Eötvö Lóránd Tudományegyetem Termézettudományi Kar A Laplace-tranzformáció é alkalmazáai Szakdolgozat Laczkó Éva Matematika BSc - Matematikai elemz zakirány Témavezet : Bátkai Andrá, Egyetemi docen Alkalmazott Analízi é Számítámatematikai Tanzék 2
Tartalomjegyzék. Bevezeté 4 2. Laplace élete 5 3. A Laplace-tranzformáció 8 3.. Deníció é példák........................ 8 3.2. Néhány elemi tulajdonág.................... 8 3.3. Egyzer alkalmazáok...................... 9 3.4. Dierenciálhatóág é integrálhatóág.............. 5 3.5. További tulajdonágok...................... 24 3.6. Parciáli törtekre bontá módzere................ 27 4. Közönége dierenciálegyenletek 29 4.. El - é máodrend dierenciálegyenletek........... 29 4.2. Magaabbrend» dierenci» legyenletek........... 35 4.3. Dierenciálegyenlet-rendzerek.................. 37 5. Özegzé 39 2
"Világo, hogy a Termézet rendzerének motani állapota a megel z pillanatban fennállott állapot következménye, é ha elképzelünk egy olyan Intelligenciát, amely át tudja tekinteni az Univerzumban található valamennyi létez közötti vizonyokat egy adott pillanatban, úgy ez az Intelligencia képe lenne arra, hogy meghatározza e létez k helyét, mozgáát é általában hatáaikat bármely korábbi vagy kéöbbi pillanatban." (Pierre-Simon de Laplace) 3
. fejezet Bevezeté A dolgozat a Laplace-tranzformáció imertetéével, tulajdonágaival illetve azok alkalmazáaival foglalkozik. El zör Laplace életér l é munkáágáról említek pár zót, majd deniálom a Laplace-tranzformáció fogalmát elemi tulajdonágaival. Ezután néhány függvényre(generátorfüggvényre) alkalmazom a deníciót é kizámolom a integrál egítégével a Laplace-tranzformáltjukat. A Dierenciálhatóág é integrálhatóág cím fejezetben megvizgálom a tranzformáció generátorfüggvényének (f(t)) illetve a tranzformált (F ()) dierenciálhatóágát é integrálhatóágát. Ezután további nem elemi tulajdonágokra nézek példákat, majd imertetem a parciáli törtekre bontá módzerét. Végül a közönége dierenciálegyenletekre (el -, máodrend é magaabbrend dierenciálegyenletekre) vezetek le példákat, legvégül egy zikai példával bemutatom a dierenciálegyenlet-rendzerek megoldáához alkalmazható Laplace-tranzformációt. 4
2. fejezet Laplace élete Pierre-Simon de Laplace 749. márciu 23-án a normandiai Beaumonten-Auge-n zületett. Apja, Pierre Laplace, almabor kereked, anyja, Marie-Anne Sochon, egy jómódú calád mez gazdaági földterület tulajdonoa, Tourgéville, de züleit zegényparaztoknak vallotta. A helyi katonai ikola bejáró diákja volt, ahol hamar kit nt a kíváló emlékez képeégével. Tanulmányai után ugyanitt tanított. Párizba utazáának oka, hogy az adottágainak nem nyújtott eleget a vidéki ikola. D'Alembertnél jelentkezett ajánlóleveleivel, bár a híre enciklopédita nem fogadta Laplace-t. Ekkor kézzel írt levélben kerete fel D'Alembertet, aki a levél olvaáa után Laplace elött kitárta kapuit, ugyani ez az írá a mechanikai elvekr l zólt. Nagyzer értekezé volt, hizen pár nappal ké bb 5
Laplace az École Militaire matematika tanára lett. Ezután gyoran haladt a tudományo karrierje, hizen 24 éveen az akadémia levelez tagja, majd a királyi tüzérég növendékeinek vizgáztatója. 794-ben az École Normale Supérieure analízi tanára, majd a Mértékügyi Hivatal tagja é elnöke. Laplace, a matematiku 776-ben új módzert dolgozott ki Lagrange-zal a közönége dierenciálegyenletek megoldáára való vizavezetére. A máodrend parciáli dierenciálegyenletek között nevezeteé vált a 2 y t 2 a2 2 y x 2, a húrrezgé dierenciálegyenlete. Melyet 77-ben Eulernek ikerült kanoniku alakra hoznia y f(x + at) + ϕ(x at). Laplace ezt a módzert felhaználva megadta a máodrend lineári parciáli dierenciálegyenlet megoldáát: 2 z x + A 2 z 2 x y + B 2 z y + C z 2 x + D z + Ez + F. y 779-ben vezette be a határozott integrál fogalmát, ezért okan cak úgy hívják, hogy "Franciaorzág Newtona". Laplace munkáága a XIX. zázad elején új fordulatot adott a valózín égzámítának. 774-t l e tárgyban gy jtögetett tanulmányok 82-re özeálltak a Théorie analytique de probabilité (A valózín ég analitikai elmélete) cím m vében. 2 évvel ké bb az Eai philoophique de probabilité (A valózín ég lozóai ezéje) cím alkotá i megjelent. Laplace i az el k közt imerte fel, hogy az e x2 dx valózín égi görbe alatti terület pont a π. A normálelzoláal kapcolatban cak Gau nevét zoká említeni, pedig t le függetlenül Laplace i felfedezte. 6
