1. Archimedesz tétele. Minden x > 0 és y 0 valós számpárhoz létezik olyan n természetes szám, hogy y nx. Legyen y > 0, nx > y akkor és csak akkor ha n > b/a. Ekkor elég megmutatni, hogy létezik minden c valós számhoz létezik n természetes szám, melyre n > c teljesül. Más szóval a természetes számok halmaza nem korlátos ezt bizonyítjuk. Indirekt bizonyítási módszerrel; Tegyük fel hogy a természetes számok halmaza felülről korlátos, azaz α := sup N, ami elem R-nek. A szuprémum tulajdonságai miatt α 1 nem felső korlát. Vagyis létezik n > α 1 akkor n + 1 > α. Ezzel ellentmondásra jutottunk mivel α nem felsőkorlát. 2. Cantor tétele. Minden valós számok-beli, egymásba skatulyázott, zárt intervallumoknak van közös eleme. Ha minden n természetes számra adott [a n,b n ] része R zárt intervallum úgy hogy, [a n +1,b n +1] része [a n,b n ] (n eleme N-re), akkor az intervallumrendszer közös része nem üres, azaz létezik ζ eleme R-nek, hogy ζ eleme [a n,b n ] minden n elme N esetén. Létezik (a n ),(b n ) valós sorozatok, I n = [a n,b n ] és a n b n. [a n +1,b n +1] része [a n,b n ] akkor és csakis akkor ha a n a n +1 b n +1 b n a tranzitivitás miatt: Az n és m valós számok esetén: ha (n < m) a n a m és b m b n ha (m < n) a n b n b m A:= { a n eleme R, n eleme N} B:= { b n eleme R, n eleme N} Az előzőek miatt teljesítik a Dedekind axióma feltételeit. Ekkor létezik c valós szám, hogy a n c b n. A c eleme az I n -nek minden n természetes számra, vagyis c eleme n eleme N I n.
3. Korlátos halmaznak létezik szuprémuma és infímuma. Az A része H, A 0, A felülről korlátos, akkor A felső korlátjai között van legkisebb. Az A része H, A 0, A alulról korlátos, akkor A alsó korlátjai között van legnagyobb. B:= { b eleme R: a b minden a eleme A-ra} B 0, mert A felülről korlátos. Az A és B halmazok kielégítik a Dedekind axióma feltételeit, vagyis minden a eleme A, és minden b eleme B esetén a b. Ekkor létezik c eleme R, hogy a c b. Az a c, minden a eleme A esetén a c az A egy felső korlátja, c b minden b eleme B-re esetben a c kisebb vagy egyenlő, mint bármely felső korlát. Ebből következik, hogy a c az A legkisebb felső korlátja, vagyis sup A:= c. A:= { a eleme R: a b minden b eleme B-re} A 0, mert B alulról korlátos. Az A és B halmazok kielégítik a Dedekind axióma feltételeit, vagyis minden a eleme A, és minden b eleme B esetén a b. Ekkor létezik c eleme R, hogy a c b. Az a c, minden a eleme A esetén a c nagyobb vagy egyenlő, mint bármely alsó korlát, c b minden b eleme B-re esetben a c a B egy alsó korlátja. Ebből következik, hogy a c a B legnagyobb alsó korlátja, vagyis inf B:= c. 4. Műveletek nullsorozatokkal. Ha az (a n ) és (b n ) sorozatok nullsorozatok, akkor (a n +b n ) is nullsorozat. Minden ξ > 0 esetén az (a n ) nullsorozatból következik, hogy létezik egy N 1 természetes szám, melyre n > N 1 esetén a n < ξ/2. A (b n ) nulsorozatból következik, hogy létezik egy N 2 természetes szám, melyre n > N 2 esetén b n < ξ/2. Ekkor n > N esetén a n + b n a n + b n < ξ/2 + ξ/2 = ξ. Ebből következik, hogy a + b is nullsorozat. Ha az (a n ) nullsorozat és (c n ) tetszőleges korlátos sorozat, akkor (ancn) nullsorozat. Minden ξ > 0, létezik K > 0, hogy c n < K minden n elme N esetén. Minden ξ > 0 esetén az (a n ) nullsorozatból következik, hogy létezik egy N természetes szám, melyre n > N esetén a n < ξ/k. Ekkor n > N esetén a n * c n = a n * c n < ξ/k * K = ξ. Ebből következik, hogy az a * b is nullsorozat.
