Példák.. Geometriai sor. A aq n = a + aq + aq 2 +... 4. SOROK 4. Definíció, konvergencia, divergencia, összeg Definíció. Egy ( ) (szám)sorozat elemeit az összeadás jelével összekapcsolva kapott a + a 2 +... vagy (röviden ) összeget (szám)sornak (vagy numerikus sornak) nevezzük. a sor n-edik (vagy általános) tagja, pedig a sor n-edik részletösszege. s n := a + a 2 + + = n a k (n N) A sort konvergensnek nevezzük, ha részletösszegeinek (s n ) sorozata konvergens, a s n = s határértéket a sor összegének nevezzük és azt irjuk, hogy := k= k A sort divergensnek nevezzük, hem konvergens. = s, azaz k. Megjegyzések.. Az összegezés kezdődhet n = 0-val is. Kissé zavaró, hogy a sort és (konvergens sor esetén) az összegét is ugyanazzal a szimbólummal jelöltük. Ezt elkerülendő a sorokra inkább a (ill. ha az összegzés n = 0-val kezdődik a ) jelölést használjuk, a sor összegét pedig inkább -nel jelöljük majd. 0 2. Ha egy sorban véges sok tagot megváltoztatunk, a sorból véges sok tagot elhagyunk, vagy véges sok tagot a sorhoz hozzáveszünk, akkor a sor konvergenciája/divergenciájem változik, az összege viszont változhat! Ez abból következik, hogy ha az eredeti sor részletösszegeinek sorozata (s n ), akkor a fenti változtatások után kapott sor (S n ) részletösszegeire S n = s n + A h > n 0 teljesül, valamilyen A R és n 0 N mellett, ahol A az új (megváltoztatott) tagok és a régiek különbsége. Innen látható, hogy (s n ) és (S n ) vagy mindketten konvergensek vagy divergensek, konvergencia esetén viszont azaz az összegek eltérése A. S n = s n + A Divergens sornak természetesen nincs összege (bár, ha s n ( ) akkor szokás azt mondani, hogy a sor összege ( ). sort, ahol a 0, a R, q R geometriai sornak nevezzük. a a sor első tagja, q a sor hányadosa, vagy kvociense. Vizsgáljuk meg e sor konvergenciáját. A részletösszegek sorozata s n = a + aq + + aq n (n N)
2 amit q-val megszorozva így kivonással s n q = aq + + aq n + aq n, s n s n q = a aq n vagy s n ( q) = a( q n ), amiből (a q és q = eseteket szétválasztva kapjuk, hogy a( q n ), ha q, s n = q na, ha q =. Figyelembevéve a (q n ) sorozat viselkedését kapjuk, hogy a, ha q <, q s n divergens, ha q >, vagy q, divergens, ha q =. Ezzel igazolást nyert a következő Állítás. [geometriai sor konvergenciája] A aq n = a + aq + aq 2 +..., (a 0, a, q R) geometiai sor akkor és csakis akkor konvergens, ha q < és akkor a sor összege s = a első tag = q kvociens. 2. Harmónikus sor. A n = + 2 + +... sort harmónikus sornak nevezzük. 3 Állítás. [harmónikus sor divergenciája] A harmónikus sor divergens. Bizonyítás. Vegyük észre, hogy a sor s 2 n alakú részletösszegeire s 2 = + 2 = 3 2 s 2 2 = s 2 + ( 3 + ) 4 > 3 2 + 2 4 = 4 2 s 2 3 = s 2 2 + ( 5 + 6 + 7 + ) 8 > 4 2 + 22 8 = 5 2 s 2 4 = s 2 3 + ( 9 + 0 + + ) 6 > 5 2 + 23 6 = 6 2 áll fenn, és indukcióval könnyen igazolható, hogy s 2 n > n + 2 (n = 2, 3,... ) 2 így s 2 n (n ) amiből (s n ) szigorú monoton növekedése miatt s n (n ), igazolva állításunkat. Tétel. [sor konvergenciájának szükséges feltétele] Konvergens sor általános tagjullához konvergál. Azaz, ha a sor konvergens, akkor = 0. Így, ha ( ) divergens, vagy ha ( ) konvergens, de határértéke nem 0, akkor a sor divergens. Bizonyítás. Világos, hogy = s n s n így konvergens sor esetén s n s, s n s miatt s s = 0 amint állítottuk. Ha 0 akkor a sor lehet konvergens is és divergens is, utóbbira példa a harmónikus sor. A továbbiakban a sorokat tagjaik előjele szerint osztályozzuk, és vizsgáljuk.
