RUGALMASSÁGTANI ALAFOGALMAK Silárdságta: a trhlés lőtt és utá is tartós ugalomba lévő alakváltoásra képs tstk kimatikája diamikája és aagsrkti vislkdés A értlmésb lőforduló kifjésk magaráata: Trhlés: a általuk visgált rdsrh (tstkh) m tartoó tstkről sármaó ismrt agságú hatás E a hatás silárd halmaállapotú tstkél általába flülti éritkéssl valósul mg Trhlés ismrt külső rőrdsr (ER) A tartós ugalom fltétli: - a tstr ható rőrdsr gsúli - a tst mgtámastása m gd mg mrvtstsrű lmodulást Alakváltoás: - a tst potjai trhlés hatására gmásho képst lmodulak és ért - aagi gomtriai alakatai (hoss sög flült térfogat) mgváltoak Kimatika a silárdságtaba: lírja a trhlés hatására a tstb bkövtkő lmodulásokat és alakváltoásokat Diamika a silárdságtaba: mgadja a alakváltoás és a blső rőrdsr köötti kapcsolatot Aagsrkti vislkdés a silárdságtaba: mgadja a alakváltoást jllmő miségk és a blső rőrdsr köötti kapcsolatot A valóságos tstk hltt modllkt visgáluk Tst modll: Ola idaliált tulajdoságokkal rdlkő tst aml a valóságos tst visgálata smpotjából lglégsbb tulajdoságait tükröi A valóságos tst légsk tartott tulajdoságait mgtartjuk a légtlk ítélt tulajdoságokat pdig lhaagoljuk éldául: mrv tst silárd tst C A B Mrv tst: Bárml két potjáak távolsága álladó a távolság trhlés hatására m váltoik mg A tst potjai (rési) gmásho képst trhlés hatására sm modulak l l a AB AC BC távolságok és a sög m váltoak Silárd tst: Alakváltoásra képs tst A tst potjaiak távolsága gsik gmással bárt sög trhlés hatására mgváltoik A tst flültik és térfogataiak alakja és agsága is mgváltoik l a AB AC BC távolságok és a sög is mgváltoik A silárdságta silárd tstk trhlés hatására törtéő vislkdését visgálja A silárdságta több réstrültr ostható: 7
Silárdságta Rugalmasságta Képlékségta Liáris rugalmasságta Nmliáris rugalmasságta Rugalmas alakváltoás / rugalmas tst: A trhlés hatására alakváltoott silárd tst a trhlés mgsüttés (lvétl) utá vissari rdti alakját Liárisa rugalmas alakváltoás: A trhlés és alakváltoás a blső rőrdsr (fsültségk) és a alakváltoás köött liáris kapcsolat va Nmliárisa rugalmas alakváltoás: A trhlés és alakváltoás a blső rőrdsr (fsültségk) és a alakváltoás köötti kapcsolat m liáris Képlék alakváltoás / képlék tst: A alakváltoott tst thrmtsítés utá m ri vissa rdti alakját A tatárg liárisa rugalmas tstk kis lmodulásaival és kis alakváltoásaival foglalkoik Kis lmodulás: A tst potjaiak lmodulása agságrdkkl kisbb a tst jllmő gomtriai mértiél Kis alakváltoás: A tst alakváltoását jllmő miségk légs kisbbk mit 5 ( 0 0 ) Erőrdsrk gértékűség lht: statikai vag silárdságtai Statikai gértékűség: Két rőrdsr statikailag gértékű ha aoos omatéki vktortrt hoak létr Silárdságtai gértékűség: Két ugaao tstr ható rőrdsr silárdságtailag gértékű ha aok a tst g kis résétől ltkitv a tstk ugaat a alakváltoási állapotát hoák létr éldául: A F A B B F E a két rőrdsr statikailag gértékű silárdságtailag visot m A F rő a omaték voatkoásába hatásvoala mté ltolható a két rőrdsr statikailag gértékű 8
A fti srkt a F rő támadáspotjától függő gés másképp alakváltoik (a ábrá saggatott voal) a két rőrdsr silárdságtailag m gértékű A Sait Vat (sa vöa) - lv: Silárd tst alakváltoásakor a tst valaml ugaao kis flülté ható omatéki trük voatkoásába gértékű rőrdsrk - a kis flült kövtl körték kivétlévl jó kölítéssl ugaat a alakváltoási állapotot állítják lő éldául: S G gömb S G hasáb A tartóba a trhlés körté kívül jó kölítéssl ugaa a alakváltoási állapot jö létr A fti két trhlés aoos módo modllhtő: G Elmi kört / lmi tömg: Mid tst sok tömgpotból flépülő rdsrk