A brachistochron probléma megoldása

Hasonló dokumentumok
5. fejezet. Differenciálegyenletek

Differenciálegyenletek. Vajda István március 4.

Kinematika szeptember Vonatkoztatási rendszerek, koordinátarendszerek

Matematika III előadás

Matematika III. harmadik előadás

KOVÁCS BÉLA, MATEMATIKA II.

BIOMATEMATIKA ELŐADÁS

sin x = cos x =? sin x = dx =? dx = cos x =? g) Adja meg a helyettesítéses integrálás szabályát határozott integrálokra vonatkozóan!

Integrálszámítás. a Matematika A1a-Analízis nevű tárgyhoz november

(1 + (y ) 2 = f(x). Határozzuk meg a rúd alakját, ha a nyomaték eloszlás. (y ) 2 + 2yy = 0,

Tömegpontok mozgása egyenes mentén, hajítások

Matematika II. 1 sin xdx =, 1 cos xdx =, 1 + x 2 dx =

Egyenletek, egyenletrendszerek, egyenlőtlenségek Megoldások

Egyenletek, egyenlőtlenségek grafikus megoldása TK. II. kötet 25. old. 3. feladat

MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI EMELT SZINT Paraméter

Figyelem, próbálja önállóan megoldani, csak ellenőrzésre használja a következő oldalak megoldásait!

1. Bevezetés Differenciálegyenletek és azok megoldásai

Feladatok a Diffrenciálegyenletek IV témakörhöz. 1. Határozzuk meg következő differenciálegyenletek általános megoldását a próba függvény módszerrel.

DIFFERENCIÁLEGYENLETEK. BSc. Matematika II. BGRMA2HNND, BGRMA2HNNC

valós számot tartalmaz, mert az ilyen részhalmazon nem azonosság.

3. Lineáris differenciálegyenletek

Meghatározás: Olyan egyenlet, amely a független változók mellett tartalmaz egy vagy több függvényt és azok deriváltjait.

Matematika II képletek. 1 sin xdx =, cos 2 x dx = sh 2 x dx = 1 + x 2 dx = 1 x. cos xdx =,

Abszolútértékes és gyökös kifejezések Megoldások

Feladatok megoldásokkal az első gyakorlathoz (differencia- és differenciálhányados fogalma, geometriai és fizikai jelentése) (x 1)(x + 1) x 1

Matematika I. Vektorok, egyenesek, síkok

Brósch Zoltán (Debreceni Egyetem Kossuth Lajos Gyakorló Gimnáziuma) Megoldások. alapfüggvény (ábrán: fekete)

6. Differenciálegyenletek

HÁZI FELADATOK. 2. félév. 1. konferencia Komplex számok

a) A logaritmus értelmezése alapján: x 8 0 ( x 2 2 vagy x 2 2) (1 pont) Egy szorzat értéke pontosan akkor 0, ha valamelyik szorzótényező 0.

MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI EMELT SZINT Abszolútértékes és Gyökös kifejezések

Feladatok az 5. hétre. Eredményekkel és teljesen kidolgozott megoldásokkal az 1,2,3.(a),(b),(c), 6.(a) feladatokra

t, u v. u v t A kúpra írt csavarvonalról I. rész

A bifiláris felfüggesztésű rúd mozgásáról

Analízis III. gyakorlat október

6. Függvények. Legyen függvény és nem üreshalmaz. A függvényt az f K-ra való kiterjesztésének

Differenciálegyenletek december 13.

Függvények vizsgálata

0-49 pont: elégtelen, pont: elégséges, pont: közepes, pont: jó, pont: jeles

Vektorgeometria (2) First Prev Next Last Go Back Full Screen Close Quit

Differenciálegyenletek

Matematikai háttér. 3. Fejezet. A matematika hozzászoktatja a szemünket ahhoz, hogy tisztán és világosan lássa az igazságot.

Lagrange egyenletek. Úgy a virtuális munka mint a D Alembert-elv gyakorlati alkalmazását

ANALÍZIS II. Példatár

Határozott integrál és alkalmazásai

Trigonometria Megoldások. 1) Igazolja, hogy ha egy háromszög szögeire érvényes az alábbi összefüggés: sin : sin = cos + : cos +, ( ) ( )

1. Számsorok, hatványsorok, Taylor-sor, Fourier-sor

Differenciálegyenletek

Nagy András. Feladatok a logaritmus témaköréhez 11. osztály 2010.

