eltételeet 0 III Bővee htváozásról s < > A orái tulmáito sorá láttáto hog h R és Z or z értée ismételt szorzáso segítségével számolhtó i mi tö h R or em cs egész itevőjű htváoról eszélhetü hem rcioális itevőjű htváoról is
Függvée és tuljdosági 07 Íg N 5 \{ } (-re 5 Áltlá: m értelmezett de m em) Megjegzés H < 0 or z pártl -re egész szám eseté létezi m m m h > 0 m Z és m em értelmezett elleére hog A rcioális itevőjű htváor votozó igzoltáto z lái műveleti szálot is: Q R ; ( ) Q ( ) Q R Természetese merülhet el érdés hog mi törtéi or h itevőe Q} ( ) H < α és Q hlmz em üres hisz H és H N A tétel értelmée z < α < összeüggésől övetezi hog R irrcioális szám szerepel V-e értelme számról eszéli? Rcioális-e z eredmé vg irrcioális? Hog számolhtju i z első éhá számjegét? Érvéese-e z elő említett műveleti szálo tetszőleges vlós itevőre is? A továi megpróálu válszoli eze özül éhá érdésre Teitsü eg pozitív vlós számot () és eg irrcioális α számot ( 0 ) itervllumól A tárglás egszerűsítésée céljáól tételezzü el hog > Az eddigie lpjá tudju hogα tetszőleges potossággl megözelíthető rcioális számol tehát N -re létezi [0 ] Q úg hog α < < α < < 0 0 pedig csöeő ( és z α és z ( ) N α < < < tehát < lsó ; sorozt övevő lege α szám jegű hiál illetve tölettel vló tizedes özelítései) Eze lpjá H { α < és vlmit { } < N tehát H lulról H pedig elülről orlátos α < és Q eseté létezi úg hog orlátj - (hsoló első orlátj H -) A 5 ióm értelmée H H H létezi - z i iimum és - z s szuprémum A továi igzolju hog i s Lege H és H A és H hlmzo értelmezése lpjá < α < tehát tétel értelmée < A 0 eldt lpjá sup H i H tehát s i Igzolju hog h s i or elletmodáshoz jutu Az s i egelőtleség lpjá s i cs or lehetséges h s < i De H N
08 Függvée és tuljdosági s sup H i H és i egelőtleség lpjá p m tehát s és i Az utolsó három s < i m p () A tétel ) potj lpjá < m m m v u v p ( 0 ) > 0 Tehát h p p p u v > Hozzu özös evezőre z () egelőtlesége szereplő és számot és jelöljü p-vel özös evezőt! Tehát v p és u hol p u v N vlmit u > v Íg u v p 0 < i s tehát i s < 0 < 0 v p u p v p v p u v Másrészt p (z és sorozt szeresztéséől dódó) tehát A megjegzés lpjá ez elletmodás α Értelmezés Jelöljü z szimólumml H iimumát vlmit H α i H sup H ért szuprémumát tehát hol H { α < és Q } és H { α > és Q} H α go mit or z α [ α] { α} egelőség α lpjá [ ] { α α } Az értelmezésől rögtö övetezi hog tétel iterjeszthető irrcioális itevőre is β Tétel H > és 0 α < β or α < Bizoítás α < β r r Q úg hog α < r < r < β r H { r > α és r Q } { Értelmezzü övetező ét hlmzt: és H r r < β és r Q } A α r β r értelmezés lpjá i H és sup H De r < r és r r r r Q tehát < Az elői három egelőtleség lpjá: α r β < r vgis α β α < β α β Tétel H > és or < α [ α] { α} [ α] Bizoítás H [ α ] [ β] or [ α] [β] tehát < [ α] [ β] β H [ α ] [ β] or { α} < { β} és itűzött egelőtleség vivles z { α} < { β e } egelőtleséggel melet már igzoltu A eddig tult lpjá már állíthtju hog létezi sőt megpróálhtju iszámoli z első ét tizedesjegét ( tizedesvessző utá)