Laplace, a ziku A zikai matematika zámára kiemelked en fonto volt a gravitáció é az elektromo er terek potenciáljának megimerééhez a dierenciálegyenlet. Laplace 787-ben bizonyította be, hogy egy er tér V potenciálfüggvénye kielégíti az alábbi dierenciálegyenletet: V 2 V x 2 + 2 V y 2 + 2 V z 2 A Laplace-féle V dierenciálegyenlet megoldáa a zikában okféle alkalmazára lelt, vagyi zámo kit n matematikut é zikut foglalkoztatott. Laplace, a cillagáz A Mécanique Célete (égi mechanika) el kötetében az el általáno törvényeket fogalmazza meg, mint például, hogy mi az egyenúly a mozgá é a halmazállapot között, míg a máodik könyv az egyeteme gravitáció törvényér l, é a naprendzerbeli úlypontok mozgáairól zól. A legfontoabb matematikai megközelíté itt a felállított dierenciálegyenletek é azok megoldáa, melyek leírják a létrejöv mozgáokat. A máodik kötet foglalkozik a bolygók mechanikai alkalmazáainak tanulmányozáával. 8 után majdnem minden európai tudományo akadémia tagja. A javára kell írni, hogy a atal tudóokat mindig zinte barátággal egítette, valamint tudótárai becülték é tiztelték. Rövid betegekedé után 87 éveen 827. márciu 5-én Párizban hunyt el. Utoló mondata: "Amit tudunk, az vajmi kevé, amit nem tudunk, az roppant ok!" 7
3. fejezet A Laplace-tranzformáció 3.. Deníció é példák A Laplace-tranzformáció az f(t) a t intervallumon értelmezett komplex változó függvényhez hozzárendeli a F () komplex változó függvényt: F () : f(t)e t dt, ahol C é való réze pozitív (azaz Re() > ). Az így el állított komplex változótól függ F függvényt nevezzük az f való változó függvény Laplace-tranzformáltjának. Az f függvényt eredeti függvénynek vagy generátorfüggvénynek nevezik. Szimboliku jelölé: L[f] F. 3.2. Néhány elemi tulajdonág A Laplace-tranzformáció alkalmazáa orán egyzer bb, de fonto tulajdonág a linearitá.. L[c f(t)] c L[f(t)] A c való kontan kiemelhet : L[c f(t)] c f(t)e t dt c f(t)e t dt c L[f(t)] 8
2. L[f (t) + f 2 (t)] L[f (t)] + L[f 2 (t)] Az integrál additívitáa é diztributívitáa miatt: L[f (t) + f 2 (t)] (f (t)e t + f 2 (t)e t )dt (f (t) + f 2 (t))e t dt f (t)e t dt + L[f (t)] + L[f 2 (t)] f 2 (t)e t dt 3.3. Egyzer alkalmazáok A deníció zerint zámítuk ki néhány függvény Laplace-tranzformáltját!. Legyen f(t). Ekkor F () e t dt [ e e t t dt ] t + Vagyi L[], ahol Re() >. A linearitá miatt bármilyen c R kontan eetén L[c] c. 2. Legyen f(t) t n, ahol n N, n 2. Az el állítához el zör parciálian kell integrálnunk, majd felhaználjuk az el z példa eredményét. Ha n, vagyi f(t) t, ekkor parciálian integrálva ( f g f g f g ) F () t e t dt [t e t Vagyi L[t] 2 Re() >. ] t e t dt + [ e t 2 ] t é tetz lege c R eetén L[c t] c 2, ahol 9 2
Ha n 2, azaz f(t) t 2, akkor F () t 2 e t dt [t 2 e t ahol Re() >. 2 t e t dt 2 ] t 2 2 2 3 L[t2 ], 2t e t dt t e t dt 2 L[t] Ha n 3,vagyi f(t) t 3, akkor (parciálian integrálva) ] F () t 3 e t dt [t 3 e t 3t 2 e t dt ahol Re() >. 3 t2 e t dt + 3 t t 2 e t dt 3 L[t2 ] 3 2 3 3 2 4 3 2 4 3! 4 L[t3 ], Bármilyen n eetén telje indukcióval adódik a Laplace-tranzformált, de mot nézzük meg rézleteen: L[t n ] t n e t dt [t n e t ] t n t n e t dt n tn e t dt n t n e t dt n ] ) ([t n e t (n )t n 2 e t t dt n ( ) n tn 2 e t dt n n t n 2 e t dt n n ] ) ([t n 2 e t (n 2)t n 3 e t t dt n n ( ) n 2 tn 3 e t dt n n n 2 t n 3 e t dt...
