(Gyakorló feladatok)

Differenciálszámítás (Gyakorló feladatok) Programtervező matematikus szakos hallgatóknak az Analízis 3. című tárgyhoz Összeállította: Szili László L-Sch -sel hivatkozunk a Leindler Schipp jegyzetre 2004. szeptember

A derivált definíciója és a deriválás technikája F. A definíció alapján vizsgálja meg az alábbi függvényeket deriválhatóság szempontjából, és adja meg a deriváltfüggvényeket is: (a) f() := 3 2 2 + ( R); (b) f() := 3 2 ( R); (c) f() := + ( > ); (d) f() := + 2 2 3 ( > 3); F2. Gyakorolja a deriválás technikáját! (L. a L-Sch 6 8. feladatokat.) F3. Határozza meg az alábbi függvények deriváltját: (a) ( > 0); (b) ( + ) ( > 0); (c) f() := (ln ) ( > ); (d) L-Sch 0. F4. Írja fel az f függvény grafikonjának az 0 abszcisszájú pontjához tartozó érintőegyenesének az egyenletét: (a) f() := + ( R \ }), 0 = 3; (b) f() := + 2 ( R), 0 = 2 ; (c) f() := sin 2 ( R), 0 = /2; (d) f() := ln 2 ( ) ( > ), 0 = 2; (e) f() := ln ( > 0), 0 = e 2. F5. Keressen az y = e egyenletű görbéhez olyan érintőt, amely (a) párhuzamos az 4y = egyenessel, (b) átmegy az origón. F6. Keresse meg az 2 + 2y 2 = egyenletű ellipszisnek azokat a pontjait, amelyekben az érintő meredeksége. F7. Írja fel az alábbi egyenletek által meghatározott síkgörbéknek a megadott pontokhoz tartozó érintőjük egyenletét: (a) y = 2 2, (2, ); (b) y = (e + e 2 ), (0, 2). 2

F8. Bizonyítsa be, hogy az alábbi függvényeknek létezik a jobb oldali és a bal oldali deriváltjuk a 0 pontban, de ezek nem egyenlők, ezért nem deriválhatók ebben a pontban: (a) f() := ( R); (b) f() := e ( R); (c) f() := ln( + ) ( > ). F9. Az értelmezési tartományuk mely pontjában deriválhatók az alábbi függvények? (a, b és c valós paraméterek.) Ahol differenciálhatók, ott számítsa ki a deriváltat. (a) f() := ( R); (b) f() := ( R); (c) f() := ln ( R \ 0}); (d) f() := ( R); + (e) f() := 2 (sign + sign ) ( R); + 2, < 0 (f) f() := (g) f() := 2, 0; a, < 0 (h) f() := (i) f() := e 2, 0; a 2 + b + c, < 0 (j) f() := e, 0; cos, 0 (k) f() := a sin + + b, > 0., < 0 e, 0; 2, Q 2, Q ; F0. Tegyük fel, hogy a g : R R függvény differenciálható. Fejezze ki az f függvény deriváltját g segítségével, ha: (a) f() := 2 g() ( R); (c) f() := g 2 () ( R); (b) f() := g( 2 ) ( R); (d) f() := g(g()) ( R); (e) f() := g(e ) ( R); (f) f() := e g() ( R); (g) f() := g(ln ) ( > 0); (h) f() := ln g() ( R \ y g(y) = 0}). F. Legyenek f : R R + és g : R R + differenciálható függvények. Fejezze ki h -t f és g segítségével, ha f() (a) h() := ( R); (b) h() := f(g(sin )) ( R); g() (c) h() := log f() ( g() ) ( R \ y f(y) = }). 3

