Vértesy Gáspár Matematika BSc Alkalmazott matematikus szakirány. Az Okamoto-függvények

Eötvös Loránd Tudományegyetem Természettudományi Kar Vértesy Gáspár Matematika BSc Alkalmazott matematikus szakirány Az Okamoto-függvények Szakdolgozat Témavezető: Keleti Tamás, tanszékvezető egyetemi tanár Analízis Tanszék Budapest, 2015.

Köszönetnyilvánítás Köszönöm témavezetőmnek, Dr. Keleti Tamásnak a szakdolgozat megírása során nyújtott számos tanácsot és észrevételt, melyekkel munkámat segítette. 3

Tartalomjegyzék Bevezetés 5 1. Gyakori jelölések 6 2. Fraktálelméleti alapok 7 2.1. Dimenziófogalmak........................... 7 2.2. Önaffin halmazok............................ 10 3. A Bourbaki-függvény 12 3.1. Lokális tulajdonságok és a nem-deriválhatóság............ 14 3.2. A grafikon tulajdonságai........................ 18 3.3. Szinthalmazok.............................. 19 4. Az Okamoto-függvények 26 4.1. Folytonossági tulajdonságok...................... 27 4.2. A deriválhatóság, vagy ennek hiánya................. 30 4.3. A grafikon tulajdonságai........................ 31 4.4. Lokális tulajdonságok.......................... 32 Hivatkozások 35 4

Bevezetés Arra, hogy létezik olyan h: R R folytonos függvény, amely sehol sem differenciálható, sokáig nem jöttek rá a matematikusok, sőt szinte általánosan elfogadott volt, hogy nincs ilyen leképezés. Ez jelentős részben arra vezethető vissza, hogy bár már a XVII. században eredményesen alkalmazták a differenciálszámítást az fizikában, az analízis precíz megalapozása csak a XIX. században ment végbe. Így válik érthetővé, hogy Ampére 1806-ban miért vélte bizonyítani azt, hogy ilyen h függvény nem létezhet. Ő a folytonos függvények halmazát sokkal szűkebben értelmezte, mint ami a folytonosság ma elfogadott, precíz definíciójából következik (bár egyébként sem volt hibátlan a gondolatmenete. Elsőként Bolzano írt le egy ilyen függvényt 1830 körül, de mivel ekkoriban az osztrák cenzúra nem engedte publikálni a cseh matematikus műveit, eredménye csak évtizedekkel később vált széles körben ismertté. Emiatt a matematika fejlődésére gyakorolt hatás szempontjából Weierstrass körülbelül 30 évvel később nyilvánosságra hozott példája a legjelentősebb. Jelen dolgozatban a folytonos függvények egy olyan osztályát vizsgáljuk meg, melyek egy kivételével értelmezési tartományuknak egy sűrű részhalmazán nem differenciálhatóak. Egy rövid fraktálelméleti bevezetés után egy konkrét leképezés tulajdonságaival foglalkozunk, majd az egész függvénycsaládot elemezzük. A már ismert tények mellett bemutatunk néhány saját eredményt is (3.10. tétel, 3.3. fejezet, 4.4. tétel, 4.4. fejezet. 5

1. Gyakori jelölések Mivel ahogyan azt majd látni fogjuk az Okamoto-függvények tárgyalása hármas számrendszerben a legkönnyebb, ezért ehhez be kell vezetnünk néhány jelölést. Legyen a továbbiakban a [0, 1] tetszőleges ha nem teszünk más kikötést. Jelölje a 0, a 1 a 2... az a szám hármas számrendszerbeli alakját. Emellett: 0, ha a i = 0 b i := 1, ha a i = 2 2, ha a i = 1 α i := a 0, a 1... a i (azaz α i az a szám melyet úgy kapunk, hogy levágjuk a-ból az i-edik triadikus jegy után következő számjegyeket, ha i Z +, és α 0 := a 0, A i := {a k : 0 < k i 1 és a k = 1}, tehát A i az 1-es számjegyek száma a első i 1 triadikus jegye között. Nevezzük a N := {n : n Z, n 0} halmazt a természetes számok halmazának. Ezen kívül: T := { p 3 k : p, k N, p 3 k 1} = {a : k Z + melyre a = α k }, vagyis T azon [0, 1]-beli számok halmaza, melyeknek hármas számrendszerbeli alakjukban véges sok nem nulla jegy van (a továbbiakban véges triadikusok, tetszőleges n N-re T n := {a : a = α n, a n 0}, azaz T -be azok a [0,1]-beli számok tartoznak, melyeknek az n-edik triadikus jegyük nem 0, de utána az összes többi az. 6

2. Fraktálelméleti alapok Mivel a az Okamoto-függvények grafikonja tulajdonképpen egy fraktál, ezért bizonyos tulajdonságok vizsgálatához szükségünk lesz alapvető fraktálgeometriai fogalmakra. Az ebben a fejezetben tárgyalt definíciókat és állításokat [3]-ból vettem (ezért utóbbiakat most nem is bizonyítom. 2.1. Dimenziófogalmak Mindenki számára nyilvánvaló szemléletesen is, hogy egy szakasz dimenziója 1, egy négyzeté 2, és egy kockáé 3, és ha valaki egyetemi szinten tanul matematikát, az sem esik nehezére, hogy tetszőleges n N-re elképzeljen ha nem is vizuálisan, de legalább halmazként egy n-dimenziós kockát. Azonban vannak olyan alakzatok, melyekről nem mond eleget az, ha a dimenziót egész számként adjuk meg. Felmerülhet az olvasóban, hogy akkor hogyan terjesszük ki ezt a fogalmat az összes nem-negatív valós számra. A kérdésre nincs egzakt válasz, mert ezt a kiterjesztést többféleképpen is megtehetjük. Az, hogy milyen dimenziófogalmat használunk, általában a vizsgálni kívánt tulajdonságtól függ. Nekünk most két fogalomra lesz ehhez szükségünk: a Hausdorff- és a boxdimenzióra. Kezdjük az utóbbival. 2.1. Definíció: Legyen δ > 0 valós szám, n Z +, z 1,..., z n Z. Ekkor a [z 1 δ, (z 1 + 1δ]... [z n δ, (z n + 1δ] halmazt (R n -beli δ-háló kockának nevezzük. A továbbiakban tetszőleges F R n és δ > 0 esetén jelölje N δ (F az F -be belemetsző δ-háló kockák számát. 2.2. Definíció: Legyen F R n korlátos. Ekkor azt mondjuk, hogy F alsó box-dimenziója dim B F = lim inf δ 0 log N δ (F log δ, felső box-dimenziója dim B F = lim sup δ 0 box-dimenziója dim B F = lim δ 0 log N δ (F log δ log N δ (F log δ, (ha létezik ez a határérték. 7

