Sorozatok, sorozatok konvergenciája Elméleti áttekintés Minden konvergens sorozat korlátos Minden monoton és korlátos sorozat konvergens Legyen a n ) n egy sorozat és ϕ : N N egy szigorúan növekvő függvény Az a ϕn) )n sorozatot az a n) n részsorozatának nevezzük Ha egy sorozat konvergens, akkor minden részsorozata konvergens és határértéke megegyezik az eredeti sorozat határértékével Tehát, ha egy sorozatnak van két konvergens részsorozata, amelyek határértéke különbözik, akkor az eredeti sorozat divergens Cauchy konvergencia kritériuma Az a n ) n sorozat pontosan akkor konvergens, ha minden ε pozitív számhoz létezik olyan N ε küszöbszám, hogy minden m, n > N ε esetén a m a n < ε Műveletek konvergens sorozatokkal Legyen a n ) n és b n ) n két konvergens sorozat, c R és a > 0 Ekkor a n + b n ) = a n + b n, c a n) = c a n, a n b n ) = a n b n, = a b n abn Tegyük fel, hogy b n 0 minden n esetén és b n 0 Ekkor a a n n = b n b n Ha b n ) n egy pozitív tagú sorozat, akkor ) ban n = b a n n Legyen a n ) n egy nullához tartó konvergens sorozat és b n ) n egy korlátos sorozat Ekkor a a n b n ) n sorozat konvergens és a nb n ) = 0 Ha a n ) n egy konvergens sorozat és b n ) n egy divergens sorozat, akkor a n + b n ) n divergens
Fogó tétel Ha egy b n ) n sorozat esetén létezik két a n ) n és c n ) n konvergens sorozat és N > 0 természetes szám úgy, hogy a n = c n és a n b n c n minden n > N esetén, akkor a b n ) n sorozat konvergens és b n = a n = c n A fogó tételhez hasonlóan, ha a n = + a n = ) és a n b n a n b n ), akkor b n = + b n = ) Hányados kritérium Ha az a n ) n pozitív tagú sorozat fennáll, hogy a n+ = l akkor igazak a következő állítások: a n ha l < akkor az a n ) n sorozat konvergens és a n = 0; 2 ha l < akkor az a + a 2 + + a n ) n sorozat konvergens; 3 ha l > akkor az a n ) n sorozat divergens és a n = + ; 4 ha l > akkor az a + + a n ) n sorozat divergens; 5 ha l = akkor az a n ) n sorozat lehet konvergens és divergens is Fontosabb határértékek Minden k pozitív természetes szám esetén n k = 0 2 A q n ) n 0 mértani sorozat konvergens, ha q < vagy q = és ebben az esetben { 0, ha q < qn =, ha q = A q >, illetve a q = esetekben a sorozat divergens 3 Tudva, hogy q esetén + q + + q n = qn+ q könnyen beláthatjuk, hogy az + q + + q n ) n 0 sorozat konvergens, ha q < és ekkor + q + qn ) = Ha q, akkor a sorozat divergens q 4 Legyen P n) = a p n p + +a n+a 0 egy p-ed fokú polinom p ) Ekkor {, ha P n) = ap < 0 +, ha a p > 0 5 Legyen P n) = a p n p + + a n + a 0 egy p-ed fokú, illetve Qn) = b q n q + + b n + b 0 egy q-ad fokú polinom Tegyük fel, hogy Qn) 0 bármely esetén Ekkor a p P n), ha p = q Qn) = b q 0, ha p < q ±, ha p > q 6 Tegyük fel, hogy az a n ) n konvergens sorozat tagjai nem negatívak Ekkor a k a n ) n sorozat konvergens minden k > természetes számra és k an = k a n 2
7 Ha a > 0 akkor n a = 8 Minden c valós szám esetén 9 + n = e, n) n c n n! = 0 ) n = e 0 Ha a n > 0 minden n esetén és a n = 0 akkor + a n) an = e +! + 2! + + ) = e n! Gyakorlatok és feladatok Tanulmányozzuk az ε-os konvergencia kritérium alapján a következő általános tagú sorozatok konvergenciáját Ha konvergens a sorozat, akkor határozzuk meg a határértékűket és a küszöbszámot a) a n = n, b) b n = n 2 c) c n = 0, 99 9, n db 9-es) d) d n = )n n, e) e n = + )n 2 f) f n = 2n n g) g n = 3n 2n + h) h n = 2n2 3n + 3 5n i) i n = n + 2 A Cauchy konvergencia kritérium segítségével igazoljuk, hogy az általános tagú sorozat divergens s n = + 2 + + n 3 Hasonlítsuk az előbbi feladatban szereplő s n ) n>0 sorozatot egy divergens sorozathoz úgy, hogy abból következtethessünk az s n ) n>0 sorozat divergenciája 4 Vizsgáljuk meg, hogy a következő általános tagú sorozatok konvergensek-e Ha konvergensek akkor számítsuk ki a határértéküket n2 + + n a) a n = 4 n3 + n n, b) a n n = n2 n, c) a n = n n 2 n), d) a n = 3 n 6 + n 2, e) a n = n + n, f) a n = 3 2n + 3 3n + 3 2n 5 Számoljuk ki a következő határértékeket: 2n 2 3n + 2n 5 a) 3n 2, b) 7n + 3, c) 3 4n, d) n 2 n 2 +, e) n 3 n 2 + n +, f) 2n 5 + 5n 3 + n 2 n 3
k + 2 k + + n k 6 Számoljuk ki az n k+ határértéket k = 0,, 2, 3, 4 esetén 7 Igazoljuk, hogy az s n = + 2 k + + sorozat konvergens minden k > nk természetes szám esetén 8 Számoljuk ki az a n = nq n sorozat határértékét, ha q < 9 Számoljuk ki a következő általános tagú sorozatok határértékeit: n + 3 2n + 3n + a) a n = 3 n + 2, b) b n = 3, n + 5n + c) c n = 3 n 5 n +, d) d n = 3 n3 + 2 n2 + 5 0 Számoljuk ki a következő határértékeket: 2 n 3 n 2 n a) 5 2 n, b) 4 n, 2 n + 3 n + 4 n 2 n 5 n c) n3 n, d) n5 n n 2 4 n A fogó tételt alkalmazva számoljuk ki a következő általános tagú sorozatok határértékeit: a) a n = n2 + + n2 + 2 + + n2 + n ; b) b n = n 2 + + n 2 + 2 + + n 2 + n ; c) c n = n2 n 3 + + d) d n = n n; e) e n = n 2 n ; f) f n = n2 n 3 + 2 + + cos + cos 2 + + cos n n 2 ; 3 5 2n ) g) g n = 2 4 6 2n 2 Igazoljuk, hogy n2 n 3 + n ; n + + + 2n ) = ln 2 3 Számítsuk ki az n sin n és n cos n határértékeket 4 Számítsuk ki a következő határértékeket: n 2 ) n 3n + n + n n 2 + n + n + 3 n + 2 ) n 2 n n + n) + sin ) n n ) 2n 4
5 Igazoljuk a következő állításokat, ha x n ) n>0 egy nullához tartó sorozat x n > minden n esetén) és a > 0 : e xn a xn ln + x n ) =, = ln a, = n 0 x n n 0 x n n 0 x n 6 Számoljuk ki a következő határértékeket: lg n + 2 n + 3, ln + n )n, 3 +n e n n 2 2, + n) ln n 2ln n2 n ln 2n + 3 n 4 n, 5