is tkithtő A tömgpotokho úg jutuk l hog a tstt sok kis résr botjuk lmi tömg tst lmi kocka lmi gömb Tömgpotak / lmi tömgk / lmi körtk a silárdságtaba g ola kis tstrést tkitük amlk mérti a tst mértih képst lhaagolhatóa kicsik A lmi kört silárdságtai állapotait a lmi kört g potjáho (a köéppotjáho) kötött miségkkl írjuk l Elmi kört silárdságtai állapotai: - lmodulási állapot - alakváltoási állapot - fsültségi állapot - rgia állapot Tst silárdságtai állapotai: A lmi körtk silárdságtai állapotaiak össsség (halmaa) A tst silárdságtai állapotait mőkkl (trkkl) írjuk l Mő / tér: A adott miségkt a hl függvééb ismrjük l: ( r) ( ) u u( r) u( ) vag A A( r) A( ) Adhémar Ja Claud Barré d Sait-Vat (797-886) fracia mérök 9
SZILÁRDSÁGTANI ÁLLAOTOK Elmodulási állapot V r u V r ' O A trhlés utái gomtriai alakatokat vssővl jlöljük u - a tst ttsőlgs potjáak lmodulás vktora r r u u u u ot / lmi kört lmodulási állapotáak jllmés: A pot lmodulásvktora: u u v w Tst lmodulási állapotáak jllmés: A tst lmodulásmőj: u( ) u( ) v( ) w( ) Fajlagos rlatív lmodulási állapot u( r ) u ( ) v( r ) v( ) a lmodulásmő skaláris koordiátái w( r ) w( ) Elmi triédr: A potba flvtt trhlés lőtt gmásra mrőlgs hármas gségvktor Fltétlük hog a lmi triédr a pot lmi körté blül hlkdik l A pot lmi körték lmodulása flbotható: - párhuamos ltolásra és - fajlagos rlatív lmodulásra árhuamos ltolás : u (A lmi kört mid potja u -vl modul l) A potra voatkotatott rlatív lmodulások: u ua u u ub u a lmi triédr végpotjaiak fajlagos rlatív lmodulás vktorai u uc u Rlatív mrt a potho visoított Fajlagos mrt a pottól gségi távolságra lévő potok lmodulása 0
A lmi triédr mogása: u C u C C C u A u A u A u A u u B u u B rlatív lmodulás párhuamos ltolás ABC A B C AB C Célkitűés: mg akarjuk határoi a lmi körtéb a -től gségi távolságra lvő ttsőlgs N pot rlatív fajlagos lmodulását A - a -ből a N potba mutató hlvktor (gségvktor) a N potok a köéppotú gségi sugarú gömbflült hlkdk l hoárdlés(lképés) u A lmodulásmő drivált tora: - Diadikus lőállítás: D u u u - Mátrios lőállítás: u u u D u u u u u u u u u B - m simmtrikus tor A drivált tor gértlmű jllmi a pot körték fajlagos rlatív lmodulási állapotát A D drivált tor fiikai tartalma: mgadja a pot lmi körtéb a lmodulás hl sriti mgváltoását A N pot fajlagos rlatív lmodulásvktora: u D A fajlagos rlatív lmodulási állapot flbotása Mid tor flbotható g simmtrikus és g frdsimmtrikus résr T T A drivált tor flbotása: D D D D D A simmtrikus rés frdsimmtrikus rés B
Ttsőlgs N pot fajlagos rlatív lmodulásáak flbotása: u D A A A N a pot lmi körtéb lvő pot: N A N pot alakváltoási vktora: A ahol A a pot alakváltoási tora A N pot mrvtstsrű forgási vktora: ahol a pot mrvtstsrű forgási tora A fajlagos rlatív lmodulási állapot smlélttés: A u A C A C u B C u N N u B N B u u u u Alakváltoás: Mrvtstsrű mogás: alakváltoás mrvtstsrű forgás ABC A B C A B C 4 Alakváltoási állapot A alakváltoási állapot sorá mgváltoik a potra illskdő gségvktorok hossa és gmással bárt sög A lmi triédr alakváltoása: ABC A B C A C A C B B Mgváltoott Mgváltoott hossak: sögk: A B C A értlmésből kövtkik:
Alakváltoási jllmők: - fajlagos úlások : - fajlagos sögváltoások : Előjl: 0 mgúlás 0 mgrövidülés 0 ha a rdti Mértékgség: : mm/mm= : rad= Kis alakváltoás: A alakváltoási tor: o 90 -os sög csökk 0 ha a rdti 4 4 0 0 0 0 - Diadikus lőállítás: A - Mátrios lőállítás: A o 90 -os sög ő simmtrikus tor A alakváltoási tor a drivált tor simmtrikus rés hat gmástól függtl skaláris koordiátával adható mg A alakváltoási tor oslopaiba a alakváltoási vktorok koordiátái találhatók A alakváltoási vktorok: A alakváltoási állapot smlélttés:
