Műveletek komplex sámokkl A komplex sámok lklmás nyn eyserűsíti sámos műski prolém meoldását, különös tekintettel elektrotechniki, rendserelméleti és reéstni feldtokr. A követkeőken csk műski lklmások sempontjáól fontos kérdések kerülnek átismétlésre. Definíciók: Követkemény Iolás ) Képetes (iminárius) eysé j ) Komplex sám Aleri lk j Áráolás komplex sámsíkon: j j j j j j j j j () () Asolút érték ( vektor hoss): Fáissö ( vlós tenellyel eárt sö) Trionometrikus lk (cos jsin ) rct Exponenciális lk (áltlán et hsnáljuk) e j A solút érték komplex sám (vektor) hossát, e formálisn vektor vísintes tenellyel eárt söét muttj. Fiyelem! A rdiánn értendő! Bionyítás: Induljunk ki trionometrikus lkól (cos jsin ) A eysényi hossú komplex sám 0 j cos jsin
Deriváljuk mindkét oldlt serint d0 ( sin jcos ) (j sin jcos ) j(cos jsin ) d A váltoókt sepráljuk d0 jd 0 Mindkét oldlt interáljuk ln 0 j H vektor hoss nem eysényi, kkor értelem serűen j 0 e j 0 j 0 e Példák: Aleri lk Trionometrikus lk Exponenciális lk 4 4j rct 0,97 rd 4 4 (cos 0,97+jsin0,97) j0,97 e = =(cos0+jsin0) j0 e =j = cos jsin j e
= - (cos jsin ) = j( ) e Komplex sámok ostás 4j 6j 4 6 e e j0,97 j0,876 0,640e j(0,970,876) 0,64e j0,0 exponenciális lk Fáissö= sámláló fáissöe-neveő fáissöe! Bővítés konjuálttl. 4j 4j 6j 9 j 9 j leri lk 6j 6j 6j 6 6 6 Sinusos erjestés u sin 4t (e j4t ) u cos(4t ) [e j(4t) ]
u, u (V) Péld A árán láthtó C tr (luláterestő sűrőre) u sin 4t (V) váltkoó fesültséet kpcsolunk. ) Htárouk me állndósult kimenő fesültséet, h =k és C= 0F! ( û V; 4 rd /s) ) joljuk me e- és kimenő fesültsé időeli váltoását! u C u Z C Váltkoó ármú kören kondenátor nem skdásként, hnem komplex ellenállásként (impednciként) viselkedik. A kondenátor váltkoó ármú ellenállás (impednciáj) Z C. jc Ennek ismeretéen feldt nló (hsonló) terheletlen fesültséostóvl. A kimenő fesültsé jt ZC jc jt û e u u u û e Z C C Cj jrct j C (C) e û (C) e C j( trct ) (0 0 4) sin(4t rct0 0 4),64sin(4t,6rd) (V) A kimenő fesültsé késik emenő fesültséhe képest. (Adott időpillntn mé hátré trt) 0 0 0 0,0 0,0 0,0 0,04 0,0 0,06 0,07 - -0 - t (s)
A(w) Feldt Htáro me árán láthtó kpcsolás kimenő és emenő fesültsé-mplitúdóink rányát ( mplitúdó-nyítást) emenő fesültsé körfrekvenciájánk füvényéen! Leyen = k, C=0 F és L=0,H. A emenő fesültsé u û sin t. u C L u Z C Z L A tekercs (induktivitás) komplex impednciáj váltkoó ármú kören Z L jl. A párhumosn kpcsolt impednciák eredője jl Z Z jl LC jc A terheletlen fesültséostó össefüésére vissveetve u = jωl ω LC + jωl u = ω LC jωl ( ω LC) + jωl u = ωl ( ω LC) + (ωl) A(ω) e jπ e jrct ωl ( ω LC) u e jωt A feldt serint csupán A() mplitúdó nyítást kell mehtároni, fáissö most nem kérdés. A dtok ehelyettesítésével û 0, A( ) û 6 6 0 ( 0 ) 0, 04 A mplitúdó-nyítási füvényt ( reonnci örét) Excellel sámítjuk ki különöő emenőjel frekvenciákr., 0,8 0,6 0,4 0, 0 0 00 400 600 800 000 00 400 w (rd/s) A ármkör ey sávsűrő, mely reonnci frekvenciájú emenő jelet teljesen átenedi, nnál kise és nyo frekvenciájú jelkomponenseket eyre kise mértéken enedi át.
A ármkör reonnci körfrekvenciáját ól feltételől htárohtjuk me, hoy A() mplitúdó-nyítás kkor mximális, mikor neveője minimális. A A() neveője kkor minimális, mikor -0,00000 =0.Vyis ármkör reonnci körfrekvenciáj re =707 rd/s, f re =,6 H. Péld Ey c=40000 N/m merevséű ruóól és m= k tömeől álló lenőrendsert F=000sin0t sinusosn váltoó erővel erjestünk. Htárouk me töme elmodulásánk állndósult időfüvényét! (köépiskol, hrmonikus reőmoás) x(t) c m F x cx m F Free-ody dirm Mechnikus rendser esetén hldó moáskor F m össefüést hsnáljuk. ( = x ) Most ndeve F cx = mx mx + cx = F Komplex sámokkl felírv erjestést, elmodulást és yorsulást jt F Fˆ e Feltételeük, hoy csillpíttln eseten erő és elmodulás fáisn vn jt x xˆ e x = x (jω) e jωt (deriválás=j-vl vló sorás) x = x (jω) e jωt Behelyettesítve moáseyenlete (rendsereyenlete) Eyserűsítés után m xˆ(j ) e jt m xˆ(j ) c xˆ e jt c xˆ Fˆ Fˆ e Innen reés mplitúdój Fˆ 000 xˆ 0,06 m c m 40000 0 A töme kitérése idő füvényéen x 0,06sin 0t (m) jt