Matematika A1a Analízis

1. Példa. A gamma függvény és a Fubini-tétel.

Függvények Megoldások

2. REZGÉSEK Harmonikus rezgések: 2.2. Csillapított rezgések

DIFFERENCIÁLEGYENLETEK. BSc. Matematika II. BGRMA2HNND, BGRMA2HNNC

Feladatok megoldásokkal a 9. gyakorlathoz (Newton-Leibniz formula, közelítő integrálás, az integrálszámítás alkalmazásai 1.

Határozatlan integrál (2) First Prev Next Last Go Back Full Screen Close Quit

MATEMATIKA HETI 5 ÓRA. IDŐPONT: június 8.

MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI KÖZÉPSZINT Függvények

2. sillabusz a Többváltozós függvények kurzushoz

A mechanika alapjai. A pontszerű testek dinamikája

FIZIKA II. Dr. Rácz Ervin. egyetemi docens

Feladatok megoldásokkal a harmadik gyakorlathoz (érintési paraméterek, L Hospital szabály, elaszticitás) y = 1 + 2(x 1). y = 2x 1.

Tananyag. Amikor ez nem sikerül (vagy nem érdemes előállítani a megoldás képletét, mert pl. nagyon

MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI EMELT SZINT Trigonometria

Miskolci Egyetem GÉPÉSZMÉRNÖKI ÉS INFORMATIKAI KAR. Polárkoordinátás és paraméteres megadású görbék. oktatási segédanyag

Fizika 1 Mechanika órai feladatok megoldása 7. hét

8. előadás. Kúpszeletek

Q 1 D Q 2 (D x) 2 (1.1)

6. Folytonosság. pontbeli folytonosság, intervallumon való folytonosság, folytonos függvények

2. (b) Hővezetési problémák. Utolsó módosítás: február25. Dr. Márkus Ferenc BME Fizika Tanszék

A mechanika alapjai. A pontszerű testek kinematikája. Horváth András SZE, Fizika és Kémia Tsz szeptember 29.

Függvény differenciálás összefoglalás

Az éjszakai rovarok repüléséről

Differenciálegyenletek numerikus megoldása

Debreceni Egyetem. Feladatok a Matematika II. tárgy gyakorlataihoz. Határozatlan integrál

Mechanika Kinematika. - Kinematikára: a testek mozgását tanulmányozza anélkül, hogy figyelembe venné a kiváltó

A Hamilton-Jacobi-egyenlet

KOVÁCS BÉLA, MATEMATIKA II.

Mechanika. Kinematika

KOVÁCS BÉLA, MATEMATIKA II.

A képzetes számok az isteni szellem e gyönyörű és csodálatos hordozói már majdnem a lét és nemlét megtestesítői. (Carl Friedrich Gauss)

= x2. 3x + 4 ln x + C. 2. dx = x x2 + 25x. dx = x ln 1 + x. 3 a2 x +a 3 arctg x. 3)101 + C (2 + 3x 2 ) + C. 2. 8x C.

KOVÁCS BÉLA, MATEMATIKA II.

Hamilton rendszerek, Lyapunov függvények és Stabilitás. Hamilton rendszerek valós dinamikai rendszerek, konzerva3v mechanikai rendszerek

Szili László. Integrálszámítás (Gyakorló feladatok) Analízis 3. Programtervező informatikus szak BSc, B és C szakirány

Differenciálszámítás. 8. előadás. Farkas István. DE ATC Gazdaságelemzési és Statisztikai Tanszék. Differenciálszámítás p. 1/1

b) Ábrázolja ugyanabban a koordinátarendszerben a g függvényt! (2 pont) c) Oldja meg az ( x ) 2

Exponenciális, logaritmikus függvények

Feladatok a logaritmus témaköréhez 11. osztály, középszint

8. Egyenletek, egyenlőtlenségek, egyenletrendszerek II.

Differenciálegyenletek numerikus integrálása április 9.

A loxodrómáról. Előző írásunkban melynek címe: A Gudermann - függvényről szó esett a Mercator - vetületről,illetve az ezen alapuló térképről 1. ábra.

1. ábra. 24B-19 feladat

MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK KÖZÉP SZINT Függvények

1/1. Házi feladat. 1. Legyen p és q igaz vagy hamis matematikai kifejezés. Mutassuk meg, hogy

MODELLEK ÉS ALGORITMUSOK ELŐADÁS

Egészrészes feladatok

Matematika A2 vizsga mgeoldása június 4.

Kettős integrál Hármas integrál. Többes integrálok. Sáfár Orsolya május 13.