A alakváltoási jllmők sámítása: A tst alakváltoási állapota: A Ar A A m m m m A Am A tst alakváltoási állapota alakváltoási tormővl jllmhtő 5 Fsültségi állapot blső rőrdsr A blső rőrdsrt úg tudjuk visgáli ha a tstt godolatba réskr botjuk és a íg kltktt tstrésk gsúlát visgáljuk Fltétlés: A gés tstr gsúli rőrdsr hat Egsúli rőrdsr = trhlésk + támastó rőrdsr A tstt a potra illskdő síkkal vágjuk ktté A poto át végtl sok sík vhtő fl A ( V ) ( V ) ( V ) ( A) ( A ) ( A ) ( S ) ( S ) V a tst térfogata A - a tst külső flült S S - a mtstflült V S A V da S da V A A sétvágás utá a gs résk gsúla akkor bitosított ha a ( S) és ( S) flült blső rőrdsr lép fl Fsültségvktor: A ( S ) és ( S) mtstflült mgosló blső rőrdsr sűrűségvktora r ahol r a pot hlvktora és a ( S ) sík ormális gségvktora otbli fsültség állapot álladó r : - a da lmi flült kiflé mutató ormálisa da m m l m - a lmi flült síkjába ső gségvktorok l l 4
A fsültségvktor össtvői koordiátái: Össtvők: - Normál fsültségvktor: - Csústató fsültségvktor: Koordiáták: - Normál fsültségi koordiáta: N Mértékgség: = m Fsültségi tor: A tst potjába a - Csústató fsültségi koordiáták: m m m l l l ascal N MN (paskál) = = Ma (mgapaskál) mm m fsültségvktor a liáris homogé függvé : F - Diadikus lőállítás: F - Mátrios lőállítás: F simmtrikus tor A F fsültségi tor mátria hat darab (három és három ) függtl skalár miséggl adható mg A fsültségvktorok koordiátái: F F Előírt iráokho tartoó fsültségkoordiáták sámítása: F F m mmf F m m m A poti fsültségi állapot smlélttés: F Blais ascal (6-66) fracia trmésttudós 5
Fsültségi főtglk főfsültségk: Ha a gségvktorra mrőlgs lmi flült 0 és akkor a fsültségi főtgl (fsültségi főirá) főfsültség és a -r mrőlgs lmi flült síkja főfsültségi sík Mgjgésk: - is lht érus 0 - Mid potba létik lgalább három főirá mlk kölcsöös mrőlgsk gmásra A főtglk főfsültségk ismrtér a későbbikb sükség ls Fsültségi állapot a főtglk koordiáta-rdsréb: 0 0 F 0 0 0 0 Mgállapodás a főfsültségk jlölésér: 6 Főtgl probléma sajátérték fladat A főtgl probléma matmatikai smpotból sajátérték fladatak tkithtő A fladat kitűés: Fsültségi állapot sté: F E F E 0 Alakváltoási állapot sté: A E A E 0 A gségtor: 0 0 E 0 0 0 0 A főtgl probléma aoos módo írható fl a fsültségi és a alakváltoási állapot sté A gségvktor koordiátáira év midkét stb homogé liáris algbrai gltrdsrt kapuk Kérdés: Va- ola irá ml kilégíti a fti gltkt? Válas: Va lgalább három Elvés: főirá/főtgl irá gségvktora főfsültség főúlás A homogé liáris algbrai gltrdsr mtriviális mgoldásáak fltétl: (Itt csak a fsültségi állapotra mutatjuk b a mgoldást a alakváltoási állapotra a mgoldás godolatmt aoos) dt F E 0 6
A dtrmiás réslts flírva: 0 A dtrmiást kifjtv karaktristikus glt: FI FII FIII 0 A karaktristikus glt mgoldásai: főfsültségk A karaktristikus glt gütthatói a fsültségi tor skalár ivariásai: FI - a lső skalár ivariás F F II - a második skalár ivariás - a harmadik skalár ivariás III Ivariás: Ola miség aml a koordiáta trasformáció sorá m váltoik Főiráok mghatároása: A főfsültségkt vissahlttsítjük a homogé liáris algbrai gltrdsrb és mgoldjuk a gltrdsrt a irávktor koordiátáira A három glt m függtl gmástól a gltrdsrből csak a i irávktor koordiátáiak aráa határoható mg A gértlmű mgoldásho sükségs a pótlólagos fltétl: ( i ) A fltétl gomtriai tartalma hog a i lg gségvktor i i i i i i i 7 Dviátor és gömbi torok Értlmés: Fsültségi dviátor tor: F F E d Köps fsültség: FI k Átrdv: F F E d dviátoros rés k k gömbi rés Alakváltoási dviátor tor: A A E d Köps úlás: AI k A A E d tista tista térfogattorulás váltoás k k 7