n n n 2... 4 n n n 2... 4 L[t3 ] n n ahol Re() >. 3. Legyen f(t) e at. t 3 e t dt n 2 n (n ) (n 2)... 4 3!... 4 n! n+ L[tn ],... 4 3! 4 Ekkor F () e at e t dt Tehát L[e a ], ahol Re() >. a [ e e ( a)t ( a)t dt ( a) ] t a 4. Legyen f(t) t n e at, ahol a C, é n N + Ha n, azaz f(t) t e at, ahol a tetz lege való vagy komplex állandó. Itt i parciálian integrálunk: [ t F () ] e ( a)t ( a) 2 t t e at e t dt t e ( a)t dt [ e ( a)t e ( a)t dt ( a) ( a) 2 Tehát L[t e at ] ( a) 2, ahol Re( a) >. Ha n 2, vagyi f(t) t 2 e at, akkor parciálian kell integrálni: F () [ t 2 e ( a)t ( a) t 2 e at e t dt ] t 2t ] t 2 e ( a)t dt e ( a)t ( a) dt t ( a) 2
+ 2 ( a) 2 ( a) t e ( a)t dt t e ( a)t dt 2 a t e at e t dt 2 a L[t eat ] 2 a ( a) 2 2 ( a) 2! 3 ( a) L[t2 e at ], 3 ahol Re( a) >. Telje indukcióval igazolható n 3, mot rézleteen nézzük meg: L[t n e at ] t n e at e t dt [ ] t n e ( a)t ( a) t n n a t n e ( a)t dt e ( a)t n t n ( a) dt ( a) tn e ( a)t dt n t a n e ( a)t dt ([ ] t n e ( a)t ) (n )t n 2 e ( a)t ( a) t ( a) dt ( ) n ( a) tn 2 e ( a)t dt n a n a n a t n 2 e ( a)t dt n a n ([ ] a t n 2 e ( a)t ) (n 2)t n 3 e ( a)t ( a) t ( a) dt n a n ( ) a n 2 ( a) tn 3 e ( a)t dt n a n a n 2 a n a n a n 2 a... 3 a t n 3 e ( a)t dt... t 2 e ( a)t dt n a n a n 2 a... 3 a L[t2 e at ] n a n a n 2 a... 3 a 2! ( a) 3 2
n (n ) (n 2)... 3 2! ( a) ( a) ( a)... ( a) ( a) 3 ahol Re( a) >. n! ( a) n+ L[tn e at ], 5. A trigonometriku függvények Laplace-tranzformáltjai: Legyen f(t) in at, ahol a tetz lege való vagy komplex zám. Itt a kétzeri parciáli integrálá helyett egy okkal könnyebb zámoláal i megkapjuk a tranzformáltat. Ha a in függvényt exponenciáliokkal fejezzük ki. in at eiat e iat 2. Vagyi F () in at e t dt e iat e iat 2 e t dt 2 (eiat e iat ) e t dt 2 2 2 2 ( e iat e t e iat e t) dt e iat e t dt 2 e ( ia)t dt 2 ( e iat e iat) e t dt e iat e t dt e (+ia)t dt [ ] e ( ia)t 2 [ ] e (+ia)t ( ia) t 2 ( + ia) t 2 ia 2 + ia ( 2 ia ) + ia ( ) + ia ( ia) 2 ( ) + ia + ia 2 + a 2 2 2 + a 2 ahol Re( 2 + a 2 ) >. 2 2ia 2 + a 2 ia 2 + a 2, 3
Legyen f(t) co at, a való vagy komplex zám. Az el z ekhez haonlóan felhaználjuk a co at eiat +e iat 2 kifejezét. F () co at e t dt e iat + e iat 2 e t dt 2 (eiat + e iat ) e t dt 2 2 2 2 ( e iat e t + e iat e t) dt e iat e t dt + 2 e ( ia)t dt + 2 ( e iat + e iat) e t dt e iat e t dt e (+ia)t dt [ ] e ( ia)t 2 + [ ] e (+ia)t ( ia) t 2 ( + ia) t 2 ia + 2 + ia ( 2 ia + ) + ia ( ) + ia + ( ia) 2 ( ) + ia + ia 2 + a 2 2 2 + a 2 ahol Re( 2 + a 2 ) >. 2 2 2 + a 2 2 + a 2, 6. A hiperboliku függvények Laplace-tranzformáltjai: f(t) coh at, ahol tetz lege a C (vagy a R) Mivel coh z ez +e z, ezért 2 F () coh at e t dt e at + e at 2 e t dt 2 (e at + e at) e t dt 2 4 ( e at + e at) e t dt
2 2 2 (e at e t + e at e t )dt e at e t dt + 2 e ( a)t dt + 2 e at e t dt e (+a)t dt [ ] e ( a)t 2 + [ ] e (+a)t ( a) t 2 ( + a) t 2 a + 2 + a ( 2 a + ) + a ( ) + a + a 2 2 a 2 2 2 2 a 2 2 a 2 Vagyi L[coh at] 2 a 2, ahol Re( 2 a 2 ) >. Haonlóan m ködik a f(t) inh at függvényre i, cak itt a inh z ez e z helyetteítét kell haználni. Így L[inh at] 2 ( ) 2 a +a a özefüggét kapjuk, ahol Re( 2 a 2 ) >. 2 a 2 3.4. Dierenciálhatóág é integrálhatóág A generátorfüggvény deriváláa Eddig a denícióból zámoltuk ki a függvények Laplace-tranzformáltjait. A továbbiakban olyan eljárát vagy tételt fogunk alkalmazni, amellyel okzor könnyebb el állítani a függvények Laplace-tranzformáltját, mint a denícióból. El zör a függvény deriváltjának Laplace-tranzformáltjával foglalkozunk, amely a denícióból következik: L[f (t)] f() + f (t)e t dt [ f(t)e t] f(t)( )e t dt t f(t)e t dt L[f(t)] f() F () f(), 5