Függvée és tuljdosági 09 5 Péld Zseszámológép segítségével rögtö iszámolhtju első éhá számjegét h gépü tud tetszőleges htvár emeli Eg icsit eheze dolgu h zt éri tőlü hog cs egész itevőjű htváo elhszálásávl igzolju hog 66 vgis hog 66 < < 67 Ezt övetezőéppe igzolhtju: < < tehát < < < < 5 Igzolju hog 66 < illetve < 67 5 50 5 50 50 5 66 < < < 50 Az utói egelőtleség igzolásához is ísérletezü ell mert itevő ug egész számo de elég go hhoz 50 hog számoláso ár zseszámológéppel is övethetetleeé válj 5 50 50 5 < 50 < 0 5 5 De < 0 () és 0 50 < 7 9 < 8 () 0 5 Az () és () egelőtleség igzolásához zseszámológépet hszáltu de eze z egelőtlesége igzolhtó zseszámológép hszált élül is A mi szempotuól léeges hog igzoli tudju rcioális számo egész itevőjű htvái elhszálásávl: 50 első három számjege 66 A továi megvizsgálju hog műveleti szálo érvéese-e tetszőleges vlós itevőre is Mivel egész itevőre igz elégséges igzoli hog: 0 és R u u A H ( ) { u és u Q } H ( ) { u u Q} u H ( ) { u u Q} [ ] és vlmit és hlmz segítségével írhtju hog: ( ) u u H eseté és u Q u u R melre u és u u u u u tehát mert u és De z iimum értelmezésée u másodi potj lpjá: h u H ( ) or ( ) i H vgis Másrészt h z elői godoltmeetet megismételjü H ( ) H( ) és H () c hlmzr övetezi: tehát Íg érvées övetező tétel: 6 Tétel [ 0 ] R és ( ) R Ezeet izoításot őleg terjedelmü mitt em részletezzü (Megtlálhtó szerző A suprémumtól z epoeciális és logritmusüggvéig című ciée) Hsoló igzolhtó hog ( )
0 Függvée és tuljdosági III A htváüggvé és éhá tuljdoság : R R Kilecedi osztál tulmáoztáto z ( ) Az előie lpjá hsoló módo értelmezhetjü z α : R R üggvét is A tételhez hsoló igzolhtó övetező tétel: Tétel ) H α > 0 or z α R üggvé övevő ( ) α R α ( ) R R α : üggvét α α ( ) ) H α < 0 or z α α : üggvé csöeő Megjegzése H α egész or z α értelmezhető z egész R hlmzo és övetező tuljdosággl redelezi: ) H N páros or csöeő 0 itervllumo és övevő [ 0 ) -e α ( ) ) H α N pártl or övevő R hlmzo Bizoíthtó hog h α R \[ 0 ) or z szigorú ove; h α 0 or z α szigorú oáv ( ] III5 Az epoeciális üggvée és tuljdosági Az iejezésől htváüggvét úg erhetü hog -t rögzítjü és z lehető legtág hlmzól válsztju Hsolóéppe h z -t rögzítjü ( ) or z R -e változht és íg értelmezhetjü z : R R üggvét Ezt üggvét lpú epoeciális (0 ) \ {} ( ) üggvée evezzü A értelmezés lpjá z 5 Értelmezés Az ( ) α üggvé jól értelmezett h : R R üggvét ( 0 ) \ { } eseté lpú epoeciális üggvée evezzü A tétel szerit állíthtju hog eáll z lái tétel 5 Tétel ) H or z üggvé szigorú övevő > ) H 0 < < or z üggvé szigorú csöeő c) ijetív h ( 0 ) \ { } d) ( ) ( ) ( ) R 0 \ ( ) { } Vizsgálju meg z üggvé szürjetivitását Tételezzü el hog > Értelmezzü z { } M > { } vlmit z M < hlmzt
Függvée és tuljdosági A megjegzés szerit 0 N melre > és m 0 < 0 m Z 0 tehát z és em üres hlmzo Az elői tétel értelmée melre M M o > 0 v M u v < < < v lulról és M elülről orlátos ( > M > mert z üggvé szigorú övevő) H u M és or tehát u és íg 0 eldt lpjá sup M i M Jelöljü i -vel z iimumát és s -sel z M i szuprémumát Írhtju hog s i tehát Tételezzü el hog s < s és Íg vg < (mert és > em teljesülhet egszerre) s i eset: < A 8 tuljdoság potj lpjá létezi ol s s < melre s < s 0 és < 0 De h 0 < or s 0 M és íg s0 sup M s Az s < s0 és s0 s egelőtlesége egmás elletmod tehát z s < egelőtleség em teljesülhet eset: i > A 8 tuljdoság potj lpjá létezi ol i Q i > i szám melre 0 > és i > i De h 0 0 > or i 0 M tehát i 0 i M i Az i i0 és i > i0 egelőtlesége egmás elletmod A pott elletmodáso zt muttjá hog eltételezésü mel szerit s és i heltele tehát s i vg Mivel tetszőleges - eli elem övetezi hog z α s s > i s i M üggvé szürjetív Érvées tehát z lái tétel 5 Tétel H ( 0 ) \{ } or z R R ( ) üggvé ijetív i 0 M s 0 R : epoeciális Vizsgálju meg továi z epoeciális üggvé oveitását Az értelmezés lpjá or és cs or ove h λ ( ) λ ( ) ( λ ) λ R λ [ 0 ] λ ( λ λu ( λ) v u v Az u és v jelöléssel ez z egelőtleség α β αβ β αβ ) l α írhtó Ez pedig em más mit z súlozott számti illetve α β mérti özépráos özötti egelőtleség hol α λ és β λ ( ) m m u m v m ( m) m H λ rcioális or z egelőtleség z u ( ) m v m m l írhtó Az z egelőtleség vló eáll mert z u u m u Bizoíthtó hog i s
