dr 2 # r 2 d* 2 # r 2 sin 2 *d+ 2 t = ["#,#]

Hasonló dokumentumok
24 műhold (6 pályasíkban 4-4) & % ( )M * 26600km. T m. # 3870 m v m "1.29 #10 $5. # 460 m T a s

Az időmérés pontossága fontos, mert a távolságmérést erre alapozzuk.

Eikonál egyenlet az általános relativitáselméletben

METRIKA. 2D sík, két közeli pont közötti távolság, Descartes-koordinátákkal felírva:

[ ]dx 2 # [ 1 # h( z,t)

α v e φ e r Név: Pontszám: Számítási Módszerek a Fizikában ZH 1

Analízis III. gyakorlat október

ERŐ-E A GRAVITÁCIÓ? 1. példa:

9. ábra. A 25B-7 feladathoz

Fizika és 3. Előadás

ANALÍZIS II. Példatár

Térkép és valóság. (b) Röviden írja le, milyen módon torzítja el ez a térkép a valódi világ viszonyait.

Rugalmas hullámok terjedése. A hullámegyenlet és speciális megoldásai

A gravitációs hullámok miért mutathatók ki lézer-interferométerrel?





Kétváltozós vektor-skalár függvények

FIZIKA. Ma igazán feltöltődhettek! (Elektrosztatika) Dr. Seres István

462 Trigonometrikus egyenetek II. rész

III. Differenciálszámítás

A Maxwell-féle villamos feszültségtenzor

FIZIKA. Ma igazán feltöltődhettek! (Elektrosztatika) Dr. Seres István

Megjegyzés: jelenti. akkor létezik az. ekkor

Geometriai vagy kinematikai természetű feltételek: kötések vagy. kényszerek. 1. Egy apró korong egy mozdulatlan lejtőn vagy egy gömb belső

Differenciálegyenletek numerikus integrálása április 9.

Mozgás centrális erőtérben

Kalkulus 2., Matematika BSc 1. Házi feladat

Metrikus terek. továbbra is.

rnök k informatikusoknak 1. FBNxE-1

Fizika 1 Mechanika órai feladatok megoldása 7. hét

azonos sikban fekszik. A vezetőhurok ellenállása 2 Ω. Számítsuk ki a hurok teljes 4.1. ábra ábra

ERŐ-E A GRAVITÁCIÓ? 1

(x + 1) sh x) (x 2 4) = cos(x 2 ) 2x, e cos x = e

(Gauss-törvény), ebből következik, hogy ρössz = ɛ 0 div E (Gauss-Osztrogradszkij-tételből) r 3. (d 2 + ρ 2 ) 3/2

Kettős integrál Hármas integrál. Többes integrálok. Sáfár Orsolya május 13.

Lagrange és Hamilton mechanika

A Hamilton-Jacobi-egyenlet

Numerikus módszerek. A. Egyenletek gyökeinek numerikus meghatározása

17. tétel A kör és részei, kör és egyenes kölcsönös helyzete (elemi geometriai tárgyalásban). Kerületi szög, középponti szög, látószög.

Lendület. Lendület (impulzus): A test tömegének és sebességének szorzata. vektormennyiség: iránya a sebesség vektor iránya.

Térbeli polárkoordináták alkalmazása egy pont helyének, sebességének és gyorsulásának leírására

Széchenyi István Egyetem

A Coulomb-törvény : ahol, = coulomb = 1C. = a vákuum permittivitása (dielektromos álladója) k 9 10 F Q. elektromos térerősség : ponttöltés tere :

Emlékeztető: az n-dimenziós sokaság görbültségét kifejező mennyiség a Riemann-tenzor (Riemann, 1854): " ' #$ * $ ( ' $* " ' #µ

MATEMATIKA 2. dolgozat megoldása (A csoport)

Szeminárium. Kaposvári István október 01. Klasszikus Térelmélet Szeminárium

f r homorú tükör gyűjtőlencse O F C F f

2. Házi feladat és megoldása (DE, KTK, 2014/2015 tanév első félév)

Az R halmazt a valós számok halmazának nevezzük, ha teljesíti az alábbi 3 axiómacsoport axiómáit.