A gyakorlatban nem mindig egyszerű a definíció szerint számolni. Ebben nyújt segítséget a következő állítás. 2.3. Állítás: Ha (δ n n=1 egy olyan pozitív, 0-hoz tartó sorozat, melyhez létezik c R, hogy 0 < c < 1, és δ k+1 > cδ k minden k Z + -ra, akkor: dim B F = lim inf n log N δn (F log δ n, dim B F = lim sup n log N δn (F log δ n, dim B F = lim n log N δn (F log δ n (ha dim B F létezik. Az alábbiakban vizsgáljuk meg a box-dimenzió néhány fontos tulajdonságát. 2.4. Állítás: Legyenek E, F, G 1, G 2... R n korlátosak. Ekkor: (i minden k-dimenziós részsokaság box-dimenziója k (ahol k n természetes szám, (ii dim B végesen stabil: dim B (E F = max{dim B E, dim B F } (ez a tulajdonság dim B -ra nem igaz, (iii dim B (E F max{dim B E, dim B F }, (iv dim B és dim B monoton: ha E F, akkor dim B (E dim B (F, és dim B (E dim B (F, (v dim B és dim B affin invariáns: ha f : R n R n affin transzformáció, akkor dim B (E = dim B f(e, és dim B (E = dim B f(e. (vi dim B F = dim B F és dim B F = dim B F (ahol F az F halmaz lezártját jelöli. Azonban a box-dimenzió nem megszámlálhatóan stabil, azaz léteznek olyan G 1, G 2,... R n halmazok, hogy dim B ( i=0 G i sup { dim B G i : i N }, vagy dim B ( i=0 G i sup { dim B G i : i N }. Vegyük erre az alábbi példát: Egy pont box-dimenziója 0, viszont a [0, 1] intervallumé 1, és mivel minden δ-haló kocka 8

tartalmaz racionális számot, ezért a dim B Q [0, 1] = dim B [0, 1] = 1. Ennél talán még meglepőbb, hogy megmutatható: dim B H = 1 2, ahol H = { 1 n : n N} {0}, pedig H megszámlálható és zárt. Térjünk át a Hausdorff-dimenzióra. Mivel ennek definiálásához további fogalmakra lesz szükségünk, vezessünk be néhány jelölést (legyen F R n tetszőleges: Bármely U R n esetén jelölje diam U az U halmaz átmérőjét. Legyen {U i } i=1 egy R n -beli halmazsorozat. Ha F i=1 U i, és minden i Z + -ra diam U i δ (ahol δ > 0, akkor{u i }-t F egy δ-fedésének nevezzük. Ha δ > 0, és s 0, akkor { } H s δ(f := inf (diam U i s : {U i } egy δ-fedése F -nek. i=1 2.5. Definíció: Tetszőleges F R n esetén az H s (F = lim δ 0 H s δ(f számot az F halmaz s-dimenziós Hausdorff-mérték ének nevezzük. Fontos megjegyezni, hogy a fenti definíció értelmes, mert a benne szereplő határérték mindig létezik, hiszen 0 < δ 1 < δ 2 esetén H s δ 1 (F H s δ 2 (F, ugyanis ha {U i } egy δ 1 -fedése F -nek, akkor δ 2 -fedése is. Emellett a következő tulajdonsága van: 2.6. Állítás: Tetszőleges F R n esetén létezik d 0, hogy H s (F =, ha 0 s < d, és H s (F = 0, ha d < s. Így már definiálhatjuk magát a Hausdorff-dimenziót. 2.7. Definíció: Tetszőleges F R n halmazra a dim H = sup {s : s 0 és H s (F = } számot F Hausdorff-dimenziójának nevezzük. A 2.6. állításból következően a fenti definíció értelmes (azaz dim H (F minden R n -beli F halmazra létezik. A Hausdorff-dimenzió abból a szempontból is jobb, mint a box-dimenzió, hogy több olyan tulajdonságot teljesít, melyeket elvárnánk egy dimenziófogalomtól: 9

2.8. Állítás: A Hausdorff-dimenzióra igazak az alábbiak: (i minden k-dimenziós részsokaság box-dimenziója k, (ii monoton, (iii megszámlálhatóan stabil, (iv affin invariáns. Másrészt viszont a Hausdorff-dimenziót sokszor eléggé nehéz kiszámolni, ellentétben a box-dimenzióval. Ebben lehet segítségünkre az alábbi állítás, mely a két fogalom kapcsolatáról szól. 2.9. Állítás: Ha F R n korlátos, akkor dim H (F dim B (F. 2.2. Önaffin halmazok A dolgozatban vizsgált függvények grafikonjainak egy fontos tulajdonsága az önaffinitás. Ennek az alfejezetnek a célja ezen fogalom bevezetése. 2.10. Definíció: Egy T : R n R n, T (x = S(x + b alakú függvényt affin transzformációnak nevezünk, ahol b R n, és S : R n R n lineáris leképezés. 2.11. Definíció: Legyen D R n zárt. Egy S : D D függvényt kontrakciónak nevezünk, ha létezik olyan 0 < c < 1 szám, melyre S(x S(y c x y tetszőleges x, y D esetén. 2.12. Definíció: Ha m N, m > 1, és S 1,..., S m : D D kontrakció, ahol D R n zárt, és D, akkor az {S 1,..., S m } halmazt iterált függvényrendszernek (vagy röviden IFR-nek nevezzük. Ha A egy nem üres, kompakt részhalmaza D- nek, és A = m i=1 S i(a, akkor A-t az IFR attraktorának nevezzük. 2.13. Állítás: Egy IFR-nek pontosan egy attraktora van. 2.14. Definíció: Ha egy {S 1,..., S m } IFR minden eleme affin transzformáció, és A a rendszer attraktora, akkor azt mondjuk, hogy A önaffin halmaz. 10

Egy egyszerű példa önaffin halmazra az úgynevezett Cantor-halmaz: Legyen S 1, S 2 : [0, 1] R olyan, hogy S 1 (x = 1 3 x, S 2 (x = 1 3 x + 2 3. Az {S 1, S 2 } IFR attraktorát nevezzük Cantor-halmaznak. Megmutatható, hogy ennek box- és Hausdorff-dimenziója egyaránt log 2 log 3. 11

