Közepek sorozatainak konvergenciája és alkalmazásai

Közepek sorozatainak konvergenciája és alkalmazásai Diplomamunka Írta: Józsa Mónika Alkalmazott matematikus szak Témavezet : Besenyei Ádám adjunktus Alkalmazott Analízis és Számításmatematikai Tanszék Eötvös Loránd Tudományegyetem Természettudományi Kar

Tartalomjegyzék Bevezet 3. Gauss-féle rekurziók 5.. Nevezetes közepek............................ 5.. Gauss és a számtani-mértani közép................... 6. Arkhimédészi rekurziók.. Arkhimédészi algoritmus........................... Algoritmus állandó kerülettel.......................3. Algoritmus szétválasztása........................ 4.4. Borchardt-algoritmus........................... 5.5. A mértani-harmonikus közép....................... 6 3. Egyez határértékek 7 3.. A közepek absztrakt bevezetése..................... 7 3.. A Borchardt-algoritmus határértéke................... 9 4. Keverékek és elliptikus integrálok 4.. Carlson eredménye............................ 4.. Határértékek más formában....................... 6 5. Alkalmazások 8 5.. Négyzetgyök algoritmus......................... 8 5.. Logaritmus közelítése........................... 9 5.3. π közelítése................................ 3 Köszönetnyilvánítás 33 Irodalomjegyzék 34

Bevezet Gauss 799. május 3-án számtani és mértani közepekkel deniált sorozatokat vizsgálva észrevette, hogy azok bizonyos elliptikus integrálokhoz konvergálnak. Az elliptikus függvények vizsgálata ma is kutatott ága a matematikának. Ezen függvények integráljainak elemi módszerekkel való közelítése nagy el relépést jelentett a témában. Gauss felfedezése a közepekkel meghatározott sorozatoknak egy igen jelent s alkalmazása volt, de korántsem az els. Korábban már felismerték egyes hasonló algoritmusok konvergencia tulajdonságát, s t már a π korai becslésénél is használtak ilyen típusú sorozatokat. Krisztus el tt harmadik században Arkhimédész, korának egyik legzseniálisabb polihisztora a rendelkezésére álló matematikai ismeretekhez képest meglep pontosságú közelítést adott a π-re. A görögök jöttek rá els ként, hogy a π nemcsak a kör területével, hanem a kerületével is összefüggésben áll. Arkhimédész az egység átmér j kör kerületét közelítette a következ ismert módszerrel : egy rögzített sugarú körbe és a kör köré írt egy-egy szabályos hatszöget, tekintette ezek kerületét, majd duplázta a hatszögek oldalszámát és kiszámította a kerületeket. Ezt folytatva négy lépés után jutott el a π két tizedes jegy pontosságú értékéhez, törtalakban a következ höz: 3 7 > π > 3 7. A módszer jelent sége abban rejlik, hogy fontos szerepe volt a geometria és az analízis átmenete között. Ugyanezt az eljárást alkalmazhatjuk úgy is, hogem a kör sugarát rögzítjük, hanem a szabályos sokszögek kerületét. Így minden lépésben egy-egy új kör keletkezik. Ha a kerületet -nek választjuk, a sokszögek rendre alulról, illetve fölülr l közelítik az egység sugarú kör kerületét attól függ en, hogy kezdetben a körbe, vagy köré írtuk. Így a lépésenként változó körök sugara -hez konvergál. Ezen két algoritmus π algebrai alakjából kit nik, hogy alapvet en a számtani és mértani közép m veleteit használja. 3

A dolgozatban ismertetni fogjuk a közép, mint matematikai objektum egy lehetséges denícióját, illetve két közép hasonlóságának fogalmát. A dolgozat egyik központi állítása kimondja, hogy ha az M és N közepek és hasonlóak, akkor az a n = M(a n, b n ), b n = N(a n, b n ) () rekurzióval értelmezett sorozatok konvergensek és a határértékük megegyezik. Az eredmény után következ részek ilyen határértékeket tárgyalnak. B. C. Carlson négyféle közepet alapul véve (köztük a számtani és a mértani közepet is) foglalkozott () típusú sorozatok határértékével és Gaussnál általánosabb formában megmutatta, hogy ezek összefüggésben vannak az elliptikus integrálokkal. Ennek eredménye egy zárt képlet, amely a kezdeti értékekt l és az aktuális sorozattól függ en adja meg a határértéket, egy paraméterezett elliptikus integrált. A paraméterek speciális értékei mellett az integrálok különböz formákban jelennek meg, amik a korábbi geometriai eljárások és természetesen Gauss eredményével összhangban állnak. A közepekkel deniált sorzatok néhány alkalmazásaként mutatjuk be a logaritmus, a négyzetgyök, illetve a π közelítését. 4

. fejezet Gauss-féle rekurziók Ebben a fejezetben bevezetjük a számtani-mértani közép fogalmát és bemutatjuk Gauss ezzel kapcsolatos kiemelked fontosságú eredményeit. Ezenkívül általánosítjuk az alkalmazott eljárást, melyet Gauss-féle rekurziónak hívunk... Nevezetes közepek A három talán legismertebb közép a számtani, mértani és harmonikus közép.. Deníció. Az a, b > számok számtani közepe A(a, b) := a+b.. Deníció. Az a, b > számok mértani közepe G(a, b) := ab. 3. Deníció. Az a, b > számok harmonikus közepe H(a, b) :=. a + b Ekkor fennáll az alábbi egyenl tlenség tetsz leges a, b > valós számokra: Ugyanis A(a, b) G(a, b), mert A(a, b) G(a, b) = (a + b) ab = ez alapján pedig H(a, b) = H(a, b) G(a, b) A(a, b). (.) A (, ) a b G ( a, b ( (a + b) ab ) = ( a b), ) = a b = G(a, b). Deniáljunk két sorozatot valamely a, b > kezd értékekkel a következ rekurzióval: a n+ := a n + b n, b n+ := a n +! (.) b n 5