ahol F az f függvény Laplace-tranzformáltja. Vagyi f (t) függvény Laplacetranzformáltja: L[f (t)] L[f(t)] f(), ahol Re() >. A magaabbrend deriváltak Laplace-tranzformáltjait i el tudjuk állítani az el z felhaználáával. L[f (t)] f () + f (t)e t dt [ f (t)e t] f (t)( )e t dt t f (t)e t dt f () + L[f (t)] f () + ( L[f(t)] f()) f () + 2 L[f(t)] f() 2 L[f(t)] f() f (), ahol Re() >. Telje indukcióval igazolható a generátorfüggvény n-edik deriváltjának a Laplacetranzformáltja, ahol n N. L[f (n) (t)] n L[f(t)] n f() n 2 f ()... f (n 2) () f (n ) (), ahol Re() >. Ezt lehet máképp i írni: n L[f (n) (t)] n L[f(t)] n k f (k ) () k Ezeket a formulákat a dierenciálegyenletek é dierenciál-egyenletrendzerek megoldáai orán alkalmazhatjuk. 6
Példák. Az f(t) t függvényt már korábban kizámoltuk a denícióból, akkor L[t] 2 alakot kaptuk, ahol Re() >. Mot az el bb mutatott módzert alkalmazzuk, amihez zükég van a függvény deriváltjára. f (t) (t). A L[f (t)] L[f(t)] f() formulába kell cak behelyetteíteni. Vagyi L[] L[t], ahol Re() >. 2 2. Nézzük az f(t) co at függvényt! Korábban már meghatároztuk a Laplace-tranzformáltját: ahol Re( 2 + a 2 ) > L[co at] 2 + a 2, Valamint zükég van még a függvény deriváltjára: f (t) (co at) a in at Ezekután már cak be kell helyetteítenünk a L[f (t)] L[f(t)] f() képletbe. L[ a in at] L[co at] co(a ) L[co at] co 2 + a 2 2 2 + a 2 2 ( 2 + a 2 ) 2 + a 2 2 2 a 2 2 + a 2 a2 2 + a 2 A linearitá miatt: a L[in at] L[in at] a ahol Re( 2 + a 2 ) >. a2 2 + a 2 / : ( a) a 2 2 + a 2 a 2 a ( 2 + a 2 ) a 2 + a 2, 7
3. Számítuk ki az f(t) in 2 at függvény Laplace-tranzformáltját! Szükég van a függvény deriváltjára: f (t) (in 2 at) 2 in atco at a a2 in at co at a in 2at L[f (t)] L[a in 2at] a L[in 2at] a f() in 2 a in 2 2 2a 2 + 4a 2 2a2 2 + 4a 2 L[f (t)] L[f(t)] f() 2a 2 2 + 4a 2 L[f(t)] 2a 2 2 + 4a 2 L[f(t)] 2a 2 ( 2 + 4a 2 ) L[f(t)] / : Vagyi L[in 2 at] 2a 2 ( 2 +4a 2 ), ahol Re(2 + 4a 2 ) >. A Laplace-tranzformált deriváláa Mot a Laplace-tranzformált deriváltját vizgáljuk meg. A deriválá é integrálá felcerélhet a tranzformált deriváláakor, ha a teljeülnek a zükége feltételek a Laplace-tranzformált létezééhez. d d F () d d f(t) e t dt f(t) d d e t dt t f(t)e t dt L[t f(t)] Vagyi d F () L[t f(t)], ahol Re() >. d f(t) ( t)e t dt d 2 d2 F () d2 d 2 f(t) e t dt 8 f(t) d2 d 2 e t dt
f(t) ( t) 2 e t dt ( ) 2 t 2 f(t)e t dt L[t 2 f(t)] Vagyi d2 d 2 F () L[t 2 f(t)], ahol Re() >. Tekintük tetz lege n N + eetén az n-edrend deriváltat: d n dn F () dn d n f(t) ( t) n e t dt ( ) n f(t) e t dt Vagyi dn d n F () ( ) n L[t n f(t)], ahol Re() >. Példák. Nézzük az f(t) t co at függvényt! f(t) dn d n e t dt t n f(t)e t dt ( ) n L[t n f(t)] Korábbról már tudjuk, hogy L[co at] 2 +a 2 az fenti módzert, vagyi helyetteítünk be a formulába. ( ) d L[t co at] / : ( ) d 2 + a 2 F (). Alkalmazzuk d F () L[t co at] d L[t co at] d ( ) ( ) 2 + a 2 2 d 2 + a 2 ( 2 + a 2 ) 2 ( ) ( ) 2 + a 2 2 2 a 2 2 2 a 2 ( 2 + a 2 ) 2 ( 2 + a 2 ) 2 ( 2 + a 2 ), 2 ahol Re( 2 + a 2 ) >. 2. Számítuk ki az f(t) t 2 inh at függvény tranzformáltját! Tudjuk az F () L[inh at] a 2 a 2 tranzformáltat. Mot a d2 F () ( ) 2 L[t 2 f(t)] formulát alkalmazzuk. d 2 ( ) d 2 a ( ) 2 L[t 2 inh at] d 2 2 a 2 9
