BEVEZETÉS AZ ANALÍZISBE

BEVEZETÉS AZ ANALÍZISBE

Jegyzetek és példtárk mtemtik egyetemi okttásához sorozt Algoritmuselmélet Algoritmusok bonyolultság Anlitikus módszerek pénzügyben és közgzdságtnbn Anlízis feldtgyűjtemény I Anlízis feldtgyűjtemény II Bevezetés z nlízisbe Complexity of Algorithms Differentil Geometry Diszkrét mtemtiki feldtok Diszkrét optimlizálás Geometri Igzságos elosztások Introductory Course in Anlysis Mthemticl Anlysis Exercises I Mthemticl Anlysis Problems nd Exercises II Mértékelmélet és dinmikus progrmozás Numerikus funkcionálnlízis Operációkuttás Operációkuttási példtár Prciális differenciálegyenletek Példtár z nlízishez Pénzügyi mtemtik Szimmetrikus struktúrák Többváltozós dtelemzés Vriációszámítás és optimális irányítás

Mezei István Frgó István Simon Péter BEVEZETÉS AZ ANALÍZISBE Eötvös Loránd Tudományegyetem Természettudományi Kr Typotex 2014

c 2014 2019, Dr. Mezei István, Dr. Frgó István, Dr. Simon Péter, Eötvös Loránd Tudományegyetem, Természettudományi Kr Lektorált: Dr. Ngy Bálint Cretive Commons NonCommercil-NoDerivs 3.0 (CC BY-NC-ND 3.0) A szerző nevének feltüntetése mellett nem kereskedelmi célll szbdon másolhtó, terjeszthető, megjelentethető és elődhtó, de nem módosíthtó. ISBN 978 963 279 224 8 Készült Typotex Kidó (http://www.typotex.hu) gondozásábn Felelős vezető: Votisky Zsuzs Műszki szerkesztő: Gindill Orsoly Készült TÁMOP-4.1.2-08/2/A/KMR-2009-0045 számú, Jegyzetek és példtárk mtemtik egyetemi okttásához című projekt keretében. KULCSSZAVAK: mtemtiki nlízis, hlmzok, vlós és komplex számok, sorok, soroztok, differenciál- és integrálszámítás, függvényvizsgált, függvénysorok, vektornlízis, komplex függvények. ÖSSZEFOGLALÁS: A jegyzet z ELTE TTK nem mtemtik szkos hllgtóink nlízisokttásához készült, de mtemtik lpszkos hllgtók is hsználhtják kiegészítésként. Nem hgyományos tárgylásmódot követi: kétszer hld végig z nlízis lpfejezetein. Először lpszinten, inkább módszereket ismertetve, mjd mélyebb szinten, hgyományos tétel bizonyítás szemléletet követve tárgylj témköröket. A jegyzet erősen lklmzásorientált, pl. térképészeknek, geofizikusoknk fontos görbeelmélet és vektornlízis, vlmint fizikus hllgtóknk fontos vonlintegrál, felületi integrál, komplex függvénytn, metrikus terek stb. szerepelnek benne.

Trtlomjegyzék 1. Előszó 1 2. Hlmzok, relációk, függvények 3 2.1. Hlmzok, relációk, függvények A............... 3 2.1.1. Hlmzok és relációk................... 3 2.1.2. Relációk inverze és kompozíciój............ 5 2.1.3. Függvények........................ 6 2.2. Feldtok............................. 8 2.3. Hlmzok, relációk, függvények E............... 9 2.3.1. Ekvivlenci és rendezési reláció............ 9 2.3.2. Hlmzok számosság.................. 11 3. Számhlmzok 13 3.1. Vlós számok A......................... 13 3.1.1. A vlós számok xiómrendszere............ 13 3.1.2. Természetes, egész és rcionális számok........ 15 3.1.3. Felső és lsó htár.................... 16 3.1.4. Intervllumok és környezetek.............. 17 3.1.5. Vlós számok htványi................. 18 3.2. Feldtok............................. 19 3.3. Komplex számok A....................... 22 3.3.1. A komplex szám foglm, műveletek.......... 22 3.3.2. Komplex számok trigonometrikus lkj........ 23 4. Elemi függvények 27 4.1. Vlós-vlós függvények lptuljdonsági A...................... 27 4.2. Az elemi függvények A..................... 29 4.2.1. Htványfüggvények.................... 29 4.2.2. Exponenciális és logritmus függvények........ 32 i

4.2.3. Trigonometrikus függvények és inverzeik........ 35 4.2.4. Hiperbolikus függvények és inverzeik.......... 40 4.2.5. Néhány különleges függvény............... 43 4.3. Feldtok............................. 46 5. Soroztok, sorok 49 5.1. Soroztok, sorok A....................... 49 5.1.1. A sorozt foglm és tuljdonsági........... 49 5.1.2. Sorozt htárértéke................... 51 5.1.3. Divergens soroztok................... 52 5.1.4. Sorok........................... 53 5.2. Feldtok............................. 55 5.3. Soroztok E........................... 59 5.3.1. Sorozt konvergenciáj.................. 59 5.3.2. Műveletek konvergens soroztokkl........... 60 5.3.3. Részsoroztok....................... 61 5.3.4. Sorozt lim sup-j és lim inf-je............. 63 5.3.5. Intervllumsorozt.................... 64 5.3.6. Cuchy konvergencikritérium............. 65 5.4. Sorok E............................. 66 5.4.1. Sor konvergenciáj.................... 66 5.4.2. Konvergencikritériumok................ 67 5.4.3. Végtelen sorok átrendezései............... 69 6. Folytonosság 71 6.1. Folytonosság A......................... 71 6.1.1. A folytonos függvény foglm és tuljdonsági.... 71 6.1.2. A műveletek és folytonosság kpcsolt....... 73 6.1.3. Intervllumon folytonos függvények tuljdonsági... 73 6.2. Feldtok............................. 74 6.3. Folytonosság E......................... 75 6.3.1. A folytonosság foglm és z átviteli elv........ 75 6.3.2. Műveletek folytonos függvényekkel........... 76 6.3.3. Intervllumon folytonos függvények tuljdonsági... 77 6.3.4. Az inverzfüggvény folytonosság............ 78 6.3.5. Egyenletes folytonosság................. 79 7. Függvény htárértéke 81 7.1. Függvény htárértéke A.................... 81 7.1.1. Végesben vett, véges htárérték............ 81 7.1.2. Végtelenben vett, illetve nem véges htárérték... 83 7.1.3. Egyoldli htárérték................... 85 ii