.. Állítás. Az (.) sorozatok konvergensek és lim n a n = lim n b n = G(a, b ). Bizonyítás. El ször lássuk be, hogy a sorozatok konvergensek és a határértékük megegyezik! Legyen a b! Ekkor a H(a, b) b és a A(a, b) b, és így az (.) egyenl tlenségb l következ en a a... a n a n+ b n+ b n... b b. A sorozatok tehát korlátosak és monotonok, ezért konvergensek. Legyen lim n a n = α és lim n b n = β! Ekkor az (.) rekurzióban elvégezve a határátmenetet A(α, β) = α, így α = β. Most tekintsük a G(a n+, b n+ ) = G(a n, b n ) egyenl séget, amit behelyettesítéssel könnyen ellen rizhetünk. Ebb l határátmenettel kapjuk, hogy G(α, α) = G(a, b ). Tekintve, hogy G(α, α) = α, már adódik az állítás. Az (.) sorozatok közös határértékét számtani-harmonikus középnek nevezzük és az AH jelölést használjuk rá. Ha az (.) rekurziót más közepekkel deniáljuk, néhány esetben, mint például a számtani és mértani közepeknél érdekes, talán a fenti esetnél matematikailag mélyebb felfedezésekkel is találkozhatunk... Gauss és a számtani-mértani közép Vegyük a számtani és mértani közepekkel deniált sorozatokat, más néven a számtani-mértani közép rekurziót! Legyen tehát a n+ := a n + b n, b n+ := a n b n! (.3) Az. Állítás bizonyításának azon része, miszerint a sorozatoknak létezik határértéke és azok megegyeznek teljesen hasonlóan elmondható itt is. A határértéket ez esetben számtani-mértani középnek nevezzük. Vezessük be rá az irodalomban használt AG(+a, b) jelölést! A számtani-mértani középpel el ször Lagrange foglalkozott, de jelent sebb eredményre csak Gauss jutott. Az ezzel kapcsolatos munkájának legtöbb része csak halála után jutott napvilágra. A nagy felfedezése a lemniszkáta ívhossza és a számtani-mértani közép között fennálló összefüggésr l szólt. A lemniszkáta az a görbe, amelynél a két fókuszponttól mért távolságok szorzata állandó (képileg egy fektetett nyolcas). A lemniszkáta ívhosszát kifejez integrál az elliptikus integrálok közé tartozik, amelyeket sokszor nehéz, vagem lehet kiszámolni. Jakob Bernoulli vetette fel a kérdést, hogy melyik az a görbe, amely mentén leguruló test egyenl id közök alatt egyenl utakat tesz meg. Ennek a megoldása a lemniszkáta. 6

A bevezet ben Gauss 799-es meghatározó jelent ség eredményével nyitottam, a formula a következ : AG(, ) dt = π t 4, (.4) ahol t 4 dt a lemniszkáta pozitív síknegyedbe es ívhossza. Ezt kés bb általánosította a számtani-mértani közép tetsz leges értékeire, miszerint.. Tétel. π AG(a, b) a cos φ + b sin φ dφ = π. (.5) Hogy lássuk az (.4) integrál valóban az. Tételbeli formulának egy speciális esete, helyettesítsük az (.5) kifejezésbe az a =, b = értékeket! Ekkor AG(, π ) cos φ + sin φ dφ = π. Ebb l sin φ = t helyettesítéssel kapjuk az (.4) formulát, hiszen (arcsin t) = ( t ), és ha φ < π, akkor t <, ezért ( t ) + t dt = t Bizonyítás. Az. Tétel igazolásához be kell látnunk, hogy Legyen AG(a, b) = Φ(a, b) := ( π π ( π π t 4 dt. ) a cos φ + b sin φ dφ. ) a cos φ + b sin φ dφ ekkor elég igazolnunk, hogy Φ(a, a) = a és Φ(a n+, b n+ ) = Φ(a n, b n ), mert így határátmenettel és az. Állítás bizonyításának gondolatmenetével adódik az állítás... Állítás. Az (.5) formula integrálja az (.3) rekurzióra nézve invariáns. Teljesül tehát az alábbi π π a n cos φ + b n sin φ dφ = dψ. (.6) a n+ cos ψ + b n+ sin ψ Bizonyítás. Hajtsuk végre az (.6) bal oldalán a következ, az elliptikus integrálok körében gyakran használt úgynevezett Gauss-transzformációt: sin φ = a sin ψ (a + b) + (a b) sin ψ. 7

A fenti egyenl ség mindkét oldalát deriválva kapjuk, hogy cos φ dφ = a (a + b) (a b) sin ψ ( (a + b) + (a b) sin ψ ) cos ψ dψ. A helyettesítés a cos φ + sin φ = összefüggés segítségével koszinuszra kifejezve a következ : cos φ = A fentiekb l adódnak az alább összefüggések (a + b) (a b) sin ψ (a + b) + (a b) sin ψ cos ψ. dφ = a (a + b) (a b) sin ψ (a + b) + (a b) sin ψ dψ (a + b) (a b) sin ψ, a cos φ + b sin φ = a (a + b) (a b) sin ψ (a + b) + (a b) sin ψ. Az integrandusra tehát a helyettesítésb l azt kapjuk, hogy dφ a cos φ + b sin φ = dψ ( a+b ), cos ψ + ab sin ψ amivel az (.3) rekurziót tekintve igazoltuk az.6 Állítást. Ehhez hasonlóan eredményes az a csc φ = a+b csc φ +(a+ a+b) sin φ helyettesítés is, ahol csc x =. A Φ(a, a) = a egyenl séget pedig az alábbi módon láthatjuk sin x be Φ(a, a) = π π a cos φ + a sin φ dφ = π π a dφ = a Az algoritmusok kapcsán felmerül a kérdés, vajon hány lépés kell, hogy elérjünk egy adott pontosságot, hiszen az alkalmazhatóság nagyban függ a konvergencia sebességét l. A konvergenciasebességet a kés bbiekben úgy látjuk majd be, hogy a sorozatok (n+)-edik tagjainak különbségét elosztjuk az n-edik tagok különbségének els (ekkor lineáris a konvergencia), vagy második hatványával (ekkor négyzetes, más szóval másodrend a konvergencia), ami valamilyen konstanssal lesz egyenl n esetén. Jegyezzük meg, hogy azért lehet a tagok különbségét venni, mert a sorozatok alulról és felülr l monoton közelítik a határértékeket!.3. Állítás. A számtani-mértani közép esetén a konvergenciasebesség négyzetes, pontosabban a n+ b n+ lim = n (a n b n ) 8AG(a, b ) 8

Bizonyítás. = lim n a a n+ b n+b n n+ a n b n lim = lim n (a n b n ) n ( a n + b n ) ( a n b n ) = ( a n b n ) ( a n + b n ) ( a n b n ) = lim n ( a n + b n ) = 8AG(a, b ) A négyzetes konvergencia úgy is megfogalmazható, hogy a pontos tizedesjegyek száma minden lépésben legalább megkétszerez dik. A számtani-mértani közepet ma is alkalmazzák elliptikus integrálok közelítésére hatékonysága miatt. Az irodalomban Gauss-féle rekurzió néven vált ismertté a számtani-mértani közép rekurziójának általánosítása. Vegyünk két közepet (pontos deníciót illet en lásd (3.)-et) M-et és N-et! A rekurzió ekkor a következ : a n := M(a n, b n ), b n := N(a n, b n ). (.7) A kés bbiekben javarészt ilyen típusú algoritmusok tulajdonságaival foglalkozunk. 9

. fejezet Arkhimédészi rekurziók.. Arkhimédészi algoritmus A következ kben a π közelítésének a Bevezet ben említett Arkhimédész-féle módszerét tárgyaljuk. A. ábra szemlélteti az algoritmus egy lépését,.. ábra. ahol AA n az n-edik lépésben a kör köré írt szabályos sokszög egy oldalának a fele, BB n pedig a beírt sokszög egyik oldala. Legyen O egy AB átmér j kör középpontja, továbbá AA n (A n az (n )- edik lépésben a kör köré írt szabályos sokszög egyik csúcsa) a kör egy A pontjában vett érint szakasza! Ezenkívül az AOA n szögfelez je és az AA n szakasz metszéspontja legyen A n! Így a szögfelez tétel alapján OA n OA = A n A n AA n.