A fsültségi és a alakváltoási tor is flbotható tista torulási (dviátoros) és tista térfogatváltoási (gömbi) résr A dviátor torok tulajdoságai: F 0 A 0 (A dviátor torok lső skalár ivariása érus) d I 8 A Mohr-fél fsültségi kördiagram és alakváltoási kördiagram a) A fsültségi kördiagram: A Mohr (mór) -fél fsültségi kördiagram a potbli fsültségi állapotot smléltti a síko Lg ismrt a fsültségi főirá A potba flvtt ttsőlgs ormális gségvktor: cos cos cos A smlélttés alapja: N pot a síko Bioítható: - A álladó ormálisok fsültségvktoraiho tartoó N potok a síko félkörívt alkotak - E a mgállapítás a álladó és álladó fltétlk sté is iga - A főfsültségi síkokba ső ormálisok fsültségvktoraiho tartoó N potok a síko félkörívt alkotak éldául: a sík ormálisai: A kördiagram: d I o 90 álladó N O O O álladó A ttsőlgs iráho tartoó fsültségvktorak mgfllő N potok a foltoos félkörívkkl határolt tartomáo blül vaak Christia Otto Mohr (85-98) émt építőmérök 8
Kördiagram srkstés ha g főfsültség (például a ) ismrt: A fsültségi főirá a sík fsültségi fősík (ics csústató fsültség) A kördiagramba a XY potok g félkörö (főkörö) hlkdk l A XY potokra fktttt félkör határoa mg a síkba ső főfsültségi potokat / iráokat Y X O O O A srkstés godolatmt: - Flvssük a X Y potokat Koordiátáik: illtv - Mghatárouk a félkör O köéppotját : O - Mgrajoljuk a X Y potoko átmő O köéppotú félkört - A főfsültségk ismrtéb mgrajoljuk a másik két félkört A főfsültségk mghatároása a kördiagramból: A főiráok mghatároása a kördiagramból: A kördiagramból: tg Sabál: A csústató fsültségk midig a övkdésék iráába mutatak sög flmérésék iráa A 9
b) A alakváltoási kördiagram: A Mohr-fél alakváltoási kördiagram a potbli alakváltoási állapotot smléltti a m síko 0 A Mohr-fél alakváltoási kördiagramra mid ugaúg érvés mit a Mohr-fél fsültségi kördiagramra 9 Ergia állapot 9 Alakváltoási rgia Alakváltoási rgia: a visgált tstb a alakváltoás sorá flhalmoódó rgia a) Fajlagos alakváltoási rgia (gségi térfogat alakváltoási rgiája): ur F A u 0 A fajlagos alakváltoási rgia poitív skaláris miség A alakváltoási rgia flbotása: u u u A fajlagos tista torulási rgia: T tista torulás u T V tista térfogatváltoás ( ) ( ) ( ) 6( ) G u 0 A fajlagos torulási rgia poitív skaláris miség T A tista torulás sté a visgált gségi térfogat úg alakváltoik hog köb térfogata m váltoik mg A fajlagos tista térfogatváltoási rgia: u A F F 6 G V I I I u 0 A fajlagos térfogatváltoási rgia poitív skaláris miség V A tista térfogatváltoás sté m lépk fl sögtotulások Határst: tökélts össomhatatla aag (m képs térfogatváltoásra) éldául: kaucsuk gumi stb u 0 0 05 A többi aagra: uv 0 05 b) Tst alakváltoási rgiája: V U V u dv ahol V a tst térfogata 9 Mchaikai rgia tétl Csak a mchaikai hatásokból sármaó rgiákat vssük figlmb E E WK WB
E kitikai (mogási) rgia trhlés lőtti állapot - trhlés utái állapot W a külső rők mukája W a blső rők mukája K B Silárdságta/rugalmasságta: tst a trhlés lőtt és utá is tartós ugalomba va Rugalmas alakváltoás: E E 0 W W 0 WK WB U WD rugalmas dissipációs alakváltoási rgia rgia (m vissarhtő (vissarhtő rés) rés) A külső muka tljs géséb vissarhtő: W W U Fotos tulajdoság: a rgia poitív skaláris miség 0 A általáos Hook 4 - törvé R m R p0 R m - sakítósilárdság R - foláshatár p0 K K B A általáos Hook (huk) törvé a liárisa rugalmas iotróp aagi vislkdést írja l Liárisa rugalmas: a alakváltoások és a fsültségk köött liáris függvékapcsolat va Iotróp: a aagi vislkdés irától függtl (éldául a fémk stéb) Liárisa rugalmas alakváltoás sté a alakítható aag sakító diagramjáak liáris sakasá vaguk Alakítható aagról bsélük ha a aag képlék alakváltoásra képs A általáos Hook törvé két gmással gértékű alakja: ) F I A F E G A gltkb srplő miségk jltés: G csústató rugalmassági modulus aagjllmők oisso téő FI a fsültségi tor AI a alakváltoási tor lső skalár ivariása B A ) F G A I E 0 0 E 0 0 0 0 a gségtor 4 Robrt Hook (65-70) agol trmésttudós