7.2. Feldtok............................. 87 7.3. Függvény htárértéke E.................... 89 7.3.1. A htárérték áltlános definíciój és z átviteli elv.. 89 7.3.2. Műveletek függvények htárértékével.......... 91 8. Differenciálhtóság 93 8.1. Differenciálhtóság A...................... 93 8.1.1. A derivált foglm és geometrii jelentése....... 93 8.1.2. Elemi függvények deriváltj és deriválási szbályok. 96 8.1.3. A derivált kpcsolt függvény tuljdonságivl... 98 8.1.4. Többszörös derivált és Tylor-polinom........ 100 8.1.5. L Hospitl-szbály.................... 102 8.2. Feldtok............................. 103 8.3. Differenciálhtóság E...................... 107 8.3.1. A derivált foglm és kpcsolt folytonossággl.. 107 8.3.2. Műveletek differenciálhtó függvényekkel, deriválási szbályok........................... 108 8.3.3. Lokális növekedés, fogyás, lokális szélsőérték...... 111 8.3.4. Középértéktételek.................... 112 8.3.5. A globális monotonitás elégséges feltételei....... 114 8.3.6. Konvex és konkáv függvények.............. 114 8.3.7. Tylor-formul...................... 116 8.3.8. L Hospitl-szbály.................... 118 9. Integrálhtóság, integrálszámítás 119 9.1. Integrálszámítás A....................... 119 9.1.1. A Riemnn-integrál foglm és geometrii jelentése.......................... 119 9.1.2. A Riemnn-integrál és műveletek kpcsolt.... 122 9.1.3. Newton Leibniz-formul................. 123 9.1.4. Primitív függvény.................... 126 9.1.5. Az integrál lklmzási................. 127 9.1.6. Fourier-sor........................ 135 9.1.7. Az improprius integrál.................. 137 9.2. Feldtok............................. 138 9.3. Integrálszámítás E....................... 141 9.3.1. Az integrál foglm................... 141 9.3.2. Az integrálhtóság feltételei............... 142 9.3.3. Műveletek és z integrál kpcsolt........... 144 9.3.4. Primitív függvény és Newton Leibniz-formul.... 146 10.Függvénysoroztok, függvénysorok 149 iii

10.1. Függvénysoroztok, függvénysorok A............. 150 10.1.1. Függvénysoroztok.................... 150 10.1.2. Függvénysorok...................... 154 10.1.3. Htványsorok....................... 156 10.2. Feldtok............................. 157 10.3. Függvénysoroztok, függvénysorok E............. 159 10.3.1. Függvénysoroztok.................... 159 10.3.2. Függvénysorok...................... 160 10.3.3. Htványsorok, Tylor-sorok............... 161 11.Többváltozós függvények 163 11.1. Többváltozós függvények A.................. 163 11.1.1. Az n-dimenziós tér.................... 163 11.1.2. Többváltozós függvények................ 165 11.1.3. Htárérték és folytonosság................ 168 11.2. Feldtok............................. 170 11.3. Többváltozós függvények E.................. 172 11.3.1. Metrikus tér....................... 172 11.3.2. Nyílt és zárt hlmzok; kompkt hlmz........ 173 11.3.3. Folytonos függvények.................. 175 11.3.4. Fixponttétel........................ 176 12.Többváltozós differenciálás 179 12.1. Többváltozós deriválás A.................... 179 12.1.1. Prciális derivált..................... 179 12.1.2. Deriváltmátrix...................... 181 12.1.3. Érintő........................... 184 12.1.4. Szélsőérték........................ 185 12.2. Feldtok............................. 187 12.3. Többváltozós deriválás E.................... 193 12.3.1. Prciális derivált és deriváltmátrix........... 193 12.3.2. Második derivált, Tylor-formul............ 196 12.3.3. Szélsőérték........................ 199 12.3.4. Implicit- és inverzfüggvény tétel............. 201 12.3.5. Feltételes szélsőérték................... 205 13.Vonlintegrál 209 13.1. Vonlintegrál A......................... 209 13.1.1. A vonlintegrál foglm és tuljdonsági........ 209 13.1.2. Potenciál......................... 212 13.2. Feldtok............................. 214 13.3. Vonlintegrál E......................... 216 iv

13.3.1. A vonlintegrál foglm és tuljdonsági........ 216 13.3.2. Potenciál......................... 217 14.Differenciálegyenletek 223 14.1. Differenciálegyenletek A.................... 223 14.1.1. Alpfoglmk....................... 223 14.1.2. Szétválszthtó változójú differenciálegyenlet..... 224 14.1.3. Alklmzás........................ 225 14.2. Feldtok............................. 226 15.Többváltozós függvény integrálj 229 15.1. Többváltozós integrál A.................... 229 15.1.1. A többváltozós integrál foglm............. 229 15.1.2. Az integrál kiszámítás tégllpon és normáltrtományon230 15.1.3. Az integrál trnszformációj.............. 233 15.2. Feldtok............................. 235 16.Vektornlízis 239 16.1. Vektornlízis A........................ 239 16.1.1. Térgörbék......................... 239 16.1.2. Felületek......................... 244 16.1.3. A nbl.......................... 249 16.1.4. Integrálátlkító tételek................. 250 16.2. Feldtok............................. 251 16.Komplex függvények 259 16.1. Komplex soroztok, végtelen sorok............... 259 16.2. Komplex htványsorok...................... 260 16.3. Komplex függvény folytonosság................ 263 16.4. Komplex függvény htárértéke................. 264 16.5. Komplex függvény differenciálhtóság............. 265 16.6. Komplex függvények integrálj................. 268 16.6.1. Primitív függvény, z integrál kiszámítás....... 273 16.7. Tylor-sor, hrmonikus függvények............... 275 16.8. Komplex függvények zérushelyei................ 277 16.9. Becslések............................. 278 16.10.Komplex függvény mximum.................. 281 16.11.Lurent-sor............................ 282 16.11.1.Szinguláris helyek.................... 284 16.11.2.A reziduum-tétel..................... 285 v