A két oldalt -gyel b vítve, és a jobb oldalon két szakaszt összevonva kapjuk, hogy OA + OA n OA = AA n + A n A n AA n = AA n AA n. Ebb l OA-val vett szorzás és AA n -el való osztás után adódik, hogy OA AA n + OA n AA n = OA AA n. (.) Mivel OAA n derékszög háromszög, így a Pitagorasz-tétel alapján A (.) és a (.) egyenl ségekb l x n = OA AA n hogy OA n = OA + AA n. (.) és = OAn AA n helyettesítéssel kapjuk, x n = x n +, = x n +. (.3) Világos, hogy x n az AOA n háromszögben egy kotangens, illetve ugyanott egy koszekáns (csc x = sin x ). Vegyük fel B n -et (az (n )-edik lépésben a körbe írt szabályos sokszög egyik csúcsa) úgy, hogy a BAB n szög egyenl legyen az AOA n szöggel és rajta legyen a félkörön! Emellett a kör és a BAB n szögfelez metszéspontja legyen B n! Most nézzük meg, hogy mi adódik a sokszögek oldalára az n-edik lépésben! Vegyük észre, hogy AB =, valamint az AOA OA n háromszög hasonló a B n AB háromszöghöz, hiszen a Thalész-tétel miatt BB n A derékszög, a BAB n szöget pedig úgy konstruáltuk, hogy egyenl legyen az AOA n szöggel, így a két háromszög szögei megegyeznek! A hasonlóságból adódik, hogy AB BB n = OAn AA n AA n = AB OA AA n = AB x n,. Ezek alapján könnyen kapjuk, hogy BB n = AB OA n AA n = AB. Ha szabályos M-szögekb l indulunk ki, valamely M 3 -ra, úgy az n-edik lépésben szabályos n M-szögeket kapunk. Ebb l, ha az átmér t egység hosszúnak választjuk a sokszögek kerületére felírhatjuk a következ t: P n M = n M x n, p n M = n M, (.4) ahol P n M a köré írt, p n M a bele írt sokszög kerületét jelöli. A P n M és p n M sorozatokról pedig tudjuk, hogy szigorúan monoton tartanak a kör kerületéhez, vagyis π-hez. Vegyük még észre, hogy = x n + helyettesíthet = x n (.5) kifejezéssel. Valóban, (.5)-öt megkaphatjuk a sin α = cos α sin α trigonometrikus azonosság alkalmazásával. A kerületekre a (.4) egyenl ségek alapján felírva (.3)

els, illetve (.5) szerint módosított második egyenl ségét kapjuk az Arkhimédészi algoritmust, azaz P n M = P n Mp n M P n M + p n M, p n M = P n Mp n M. Tekinthetünk erre az algoritmusra a geometriai jelentését l függetlenül is. Vehetünk tehát két egymástól függ sorozatot tetsz leges a, b > kezd értékekkel a következ képpen: a n+ := a nb n a n + b n, b n+ := a n+ b n, n. (.6) Vegyük észre, hogy ezek harmonikus és mértani közepek! A (.6) rekurziót Arkhimédészi algoritmusnak nevezzük... Állítás. Az Arkhimédészi algoritmusra fennáll az alábbi azaz a konvergencia lineáris. a n+ b n+ lim = n a n b n 4, Bizonyítás. A bizonyításhoz írjuk át a (.6) rekurzió szerint az (n + )-edik tagokat! a nb n a a n+b n nb n a n+b n b n a n b n = b n an a n b n = b ( ) n an an a n b n a n + b n a n + b n a n b n an + a n + b n = = b n an an a n + b n = a n b n a n + b n b n an (a n + b n ) ( a n + a n + b n ). Mivel lim n a n = lim n b n, ezért egyszer sítéssel már adódik az állítás. A (.6) rekurzió mintájára általánosan is értelmezhetünk sorozatokat tetsz leges M és N közepekkel a következ módon a n+ := M(a n, b n ), b n+ := N(a n+, b n ) (.7) valamely a, b > kezd értékekkel. Az ilyen típusú rekurziókat szokás Arkhimédészi rekurzióknak nevezni... Algoritmus állandó kerülettel Descartes nevéhez f z dik az Arkhimédészi algoritmus egy kifordított változata, miszerint nem a kört, hanem a szabályos sokszögek kerületét rögzítjük. A. ábra szemlélteti az algoritmus egy tetsz leges lépését. Az i-edik lépésben egy i M, (M 3) oldalú szabályos sokszög oldalszámát duplázzuk, megtartva közben a kerületet,

.. ábra. és ezzel megváltoztatva azon köröket, melyek a sokszögnek köré, illetve bele írható körei voltak. Legyen AB az OA sugarú körbe írt szabályos n M-szög egyik oldala, C és F rendre az AOB szögfelez jének és a körnek, valamint az AB szakasznak a metszéspontjai, az ABC háromszög középvonalát pedig jelöljük DE-vel! Ismeretes, hogy DE = AB, így DE-t választva az n-edik lépésben a n M-szabályos sokszög egyik oldalának, a kerület megmarad. Látható, hogy teljesülnek a következ k : OG = (OF + OC), (.8) OD = OC OG. (.9) Az utóbbi összefüggés az ODC derékszög háromszögben OD-re felírt befogótétel. Jelöljük rendre R i M-vel és r i M-vel a i M-szög köré, illetve bele írt körének sugarát! Ekkor R n M = OC, R n M = OD, r n M = OF, r n M = OG. Ezt behelyettesítve a (.8) és (.9) kifejezésekbe kapjuk, hogy r n M = (r n M + R n M), R n M = r n MR n M. (.) Minthogy a szabályos sokszögek kerülete állandó és tartanak az egység kör kerületéhez, ezért lim r n n M = lim R n M = n π. 3

