Valószíőségszámítás és statsztka elıadás Ifo. BSC B-C szakosokak 4/5. félév Zemplé Adrás zemple@ludes.elte.hu http://www.cs.elte.hu/~zemple/. elıadás: Bevezetés Irodalom, követelméyek A félév célja Valószíőségszámítás tárgya Törtéet Alapfogalmak Valószíőségek kszámítása Irodalom Jegyzet Barót-Bogáré-Fejes Tóth-Mogyoród: Valószíőségszámítás jegyzet programozó szakos hallgatókak Matematka statsztka jegyzet programozó matematkus hallgatókak Taköyvek: Prékopa: Valószíőségelmélet Solt: Valószíőségszámítás Bolla - Kráml: Statsztka következtetések elmélete Pál: A valószíőségszámítás és a statsztka alapja I-II Példatárak Bogáré-Mogyoród-Prékopa-Réy-Szász: Valószíőségszámítás feladatgyőjteméy Arató Mklós, Prokaj Vlmos és Zemplé Adrás: Bevezetés a valószíőségszámításba és alkalmazásaba: példákkal, szmulácókkal (elektrokus jegyzet) Mór-Szedl-Zemplé: Matematka statsztka példatár Számokérés Gyakorlatok gyakorlat jegy: csoportokét zh-k alapjá Vzsga: írásbel, késıbb egyeztetedı dıpotba Lehet vzsgapotot szerez az elıadásoko s (írásba, vllámkérdések megválaszolásával) Elıadások ayaga: www.cs.elte.hu/~zemple/oktatas.htm Cél Valószíőségszámítás és statsztka alapjaak smertetése Feladatmegoldás készség kalakítása (elsısorba gyakorlato) Alkalmazás lehetıségek bemutatása A valószíőségszámítás tárgya Közap kérdés lehete: mey a valószíősége, hogy holap es fog az esı? Helyzettıl függ: ha jö a hurrká, közel % ha atcklo domál, közel % Azoba maga a kérdés sem helyes, mert egyszer eseméyrıl va szó. Módosítás: Aak a valószíősége, hogy szeptember -é az ELTE dél épületéél legye mérhetı meységő csapadék, már értelmezhetı.
Véletle tömegjeleségek Ismételhetı/agy számba végbemeı eseméyek (például: X éves férf/ı mekkora valószíőséggel köt hóapo belül házasságot) Véletle: az smert feltételredszer em határozza meg egyértelmőe az eredméyt (pl. kockadobás). Nem s érdemes determsztkus modellel kísérletez, mert túl boyolult lee. Valószíőségszámítás helye a tudomáyok között Matematka tudomáy, mert precíze megfogalmazott axómáxra épül. Gyakorlat alkalmazása: statsztka következtetések levoása (pl.: ha egy érmével dobásból 55 fej jött k, akkor 99.9% valószíőséggel állítható, hogy az érme em szabályos). Modellezés Nem mdegy, hogy mlye valószíőség modellt haszáluk: úgy kell megválaszta, hogy mél potosabba leírja a vzsgáladó jeleséget. Tovább szempotok: Egyszerőség Iterpretálhatóság Törtéet áttektés. Elsı smert feladat 494-bıl: játék dı elıtt abbahagyása eseté hogya osztozzaak? Helyes megoldás több, mt évvel késıbb: Pascal (63 66), Fermat (6 665) Köye adható szmulácós megoldás (precíz számítás a gyakorlato) Cardao (54 körül) köyvet írt a kockajátékokhoz kapcsolódó valószíőségszámítás kérdésekrıl Törtéet áttektés. de Wtt, Halley (67): életjáradék-számítás valószíőség alapo Jacob Beroull (73): Ars Cojectad (agy számok törvéye) XVIII-XIX. sz: Movre, Bayes, Gauss, Posso Buffo: geometra valószíőség bevezetése paradoxook XIX.sz: Csebsev, Markov, Ljapuov Törtéet áttektés 3. Axomatzálás: Kolmogorov (933) Moder alkalmazások: Iformácóelmélet (Shao) Játékelmélet (Neuma) Matematka statsztka (Fsher) Sztochasztkus folyamatok Magyar tudósok: Jordá Károly (87-959) Réy Alfréd (9-97)
Alapfogalmak Eseméytér Kísérlet egy lehetséges kmeetele: elem eseméy, jelölése ω. Elem eseméyek összessége: eseméytér, Ω. Ω részhalmaza: eseméyek (A,B,C,...). Eseméy akkor következk be, ha az ıt alkotó elem eseméyek valamelyke bekövetkezk. Példák Kockadobás: Ω{,,,6}. Ha az A eseméy: páros számot dobtuk, akkor A{,4,6}. Érmét kétszer feldobva: Ω{II,IF,FI,FF} A{II,IF} az az eseméy, hogy az elsı dobás írás. Érmét addg dobuk, míg fejet em kapuk. Ω{F,IF,IIF,...,ω } ahol ω III. (azaz mde dobás írás) Eseméyek Specáls eseméyek: Ω (bztos eseméy) (lehetetle eseméy) Az eseméyek összessége: A (halmazredszer Ω részhalmazaból) Mőveletek eseméyekkel: szokásos logka mőveletek halmazmőveletek Mőveletek eseméyekkel A B: vagy A vagy B bekövetkezk (az s lehet, hogy mdkettı) A B: A és B s bekövetkezk A eseméy elletettje: A Tulajdoságok A\ B A B A B A B (De Morga) A A Ω Példák Kockadobás: A{páros számot dobuk} B{legalább 3-ast dobuk} A B{4,6} A B{,3,4,5,6} A\B{} A{,3,5} 3
Valószíőség Szemléletes megfelelıje: relatív gyakorság. Ha egymástól függetleül, azoos körülméyek között végrehajtott kísérletbıl az adott A eseméy k-szor következett be, akkor a relatív gyakorság k/. Nagy -re a relatív gyakorság egy fx szám körül gadozk: ezt evezzük az A valószíőségéek. Szmulácók (appletek): http://www.math.uah.edu/stat/dex.html Kocka-kísérlet A valószíőség Jele: P(A) A relatív gyakorság tulajdoságaból: Nemegatív: P( A) mde A-ra Egymást kzáró eseméyekre, azaz, ha A B : P ( A B) P( A) + P( B) (addtvtás) P(Ω) (Ω, A,P): valószíőség mezı Tulajdoságok. Addtvtás eseméyre: ha A, A,..., A párokét kzáró eseméyek, akkor P ( A A... A) P( A) + P( A) +... + P( A) Bzoyítás: dukcóval. P( ). Bzoyítás: Ω Ω felbotásból és az addtvtásból Tulajdoságok. P( A\ B) P( A) P( A B) Bzoyítás: A (A B) (A\B) felbotásból és az addtvtásból P( A B) P( A) + P( B) P( A B) Bzoyítás: A B B (A\B) felbotásból, az addtvtásból és az elızı tulajdoságból. Kolmogorov-féle valószíőség mezı (Ω, A,P): Kolmogorov-féle valószíőség mezı, ha Ω emüres halmaz A az Ω részhalmazaak σ-algebrája P : A [,] halmazfüggvéy (valószíőség), melyre. P (Ω). σ-addtvtás: ha A, A,..., párokét kzáró eseméyek, akkor P A A...) P( A) + P( A)... ( + A valószíőség tovább tulajdosága A (Kolmogorov-féle) valószíőség végese s addtív: ha A, A,..., A párokét kzáró eseméyek, akkor P ( A A... A) P( A) + P( A) +... + P( A) Bzoyítás. A + A + választással alkalmazzuk a σ-addtvtást. Tehát a korábba belátott tulajdoságok a Kolmogorov-féle valószíőség mezıre s érvéyesek. 4