A ) alak skaláris glti: A ) alak skaláris glti: G G G G G v G G G G G G G Gakorló fladatok silárdságtai állapotokra fladat: pot lmi körték alakváltoási állapota Adott: A pot lmi körtéb a alakváltoási jllmők és g irá gségvktora: 50 40 00 Fladat: 0 0 0 0 8 0 6 a) A A alakváltoási tor mátriáak a flírása és a potbli alakváltoási állapot smlélttés a lmi triédr b) A fajlagos úlás és fajlagos sögtorulás mghatároása Kidolgoás: a) A A alakváltoási tor mátriáak a flírása és a potbli alakváltoási állapot sm- lélttés a lmi triédr: A alakváltoási tor: A 5 0 5 A 0 4 0 0 5 0 0 A alakváltoási állapot smlélttés: 0 5 A 0 5 5 4
b) A fajlagos úlás és fajlagos sögtorulás mghatároása: A 5 0 5 08 4 A 0 0 4 0 0 0 0 5 0 0 06 46 0 8 0 0 6 0 0 (08 )0 0 0 fladat: pot lmi körték fsültségi állapota 0 0 Adott: A potba a F fsültségi tor és három gmásra kölcsöös mrőlgs irá 50 0 40 F 0 80 0 Ma 40 0 0 m l m l m l m l 0 Fladat: a) A potba a fsültségvktorok mghatároása b) A potbli fsültségi állapot smlélttés a lmi kocká c) A potba a fsültségvktor és a m l fsültség koordiáták mghatároása Kidolgoás: a) A potba a fsültségvktorok mghatároása: 50 0 40 50 [ ] F [ ] 0 80 0 0 0 Ma 40 0 0 0 40 (50 0 40 ) Ma 50 0 40 0 0 [ ] F [ ] 0 80 0 80 Ma 40 0 0 0 0 (0 80 0 )Ma 50 40 0 0 0 80 Ma Ma
50 0 40 0 40 [ ] F [ ] 0 80 0 0 0 Ma 40 0 0 0 ( 40 0 0 )Ma 0 40 Ma 0 b) A fsültségi állapot smlélttés a lmi kocká: A lmi kocka ormálisú lapjára a ko- koordi- ordiátáit a ormálisú lapra a átáit a ormálisú lapra pdig a diátáit rajoljuk fl koor- 0 Ma 0 40 80 0 50 c) A potba a fsültségvktor és a m l fsültség koordiáták mghatároása: 50 0 40 / [ ] [ F ][ ] 0 80 0 / 40 0 0 / 50 / 40 / 80 / 0 / 60 / 60 / 40 / 60 / 40 / 0 / 80 Ma 0 / / 0 0 80 / / 0 60 40 50Ma 9 9 l l l / 0 0 80 / / 0 60 0 60 Ma 9 9 m m m / 0 0 80 / / 0 80 40 00 Ma 9 9 fladat: pot lmi körték fsültségi állapota Adott: m 60Ma 60Ma 60Ma 0 m 85Ma 5Ma Fladat: a) A m ormál fsültség és a csústató fsültség mghatároása 4
Kidolgoás: b) A csústató fsültség mghatároása a) A ormál fsültség és a csústató fsültség mghatároása: 60 60 A fsültségi tor a ismrt és ismrtl koordiátákkal: F 0 Ma 60 0 60 A gltk amiből a ismrtlk mghatárohatók: m m Résltsámítások a lső glt flírásáho: 60 60 60 F 0 60 0 60 60 0 60 60 0 Résltsámítások a második glt flírásáho: m m 60 60 A mgoldadó gltrdsr és mgoldása: 0 85 0 Ma 40 Ma 0 5 A fsültségi tor mátria: 60 40 60 F 40 0 0 Ma 60 0 60 b) A csústató fsültség mghatároása: 60 50 40 0 0 5 60 60 60 60 0 4 Ma 40 Ma 0 5
4 fladat: pot lmi körték fsültségi állapota Adott: 40 0 0 A silárd tst potjába a F F 0 40 0 Ma fsültségi tor mátria 0 0 40 Fladat: a) A F I F II és F III skalár ivariások kisámítása b) A és főfsültségk mghatároása Kidolgoás: a) A skalár ivariások kisámítása: 6 FI 40 40 40 0 Ma F II II 40 0 40 0 40 0 0 40 0 40 0 40 600 800 600 800 600 400 600 00 Ma F III 40 0 0 0 0 40 F dt 0 40 0 40 00 0 00 80000 Ma b) A főfsültségk mghatároása: A mtriviális mgoldás létésék fltétl: dt F E 0 A dtrmiás mghatároása a kifjtési sabál alkalmaásával: 40 40 40 0 0 0 0 0 40 0 0 A mid tagba srplő 40 kimlés utá: 40 80 600 800 800 40 80 000 0 A második téő göktéős alakra hoása: 80 80 4 000 00 80 000 0 0 40 00 0 0 A főfsültségk: 00Ma 40Ma 0Ma 5 fladat: A pot lmi körték fsültségi állapota Adott: 60 0 50 A silárd tst potjába a F F 0 40 0 Ma fsültségi tor mátria 50 0 0 Fladat: a) A F fsültségi dviátor tor mátriáak mghatároása d