1. fejezet Előszó A jegyzet lpvetően z Eötvös Loránd Tudományegyetem Természettudományi Krán nem mtemtik szkos hllgtók nlízis okttásához készült, bár mtemtik lpszkos hllgtók kiegészítésként szintén hsználhtják. A fizikus, geofizikus, térképész, meteorológus, geológus, környezettudomány szkos hllgtók mtemtik okttás évtizedek ót z Alklmzott Anlízis és Számításmtemtiki Tnszék feldt. A jegyzet három szerzője szintén évek, évtizedek ót részt vesz ebben z okttásbn. A jegyzetben tárgylt nlízis nygot számos félévben szerzők már tnították, hosszú évek szkmi és pedgógii tpsztlt vn jegyzet trtlm mögött. Temtikáját tekintve jegyzet természetszerűleg hsonlít számos más nlízis tnkönyvre, zonbn hngsúlyozzuk, hogy ennek ellenére több szempontból hiánypótló szerepet tölt be. Egyrészt más nlízis témájú tnkönyvek ngyobbrészt mtemtik szkos hllgtók számár készültek. A nem mtemtik szkosoknk szóló tnkönyvek pedig más egyetemek speciális igényű hllgtói, pl. mérnök vgy közgzdász hllgtók okttásához illenek. Ez jegyzet z ELTE TTK nem mtemtik szkos hllgtóink igényeihez illeszkedik. Sokéves okttási tpsztlt muttj, hogy hllgtók mtemtikát nem z xiomtikus felépítés mentén sjátítják el, hnem fokoztosn, egyre mélyebb szinten értik meg mtemtiki foglmkt és tételeket. Ezért jegyzet nem hgyományos tárgylásmódot követi, hnem kétszer hld végig fent felsorolt fejezeteken. Először lpszinten tárgyl minden témkört. Ennek keretében inkább módszereket tnít. (A fizik szkon ez rész külön tntárgy Klkulus címen.) Ezután másodéves hllgtók számár ugynzok témkörök mélyebb szinten következnek, hgyományos tétel-bizonyítás szemlélet szerint. A jegyzet erősen lklmzás orientált. A térképészeknek fontos görbeelmélet, vgy geofizikusoknk szükséges vektornlízis is helyet kp benne. A fizikus hllgtók megtlálhtják benne vonlintegrál, felületi 1

2 1. Előszó integrál és komplex függvények tárgylását, illetve nehezebb témköröket is, pl. metrikus terek, vgy implicit függvény tétel. Köszönetnyilvánítás A szerzők köszönetet mondnk z Eötvös Loránd Tudományegyetem Mtemtiki Intézetében z Alklmzott Anlízis és Számításmtemtiki Tnszéken dolgozó kollégáink, kik konstruktív észrevételeikkel támogtták kurzus temtikájánk kilkítását és jegyzet megírását. Köszönet illeti jegyzet lektorát Ngy Bálint tnszékvezető főiskoli docenst, ki mindenre kiterjedő figyelemmel igyekezett jvítni hibákt, és elősegíteni z érthetőséget, és z egységes szerkezetét. A jegyzet TAMOP-4.1.2-08/2/A/KMR-2009-0045 számú pályázt, Jegyzetek és példtárk mtemtik egyetemi okttásához című projektjének keretében készült. 2

2. fejezet Hlmzok, relációk, függvények Bemuttjuk mtemtik eszközeit, lépten-nyomon hsznált foglmkt, fontos megállpodásokt vezetünk be. Biztos lpokt készítünk további építkezéshez. Gykrn lklmzzuk minden, illetve tetszőleges szvk rövidítésére, létezik, illetve vn olyn kifejezések helyett pedig jelet. Az lábbi témköröket tárgyljuk: Hlmz foglm és hlmzműveletek Reláció Függvény foglm és tuljdonsági Kompozíció és inverz Hlmz számosság 2.1. Hlmzok, relációk, függvények A 2.1.1. Hlmzok és relációk Egy hlmzt kkor tekintünk ismertnek, h minden jól megfoglmzhtó dologról el tudjuk dönteni, hogy hozzá trtozik vgy nem trtozik hozzá. (Az okos gondolt, szép lány, z elég ngy szám vgy kicsi pozitív szám nem tekinthető jól megfoglmzott dolognk, ezekről nem kérdezzük, hogy benne vnnk-e vlmilyen hlmzbn, hogy lkotnk-e hlmzt.) 3

4 2. Hlmzok, relációk, függvények Legyen A hlmz, x egy jól definiált dolog. H x hozzátrtozik hlmzhoz, kkor ezt x A jelölje. H x nem trtozik hozzá hlmzhoz, kkor ezt x / A jelöli. A hlmz elemeit felsorolhtjuk, például A := {, b, c, d}, vgy értelmes tuljdonsággl djuk meg hlmzt, például B := {x x vlós szám és x 2 < 2}. 2.1. Definíció. Legyen A és B hlmz. Azt mondjuk, hogy A része B hlmznk, h minden x A esetén x B. Jele: A B. 2.2. Definíció. Legyen A és B hlmz. Az A hlmz egyenlő B hlmzzl, h ugynzok z elemei. Jele: A = B. Könnyen meggondolhtó következő tétel: 2.1. Tétel. Legyen A és B hlmz. A = B pontosn kkor, h A B és B A. Néhány eljárást muttunk, melyekkel újbb hlmzokhoz juthtunk. 2.3. Definíció. Legyen A és B hlmz. Az A és B egyesítése (uniój) z hlmz, melyre A B := {x x A vgy x B}. Az A és B metszete (közös része) z hlmz, melyre A B := {x x A és x B}. Az A és B különbsége z hlmz, melyre A \ B := {x x A és x / B}. A metszet és különbség képzése során elképzelhető, hogy egyetlen x dolog sem rendelkezik kívánt tuljdonsággl. Azt hlmzt, melynek bármely jól definiálhtó dolog sem eleme, üres hlmznk nevezzük. Jele:. Legyen H hlmz és A H egy részhlmz. Az A hlmz (H-r vontkozó) komplementerén z A := H \ A hlmzt értjük. De Morgn-zonosságoknk nevezik következő tételt: 2.2. Tétel. Legyen H hlmz, A, B H. Ekkor A B = A B és A B = A B. Legyen és b dolog. Az {, b} hlmz nyilván sok változtbn felírhtó: {, b} = {b, } = {, b, b, } = {, b, b,, b, b} = stb. Ezzel szemben tekintsük lpfoglomnk z (, b) rendezett párt, melynek lényeges tuljdonság legyen, hogy (, b) = (c, d) pontosn kkor, h = c és b = d. A rendezett pár segítségével értelmezzük hlmzok szorztát. 4