F2. Mutassa meg, hogy az f() := 3 + ( R) függvény invertálható, f D, és számítsa ki ( f ) (2)-t. F3. Bizonyítsa be, hogy a Riemann-függvény az értelmezési tartományának egyetlen pontjában sem deriválható. F4. Adjon példát olyan f : R R függvényre, amely differenciálható, de (a) a deriváltfüggvénye nem differenciálható a 0 pontban; (b) a deriváltfüggvénye nem folytonos. F5. Tegyük fel, hogy az f és a g valós-valós függvények, továbbá c int ( D f D g ). Mit lehet mondani az f + g, illetve az f g függvény c-beli deriválhatóságáról, ha (a) f differenciálható c-ben és g nem differenciálható c-ben; (b) f és g egyike sem differenciálható a c pontban? F6. Igaz-e az, hogy ha f, g Dc}, akkor f + g (illetve f g) sem deriválható c-ben? F7. Adjon meg olyan f, g : R R függvényeket és olyan c R pontot, amelyekre (a) g Dc} és f Dg(c)} (b) g Dc} és f Dg(c)} (c) g Dc} és f Dg(c)} teljesül, azonban f g Dc}. F8. Legyen f olyan valós-valós függvény, amelynek az értelmezési tartománya az R halmaz. Mutassa meg, hogy ha f deriválható az a R pontban, akkor létezik és véges a lim (n ( f(a + n + n ) f(a))) határérték. Ennek a határértéknek a létezéséből következik-e az, hogy f Da}? F9. Bizonyítsa be, hogy ha f Da}, akkor f(a + h) f(a h) lim h 0 2h = f (a). Ha egy f : R R függvényre az a R pontban létezik és véges a fenti határérték, akkor igaz-e az, hogy f Da}? 4

F20. Határozza meg az alábbi magasabbrendű deriváltakat (n N paraméter): (a) f() := 2 ln ( R + ), f (2) () = ; (b) ( e ) (n) ( R); (c) ( ) (n) ( R \ }); (d) sin (n), sh (n), (e) cos (n), ch (n) ; (f) f() := ln( + ) ( (, + )), f (n) () = ; e /2, ha R \ 0} (g) f() :=, f (n) (0) =. 0, ha = 0 F2. Leibniz-féle szabály: Legyen f, g D n a} (n = 0,, 2,...). Igazolja, hogy ekkor f g D n a}, és (f g) (n) (a) = n k=0 ( ) n f (k) (a)g (n k) (a). k Összeg és határérték meghatározása, hatványsorba fejtés a deriválás technikájával F22. Írja fel zárt alakban az alábbi összegeket: (a) F () := + 2 + 3 2 + + n n (b) G() := + 2 2 + 3 2 2 + + n 2 n F23. Számítsa ki az alábbi sorok összegét: ( R); ( R). (a) k k ( < < ); (b) k 2 k ( < ); k= k= (c) k=0 2k + 2 k. ( F24. Az ln = egyenlőség felhasználásával mutassa meg, hogy lim + + ) = e. F25. Határozza meg a következő határértékeket: 4 6 + h 2 sin( ) (a) lim ; (b) lim h 0 h 2 + 2. F26. Állítsa elő az f() := ( R \ }) függvényt egy alkalmas intervallumban a 0 pont körüli hatványsor ( ) 3 összegfüggvényeként. 5