3 Definíciók. Egy sort alternáló sornak nevezzünk, ha tagjainak előjele váltakozik (pozitív tagot negatív tag követ vagy fordítva). Egy sort pozitív (negatív) tagú sornak nevezzünk, ha tagjai pozitívok (negatívok). Tetszőleges előjelű tagok esetén a sor tagjainak az abszolút értékeiből alkotott sort vizsgáljuk. Alternáló sorokra vonatkozik Leibniz tétele. [elegendő feltétel alternáló sorok konvergenciájára] A ( ) n+ ( 0, n N) alternáló sor konvergens, ha ( ) monoton csökkenően tart nullához, és ekkor a sor s összegére, és részletösszegeinek (s n ) sorozatára érvényes az s s n + (n N) becslés. Bizonyítás. ( ) monoton csökkenése miatt s 2n+ = s 2n + ( ) 2n+ a 2n + ( ) 2n+2 a 2n+ = s 2n + ( a 2n + a 2n+ ) s 2n s 2n+2 = s 2n + ( ) 2n+2 a 2n+ + ( ) 2n+3 a 2n+2 = s 2n + (a 2n+ a 2n+2 ) s 2n s 2n = s 2n + ( ) 2n+ a 2n = s 2n a 2n s 2n azaz (s 2n ) monoton csökkenő, (s 2n ) monoton növekvő, és s 2n s 2n, amiből egy [s 2, s ] [s 4, s 3 ] [s 6, s 5 ]... intervallumskatulyázást kapunk, ahol az intervallumok (Cantor tétele szerint nemüres) metszete csak egy pontból állhat, mert az intervallumok s 2n s 2n = ( ) 2n+ a 2n = a 2n 0 (n ) hosszullához tart. Legyen s a fenti intervallumok egyetlen közös pontja, akkor s 2n s, s 2n s (n ) ezért s n s (n ) igazolva a konvergenciára vonatkozó állítást. A becslés igazolása: s s n = ( ) n+2 + + ( ) n+3 +2 + ( ) n+4 +3 + ( ) n+5 +4 + ( ) n+6 +5... = (+ +2 ) + (+3 +4 ) + (+5 +6 ) +... = (+ +2 ) + (+3 +4 ) + (+5 +6 ) +... = + [(+2 +3 ) + (+4 +5 ) +... ] +. Itt a második sorban az abszolút érték elhagyható, mivel a tagok összege nemnegatív, az utolsó sorban levő egyenlőtlenség pedig azért igaz, mert a szögletes zárójelben levő összeg nemnegatív. Példa. A ( ) n+ n = 2 + 3 4 +... sor konvergens, mert = n 0 (n ) (csökkenően). Érdekes megjegyezni, hogy e sor összege ln 2. 4.2 Pozitív tagú sorok A sort akkor neveztük pozitív tagúnak, ha > 0 (n N) teljesül. Ilyen sorok részletösszegeire s n+ = s n + + > s n (n N), azaz a részletösszegek sorozata monoton növekvő, ezért (s n ) akkor és csakis akkor konvergens ha felülről korlátos. Ezért pozitív tagú sor akkor és csakis akkor konvergens ha részletösszegeinek a sorozata felülről korlátos. Ez a megállapítás az alapja a konvergenciakritériumok (vagy konvergenciatesztek) bizonyításának.
4 és Tétel. [majoráns- minoráns teszt] Ha 0 < b n (k N) () bn sor konvergens, akkor a sor is konvergens, (2) ha a sor divergens, akkor a b n sor is divergens. Megjegyzés. Azt mondjuk, hogy a b n sor majorálja a sort (vagy ami ugyanaz, a sor minorálja a b n sort) ha b n (n N). Bizonyítás. Jelölje (s n (a)) a sor részletösszegeinek sorozatát, (s n (b)) pedig a b n sor részletösszegeinek sorozatát, akkor (3) s n (a) s n (b) (n N). Az () esetben a b n sor konvergens, így (s n (b)) felülről korlátos, (3) miatt (s n (a)) is felülről korlátos, ezért an sor konvergens. A (2) esetben a sor divergens, így (s n (a)) felülről nem korlátos, (3) miatt (s n (b)) sem korlátos felülről, ezért b n sor divergens. Tétel. [hányados vagy D Alembert teszt] Legyen pozitív tagú sor. (4) Ha + q < (n N) akkor a sor konvergens, (5) ha + (n N) akkor a sor divergens. Ezt a tételt egy másik alakban (eszes alak) is kimondjuk. Legyen pozitív tagú sor és tegyük fel, hogy k (i) Ha L < akkor a sor konvergens, (ii) ha L > akkor a sor divergens, + = L (L R b ). (iii) ha L = akkor a sor lehet konvergens, és lehet divergens is. Bizonyítás. Ha (4) teljesül, akkor az a 2 q, a 3 q, a 4 q,..., q a a 2 a 3 egyenlőltlenségeket összeszorozva kapjuk, hogy a q n, amiből a q n (n N). Ez azt jelenti, hogy a sort a a q n konvergens (mert 0 q < miatt q < ) geometriai sor majorálja, így a majoráns teszt alapján a sor konvergens. Ha (5) teljesül, akkor + miatt a konvergencia szükséges feltétele, az 0 (n ) feltétel nem teljesül, a sor divergens.