b) A fsültségi dviátor tor F d I és c) A karaktristikus glt flírása Kidolgoás: Fd II skalár ivariásaiak mghatároása a) A F fsültségi dviátor tor mátria: d F I F F E d ahol F I a F fsültségi tor lső skalár ivariása: F 60 40 0 50 Ma I fd f d f 60 0 50 50 0 0 0 0 50 d F fd f 0 40 0 0 50 0 0 90 0 Ma d d f d f 50 0 0 0 0 50 50 0 80 d f d f d b) A fsültségi dviátor tor di d d d F d I és Fd II F f f f 0 90 80 0 Ma F dii d d d d d d skalár ivariásaiak mghatároása: fd f d f d f d f d f d 90 0 0 50 0 0 = 000Ma f f f f f f 0 80 50 80 0 90 c) A karaktristikus glt flírása: F F F 0 ahol I II III F 60 40 0 50 Ma F I II 40 0 60 50 60 0 700 Ma 0 0 50 0 0 40 60 0 50 FIII 0 40 0 64000 Ma 50 0 0 A karaktristikus glt: 50 700 64000 0 6 fladat: A potba a főfsültségk és a fsültségi főiráok mghatároása 0 0 0 Adott: F 0 0 40 Ma 0 40 90 Fladat: A potbli főfsültségk és fsültségi főiráok mghatároása Kidolgoás: Sajátérték fladat: F E ( F E) 0 Liáris algbrai gltrdsr: ( 0 ) 0 0 0 0 (0 ) 40 0 0 40 (90 ) 0 7
A mtriviális mgoldás fltétl karaktristikus glt: dt F E 0 Résltv: (0 ) (0 )(90 ) 40 0 A karaktristikus glt mgoldása: 0 Ma Ehh a gökhö tartoó fsültségi főirá: A karaktristikus glt további göki: (0 )(90 ) 40 0 0 00 0 0 4400 4400 0 00 0 Ma 0 Ma A fsültségi főiráok mghatároása a főfsültségkt vissahlttsítjük a liáris algbrai gltrdsrb főirá: A gltrdsr mgoldása: 0 0 0 0 0 0 80 40 0 5 0 40 0 5 0 ( ) 5 főirá: ( ) ( ) 5 5 7 fladat: A főiráok aoossága alakváltoási- illtv fsültségi tor sté Adott: A silárd tst potjába a A alakváltoási tor mátria és ugaabba a potba a F fsültségi tor mátria: 0 6 0 A 6 0 8 0 0 8 0 5 0 6 0 F 6 40 8 Ma 0 8 0 Fladat: a) Aak igaolása hog a silárd tst potjába a Hook-törvé érvésül b) A alakváltoási állapot és főúlásaiak kisámítása c) A alakváltoási főiráok mghatároása d) A és főfsültségk kisámítása ) A fsültségi főiráok mghatároása Kidolgoás: a) A Hook-törvé érvésülésék igaolása A általáos Hook-törvé srit a alakváltoási- és a fsültségi tor főátló kívüli lmik háadosa aoos E a háados a G csústató rugalmassági modulus (aagjllmő) 8
5 G 05 0 Ma A főátlóba lévő koordiátákra a Hook-törvé srit: i Gi AI 5 A 40 0 I 5 5 5 G AI 05 0 00 400 0 0 40 0 05 Ugat kapjuk sté is vagis a két tor mgfllő koordiátái köt valóba a Hook-törvé trmt kapcsolatot A aagálladók: 5 G 05 0 Ma 05 b) A főúlások kisámítása (a alakváltoási tor sajátértékik mghatároása): A m triviális mgoldás létésék fltétl: dt A E 0 A dtrmiás mghatároása a kifjtési sabál alkalmaásával: 0 0 0 8 8 6 6 0 0 0 0 A mid tagba srplő 0 kimlés utá: 0 0 00 64 6 0 0 00 0 A második téő göktéős alakra hoása: 0 0 400 5 5 5 0 00 0 5 5 5 0 5 5 5 5 5 5 0 5 A főúlások: 5 5 5 0 5 0 0 5 5 5 0 5 c) A alakváltoási főiráok mghatároása: A -h tartoó főirá mghatároása: A E 0 (0 5 5 5) 6 0 0 Mátri-alakba: 6 (0 5 5 5) 8 0 0 8 (0 5 5 5) 0 Válassuk -t gségik ( =)! Et aért thtjük mg mrt a sámítások végé kapott vktort úgis ormáljuk aa irá gségvktort állítuk lő 5 5 Első gltből: 0 5 5 5 6 0 6967 6 8 8 Harmadik gltből: 8 0 5 5 5 0 5 5 6 9