F27. Bizonyítsa be, hogy (a) ln( + ) = + n= (b) ln( ) = + (c) n= 2 ln + = + n=0 n n ( ) n n 2n+ 2n + n ( < ); ( < ); ( < ). Függvényvizsgálat I. (Középértéktételek; függvény monotonitása és a derivált kapcsolata; lokális szélsőérték szükséges, illetve elégséges feltétele.) F28. Bizonyítsa be, hogy ha egy intervallumon értelmezett valós-valós függvény az értelmezési tartományának minden pontjában lokálisan növekedő, akkor a függvény monoton növő. F29. Legyen az f : (a, b) R függvény deriválható (a, b)-n. Bizonyítsa be, hogy f akkor és csak akkor szigorúan monoton növekedő (a, b)-n, ha f () 0 minden (a, b) esetén és nem létezik olyan (c, d) részintervalluma (a, b)-nek, hogy f () = 0 minden (c, d) pontban. Keressen szükséges és elégséges feltételt a szigorú monoton csökkenésre. F30. Adja meg azokat a legbővebb intervallumokat, amelyeken az f függvény szigorúan monoton: (a) f() := 2 ( 3) ( R); (b) f() := e 2 ( R); (c) f() := ( 3) ( > 0); (d) f() := e ( R); (e) f() := 2e 2 4 ( R); (f) f() := ln ( R + ); (g) f() := ( R \ 2, 8}); 2 6 6 (h) f() := e ( R \ 0}); 2 (i) f() := ln ( >, 0); ( + ) 3 (j) f() := 2 3 + ( R, 0, ). 6

F3. Határozza meg az alábbi függvények lokális szélsőértékhelyeit: (a) f() := 3 3 2 + 3 + 2 ( R); (b) f() := ln( + ) ( (, + ); (c) f() := ( R); + 2 (d) f() := 2 2 5 + 6 ( R \ 2, 3}). F32. Mutassa meg, hogy az f() := 3 + ( R) függvény invertálható, f D, és számítsa ki ( f ) (2)-t. F33. Bizonyítsa be, hogy az f() := +e ( R) függvény invertálható, f D 2, és számítsa ki ( f ) ()-et. F34. Bizonyítsa be, hogy van olyan differenciálható h : R R függvény, amelyik minden valós számra teljesíti a h( 3 + 3 + ) = 3 2 + egyenletet. F35. Legyen f() := ( + )( + 2)( + 3) ( R). Igazolja, hogy az f () = 0 egyenletnek három valós gyöke van. A feladat általánosításaként bizonyítsa be, hogy ha P egy olyan valós együtthatós polinom, amelynek minden gyöke valós, akkor minden olyan n N esetén, amelyre n < grad P a P (n) polinomnak is csak valós gyökei vannak. F36. Igazolja, hogy ha P egy legfeljebb n-edfokú polinom, akkor az e P () = 0 egyenletnek legfeljebb (n + ) valós gyöke van. F37. Határozza meg az (a, b) intervallumnak azt a ξ pontját, amelyben az f() := 2 ( R) függvény grafikonjának az érintője párhuzamos az ( a, f(a) ) és ( b, f(b) ) pontokat összekötő szelővel. F38. Legyen f() := 2 + 2, g() := 3 ( [, 2]). Határozza meg azt a ξ (, 2) pontot, amelyre f(2) f() (ξ) g(2) g() g (ξ) F39. Tegyük fel, hogy az f : R R függvényre fennáll az f() f(y) ( y) 2 (, y R) egyenlőtlenség. Bizonyítsa be, hogy ekkor van olyan c valós szám, hogy f() = c minden valós számra. F40. Lássa be, hogy ha az f : R R függvény deriválható és a deriváltfüggvénye korlátos R-en, akkor f egyenletesen folytonos R-en. 7