3. A Bourbaki-függvény Bár Perkins [8] már 1927-ben konstruált egy olyan sehol sem differenciálható folytonos függvényt, amely az Okamoto-függvények közé tartozik, de a [2]-ben megadott Bourbaki-függvény természetesebben adódik, és ahogyan később látni fogjuk egy határt képez a függvénycsaládban. Érdemes megjegyezni, hogy sokan Katsuura-függvényként említik a szakirodalomban, mivel Hidefumi Katsuura [4] 1991-ben [2]-re való hivatkozás nélkül szintén leírta. 1 1 2/3 2/3 1/3 1/3 0 0 1/3 2/3 1 0 0 1/3 2/3 1 1 1 2/3 2/3 1/3 1/3 0 0 1/3 2/3 1 0 0 1/3 2/3 1 1. ábra. f grafikonja az első 4 iterációs lépés után A függvényt definiáljuk először T -n, azaz a [0, 1]-beli véges triadikusok halmazán (ld.: 1. ábra: f : T R 12

f(0 = 0 és f(1 = 1, a többi pontban rekurzívan definiáljuk (k = 1, 2,...: ( p f ( q f ( ( q+1 3 + 2 3 f q k 1 3 k 1 ha p 1 mod 3 f = k 1 3 3 k f ( q f ( ( q+1 3 + 3 f q (1 k 1 3 k 1 ha p 2 mod 3 k 1 3 ahol p, q N, (p, 3 k = 1 és Az 1. fejezetbeli jelölésekkel: q < p < q+1 < 1 (ld.: 3. ábra. 3 k 1 3 k 3 k 1 f(α k = f(α k 1 + b k ( f(αk 1 + 3 (k 1 f(α k 1. Belátjuk f-ről, hogy folytonos az értelmezési tartományára szorítkozva. Ehhez szükségünk lesz a következő állításra. 3.1. Állítás: Ha a ( p, p+1 3 l 3 T (ahol p, l N, l > 0 és p+1 1, akkor l 3 l min { f ( ( p 3, f p+1 } { ( l 3 f(a max f p ( l 3, f p+1 } l 3, azaz l min { f(α l, f(α l + 3 l } f(a max { f(α l, f(α l + 3 l }. Bizonyítás: A definícióból l-re vonatkozó indukcióval adódik. 3.2. Állítás: Ha a [0, 1], akkor tetszőleges a-hoz tartó T -beli (x n n=1 sorozatra lim f(x n létezik és véges (ekkor nyilván lim f(x n minden ilyen sorozatra x n a x n a ugyanaz. Bizonyítás: Legyen l N tetszőleges, és p N olyan, hogy p [0, 1. Ekkor l-re 3 l vonatkozó teljes indukcióval, könnyen belátható, hogy ( 0 < p ( ( p + 1 l 2 f f. (2 3 l 3 l 3 Eszerint T minden pontjában létezik a limesz. Mivel bármely a [0, 1] \ T -hez létezik tetszőlegesen nagy k N, hogy megfelelő p-re p 3 k < a < p+1 3 k 1, ezért a 3.1. állítást és (2-t használva a Cauchy-kritérium szerint létezik a limesz. Legyen g : [0, 1] R függvény, melyre g(x = lim yn x f(y n (ahol (y n i=1 x-hez tartó T -beli sorozat. Az így definiált g függvényt nevezzük Bourbaki-függvénynek (ld.: 2. ábra. 13

1 2/3 1/3 0 0 1/3 2/3 1 2. ábra. A Bourbaki-függvény grafikonja 3.3. Állítás: A g Bourbaki-függvény egyenletesen folytonos a [0, 1] intervallumon. Bizonyítás: A 3.1. állításból és (2-ből következik. 3.4. Következmény: A g Bourbaki-függvény folytonos. 3.1. Lokális tulajdonságok és a nem-deriválhatóság Először kimondunk egy állítást, amely soralakban adja meg g függvényértékeit, és a későbbiekben több bizonyításnál is hasznos segédeszköz lesz (b i és A i jelentését lásd az 1. fejezetben. 3.5. Állítás: A g Bourbaki-függvényre tetszőleges a [0, 1] esetén igaz, hogy g(a = b i ( 1 A i 2 i 1 A i /3 i. i=0 14

Bizonyítás: Nézzük először azt az esetet, mikor a T. Ekkor k N, melyre a = α k (a k 0, ha k > 0. A k = 0 esetben a fenti állítás triviális. Tegyük fel, hogy minden k < n-re (n > 1 igaz az állítás. Legyen a T n, és j := max{i : 0 i n 1, a i 2}, azaz α n 1 + 1/3 n 1 = 0, a 1... (a j + 1 vagy α n 1 + 1/3 n 1 = 1. Ekkor és (2 a j b j ( 1 A j 2 j 1 A j = ( 1 A j+1 2 j A j+1, n 1 i=j+1 2 i j 1 3 i = 1 3 j 2n j 1 3 n 1. Így az indukciós feltevés szerint (1-be behelyettesítve g(α n 1 + 1/3 n 1 g(α n 1 g(a = g(α n 1 + b n = 3 n 1 = b i ( 1 A i 2 i 1 A i /3 i + i=0 + b n ( (2 a j b j ( 1 A j 2 j 1 A j 3 j n 1 = i=0 n 1 = i=0 b i ( 1 A i 2 i 1 A i 3 i + b n 1 3 j n 1 i=j+1 ( 1 3 2n j 1 j 3 n 1 b i ( 1 A i 2 i 1 A i 3 i + b n 2 n Aj+1 1 ( 1 Aj+1 3 n = 3 ( 1 A j+1 2 i 1 A j+1 /3 = 3 i ( 1 A j+1 2 j A j+1 = n i=0 b i ( 1 A i 2 i 1 A i 3 i. (3 A folytonosság miatt ha a / T, akkor g(a = lim n g(α n = b i ( 1 A i 2 i 1 A i /3 i. i=0 3.6. Következmény: Legyen n N tetszőleges. Ekkor ha a T, akkor a T n g(a T n. 15

A függvény lokális tulajdonságainak vizsgálatához szükségünk lesz az alábbi két állításra: 3.7. Állítás: Ha a ( p 3 l, p+1 3 l (ahol p, l N, l > 0 és p+1 { ( p min g, g 3 l ( } p + 1 g(a max 3 l 1, akkor 3 l ( p + 1 { ( p g, g 3 l 3 l }. Bizonyítás: Az a T eset következik a 3.1. állításból, és innen a folytonosság miatt a / T esetén is igaz. 3.8. Állítás: Az előző állítás szigorú egyenlőtlenségekkel is igaz. Bizonyítás: Ha a T, akkor l-re vonatkozó indukcióval triviális az állítás. Legyen q a / T. Ekkor létezik olyan q N, melyre 3, q + 1 ( p l+1 3 l+1 3, p + 1 q, és l 3 l 3 l+1 a q + 1. Az előző állítást alkalmazva 3l+1 ( p + 1 { min g(a max ( p 3 l, g g { ( q g, g 3 l+1 } { ( q ( } q + 1 < min g, g 3 l 3 l+1 3 ( } { l+1 q + 1 ( p ( } p + 1 < max g, g. 3 l 3 l+1 A 3.6. és a 3.8. állításokból valamint (1-ből könnyen levezethető: 3.9. Következmény: Legyen a = α k (k N. Ekkor: (i ha a = 0, a szigorú globális minimumhelye g-nek. (ii ha a = 1, a szigorú globális maximumhelye g-nek. (iii ha A k+1 0 mod 2, a szigorú lokális minimumhelye g-nek. (iv ha A k+1 1 mod 2, a szigorú lokális maximumhelye g-nek. 3.10. Tétel: Tetszőleges a (0, 1-re igaz, hogy: (i g a-ban nem nő lokálisan, és nem csökken lokálisan, 3 l 16