2.1. Hlmzok, relációk, függvények A 5 2.4. Definíció. Legyen A, B hlmz. Az A és B Descrtes-szorzt A B := {(, b) A és b B}. Például A := {2,3,5}, B := {1,3} esetén A B = {(2,1), (2,3), (3,1), (3,3), (5,1), (5,3)}. A rendezett pár foglmár épül reláció. 2.5. Definíció. Azt mondjuk, hogy z r hlmz reláció, h minden eleme rendezett pár. Egy mgyr-ngol szótár is egy reláció, hiszen elemei mgyr és neki megfelelő ngol szóból lkotott rendezett párok. 2.6. Definíció. Legyen r reláció. Az r reláció értelmezési trtomány Az r reláció értékkészlete z D(r) := {x vn olyn y, hogy (x, y) r}. R(r) := {y vn olyn x D(r), hogy (x, y) r}. Nyilván r D(r) R(r). Például r := {(4,2), (4,3), (1,2)} esetén D(r) = {4,1}, R(r) = {2,3}. 2.1.2. Relációk inverze és kompozíciój Két eljárást muttunk be, mellyel dott reláció(k)ból újbb relációhoz juthtunk. 2.7. Definíció. Legyen r reláció. Az r reláció inverze z reláció, mely r 1 := {(s, t) (t, s) r}. Láthtó, hogy r := {(1,3), (4,2), (5,2), (3,3)} esetén r 1 = {(3,1), (2,4), (2,5), (3,3)}. A mgyr-ngol szótár inverze z ngol-mgyr szótár. Értelmezzük relációk kompozícióját (összetett reláció, közvetett reláció) is. 2.8. Definíció. Legyen r, s reláció. Az s belső reláció és r külső reláció kompozíciój legyen r s := {(x, z) vn olyn y R(s) D(r) közvetítő elem, hogy (x, y) s és (y, z) r}. 5

6 2. Hlmzok, relációk, függvények Például s := {(1,2), (1,4), (2,3)}, r := {(4,3), (4,4), (3,5)} esetén r s := {(1,3), (1,4), (2,5)}. Természetesen elkészíthető z s r reláció is, de ez most s r =. Áltlábn r s s r. Meglepően szép relációk kompozíciójánk inverze és z inverzek kompozíciójánk kpcsolt: 2.3. Tétel. Legyen r, s reláció. Ekkor (r s) 1 = s 1 r 1. Mivel hlmzok egyenlőségét szeretnénk igzolni, megmuttjuk, hogy 1.) (r s) 1 s 1 r 1 és 2.) s 1 r 1 (r s) 1. 1. Legyen (p, t) (r s) 1 (t, p) r s vn olyn q R(s) D(r) közvetítő elem, hogy (t, q) s és (q, p) r nyilván (p, q) r 1 és (q, t) s 1 (p, t) s 1 r 1. 2. Legyen (u, w) s 1 r 1 vn olyn v R(r 1 ) D(s 1 ) = R(s) D(r) közvetítő elem, hogy (u, v) r 1 és (v, w) s 1 nyilván (w, v) s és (v, u) r (w, u) r s (u, w) (r s) 1. 2.1.3. Függvények A függvény speciális reláció. 2.9. Definíció. Legyen f reláció. Azt mondjuk, hogy z f függvény, h bármely (x, y) f és (x, z) f esetén y = z. Például r := {(1,2), (2,3), (2,4)} nem függvény, hiszen (2,3) r és (2,4) r, de 3 4; z f := {(1,2), (2,3), (3,3)} viszont függvény. Néhány megállpodást teszünk függvények körében. H f függvény, kkor (x, y) f esetén y z f függvény x helyen vett helyettesítési értéke, vgy z f függvény z x-hez z y-t rendeli hozzá. Jelölésben: y = f(x). H f függvény és A := D(f), B pedig olyn hlmz, melyre R(f) B (nyilván A függvény értelmezési trtomány, B pedig függvény (egyik) képhlmz), kkor z f A B, f függvény kifejezés helyett z f:a B jelölést hsználjuk ( z f függvény z A hlmzt B hlmzb képezi ). H f függvény és D(f) A, R(f) B, kkor f : A B jelöli ezt ( f z A hlmzból B hlmzb képező függvény ). Például f := {(, α), (b, β), (g, γ), (d, δ), (e, ε)} függvény. Láthtó, hogy β z f függvény b helyen vett helyettesítési értéke, β = f(b). 6