Átírás:

A brachistochron probléma megoldása Adott a függőleges síkban két nem egy függőleges egyenesen fekvő P 0 és P 1 pont, amelyek közül a P 1 fekszik alacsonyabban. Azt a kérdést fogjuk vizsgálni. hogy van-e olyan pálya, amely mentén egy tömegpont a legrövidebb idő alatt jut el pusztán a nehézségi erő hatására a P 0 pontból a P 1 pontba. Helyezzük be a két pontot egy koordináta rendszerbe úgy, hogy az első tengely vízszintes legyen, a másik pedig függőleges, valamint P 0 az origóba essen. Jelöljük P 1 koordinátáit (a, b)-vel (a > 0, b < 0) Legyen ezek után x egy úgynevezett megengedett függvény, azaz x : [0, a] R folytonosan differenciálható és x(0) = 0, x(a) = b. Fizikai meggondolások alapján nyilván feltehetjük, hogy x monoton csökkenő. Az x által meghatározott pálya befutásához szükséges időt jelöljük T x -szel. Ki szeretnénk számítani T x -et. Ehhez vezessük be a τ : [0, T x ] [0, a] folytonosan differenciálható függvényt, amelynek τ(t) értéke a tömegpont első koordinátáját jelöli a mozgás megkezdése után t idővel. Feltehetjük, hogy τ monoton növekedő. A t időpillanatban a második koordináta nyilvánvalóan x(τ(t)). A tömegpont sebességének nagyságát (a sebességvektor abszolút értékét) jelöljük v(t)-vel. Kétféle módon fogjuk kiszámolni v(t)-t, amiket összehasonlítva aztán egy, a T x -re vonatkozó formulát kapunk. v(t) nem más, mint a t (τ(t), x(τ(t)) ) függvény deriváltjának az abszolút értéke: (τ v(t) = (t) ) ( + x (τ(t)) τ (t) ) = 1 + ( x (τ(t)) ) τ (t). v(t)-t meghatározhatjuk a mechanikai energia megmaradásának törvényével is: Ebből 0 = 1 mv (t) + mgx(τ(t)). v(t) = gx(τ(t)) adódik. Vegyük a két formula hányadosát: 1 1 + ( x (τ(t)) ) τ (t) = 1. g x(τ(t)) Vegyük észre, hogy a bal oldalon az 1 ( 1 + (x ) ) τ g x 1

összetett függvény deriváltja áll a t helyen. oldalát integrálva azt kapjuk, hogy Az egyenlőség mindkét 1 (t) g (0) 1 + (x ) x = t (0 t T x ). t-t T x -nek választva és kihasználva, hogy τ(0) = 0, τ(t x ) = a a keresett formulához jutunk: T x = 1 a 1 + (x ). g 0 x Ha a függőleges tengely irányítását lefelé vesszük pozitívnak, vagy egyszerűen az x helyett annak 1-szeresét vesszük, akkor az irodalomban szokásos T x = 1 a 1 + (x ). g 0 x formulát kapjuk. A továbbiakban ezzel a képlettel fogunk dolgozni. A T x minimalizálásához az Euler-Lagrange differenciálegyenletet f(s, x(s), x (s)) 13 f(s, x(s), x (s)) 3 f(s, x(s), x (s))x (s) 33 f(s, x(s), x (s))x (s) = 0 fogjuk megoldani. Esetünkben a minimalizálandó funkcionál: I x = a 0 f(s, x(s), x (s)) ds, 1 + w ahol f R 3 R, f(u, v, w) =. v Vegyük észre, hogy f nem függ az első változótól. Ez az úgynevezett hiányos alapfüggvény esete, amikor is az Euler-Lagrange egyenlet az alábbi alakra redukálódik: f(s, x(s), x (s)) 3 f(s, x(s), x (s))x (s) 33 f(s, x(s), x (s))x (s) = 0 Megmutatjuk, hogy ekkor az Euler-Lagrange egyenlet minden megoldása kielégíti az f(s, x(s), x (s)) x (s) 3 f(s, x(s), x (s)) = c (c R) differenciálegyenletet alkalmas c választással. Ehhez elegendő differenciálni az utóbbi egyenletet. Közben ne feledjük,