(ii ha a / T, akkor g-nek a-ban nincs szélsőértékhelye Bizonyítás: Ha a T, akkor a 3.9. következményből adódik (i. Legyen a / T, ε > 0 rögzített, l N olyan, hogy 1 3 l 1 < ε, és k := inf{n : n > l, a n = 1} (az üres halmaz infimumát végtelennek definiáljuk. Feltehető, hogy g(α l < g(a (a g(α l > g(a esetben analóg módon bizonyítható az állítás. Ekkor elég megmutatni, hogy léteznek olyan x 1, x 2 [a ε, a + ε] számok, melyekre g(x 1 < g(a < g(x 2, és x 1, x 2 > a vagy x 1, x 2 < a. Ha k <, akkor g(α l < g(a, és g(α k > g(a, amiből adódik a tétel. Amennyiben k =, m N, m > l, melyre a m = 2, a m+1 = 0 (mert a / T. Ekkor g(0, a 1... a m 1 1 > g(a, vagy g(0, a 1... a m 2 < g(a a 3.5. állítás szerint. Mivel g(α m < a < g(0, a 1... a m 1, ebből már következik a tétel. A következő tétel bizonyításában alapvetően azt a gondolatmenetet követem, melyet Katsuura alkalmazott [4]-ban. 3.11. Tétel: Tetszőleges a (0, 1-re igaz, hogy nem létezik lim g(x g(a x a x a g-nek egyetlen (0, 1-beli pontban sem létezik véges vagy végtelen deriváltja., azaz Bizonyítás: Vegyük először azt az esetet, amikor a / T. A k, l és m számokat definiáljuk úgy, mint a 3.10. tétel bizonyításában. Feltehető, hogy g(α l < g(a (a g(α l > g(a esetben analóg módon bizonyítható az állítás. Tetszőleges p, r N ( p+1 3 r 1 számokra g ( ( p 3 g p+1 r 3 r 3 r 1 (ez r-re történő teljes indukcióból adódik, ezért { g(a g(α l max, g(a g ( } αl + 1 3 l a α l a α l 1 1. 3 l akkor Eszerint felhasználva a 3.5. állítást ha a-nak végtelen sok triadikus jegye 1, lim inf j N { g(a g(x tehát sup a x { min g(a g(α j, g(a g ( } αj + 1 3 j a α j a α j 1 1, 3 j } { g(a g(x : a x < ε inf a x 17 } : a x < ε 2.

Ha a-nak csak véges sok triadikus jegye 1, akkor l választható olyannak, hogy k =. Ekkor g(a g(α m 1 + 1 3 m 1 a α m 1 1 > g(0, a 1 1... a m 1 g(α m 1 + α 3 m 1 m α m 1 1 = g(0, a 1... a m 1 g(α m 1 + 1 3 m 1 = 3 m = 3 (g(α m m 1 + 7 9 d g(α m 1 d 3 m 1 = 3 m 1 = 3 m 2 2 m 1 A l+1 = 1 9 3 m 1 3 2m A l+1, ahol d = g(α m 1 + g ( α m 1 + 1 3 m 1 = 2 m 1 A l+1 3 m 1 (ld.: (3. Tehát g a-beli jobb felső deriváltja végtelen. Ha g(a > g(α m 1 + 1 3 m = g(α m 1 + 2 3 g(a g(α m 1 + 8 3 m+1 a α m 1 8 g ( α m 1 + 1 3 m < 0, hiszen 3 m+1 = g(α m 1 + 23 d > g(α m 1 + 59 ( d = g α m 1 + 8 3 m+1 d, akkor Különben g(a g(α m 1 + 1, tehát g(a g(α m 1 + 1 3 m a α m 1 1 0. Így nem létezik 3 m 1 g(x g(a lim. x a x a Legyen a T. Létezik h N, melyre a = α h. Tegyük fel, hogy a lokális 3 m 1 minimumhely. Legyen l N, l > h. Ekkor a 3.5. állításból adódóan tetszőleges b [(g(a + 3 l+1, g(a + 3 l ]-re ( g g(b g(a b a ( a + 2 3 l+1 g(a /3 l 2l+1 1 A h /3 l = 2l Ah 3 l+1 3. Eszerint g a-beli jobb oldali deriváltja. Hasonlóan adódik, hogy a bal oldali derivált. Nyilván ha lokális maximumhely, akkor g a-beli jobb oldali deriváltja, bal oldali deriváltja.. 3.2. A grafikon tulajdonságai 3.12. Állítás: g grafikonja szimmetrikus az ( 1 2, 1 2 pontra, azaz minden a [0, 1]-re. g(a = 1 g(1 a (4 18

Bizonyítás: Ha a = 0 vagy a = 1, akkor (4 nyilván igaz, így f definíciójából teljes indukcióval tetszőleges T -belire teljesül, tehát a g folytonossága miatt minden a [0, 1]-re is. Amint említettük korábban, a Bourbaki-függvény grafikonja egy önaffin halmaz. Ennek első ismert leírását Katsuura [4] adta meg (ő eleve a grafikon önaffin előállításával definiálta a függvényt. Tekintsük az alábbi IFR-t: Legyen w i : [0, 1] [0, 1] [0, 1] [0, 1] (i = 1, 2, 3, ahol tetszőleges x, y [0, 1]-re: ( 1 w 1 (x, y = 3 x, 2 3 y, w 2 (x, y = w 2 (x, y = ( 1 3 x + 2 3, 1 3 y + 1, 3 ( 1 3 x + 2 3, 2 3 y + 1. 3 A 3.5. állításból adódik a következő állítás. 3.13. Állítás: A Bourbaki-függvény grafikonja a W = {w 1, w 2, w 3 } IFR attraktora. 3.3. Szinthalmazok 3.14. Definíció: Tetszőleges y R esetén S y = {x : x [0, 1], g(x = y} halmazt a g függvény szinthalmazának nevezzük. A Bourbaki-függvény szinthalmazainak leírásához szükségünk lesz egy általánosabb érvényű lemmára. 3.15. Lemma: Legyen h C(R. Ha x 0 R pont h-nak nem szélsőértékhelye, de x 0 -ban h nem lokálisan növő, és nem lokálisan csökkenő, akkor x 0 torlódási pontja S h(x0 -nak. Bizonyítás: Legyen ε > 0 tetszőleges. Elég megmutatnunk, hogy léteznek olyan x 1, x 2, x 3 valós számok, hogy max { x 1 x, x 2 x, x 3 x } < ε, és az (x 0, h(x 0 19