1. Az előző előadás anyaga

Nem-lineáris programozási feladatok

{ } x x x y 1. MATEMATIKAI ÖSSZEFOGLALÓ. ( ) ( ) ( ) (a szorzás eredménye:vektor) 1.1. Vektorok közötti műveletek

Az éjszakai rovarok repüléséről

AZ INSTACIONER HŐVEZETÉS ÉPÜLETSZERKEZETEKBEN. várfalvi.

Bevezetés a görbe vonalú geometriába

Az Einstein egyenletek alapvet megoldásai

Felügyelt önálló tanulás - Analízis III.

Gruber József, a hidrodinamikai szingularitások művelője

T obbv altoz os f uggv enyek integr alja. 3. r esz aprilis 19.

2. Reprezentáció-függvények, Erdős-Fuchs tétel

1.4. Mintapéldák. Vs r. (Használhatjuk azt a közelítő egyenlőséget, hogy 8π 25.)

10. tétel Függvények lokális és globális tulajdonságai. A differenciálszámítás alkalmazása

Diffúzió 2003 március 28

Henger körüli áramlás Henger körüli áramlás. Henger körüli áramlás. ρ 2. R z. R z. = 2c. c A. = 4c. c p. = c cos. y/r 1.5.

Atomok (molekulák) fotoionizációja során jelentkező rezonanciahatások Resonance Effects in the Photoionization of Atoms (Molecules)

Kétváltozós függvények ábrázolása síkmetszetek képzése által

Dávid Gyula néhány (egész estét betöltő) előadásának az elérhetősége: Matematikusok a fekete lyukban a fizikai és matematikai végtelen

Kinematika szeptember Vonatkoztatási rendszerek, koordinátarendszerek

Differenciálegyenletek december 13.

CIKLOIS TÍPUSÚ GÖRBÉK ÁBRÁZOLÁSA GEOGEBRÁVAL

Mobilis robotok irányítása

Hidrosztatikai problémák

INHOMOGÉN RUGALMAS ANYAGÚ KÚPOK STATIKAI VIZSGÁLATA STATIC ANALYSIS OF NONHOMOGENEOUS ELASTIC CONICAL BODIES

Gravitációs fényelhajlás gömbszimmetrikus téridőkben

Mátrix-exponens, Laplace transzformáció

2 (j) f(x) dx = 1 arcsin(3x 2) + C. (d) A x + Bx + C 5x (2x 2 + 7) + Hx + I. 2 2x F x + G. x

1. Számsorok, hatványsorok, Taylor-sor, Fourier-sor

Egy általános helyzetű lekerekített sarkú téglalap paraméteres egyenletrendszere. Az egyenletek felírása

Valószínűségi változók. Várható érték és szórás

3. Egy ξ valószínűségi változó eloszlásfüggvénye melyik képlettel van definiálva?

Sugárzás és szórás. ahol az amplitúdófüggvény. d 3 x J(x )e ikˆxx. 1. Számoljuk ki a szórási hatáskeresztmetszetet egy

2014. november 5-7. Dr. Vincze Szilvia

Optika és Relativitáselmélet II. BsC fizikus hallgatóknak

5. fejezet. Differenciálegyenletek

A közlegelı problémájának dinamikája Lotka - Volterra egyenletek felhasználásával

Tehetetlenségi nyomaték, impulzusmomentum-tétel, -megmaradás

Polinomok maradékos osztása

Reakciókinetika és katalízis

Lencsék fókusztávolságának meghatározása

Az atomok vonalas színképe

A LÉGKÖRBEN HATÓ ERŐK, EGYENSÚLYI MOZGÁSOK A LÉGKÖRBEN

Égi mechanika tesztkérdések. A hallgatók javaslatai 2008

OPTIKA. Geometriai optika. Snellius Descartes-törvény szeptember 19. FIZIKA TÁVOKTATÁS

HHF0CX. k darab halmaz sorbarendezésének a lehetősége k! Így adódik az alábbi képlet:

Abszolút folytonos valószín ségi változó (4. el adás)

Kettős és többes integrálok

Laplace-transzformáció. Vajda István február 26.