hogy 1 f 0 : f(s, x(s), x (s))x (s) + 3 f(s, x(s), x (s))x (s) x (s) 3 f(s, x(s), x (s)) x (s) 3 f(s, x(s), x (s))x (s) x (s) 33 f(s, x(s), x (s))x (s) ( = x (s) f(s, x(s), x (s)) 3 f(s, x(s), x (s))x (s) ) 33 f(s, x(s), x (s))x (s) = 0 Vegyük észre, hogy a második tényező az Euler-Lagrange differenciálegyenletnek a szóban forgó hiányos alapfüggvény esetnek megfelelő alakja. Megmutattuk tehát, hogy ha f nem függ az első változójától, akkor x pontosan abban az esetben megoldása az f(s, x(s), x (s)) x (s) 3 f(s, x(s), x (s)) = c (c R) egyenletnek, ha x konstans vagy x kielégíti az Euler-Lagrange differenciálegyenletet. Írjuk fel, hogyan is néz ki a brachistochron probléma esetén ez a differenciálegyenlet. Mivel 3 f(u, v, w) = 1 v w 1 + w, 3 ezért a 1 + (x ) x 1 x x = c (c R) x 1 + (x ) egyenletre jutunk, ami közös nevezőre való hozás után az 1 x(1 + (x ) ) = c alakra egyszerűsödik. Ebből már egyszerűen kifejezhető x : 1 x c x = c x. Ez nem más, mint egy szeparábilis differenciálegyenlet, amit a szokásos módon tudunk megoldani (s az x függvény változóját jelöli): c x 1 c x dx = ds. A jobb oldali integrálás triviális. A bal oldali integrál kiszámolásához vezessük be az x = 1 c sin u helyettesítést. Megjegyzés: A szóban forgó integrál más módszerrel is könnyen

4 kiszámolható. A javasolt helyettesítés célja az, hogy az eredményt olyan formában kapjuk meg, amit könnyen tudunk értelmezni. Ekkor c x 1 c x dx = 1 sin u sin u cos u du c 1 sin u = 1 sin udu c = 1 1 cos u du c = 1 (u sin u) + d c (d R). Továbbra is a x = 1 u c sin helyettesítésnél maradva s kifejezhető a következőképpen: s = 1 (u sin u) + d. c A d konstanst egyszerűen meghatározhatjuk, ha figyelembe vesszük, hogy x(0) = 0, azaz s = 0 esetén x értéke 0. Ekkor u is 0 és így d is 0, tehát x-re a sin u = 1 cos u s = 1 (u sin u). c azonosság miatt az alábbi előállítás adódik: x = 1 (1 cos u). c A c konstans úgy kell meghatározni, hogy x(a) = b teljesüljön. Összefoglalva: Az optimális pálya annak az x függvénynek a grafikonja, amely grafikon egy paraméteres előállítása ( 1 u c (u sin u), 1 ) c (1 cos u). Ismeretes, hogy ( u sin u, 1 cos u ) a ciklois egy paraméterezése. Az optimális pálya tehát ciklois ív.

A minimálfelület problémája 5 Tekintsünk a síkban egy e egyenest és egyik oldalán vegyünk fel két olyan pontot, amelyeket összekötő egyenes nem merőleges e- re. Kössük össze a két pontot olyan görbékkel, amelyek valamely folytonosan differenciálható függvény grafikonjai. Határozzuk meg azokat a görbéket, amelyeket az e egyenes körül megforgatva minimális felszínű forgásfelülethez jutunk. A megoldás során a brachistochron probléma kapcsán bemutatott utat fogjuk követni. Tekintsünk a kétdimenziós koordinátarendszerben két pontot, P 1 -et és P -t, amelyek koordinátái rendre (x 1, y 1 ), (x, y ). Tegyük fel, hogy y 1, y > 0 és x 1 x. Legyen y : [x 1, x ] R olyan folytonosan differenciálható függvény, amelyik teljesíti az y(x 1 ) = y 1, y(x ) = y feltételeket. A forgásfelület felszínére vonatkozó képlet szerint a minimalizálandó funkcionál: I y = π x x 1 y 1 + (y ). Esetünkben f R 3 R, F(u, v, w) = v 1 + w, ami a brachistochron probléma kapcsán tárgyalt hiányos alapfüggvény esethez tartozik. w Mivel 3 f(u, v, w) = v, ezért a megoldandó differ- 1 + w enciálegyenlet y y 1 + (y ) y 1 + (y ) = c (c R). Átrendezés után: y y = ± c 1, ami egy szétválasztható változójú differenciálegyenlet. egyenletet azt kapjuk, hogy dy = dx. y 1 c Integrálva az A bal oldali integrál az ilyen esetben szokásos y = ch u helyettesítéssel c könnyen számolható. Az eredmény: y = c ch x + k c (c, k R).

6 A c, k paramétereket úgy kell meghatározni, hogy az y(x 1 ) = y 1, y(x ) = y feltételek teljesüljenek. A megoldás tehát egy láncgörbe ív.