ponton átmenő, a koordinátatengelyekkel párhuzamos egyenesek által meghatározott négy nyílt negyedsík egyikébe sem esik egynél több pont az {(x 1, h(x 1, (x 2, h(x 2, (x 3, h(x 3 } halmazból (hiszen ekkor a Bolzano-tétel szerint létezik t 1, t 2 {x 1, x 2, x 3 }, hogy h(t 1 < h(t < h(t 2, és vagy t 1, t 2 (x 0 ε, x 0, vagy t 1, t 2 (x 0, x 0 + ε, tehát van olyan x (x 0 ε, x 0 + ε, melyre h(x = h(x 0. Emiatt feltehetjük, hogy az egyik ilyen negyedsíkra (jelöljük N-nel igaz, hogy N ((x 0 ε, x 0 + ε h ((x 0 ε, x 0 + ε = (ha nincs ilyen negyedsík, akkor készen vagyunk, azaz például x (x 0 ε, x 0 h(x > h(x 0 (a többi esetre analóg módon bizonyítható. Legyen x 1 (x 0 ε, x 0. Mivel x 0 nem maximumhely, ezért létezik x 2 (x 0, x 0 + ε, hogy h(x 2 < h(x 0. Emellett x 0 -ban h nem csökken lokálisan, így van olyan x 3 (x 0, x 0 + ε, melyre h(x 3 > h(x 0. Az x 1, x 2, x 3 számok megfelelnek a kívánt feltételeknek, tehát a bizonyítás kész. 3.16. Definíció: Egy P R n (n N halmazt perfektnek nevezünk, ha zárt, és minden pontja torlódási pont. 3.17. Tétel: Legyen y [0, 1] tetszőleges. Ekkor: (i ha y = 0, vagy y = 1, akkor S y = 1, (ii ha S y T = (azaz ha az y-hoz tartozó szinthalmaz nem tartalmaz véges triadikust, akkor S y perfekt és nem üres, (iii ha S y T (0, 1 (azaz ha az y-hoz tartozó szinthalmaz tartalmaz véges triadikust, akkor S y \ T perfekt és nem üres, valamint S y T <. Bizonyítás: (i nyilvánvaló g definíciójából. Legyen y (0, 1 és a S y. Ha a / T, akkor a 3.10. tételből és a 3.15. lemmából adódik, hogy a torlódási pontja S y -nak, amiből következik (ii, mert egy folytonos függvény szinthalmazai zártak. 20

Amennyiben a T S y, akkor l N, melyre a = α l, és a l 0. Legyen c = a+ 1 2 3, ha a l 1 l = 1, és c = a 1 2 3, ha a l 1 l = 2 (tehát c = a 0, a 1... a l 1 2111... vagy c = a 0, a 1... a l 1 0111.... Ekkor a 3.5. miatt mert és g(a = l l 1 b i ( 1 A i 2 i 1 A i 3 i = b i ( 1 A i 2 i 1 A i 3 i + i=0 + (b l 1( 1 A l 2 l 1 A l 3 l + i=l+1 i=0 i=l+1 4( 1 A l+i l 1 2 l 1 A l 3 i = g(c, 4( 1 A l+i l 1 2 l 1 A l 3 i = ( 1 A l 2 l 1 A l 3 l, 1 2 3 = 1 l 1 3. i Eszerint c S y \ T, tehát az első bekezdés alapján S y \ T perfekt. Emellett a 3.6. állításból adódóan S y T < (mert T l <. Ezekből pedig már következik (iii. A következőkben leírunk egy módszert, melynek segítségével a 0 és az 1 értékek kivételével univerzális alsó és felső becslést adhatunk Bourbaki-függvény szinthalmazainak box-dimenziójára. Ehhez szükségünk lesz a követező állításokra. 3.18. Állítás: Legyen n N. Ha y, z (0, 1 olyanok, hogy y < z, és i=l f 1 ([y, z] n i=0 T i =, akkor ugyanazok a 3 n -háló kockák metszenek bele S y -ba, mint S z -be. [ p Bizonyítás: Legyen p N, melyre p < 3 n, és 3, p + 1 ] S n 3 n y. Ekkor a 3.8. állítás miatt { ( p ( } { p + 1 ( p ( } p + 1 min g, g < y, z < max g, g. 3 n 3 n 3 n Eszerint tetszőleges I [0, 1] 3 n -haló kockára igaz, hogy ha belemetsz S y -ba, akkor S z -be is. Mivel a másik irány analóg módon igazolható, ezért az bizonyítás kész. 3 n 21

( 1 3.19. Állítás: Tetszőleges y (0, 1-hez létezik y 3, 1 ], hogy dim B (S y = 2 dim B (S y, és dim B (S y = dim B (S y. Ha y / g(t, akkor y is választható úgy, hogy y / g(t. Bizonyítás: Legyen y (0, 1 tetszőleges. A 3.12. állítás szerint S y = 1 S 1 y = {1 x : x S 1 y }, tehát S y egybevágó S 1 y -nal, így a 2.4. állítás (v-es pontja alapján feltehető, hogy y 1 ( 1 2. Ha y 3, 1 ], akkor az állítás triviális. A 3.2. 2 ( fejezetben leírt affin tulajdonság miatt mivel w 1 S1/2 {0} ( 2 3, 0 = S 1/3, ezért ( ( ( ugyancsak 2.4.-ból következően dim B S1/2 = dimb S1/3, és dimb S1/2 = ( 1 dim B S1/3. Legyen y < 3. Ekkor S ( y = w 1 S3/2 y {0}, azaz létezik z Z +, [ 1 melyre S y = w1 z (S y {0}, ahol (3/2 z y = y 3, 1. Ha y / g(t, akkor 2 y / g(t, mert w 1 T {0}-beli pontot T {0}-belibe visz. Innen már szintén 2.4. miatt következik az állítás. 3.20. Állítás: Legyen y g(t (0, 1. Ekkor létezik olyan y / g(t, hogy dim B (S y dim B (S y, és dim B (S y = dim B (S y. Bizonyítás: a 3.6. állítás szerint létezik n Z +, melyre S y T T n. Legyen I = [c, d] egy S y -ba belemetsző 3 n+1 -háló kocka. Ha I S y T =, akkor a y min {g(c, g(d} grafikon önaffin felépítése miatt z := / T, és S z hasonló d c az S y I halmazhoz, így dim B (S y I = dim B (S z, és dim B (S y I = dim B (S z. Amennyiben I S y T, akkor g definíciója szerint a 3.6. állításból adódóan w = 1 3 vagy w = 2 y min {g(c, g(d}, ahol w :=. Ekkor S w és S y I hasonlóak, 3 d ( c ezért dim B (S y I = dim B (S w = dim B S1/2, és dimb (S y I = dim B (S w = ( dim B S1/2, ugyanis Sw \ {1 w} = 1/3 S 1/3. Ez alapján léteznek olyan y 1,..., y m (0, 1 \ g(t számok (m Z +, hogy S y előáll az S y1,..., S ym, K halmazok affin transzformáltjainak uniójaként (ahol K T véges. Tehát a box-dimenzió tulajdonságai miatt (ld.: 2.4. állítás, dim B (S y max{dim B (S y1,... dim B (S ym }, 22