Az el z fejezethez hasonlóan most is elvonatkoztathatunk a geometriai jelentést l és vehetjük a következ sorozatokat tetsz leges x, y > kezd értékekkel: x n+ = (x n + ), + = x n+, n. (.) Vegyük észre, hogy ezek számtani és mértani közepek! A (.) rekurziót Borchardtalgoritmusnak nevezzük. Megjegyezzük, hogy hasonló algoritmussal lehet megoldani a kör helyett más görbét tekintve alapul, a körcikkhez hasonló idomok területének számítási problémáját is (lásd a [4] cikk 4. oldalán a hatodik bekezdést)..3. Algoritmus szétválasztása A (.), illetve a (.3) algoritmusok sorozatait függetleníteni lehet egymástól. Tekintsük el ször a (.) rekurziót, vagyis a Borchardt-algoritmust! Lássuk be, hogy 4 n (x n y n) független n-t l, azaz c := (x y ) jelöléssel 4 n (x n y n) = c minden n-re. Valóban, ( ( ) ) 4 n+ (x n + ) (x n + ) = 4 n ( (x n + ) (x n + ) ) = 4 n (x n y n) Ez alapján könnyen adódik, hogy az alábbi független sorozatok megegyeznek a (.) algoritmussal. x n+ = x n + y n+ = ( (xn ) 4 n c + ) + 4 n cyn Most tekintsük a (.3) rekurziót! Ebben az esetben egyszer en adódik, hogy x n = x n + helyettesíthet x n = x n + x n + összefüggéssel, hiszen = x n +. Ebb l x n -et kifejezve x n = y n kifejezést beírva az x n = x n + x n + egyenl ségbe kapjuk, hogy = x n + kicserélhet = y n + y n rekurzióval. Tehát x n = x n + x n +, = y n + y n ekvivalens a (.3) rekurzióval, viszont a sorozatok függetlenek egymástól. 4

.4. Borchardt-algoritmus Borchardt német matematikus, aki többek között Dirichlet és Jacobi tanítványa volt folytatta Gauss kutatásait a számtani-mértani középpel kapcsolatban. A (.) sorozatokat a geometriai jelentést l függetlenül vizsgálta és 8-ben felfedezte, hogy a (.) sorozatoknak közös a határértéke, mégpedig x, y kezd értékekt l függ en a következ : (y x )/ arccos x y, ha x < y B(x, y ) = (x y)/arch x y, ha < y < x x, ha x = y. (.) Valójában ezt az eredményt Pfa német matematikus már 8-ban megkapta, ám mivel nem publikálta, (.) Borchardt-algoritmusként lépett be a szakirodalomba. Jegyezzük meg, hogy a (.) rekurzió a számtani-mértani rekurziótól csak egy indexbeli léptetéssel tér el, a határérték mégis meglep en különböz! Geometriai jelentésük miatt tudjuk, hogy (.6) sorozatai bizonyos kezd értékekre konvergálnak π-hez, illetve (.) sorozatai -hez. Ha M oldalú szabályos szögb l π indulunk ki,akkor az alábbi kezd értékekr l van szó: a = M tan π, M b = M sin π, M (.3) x = ctg π, M M y = csc π. M M A (.3) kezd értékei abból adódnak, hogy az egység átmér j kör beírt szabályos M-szögének egy oldala tan π hosszú, illetve a köré írt szabályos M-szögének egy M oldala sin π hosszú. Látható, hogy a M = x és b = y. Behelyettesítéssel könnyen ellen rizhet, hogy tetsz leges kezd érték esetén bármely lépésre igaz, hogy ha a n = x n és b n =, akkor a n+ = x n+ és b n+ = +. Ebb l és az algoritmus konstruálása alapján igaz a következ, ahol HG(a, b) a (.6) algoritmus határértéke: HG(a, b ) = B(/a, /b ). (.4) Ezáltal, ha belátjuk a (.) formulát, akkor belátjuk azt is, hogy HG(a, b ) = lim a n = lim b n, azaz arccos a b / (b a ), ha a < b HG(a, b ) = arch a b / (a b ), ha < b < a a, ha a = b. (.5) A (.5), (.) eredményeket a következ fejezet.. Tételében és bizonyításában tárgyaljuk, ahol választ kapunk arra is, hogy a megfelel határértékek léteznek tetsz leges kezd érték mellett. 5

.5. A mértani-harmonikus közép A számtani-mértani és mértani-harmonikus közepekkel deníált () típusú sorozatok határértékei között azonos összefüggés van, mint az Arkhimédészi és Borchardt algoritmusok határértékei között. Vegyük a következ rekurziót valamely a, b > kezd értékekkel: a n+ = a n b n, b n+ = a n +. b n Ekkor a sorozatok közös határértékét GH-val jelölve GH(a, b ) = AG( a, b ). Valóban, a i := a i, b i := b i jelöléssel a rekurzió a n+ = a nb n, b n+ = a n +b n alakú, ahonnan már látszódik, hogy lim a n = n AG(a, b ) = AG( a, b ). 6

3. fejezet Egyez határértékek A fejezet a bevezet ben említett () típusú sorozatok konvergenciájáról szóló tételt és bizonyítását, az azt el készít deníciókat, valamint a (.) és (.5) kifejezések bizonyításait foglalja magába. Az el z ekhez képest absztrakt tárgyalásra törekszünk és a továbbiakban erre támaszkodunk. 3.. A közepek absztrakt bevezetése 4. Deníció. Nevezzünk középnek egy M : R + R + R + folytonos függvényt akkor, ha teljesül rá a következ úgynevezett középérték-tulajdonság: min(a, b) M(a, b) max(a, b) (3.) minden a >, b > számra. A deníció természetes módon általánosítható n változós közepekre. Az alábbiakban összefoglaljuk a közepek f bb tulajdonságait 5. Deníció. Egy M közepet diagonálisnak hívunk, ha M(a, b) = a vagy M(a, b) = b pontosan akkor teljesül, ha a = b 6. Deníció. Egy M közép homogén, ha M(λa, λb) = λm(a, b) minden a, b, λ > számra. 7. Deníció. Egy M közepet szimmetrikusnak nevezünk, ha M(a, b) = M(b, a) minden a, b > számra. 8. Deníció. Legyen M és N egy-egy közép! Azt mondjuk, hogy M összehasonlítható N-nel, ha az alábbi három feltétel közül legalább az egyik teljesül.. M(a, b) N(a, b) minden a, b pozitív számra; 7