Mivel ( ) 2, ezért: L[t 2 inh at] d2 d 2 d d ( 2a ( 2 a 2 ) 2 ) ( a 2 a 2 ) d ( ) ( 2 a 2 ) a (2) d ( 2 a 2 ) 2 2a (2 a 2 ) 2 2a(2 ( 2 a 2 ) 2) ( 2 a 2 ) 4 2a (2 a 2 ) 2 6a 2 ( 2 a 2 ) ( 2 a 2 ) 4 (2 a 2 ) [ 2a( 2 a 2 ) + 6a 2 ] ( 2 a 2 ) ( 2 a 2 ) 3 2a2 + 2a 3 + 6a 2 ( 2 a 2 ) 3 ahol Re( 2 a 2 ) >. 2a3 + 4a 2 ( 2 a 2 ) 3 2a(a2 + 2 2 ) ( 2 a 2 ) 3, 3. Tetz lege n pozitív egéz eetén nézzük az f(t) t n e at függvényt! Az el z fejezetben az e at Laplace-tranzformáltját már kizámoltuk. F () L[e at ] a Ebben a feladatban az n-edik deriváltra vonatkozó formulát alkalmazzuk: d n d n F () ( ) n L[t n f(t)] ( ) d n ( ) n L[t n e at ] / : ( ) n d n a L[t n e at ] ( ) dn n d n ( ( ) dn 2 ( )( 2) n d n 2 ( a) 3 ahol Re( a) >. ( a ) ) ( ) dn n d n ( ) n dn 3 d n 3 ( ) n! n ( )n ( a) n! n+ ( a), n+ 2 ( ) ( ) ( a) 2 ( ) ( )( 2)( 3)... ( a) 4
A generátorfüggvény integrálfüggvénye Egy f függvény primitív függvényének Laplace-tranzformáltjára levezethet egy özefüggé a deriváltakra vonatkozó formula alkalmazáával. Legyen ϕ(t) t f()d a primitív függvény. Tehát ϕ (t) f(t) özefüggéb l adódik a következ formula: L [ϕ (t)] L[f(t)] A deriváltakra vonatkozó módzer alapján: Mivel ϕ() f(t)dt L [ϕ (t)] L[ϕ(t)] ϕ() L[ϕ(t)] L [ϕ (t)] L[ϕ(t)] [ t ] L[f(t)] L f()d / : [ t ] L f()d F () L[f(t)] ahol F az f függvény Laplace-tranzformáltja. Tehát az F tranzformált -el való oztáa azono az f generátorfüggvény integráláával. Példák. Határozzuk meg a ϕ(t) t co ad függvény Laplace-tranzformáltját! Az el bb bemutatott módzer alapján: L[ϕ(t)] L[ co a] L[ co a] 2 a 2 ( 2 + a 2 ) 2 2 a 2 ( 2 + a 2 ) 2, ahol Re( 2 + 2 ) >. 2
2. Határozzuk meg a ϕ(t) t 3 e d függvény Laplace-tranzformáltját! Korábbi példák zerint: L[ϕ(t)] L[3 e ] L[3 e ] 3! ( ) 4 6 ( ) 4, ahol Re() > é Re( ) >. 3. Határozzuk meg a ϕ(t) t in2 ad függvény Laplace-tranzformáltját! Haonlóan az el z ekhez: L[ϕ(t)] L[in2 a] ahol Re( 2 + 4a 2 ) >. L[in2 a] 2 + 2a 2 ( 2 + 4a 2 ) 2 + 2a 2 2 ( 2 + 4a 2 ), A Laplace-tranzformált integráláa A Laplace-tranzformált integrálfüggvényének vizgálatakor i egy érdeke formulát kapunk. [ ] f(t) f(t) L e t dt f(t)dt e t dt t t ( ) f(t) e t dt d F ()d, ahol a d d Példák ( ) e t e t özefüggét haználtuk fel. t. Határozzuk meg az f(t) in at t függvény tranzformáltját! Felhaználva az el bbi módzert: [ ] in at L L[in at]dt t 22 a 2 + a 2 d
a ahol Re() >. ( 2 d a) + a [ ( arctan a)] π ( 2 arctan a [ ( ( ] ( 2 d a) + a arctan a a)) ) arctan ( a ), 2. Határozzuk meg az f(t) in2 at t feladatból már imerjük: L[in 2 at] L[f(t)] L[in 2 at] L[in 2 at]dt függvény tranzformáltját! Korábbi 2a2 ( 2 +4a 2 ) 2a 2 ( 2 + 4a 2 ) 2a 2 ( 2 + 4a 2 ) d Parciáli törtekre kell bontanunk (a módzert ké bb mutatjuk be) 2a 2 ( 2 + 4a 2 ) 2 2 2 + 4a 2 2 4 2 2 + 4a 2 ( 2 ) 4 2 d 2 + 4a 2 2 ln 4 ln 2 + 4a 2 2 4 ln 4 ln 2 + 4a 2 4 ln 2 4 ln 2 + 4a 2 4 ln 2 2 + 4a 2 [ ] in 2 at 2a 2 L t ( 2 + 4a 2 ) d [ ln 2 4 2 + 4a 2 [ ] 4 ln ln 2 2 + 4a 2 4 ln + 4a2 2, ahol Re() >. ] 23
3.5. További tulajdonágok. Eltolá Legyen adott f függvény, ahol a pozitív való zám. { f(t a), ha t a, g(t) :, ha t < a. Vagyi az f függvény a való x tengely mentén való eltoláa a-val jobbra. Nézzük meg g Laplace-tranzformáltját! L[g(t)] g(t) e t dt f(x) e (x+a) dx e a a g(t) e t dt a f(x) e x e a dx f(x) e x dx e a L[f(t)], f(t a) e t dt ahol x t a, t x+a, dt dx helyetteítéeket alkalmaztuk. Vagyi a kapott özefüggé, azaz L[f(t a)] e a L[f(t)] az eltolái tétel. Példák Számítuk ki az alábbi függvények Laplace-tranzformáltját! g : { (t 3) 2, ha t 3;, ha t < 3. Ekkor f(t) t 2 é a 3, valamint már korábban kizámolt a L[t 2 ] 2! 3 tranzformált felhaználáával: L[g(t)] e 2 L[f(t)] e 2 2! 3, ahol Re() >. g : { e b(t a), ha t a;, ha t < a. Itt f(t) e bt, tranzformáltja: L[e bt ] +b. Tehát L[g(t)] e a L[e bt ] e a, ahol Re( + b) >. +b 24