Véges valószíőség mezı Ω{ω, ω,,ω }, A P (Ω). Jelölés: p P (ω ). p az addtvtásból. P( A) P( P(ω) P( Ω) ω : ω A ) p : ω A Azaz a p emegatív, összegő számok meghatározzák a valószíőséget. Klasszkus valószíőség mezı p / mde -re (azoos valószíőségőek az elem eseméyek). k Ekkor P ( A) ahol k az A elemszáma, pedg az összes esetszám. Másképpe: P(A)kedvezı esetek száma/ összes esetszám. Klasszkus valószíőség mezı A klasszkus valószíőség mezı alkalmazása elıtt mdg meg kell gyızıd a feltételekrıl! Példa: születésap Sokág a valószíőséget általába s így próbálták defál, de ez em fed le mde esetet. Vsszatevéses mtavétel N termék, melybıl M selejtes elemő mta vsszatevéssel A: potosa k selejtes va a mtába k k (k,,) M M P( A) k N N azaz a valószíőség kfejezhetı a pm/n selejtaráy segítségével: p k ( p) P( A) k k Mtavétel Vsszatevés élkül mtavétel N termék, melybıl M selejtes elemő mta vsszatevés élkül A: potosa k selejtes va a mtába (k,,) Mtavétel M N M k k P ( A) N 5
Valószíőségszámítás és statsztka elıadás fo. BSC/B-C szakosokak. elıadás szeptember 9. Megszámlálható valószíőség mezı Ω{ω, ω,,ω, }, A P (Ω). Jelölés: p P (ω ), valószíőségeloszlás: p, az összegük. A σ-addtvtás matt tetszıleges A eseméyre megy a véges esetre látott számítás: P( A) P( ω p : ω A ) : ω A Példa: Háyadkra dobjuk az elsı fejet egy szabályos érmével? p / (,, ) A valószíőség folytoossága Állítás. Ha A A (,, ) és A A... akkor az A A jelöléssel lm P( A ) P( A) Bzoyítás. A A ( A \ A ) ( A \ A3 )... dszjukt felbotás, tehát a P A \ A ) + P( A \ A )... ( 3 + sor koverges. A fet felbotást A -re alkalmazva: P( A ) P( A) + P( A \ A + ) + P( A + \ A + ) +... Eseméyek uójáak valószíősége P( A B) PA ( ) + PB ( ) PA ( B) Példa: Magyar kártyacsomagból kétszer húzuk vsszatevéssel. M a valószíősége, hogy húzuk prosat? A: elsı pros, B: másodk pros P(A)P(B)/4, P(A B)/6 Tehát P(A B)7/6 PA ( B C) PA ( ) + PB ( ) + PC ( ) PA ( B) PA ( C) PB ( C) + PA ( B C) Szta (Pocaré) formula Képlet az általáos esetre: + P( A A... A ) ( S ahol S ( ) ) P( Aj A j j < j <... < j... A az téyezıs metszetek valószíőségeek összege. ( ) j ) Alkalmazások Ha az egyes eseméyek és metszetek s egyformá valószíőek, akkor + P( A A... A ) ( ) P( A A... A Átfogalmazás metszetekre: P( A A... A ) ) P( A A... A ) (Megállapodás: S.) ( ) S Példa: M a valószíősége, hogy adott (k) számú kockadobásból mde számot legalább egyszer megkaptuk? ( )
s s Megoldás A : az számot em dobtuk P( A A... A ) 6 6 6 ( ) P( A A... A )...4.6.8. o o o k o o o o 6...4.6.8. k 6 6 ( ) 6 o k o o o o o o Feltételes valószíőség. Az A eseméy valószíőségét keressük. Tudjuk, hogy B eseméy bekövetkezett. A relatív gyakorságokkal: csak azokat a kísérleteket ézzük, amelyekbe B bekövetkezett. Eze részsorozatba az A relatív gyakorsága: r A B / r B 3 4 5 6 d 3 4 5 6 d Feltételes valószíőség. Megfelelıje a valószíőségekre: P( A B) P( A B) P( B) az A eseméy B-re voatkozó feltételes valószíősége (feltétel: P(B)>). Példa: kockadobás. A{páros számot dobuk} B{3-ál agyobbat dobtuk} P(A B)/3. Példák, szmulácók Mtavétel Moty Hall játék: 3 ajtó közül kell a játékosak választaa. Egy mögött yereméy (autó) va, a másk kettı mögött kecske. Mutá választottuk, a mősorvezetı kyt egy másk (kecskés) ajtót. Ezek utá döthetük: ktartuk az eredet választásuk mellett, vagy a harmadk, még bezárt ajtót választjuk kább. M a jó stratéga? Szmulácó Teljes eseméyredszer Defícó. Eseméyek A, A,..., sorozata teljes eseméyredszer, ha egymást párokét kzárják és egyesítésük Ω. Tulajdoság: P A ) + P( A ) +... ( Legtöbbször véges sok elembıl álló teljes eseméyredszereket vzsgáluk. Teljes valószíőség tétele. Legye B, B,..., poztív valószíőségő eseméyekbıl álló teljes eseméyredszer, A A tetszıleges. Ekkor P A) P( A B ) P( B ) + P( A B ) P( B )... ( + Bzoyítás. A ( A B) ( A B )... dszjukt tagokra botás, tehát P( A) P( A B ) + P( A B) +... és P A B ) P( A B ) P( B ) adja a tételt. (
Példák Összetett modellek (pl. emtıl függı valószíőségek): a szívakság valószíősége a férfakál., a ıkél. (Tfh. ugyaay a férf, mt a ı.) M a valószíősége, hogy egy találomra válaszott ember szívak? A teljes eseméyredszer: {férf} {ı}. p./+./.55 Bayes tétele Legye B, B,..., poztív valószíőségő eseméyekbıl álló teljes eseméyredszer, A A poztív valószíőségő. Ekkor P( A Bk ) P( Bk ) P( Bk A) P( A B ) P( B ) (Vsszakövetkeztetés az elsı lépés eredméyére.) Bzoyítás. A evezı éppe P (A) a teljes valószíőség tétele matt. A számláló pedg P (A B), defícó szert. Példa Ha egy találomra válaszott ember szívak, m a valószíősége, hogy férf? p.5/(.5+.5)/. Ha egy, az egészségesekre 5% eséllyel téves dagózst adó szőrıvzsgálatál betegek tőük, akkor a betegség téyleges valószíősége (p a betegség vszge, {Bbeteg, Eegészséges} a teljes eseméyredszer): P(B poz)p(poz B)P(B)/(P(poz B)P(B)+ P(poz E)P(E)p/(p+.5(-p)) vszg. poztív teszteredméyél...4.6.8 Betegség valószíusége..5..5. vszg az adott populácóba Eseméyek függetlesége Ha a B eseméy bekövetkezése em befolyásolja az A valószíőségét, azaz P(A B)P(A), akkor azt modjuk, hogy az A és B függetleek. Ez így em deáls defícó (em szmmetrkus, P (B)> kell hozzá), ezért Defícó. Az A és B eseméyek függetleek, ha P(A B)P(A)P(B). Példák Húzuk egy lapot egy magyarkártyacsomagból. A: pros B: ász. P (A)/4, P (B)/8, P (A B)/3, tehát függetleek. A függetleség agyo rtka azoos kísérletbıl meghatározott eseméyekél! Tpkus eset függetleségre: A az elsı, B a másodk kísérlet eredméye. Tulajdoságok Ha A és B dszjuktak, akkor csak trváls (P (A) vagy P (B)) esetbe függetleek. Ha A és B függetleek, akkor komplemeterek s függetleek. Ömaguktól csak a trváls eseméyek függetleek. A B eseté csak akkor függetleek, ha legalább az egyk trváls. 3