F4. Legyen n N, és válasszunk meg olyan c 0, c,..., c n valós számokat, amelyekre c 0 n + + c n + + c n = 0. Bizonyítsa be, hogy ekkor a p() := c 0 n +c n + +c n ( R) polinomnak van zérushelye a (0, ) intervallumban. F42. Legyen n N, f : [a, b] R n-szer deriválható az (a, b) intervallumon és folytonos [a, b]-n. Bizonyítsa be, hogy ha f-nek (n ) zérushelye van (a, b)- ben, továbbá f(a) = f(b) = 0, akkor van olyan ξ (a, b), amelyre f (n) (ξ) = 0. F43. Tegyük fel, hogy az f, g : (a, b) R függvények differenciálhatók az (a, b) intervallumban és f () = g () minden (a, b) esetén. Igazolja, hogy ekkor van olyan c R, amellyel f() = g() + c ( (a, b)) teljesül. F44. Tegyük fel, hogy az f, g : [a, b) R függvények deriválhatók az (a, b) intervallumon, f(a) = g(a), valamint f () > g () ( (a, b)). Mutassa meg, hogy ekkor fennáll az f() > g() ( (a, b)) egyenlőtlenség is. (Néhány esetben a deriváltfüggvények közötti egyenlőtlenséget egyszerűbb belátni, mint a függvények közötti egyenlőtlenséget.) F45. Igazolja az alábbi egyenlőtlenségeket: (a) + < e ( R \ 0}); (b) 2 2 < ln( + ) < ( R+ ); (c) + < ln( + ) < ( R+ ); (d) + < + 2 ( R+ ); (e) 2 2 < cos ( R \ 0}). F46. Legyen az f : R R olyan differenciálható függvény, amelyre f = f. Mutassa meg, hogy ekkor van olyan λ valós szám, hogy f() = λe ( R). Útmutatás: Az ϕ() = f()e ( R) függvényre ϕ () = 0 ( R) teljesül. 8

F47. Tegyük fel, hogy az f : R R differenciálható függvény deriváltja a 0 pontban nem 0 és a függvényre teljesül az f( + y) = f()f(y) (, y R) függvényegyenlet. Mutassa meg, hogy ekkor van olyan valós α szám, amelyre f() = e α ( R). Útmutatás: Mivel minden R pontban f( + y) f() y = f() f(y), y ezért f () = f()f (0) ( R). ( R). Ekkor ϕ () 0. Legyen α := f (0) és ϕ() := f()e α F48. Van-e olyan f : (, ) R deriválható függvény, amelynek a deriváltja a sign (,) függvény? Elemi függvények F49. Vázolja az alábbi függvények grafikonját: sin, ha R \ 0} (a) f() := 0, ha = 0; sin, ha R \ 0} (b) f() := 0, ha = 0; 2 sin, ha R \ 0} (c) f() := 2 0, ha = 0. Folytonosság és deriválhatóság szempontjából vizsgálja meg ezeket a függvényeket. F50. Adjon meg olyan f : R R folytonos függvényt, amelyik valamely pontban balról deriválható, de jobbról nem. (Tekintse például az 0, ha 0 f() := sin, ha > 0 függvényt a 0 pontban.) 9

F5. Mutassa meg, hogy az f() := sin π ( (0, )) függvény nem egyenletesen folytonos a (0, ) intervallumon. F52. Bizonyítsa be, hogy az f() := sin, ha R \ 0} 0, ha = 0 függvény Darbou-tulajdonsású, de nem folytonos. F53. Vázolja az alábbi függvények grafikonját: (a) log 2 ( R \ 2}); (b) log 3 3 2 ( R \ 2}); (c) arcsin( ) + 3 ( [0, 2]); (d) 2 arccos( ) 2 ( [0, 2]); (e) 2arctg ( ) 3 ( R), (f) arcctg ( ) + 3 ( R). F54. Bizonyítsa be, hogy (a) cos(arcsin ) = 2 ( [, ]); (b) sin(arccos ) = 2 ( [, ]); (c) tg (arcsin ) = ( (, )); 2 2 (d) tg (arccos ) = (e) arcsin + arccos = π 2 ( (, ), 0); ( [, ]); (f) tg + ctg = π 2 ( R). F55. Mutassa meg, hogy arcsin(sin ) =, ha [ π 2, π 2 ] π, ha [ π 2, 3π 2 ], arcsin(sin( + 2kπ)) = arcsin(sin ) ( R, k Z). Ennek felhasználásával ábrázolja az függvény grafikonját. R arcsin(sin ) 0