. N(a, b) M(a, b) minden a, b pozitív számra; 3. M(a, b) N(a, b) ha a > b > és N(a, b) M(a, b) ha b > a >. Vegyük észre, hogy ha M és N szimmetrikus közepek és M összehasonlítható N-nel, akkor N is összehasonlítható M-mel, ám a szimmetria hiányában ez nem teljesül. 3.. Tétel. Legyen M és N egy-egy közép! Ha M és N diagonálisok és összehasonlíthatók, akkor az a n = M(a n, b n ), b n = N(a n, b n ) (3.) rekurzióval deniált sorozatok tetsz leges a >, b > kezd értékre konvergensek és a határértékük megegyezik. A közös határértékre az M N jelölést használjuk. Az (a n ), (b n ) sorozatok közös határértékét keveréknek nevezzük (angolul compound mean). Bizonyítás. Tegyük fel, hogy az összehasonlíthatóság I. feltétele teljesül és legyen a b! Ekkor a b, továbbá a középérték-tulajdonság miatt a a b, illetve a b b. Ugyanezt tetsz leges indexre nézve, ha a n b n, akkor I. miatt a n+ b n+, a középérték-tulajdonság alapján pedig a n a n+ b n, illetve a n b n+ b n. Ebb l adódik, hogy a a... a n b n... b b minden n N esetén. Az (a n ), (b n ) sorozatok tehát monotonok és korlátosak, ezért konvergensek. Legyen lim n a n = α és lim n b n = β. Ekkor az M és N közepek folytonossága miatt a rekurzióból határátmenettel kapjuk, hogy α = M(α, β) és β = N(α, β), így M és N diagonalitása miatt α = β. Ha a < b, akkor ugyanilyen meggondolással adódik az állítás. Az összehasonlíthatóság II. esetében az egyenl tlenségek fordítottak, de a sorozatok korlátosságát és monotonitását ez nem befolyásolja, ezért ugyanúgy adódik, hogy lim n a n = lim n b n. Ha pedig III. teljesül, akkor az a b, b > a esetek szétválasztásával szintén csak az egyenl tlenségek iránya változik. Megemlítjük, hogy a diagonalitást csak az egyik középnél használtuk ki. A bizonyításból kiolvasható, hogy a közös határértékre teljesül a középértéktulajdonság és hogy a konvergencia monoton! Lássuk be azt is, hogy a határérték folytonosan függ a kezd értékekt l, illetve, hogy ha M és N szimmetrikus, vagy homogén, akkor ez a tulajdonság örökl dik M N-re! Ehhez meg kell gondolni, hogy a n és b n n darab közép kompozíciójaként jött létre. a n = M n (a, b ) és b n = N n (a, b ) jelöléssel M -re szorítkozva, ha a közepek szimmetrikusak és K(a, b) := M(M(a, b), N(a, b)), akkor K(a, b) = M(M(a, b), N(a, b)) = M(N(a, b), M(a, b)) = M(N(b, a), M(b, a)) = K(b, a) 8

Ha a közepek homogének, akkor K(λa, λb) = M(M(λa, λb), N(λa, λb)) = M(λM(a, b), λn(a, b)) = λm(m(a, b), N(a, b)) = λk(a, b). Függvényanalízisb l pedig tudjuk, hogy folytonos függvények kompozíciója folytonos. Ugyanígy belátható minden n-re, hogy M n -re és N n -re örökl dnek az el bbi tulajdonságok, így M N-re is. Jegyezzük meg, hogy a bevezet ben említett () típusú sorozatok magukba foglalják az Arkhimédészi rekurziót is, hiszen az el z ekb l kiderül, hogy ha például M és N közepekre nézzük a (.7) rekurziót, akkor K(a n, b n ) := N(a n+, b n ) = N(M(a n, b n ), b n ) is közép. Ezzel a K középpel () típusúra vezettük vissza az Arkhimédészi rekurziót. 3.. Tétel. (Invarianciaelv.) Tegyük fel, hogy az (a n ), (b n ) pozitív tagú sorozatok konvergensek és közös a határértékük, amely legyen γ. Ha Φ : R + R + R + olyan kétváltozós folytonos függvény, amelyre Φ(x, x) = x minden x > esetén, valamint Φ invariáns a két sorozatra nézve, azaz Φ(a n+, b n+ ) = Φ(a n, b n ) minden n-re, akkor γ = Φ(a, b ). A bizonyításban használjuk az a n+ = M(a n, b n ), b n+ = N(a n, b n ) jelöléseket, valamint a közös határértékre az M N jelölést! Bizonyítás. Φ invariáns a sorozatokra, azaz Φ(M(a, b), N(a, b)) = Φ(a, b). Ebb l következik, hogy lim n Φ(a n, b n ) = Φ(a, b). Mivel lim n a n = lim n b n = M N, ezért az el bbi kifejezés ekvivalens azzal, hogy Φ(a, b) = Φ(M N(a, b), M N(a, b)). Ekkor Φ azon tulajdonságából, miszerint Φ(x, x) = x már adódik az állítás. 3.. A Borchardt-algoritmus határértéke A fenti elméleti el készítés után lássuk a (.) és (.5) formulák bizonyítását! 3.3. Tétel. Legyenek az (x n ) és ( ) sorozatok a következ k: x n+ = (x n + ), + = x n+, n, és legyen M(x n, ) := x n+ és N(x n, ) := +. Ekkor az (x n ) és ( ) sorozatok konvergensek és közös a határértékük. A határérték x, y kezd érték mellett 9

B(x, y ) jelöléssel a következ : (y x )/ arccos x y, ha x < y B(x, y ) = (x y)/arch x y, ha < y < x x, ha x = y. (3.3) Bizonyítás. Világos, hogy M és N közepek. Az összehasonlíthatóságot a számtani és mértani közepek közötti ismert egyenl tlenségb l kapjuk. A diagonalitás a számtani közép esetében egyszer en adódik, és a 3. Tétel bizonyítása végén megjegyeztük, hogy elég az egyik középre belátni. Teljesülnek tehát a 3. Tétel feltételei, így az (x n ) és ( ) sorozatoknak létezik és közös a határértékük. A 3.3 Tétel bizonyításához az invarianciaelv szerint elég belátnunk, hogy (y n x n) / arccos x n = (y n+ x n+) / arccos x n+ +, ha x n <, (x n y n) /arch x n = (x n+ y n+) /arch x n+ +, ha < < x n. Ehhez el ször megmutatjuk a számlálóra egy konstans szorzótól eltekintve az invarianciát, pontosabban azt, hogy Deníció alapján: x n+ y n+ = 4 (x n y n). x n+ y n+ = 4 (x n + y n + x n ) (x n + ) = 4 (x n + yn + x n x n yn) = 4 (x n yn). Az -es szorzó miatt a nevez re azt kell belátni, hogy 4 Ehhez el bb megmutatjuk, hogy arccos( x n+ + ) = arccos( x n ), ha x n <, arch ( x n+ + ) = arch ( x n ), ha < < x n. x n+ + = (xn ) +. (3.4) Deníció szerinti behelyettesítéssel adódik az alábbi egyenl ség. (xn ) (x n + ) = + (x n + )y. n

A nevez vel beszorozva: ( ) xn + (x n + ) = 4 (x n + ) = (x n + ). A cos -ra és cosh -ra vonatkozó cos α = (cos α/) és cosh α = (cosh α/) trigonometrikus azonosságok mindkét oldalának az inverzét véve kapjuk, hogy α + arccos α = arccos α + arch α = arch. A két jobb oldalon α = xn helyettesítéssel és a (3.4) egyenl ség felhasználásával kész vagyunk az invariancia és egyben a (3.3) formula igazolásával is. Innen a (.4) összefüggés alapján a (.5) formula is adódik. 3.. Állítás. A (.) rekurzió sorozatainak konvergenciasebessége lineáris, pontosabban x n+ + lim = n x n 4. Bizonyítás. A. Tétel bizonyításánál beláttuk, hogy x n+ y n+ = x n 4. Ehhez hozzátéve, hogy x n+ + lim n x n x n+ yn+ = lim n x n yn x n + x n+ + + illetve, hogy már adódik az állítás. lim n x n + x n+ + + =