és dim B (S y = max{dim B (S y1,... dim B (S ym }. Ezzel a bizonyítást befejeztük. Az egyszerűbb leírás érdekében bevezetünk egy új csak ebben a dolgozatban használt, tehát nem konvencionális fogalmat. 3.21. Definíció: Ha n, k N, és 3k + 3 3 n, akkor nevezzük a intervallumot középső 3 n -háló kockának. [ 3k + 1, 3k + 2 ] 3 n 3 n 3.22. Tétel: Legyenek k, n N olyanok, hogy 1 3 + k 1 < 1 3 n 2 < 1 3 + k 3, és n i {1,..., k} 1 3 + i 1 < y 3 n i < 1 3 + i 3, valamint y n k 1. Ekkor tetszőleges 2 y (0, 1-re: (i dim B (S y log m n, ahol n m n = min { S yi -be belemetsző középső 3 n 1 -haló kockák }, i {1,...,k} (ii dim B (S y log M n, ahol n M n = max i {1,...,k} { S yi -be belemetsző 3 n -haló kockák }. Bizonyítás: Először bizonyítsuk be a következő segédállítást: ( 1 3.23. Állítás: Tetszőleges l N és y 3, 2 \ g(t számokra legfeljebb Mn l 3 darab 3 ln -haló kocka és legalább m l n darab középső 3 ln 1 -haló kocka metsz bele S y -ba. Bizonyítás: A grafikon szimmetriája miatt elég y belátni az állítást. Alkalmazzunk l szerinti teljes indukciót. Az állítás l = 0 esetén triviális. ( 1 3, 1 ] \ g(t számokra 2 Legyen l = 1. Mivel a 3.6. következményből adódóan g(t j T j (ahol j N, és j n, ezért létezik i {1,..., k}, hogy g 1 (min{y, y i }, max{y, y i } T j =. 23

Emiatt a 3.18. állítás szerint S y -ba legfeljebb M n darab 3 n -haló kocka és legalább m n darab középső 3 n -háló kocka metsz bele. Legyen most l > 1, és tegyük fel, hogy l 1-re már tudjuk az állítást. Vegyünk egy tetszőleges olyan I = [c, d] 3 (l 1n -háló kockát, melyre I S y. Legyen y = y min {g(c, g(d}. d c A grafikon önaffin tulajdonsága miatt, az S y I halmazba belemetsző 3 ln -háló kockák száma megegyezik az S y -be belemetsző 3 n -háló kockák számával, és mivel S y T =, ezért S y I T =, tehát S y T =, mert S y I = 3 (l 1n S y + c. Eszerint az l = 1 esetet alkalmazva y -re azt kapjuk, ( hogy az S y I-beli 3 ln -háló 1 kockák száma legfeljebb M n (ugyanis ha y / 3, 2, akkor az S y -be belemetsző 3 3 n -háló kockák száma szintén az önaffinitás következtében nem nagyobb, mint M n. Tegyük fel, hogy J S y, ahol J = [c + 3 (l 1n 1, d 3 (l 1n 1 ], azaz J az I intervallum középső harmada. Ekkor 1 3 < y < 2. Az l = 1 eset szerint 3 kihasználva a grafikon szimmetriáját S y -be legalább m n darab középső 3 n 1 - háló kocka metsz bele, ezért S y J-be legalább legalább m n darab középső 3 ln 1 - háló kocka metsz bele. Így az indukciós feltevés miatt az állítás igaz l-re is. A 3.22. tétel ( bizonyításának a befejezése: A fenti segédállítás szerint 1 tetszőleges y 3, 1 ] \ g(t számra: 2 és lim sup l lim inf l log N 3 ln(s y log 3 ln log N 3 ln(s y log 3 ln log M n, n log m n. n Ebből következően a 2.3. állítás szerint dim B (S y log m n, és dim B (S y log M n. n n Emiatt a 3.19. és a 3.20. állításokból adódóan ez minden y (0, 1 számra is igaz. A fenti tételben lényegében megadtunk egy algoritmust is. Ezt felhasználva számítógéppel kiszámolható, hogy a 3.22. tételbe n helyére 12-t írva a következőt 24

kapjuk (az algoritmus meglehetősen lassú, ezért nagyobb számra már nem futtattuk le: 3.24. Állítás: Tetszőleges y (0, 1 esetén a g Bourbaki-függvény S y szinthalmazára igaz, hogy: (i dim B S y > 0, 4033, (ii dim B S y < 0, 5402. A szerző sejtése az, hogy (M n m n 0, ha n, és minden y (0, 1- re dim B S y = log 5 3 log 3 = log 5 log 3 1 0, 46497, tehát S y box-dimenziója 1-gyel kisebb, mint a grafikoné (ahogyan azt a 4.3. fejezetben látni fogjuk, a grafikon boxdimenziója log 5/ log 3. 25

4. Az Okamoto-függvények Hisashi Okamoto [7]-ben adott meg egy függvényosztályt, mely a Bourbaki-függvénynek is egy általánosítása. Legyen s (0, 1 tetszőleges. Definiáljuk (1-hez hasonlóan a következő függvényt (T, T k, α k 1, b k és a k jelentését lásd az 1. fejezetben: f s : T R f s (0 = 0 és f s (1 = 1, a többi pontban rekurzívan definiáljuk (k = 1, 2,...: ( f s (a = f s (α k 1 + s bk 1 (1 s a k 1 (f s α k 1 + 1 f 3 k 1 s (α k 1, (5 ahol a T k. 1 5/6 2/3 1/2 1/3 1/6 0 0 1/3 2/3 1 3. ábra. A Perkins-függvény grafikonja 26

Az 1. fejezetben látottakhoz hasonlóan megmutatható, hogy f s folytonos T - re szorítkozva, és a g s : [0, 1] R függvény, melyre g s (x = lim f(y yn x n, folytonos a [0, 1] intervallumon. Az így definiált függvényeket nevezzük Okamotofüggvényeknek. Látható, hogy g 2/3 éppen a Bourbaki-függvény. A g 5/6 esetet nevezzük Perkins-függvénynek (3. ábra, g 1/2 -et pedig Cantor-függvénynek (4. ábra. 1 3/4 1/2 1/4 0 0 1/3 2/3 1 4. ábra. A Cantor-függvény grafikonja 4.1. Folytonossági tulajdonságok A következő állítás 3.8. és 3.1. általánosítása. Mivel ezekkel analóg módon igazolható, ezért most bizonyítás nélkül közöljük. 4.1. Állítás: Legyen a T n, a < 1. Ekkor tetszőleges x [a, a + 3 n ]-re min{g s (a, g s (a + 3 n } g s (x max{g s (a, g s (a + 3 n }. Ha x (a, a + 3 n, és s 1, akkor fenti egyenlőtlenségek szigorúak. 2 27