F56. Az arccos(cos ) alkalmas átalakításával vázolja az függvény képét. R arccos(cos ) F57. Bizonyítsa be, hogy minden R esetén arcsin 2 π 2arctg, ha > + = 2arctg, ha 2 π 2arctg, ha <. F58. Mutassa meg, hogy az f függvény invertálható, és határozza meg az inverzét: [ ] (a) f() := π arccos ( 2, ); ( arcsin (2 5) ) (b) f() := tg ( [2, 3]). 3 F59. Bizonyítsa be, hogy: arctg = + n=0 ( ) n 2n+ 2n + ( < < ). F60. Az sh, ch, th, cth, arsh, arch, arth, arcth függvények tulajdonságainak vizsgálata után vázolja a grafikonjukat. F6. Fejezze ki az área függvényeket a ln függvény segítségével. (A következő összefüggések érvényesek: arsh = ln( + + 2 ) ( R), arch = ln( + 2 ) ( ), arth = 2 ln + ( (, )), arcth = 2 ln + ( (, ) (, + )).)

A L Hospital-szabály és a Taylor-sor F62. A L Hospital-szabály alkalmazásával számítsa ki az alábbi határértékeket! (Minden egyes esetben állapítsa meg, hogy milyen típusú kritikus határértékről van szó!) (a) lim 0 sh 3 ; (b) lim 0 ( (c) lim + e n (n N); (d) lim(cos 5) e 2 ; 0 (e) lim 0 ch cos 2 ; (f) lim 0 a a sin 3 (a > 0); (g) lim ; (h) lim ln ln( ); 0 (i) lim 0 (ln (k) lim + ) ; (j) lim 0 tg sin ; n e a (a > 0); (l) lim 2 2 2 ; (m) lim + e/ ; (n) lim 2 e ; ( ) ; (o) lim (p) lim ( ln + + 0+0 ) ; ( ) 2+; (q) (r) lim + e ln. lim + 2 3 2+5 F63. Mutassa meg, hogy az alábbi esetekben a L Hospital-szabály nem alkalmazható, és számítsa ki a keresett határértékeket: (a) lim + (c) lim 0 2 sin tg. sin ch ( + 3) ; (b) lim + sin + ch ( 3) ; F64. Adjon meg olyan f és g differenciálható függvényeket, amelyekre az f/g függvényeknek valamely c pontban létezik határértéke, de az f /g függvénynek nem. F65. Adjon meg olyan f és g differenciálható függvényeket, amelyekre az f /g függvényeknek valamely c pontban létezik határértéke, de az f/g függvénynek nem. ) ; 2

F66. Írja fel a 2 3 + 5 2 + 3 + polinomot az + hatványai szerint. A feladat általánosításaként mutassa meg, hogy ha p egy legfeljebb n-edfokú polinom és a R, akkor minden R esetén p() = n k=0 p (k) (a) ( a) k. k! F67. Határozza meg az alábbi függvények adott pont körüli n-edik Taylor-polinomját: (a) f() := + + 2 + 2 ( R) (n = 3, a = 0); (b) f() := ( > 0) (n = 3, a = ); (c) f() := ( 0) (n = 3, a = ); (d) f() := sin(sin ) ( R) (n = 3, a = 0). F68. Írja fel az alábbi f függvények 0 = 0 körüli n-edik Taylor-polinomját, és határozza meg, hogy a megadott I intervallumon mekkora hibával közelíti meg a Taylor-polinom a függvényt: (a) f := sin, n = 4, I := [ 2, 2 ]; (b) f() := e ( R), n = 2, I = [ 0, 2; 0, 2]; (c) f() := + ( (, + )), n = 2, I = [0, ]; (d) f() := 3 + ( > ), n = 2, I = [0, 4 ]; (e) f() := ln( + ) ( > ), n N, I := [ 0, 0 ]. F69. Adjon becslést az alábbi eltérésekre: (a) e n k (0 ); k=0 k! (b) tg 3 ( 3 0) ; (c) + 2 + 2 (0 ). 8 F70. (a) Az f() := ( > ) függvény 0 pont körüli másodfokú + Taylor-polinomjának felhasználásával számítsa ki egy közelítő értékét, és határozza meg a közelítés hibáját. (b) Az f() := ln( + ) ( > ) függvény 0 pont körüli harmadfokú Taylor-polinomjának felhasználásával számítsa ki ln(/4) egy közelítő értékét, és határozza meg a közelítés hibáját. 2 3 3