Speciális relativitás

Átírás:

Gömbszimmetikus, M tömegű test köüli téidő vákuumban: 1) Vákuum: T " = 0 2) Ügyes koodinátaendsze-választással ki lehet használni a gömbszimmetiát. Az Einstein-egyenlet analitikusan is megoldható, a megoldás, Schwazschild-koodinátákkal felíva: Schwazschild-metika 1916): = 1 2M % 1 2M d 2 2 d* 2 2 sin 2 *d+ 2 t = [",] = 0, ] 2M % = [ 0, ] = [ 0,2 ] dτ: a két közeli esemény téidőbeli távolsága a két eseményt összekötő világvonalon haladó megfigyelő kaóáján mét időtatam), t, θ, ϕ: koodináták mentális konstukciók, méhető fizikai tatalmuk általában nincs) 1 Schwazschild-metika, tészeű intevallummal elválasztott eseménypáa: = 1 2M % + 1 2M d 2 + 2 d* 2 + 2 sin 2 *d+ 2 dσ: a két közeli esemény téidőbeli távolsága a két esemény közötti méteúdtávolság ) abban a lokális ineciaendszeben mét távolság a két esemény között, amelyben a két esemény egyidejű) Kétféle szingulaitást is észeveszünk: = 0: téidő-szingulaitás a geometia sajátja, fizikailag létezik) = 2M: koodináta-szingulaitás a szeencsétlen koodinátaválasztás eedménye) A Schwazschild-metika az egyenlítői síkban " = konst. = 90 0 ): = 1 2M % 1 2M d 2 2 d* 2 2 1

Painlevé-Gullstand-metika Painlevé: 1921, Gullstand: 1922): = 1 2M % ) dt 2 2 2M dtd d 2 2 d* 2 2 sin 2 *d+ 2 T = [",] = 0, ] = [ 0,% ] = [ 0,2% ] Kiküszöbüli a koodináta-szingulaitást = 2M-ben! Painlevé-Gullstand-metika az egyenlítői síkban " = konst. = 90 0 ): = 1 2M % ) dt 2 2 2M dtd d 2 2 d* 2 3 A metika: VARÁZSKÉPLET. Ebből az egyetlen egyenletből + a MÖE-ből) engeteg infomáció kinyehető. Példák: 1. A gömbszimmetikus test köé épített gömbhéjak távolsága. 2. Fénykúpdiagamok, eseményhoizont. 3. Az enegia E/m) és az impulzusmomentum L/m), mint mozgásállandók. 4. Szabad kő öppályája Schwazschild-, ill. Painlevé-Gullstand- téképen. 5. A Mekú peihélium-pecessziójának számétéke. 6. A GPS-nél fellépő elativisztikus effektusok. 7. Legfeljebb mennyi ideig lehet életben maadni egy fekete lyuk eseményhoizontján belül? 8. Ha beleesünk egy fekete lyukba, mennyi ideig tat az utazás fájdalmas szakasza? 9. Hogy néz ki egy fekete lyuk, ha egy gömbhéjat építünk köé, és onnan nézzük? Hogy néz ki akko, ha -iányban esünk felé? stb. 4 2

1. A gömbszimmetikus test köé épített gömbhéjak távolsága. = 1 2M % + 1 2M d 2 + 2 d* 2 hivatalos neve: Schwazschild- koodináta : NEM a sugá!) Az -hez tásítható szemléletes név nem minden koodinátához van ilyen!): edukált keület [építünk egy gömbhéjat, méteudakkal megméjük a keületét, elosztjuk 2π-vel] Építsünk egy újabb gömbhéjat közvetlenül az első köé. Az új gömbhéj keülete legyen 2π+d). Mekkoa a két héj távolsága? dt = 0, dϕ = 0 d" = 1 1 2M d példák: Föld, neutoncsillag, fekete lyuk 5 2. Fénykúpdiagamok, eseményhoizont. Kitéő: sík téidő, fénykúpdiagam a 4D téidő [x,t] szeletén. Metika: d" 2 = dt 2 dx 2 dy 2 dz 2 [x,t] szelet y = konst., z = konst. dy = 0, dz = 0) A két eseményt fénysugá kösse össze dτ = 0 0 = dt 2 " dx 2 dt dx = ±1 diffeenciálegyenlet, leíja, hogy milyen alakúak a fénysugaak világvonalai ezen a téképen ) Megoldás: t " t A = ± x " x A ) 6 3

