Irányítástechnika 2 7. Elıadás Zárt szabályozási körök stabilitása Irodalom - Csáki Frigyes, Bars Ruth: Automatika.1974 - Mórocz István: Irányítástechnika I. Analóg szabályozástechnika. 1996 - Benjamin C. Kuo, Farid Golnaraghi: Automatic Control Systems, 2003 - Aradi Petra, Niedermayer Péter: Szabályozáselmélet segédlet, 2003 - Szilágyi Béla, Juhász Ferencné: Szabályozástechnika. Alapfogalmak. 2009 - Juhász Pál: Irányítástechnika II. Segédlet
Stabilitás fizikai képe Stabilitás: a szabályozási folyamat képes a rendszert érı bármilyen zavarás hatásának kiküszöbölésére, illetve kívánt mértékő csökkentésére. S: stabilis rendszer szabályozott jellemzıje legfeljebb csillapított lengéseket végez. H: stabilitás határesete: állandó amplitúdójú lengések aperiodikus gerjesztés (zavarás) mellett. L: labilis rendszer: a lengések amplitúdója idıben növekvı.
Stabilitás fizikai képe A lengési hajlam forrása: a K hurokerısítés mértéke; az energiatárolós, valamint (fıként) a holtidıs tagok jelenléte.
A stabilitás matematikai megfogalmazása
A stabilitás matematikai megfogalmazása A stabilitás szükséges és elégséges feltétele: az eredı átviteli függvény minden pólusa a negatív félsíkon legyen, azaz a karakterisztikus egyenlet minden gyökének valós része szigorúan negatív legyen. zárt rendszer eredı átviteli függvénye zavarójel átviteli függvénye ( s) Y ( s) Y ( ) 0 1+ 1 2 s = Y v Karakterisztikus egyenlet
A stabilitás matematikai megfogalmazása periodikus labilitás aperiodikus labilitás Az átviteli függvény lehetséges pólus zérus eloszlása
Routh-féle stabilitási kritérium Karakterisztikus egyenlet: Routh séma: A sorok hossza egyre csökken (n -ed fokú polinomhoz n + 1 sor). A rendszer stabilis, ha a karakterisztikus polinom minden együtthatója pozitív és a séma elsı oszlopának minden eleme pozitív. Az elıjelváltások száma egyenlı a jobb félsíkra esı pólusok számával. Nulla megjelenése esetén kis értékő tetszıleges számmal helyettesítve folytatható (ilyenkor a rendszer a stabilitás határán áll, apró modellhibák esetén akár instabil is lehet).
Routh-féle stabilitási kritérium alkalmazása Hatásvázlat: A felnyitott kör átviteli függvénye: A karakterisztikus egyenlet: Például: s( s + 2)( s + 5) s 3 + 7s 2 + K = 0 + 10s + K = 0 K = 24 s s 1 2,3 = 6 = 0.5 ± 0.5 15 j K = 70 s s 1 2,3 = 7 = ± 10 j K = 144 s = 8 s 1 2,3 = 0.5 ± 0.5 71j Routh séma: 1 10 7 K (70-K)/7 K Stabilis, csillapított lengı jelleg Határeset, állandó amplitúdójú lengı jelleg Labilis, növekvı amplitúdójú lengı jelleg A stabilitás feltétele: 0 < K < 70 K = 70 a kritikus körerısítés
Hurwitz-féle stabilitási kritérium Karakterisztikus egyenlet: Hurwitz determináns: A stabilitás szükséges és elégséges feltétele, hogy a karakterisztikus egyenlet valamennyi együtthatója, valamint a n determináns és ennek minden fıátlóra támaszkodó aldeterminánsa pozitív legyen. Például: s 3 + 7s 2 + 10s + K = 0 3 7 K = 1 10 0 = K 70 0 7 0 K ( K ) 7 K 2 = = 70 K 1 = 7 = 7 1 10
Mihajlov-Leonhard stabilitási kritérium Karakterisztikus egyenlet: s = jω behelyettesítéssel: A rendszer akkor stabil, ha a karakterisztikus egyenlet helygörbélye ω: 0 -re pontosan annyi negyeden megy át, amennyi az egyenlet foka.
Egyszerősített Nyquist stabilitási kritérium A zárt rendszer átviteli függvénye: 1+ Y 0 0 ( s) s = σ + Y = jω 0 ( jω) = 1 W ( s) Y 0 - hurokátviteli függvény (a felnyitott kör átviteli függvénye) e ( s) ( s) Y ( s) Y Ye = = 1 + Y 1+ Y e v ( s) ( s) Az egyszerősített Nyquist kritérium alkalmazásának feltétele: Y 0 -nak nincs pozitív valós résző (a képzetes tengelytıl jobbra esı) pólusa. 0 Az egyszerősített Nyquist kritérium: a zárt rendszer akkor stabil, ha Y 0 (jω) jelleggörbén ω = 0 tól ω felé haladva a (-1,0) pont mindig balkézre esik.
Általános Nyquist stabilitási kritérium Alkalmazása akkor szükséges, ha: Y 0 -nak van pozitív valós résző (a képzetes tengelytıl jobbra esı) pólusa. A Cauchy- féle argumentum-elv alapján: ahol N a zárt görbe által körülölelt zérushelyek, P a pólusok száma. Az általános Nyquist kritérium: a zárt rendszer akkor stabil, ha az Y 0 (jω) jelleggörbe ω tıl ω felé haladva a (-1,0) pontot pontosan annyiszor kerüli meg, ahány pozitív valós résző pólusa van Y 0 -nak.
Általános Nyquist stabilitási kritérium A felnyitott kör átviteli függvénye: Pólusai: s 1 = 3.72; s 2,3 = 0.361 ± 1.6j K < 1, instabil K > 1, stabil