F7. Számítsa ki ε-nál kisebb hibával az alábbi számokat a Taylor-formula felhasználásával: (a) e (ε = 0 6 ); (b) sin o (ε = 0 5 ); (c) cos 9 o (ε = 0 5 ); (d) ln, 2 (ε = 0 3 ). F72. Tegyük fel, hogy az f : R R kétszer deriválható függvény, és legyen M k := sup f (k) () } : R (k = 0,, 2). Mutassa meg, hogy M 2 2M 0 M 2. F73. Bizonyítsa be, hogy az f() := e 2, ha R \ 0} 0, ha = 0 függvény végtelen sokszor deriválható a 0 pontban, és a függvény 0 ponthoz tartozó Taylor-sora konvergens a valós számok halmazán, de az összegfüggvénye nem f. F74. Adja meg a következő függvények 0 pont körüli Taylor-sorát: (a) f() := arctg 2 ( R); (b) f() := sin 2 ( R); (c) f() := ln( + ) ( > ); (d) f() := ( < ( 3) ); 5 3 (e) f() := ( R \ 2, 3}). 2 5 + 6 Milyen intervallumon állítja elő a Taylor-sor a függvényt? Függvényvizsgálat II. Szélsőértékszámítás. F75. Mutassa meg, hogy ha f D és f páros (páratlan, periodikus), akkor f páratlan (páros, periodikus). F76. Mutassa meg, hogy ha az f : (a, b) R függvény szigorúan monoton növekedő, akkor az inverze is szigorúan monoton növekedő. F77. Mutassa meg, hogy a lokális szélsőértékre vonatkozó elsőrendű szükséges feltétel nem elégséges. (Tekintse például az f() := 3 ( R) függvényt a 0 pontban.) 4

F78. Mutassa meg, hogy a deriváltfüggvény adott pontbeli előjelváltása nem szükséges (csak elégséges!) feltétele a lokális szélsőérték létezésének. (Tekintse például az 4( 2 + sin f() := ), ha R \ 0} 0 ha = 0 függvényt a 0 pontban.) F79. Legyen f : R R egy differenciálható függvény, c R és f folytonos c-ben. Bizonyítsa be, hogy (a) ha f (c) > 0, akkor c-nek van olyan környezete, amelyen f szigorúan monoton növekedő; (b) ha f (c) < 0, akkor c-nek van olyan környezete, amelyen f szigorúan monoton csökkenő. F80. Igaz-e az, hogy ha f olyan differenciálható függvény, amelynek deriváltja valamely pontban pozitív, akkor ennek a pontnak van olyan környezete, amelyben f monoton? (Tekintse például az + 2 sin 2, ha R \ 0} f() := 0, ha = 0 függvényt a 0 pontban.) F8. Adjon meg olyan H R nemüres nyílt halmazt és olyan f : H R differenciálható függvényt, amelyre f () < 0 minden H esetén, de f nem szigorúan monoton csökkenő H-n. F82. Milyen a, b, c és d valós számok esetén lesz az f() := 2 + 2a + b 2 + 2c + d ( R, 2 + 2c + d 0) függvénynek ( )-ben 2 a lokális maimuma, -ben pedig 4 a lokális minimuma? F83. Milyen p R esetén van az 3 6 2 + 9 + p = 0 egyenletnek pontosan egy valós gyöke? F84. Számítsa ki az alábbi függvények abszolút szélsőértékeit: (a) f() := 3 3 2 + 3 + 2 ( R); (b) f() := 22 3 + 3 2 2 + ( [ 0, 2]); 5