t " t A = ± x " x A ) fénykúpdiagam Az A eseményen jelen levő űhajós világvonala csakis az A-ból kiinduló fénykúpon belül folytatódhat. 7 Az eseményhoizont : fénysugaak által alkotott 3D hipefelület, amelyet csak egyik iányban léphet át egy anyagi észecske Az eseményhoizont tulajdonságai: 1. Nem látunk be mögé. Ha az N eseményben vagyunk, onnan az eseményhoizont mögötti eseményeket nem láthatjuk. Az eseményhoizonton túlól nem juthat el az N eseménybe infomáció. [Analóg a hétköznapi hoizont = látóhatá ) fogalmával.] 2. Ha egysze átlépünk ezen a felületen pl. m világvonal), akko má nem juthatunk vissza a szükével jelzett tatományba. 8 4

Fénykúpdiagam, Schwazschild- tékép, [,t]-szelet: = 1 2M % 1 2M d 2 2 d* 2 2 sin 2 *d+ 2 [,t] szelet, fénysugá dθ = 0, dϕ = 0, dτ = 0 0 = % 1 " 2M dt 2 1 " 1 " 2M d 2 dt d = ± " 2M Megoldás: diffeenciálegyenlet, leíja, hogy milyen alakúak a fénysugaak világvonalai a Schwazschild [,t]- téképen ) t " t A = ± " A + 2M ln M " 2 ) A % M " 2 ) 9 tömegpontok űhajósok, kövek, stb.) világvonalai [1] Miét pont ilyen iányokba ajzoltam a fénykúpokon a nyilakat? [2] Az = 2M felé kívülől közeledő kő végtelen Schwazschild-t múlva éi el az = 2M-et. Azaz soha nem éi el?! [3] Az < 2M tatományban egy űhajós úgy is haladhat, hogy a világvonalán dt < 0?! Visszafelé halad az időben?! [4] Az < 2M tatományban egy űhajós mozgásáa d/dt > 1 is teljesülhet?! Az ilyen űhajós gyosabban halad, mint a fény?! 10 5

Fénykúpdiagam, Painlevé-Gullstand- tékép, [,T]-szelet: = 1 2M % ) dt 2 2 2M dtd d 2 2 d* 2 2 sin 2 *d+ 2 [,T] szelet, fénysugá dθ = 0, dϕ = 0, dτ = 0 0 = % 1 " 2M dt 2 " 2 2M dtd " d 2 d dt = " 2M ±1 diffeenciálegyenlet, leíja, hogy milyen alakúak a fénysugaak világvonalai a Painlevé-Gullstand [,T]- téképen ) 11 Megoldás: 1. A,T A )-ból befelé haladó fénysugáa: T " T A = A " ) " 4M % A 2M " 2M % 1 + + 4M ) ln% % 1 + A 2M 2M 2. B,T B )-ből kifelé haladó fénysugáa: T " T B = " B ) + 4M % 2M " B 2M % 1 " + 4M ) ln% % 1 " 2M B 2M 12 6

nincs koodinátaszingulaitás az = 2M-ben Az = 2M különleges hipefelület: 1) Eseményhoizont, hiszen fénysugaak által alkotott, egyiányú felület. 2) Ha egysze > 2M felől átlépünk ajta, akko a) többet soha nem juthatunk el = -be nincs menekvés ), és b) a világvonalunk véges sajátidőn belül az = 0-ban végződik biztos halál ) Az = 2M hipefelület a fekete lyuk ESEMÉNYHORIZONTJA. Emlékeztető: az = 0 hipefelület: téidő-szingulaitás.) 13 7