Általáosítás Két eseméyredszer függetle, ha az elsı tetszıleges eleme függetle a másodk tetszıleges elemétıl. eseméy függetle, ha P A A... A ) P( A ) P( A )... P( A ) ( k k teljesül tetszıleges < < < k dexsorozatra és mde k számra. Megjegyzések Nem elég a fet szorzat-tulajdoságot k-re megkövetel. Ha csak ez teljesül: párokét függetleségrıl beszélük. függetle kísérlet eseté az egyes kísérletekhez tartozó eseméyek függetleek. A gyakorlatba ez a tpkus, fotos elıfordulása eek a függetleségek. Klasszkus valószíőség mezı eseté függetle kísérleteket végezve, a kedvezı és az összes eseméyek száma s összeszorzódk. Példa: szabályos kockával dobva: P(elsı dobás páros és a másodk hatos)3/36. Tovább általáosítás Végtele sok eseméyt függetleek evezük, ha tetszılegese kválasztva közülük véges sokat, függetle eseméyeket kapuk. Végtele sok függetle kísérlethez tartozó valószíőség mezı s értelmezhetı. Ha A az -edk kísérlethez tartozk, akkor A,A,, A, függetle. Valószíőség változók. A legtöbbször em maga a kísérlet kmeetele (a realzálódott elem eseméy) haem egy számszerősíthetı eredméy az érdekes. Példa: par termelés mıségelleırzés: a kérdés az esetleges selejtesek száma, em pedg az, hogy potosa melyk elemeket s választottuk. Sok gyakorlat esetbe em s adódk természetese az Ω halmaz (pl. dıjárás megfgyelés). Valószíőség változók. Mtavétel példa (folyt). N termék, elemő mta. Ω elemszáma: N Selejtesek száma (X): és között szám. Matematkalag: X : Ω R függvéy Feltétel: legye értelme pl. aak a valószíőségérıl beszél, hogy Xa. Hasolóképpe más természetes feltételek s legye valószíősége. Formálsa: megköveteljük, hogy {ω: X(ω) B} A teljesüljö mde, az tervallumokból megszámlálhatóa sok halmazmővelettel elıállítható B-re. A gyakorlatba általába em jelet problémát. Példák Kockadobás: X a dobott szám. Ω{,,,6}, X (). Értékkészlete: {,,,6}. X az elsı olya dobás sorszáma, amkor 6 jö k. Ω{,,,6} {,,,6} {,,,6}... X értékkészlete: {,, } Ipar termelés: X az elsı selejt gyártásáak dıpotja. X értékkészlete: R +. X egy adott termék hossza. X értékkészlete: R + részhalmaza (em szükséges elızetese korlátoz). 4
Dszkrét valószíőség változók Defícó: az X dszkrét valószíőség változó, ha értékkészlete (x,, x ) legfeljebb megszámlálható. A valószíőség változó defícójából adódóa {ω:x(ω) x }{Xx } A azaz p :P (Xx ) értelmes. Ezek meg s határozzák X eloszlását. Véges vagy megszámlálható valószíőség mezı mde valószíőség változó dszkrét. Nem célszerő a természetszerőe folytoos értékkészlető X dszkretzálása (egyszerőbbek a folytoos modellek). Példák dszkrét valószíőség változókra X(ω)c mde ω-ra. Elevezés: elfajult eloszlás. P(Xc). X akkor, ha egy adott, p valószíőségő A eseméy bekövetkezk és külöbe (elevezés: az A eseméy dkátora). P (X)-p P (X)p Példák. A bomáls és a hpergeom. elo. összehasolítása Mtavételél legye X a mtába levı selejtesek száma. Vsszatevéses esetbe (bomáls eloszlás): k k M M P( X k) ( k,..., ) k N N Vsszatevés élkül esetbe: M N M (hpergeometra eloszlás) k k P ( X k) ( k,..., ) N p,4,35,3,5,,5,,5 3 4 5 6 7 8 9 k Hp.geom (N,M) Bomáls (p.5) Tulajdoságok Ha X dszkrét valószíőség változó, f :R R tetszıleges függvéy, akkor f (X) s dszkrét valószíőség változó. Példa: X a gyártott termék hossza mm-be. Tegyük fel, hogy P (X8) P (X)/5. T.f.h. az deáls a mm. Ekkor a d X- eloszlása: P (d)/5, P (d) P (d) /5. Teljes eseméyredszer Ha X dszkrét valószíőség változó, akkor az A {ω:x(ω) x } eseméyek teljes eseméyredszert alkotak. 5
Valószíőségszámítás és statsztka elıadás fo. BSC/B-C szakosokak 3. elıadás Szeptember 6 p.4.35.3.5..5..5 A bomáls és a hpergeom. elo. összehasolítása 3 4 5 6 7 8 9 k Hp.geom (N,M) Bomáls (p.5) Tulajdoságok Ha X dszkrét valószíőség változó, f :R R tetszıleges függvéy, akkor f (X) s dszkrét valószíőség változó. Példa: X a gyártott termék hossza mm-be. Tegyük fel, hogy P (X8) P (X)/5. T.f.h. az deáls a mm. Ekkor a d X- eloszlása: P (d)/5, P (d) P (d) /5. Teljes eseméyredszer Ha X dszkrét valószíőség változó, akkor az A {ω:x(ω) x } eseméyek teljes eseméyredszert alkotak. Példák, szmulácók Mtavétel Moty-Hall szmulácó Kocka-érme kísérlet X feltételes eloszlása A eseméyre voatkozóa: q :P (Xx A). Ez s eloszlás: P( X x A) ) q ( P X x A P( A) Valószíőség változók függetlesége X és Y dszkrét valószíőség változók függetleek, ha P ({X x } {Y y k })P (X x )P (Y y k ) teljesül mde,k értékre. (Azaz az X-hez és az Y-hoz tartozó teljes eseméyredszerek függetleek.) Megjegyzés: az elfajult eloszlású valószíőség változó mde valószíőség változótól függetle. Ömagától csak az elfajult eloszlású valószíőség változó függetle.
A matematka statsztka tárgya Következtetések levoása adatok alapjá Ipar termelés Mezıgazdaság Szocológa (közvéleméykutatások) Természettudomáyok Meteorológa (pl. klímaváltozás) Geetka (chptechológa) Pézügy adatok stb. Törtéet Táblázatokat a bztosítók már többszáz éve haszálak Maga a tudomáy fatal tudomáy, alg éves a múltja Agla mezıgazdaság alkalmazások voltak az elsık Fejlıdése felgyorsult az utóbb évtzedekbe (számítógépek jóvoltából) Populácó Az a sokaság, amek a jellemzıre kvácsak vagyuk. Példák: Gyártmáyok Magyarország szavazópolgára A Ft/Euro árfolyam ap változása Legtöbbször cs mód teljes körő (%-os) adatfelvételre. Mta A populácóból kválasztott részhalmaz, amelyre voatkozóa az adatok redelkezésre állak. Mvel a mtavétel véletle, ezért a mtaelemek valószíőség változók. Fotos szempot a reprezetatvtás. Gyakorlatba legtöbbször feltesszük, hogy a mtaelemek függetleek. Függetleek-e? A ap középhımérséklet Budapeste az dé október -á és jövıre lyekor A sajtóhbák száma egy köyv két külöbözı oldalá Két háztartás áramfogyasztása ugyaazo a apo Két beteg véryomása Egy beteg véryomása két külöbözı vzsgálatál Adatok Mtavétel a populácóból: eredméye a (statsztka) mta A mtavétel módja s léyeges (legegyszerőbb eset: bármelyk elem ugyaakkora valószíőséggel kerül a mtába) A mtavétel eredméye: (statsztka) mta: x,x,,x számsorozat, az X,X,,X valószíőség változó-sorozat realzácója.
Matematka statsztka helye a tudomáyok között Matematka tudomáy, mert a valószíőségszámítás eredméyere épül. Ugyaakkor a statsztka mdeap alkalmazása em mdg kellıe precíz (teljesülek-e a feltételek?) Ezért léyeges, hogy a valószíőségszámítás eredméyeket alkalmazva fogalmazzuk meg következtetéseket. (Párhuzamosa fogjuk taul a valószíőségszámítást.) Példák. Egy hóapba hurrkát fgyeltük meg. Mt godoluk, mey hurrká lesz jövıre ugyaebbe a hóapba?. Egy közvéleméykutatás sorá azt kaptuk, hogy emberbıl 4 választaá az adott pártot. Mások szert a párt 5%-ot fog kap. Elıfordulhat-e ez? Mekkora eséllyel? Statsztka elemzés lépése Tervezés (mt vzsgáluk, hogya győjtjük az adatokat) Adatgyőjtés Kódolás (ha szükséges) Elleırzés: leíró statsztkákkal Elemzés: matematka statsztka módszerevel Leíró statsztka Nem a véletle hatását vzsgálja, haem a kokrét mta megjeleítése, jellemzıek kszámítása a feladata. Adatok elredezhetık táblázatba (fotos: forrás feltütetése), lletve ábrázolhatók grafkusa. Adatok típusa (skálák) Nomáls: csak gyakorságot tuduk számol (pl. em, emzetség) Ordáls (redezett): pl. értékelés szavakkal (rossz-közepes-jó), sorred egyértelmő, kvatlsek számolhatók Itervallum (pl. hımérséklet: külöbség egyértelmő, de háyados em) Aráy (tt mde matematka mővelet értelmes), ez szerecsére a leggyakorbb Grafkus megjeleítés Ne legye túl Het forgalom, MFt, XXZZ áruház boyolult! 35 3 Példák: 5 oszlopdagram 5 X tegely: csoportok, 5 típusok S/R S/N T/R T/N Y tegely: Forgalom (Mo.Ft) gyakorságok, értékek S/N S/R T/N kördagram T/R 3