A 3.5. állítást is általánosíthatjuk az összes Okamoto-függvényre: 4.2. Állítás: A g s Okamoto-függvényre igaz, hogy tetszőleges a [0, 1] számra 0 ha a i = 0 g s (a = c i s i 1 A i (1 2s A i, ahol c i = s ha a i = 1. i=0 1 s ha a i = 2 Bizonyítás: Nézzük először azt az esetet, mikor a T. Ekkor létezik k N, melyre a T k. A k = 0 esetben a fenti állítás triviális. Tegyük fel, hogy minden k < n-re (n > 0 igaz az állítás. Legyen a T n, és j := max{i : 0 i n 1, a i 2}, azaz α n 1 + 1/3 n 1 = 0, a 1... (a j + 1 vagy α n 1 + 1/3 n 1 = 1. Ekkor ( s a j 1 (1 s a j c j (1 2s A j s j 1 A j = (1 2s A j+1 s j A j+1, és n 1 i=j+1 (1 s(1 2s A j+1 s i 1 A j+1 = (1 s(1 2s A j+1 s j A j+1 = (1 s(1 2s A j+1 s j A j+1 1 sn j 1 1 s Így az indukciós feltevés szerint (5-be behelyettesítve n j 2 i=0 s i = = (1 2s A j+1 s j A j+1 (1 s n j 1. g s (a = g s (α n 1 + s bn 1 (1 s an 1 ( g s (α n 1 + 1/3 n 1 g s (α n 1 = n 1 = c i s i 1 A i (1 2s A i + s bn 1 (1 s an 1 i=0 ( (s a j 1 (1 s a j c j (1 2s A j s j 1 A j n 1 i=j+1 (1 s(1 2s A j+1 s i 1 A j+1 n 1 = c i s i 1 A i (1 2s A i + s bn 1 (1 s an 1 i=0 ( 1 (1 s n j 1 (1 2s A j+1 s j A j+1 = n = c i s i 1 A i (1 2s A i. i=0 = (6 28

A folytonosság miatt ha a / T, akkor g s (a = lim n g s (α n = c i (1 2s A i s i 1 A i. i=0 4.3. Definíció: Legyen b, c, α R, α > 0, b < c, h: [b, c] R. Azt mondjuk, hogy h α-hölder-folytonos az [b, c] intervallumban, ha létezik C > 0, hogy minden x, y [b, c]-re h(x h(y C x y α. 4.4. Tétel: A g s Okamoto-függvény akkor és csak akkor α-hölder-folytonos, ha α min{ log 3 s, log 3 1 2s }. ( n 1 Bizonyítás: A 4.2. állítás szerint g s (3 n g s (0 = s n és g s ( n g s 3 i = (1 2s n, tehát i=1 ha α > log 3 s, és lim n ( n 1 g s g s (3 n g s (0 s n lim = lim n (3 n 0 α n (3 α =, n ( n 3 i + 2 3 n g s 3 i i=1 (1 2s n 3 i + 2 3 n n α = lim =, n (3 3 α n i i=1 ( n 1 i=1 i=1 i=1 3 i + 2 3 n ha α > log 3 (1 2s. Azaz α > min{ log 3 s, log 3 1 2s } esetén g s nem α-hölder-folytonos. Ezzel az egyik irányt beláttuk. A másik irány bizonyításához szükségünk lesz két lemmára: 4.5. Lemma: Legyen a [0, 1 és n N. Ekkor g s (α n g s (α n + 3 n (max{s, 1 2s } n. Bizonyítás: Könnyen belátható n-re történő teljes indukcióval g s definíciójából. 29

4.6. Lemma: Legyen a [0, 1] és n N. Ekkor tetszőleges [a, a + 3 n ] [0, 1]-beli y-ra g s (y g s (a 2 (max{s, 1 2s } n Bizonyítás: Mivel y α n + 2 3 n, ezért a 4.1. állítás és az előző lemma szerint g s (y g s (a g s (y g s (α n + 3 n + g s (α n + 3 n g s (a max { g s (α n + 2 3 n g s (α n + 3 n, g s (α n + 3 n g s (α n } + + g s (α n + 3 n g s (α n 2 (max{s, 1 2s } n. A 4.4. tétel bizonyításának befejezése: Vegyünk tetszőleges x, y [0, 1] pontokat. Ekkor n N, hogy 3 n 1 x y < 3 n. A 4.6. lemma szerint g s (y g s (x 2 (max{s, 1 2s } n = 2 3 n min{ log 3 s, log 3 1 2s } = = 2 3 min{ log 3 s, log 3 1 2s } 3 ( n 1 min{ log 3 s, log 3 1 2s } 2 3 min{ log 3 s, log 3 1 2s } x y min{ log 3 s, log 3 1 2s }. Tehát g s α-hölder-folytonos, ha α min{ log 3 s, log 3 1 2s }. 4.2. A deriválhatóság, vagy ennek hiánya Okamoto [7] alapvetően a függvényosztály deriválhatóságát vizsgálta, és a következő eredményre jutott. 4.7. Tétel: Ha 1 > s 2 3, akkor g s-nek sehol sem létezik véges vagy végtelen deriváltja. Bizonyítás: A 3.11. tétel bizonyítása alkalmazható itt is értelemszerű módosításokkal. Ezen kívül Okamoto szintén [7]-ben a következő tételt is belátta. 4.8. Tétel: Jelölje p 0 az 54p 3 27p 2 = 1 egyenlet egyetlen ( 1 2, 2 3 -beli gyökét. Ha 2 3 > s > 0, és s 1 3, akkor (i a g s Okamoto-függvény végtelen sok pontban deriválható, de végtelen sok pontban nem deriválható, 30

(ii s < p 0 esetén g s csak egy nullmértékű halmazon deriválható, (iii s p 0 esetén majdnem mindenütt deriválható. A fenti tétel s = p 0 esetének bizonyítása Kenta Kobayashi eredménye ([5]. Érdemes megjegyezni, hogy a tétel (i pontja viszonylag könnyen látható: Legyen a T tetszőleges. Ekkor igazolható, hogy g s akkor és csak akkor deriválható a-ban, ha 1 s. Emellett megmutatható, hogy minden n N esetén igaz, hogy 3 g s akkor és csak akkor deriválható α n + 1 2 3 -ben, ha 2 n 3 > s 1 (feltéve, hogy 3 a < 1. 4.3. A grafikon tulajdonságai Ebben a részben általánosítjuk a 3.2. fejezetbeli állításokat, valamint a grafikon Hausdorff- és box-dimenzióját vizsgáljuk meg. Jelölje Γ s a g s Okamoto-függvény grafikonját. 4.9. Állítás: A g s Okamoto-függvény grafikonja szimmetrikus az ( 1 2, 1 2 pontra, azaz minden a [0, 1]-re. g(a = 1 g(1 a (7 Bizonyítás: Ha a = 0 vagy a = 1, akkor (7 nyilván igaz, így f s definíciójából teljes indukcióval tetszőleges T -belire teljesül, tehát a g s folytonossága miatt minden a [0, 1]-re is. Az alábbiakban megadjuk az Okamoto-függvények önaffin előállítását. Tekintsük az alábbi IFR-t: Legyen w s,i : [0, 1] [0, 1] [0, 1] [0, 1] (i = 1, 2, 3, ahol tetszőleges x, y [0, 1]-re: ( 1 w s,1 (x, y = x, sy, 3 w s,2 (x, y = ( 13 x + 23, (2s 1y + (1 s, w s,3 (x, y = ( 1 3 x + 2, sy + (1 s. 3 31