Függvée és tuljdosági és m v m v < v szám számti özépráos tölettel vett özelítései: λ λ < λ Íg λu ( ) v λ u ( λ ) v u λ v λ λ tehát λu ( λ) v u λ v λ m u Teitsü övetező hlmzt: ( m) ise mit mérti özépráos m v u m H λ irrcioális or λ és λ λ - tizedesjegű hiál illetve λ λ H u v λ < λ < λ hol λ λ λ tizedesjegű özelítései λ u ( λ)v em ise mit H hlmz szuprémum De ez szuprémum éppe λ λ v tehát λu ( λ) λ v λ v R u v u λ [ 0 ] 5 Tétel H ( 0 ) \{ } or z R R ( ) u Vizsgálódásit összesítve ijelethetjü övetező tételt: üggvé szigorú ove v em : epoeciális eseté Az lái ét ár z epoeciális üggvé lját muttj < illetve > grius grius épe h < épe h > O O III ár III ár 55 Feldt Vizsgáld meg hog z : R R ( ) c és z : R R ( ) c üggvé grius épe özött mile viszo áll! Megphtó-e z egi grius épől mási?
Függvée és tuljdosági III6 A logritmus és logritmus üggvé A 5 tétel szerit h ( 0 ) \{ } or z ( ) tehát ivertálhtó (8 tétel) Az üggvée evezzü és log -vl jelöljü Íg log : R R is ijetív és z üggvé ijetív üggvé iverzét lpú logritmus 9 megoldott eldto értelmée -vl zoos mootoitású és oáv üggvé Midezeet övetező tétele oglltu 6 Tétel tehát ) H > or log : R R üggvé szigorú övevő ) H 0 < < or log : R R üggvé szigorú csöeő c) H ( 0 )\{} d) H ( 0 )\{} or log : R R üggvé oáv or log : R R üggvé ijetív Vizsgálju log üggvé továi tuljdoságit: ( log )( ) h R log R Ez z összeüggés lehetővé teszi hog éhá log lú értéet iszámolju: és áltlá log ( 0 ) 0 log ( ) 0 log ( ) log α α R ( 0 ) \{ } α H log u és log v or u és v tehát és íg u v log() H visszhelettesítjü megelelő logritmius iejezéseet z u és v helett övetező egelőséghez jutu: log log log > 0 0 \ ( ) u v ( ) { } Hsoló módo htváozás mide tuljdoságát átültetjü logritmius üggvére 6 Péld H log u or tehát log értelmezése lpjá log u u ( ) u log log > 0 log tehát ( 0 ) \{ } vgis u eseté övetezi hog log log > 0 és eől dódi hog log log log > 0 ( 0 ) \{ } A
Függvée és tuljdosági 6 Gorlto Számítsd i z lái iejezése értéeit! log 0 0 log 9 log 0 00 log ( ) 7 log log 9 log6 log6 8 H log és log 5 or számítsd i ( és üggvéée) log 6 log 8 log 6 5 és log 0 értéét! Oldd meg log egelőtleséget! log 6 Feldt Keressü összeüggést log és log 5 szám özött! Megoldás log () és log 5 5 Másrészt log 7 log 7 tehát másodi összeüggést ( 7 ) l írhtju Az log () lpjá 7 A -es lpú epoeciális üggvé ijetív tehát log 7 Az és szám logritmius elírás lpjá: log log 7 log 7 Ez tuljdoság áltláosíthtó tetszőleges pozitív vlós számor Ezt ejezi i z lái tétel 65 Tétel H c ( 0 ) \ { } és ( 0 ) \ { } or log log c log Bizoítás Bevezetjü u és c v jelöléseet A logritmusüggvé értelmezése lpjá és c v vlmit c Íg u u v log c v log c c ( ) v tehát lpú epoeciális üggvé ijetivitás értelmée u v log c Ez épp izoítdó egelőség log c log 66 Megjegzés Az elői egelőséget log c l is log c hszálju Hog öe megtulhsd összeogllju logritmuso tuljdoságit: log R ; H log log log > 0 log log log 0 ( ) ( 0 ) \{ } > ( 0 ) \{ } > és ( 0 ) \{ } ; log 0 ; és R ; log log log > 0 ( 0 ) \{ } c 0 \ és 0 \ or log log c log és log log c log c ( ) { } ( ) { } c c