2.1. Hlmzok, relációk, függvények A 7 H L ltin betűk, G pedig görög betűk hlmz, kkor f : {, b, g, d, e} G, f() = α, f(b) = β, f(g) = γ, f(d) = δ, f(e) = ε. H csk függvény típusár krunk utlni, elég z f : L G. Természetesen egy függvénynek is vn inverze, ez zonbn nem biztos, hogy függvény lesz. 2.10. Definíció. Legyen f : A B függvény. Azt mondjuk, hogy z f kölcsönösen egyértelmű (injektív), h különböző x 1, x 2 A elemeknek különböző B-beli elemeket feleltet meg, zz bármely x 1, x 2 A, x 1 x 2 esetén f(x 1 ) f(x 2 ). Könnyen meggondolhtó, hogy kölcsönösen egyértelmű függvény inverze is függvény. Részletesebben: 2.4. Tétel. Legyen f függvény, A := D(f), B := R(f), f kölcsönösen egyértelmű. Ekkor z f inverze f 1 : B A olyn függvény, mely bármely s B ponthoz zt t A pontot rendeli, melyre f(t) = s, (röviden: bármely s B esetén f(f 1 (s)) = s.) Függvények kompozícióját is elkészíthetjük. Szerencsére ez mindig függvény lesz. Legyen g : A B, f : B C. Ekkor relációk kompozíciójánk felhsználásávl megmutthtó, hogy f g : A C, bármely x A esetén (f g)(x) = f(g(x)). Például g függvény minden szám duplájához 1-et djon hozzá (g : R R, g(x) := 2x + 1); z f függvény pedig minden számot emeljen négyzetre (f : : R R, f(x) := x 2 ), kkor f g : R R, (f g)(x) = (2x + 1) 2 lesz z f és g kompozíciój. További hsznos foglmk Legyen f : A B és C A. Az f függvény C-re vló leszűkítése z z f C : C B függvény, melyre bármely x C esetén f C (x) := f(x). Legyen f : A B, C A és D B. Az f(c) := {y vn olyn x C, melyre f(x) = y} hlmzt C hlmz f függvénnyel létesített képének nevezzük. Az f 1 (D) := {x f(x) D} hlmz D hlmz f függvényre vontkozó ősképe. (Vigyázt! Az f 1 nem inverzfüggvényt jelöl ebben z esetben.) 7

8 2. Hlmzok, relációk, függvények 2.2. Feldtok 1. Legyen A := {2,4,6,3,5,9}, B := {4,5,6,7}, H := {n n egész szám, 1 n 20}. Készítse el z A B, A B, A \ B, B \ A hlmzokt. Mi lesz z A hlmz H-r vontkozó A komplementere? 2. Legyen A := {, b}, B := {, b, c}. A B =? B A =? 3. Legyen r := {(x, y) x, y vlós szám, y = x 2 }. r 1 =? Függvény-e z r? Függvény-e z r 1? 4. Legyen f : R R, f(x) := x 1+x 2. Készítse el z f f, f (f f) függvényeket. 5. Gondoljuk végig egy f : A B kölcsönösen egyértelmű függvény inverzének szemléltetését! 6. Gondoljuk meg, hogy egy f : A B kölcsönösen egyértelmű függvény inverzét következő lépésekkel lehet előállítni: 1) Felírjuk, hogy y = f(x). 2) Felcseréljük z x és y változókt : x = f(y). 3) Ebből z egyenletből kifejezzük z y-t z x segítségével: y = g(x). Ez g lesz éppen z f 1 inverzfüggvény. Például: f : R R, f(x) = 2x 1. (Ez kölcsönösen egyértelmű függvény.) 1) y = 2x 1 2) x = 2y 1 3) x + 1 = 2y, y = 1 2 (x + 1). Tehát f 1 : R R, f 1 (x) = 1 2 (x + 1). Szemléltesse is z f és f 1 függvényt! 7. Legyen f : A B, C 1, C 2 A, D 1, D 2 B. Mutssuk meg, hogy f(c 1 C 2 ) = f(c 1 ) f(c 2 ), f(c 1 C 2 ) f(c 1 ) f(c 2 ), f 1 (D 1 D 2 ) = f 1 (D 1 ) f 1 (D 2 ), f 1 (D 1 D 2 ) = f 1 (D 1 ) f 1 (D 2 ). Igz-e, hogy h C 1 C 2, kkor f(c 1 ) f(c 2 )? Igz-e, hogy h D 1 D 2, kkor f 1 (D 1 ) f 1 (D 2 )? 8. Legyen f : A B, C A, D B. Igz-e, hogy f 1 (f(c)) = C? Igz-e, hogy f(f 1 (D)) = D? 8

2.3. Hlmzok, relációk, függvények E 9 2.3. Hlmzok, relációk, függvények E A rendezett párt lpfoglomnk tekintettük, de lehetőség vn hlmzok segítségével bevezetni rendezett pár foglmát. 2.11. Definíció. Legyen és b. Az (, b) rendezett pár legyen (, b) := {{}, {, b}}. Ezzel z értelmezéssel igzolhtó rendezett párt jellemző tuljdonság. 2.5. Tétel. (, b) = (c, d) = c és b = d. Bizonyítás. ( ) Legyen {{}, {, b}} = {{c}, {c, d}}. 1. Vgy {} = {c}, miből = c következik. Továbbá {, b} = {c, d}, de = c mitt b = d lehet csk. 2. Vgy {} = {c, d}, miből c = d és így = c = d következik. Ekkor (c, d) = {{}}, de kkor {} = {, b} is igz, így = b. Tehát = b = = c = d. ( ) Nyilvánvló! 2.3.1. Ekvivlenci és rendezési reláció A mtemtik néhány kényes foglmát relációkkl és függvényekkel hozzuk kpcsoltb. 2.12. Definíció. Legyen H, r H H, D(r) = H reláció. Azt mondjuk, hogy 1. r reflexív, h x H esetén (x, x) r ; 2. r szimmetrikus, h (x, y) r esetén (y, x) r ; 3. r ntiszimmetrikus, h minden olyn esetben, mikor (x, y) r és (y, x) r, kkor x = y ; 4. r trnzitív, h minden olyn esetben, mikor (x, y) r és (y, z) r, kkor (x, z) r. 2.13. Definíció. H z r reláció reflexív, szimmetrikus és trnzitív, kkor r ekvivlenci-reláció. 2.14. Definíció. H z r reláció reflexív, ntiszimmetrikus és trnzitív, kkor r rendezési reláció. 9