Potszámok grafkus ábrázolása Hsztogram Adatakat osztályokba soroljuk (mdegyket potosa egybe, pl. az -edk osztály: a x<a + ), a csoportok relatív gyakorsága megegyezek az osztály fölé rajzolt téglalap területével. Összterület: Példák Túl sok osztály (ha az eloszlás alakjára vagyuk kvácsak) Frequecy 3 4 3 4 5 6 7 8 potszám Túl kevés osztály Példák (ha az eloszlás alakjára vagyuk kvácsak) Frequecy 5 5 5 3 35 Potszámok grafkus ábrázolása Példák Jó osztályszám (ha az eloszlás alakjára vagyuk kvácsak) Ncs általáos érvéyő képlet az osztályok számára, általába /3 al lehet aráyos Frequecy 5 5 Potszámok grafkus ábrázolása 3 4 5 6 7 8 9 potszám 3 4 5 6 7 8 potszám Frequecy Frequecy Frequecy 3 5 3 4 5 Hallgató adatok 6 7 Magasság 8 9 cm Cpıméret 36 4 48 38 4 44 46 Utazás apota Frequecy Frequecy Frequecy 5 5 4 6 8 4 6 5 35 Testsúly 4 5 6 7 8 9 kg Taulás hetete 5 5 5 óra Sörök hetete Fgyeljük meg az eloszlások alakját! Középértékek Mtaátlag: x+... + x x: ha az egyes értékek (l) gyakorsága (f) adottak: fl+... + fklk x: Medá: a sorbaredezett mta középsı eleme (ha páros sok eleme va: a két középsı átlaga). Kvartlsek: egyedelıpotok (/4-3/4, lletve 3/4-/4 aráyba osztják fel a redezett mtát) Az átlag érzékey a kugró értékekre, a medá vszot em. 3 4 perc 5 5 5 3 35 üveg 4
boxplot Hallgató adatok V V V3 V4 V5 M. :6. M. : 45. M. :36. F:95 M. :. st Qu.:7. st Qu.: 64. st Qu.:4. N:7 st Qu.:. Meda :78. Meda : 7. Meda :43. Meda : 5. Mea :77. Mea : 7.8 Mea :4.8 Mea : 6.36 3rd Qu.:8. 3rd Qu.: 8.5 3rd Qu.:44. 3rd Qu.: 8. Max. :98. Max. :. Max. :48. Max. :4. V6 V7 M. :. M. :. st Qu.: 6. st Qu.:. Meda : 9.5 Meda :. Mea :4. Mea : 3.57 3rd Qu.:. 3rd Qu.: 5. Max. :36. Max. :34. Az egyes dobozok az alsó kvartlstól a felsı kvartlsg tartaak. Középvoal a medá. Gam A voalak a teljes terjedelmet felölelk, ha ez T5 Norm U5 az egyes ráyokba em agyobb a kvartlsek között külöbség.5- szereséél. Ha eze kívül s vaak potok, azokat külö-külö jeleít meg. -4-4 6 Példa adatbázs: Nap középhımérséklet 95-988 között Jauár - középhõmérsékletek A hallgató adatok emekét botásba Magasság Testsúly -5 5 cm perc 6 7 8 9 36 4 44 48 3 Férfak Cpıméret Férfak Utazás apota Nık Nık kg óra üveg 5 7 9 5 5 5 5 5 35 Férfak Taulás hetete Férfak Sörök hetete Nık Nık Vajo melyk esetbe szgfkás az eltérés? Férfak Nık Férfak Nık Budapest Kompolt Becslések A mtából kszámolt értékek tekthetıek a vzsgált populácóra voatkozó közelítésekek. Ezek tulajdoságat (meyre potosak/megbízhatóak) a valószíőségszámítás eszközevel tudjuk vzsgál. Bomáls eloszlás alkalmazása Vsszatevéses mtavétel más realzácója: függetle kísérletek azoos körülméyek között. P(A)p eseméy, végezzük (rögzített számú) függetle kísérletet. X: az A bekövetkezéséek gyakorsága (potosa háyszor jött k az A). X eloszlása bomáls (,p). X X + X + X ahol X az -edk kísérletél az A eseméy dkátora. Ezek az dkátorok függetleek s! 5
Valószíőségszámítás és statsztka elıadás fo. BSC/B-C szakosokak 4. elıadás október 3. Bomáls eloszlás alkalmazása Vsszatevéses mtavétel más realzácója: függetle kísérletek azoos körülméyek között. P(A)p eseméy, végezzük (rögzített számú) függetle kísérletet. X: az A bekövetkezéséek gyakorsága (potosa háyszor jött k az A). X eloszlása bomáls (,p). X X + X + X ahol X az -edk kísérletél az A eseméy dkátora. Ezek az dkátorok függetleek s! Geometra (Pascal) eloszlás Függetle kísérletek azoos körülméyek között. P (A)p eseméy, addg végzük kísérletet, míg A be em következk. X: az elsı skeres kísérlet sorszáma. p k P(Xk)p(-p) k- (k,, ) Valóba valószíőségeloszlás (p +p + ) geometra eloszlás Posso eloszlás λ k e λ P( X k) k! (k,,, ; λ> paraméter). Valóba eloszlás. Grafkusa Állítás. Ha a bomáls eloszlás paraméterere úgy, hogy p λ, akkor a határérték éppe a λ paraméterő Posso eloszlás. k k k Bzoyítás. k k λ λ λe p ( p) k k k k! λ A kovergeca a gyakorlatba lehetséges értékek vszg (bom.,p),348678,3874,937 vszg (bom. 5,p),3647,376,858 vszg (bom. 5,p,3674,36867,8438 vszg (Posso),367879 A Posso,367879 és a,8394 bomá,996 3,5,4,3, Alkalmazások Elsı példa: lórugás áldozataak száma a porosz hadseregbe. Posso folyamat: dıbe lejátszódó folyamatál adott [a,b) tervallumba esı eseméyek száma (X a,b ) éppe λ(b-a) paraméterő Posso eloszlású, ha a folyamat homogé: X a,a+t eloszlása csak t-tıl függ; utóhatás élkül: X a,b és X b,c függetleek ha a<b<c; emelfajuló: <P (X a,b )<.
x -.4 -....4 u Bzoyítás-vázlat Legye p t :P (X,t ). A homogetás és a függetleség matt p lletve p / t λt pt p e Aak a valószíősége, hogy egy t hosszúságú tervallumo potosa k eseméy következk be, közelíthetı a λt / k λt( k )/ ( e ) e k kfejezéssel, am a elızıek és λt ( e / ) λt matt éppe a λ(b-a) paraméterő Posso eloszlásál a P(Xk) valószíőség. -.6 -.4 -....4 Gyakorlat alkalmazások Balesetek száma Vharok száma Redszer meghbásodásaak száma Tulajdoság: ha kétféle eseméy következhet be a folyamat sorá, akkor külö-külö az egyes eseméyek száma s Posso folyamatot alkot. Összefoglalás (dszkrét eloszlások) Bomáls eloszlás Rögzített számú kísérletél adott eseméy gyakorsága (pl. kockadobásból a hatosok száma) Nagy mtaelemszámra, kcs valószíőségél a Posso eloszlással közelíthetı Pascal eloszlás Addg kísérletezük, míg egy adott eseméy be em következk, az elsı skeres sorszáma (pl. az elsı hatost háyadk kockadobásál kapjuk meg) Hpergeometra eloszlás Vsszatevés élkül mtavételél adott típusú mtaelemek száma (pl. lottóhúzásál az 5 találat valószíősége) Dszkrét valószíőség változók várható értéke Szerecsejátékba a potos yereméy em látható elıre. De: az átlagos