2. Cillapítái tétel Az F ( + a) függvénynek mi a generátorfüggvénye, ha F az f függvény Laplace-tranzformáltja? Az F () f(t) e t dt özefüggéb l következik, hogy F ( + a) f(t) e t e at dt f(t) e (+a)t dt f(t) e t at dt f(t) e at e t dt L[f(t) e at ] A kapott özefüggét, azaz F (+a) L[f(t) e at ] cillapítái tételnek nevezzük, vagy a Laplace-tranzformáltra vonatkozó eltolái tételnek. Példák Számítuk ki az alábbi függvények tranzformáltjait a cillapítái tétel felhaználáával! Legyen f(t) e at coh bt. Korábbról már tudjuk, hogy L[coh bt], Re( 2 b 2 ) >. 2 b 2 Az + a helyetteítéel a következ adódik: L[e at coh bt] ahol Re(( + a) 2 b 2 ) >. + a ( + a) 2 b 2, Legyen f(t) tn inh at. n! Átalakítá után: f(t) tn n! eat e at 2 e at 2n! eat t n 2n! e at t n t n 2n! t n e at 2n! Korábban már beláttuk, hogy L[t n ] n!. Mot a linearitá n+ miatt a, illetve + a helyetteítéekkel a következ t 25
kapjuk: 2 L[f(t)] 2n! n! ( a) n+ 2n! n! ( + a) n+ ( a) n+ 2 ( + a) n+ 2( a) n+ 2( + a) n+ ahol Re( 2 a 2 ) >. ( + a)n+ ( a) n+ 2( 2 a 2 ) n+, 3. Haonlóági tétel Adott az f generátorfüggvény é az F Laplace-tranzformáltja. Ezek alkalmazáával egyzer en át lehet térni egy má argumentumú függvényre, vagyi a haonlóági tétel egítégével. F () L[f(t)] f(t) e t dt, ahol a t helyett α t-t írunk, α pozitív kontan. Özeégében ez egy helyetteítée integrálá, ahol a τ α t, t τ α jelöléel az alábbi kifejezé adódik: L[f(αt)] α f(αt) e t dt Vagyi L[f(αt)] α F ( α). Példa Korábbi imereteink alapján: f(τ) e τ α α dτ f(τ) e τ ( ) α dτ α F α L[t in t] 2 2 + 2 + 2 2 ( 2 + ) 2 ( 2 + ) 26
Mot a haonlóági tételb l: L[t in at] a ( a ) ( 2 ( ) a 2 ) + a 2 2 +a 2 a 2 a 2 a 2 ( 2 +a 2 ) a a 4 2 ( 2 + a 2 ) a 3 2 ( 2 + a 2 ), a 4 ahol Re( 2 + a 2 ) >. 3.6. Parciáli törtekre bontá módzere A racionáli törtfüggvényeket a parciáli törtekre bontá módzerével a legegyzer bb megoldani. Az adott racionáli törtfüggvényt polinomok é réztörtek özegére bontjuk. Példák Számítuk ki a következ F függvények inverz Laplace-tranzformáltját a parciáli törtekre bontá módzerével!. F (), ahol Re() >. ( 2 +) A parciáli törtekre bontá után: mivel F () 2 + 2 2 + 2 + ( 2 +). ( 2 + ) 2 +, Korábbról vizakereve: L [ ] [, illetve L +] co t, ezért [ ] 2 L co t ( 2 + ) 2. F () 2 2 (+2) 3 (3.6..), ahol Re() >. Parciáli törtekre bontá után: F () + 2 4 ( + 2) 2 + 2 ( + 2) 3, 27
mivel 4 + 2 +2 (+2) 2 (+2) [ 3 Korábbi példákból: L (+2)2 4(+2)+2 (+2) 3 (+a) n ] t n e at. Vagyi 2 +4+4 4 8+2 (+2) 3 2 2 (+2) 3. [ ] L [F ()] L + 2 4 ( + 2) + 2 2 ( + 2) 3 L [ + 2 ] L [ 4 ( + 2) 2 ] + L [ ] 2 ( + 2) 3 t e 2t 4 t 2 e 2t + 2 t 3 e 2t (3.6.2.) 3.6.. ábra 3.6.2. ábra 28
4. fejezet Közönége dierenciálegyenletek Az állandó együttható lineári dierenciálegyenletek é dierenciálegyenletrendzerek megoldáa a Laplace-tranzformáció egyik legfontoabb alkalmazáa. 4.. El - é máodrend dierenciálegyenletek El rend egyenletek { aẏ(t) + by(t) f(t) y() y, ahol a, b adott kontanok, f(t) zintén adott függvény é y(t) az imeretlen függvény, t >. A dierenciálhatóág fejezet alatt már láttuk, hogy L[ẏ(t)] L[y(t)] y(). Vagyi aẏ(t) + by(t) f(t) a ( L[y(t)] y()) + b L[y(t)] L[f(t)] a L[y(t)] a y() + b L[y(t)] L[f(t)] a L[y(t)] a y + b L[y(t)] L[f(t)] (a + b) L[y(t)] a y L[f(t)] (a + b) L[y(t)] ay L[f(t)] 29