5. A közrefogási elv. Tegyük fel, hogy az (a n ), (b n ) és a (c n ) valós sorozatokre teljesülnek a következők: - létezik olyan N természetes szám, hogy a n b n c n majdnem minden n N indexre - az (a n ) és a (c n ) sorozatnak van határértéke és lim(a n )=lim(c n )=A eleme R. Ekkor a (b n ) sorozatnak is van határértéke, és lim(b n )=A. (c n a n ) nullsorozat lim(c n ) lim(a n ) = 0 konvergens mindkettő és a különbségük is 0 b n a n c n a n majdnem minden n természetes számra A (c n a n ) nullsorozat, a (b n a n ) felülről majorálása végett a (b n a n ) is nullsorozat. B n = (b n a n ) + a n, amelyből a (b n a n ) nullsorozat, az a n pedig konvergens, így összegük is konvergens és határértéke, lim(b n ) = lim(b n -a n ) + lim(a n ) = 0. 6. A konvergens sorozatok összegére vonatkozó tétel. Tétel: Legyenek a=( ) és b=( ) konvergens számsorozatok, ekkor a+b konvergens és lim(a+b)=lim a + lim b. Legyen lim a = A és lim b = B. Ekkor ( - A) és ( ) nullsorozatok. Alkalmazva a nullsorozatokra vonatkozó tételt: Mivel ( - A) + ( )=( ), azért ( ) is zérussorozat, következésképpen lim( )=A+B. 7. A konvergens sorozatok szorzatára vonatkozó tétel. Tétel: Legyenek a=( ) és b=( ) konvergens számsorozatok, ekkor ab konvergens és lim(ab)=lim a * lim b. Legyen lim a = A és lim b = B. Ekkor ( - A) és ( ) nullsorozatok. Alkalmazva a nullsorozatokra vonatkozó tételt: A szorzatra vonatkozó állítás igazolásához felhasználjuk az ( )= ( - A)( ) + (A)( ) azonosságot. Mivel az egyenlőség jobb oldalán álló két sorozat mindegyike egy korlátos sorozat és egy nullsorozat szorzata, ezért ezek is nullsorozatok. (2. nullsorozattétel) A két nullsorozatról szóló tételt felhasználva innen adódik a lim( )=AB állítás.
8. A monotonitás és korlátosság, mint a konvergencia elégséges feltétele. Tétel: a: N -> R, a monoton és korlátos => a konvergens és a esetén lim a=sup, a esetén lim a= inf Tegyük fel, hogy a és korlátos, sup =A є R A szuprémum tulajdonság miatt minden ε>0 esetén A-ε nem felső korlátja az -nak és létezik N є N, hogy >A-ε, ekkor n>n esetén (tudjuk: ). Tehát van határértéke, így konvergens. 9. Nemnegatív tagú sorok konvergenciája. Az Összehasonlító kritérium. Tétel1: Nemnegatív tagú sor akkor és csak akkor konvergens, ha részletösszegeinek sorozata korlátos. Tétel2: Legyen 0 (n є N). Ekkor, ha a Σb n sor konvergens, akkor Σa n sor is konvergens és ha a Σb n sor divergens akkor a Σa n sor is divergens. Bizonyítás1: Ha minden n є N számra akkor a Σa n sor nemnegatív tagú. Minthogy ilyen sorok részletösszegeire nyilván = teljesül, azért a nemnegatív tagú sorok részletösszegeinek sorozata monoton növekedő. Megfordítva, ha minden n є N indexre, akkor (n є N), azaz Σa n nemnegatív tagú sor. A monoton sorozatok konvergenciájára vonatkozó tétel alapján tehát adódik a tétel. Bizonyítás2: Tekintsük az Σa n és Σb n nemnegatív tagú sorokat és tegyük fel, hogy (n є N). Ekkor e sorok részletösszegeire nyilván 0 teljesül. Ennek alapján ( ) korlátosságából az ( ) sorozat korlátossága következik és megfordítva ha ( ) nem korlátos, akkor ( ) sem lehet korlátos. A most kapott észrevétel és Tétel1 állításával egybevetve adódik a nemnegatív tagú sorokra vonatkozó Összehasonlító kritérium.
10. A hányados kritérium. Tétel: a: N -> R, 0 (nєn) Tegyük fel, hogy létezik lim( ), ekkor 1. lim( ) < 1 => abszolút konvergens 2. lim( ) > 1 => divergens 3. lim( ) = 1 => határozatlan eset 87. old. 11. A gyökkritérium. Tétel: a: N -> R, létezik lim( ) є, ekkor 1. lim < 1 => abszolút konvergens 2. lim > 1 => divergens 3. lim = 1 => határozatlan 86. old. 12. Végtelen sorok szorzása. A téglányszorzat konvergenciája, abszolút konvergenciája. Tétel: Abszolút konvergens sorok téglányszorzata és Cauchy-szorzata egyaránt abszolút konvergens, és mindkét sor összege a kiindulásul tekintett két sor összegének a szorzatával egyenlő. +95.old 94. old. 13. A hatványsorok konvergencia halmazára vonatkozó tétel. Tétel: Hatványsor konvergencia halmaza intervallum, aminek középpontja. Legyen yєr, Tegyük fel, hogy y x 0 Legyen xєr, x-x 0 < y-x 0 Megmutatjuk:, konvergens. absz.konv. a n x-x 0 n = a n y-x 0 n n (<c q n ) ( q <1) konv. => nulls. => korl.=> =>létezik c>0 a n y-x 0 n <c minden nєn, =q<1 q <1 absz.konv. => (x) részhalmaza H-nak.