A íg kapott vktor agsága: 70 El a sámmal kll ormáluk íg a irá gségvktor: 054 08506 0406 A -hö tartoó főirá mghatároása: A E 0 Mátri-alakba: (0 0) 6 0 0 6 (0 0) 8 0 0 8 (0 0) 0 A lső és a harmadik gltből látható hog 0 Válassuk -t gségik! Et aért thtjük mg mrt a sámítások végé kapott vktort úgis ormáljuk aa irá gségvktort állítuk lő A második gltből: 600 8 0 075 A íg kapott vktor agsága: 5 El a sámmal kll ormáluk íg a irá gségvktor: 08 06 A -ho tartoó főirá mghatároása: 0504 0557 06805 d) A főfsültségk mghatároása: A mtriviális mgoldás létésék fltétl: dt F E 0 A dtrmiás mghatároása a kifjtési sabál alkalmaásával: 0 40 0 8 8 6 6 0 0 0 0 A mid tagba srplő 0 kimlés utá: 0 70 00 64 6 0 70 00 0 A második téő göktéős alakra hoása: 70 70 400 5 5 5 70 00 0 5 5 5 0 5 5 5 5 5 5 0 A főfsültségk: 5 5 5 Ma 0Ma ) A fsültségi főiráok mghatároása: A -h tartoó főirá mghatároása: A E 0 Mátri-alakba: 5 5 5 Ma 0 5 5 5 6 0 0 6 40 5 5 5 8 0 0 8 0 5 5 5 0 0
Válassuk -t gségik! Et aért thtjük mg mrt a sámítások végé kapott vktort úgis ormáluk kll 5 5 Első gltből: 0 5 5 5 6 0 6967 6 8 8 Harmadik gltből: 8 0 5 5 5 0 5 5 6 A íg kapott vktor agsága: 70 El a sámmal ormálva: 054 08506 0406 A -hö tartoó főirá mghatároása: A E 0 Mátri-alakba: 0 0 6 0 0 6 40 0 8 0 0 8 0 0 0 A lső és a harmadik gltből látható hog 0 Válassuk -t gségik! Et aért thtjük mg mrt a sámítások végé kapott vktort úgis ormáluk kll A második gltből: 6 0 8 0 075 A íg kapott vktor agsága: 5 El a sámmal ormálva: 08 06 A -ho tartoó főirá mghatároása: 0504 0557 06805 Mgjgésk: a) A főiráok mggk! Blátható hog a sajátvktorok aoossága mid ola A és F torpárra tljsül amlkr iga hog F A E ( ttsőlgs gütthatók) A Hook-törvé il össfüggést valósít mg g pot alakváltoási állapotát líró alakváltoási tor és fsültségi állapotát líró fsültségi tor köött Ebből kövtkik hog a úlási főiráok és a fsültségi főiráok midig mggk (g adott pot sté) A fti két tor köött a Hook-törvé 5 E 5 0 Ma 05 aagálladók sté tljsül b) A főfsültségk és a főúlások köti össfüggés a kövtkő: i G i i c) Ftik bioítása a kövtkő: Tgük fl hog ismrjük a i főúlásokat és a i úlási főiráokat Visgáljuk mg a a)-ba mghatároott F A E tor hatását a úlási főiráok irágségvktorára!
a F A E F A E i i i i i i i i Láthatjuk hog i pdig: i i torak is sajátvktora a hoá tartoó sajátérték Figlmb vév a Hook-törvé ismrt F G A AI E alakját továbbá flidév hog a lső skalár ivariás a sajátértékk össgévl glő kapjuk a i G i ; i össfüggést 8 fladat: A pot lmi körték rlatív lmodulási állapota Adott: A silárd tst potjába a drivált tor: 0 D 0 0 0 4 4 m m A Fladat: a) A A B és C potok rlatív lmodulás vktoraiak mghatároása b) A gségvktor végpotjába lvő N pot rlatív lmodulás vktoráak mghatároása c) A m gségvktor végpotjába lvő M pot rlatív lmodulás vktoráak mghatároása Kidolgoás: a) A A B és C potok rlatív lmodulás vktoraiak mghatároása: A rlatív lmodulás vktorok a drivált tor oslopaiba álló lmk: u 4 0 u 4 0 u 4 0 A B C b) A gségvktor végpotjába lvő N pot rlatív lmodulás vktoráak mghatároása: 0 0 un D 0 0 0 / 0 4 4 / 0 u N c) A m gségvktor végpotjába lvő M pot rlatív lmodulás vktoráak mghatároása: C m N M B
0 0 m 4 4 / u D 0 0 0 / 0 M 0 u M 9 fladat: A pot lmi körték rlatív lmodulási állapota Kidolgoás: 4 0 4 6 Adott: A pot körték fajlagos rlatív lmodulás állapotáak smlélttés a lmi triédr Fladat: a) A D drivált tor flírása simbolikus és mátrios alakba b) A forgató tor flírása simbolikus és mátrios alakba c) A A alakváltoási tor flírása simbolikus és mátrios alakba a) A D drivált tor flírása simbolikus és mátrios alakba: Simbolikus alak: D u u u 4 6 4 0 D 4 Mátrios alak: D 0 0 0 0 6 4 A drivált tor traspoáltja simbolikus alak: 4 6 4 0 T D 0 T Mátrios alak: D 4 0 6 0 0 4 b) A forgató tor flírása simbolikus és mátrios alakba: T Simbolikus alak: D D 0 Mátrios alak: 0 0 0 0 T D u u u 0