yereméyrıl szereték tud. (Kedvezı-e a játék? Far játék: az ár éppe a várható érték.) Példa: Dobókocka: ay a yereméyük, ameyt dobuk. Eek átlagos értéke /6(++ +6)/63.5 De ha em szabályos a kocka, például az egyes helyett s 6 va, akkor az átlagos yereméy /6(+ +5)+6/33/3. Defícó. A p P (Xx ) eloszlással megadott valószíőség változó várható értéke E(X): p x + p x +, ha a sor abszolút koverges. Példák Az elfajult eloszlás várható értéke: E(X)cP(Xc)c. A p valószíőségő A eseméy dkátoráak várható értéke: E(X)P(X) p Az x, x, x számoko egyeletes eloszlás (mdegyk valószíősége /) várható értéke a számok számta közepe. Az (,p) paraméterő bomáls eloszlás várható értéke: k k k k E( X ) k p p p p p k k k k Amerka rulett. Ha k számra teszük, a yereméyük 36/k. A várható ettó yereméy (36/k) (k/38)- - /38. ( ) ( ) p Példák. A hpergeometra eloszlás várható értéke M N M k k E X k ( ) k N k M N M N ( M ) k ( k ) N A Posso eloszlás várható értéke E( X ) λ λ λ k e k e k e kλ λ λλ k k! k ( k )! k ( k )! λ M N
Tulajdoságok Nem mde valószíőség változóak va véges várható értéke: P(X k )(/) k k,, eseté E(X)+++. Azaz aak a játékak az ára, ahol k Ft-ot kapuk, ha szabályos érmével k-adkra dobuk elıször fejet: végtele. Ez a Szt.Pétervár paradoxo; gyakorlatba persze em reáls így ez a játék, hsze cs az a bak, amely korlátla pézt tuda fzet. Ha E(X) véges, akkor az abszolút kovergeca matt egyértelmő s. Tulajdoságok. Ha X és E(X) véges, akkor E(X). Ha E(X) véges, akkor E(aX+b)aE(X)+b (a várható érték leárs). Ha X emegatív egész értékő, akkor E (X) P (X )+ P (X )+ Alkalmazás: a Pascal eloszlás várható értéke P(X k)(-p) k-, így E(X)+(-p)+(-p) + /p. Természetes eredméy: átlagosa a hatodk dobásra kapjuk az elsı hatost. Tulajdoság: a Pascal eloszlás örökfjú P ( X > k + l X > l) P( X > k) (k,l tetszıleges természetes számok). Összeg várható értéke X,Y tetszıleges, véges várható értékőek. Ekkor E(X+Y) E(X)+E(Y). Idukcóval: E(X + X + +X ) E(X )+ E(X )+ +E(X ). Alkalmazások A bomáls eloszlás várható értéke: X X + X + X ahol X az -edk kísérletél az A eseméy dkátora. Az elızı tulajdoság alapjá E(X) E(X + X + X ) E(X ) p. Ugyaígy a hpergeometrkus eloszlás várható értéke s p (pm/n a selejtaráy). Névjegy probléma ember bedobja a évjegyét egy kalapba, ezutá mdek húz egyet véletleszerőe. X: azo személyek száma, akk a saját évjegyüket húzzák. X : az -edk ember a saját évjegyét húzza. E(X )P(X ) /. X X + X + X és így a várható érték addtvtása alapjá E(X) E(X + X + X ) E(X ) /. Szmulácó 3
Valószíőségszámítás és statsztka elıadás fo. BSC/B-C szakosokak 5. elıadás október. Statsztka alkalmazások A mta: valószíőség változó-sorozat realzácója. A belıle számolt statsztkák eloszlásáak vzsgálatához magukat a valószíőség változókat haszáljuk, em pedg a realzácóál kapott számértékeket. Statsztka: a mta függvéye (val.változó). Példák statsztkára: mmum, maxmum, mtaátlag terjedelem: X () - X () Becslések A mtából kszámolt értékek tekthetıek a vzsgált populácóra voatkozó közelítésekek. Ezek tulajdoságat (meyre potosak/megbízhatóak) a valószíőségszámítás eszközevel tudjuk vzsgál. Becslések tulajdosága Torzítatlaság. θ valós paramétert becslük a T(X) statsztkával. Ez torzítatla, ha, E T (X ) ( ) θ θ mde θ paraméterértékre. Példák torzítatla becslésekre: Valószíőség becslése relatív gyakorsággal. Várható érték becslése mtaátlaggal Posso eloszlás paraméterére: mtaátlag Valószíőség változók szóráségyzete Nem mdegy, hogy mekkora a vzsgált véletle meység gadozása. Jobb, ha a buszok potosa percekét jöek, mtha dıkét 3 jö egymás utá, és aztá 3 percet kell vár. Az gadozás számszerősítése: a várható értéktıl vett átlagos égyzetes eltérés, elevezése: szóráségyzet. Formálsa: D (X):E[(X-E(X)) ]. Kszámítása: D (X) E[X -XE(X)+E (X)] E(X )-E(X)E(X)+E (X) a várható érték leartása matt. Azaz D (X)E(X )-E (X). Tulajdoságok D (X), mert emegatív valószíőség változó várható értéke. D (ax+b)a D (X), mert D (ax+b) E[(aX+b-E(aX+b)) ] E[(aX+b-aE(X)-b) ] E[(aX-aE(X)) ]a E[(X-E(X)) ]. Abból, hogy E(X) véges, még em következk D (X) végessége, hsze ha P(Xk)c/k 3 (egyértelmőe megadható olya c, amre ez eloszlás lesz) akkor E(X) véges, de E(X )c(+/+...+/k+...), am végtele.
Példák Az elfajult eloszlás szóráségyzete: D (X) E(X )-E (X)c -c. Megfordítás: ha D (X), akkor X valószíőséggel kostas. Bz.: (X-E(X)), várható értéke, tehát ı maga s valószíőséggel, azaz XE(X) valószíőséggel. A p valószíőségő A eseméy dkátoráak szóráségyzete: D (X) E(X )-E (X) p - p p (-p). Azaz p.5 eseté a legagyobb a szóráségyzet. A kockadobás szóráségyzete: D (X) E(X )-E (X)(+4+...+36)/6-49/49/6-49/4 (8-47)/35/. E( X ) Példák. A Posso eloszlás szóráségyzete: k k e k λ k! Ebbıl λ λ k k λ k e kλ λ ( k )! λ k Azaz a Posso eloszlás várható értéke és szóráségyzete megegyezk. k ( k + ) λ λ e + λ λ + λ. ( k )! k D ( X ) λ + λ λ λ. λ e ( k )! Néháy szmulácó és a becslés A geometra/pascal eloszlás Amerka rulett A szóráségyzet torzítatla becslése: Ha smert a várható érték (m): ( x m) + ( x m) + ( x3 m) +... + ( x m ˆ ο ) Ismeretle várható érték eseté (korrgált tapasztalat szóráségyzet): ( x x ) + ( x x) + ( x3 x) +... + ( x x) ˆ ο Összeg szóráségyzete D (X+Y)E[(X+Y-E(X+Y)) ] E[(X-E(X)+Y-E(Y)) ]E[(X-E(X)) ]+E[(Y-E(Y)) ]+ +E[(X-E(X))(Y-E(Y))]D (X)+D (Y)+ +E[(X-E(X))(Y-E(Y))] Példák: XY eseté D (X+Y) D (X)4D (X) X-Y eseté D (X+Y) D () azaz em csak X és Y egydmezós eloszlásától, haem az együttes vselkedésüktıl, azaz az együttes eloszlásuktól s függ az összegük szóráségyzete. A függetle val. változók esete Állítás. ha X,Y függetleek, akkor E(XY)E(X)E(Y). Bzoyítás. E ( XY ) x y P( X x, Y y ) k k, m am a függetleség matt így írható: xk P( X xk ) ymp( Y ym) E( X ) E( Y ). k m Ebbıl: D (X+Y)D (X)+D (Y), ha X és Y függetleek. Idukcóval (párokét függetle val. változókra) : D ( X +... + X És így a bomáls eloszlás szóráségyzete: p(-p). m ) D ( X ) k m A szórás Szóráségyzet mértékegysége az eredet X mértékegységéek a égyzete (azaz pl. a buszok követés dıközéél égyzetperc). Ez em tesz egyszerővé terpretácóját. Szórás: D(X) a szóráségyzet poztív égyzetgyöke. Ez már a megfelelı mértékegységő, D(aX) a D(X).