4. fejezet Keverékek és elliptikus integrálok Az () típusú (a n ), (b n ) sorozatok közös határértékét keveréknek nevezzük. Ezekkel ugyan kevesen foglalkoztak, de bizonyos keverékekre teljeskör és alkalmazható eredmények születtek. A keverékek kutatása akkor is, mint ma is peremprobléma volt, ezzel ellentétben az elliptikus integrálok vizsgálata, mint például a lemniszkáta ívhosszának meghatározása fontos kérdésnek bizonyult. A két témakör közötti kapcsolatot Carlson gazdagította tovább két évszázaddal Gauss után. 4.. Carlson eredménye B.C. Carlson 97-ben egységes eredményt adott 6 sorozat határértékére. A sorozatok () típusúak az alábbi közepekkel. f (x, y) = x+y, f (x, y) = (xy), f 3 (x, y) = (x x+y ), f 4 (x, y) = ( x+y y). (4.) Könny ellen rizni, hogy ezek közepek, illetve mind diagonálisak és összehasonlíthatóak egymással. Így a 3. Tétel szerint, ha veszünk két sorozatot, (x n )-t és ( )-t, amelyekre x n+ = f i (x n, ), + = f j (x n, ) valamely i, j {,, 3, 4}-re, akkor ezek konvergensek és határértékük megegyezik. Jelöljük a határértéket L ij -vel, azaz legyen L ij (x, y ) = lim n x n = lim n. Vegyük észre, hogy i = j esetben a határérték triviálisan f i (x, y ), így a továbbiakban 6 helyett a nem triviális sorozat vizsgálatára szorítkozunk.

Vezessünk be egy kétváltozós függvényt R(x, y ) jelöléssel, amely még függjön három paramétert l is a következ képpen: R(a; b, b ; x, y ) := β(a, a ) t a (t + x ) b (t + y ) b dt, (4.) ahol β a valószín ségszámításból ismeretes béta-függvény, nevezetesen a -re pedig fennáll, hogy β(α, β) := x α ( x) β dx, a + a = b + b. (4.3) A kés bbiekben a, b értékét az (i, j) pártól függ en adjuk majd meg. 4.. Tétel. L ij (x, y ) = [ R(a; b, b ; x, y ) ] a, (4.4) ahol a megfelel paraméterek értékeit a (4.) táblázat adja meg: 4.. ábra. Bizonyítás. Hajtsuk végre a (4.) integrálban a t = s(s+f ) helyettesítést! A Jacobidetermináns kiszámításánál a tört deriválása után használjuk fel az f f = f3 f4 s+f és f = f 3 + f 4 összefüggéseket: dt ds = s + sf + f f (s + f ) = (s + f 3 )(s + f 4 ) (s + f ). Az integrandusban a helyettesítésnél alkalmazzuk a következ összefüggéseket ( ) ) x + y s(s + f ) + x (s + f ) = s(s + xy) + x (s + = ( = s + s x x + y ) ( + x x + y ) = (s + f3 ) (4.5) 3

A fentiek alapján ( ) ) x + y s(s + f ) + y (s + f ) = s(s + xy) + y (s + = ( ) ( ) x + y x + y = s + s y + y = (s + f4 ). (4.6) t + x = (s + f 3 ) s + f, t + y = (s + f 4 ) s + f. A (4.) integrálban a kitev ket az el z helyettesítés és a (4.3) egyenl ség felhasználásával az alábbi alakra hozhatjuk. R(a; b, b ; x, y ) = β(a, a ) s a (s + f ) a (s + f ) a (s + f 3 ) b (s + f 4 ) b ds. (4.7) Tekintsük most csak az i =, j = 3 esetet, tehát amikor az x n+ = xn+yn, y n+ = x (x n+ n ) sorozatok közös határértékét vizsgáljuk! Az a =, b = választással a (4.3) összefüggés alapján b = a + adódik, illetve a (4.7) integrálban az integrandus szorzótényez i közül három -re redukálódik. Összevetve ez alapján a (4.7) formulát a (4.) formulával a = a, b = a +, b = β(a, ) Fennáll tehát az (t + x ) b (t + f y ) dt = β(a, ) paraméterekkel a következ t kapjuk: (s + f ) a (s + f 3 ) a ds. R(a; a +, ; x, y ) = R(a; a, a; f, f 3 ) (4.8) összefüggés. A fenti egyenl ségben a = 4 -et választva és R A(x, y ) = R( 4 ; 3 4, ; x, y ) jelöléssel élve teljesül, hogy R A (x, y ) = R A (f, f 3 ), (4.9) ami pont azt jelenti, hogy R A (x n, y n) független n-t l, azaz invariáns a rekurzióra nézve. Az invarianciaelv feltételei közül azt a tulajdonságot kell még belátnunk, hogy [R(x, x)] a = x, ahol R kitev je. Vezessük be az L := L3 (x, y ) jelölést! Kihasználva, hogy R invariáns a sorozatokra és megel legezve R két tulajdonságát, miszerint R A (λx, λy ) = (λ) 4 R A (x, y ) és R A (, ) = azt kapjuk, hogy R A (x, y ) = lim n R A (x n, y n) = R A (L, L ) = (L ) 4 RA (, ) = L. (4.) 4

Az R A (, ) = összefüggés azt jelenti, hogy ( ) x 3 4 dx (s + ) 3 4 (s + ) ds =. Átszorozva a béta függvénnyel, majd bal oldalt elvégezve az s + = t helyettesítést és a két oldalt kiintegrálva kapjuk, hogy t 5 4 dt = x 3 4 dx, ami valóban teljesül, hiszen mindkét oldal értéke 4. Ezzel az R A (, ) = tulajdonsággal kész vagyunk. Az R A (λx, λy ) = (λ) 4 R A (x, y ) összefüggés pedig a következ kb l adódik: R A (λx, λy ) = = β (, ) 4 = β (, ) 4 β (, ) 4 λ 3 4 λ 5 4 (s + λx ) 3 4 (s + λy ) ds = ( s λ + x ) 3 4 λ ( s λ + y ) ds = ( t + x ) 3 4 ( t + y ) λdt = λ 4 RA (x, y ). Ezzel beláttuk, hogy L 3 (x, y ) = [ R( 4 ; 3 4, ; x, y ) ]. A többi eset a táblázat alapján választva az a, b paramétereket hasonlóan adódik. A 3. Állítás szerint L 4 lineáris, a. Állítás szerint pedig L négyzetes konvergenciával bír. Vegyük észre, hogy L szintén négyzetes, ugyanis azonos kezd értékekkel a számtani-mértani (a n ) és (b n ) sorozata rendre pont a mértani-számtani (b n ) és (a n ) sorozata lesz. A Carlson-féle algoritmusból azonban csupán ez a két eset másodrend, minden más lineáris. Lássuk ezt be az i, j =, 3 esetre! 4.. Állítás. Az x n+ = xn+yn, + = (x n x n+ ) sorozatok lineárisan konvergálnak. Bizonyítás. Az i, j =, 3 esetben a Borchardt-algoritmushoz hasonlóan fennáll, hogy x n+ y n+ = 4 ( x n), mert A következ összefüggésb l ( ) x n+ yn+ xn + x n + = x n = 4 x n 4. és hogy már adódik a linearitás. x n+ + lim n x n x n+ yn+ x n + = lim, n x n yn x n+ + + lim n x n + x n+ + + = 5