A 4.2. állításból adódik a következő állítás. 4.10. Állítás: Γ s a W = {w s,1, w s,2, w s,3 } IFR attraktora. Az alábbi, a grafikon box-dimenziójáról szóló tételek James McCollum cikkéből származnak ([6]. 4.11. Tétel: Ha s ( 0, 1 2], akkor dimb Γ s = 1. 4.12. Tétel: Ha s ( 1 2, 1, akkor dim B Γ s = log 3 (12s 3. McCollum a cikkben bizonyítani véli hogy a dim H Γ s = dim B Γ s minden s (0, 1 esetén, azonban kétségek merültek fel a bizonyítás helyességét illetően (ld.: [1, 3. oldal]. 4.4. Lokális tulajdonságok A 4.1. és a 4.2. állításokból valamint (5-ből könnyen belátható a 3.9. következmény általánosítása: 4.13. Állítás: Legyen a = α k (k N. Ha s > 1, akkor: 2 (i ha a = 0, a szigorú globális minimumhelye g s -nek. (ii ha a = 1, a szigorú globális maximumhelye g s -nek. (iii ha A k+1 0 mod 2, a szigorú lokális minimumhelye g s -nek. (iv ha A k+1 1 mod 2, a szigorú lokális maximumhelye g s -nek. Ahogyan a következő tételekből látni fogjuk a lokális monotonitás szempontjából az aranymetszés arányszáma adja az egyik kritikus esetet. 5 1 4.14. Tétel: Legyen 1 > s >. Ekkor tetszőleges a (0, 1-re igaz, hogy g s 2 a-ban nem nő lokálisan, és nem csökken lokálisan. Bizonyítás: A 3.10. tétel bizonyítása alkalmazható azzal a változtatással, hogy g helyére g s -t írunk. 32

5 1 4.15. Tétel: Legyen s 0 < s, ahol s 0 az s 3 s 2 + 2s 1 = 0 egyenlet 2 egyetlen valós gyöke. Legyen a (0, 1. Ekkor g s a-ban: (i lokálisan nő n N a = α n + 1 4 3 n, és A n páros, (ii lokálisan csökken n N a = α n + 1 4 3 n, és A n páratlan. Bizonyítás: A jobbról balra irány igazolásához mind az (i, mind a (ii pont esetében az önaffinitás miatt elég belátni, hogy 1 4 -ben g s lokálisan növekszik. Hármas számrendszerben 1 4 = 0, 020202... és 3 4 alapján g ( ( 3 = g 2 4 3 2i+1 = i=1 i=0 = 0, 202020..., tehát a 4.2. állítás (1 ss 2i = 1 s 1 s 2 = 1 1 + s. 5 1 Mivel s, ezért 0 s 2 + s 1, azaz 2 szerint (kihasználva, hogy s > 1 2 [ x 0, 2 ] ( ( 1 3 g s (x g s g s 3 3 4 1 1 + s s = g s ( 1. A 4.1. állítás 3. (8 A grafikon szimmetriájának következtében [ ] ( 1 1 x 3, 1 g s (x g s. (9 4 Ekkor (8-ből és az önaffinitásból adódóan [ x 0, 2 ] ( 1 g s (x g s. (10 9 4 Eszerint és x x [ 0, 1 ] 4 [ ] 1 4, 1 g s (x g s ( 1 4 g s (x g s ( 1 4, 33

( 1 (9, (10 és az önaffinitás miatt, mert 4 z 2 3 2i /3 2z = 1 i=1 4, azaz az 1 [ 4 1 az 4 2 3 2i, 1 ] i=z+1 4 + 2 3 2i+1 alakú 3 2z -háló kocka negyedénél van i=z+1 tetszőleges z N-re. Ezzel ezt az irányt beláttuk. Amennyiben a T, akkor a 4.13. állításból triviálisan adódik a másik irány. Legyen most a / T olyan, hogy a α n + 1 4 3, és I := {i N : a n i = 1}. Ha I =, akkor létezik (t j j=1 N szigorúan monoton növő sorozat, melyre ( atj = I, tehát g j=1 s (α ti < g s (a, ha i páros, és g s (α ti > g s (a, ha i páratlan. Eszerint g s a-ban nem nő lokálisan és nem csökken lokálisan. a k Legyen I <, és ε > 0. Ekkor létezik k N, hogy k 2 > max I, és a k 1 = a k+1 (mert a feltétel szerint a nem lehet 0, a 1... a j 202020... alakú, ahol j Z +, és 3 k+1 < ε. Feltehető, hogy a k = 0, valamint g s (a > g s (α k 2 (a többi esetben analóg módon bizonyítható az állítás. Ekkor a = 0, a 1... a k 2 200a k+2 a k+3, tehát g s ( αk 2 + 3 k+1 = g s (α k 2 + s(g ( α k 2 + 3 k+2 g s (α k 2 > mert s 0 < s. Ezek szerint > g s (α k 2 + + ( 1 s + (1 ss 2 ( g s ( αk 2 + 3 k+2 g s (α k 2 = = g s ( αk 1 + 2 3 k 1, g s (a > g ( α k 1 + 2 3 k 1, vagy g s (a < g s ( αk 2 + 3 k 1, tehát g s a-ban nem nő lokálisan, és nem csökken lokálisan, hiszen ε tetszőleges volt. 34

Hivatkozások [1] P. Allaart: The infinite derivatives of Okamoto s self-affine functions: an application of β-expansions, arxiv:1502.03374v1 (11 Feb 2015 [2] N. Bourbaki: Functions of a real variable, Translated from the 1976 French original by Philip Spain, Springer, Berlin, 2004. [3] K. J. Falconer: Fractal Geometry. Mathematical Foundations and Applications, 2nd Edition, Wiley, 2003. [4] H. Katsuura: Continuous nowhere-differentiable functions an application of contraction mappings, Amer. Math. Monthly 98 (5, (1991 411 416. [5] K. Kobayashi: On the critical case of Okamoto s continuous non-differentiable functions, Proc. Japan Acad. Ser. A Math. Sci. 85 (2009, no. 8, 101 104. [6] J. McCollum: Further notes on a family of continuous, non differentiable functions, New York J. Math. 17 (2011, 569 577. [7] H. Okamoto: A remark on continuous, nowhere differentiable functions, Proc. Japan Acad. Ser. A Math. Sci. 81 (2005, no. 3, 47 50. [8] F. W. Perkins: An Elementary Example of a Continuous Non-Differentiable Function, Amer. Math. Monthly 34, no. 9, (1927 476 478. 35