Becslések összehasolítása Torzítatla becslésekre: T hatásosabb becslése a θ paraméterek a T -él, ha D T X ) D T ( X ) teljesül mde θ paraméterértékre. Furcsa példa: azoosa -val becsüljük az smeretle paramétert. Ez ge jó, ha valóba θ. Ezért hatásos becsléseket csak a torzítatla becslések között va reméyük talál. T hatásos, ha mde más torzítatla becslésél hatásosabb. θ ( ) ( ) ( θ Általáos eset Átlagos égyzetes eltérés: E Példa: a mtaátlag hatásosabb becslés a várható értékre mde ( T ( X ) θ) alakú becslésél ( ) θ Példa: A [,θ] tervallumo egyeletes eloszlású mta esete. Itt (+) X () / a hatásos becslés. c c X Becslések kozsztecája T (X) a θ paraméter kozsztes becslése, ha Eθ( T (X )) θ (aszmptotkus torzítatlaság) és Dθ ( T ( X )) Egyre potosabb lesz a becslés a mtaelemszám övelésével! Példák: Relatív gyakorság a valószíőségre Mtaátlag a várható értékre Korrgált tapasztalat szóráségyzet (ez s torzítatla) ( X X) /( ) Az eloszlásfüggvéy Legye F X (z):p(x<z). Az F X (z): R R függvéy az X valószíőség változó eloszlásfüggvéye. Tulajdosága: F X (z) F X (z) mooto övı lm z F X (z), lm z - F X (z) F X (z) balról folytoos. Bzoyítás: Az elsı kettı trváls, az utolsó kettıhöz a valószíőség folytoossága kell: Ha A A... akkor lm P( A ) P( A) ahol A A Bzoyítás Az A (-,-) választással alkalmazva a folytoosságot a Q X valószíőségre adódk a 3. tulajdoság másodk fele. A folytoosságot a komplemeterekre alkalmazva kapjuk, hogy ha A A... és A akkor lm P( A ) P( A) amt A A (, ) választással alkalmazva éppe a 3. tulajdoság elsı felét kapjuk. Végül a 4. tulajdosághoz A (-,x-/) a jó választás, ekkor A (-,x). Példák Tetszıleges -4 tulajdoságú F-hez létezk X, amek F az eloszlásfügvéye (pl. ΩR, P([a,b))F(b)-F(a), X az dedtásfüggvéy A c potba elfajult eloszlás,haz c F( z) eloszlásfüggvéye,haz> c Az dkátorváltozó eloszlásfüggvéye F( z),haz p, ha, ha < z z> 3
x Folytoos eloszlások Defícó. X folytoos eloszlású, ha eloszlásfüggvéye folytoos. Példa: egyeletes eloszlás [a,b] tervallumo:,haz a z a F( z),haa< z b b a, haz> b Expoecáls eloszlás, haz F( z) λz e, ha < z ahol λ> paraméter...4.6.8. l l l.5 4 6 8 u Valószíőségek kszámítása P(a X<b)F(b)-F(a) P(a<X<b)F(b)-F(a+) P(a X b)f(b+)-f(a) P(Xa) F(a+)-F(a), azaz ha F folytoos, mde egyes pot valószíőségő. Abszolút folytoos eloszlások Ha létezk f, hogy F elıáll f tegrálfüggvéyekét: F ( z) z f ( t) dt akkor azt modjuk, hogy F abszolút folytoos, f sőrőségfüggvéyel. f tulajdosága: f, f ( t) dt Ez elég s: mde lye f tegrálfüggvéye eloszlásfüggvéy. Példák Egyeletes eloszlás [a,b] tervallumo, haz a f ( z), haa< z b b a, haz> b Expoecáls eloszlás f, hat t λe, ha < t ( t) λ Expoecáls eloszlás.8.6.4..8.6.4. Expoecáls eloszlás A sőrőségfüggvéy λ és λ eseté exp(-x) *exp(-*x) 3 4 5 4
Valószíőségszámítás és statsztka elıadás fo. BSC/B-C szakosokak 6. elıadás október 7. Becslések kozsztecája T (X) a θ paraméter kozsztes becslése, ha Eθ( T (X )) θ (aszmptotkus torzítatlaság) és Dθ ( T ( X )) Egyre potosabb lesz a becslés a mtaelemszám övelésével! Példák: Relatív gyakorság a valószíőségre Mtaátlag a várható értékre Korrgált tapasztalat szóráségyzet (ez s torzítatla) ( X X) /( ) Az eloszlásfüggvéy Legye F X (z):p(x<z). Az F X (z): R R függvéy az X valószíőség változó eloszlásfüggvéye. Tulajdosága: F X (z) F X (z) mooto övı lm z F X (z), lm z - F X (z) F X (z) balról folytoos. Bzoyítás: Az elsı kettı trváls, az utolsó kettıhöz a valószíőség folytoossága kell: Ha A A... akkor lm P( A ) P( A) ahol A A Bzoyítás Az A (-,-) választással alkalmazva a folytoosságot a Q X valószíőségre adódk a 3. tulajdoság másodk fele. A folytoosságot a komplemeterekre alkalmazva kapjuk, hogy ha A A... és A akkor lm P( A ) P( A) amt A A (, ) választással alkalmazva éppe a 3. tulajdoság elsı felét kapjuk. Végül a 4. tulajdosághoz A (-,x-/) a jó választás, ekkor A (-,x). Példák Tetszıleges -4 tulajdoságú F-hez létezk X, amek F az eloszlásfügvéye (pl. ΩR, P([a,b))F(b)-F(a), X az dedtásfüggvéy A c potba elfajult eloszlás,haz c F( z) eloszlásfüggvéye,haz> c Az dkátorváltozó eloszlásfüggvéye F( z),haz p, ha, ha < z z> Folytoos eloszlások Defícó. X folytoos eloszlású, ha eloszlásfüggvéye folytoos. Példa: egyeletes eloszlás [a,b] tervallumo:,haz a z a F( z),haa< z b b a, haz> b
x Expoecáls eloszlás, haz F( z) λz e, ha < z ahol λ> paraméter...4.6.8. l l l. 5 Valószíőségek kszámítása P(a X<b)F(b)-F(a) P(a<X<b)F(b)-F(a+) P(a X b)f(b+)-f(a) P(Xa) F(a+)-F(a), azaz ha F folytoos, mde egyes pot valószíőségő. 4 6 8 u Abszolút folytoos eloszlások Ha létezk f, hogy F elıáll f tegrálfüggvéyekét: F ( z) z f ( t) dt akkor azt modjuk, hogy F abszolút folytoos, f sőrőségfüggvéyel. f tulajdosága: f, f ( t) dt Ez elég s: mde lye f tegrálfüggvéye eloszlásfüggvéy. Példák Egyeletes eloszlás [a,b] tervallumo, haz a f ( z), haa< z b b a, haz> b Expoecáls eloszlás f, hat t λe, ha < t ( t) λ Expoecáls eloszlás.8.6.4..8.6.4. Expoecáls eloszlás A sőrőségfüggvéy λ és λ eseté exp(-x) *exp(-*x) 3 4 5 A sőrőségfüggvéy tulajdosága Létezéséhez szükséges, hogy F folytoos legye. Ha F abszolút folytoos, akkor F f, ahol F derválható. f em egyértelmő (pl. véges sok potba tetszıleges értéket adhatuk ek), ezért a legegyszerőbb, szakaszokét folytoos változatot választjuk. Szemléletes jeletése: b P( a< X < b) f ( t) dt f ( a)( b a) a azaz rövd tervallumokra valószíőség közelíthetı a sőrőségfüggvéy értékéek és az tervallum hosszáak a szorzatával.
Szemléletes bevezetés Ha úgy közelítjük az abszolút folytoos eloszlást (pl. az év egy adott apjá órakor Bp-e a hımérséklet), hogy egyre potosabb eszközökkel mérjük meg, akkor P(z<X<z+δ)/ δ f(z), azaz a valószíőségekbıl határátmeettel adódk a sőrőségfüggvéy. g(x) eloszlása Legye g: R R (mérhetı) függvéy. Ekkor g(x) s valószíőség változó. Abból, hogy X eloszlása abszolút folytoos, em következk még g(x) eloszlásáak folytoossága sem: pl. g(x)c eseté g(x) elfajult eloszlású. Példák F ax+b (z) F X ((z-b)/a), ha a> és F ax+b (z) -F X ((z-b)/a), ha a<. Ebbıl adódk, hogy ha X abszolút folytoos, és g(z)az+b, akkor g(x) sőrőségfüggvéye f ax+b (z)f X ((z-b)/a)/ a. Általáos eredméy: ha g szgorúa mooto, folytoosa derválható, g, akkor f fx ( g ( z)) z) g'( g ( z)) g( X )( Stadard ormáls eloszlás A stadard ormáls eloszlás sőrőségfüggvéye: f ( x) e π Valóba sőrőségfüggvéy, mert f> és f ( x) dx x y ( + ) f ( x) dx r r re dϕdr re dr e π a polárkoordátás helyettesítésbıl x f ( y) dy e π + π r dxdy A stadard ormáls sőrőségfüggvéy Abszolút folytoos eloszlású valószíőség változók várható értéke,6,45,3 A stadard ormáls eloszlás sûrûségfüggvéye Az elıbb látott határátmeet segítségével (egyre fomabb felosztással közelítjük a folytoos eloszlást) E(X)ΣzP(z<X<z+δ) Σzδf(z) zf(z)dz Ebbıl a defícó: az abszolút folytoos,5, -3,5 -,75,,75 3,5 eloszlású X várható értéke: ha az tegrál létezk. E( X ) yfx ( y) dy 3