10 2. Hlmzok, relációk, függvények Legyen egy ekvivlenci-reláció H hlmzon (D( ) = H). Állpodjunk meg bbn, hogy (x, y) helyett z x y jelölést hsználjuk. A ekvivlenci-reláció segítségével H hlmzt részhlmzokr bontjuk következő lépésekkel. α) Legyen x H. Az x-hez trtozó ekvivlenci-osztály x / := {y y H, x y}. β) Könnyen beláthtó, hogy h x, z H, kkor vgy x / = z /, vgy x / z / =. Ez zt jelenti, hogy H hlmz felbonthtó közös pont nélküli ekvivlenciosztályokr. γ) Legyen H / := {X x H, hogy X = x / }. A H / z ekvivlenci-osztályok hlmz. Igzolhtó, hogy 1. H / elemei közös pont nélküliek ( β) pontbn ezt foglmztuk meg), 2. H / elemeinek (hlmzoknk) z egyesítése kidj H hlmzt. Lássunk két fontos példát erre z eljárásr. 1. Legyen T törtek hlmz, zz { } p T = p, q egész szám, q 0. q A T hlmzon értelmezünk egy relációt: b c d = bc. d Végiggondolhtó, hogy ekvivlenci-reláció. Ekkor b / ekvivlenciosztályb beletrtozik z összes olyn tört, mely egyenlő z b -vel. A T / hlmz pedig olyn közös elem nélküli hlmzokr vló felbontás T törtek hlmzánk, melyek egyesítéseként visszkpjuk T hlmzt. Az b / egy rcionális szám, T / pedig rcionális számok hlmz. -del, hiszen ezek törtek reprezentánsi z 1 2 / rcionális számnk, és rcionális számokkl végzett műveletek során mindig megfelelő reprezentánst húzzuk elő z osztályból. Például Így válik érthetővé, hogy 1 2 egyenlő 2 4 -del, 6 12 1 2 + 2 3 = 3 6 + 4 6 = 7 6 10

2.3. Hlmzok, relációk, függvények E 11 zt sugllj, hogy 1 2 / + 2 3 / = 3 6 / + 4 6 / = 7 6 /. 2. A másik példábn E legyen egy sík irányított szkszink hlmz. Bevezetünk E-n egy relációt: legyen b, h z szksz párhuzmos b-vel, zonos irányúk és egyform hosszúk. Könnyen láthtó, hogy ekvivlenci-reláció. Az / trtlmzz z -vl párhuzmos, vele zonos irányú és hosszúságú irányított szkszokt. Egy ilyen osztály legyen egy vektor. Az E / sík vektorink hlmz. Így válik érthetővé, hogy vektorok összedásánál z egyik vektort eltoljuk úgy, hogy két vektor kezdőpontj megegyezzék. Vlójábn mindkét vektorból z lklms reprezentáns irányított szkszt húzzuk elő, zokkl végezzük el műveletet, és z eredő irányított szkszhoz trtozó ekvivlenci-osztály lesz z összedás eredő vektor. A rendezési relációkkl kpcsoltbn csk két egyszerű példát tárgylunk. Legyen N pozitív egész számok hlmz. Legyen z reláció, melyre b, h vn olyn nemnegtív c egész, hogy + c = b. Ez vlóbn rendezési reláció. Még z is igz, hogy bármely, b N esetén vgy b, vgy b. Az N pozitív egészek hlmzán egy másik relációt is bevezethetünk. Azt mondjuk, hogy osztój b-nek, h vn olyn k pozitív egész, hogy b = k. Az oszthtóság reláció reflexív ( = 1), ntiszimmetrikus (h b = k és = bl, kkor b = blk, miből lk = 1, de ez csk k = 1 és l = 1 esetén igz, tehát = b) és trnzitív (h b = k, c = bl, kkor c = kl, zz osztój c-nek), tehát z oszthtóság is rendezési reláció z N hlmzon. Csk nem olyn szép, mint volt, hiszen, vn olyn, b N, melyre nem osztój b-nek, és b sem osztój -nk. (Például := 4 és b := 7.) 2.3.2. Hlmzok számosság Gykrn hsonlítjuk össze hlmzok elemszámát, ezt formlizáljuk z lábbi definícióbn. 2.15. Definíció. Legyen A, B hlmz. Azt mondjuk, hogy A számosság egyenlő B számosságávl, h vn olyn φ : A B függvény, melyre R(φ) = B, és φ kölcsönösen egyértelmű. [Az ilyen φ függvényt bijekciónk nevezzük A és B között.] 11

12 2. Hlmzok, relációk, függvények Például pozitív egészek N hlmz és pozitív páros számok P hlmz egyenlő számosságú, hiszen φ : N P, φ(n) := 2n függvény bijekció N és P között. 2.16. Definíció. Legyen A hlmz. Azt mondjuk, hogy A végtelen (számosságú) hlmz, h A A, A A, hogy φ : A A bijekció. Az előbbi péld éppen zt muttj, hogy N végtelen hlmz. 2.17. Definíció. Legyen A végtelen hlmz. Azt mondjuk, hogy A megszámlálhtó, h φ : N A bijekció. Meglepő, de rcionális számok Q hlmz megszámlálhtó. Írjuk fel z 1,2,3,..., n,... nevezőjű törteket soronként.... 3 1 2 1 1 1 1 1 1... 3 2 2 2 1 2 0 2 1 2 2 2... 3 3 2 3 1 3 0 3 1 3 2 3 A φ : N Q bijekciót úgy készítjük, hogy. 0 2 1 3 1... φ(1) := 0 1, φ(2) := 1 1, φ(3) := 1 2, φ(4) := 1 2,..... 3 2... 3 3... A rjz szerinti lépegetéssel hldunk, ügyelve rr, hogy olyn törtet ugorjunk át, mely már egyszer sorr került. Ezzel biztosítjuk, hogy vlóbn kölcsönösen egyértelmű mrdjon függvényünk. Láthtó z is, hogy előbb-utóbb minden rcionális számhoz eljutunk, így φ bijekció lesz N és Q között, mi zt jelenti, hogy Q megszámlálhtó. 12