(c) f() := 22 3 + 3 2 2 + ( [, 5]); (d) f() := ln( + ) (e) f() := 2 e (f) f() := 2 + ( > ); ( R); ( R); (g) f() := 3 ( 3); (h) f() := sin 4 + cos 4 (i) f() := 2 + + (j) f() := 2 ( R); ( 2 0); ( [0, π]). F85. Adja meg azokat az intervallumokat, amelyeken f konve, illetve konkáv. Vane a függvénynek infleiós pontja? F86. Igazolja, hogy az (a) f() := 2 3 2 2 + 36 (b) f() := e 2 (4 + ) ( R); ( R); (c) f() := e 2 ( R); (d) f() := ( > 0); (e) f() := ln( + 2 ) ( R); (f) f() := + cos ( R). (0, + ) α (α > ); R e ; (0, + ) ln függvények konveek, a (0, + ) α (0 < α < ); (0, + ) ln függvények pedig konkávok. F87. Bizonyítsa be az alábbi egyenlőtlenségeket: ( + y ) n n + y n (a) < (n > ;, y > 0 és y); 2 2 (b) e +y 2 < e + e y (, y R és y); 2 (c) ( + y) ln + y < ln + y ln y (, y > 0); 2 (d) λ y λ 2 < λ + λ 2 y (, y > 0; λ, λ 2 > 0; és λ + λ 2 = ). 6

F88. Tegyük fel, hogy f : (a, b) R egy konve függvény. Mutassa meg, hogy ekkor (a) f folytonos az egész (a, b) intervallumon; (b) minden (a, b) pontban f balról is és jobbról is deriválható; (c) f az (a, b) intervallum legfeljebb megszámlálható sok pontjának kivételével deriválható. F89. Legyen f : (a, b) R egy konve függvény, c (a, b) és m [f (c), f +(c)]. Mutassa meg, hogy f() m( c) + f(c) minden (a, b) pontban. (Ha f Dc}, akkor ez azt jelenti, hogy az f függvény grafikonja az egész (a, b)-n a (c, f(c)) pontban húzott érintő felett van.) Útmutatás. Ha > c, akkor f() f(c) f c +(c) m, ha < c, akkor f() f(c) c f (c) m. F90. Jensen-egyenlőtlenség. Legyen az f : (a, b) R egy konve függvény, és tegyük fel, hogy Ekkor, 2,..., n (a, b); λ, λ 2,..., λ n > 0 és λ + λ 2 + + λ n =. f(λ + λ 2 2 + + λ n n ) λ f( ) + λ 2 f( 2 ) + + λ n f( n ). Egyenlőség akkor és csak akkor áll fenn, ha f lineáris az k -kat tartalmazó legszűkebb zárt intervallumon. Útmutatás. Feltehetjük, hogy n. Ha c := λ + + λ n n, akkor c n, ezért c (a, b). Ha m [f (c), f +(c)], akkor minden k =,..., n esetén f( k ) m( k c) + f(c) (l. az előző feladatot). Ezeket λ k -val megszorozva, majd a kapott n egyenlőtlenségeket összeadva adódik az állítás. A Jensen-egyenlőtlenségben egyenlőség akkor és csak akkor van, ha az összeadott egyenlőtlenségekben egyenlőség áll fenn. Ez pedig azzal ekvivalens, hogy f() = m( c) + f(c) minden [, n ] esetén. (A feladatot teljes indukcióval is megoldhatjuk.) F9. Legyen n N, k > 0 és λ k > 0 (k =, 2,..., n), továbbá tegyük fel, hogy n λ k =. Mutassa meg, hogy k= n k= λ k k n λ k k, k= 7