Tulajdoságok, példák Mvel a dszkrét esetbıl határátmeettel kaptuk a fogalmat, a tulajdoságok (pl. E(aX+b)aE(X)+b, E(X+Y)E(X)+E(Y) stb.) most s érvéybe maradak. Ha X egyeletes eloszlású az [a,b]-be, akkor b b y y a+ b E( X ) dy b a ( b a) a a Tovább példák Ha X expoecáls eloszlású λ paraméterrel, akkor λy [ ye ] λ y λy E( X ) λye dy + e dy λ Ha X stadard ormáls eloszlású, akkor x x E( X ) x e dx e π π Ha a Z változó Q Z eloszlása keverék-eloszlás (azaz pl. p valószíőséggel X-et, -p valószíőséggel Y-t fgyeljük meg), akkor E(Z)pE(X)+(-p)E(Y). A ormáls eloszlás Legye m tetszıleges, σ pedg poztív valós szám. Ha X stadard ormáls eloszlású, akkor az Y σx+m valószíőség változó (m,σ) paraméterő ormáls eloszlású. Eek sőrőségfüggvéye az f ax+b (z)f X ((z-b)/a)/ a képletbıl ( x m) σ m, σ ( x) e f πσ Függvéy várható értéke és a szóráségyzet Legye X sőrőségfüggvéye f és Yg(X) (g Borel mérhetı). Ekkor E( Y) g( y) fx ( y) dy Bzoyítás az általáos esetre a dszkrét valószíőség változókra voatkozó állításból határátmeettel. A szóráségyzet: Mvel ez a várható értékbıl származtatott meység, most s érvéyes a D (X):E[(X-E(X)) ] defícó, lletve a D (X)E(X )-E (X) számítás módszer. A korábba látott tulajdoságok tt s érvéybe maradak. D ( X ) E( X Példák Ha X egyeletes eloszlású az [a,b] tervallumo, akkor b 3 b y y a + ab+ E( X ) dy b a 3( b a) 3 a E( X b a + ab+ b ) E ( X ) 3 ( a+ b) 4 Ha X expoecáls eloszlású, akkor [ ] λy λy λy ) y λe dy y e + ye dy λ D ( X ) E( X ) E ( X ) λ λ a a ab+ b λ ( a ) b A ormáls eloszlás szóráségyzete Ha X stadard ormáls eloszlású, akkor x x x ( E X ) x e dx ( ) x x e dx e dx π π π ebbıl D (X). Tetszıleges (m, σ) paraméterő ormáls eloszlásra D (Y) σ. hsze D ( σx+m ) σ D (X). 4
Valószíőségszámítás és statsztka elıadás fo. BSC/B-C szakosokak 7. elıadás ovember 7. Függvéy várható értéke és a szóráségyzet Legye X sőrőségfüggvéye f és Yg(X) (g Borel mérhetı). Ekkor E( Y) g( y) fx ( y) dy Bzoyítás az általáos esetre a dszkrét valószíőség változókra voatkozó állításból határátmeettel. A szóráségyzet: Mvel ez a várható értékbıl származtatott meység, most s érvéyes a D (X):E[(X-E(X)) ] defícó, lletve a D (X)E(X )-E (X) számítás módszer. A korábba látott tulajdoságok tt s érvéybe maradak. D ( X) E( X Példák Ha X egyeletes eloszlású az [a,b] tervallumo, akkor b 3 b y y a + ab+ E( X ) dy b a 3( b a) 3 a E( X b a + ab+ b ) E ( X) 3 ( a+ b) 4 Ha X expoecáls eloszlású, akkor [ ] λy λy λy ) y λe dy y e + ye dy D ( X) E( X ) E ( X) λ λ a a ab+ b λ λ ( a ) b E A ormáls eloszlás szóráségyzete Ha X stadard ormáls eloszlású, akkor x x x ( X ) x e dx ( ) x x e dx e dx π π π ebbıl D (X). Tetszıleges (m, σ) paraméterő ormáls eloszlásra D (Y) σ. hsze D ( σx+m ) σ D (X). Valószíőség vektorváltozók Emlékeztetı: X (X, X,..., X d ): Ω R d függvéy valószíőség vektorváltozó, ha {ω: X(ω) B} A mde B d-dmezós Borel halmazra. (Potosa akkor teljesül, ha X valószíőség változó mde d-re.) Q X (B):P {ω: X(ω) B} az X eloszlása R d Borelhalmaza. Eek megadásához elegedı a F X (z):p(x<z) valószíőségeket megad (z R d ), a < relácó koordátákét értedı, azaz X<z potosa akkor teljesül, ha X <z mde d -re. Ezek meghatározzák Q X (B) értékét tetszıleges B-re (em bzoyítjuk). Együttes eloszlásfüggvéy Az F X (z):p(x<z) R d R függvéy az X valószíőség vektorváltozó együttes eloszlásfüggvéye. Az egydmezós esettel aalóg tulajdosága: F X (z) F X (z) mde koordátájába mooto övı lm F X (z), ha z mde koordátájára z lm F X (z) ha z legalább egy koordátájára z - F X (z) mde koordátájába balról folytoos.
Az eloszlásfüggvéy tulajdosága Téglatestek valószíősége: P(a X < b) mde a < b R d re. Ez kfejezhetı az X eloszlásfüggvéyével: d-re: P(a X < b)f(b,b )- F(b,a )- F(a,b )+ F(a,a ). Tetszıleges, a felsorolt összes tulajdosággal redelkezı F-hez létezk X d-dmezós vektorváltozó, amek F az eloszlásfüggvéye. A peremeloszlások meghatározása lm x F X,Y (x,y)f Y (y) lm y F X,Y (x,y)f X (x) Sőrőségfüggvéy Ha létezk f: R d R függvéy, hogy F elıáll f tegrálfüggvéyekét: F ( z) z f( t) dt akkor azt modjuk, hogy F abszolút folytoos, f sőrőségfüggvéyel. Az tegrál most d-dmezós, értelmezése: F( z) z z zd... f( t, t,..., td) dtd... dtdt A peremeloszlások sőrőségfüggvéye Legye d. Ha (X,Y) abszolút folytoos, f(x,y) együttes sőrőségfüggvéyel, akkor X sőrőségfüggvéye g x) f ( x, y dy Bzoyítás. z X ( X, Y ) f x, y) dydx F ( z, ) P( X < z) X, Y( X, Y Ugyaígy Y sőrőségfüggvéye Y( X, Y h y) f ( x, y) dx A függetleség esete Ha X koordátá függetleek, akkor defícó szert F X (z)p(x <z, X < z,..., X d <z d )F (z )F (z )...F d (z d ) (mde z R d re). Meg s fordítható: F szorzatelıállításából következk a függetleség. Derválva: a függetleség abszolút folytoos változókra ekvvales a sőrőségfüggvéy f X (z)f (z )f (z )...f d (z d ) alakú elıállításával s. Példa: az egységégyzete egyeletes eloszlás sőrőségfüggvéye (f(z) ha <z<) elıáll f (z )f (z ) alakba, ahol f (z ), ha <z < (,), ez éppe a [,] tervallumo egyeletes eloszlás. Kétdmezós ormáls eloszlás A kétdmezós ormáls eloszlás sőrőségfüggvéye ( x µ ) ρ ( y ν) f( x, y) exp + ( x µ )( y ν) πσς ρ ρ σ σς ς ahol az elsı koordáta (µ,σ), a másodk pedg (ν,ζ) paraméterő ormáls eloszlású. <ρ< pedg a kompoesek között korrelácó. Ez az a kvételes eset, amkor ρ elégséges s a függetleséghez. Becslés módszerek Eddg: ad hoc módszerek Általáos eljárás kellee Példa: valószíőség becslése, kísérletbıl. Jelölje k a skeresek számát (X,..., dkátormta) P k k X k p ( p) k Most p függvéyébe ézzük, k rögzített (elevezés: lkelhood függvéy).