(a + b) L[y(t)] L[f(t)] + ay L[y(t)] L[f(t)] + ay (a + b) máképp írva: azaz ahol a [L[y(t)] y()] + bl[y(t)] L[f(t)], { L[y(t)] G()[ay() + L[f(t)]], G() [a + b]. Példa Adjuk meg a következ dierenciálegyenlet megoldáát Laplace-tranzformált egítégével! { ẏ(t) + y(t) e t y() Mivel L[e t ] é L[ẏ(t)] L[y(t)] y(), ezért ẏ(t) + y(t) e t L[y(t)] y() + L[y(t)] ( + ) L[y(t)] y() ( + ) L[y(t)] / + ( + ) L[y(t)] + / : ( + ) L[y(t)] + + L[y(t)] ( )( + ) + + 3
Korábbi imereteink alapján: L[y(t)] 2 + + L[y(t)] inh t + e t et e t + e t et e t 2 2 et e t + 2e t 2 et + e t 2 coh t (4...) + 2e t 2 4... ábra Máodrend egyenletek Nézzük az alábbi kezdetiérték-problémát! aÿ(t) + bẏ(t) + cy(t) f(t) y() y ẏ() v, ahol t >, a, b, c adott kontanok, f(t) zintén adott függvény é y(t) az imeretlen függvény. Egy korábbi fejezetb l már tudjuk, hogy L[ẏ(t)] L[y(t)] y(), 3
illetve L[ÿ(t)] 2 L[y(t)] y() ẏ(). Vagyi aÿ(t) + bẏ(t) + cy(t) f(t) a ( 2 L[y(t)] y() ẏ() ) + b ( L[y(t)] y()) + c L[y(t)] L[f(t)] a 2 L[y(t)] a y() a ẏ() +b L[y(t)] b y() +c L[y(t)] L[f(t)] ( a 2 + b + c ) L[y(t)] a + b y() a ẏ() L[f(t)] ( a 2 + b + c ) L[y(t)] (a + b) y a v L[f(t)] ( a 2 + b + c ) L[y(t)] (a + b) y av L[f(t)] / + av ( a 2 + b + c ) L[y(t)] (a + b) y L[f(t)] + av / + (a + b) y ( a 2 + b + c ) L[y(t)] L[f(t)] + av + (a + b) y / : ( a 2 + b + c ) L[y(t)] L[y(t)] L[f(t)] + av + (a + b) y (a 2 + b + c) L[f(t)] (a 2 + b + c) + av (a 2 + b + c) + (a + b) y (a 2 + b + c) Máképp: a[ 2 L[y(t)] y() ẏ()] + b[l[y(t)] y()]cl[y(t)] L[f(t)], ahol { L[y(t)] G()[(a + b)y() + ẏ() + L[f(t)]], G() [ 2 + b + c] 32
Példa Adjuk meg a következ dierenciálegyenlet megoldáát Laplace-tranzformáció egítégével! ÿ(t) ẏ(t) + 25y(t) e 3t ẏ() y() /25 Mivel már tudjuk, hogy L[e 3t ] +3 é L[ẏ(t)] L[y(t)] y(), illetve L[ÿ(t)] 2 L[y(t)] y() ẏ(). Ezért behelyetteítünk: ÿ(t) ẏ(t) + 25y(t) e 3t 2 L[y(t)] y() ẏ() ( L[y(t)] y()) + 25 L[y(t)] + 3 2 L[y(t)] y() ẏ() L[y(t)] + y() + 25 L[y(t)] + 3 ( 2 + 25 ) L[y(t)] ( ) y() ẏ() + 3 ( 2 + 25 ) L[y(t)] ( ) 25 + 3 ( 2 + 25 ) L[y(t)] + 3 + ( ) 25 / + ( ) ( 5) 2 L[y(t)] + 3 + ( ) / : ( 5)2 25 L[y(t)] ( + 3)( 5) 2 + ( ) 25 ( 5) 2 Alkalmazzuk a parciáli törtekre bontá módzerét: Egyrézt ( + 3) ( 5) 2 a + 3 + 33 b 5 + c ( 5) 2 25
a( 5) 2 + b( + 3)( 5) + c( + 3) a( 2 + 25) + b( 2 5 + 3 5) + c + 3c a 2 a + 25a + b 2 2b 5b + c + 3c (a + b) 2 + ( a 2b + c) + 25a 5b + 3c a + b a 2b + c 25a 5b + 3c Az egyenletrendzer megoldáai: a 64, b 64, c 8 ( + 3) ( 5) 2 64 + 3 + 64 5 + 8 ( 5) 2 Márézt ( + 3) ( 5) 2 64 + 3 64 5 + 8 ( ) ( 5) 2 d 5 + e ( 5) 2 d( 5) + e ( 5) 2 d 5d + e { d 5d + e Vagyi a megoldáok: d 5, illetve e 5 Végeredmény: L[y(t)] 64 ( ) ( 5) 2 5 5 + 5 ( 5) 2 ( ) ( 5) 2 5 5 5 ( 5) 2 + 3 64 5 + 8 ( 5) 2 + 5 5 5 ( 5) 2 L[y(t)] 64 e 3t 64 e5t + 8 te5t + 5 e 5t 5 te 5t (4..2.) 34
4..2. ábra 4.2. Magaabbrend dierenciálegyenletek Az n-edrend dierenciálegyenlet i haonlóan m ködik. a n y (n) (t) + a n y (n ) (t) +... + a y (t) + a y(t) f(t), ahol t >. Tehát a következ képletet alkalmazhatjuk az f(t) tranzformációjának a kizámítáára: n L[f n (t)] n L[f(t)] n k f (k ) () k Vagyi picit máképp: ] n k L[f(t)] a k [ k L[y(t)] k l y (l) () + a L[y(t)] F () k l Ha L[y(t)] Y () G() [H() + F ()], ahol H() a kezdeti feltételeket tartalmazó polinom, akkor [ n ] G() a k p k, k 35