Most legyen i, j = 3, 4! Ekkor x n+ + lim n x n = lim n ( x n+ ) xn ( x n+ ) y n x n = lim n ( xn+yn ) (x n y n ) (x n y n )(x n + y n ) = = lim n ( xn+yn ) (x n + y n ) = (L 34) (L 34 ) tehát a konvergencia ebben az esetben is lineáris. =, 4.. Határértékek más formában Ugyan az el z részben már megadtuk az L ij határértékeket, egy-egy újabb formulával azonban jobban láthatóak bizonyos összefüggések. Az els fejezetben láttuk, hogy L (x, y ) = ( π π ) a cos φ + b sin φ dφ A lemniszkáta ívhosszát kifejez integrált a t = x ctg φ helyettesítéssel kaphatjuk meg a (4.) deníció szerinti R(,,, x, y ) integrálból. Ebben az esetben láthatjuk, hogy Gauss formulája geometriailag szemléletesebb. Meggyelhetjük azt is, hogy a Borchardt-algoritmus azonos a Carlson által vizsgált i =, j = 4 esettel, azaz L 4 (x, y ) = B(x, y ). (4.) A Borchardt-algoritmus (3.3) formula szerinti határértékét az L 4 integrálból x < y esetben cos φ = (t+x ) (t+y ), y < x esetben pedig cosh φ = (t+x ) helyettesítéssel kaphatjuk (t+y ) meg. Ha a lemniszkáta ívhosszát az origótól a polár koordinátás x sugarú pontig arcsl (x) = x t 4 dt, x arcslh (x) = x függvénnyel jelöljük, illetve a geometriailag kevésbé érdekes +t 4 dt függvényjelölést alkalmazzuk, akkor belátható, hogy x y L 3 (x, y ) = y x / ( ) arcsl ( y/x ) 4, ha y < x / ( ) arcslh (y/x ) 4, ha < x < y. (4.) x, ha x = y. A (4.) formula speciális eseteként x =, y = kezd értékekkel fennáll, hogy L 3 (, ) = arcsl (), ahol az arcsl () értéket lemniszkáta konstansnak nevezzük. 6

A következ fejezetben tárgyaljuk majd a logaritmus számításának alkalmazásaként az alábbi összefüggést. y x L 34 (x, y ) = log(x /y ). Ezt az R(,,, x, y ) integrálban alkalmazott (t+x ) (t+y ) = eφ helyettesítéssel is beláthatnánk, de a kés bbiekben inkább elemi módszerekkel bizonyítjuk. A továbbiakban a következ összefüggéseket fogjuk igazolni: L 4 (y, x ) = L 3 (x, y ) = x L 4 (x, y ). (4.3) Az L 4 (y, x ) = L 3 (x, y ) egyenl ség könnyen adódik, ha behelyettesítjük deníció szerint az R(a, b, b, x, y ) integrálba a megfelel paramétereket a (4.) táblázat alapján. Ekkor mindkét határérték megegyezik az alábbival: A 4.4 Tétel szerint pedig β(, ) L 4 (x, y ) = β(, ) t (t + x ) (t + y ) dt. (t + x ) (t + y ) dt, ahol β(, ) = β(, ) = ( x) dx =. Ezen integrálok segítségével jóval nehezebb lenne belátni (4.3) második egyenl ségét, mint ha felhasználjuk a (4.) összefüggést. Ekkor az invarianciaelv szerint, mivel a Borchardt-algoritmus határértékére B(x, x) = x, már csak azt kell megmutatni, hogy xn L 4 (x n, ) = x n+ L 4 (x n+, + ), (4.4) x ahol x n+ = x n+ n és y n+ = x n. A (.) összefüggés alapján x < y esetén x n (y n x n) arccos xn = x n x n + ( ( xn ) ( x n x n+ ) ). (4.5) x xn+yn n arccos xnyn α+ Felhasználva az arccos α = arccos trigonometrikus azonosságot a jobb oldal y x n x n y n = x n x n ( xn n, arccos yn +) arccos xn ami éppen (4.5) bal oldala. Mivel x > y > esetben arch α = arch α+ teljesen hasonlóan alkalmazható, a fenti átalakítással igazoltuk a (4.5) egyenl séget és ezáltal (4.4) és (4.3) második egyenl ségét is. 7

5. fejezet Alkalmazások A keverékek néhány alkalmazását már tárgyaltuk, többek között Arkhimédész π közelít algoritmusát és az állandó kerület algoritmust, valamint a lemniszkáta ívhosszának és egyéb elliptikus integráloknak a számítását. Mindemellett számos egyéb közelít módszer kapcsán is találkozhatunk keverékekkel. 5.. Négyzetgyök algoritmus A babiloni módszer, vagy Héron-féle módszer a négyzetgyök közelítésére egy tetsz leges x > kezd értékb l indul ki, majd az alábbi rekurzió szerint folytatódik: x n+ := ) (x n + axn, ahol az a > szám gyökét keressük. Ekkor lim n x n = a és az algoritmus négyzetesen konvergál. Az el bbi módon deniált sorozatot átírhatjuk () típusúra a számtani és a harmonikus közepekkel, azaz x n+ = x n +, + = x n +. Ez valóban egy ekvivalens átalakítás, ugyanis vegyük az y = a x kezd értéket, ahol x ugyanúgy, mint az eredeti algoritmusban egy tipp a-ra! Ezt az y = + x y kifejezésbe beírva kapjuk, hogy y = a x, így = a x n mindvégig megmarad. A számtani-harmonikus középr l beláttuk az els fejezetben, hogy a mértani középpel egyezik meg, azaz teljesül az alábbi összefüggés. lim x n = lim = x y = a. n n Ezzel igazoltuk a babiloni módszer konvergenciáját és megmutattuk, hogy a keverékek alkalmazhatók négyzetgyök számításra is. Idézzük fel, hogy az els fejezetben a számtani-harmonikus közepépre a AH jelölést használtuk! 8