és itt egyenlőség akkor és csak akkor teljesül, ha = 2 = = n. Mit állít ez az egyenlőtlenség abban az esetben, ha λ k = minden k =, 2,..., n n esetén? F92. Végezzen teljes függvényvizsgálatot az alábbi függvényeken, és vázolja a grafikonjukat: (a) f() := 2 2 2 3 (b) f() := 3 4 4 3 2 2 + 2 ( R); ( R); (c) f() := 3 + 2 ( R \, }); (d) f() := ( 3) 2 ( R \ 0, 3}); (e) f() := + + (f) f() := 2 + 9 (g) f() := 2 2 5 + 6 (h) f() := + ( ); (j) f() := sin 2 2 cos ( R \, 0}); ( R \ 0}); ( R \ 2, 3}); (i) f() := 2 + ( 2); ( R); (k) f() := e 2 2 ( R); (l) f() := e + e 3 ( R); (m) f() := + 2 ( R); (n) f() := ln( 2 ) ( > ); e 2 (o) f() := arcsin ( ) ( > ); (p) f() := ( > 0); (q) f() := ln ( > 0); 4( 2 + sin (r) f() := ), ha R \ 0} 0 ha = 0. F93. Egységnyi kerületű téglalapok közül melyiknek legnagyobb, illetve legkisebb a területe? F94. A 6 + y = 9 egyenletű egyenesen keressük meg a ( 3, )-hez legközelebbi pontot. F95. Az y 2 2 = 4 egyenletű hiperbolának mely pontja van legközelebb a (2, 0) pothoz? 8

F96. Határozza meg annak az egyenesnek az egyenletét, amelyik átmegy a (3, 5) ponton és az első síknegyedből a legkisebb területű részt vágja le. F97. Legfeljebb mekkora lehet annak a gerendának a hossza, amelyet egy 4 m átmérőjű, kör keresztmetszetű toronyba, egy a torony falán vágott 2 m magas ajtón át bevihetünk? F98. Tekintsünk egy v kezdősebességgel ferdén elhajított testet. Határozzuk meg, hogy a vízszinteshez képest milyen α szög alatt kell elhajítani, hogy a maimális távolságban érjen földet. F99. Mekkora R külső ellenálláson keresztül zárjuk az e elktromos erejü és r belső ellenállású galvánelemet, hogy a külső ellenálláson keletkező I 2 R Joule-féle energia a maimális legyen? F00. Vízszintes síkon álló függőleges falu tartályban m magasságig víz van. A tartály falába a víz szintje alatt mélységbe lyukat ütve a kiáramló víz sebessége 2g (Toricelli törvénye), ahol g a gravitációs állandó. milyen értéke mellett jut el a vízsugár a legmesszebbre? F0. Egy 0m hosszú kötelet két részre vágunk. Az egyik részből négyzetet, a másikból szabályos háromszöget formálunk. Hol kell elvágni a kötelet ahhoz, hogy a a keletkezett négyzet és háromszög együttes területe maimális, illetve minimális legyen? F02. Egy körlemez alakú papírlapból kivágunk egy körcikket, majd a keletkezett éleket egymáshoz csatlakoztatva egy kúpot formálunk. Hogyan tegyük ezt meg ahhoz, hogy a kúp térfogata maimális legyen? F03. Ha egy hal a vízhez képest v sebességgel úszik, akkor időegység alatti energia felhasználása arányos v 3 -nel. Tapasztalatok szerint a vándorló halak (pl. lazac) úgy teszik meg az adott távolságot, hogy energiafelhasználásuk minimális egyen. Ha az u sebességgel folyó vízben a hal v (v > u) sebességgel úszik felfelé, akkor egy adott L távolság megtételéhez szükséges energia E(v) = av 3 L v u, ahol a az arányossági tényező. Határozza meg azt a v értéket, amely mellett E a legkisebb. (Megjegyzés: mérések szerint a halak általában a víz sebességénél 50 százalékkal gyorsabban úsznak.) 9