3. fejezet Számhlmzok Kiskorunktól számolunk vlós számokkl, összedjuk, szorozzuk, osztjuk őket, htványozunk, bszolút értékét vesszük számoknk. Egyenleteket, egyenlőtlenségeket rendezünk. Most lefektetjük zt viszonylg egyszerű szbályrendszert, melyből megtnult eljárások levezethetők. Az lábbi témköröket tárgyljuk: Vlós számok hlmz Természetes számok hlmz Egész számok és rcionális számok hlmz Felső és lsó htár Intervllum és környezet Htványozás definíciój és zonossági Komplex számok hlmz Komplex szám trigonometrikus lkj, műveletek 3.1. Vlós számok A 3.1.1. A vlós számok xiómrendszere Legyen R nem üres hlmz. Tegyük fel, hogy vn még egy összedásnk nevezett + : R R R és egy szorzásnk nevezett : R R R függvény is, melyek következő tuljdonságokkl rendelkeznek: 1. bármely, b R esetén + b = b + (kommuttivitás), 13

14 3. Számhlmzok 2. bármely, b, c R esetén + (b + c) = ( + b) + c (sszocitivitás), 3. vn olyn 0 R elem, hogy bármely R esetén + 0 = (0 z összedásr nézve semleges elem), 4. bármely R esetén vn olyn R ellentett elem, hogy +( ) = 0. m1. bármely, b R esetén b = b, m2. bármely, b R esetén (b c) = ( b) c, m3. vn olyn 1 R elem, hogy bármely R esetén 1 = (1 szorzásr nézve semleges elem), m4. bármely R\{0} esetén vn olyn 1 R reciprok elem, hogy 1 = 1, d. bármely, b, c R esetén (b + c) = b + c (disztributív szorzás z összedásr nézve). Láthtó, hogy szorzás szbályrendszere 4. követelményben lényegesen eltér z összedástól (egyébként nem is különbözne z összedás és szorzás). A d. is z eltérést erősíti. Tegyük fel, hogy R-en vn egy olyn (kisebb vgy egyenlőnek nevezett) rendezési reláció, mely még következő tuljdonságokkl rendelkezik: r1. bármely, b R esetén vgy b, vgy b, r2. minden olyn esetben, mikor b és c R tetszőleges szám, kkor + c b + c, r3. minden olyn esetben, mikor 0 és 0 b, kkor 0 b. Állpodjunk meg bbn, hogy z b, b helyett < b jelölést hsználunk. (Sjnos < nem rendezési reláció, mert nem reflexív.) Az 1. 4., m1. m4., d., r1. r3. lpján levezethető z összes egyenlőséggel és egyenlőtlenséggel kpcsoltos szbály. Kiegészítésül három foglmt külön is megemlítünk. 3.1. Definíció. Legyen, b R, b 0. Ekkor b := 1 b. Az osztás tehát elvégezhető vlós számokkl. 3.2. Definíció. Legyen x R. Az x bszolút értéke { x, h 0 x x := x, h x 0, x 0.

3.1. Vlós számok A 15 Hsznosk z bszolút értékkel kpcsoltos egyenlőtlenségek. 1. Bármely x R esetén 0 x. 2. Legyen x R és ε R, 0 ε. Ekkor x ε, és x ε x ε. 3. Bármely, b R esetén + b + b (háromszög-egyenlőtlenség). 4. Bármely, b R esetén b b. Könnyen igzolhtók ezek z állítások. A 4. bizonyítását megmuttjuk. Tekintsük z = b + b egyenlőtlenséget. Ekkor 3. szerint = b + b b + b. Az r2. szerint b számot mindkét oldlhoz hozzádv nem változik z egyenlőtlenség + ( b ) = b b. (3.1) Hsonló meggondolássl b = b + b = b + b + b b / ( b ) b = b. (3.2) Az (3.1) és (3.2) 2. tuljdonság szerint (x := b ; ε := b szereposztássl) éppen zt jelenti, hogy b b. 3.1.2. Természetes, egész és rcionális számok Most elkülönítjük z R egy nevezetes részhlmzát. Legyen N R olyn részhlmz, melyre 1 o 1 N, 2 o bármely n N esetén n + 1 N, 3 o bármely n N esetén n + 1 1 (z 1 z első elem), 4 o bból, hogy ) S N, b) 1 S, c) bármely n S esetén n + 1 S következik, hogy S = N. (Teljes indukció.) Az R-nek z ilyen N részhlmzát természetes számok hlmzánk nevezzük. Kiegészítésül álljon itt még néhány megállpodás: Z := N {0} {m R m N} z egész számok hlmz

16 3. Számhlmzok Q := {x R vn olyn p Z, q N, hogy x = p q } rcionális számok hlmz Q := R \ Q z irrcionális számok hlmz Az N segítségével műveleti, rendezési szbályrendszer mellé hrmdik követelményt illesztjük z R-hez. Arkhimédész-xióm: Bármely, b R, 0 < számokhoz vn olyn n N, hogy b < n. Az Arkhimédész-xióm következményeként megmuttjuk, hogy bármely K R számhoz vn olyn n N természetes szám, melyre K < n, ugynis z := 1, b := K szereposztássl z xióm ilyen természetes számot biztosít. Megmuttjuk zt is, hogy bármely ε R, 0 < ε esetén vn olyn n N természetes szám, hogy 1 n < ε, ugynis legyen := ε és b := 1. Az xióm szerint vn olyn n N, hogy 1 < n ε. Rendre lklmzv megfelelő szbályt 1 < nε / + ( 1) 0 < nε 1 / 1 n 0 < 1 n (nε 1) = ε 1 n 1 n < ε. / + 1 n Az Arkhimédész-xiómávl sem vált még minden igényt kielégítővé z R. Szükségünk lesz egy utolsó xiómár, melyet néhány foglomml készítünk elő. 3.1.3. Felső és lsó htár 3.3. Definíció. Legyen A R, A. Azt mondjuk, hogy A felülről korlátos számhlmz, h vn olyn K R, hogy bármely A esetén K. Az ilyen K z A hlmz egyik felső korlátj. Legyen A R, A felülről korlátos hlmz. Tekintsük B := {K R K felső korlátj z A hlmznk} hlmzt. Legyen α R B hlmz legkisebb eleme, zz olyn szám, melyre 1 o α B (α is felső korlátj z A hlmznk), 2 o bármely K B felső korlátr α K.