n H() y (l) () l n kl+ a k p k l Ekkor a formálian megadott n-edrend dierenciálegyenlet a következ képpen néz ki: { y(t) L [G()H()] + t g(t τ)f(t)dτ, g(t) L [G()]. Példa Ha y (4) + 4y(t) in t, y (3) () y (2) () y () y(), akkor az el z ek zerint Akkor Y () G() 2 +, G() 4 + 4. Y () A megoldá: i 4( i) + i 4( + i) + 3 5i 32( i) + 3 + 5i 32( + i) 3 + 5i 32( + ) 3 5i 32( + + i) y(t) 2 in t + 6 et (3 co t + 5 in t) 6 e t (3 co t 5 in t) (4.2..) 36
4.2.. ábra 4.3. Dierenciálegyenlet-rendzerek A Laplace-tranzformáció hatékony eljárá az állandó együtthatójú dierenciálegyenletek megoldáára. Ez az eljárá hatáoabb a dierenciálegyenletrendzerek megoldáára é némi zámolá után látható a megzokott módzerekkel özehaonlítva a különbég. Példa Tekintünk két elhanyagolható tömeg é k rugóállandójú rugót, melyek két m tömeg tetet tartanak egymára akaztva. Az aló tömeg egy lineári cillapítáú zerkezethez van kapcolva, amely a ebeéggel arányo ellenállát fejt ki. Ha a fel é az aló tömeg függ lege irányú kimozduláát rendre y (t) é y 2 (t) jelöli,ahol a lefelé irányuló elmozdulát vezük pozitívnak, akkor a mozgáegyenletek a következ ek: { mÿ (t) + ky (t) k(y 2 (t) y (t)), mÿ 2 (t) + kẏ 2 (t) k(y 2 (t) y (t)) 37
El zör nézzük az el egyenletet: m ( 2 L[y (t)] y () ẏ () ) + kl[y (t)] k(l[y 2 (t)] L[y (t)]) m 2 L[y (t)] my () mẏ () + kl[y (t)] kl[y 2 (t)] kl[y (t)] m 2 L[y (t)] my () mẏ () kl[y 2 (t)] Mot a máodik egyenletet: m ( 2 L[y 2 (t]) y 2 () ẏ 2 () ) +k (L[y 2 (t)] y 2 ()) k(l[y 2 (t)] L[y (t)]) m 2 L[y 2 (t]) my 2 () mẏ 2 ()+kl[y 2 (t)] ky 2 () kl[y 2 (t)] kl[y (t)] m 2 L[y 2 (t]) my 2 () mẏ 2 ()+kl[y 2 (t)] ky 2 () kl[y 2 (t)] kl[y (t)] { m 2 L[y (t)] kl[y 2 (t)] my () + mẏ () (m 2 + k k)l[y 2 (t]) kl[y (t)] (m + k)y 2 () + mẏ 2 () Leoztunk m-mel: { 2 L[y (t)] k m L[y 2(t)] y () + ẏ (), ( 2 + k m k m )L[y 2(t]) k m L[y (t)] ( + k m )y 2() + ẏ 2 () Ha ω 2 k m é γ c m, akkor { ( 2 + 2ω 2 )L[y (t)] ω 2 L[y 2 (t)] y () + ẏ (), ( 2 + γ ω 2 )L[y 2 (t]) ω 2 L[y (t)] ( + γ)y 2 () + ẏ 2 () { ( 2 + 2ω 2 )L[y (t)] ω 2 L[y 2 (t)] y () + ẏ (), ω 2 L[y (t)] + ( 2 + γ ω 2 )L[y 2 (t]) ( + γ)y 2 () + ẏ 2 () 38
Az imeretlenek kiküzöböléével: L[y (t)] G()H (), L[y 2 (t)] G()H 2 (), G() [( 2 + 2ω 2) ( 2 + γ ω 2) ω 4], H () [ 2 + γ ω 2 ][y () + ẏ ()] + ω 2 [( + γ)y 2 () + ẏ 2 ()], H 2 () ω 2 [y () + ẏ ()] + [ 2 + 2ω 2 ][( + γ)y 2 () + ẏ 2 ()]. Innen a megoldá, mint egy negyedfokú egyenlet eetén: de talán mot könynyebb, ha feltezük a cillapítái tényez kici, vagyi G() ( 2 + Γ + Ω 2 ) ( 2 + Γ 2 + Ω 2 2), Ω 2 2 ω2 (3 + 5) 2, 62ω 2, Ω 2 2 2 ω2 (3 5), 38ω 2, Γ 2 γ( /qrt5), 27γ, Γ 2 2 γ( + /qrt5), 72γ. 39
5. fejezet Özegzé A dolgozatban kizámolt Laplace-tranzformáltakat illetve azok inverzeit özegy jtöttem az alábbi özegz táblázatba. Özegz táblázat f(t) L[f(t)]. 2. t 2 3. t 2 2! 3 4. t 3 3! 4 5. t n n! n+ 6. e at a 7. t e at ( a) 2 8. t 2 e at 2! ( a) 3 at n! 9. t n e ( a) n+ ia. in at 2 +a 2. co at 2 +a 2 2. coh at 2 a 2 a 3. inh at 2 a 2 4. in 2 2a at 2 ( 2 +4a 2 ) 5. t co at 2 a 2 ( 2 +a 2 ) 2 6. t 2 inh at 2a(a 2 +2 2 ) ( 2 a 2 ) 3 4
Özegz táblázat f(t) L[f(t)] in at 7. arctan ( ) a t in 8. 2 at ln t 4 + 4a 2 2 9. (t 3) 2 e 2 2! b(t a) e a 2. e +b 2. e at +a coh bt 3 (+a) 2 b 2 t 22. n inh at (+a) n+ ( a) n+ n! 2( 2 a 2 ) n+ a 23. t in t 3 2 ( 2 +a 2 ) 24. co t ( 2 +) 5. t co at 2 a 2 ( 2 +a 2 ) 2 6. t 2 inh at 2a(a 2 +2 2 ) ( 2 a 2 ) 3 4
Irodalomjegyzék [] Hanka Lázló-Zalay Mikló: Komplex függvénytan M zaki Könyvkiadó, Budapet (23) [2] Brian Davie: Integráltranzformációk é alkalmazáaik M zaki Könyvkiadó, Budapet (983) [3] Bátkai Andrá: Analízi III. ELTE kézirat [4] Sain Márton: Matematikatörténeti ABC Tankönyvkiadó, Budapet (974) 42