A eszes alak bizonyítása. Ha (i) teljesül akkor legyen r = L > 0. Az L határérték r sugarú környezete ( ) 2 an+ -nél kisebb értékeket tartalmaz, e környezetén kívül az sorozatnak csak véges sok eleme van, így + q (:= L + r < ) h n 0 valamely n 0 mellett, így (4) véges sok index kivételével teljesül, a 4. szakasz 2. megjegyzése alapján következik állításunk. (ii) mellett hasonló gondolatmenettel kapjuk, hogy (5) véges sok index kivételével teljesül, amiből következik, hogy ( ) nem tarthat 0-hoz, a sor divergens. (iii) Végül, a harmónikus sornál L = és e sor divergens, a sor konvergens, és e sornál szintén L =. n2 Utóbbi sor konvergenciája pl. abból következik, hogy 2 + 2 2 + 3 2 + + n 2 + 2 + 2 3 + + (n ) n így a részletösszegek sorozata korlátos, a sor konvergens. Tétel. [gyök vagy Cauchy teszt] Tegyük fel, hogy 0 (n N). ( = + ) ( + 2 2 ) ( + + 3 n ) = 2 n n < 2 (6) H q < (n N) akkor a sor konvergens, (7) h (n N) akkor a sor divergens. Ezt a tételt is kimondjuk eszes alakban. Legyen 0 (n N), és tegyük fel, hogy (j) Ha L < akkor a sor konvergens, (jj) ha L > akkor a sor divergens, n an = L (L R b ). (jjj) ha L = akkor a sor lehet konvergens, és lehet divergens is. Bizonyítás. Ha (6) teljesül, akkor az q n, (n N) ami azt jelenti, hogy a sort a q n konvergens geometriai sor majorálja, így a majoráns teszt alapján a sor konvergens. Ha (7) teljesül, akkor miatt a konvergencia szükséges feltétele, az 0 (n ) feltétel, nem teljesül, a sor divergens. A eszes alak bizonyítása. Ha (j) teljesül akkor legyen r = L > 0. Az L határérték r sugarú környezete 2 -nél kisebb értékeket tartalmaz, e környezetén ívül az ( n ) sorozatnak csak véges sok eleme van, így n an q (:= L + r < ) h n 0 valamely n 0 mellett, így (6) véges sok index kivételével teljesül, a 4. szakasz 2. megjegyzése alapján adódik állításunk. (jj) mellett hasonló gondolatmenettel kapjuk, hogy (7) véges sok index kivételével teljesül, amiből következik, hogy ( ) nem tarthat 0-hoz, a sor divergens. (jjj) Végül, a harmónikus sornál L = és e sor divergens, a sor konvergens, és e sornál szintén L =. n2 5
6 Igazolható, hogy a gyök teszt erősebb, mint a hányados teszt (azaz, ha a hányados teszt eldönti a konvergenciát/divergenciát akkor ugyanezt teszi a gyök teszt is), a hányados teszt alkalmazása viszont általában egyszerűbb. Példák.. A 2n n! sor konvergens, mert a hányados teszt eszes alakját alkalmazva + = 2n+ (n + )! n! 2 n = 2 n + 0 = L <. 2. A ahol p R (hiperharmonikus) sor divergens, ha p 0, mert ekkor az általános tag nem tart 0-hoz. np p > 0 mellett mind a hányados, mind a gyök teszt eszes alakja L = -et ad, segítségükkel a konvergencia nem dönthető el. A Cauchy-féle kondenzációs teszt segítségével (ld. pl Lajkó jegyzet) kaphatjuk, hogy A (p R) sor akkor és csakis akkor konvergens, ha p >. np Ugyancsak ezzel a teszttel adódik, hogy A (p R) sor akkor és csakis akkor konvergens, ha p >. 2 n(ln n) p kezdenünk, mivel ln = 0. Itt az összegezést n = 2-nél kell 4.3 Abszolút konvergencia, műveletek sorokkal Definíciók. A sort abszolút konvergensnek nevezzük, ha a sor konvergens. A sort feltételesen konvergensnek nevezzük, ha a sor konvergens de nem abszolút konvergens. Igazolható, hogy abszolút konvergens sor konvergens, a fordított állítás viszont nem igaz, amint ezt a ( ) n+ sor mutatja. Utóbbi sor feltételesen konvergens. n Az abszolút konvergencia eldöntésere alkalmazhatók az elő ző szakaszban tárgyalt tesztek. Ha 0 (n N) és + < akkor a sor abszolút konvergens, ha + akkor a sor divergens. Ha n an < akkor a sor abszolút konvergens, ha n ha an akkor a sor divergens. Legyen egy adott sor és ϕ : N N egy bijektív leképezése N-nek önmagára, akkor a a ϕ(n) sort a an sor (ϕ) bijekcióhoz tartozó) átrendezésének nevezzük. Például a 2 + 3 4 + 5 6 +...