c) A A alakváltoási tor flírása simbolikus és mátrios alakba: T Simbolikus alak: A D D A 4 0 Mátrios alak: A 0 0 4 4 0 0 fladat: Fsültségi főiráok főfsültségk Mohr-fél fsültségi kördiagram Adott: A silárd tst potjába a F fsültségi tor mátriáak lmi: 0 Ma 0 Ma 90 Ma 40 Ma 0 Ma Fladat: a) A főfsültségk és a fsültségi főiráok mghatároása sajátérték fladat mgoldásával és Mohr-fél fsültségi kördiagram flhasálásával b) A F fsültségi tor F I F II és F III skalár ivariásaiak kisámítása c) A fsültségi dviátor tor mátriáak mghatároása Kidolgoás: a) A főfsültségk és a fsültségi főiráok mghatároása sajátérték fladat mgoldásával és Mohr-fél fsültségi kördiagram flhasálásával: 0 0 0 A F fsültségi tor mátria: F 0 0 40 Ma 0 40 90 - A sajátérték fladat mgoldása: 0 0 0 0 F E 0 0 0 40 0 0 40 90 0 A karaktristikus glt: dt F E 0 0 0 90 40 0 0Ma 700 90 0 600 0 0 00 0 0 4400 4400 0 00 0 A karaktristikus glt mgoldása: 0 4
A főfsültségk: 0Ma 0Ma 0Ma - Főiráok mghatároása: Mivl 0Ma főfsültség ért főfsültség vissahlttsítés a liáris algbrai gltrdsrb: A 0 0 0 0 0 0 0 0 0 F E 0 0 0 40 0 0 0 0 40 0 0 40 90 0 0 40 90 0 0 0 0 0 0 0 0 80 40 0 0 40 0 0 4 5 A lső főirá irá gségvktora: 0 0 447 0894 5 5 A második főirá: 0894 0 447 5 5 5 5 - A Mohr-fél fsültségi kördiagram mgrajolása: 5 40 Y R Z X A főfsültségk mghatároása: 0 60 90 R 0 40 50Ma 60 50 0 Ma 60 50 0 Ma 0 Ma 5
A főiráok mghatároása: A sögt a fsültség övkdésék iráába kll flméri! 0 o tg 657 40 si cos 0447 0894 cos si 0894 0447 b) A skalár ivariások kisámítása: FI 00 Ma F F II 00Ma 0 0 III 0 0 000Ma 0 0 c) A fsültségi dviátor tor mátriáak mghatároása: F I F F E d ahol FI 00Ma 0 0 0 00 / 0 0 5 0 0 F 0 0 40 0 00 / 0 0 40 Ma d 0 40 90 0 0 00 / 0 40 56 7 fladat: Mohr-fél fsültségi kördiagram általáos Hook törvé Adott: A silárd tst potjába a F fsültségi tor mátria továbbá 0 5 G 08 0 Ma 70 0 40 F 0 50 0 Ma 40 0 0 Fladat: a) A pot fsültségi állapotáak smlélttés a lmi kocká b) A pot fsültségi állapotáak smlélttés Mohr-fél fsültségi kördiagrammal c) A főfsültségk és a főiráok mghatároása a Mohr-fél fsültségi kördiagramból d) A pot alakváltoási állapotáak mghatároása és smlélttés lmi triédr Kidolgoás: a) A pot fsültségi állapotáak smlélttés a lmi kocká: 6
70 0 40 70 Ma F 0 50 0 Ma 40 40 40 0 0 0 b) A pot fsültségi állapotáak smlélttés Mohr-fél kördiagrammal: 50 40 Z X Y 0 70 c) A főfsültségk és a főiráok mghatároása a Mohr-fél kördiagramból: 40 0 40 90Ma 40 0 40 0Ma 50Ma A főiráok mghatároása: 0 05 o tg 657 40 A sögt a fsültség övkdésék iráába kll flméri! d) A pot alakváltoási állapotáak mghatároása és smlélttés a lmi triédr: A általáos Hook törvé: A F FI E G 0 FI 70 50 0 0Ma F I 0 0 Ma 0 5 0 4 70 0 5 0 0 6 G 5 0 4 50 0 5 0 0 6 G 7
0 6 A alakváltoási tor: 5 4 0 0 5 0 5 0 5 A 0 5 0 0 5 0 5 4 40 50 5 G 08 0 5 4 5 5 0 5 5 fladat: Mohr-fél fsültségi kördiagram Adott: A silárd tst potjába a F fsültségi tor 0 0 40 F 0 50 0 Ma mátria 40 0 70 Fladat: a) A pot fsültségi állapotáak smlélttés a lmi kocká b) A pot fsültségi állapotáak smlélttés Mohr-fél kördiagrammal c) A főfsültségk és a főiráok mghatároása a Mohr-fél kördiagramból Kidolgoás: a) A pot fsültségi állapotáak smlélttés lmi kocká: A fsültségi tor: 0 0 40 F 0 50 0 Ma 40 0 70 b) A pot fsültségi állapotáak smlélttés Mohr-fél kördiagrammal: 50 0 40 40 Ma 70 40 X Z Y 0 70 c) A főfsültségk és a főiráok mghatároása a Mohr-fél kördiagramból: 40 0 40 90Ma 50Ma 8
40 0 40 0Ma A főiráok mghatároása: o tg 0 / 40 05 657 A sögt a fsültség övkdésék iráába kll flméri! 9