5.. Állítás. A számtani és harmonikus közepekkel deniált rekurzió esetén a konvergencia másodrend, pontosabban lim n a n+ a b (a n a b ) = AH(a, b ). Bizonyítás. Emlékezzünk vissza, hogy a határérték, vagyis a mértani közép invariáns ezekre a közepekre, azaz a b = a n b n minden n-re! Ennek segítségével a n+ an+bn a b (a n a b ) = a n b n (a n a n b n ) = ( a n b n ) a n ( a n b n ) =. a n Ebb l határátmenettel adódik az állítás. Ez azt jelenti, hogy hatékonyan tudunk a babiloni módszerrel, vagy a számtaniharmonikus középpel négyzetgyököt számítani. 5.. Logaritmus közelítése Els módszer: Idézzük fel, hogyan deniálta Carlson az el z fejezetben az L 34 határérték sorozatokat! Tetsz leges x, y > kezd értékekb l indult ki és a következ képpen folytatta a sorozatot: x n+ = ( ) ( ) x n + y n xn + y n x n, yn+ =. (5.) Az elliptikus integrálként megadott határérték, mint már a 4. alfejezetben is láttuk sokszor más érdekes formában is megjelenik. Jelen esetben L 34 egy logaritmikus alakját tárgyaljuk. Az (5.) rekurzió sorozatai a 4. Állítás szerint lineárisan konvergálnak. 5.. Állítás. y x L 34 (x, y ) = log(x /y ) Bizonyítás. A 4.4 Tételb l már tudjuk, hogy a közös határérték létezik. Használjunk erre az L jelölést! Lássuk be, hogy n log( xn ) és n (x n y n) független n-t l! n log x n x n+ x n+ n ( x n x n + = n log ( ) x n + x n = n log x n + ( xn x ) ( ) n + = n xn + (x n ) = n (x n y n) ) 9

Ekkor x n y n/ log( xn ) is független n-t l és Mivel lim x x log x x n y x n n lim n log( xn ) = lim y n y n log x n. n y n = és n esetén xn tart -hez, ezért x n yn lim n log( xn ) = L. A bal oldal viszont invariáns n-re, íg = -ra azt kapjuk, hogy x y log( x y ) = L, ahonnan L-re rendezve adódik az állítás. Jegyezzük meg, hogy a lim x x log x = határátmenettel megoldottuk az x = y kritikus esetet is. A bizonyítás teljesen hasonlóan elmondható az alábbi általánosított alakra. Legyen a rekurzió a következ, ahol p > tetsz leges egész: x n+ := ( ) xn (x p n yn) p p p(x n ), + := ( ) yn (x p n yn) p p p(x n ) Ekkor a határértékre az L jelölést használva ( x p y p L = log x p log y p ) p. Második módszer: Vegyünk egy () típusú algoritmust az alábbi módon! a n+ := a n + a n b n, b n+ := b n + a n b n ekkor a közös határértékre a, b > kezd érték mellett fennáll, hogy M N(a, b) = b a log b log a, ahol M N(a, b) jelöli az (a n ) és (b n ) sorozatok közös határértékét., Az invarianciaelv feltételeit kell ellen riznünk, miszerint a határértékre M N(a, b) = M N(M(a, b), N(a, b)) és M N(a, a) = a kell, hogy teljesüljön minden a, b > mellett. Az utóbbira az els logaritmus közelít módszernél használt lim x x log x = formula segítségével kapjuk, hogy M N(a, a) = lim b a b a log b log a = lim b a 3 b a a = a. log b a

A másik tulajdonság az alábbiak alapján adódik. b+ ab a+ ab log b+ ab log a+ ab = b a log(b + ab) log log(a + ab) + log = = ( log b a b+ ab a+ ab ) = b log b a b+ a = a + log b+ a b a log b log a. 5.3. π közelítése A π közelítésére számos módszert használnak. Lehet végtelen összegekkel becsülni a π-t, ilyen például a Leibniz-féle sor, vagy végtelen szorzattal, mint a Wallisformula. Most a Gauss-Legendre, más néven Brent-Salamin algoritmust ismertetjük, ami a korábbiak ismeretében nem meglep en a számtani-mértani közép segítségével számítja a π jegyeit. Legyen a rekurziónk a következ : a =, b =, π n := a n+ n k= k c k ahol c n := a n b n = c n /4a n, valamint a n és b n pedig a számtani-mértani rekurzió tagjai. Ekkor lim π n = π, π π n+ (n+) (π π n π n ). A bizonyítás megtalálható az [5] könyv 48 49. oldalán., Zárszó A számítógépek miatt az algoritmikus számítási mód nagyobb hangsúlyt kapott az elmúlt id szakban. Vonatkoztassunk el az eddigiekt l, és tekintsük a következ rekurziót: x n+ = f(x n, ), + = g(x n, ) ahol f és g tetsz leges kétváltozós függvény! Tricomi kutatása révén tudhatjuk, hogy ilyen iterációknak akár kontinuum sok xpontja is lehet és nincsen általános módszer határérték számítására (ha az egyáltalán létezik). Lehmer azt is megmutatta, hogy csak azon ritka esetek kezelhet ek jól, ahol létezik olyan zárt formula, amely invariáns az (x n ), ( ) sorozatokra. Az olyan egyszer rekurziók, mint amelyeket eddig tárgyaltunk könnyen programozhatók és jól kezelhet k, ami Lehmer eredménye miatt az adott invariáns formula létezéséb l is következik (ami a határérték is lehet). Láthattuk, hogy ilyen módon a π -t, a lemniszkáta konstanst és a 3

-t négyzetes konvergenciával lehet közelíteni. Érdemes megjegyezni, hogy az el bb említett konstansokkal ellentétben az e -re nem ismerünk még négyzetes számítási módszert. Végezetül megemlítem, hogy a témának létezik kiterjesztése a komplex, illetve az n-dimenziós térre, ami még számos érdekes eredményt rejt magába (lásd az [5] könyvet). 3

Köszönetnyilvánítás Ezúton szeretnék köszönetet mondani témavezet mnek, Besenyei Ádámnak, hogy felkeltette érdekl désem a téma iránt, hogy mindig szakított rám id t és kérdéseimre adott gyors válaszaival nagyban segítette munkámat. Emellett szeretném megköszönni Nagyszüleim segítségét, családom, kedvesem és barátaim támogatását, valamint szaktársam, Somogyi Krisztián tanácsait a LaTeX használatával kapcsolatban. 33

Irodalomjegyzék [] Besenyei Ádám: A számtani-mértani közép és egyéb érdekességek I-II. KöMaL, 9/, 7-8. és 9/3, 3-39. [] B. C. Carlson: Algorithms Involving Arithmetic and Geometric Means. The American Mathematical Monthly, Vol. 78, No. 5 (May, 97), pp. 496-55 [3] Cox, David A. : The arithmetic-geometric mean of Gauss. L'Enseignement Mathématique, Vol.3 (984) [4] George Miel: Of Calculations Past and Present: The Archimedean Algorithm. The American Mathematical Monthly, Vol. 9, No. (Jan., 983), pp. 7-35 [5] J.M. Borwein and P.B. Borwein: Pi and the AGM. A Study in Analytic Number Theory and Computational Complexity, John Wiley and Sons., New York, 987. 34