7 sor egy átrendezése a + 3 2 + 5 + 7 4 +... sor, ahol két pozitív tagot egy negatív tag követ. Az abszolút konvergens sorok fontos tulajdonsága, az, hogy bármely átrendezésük is konvergens, és az átrendezett sor összege megegyezik az eredeti sor összegével. Feltételesen konvergens sorokra ez nem igaz, sőt, feltételesen konvergens sornak van olyan átrendezése, mely divergens, vagy melynek összege egy tetszőlegesen előírt szám. Könnyű belátni, hogy konvergens sor tetszőlegesen zárójelezhető, és a zárójelezett sor összege egyenlő az eredeti sor összegével. Továbbá (a sorozatokra vonatkozó műveleti tulajdonságok miatt) konvergens sorok összegsora (a tagok összeadásával keletkező sor) és konvergens sor számszorosa is konvergens és összegük a kiinduló sorok összege és számszorosa, azaz, ha, b n konvergensek, c R akkor a ( + b n ), (c ) is konvergensek és ( + b n ) = + b n, (c ) = c. A sorok szorzása lényegesen komplikáltabb. Definíció. A és b n sorok Cauchy-féle szorzatsora a c n sor, melynek tagjai 0 0 0 n c n := a 0 b n + a b n + + b 0 = a k b n k. k=0 Abszolút konvergens sorok Cauchy-féle szorzatsora is abszolút konvergens, és összege a tényezősorok összegének szorzata. 4.4 Függvénysorok, hatványsorok Definíciók. Ha egy sor tagjai (azonos halmazon értelmezett) függvények, akkor a sort függvénysornak nevezzük. Legyenek f n : D R R (n N) a valós számok D részhalmazán értelmezett függvények. A f n (x) függvénysor konvergenciahalmazát/divergenciahalmazát azon x D pontok alkotják melyekre a sor konvergens/divergens. A konvergenciahalmaz pontjaiban értelmezhető a sor összegfüggvénye (mint a részletösszegek határértéke). Definíció. A (x a) n alakú függvénysort hatványsornak nevezzük. az n-edik együttható, a pedig 0 a sorfejtés középpontja. Vizsgáljuk meg a (x a) n hatványsor abszolút konvergenciáját a gyökteszttel. Ha n an (x a) n = x a n () x a L 0 < a hatványsor abszolút konvergens, > a hatványsor divergens, ahol feltételeztük, hogy az ( n ) sorozatnak létezik az L határértéke, 0 L.
8. L = 0 esetén x a L = 0(<,) így a hatványsor minden x R mellett abszolút ( konvergens. ) 2. 0 < L < esetén x a L < (> ) akkor és csakis akkor, ha x a < L > L, ezért x a < L esetén a sor abszolút konvergens, míg x a > L mellett a sor divergens. 3. L = esetén x a L = > ha x a, így ekkor a sor divergens, míg x = a esetén a sor nyilván konvergens (ugyanis ulladik tag kivételével az összes tag nulla). Definíció. Az bővített valós számot a 0 r := L = n an ( ) 0 :=, := 0 (x a) n hatványsor konvergenciasugarának nevezzük. Az előbbiek alapján állíthatjuk: Ha x a < r, akkor hatványsorunk abszolút konvergens, ha x a > r, akkor hatványsorunk divergens. Példa. A geometriai sor esetén a konvergenciasugár r =. + x + x 2 + = x ha x <