y y A lkelhood függvéy maxmumhelye logkus választás a valószíőség becsléséek..5..5 lk e l h o o d fü g g v é y, k 5, m a x. 5 k 5,m a x. 5 k 5,m a x.5...4.6.8. x....3 lk e lh o o d f ü g g v é y, k, m a x. 5 k 5,m a x. 5 k,m a x.5...4.6.8. x A módszer általáosa L( θ; x) fθ( x) fθ( x ) (a lkelhood függvéy) maxmumhelye lesz a θ paraméter maxmum lkelhood becslése. Ha a függvéy derválható, a loglkelhood függvéy l θ; x) lf ( x) lf ( ) maxmumhelye derválással l( θ; x) lfθ( x) θ θ megoldásakét megtalálható ( θ θ x lf θ θ( x ) Példák valószíőségre: relatív gyakorság Posso eloszlás paraméterére: x Expoecáls eloszlás paraméterére: / x Tovább példák ML becslésre Normáls eloszlás várható értékére: x A módszer többdmezós paraméter becslésére s haszálható: N(m,σ ) eseté ( x, ( x x) / ) a maxmum lkelhood becslés. Tulajdoságok Nem mdg torzítatla Ha T(x) a θ paraméter maxmum lkelhood becslése, akkor ψ(t(x)) a ψ(θ) paraméter maxmum lkelhood becslése. Nem mdg lehet derválással meghatároz: példa egyeletes eloszlás a [, θ] tervallumo. Aszmptotkus tulajdoságok Ha a lkelhood függvéy teljesít bzoyos regulartás feltételeket, akkor a maxmum lkelhood becslés létezk aszmptotkusa torzítatla aszmptotkusa hatásos aszmptotkusa ormáls eloszlású. 3
Valószíőségszámítás és statsztka elıadás fo. BSC/B-C szakosokak 8. elıadás ovember 4 Kofdecatervallum Olya tervallum, mely legalább -α valószíőséggel tartalmazza a keresett paramétert: P θ ( T X ) < θ < T ( )) α ( X Példa: ormáls eloszlás várható értékére (m, smert szórás eseté) z σ σ α / z α / P m X, X + α ahol z -α/ a stadard ormáls eloszlás -α/ kvatlse Kofdecatervallum a ormáls eloszlás várható értékére Ha a szórás em smert, becsüljük Tulajdoság: ormáls eloszlású mta eseté a mtaátlag és a tapasztalat szórás függetle - szabadságfokú t (Studet) eloszlás: X ( ) ) X +... + X /( eloszlása, ahol X,X,..., X - függetle azoos, stadard ormáls eloszlásúak X t Kofdecatervallum a ormáls eloszlás várható értékére/ ( X µ ) ( X X) +... + ( X X) ( )/( ) eloszlása - szabadságfokú t-eloszlás Ebbıl kofdeca tervallum m-re ( X X) +... + ( X X) )/( ) ( X X) +... + ( X X) ) ; X + t, α /, α / Ha agy, az tervallum az smert szórású esetél látotthoz közelít. /( ) Kofdeca tervallum a valószíőségre Ebbe az esetbe az egyes mtaelemek dkátorok: σ p(-p), tehát p re a következı tervallumot kapjuk (-α megbízhatóságú) z pˆ α / ( pˆ) z α / pˆ( pˆ) X, X + k ahol X pˆ (a relatív gyakorság). Ez csak approxmatív, elég agy kell, hogy legye (pl. >5). Mtaelemszám választás Ahhoz, hogy a várható értékre felírt -α megbízhatóságú tervallum adott d számál rövdebb legye: 4( z α / ) σ d A valószíőség eseté: 4( z ˆ α / ) pˆ( p d ) Mvel p és becslése s smeretle a kutatás tervezésekor, ezért a következı felsı becslés haszálható z α / d
χ-égyzet eloszlás Legye X,..., X függetle azoos, stadard ormáls eloszlás s u ru s é g fü g g v é y X +...+ X eloszlása szabadságfokú χ eloszlás...4.6.8.. s z. f. 5 3 Kofdeca tervallum a ormáls elo. szóráségyzetére ( X ) X / σ eloszlása - szabadságfokú χ eloszlás. Ebbıl adódk kofdecatervallum σ -re: P σ ( X X ), h α /, ( X X ) α h α /, ahol h α/,- és h -α/,- az α/, lletve -α/ kvatlse az - szabadságfokú χ-égyzet eloszlásak. 4 6 8 A kék görbe az elmélet modell, ezt szereték becsül Sőrőségfügvéy becslése hsztogrammal..5..5..5 Hstogram 4 6 8..5..5..5 Hstogram 4 6 8 Parze-Roseblatt módszer/ Tapasztalat eloszlásfüggvéy em derválható, de eze segíthetük, ha az egyes megfgyeléseket em potszerőek, haem az adott érték körül kcs szórású folytoos eloszlásúak képzeljük (ez az eloszlás a magfüggvéy). Eek a folytoos keverékeloszlásak a derváltja jól közelít a sőrőségfüggvéyt. Hátráya: az tervallumbeosztás szubjektív, em a potos értékek szerepelek bee Parze-Roseblatt módszer/ Tétel. Ha a mták egy f(x) sőrőségfüggvéyő eloszlásból származk, a k(y) magfüggvéy egyeletese korlátos és yk(y) határértéke a végtelebe, valamt h olya számsorozat, melyre lm h és lm h, akkor x X f ( x) k h h aszmptotkusa torzítatla, kozsztes becslés az f(x) mde folytoosság potjába. Kovaraca Defícó. Az X és Y kovaracája: cov(x,y):e[(x-e(x))(y-e(y))] Kszámítása: cov(x,y) E[XY-XE(Y)- YE(X)+E(X)E(Y)]E(XY)-E(X)E(Y) A korábba látott, függetle val.változókra voatkozó E(XY)E(X)E(Y) egyelıség értelmébe cov(x,y), ha X és Y függetleek. Megj.: Abból, hogy cov(x,y) em következk, hogy függetleek: legye X szmmetrkus a ra (pl. P(X)P(X-)P(X)/3) és YX. Ekkor cov(x,y)e(x 3 )-E(X)E(X )-, hsze E(X 3 )E(X). A kovaraca szmmetrkus: cov(x,y) cov(y,x) cov(x,x) D (X)
Összeg szóráségyzete Láttuk: D (X+Y)D (X)+D (Y), ha X és Y függetleek (elég, hogy cov(x,y)). Általáosa: D (X+Y)D (X)+D (Y)+cov(X,Y) tagú összegre: D ( X +... + X ) D ( X ) + < j cov( X, X ) Spec.: D (X + X + +X ) D (X )+ D (X )+ + D (X ), ha a tagok párokét függetleek. j Korrelácós együttható A kovaraca skálafüggı: cov(ax,by)ab cov(x,y) A változók között leárs kapcsolat erısségét mérı meység a korrelácós együttható: cov( X, Y ) R ( X, Y ) D( X ) DY ( ) Tulajdosága: R(X,Y), ha X és Y függetleek (ez sem fordítható meg) Ez alapjá defícó szert legye R(X,Y), ha X vagy Y elfajult eloszlású. R(X,aX+b), ha a>, mert cov(x,ax+b)ad (X). A korrelácó tulajdosága R(X,Y) és R akkor és csak akkor, ha XaY+b valószíőséggel (a, b R). Ehhez: X E( X ) Y E( Y ) X, Y D( X ) DY ( ) a stadardzált változók. E(X*)E(Y*), D(X*)D(Y*). R(X,Y)E(X*Y*). E (X*±Y*) E(X*) ±E(X*Y*)+E(Y*) ± E(X*Y*), tehát R(X,Y). Ebbıl: R akkor és csak akkor, ha E (X*-Y*), azaz X*Y* valószíőséggel. Ekkor XaY+b, a>. R- akkor és csak akkor, ha E (X*+Y*), azaz X*-Y* valószíőséggel. Ekkor XaY+b, a<. Becslés A kovaraca becslése: tapasztalat kovaraca ( x x)( y y) A korrelácó becslése a mta alapjá: tapasztalat korrelácós együttható ( ( x x x)( y y) x) ( y y) Y közelítése X függvéyével Gyakor eset, hogy em smerjük a számukra érdekes meység (Y) potos értékét (pl. holap részvéyárfolyam, vízállás, dıjárás). Va vszot formácók hozzá kapcsolódó meységrıl (X, ma értékek). Feladat: olya f megtalálása, amelyre f (X) a lehetı legjobb közelítése Y-ak. Matematkalag: f a megoldása a me( Y f ( X )) szélsıérték-problémáak (legksebb égyzetes becslés). Ha az együttes eloszlás smert (em teljese reáls, de a megfgyelések alapjá közelíthetı), akkor megoldható a feladat. f Állítás. A A várható érték optmumtulajdosága me( Y a) feladat megoldása ae(y). Bzoyítás. E(Y-a) E(Y )-ae(y)+a a a szert derválva adódk, hogy valóba E(Y) a mmumhely. A mmum értéke D (Y). Ugyaígy: X tetszıleges értéke eseté E(Y Xx) adja a mmumot. 3
Feltételes eloszlások Legye d. Ha (X,Y) abszolút folytoos, f X,Y (x,y) együttes sőrőségfüggvéyel,akkor f X Y (x y): f X,Y (x,y)/f Y (y) az X változó Yy feltétel mellett sőrőségfüggvéye. Átredezve: f X,Y (x,y)f Y (y) f X Y (x y). Ezt y szert tegrálva az X sőrőségfüggvéye g X ( X Y x) f ( x y) f ( y) dy A feltételes várható érték poztív valószíőségő feltételre Formálsa: ez a feltételes eloszlás várható értéke xp( X x A) E( X A) Megjegyzés. Ha E(X) létezk, akkor E(X A) s. (a teljes valószíőség tételéek a sőrőségfüggvéyekre voatkozó esete). A teljes várható érték tétele Tegyük fel, hogy E(X) létezk, és legye B, B,..., poztív valószíőségő eseméyekbıl álló teljes eseméyredszer. Ekkor E( X ) E( X B ) P( B ) + E( X B ) P( B ) +... Bzoyítás. E ( X B ) P( B ) xkp( X xk B ) P( B ) k Az abszolút kovergeca matt az összegzés sorredje felcserélhetı: x P( X x B ) P( B ) x P( X x ) E( X ) k k k k k k A feltételes várható érték közelítése Nadarajah módszerével rˆ ( x) x X Yk h x X k h A sőrőségfüggvéyre voatkozó regulartás feltételek eseté ez kozsztes becslése az E(Y X) regresszóak. Optmum a leárs függvéyek körébe mey [ ( ax + b)] a, b Egyszerőbbe megoldható Nem kell az együttes eloszlás A megoldás derválással: EY [ ( ax + b)] E( Y ) + a E( X ) + abe( X ) + + b ae( XY ) be( Y ) ae( X EY [ ( ax + b)] ae( X ) + be( X ) E( XY ) a EY [ ( ax + b)] b+ ae( X ) E( Y ) b ) E( XY) be( X ) ae( X b E( Y ) ae( X ) ) E( XY ) ( E( Y ) ae( X )) E( X ) E( XY ) E( X ) E( Y ) E( XY ) E( X ) E( Y ) a b E( Y ) E( X ) E( X ) E ( X ) E( X ) E ( X ) 4