3.1. Vlós számok A 17 A kérdés csupán z, hogy vn-e ilyen α R. Felső htár xiómáj: Minden felülről korlátos A R, A hlmznk vn legkisebb felső korlátj. Az ilyen α R számot (mely nem feltétlenül eleme z A hlmznk) hlmz felső htáránk nevezzük, és így jelöljük: α := sup A ( z A hlmz szuprémum ) Nyilván igz sup A két tuljdonság: 1 o bármely A esetén sup A, 2 o bármely 0 < ε esetén vn olyn A, hogy (sup A) ε <. A műveleti, rendezési szbályrendszerrel, z Arkhimédész-xiómávl és felső htár xiómájávl teljessé tettük z R vlós számok hlmzát. Ezzel biztos lpot teremtettünk jövőbeni számolásokhoz is. Néhány további megállpodás. 3.4. Definíció. Legyen A R, A. Azt mondjuk, hogy A lulról korlátos, h vn olyn L R, hogy minden A esetén L. Az L z A hlmz egyik lsó korlátj. Legyen A lulról korlátos számhlmz. Az A lsó korlátji közül legngyobb hlmz lsó htár. (Ennek létezéséhez már nem kell újbb xióm, visszvezethető felső htár létezésére.) Az A hlmz lsó htárát inf A ( z A hlmz infimum ) jelölje. Nyilván igz, hogy 1 o bármely A esetén inf A, 2 o bármely 0 < ε esetén vn olyn A, hogy < (inf A) + ε. 3.1.4. Intervllumok és környezetek 3.5. Definíció. Legyen I R. Azt mondjuk, hogy I intervllum, h bármely x 1, x 2 I, x 1 < x 2 esetén minden olyn x R, melyre x 1 < x < x 2, fennáll, hogy x I. 3.1. Tétel. Legyen, b R, < b, ekkor z lábbi hlmzok mindegyike intervllum.

18 3. Számhlmzok [, b]:={x R x b} [, b):={x R x < b} (, b]:={x R < x b} (, b):={x R < x < b} Végtelen intervllumokr bevezetjük z lábbi jelöléseket. [, + ):={x R x} (, + ):={x R < x}; (0, + ) =: R + (, ]:={x R x } (, ):={x R x < }; (,0) =: R (, + ) := R Megemlítjük, hogy z [, ] = {} és z (, ) = elfjuló intervllumok. 3.6. Definíció. Legyen R, r R +. Az pont r sugrú környezetén K r () := ( r, + r) nyílt intervllumot értjük. Azt mondjuk, hogy K() z pont egy környezete, h vn olyn r R +, hogy K() = K r (). 3.1.5. Vlós számok htványi 3.7. Definíció. Legyen R. Ekkor 1 :=, 2 :=, 3 := 2,..., n : := n 1,... 3.8. Definíció. Legyen R, 0. A jelentse zt nemnegtív számot, melynek négyzete, zz 0, ( ) 2 =. Vegyük észre, hogy bármely R esetén 2 =. 3.9. Definíció. Legyen R, k N. A 2k+1 jelentse zt vlós számot, melynek (2k + 1)-edik htvány. Vegyük észre, hogy h 0 <, kkor 2k+1 > 0, és h < 0, kkor 2k+1 < 0. 3.10. Definíció. Legyen R, 0, k N. A 2k jelentse zt nemnegtív számot, melynek (2k)-dik htvány z. Vezessük be következő jelölést: h n N és R z n pritásánk megfelelő, kkor 1 n := n.

3.2. Feldtok 19 3.11. Definíció. Legyen R +, p, q N. p q := q p. 3.12. Definíció. Legyen R +, p, q N. p q := 1 q p. 3.13. Definíció. Legyen R \ {0}. Ekkor 0 := 1. Láthtó, hogy ezzel definícióláncolttl egy R + bármely r Q rcionális kitevőjű htványát értelmeztük. Beláthtó, hogy definíciókbn szereplő számok egyértelműen léteznek, és érvényesek következő zonosságok: 1 o R +, r, s Q esetén r s = r+s, 2 o R +, r Q esetén r b r = (b) r, 3 o R +, r, s Q esetén ( r ) s = rs. 3.2. Feldtok 1. Legyen, b R. Mutssuk meg, hogy ( + b) 2 := ( + b)( + b) = 2 + 2b + b 2, 2 b 2 = ( b)( + b), 3 b 3 = ( b)( 2 + b + b 2 ), 3 + b 3 = ( + b)( 2 b + b 2 ). 2. Mutssuk meg, hogy minden x R, x 1 és bármely n N esetén x n+1 1 x 1 = 1 + x + x 2 + + x n. 3. (Bernoulli-egyenlőtlenség) Legyen h ( 1, + ) és n N. Mutssuk meg, hogy (1 + h) n 1 + nh. Megoldás: Legyen S := {n N (1 + h) n 1 + nh}. 1 o 1 S, mert (1 + h) 1 = 1 + 1 h.

20 3. Számhlmzok 2 o Legyen k S. Megmuttjuk, hogy k + 1 S, ugynis (1 + h) k+1 = (1 + h) k (1 + h) (1 + kh)(1 + h) = = 1 + (k + 1)h + kh 2 1 + (k + 1)h. (A rendezés szbályi mellett felhsználtuk, hogy k S, zz (1+h) k 1 + kh.) Emlékezve z N bevezetésének 4 o követelményére, ez zt jelenti, hogy S = N, zz minden n N esetén igz z egyenlőtlenség. Ezt bizonyítási módszert hívják teljes indukciónk. 4. Legyen, b R +. A 2 := + b 2, G 2 := b, H 2 := 2 1 + 1, N 2 := b 2 + b 2 Mutssuk meg, hogy H 2 G 2 A 2 N 2 és egyenlőség számok között kkor és csk kkor áll, h = b. Ezek ngymértékű áltlánosítás is igz. Legyen k N (k 3) és x 1, x 2,..., x k R +. A k := x 1 + x 2 + + x k, G k := k k x 1 x 2 x k, k x 2 H k := 1 x 1 + 1 x 2 + + 1, N k := 1 + x 2 2 + + x2 k. x k k Igzolhtó, hogy H k G k A k N k, és egyenlőség számok között kkor és csk kkor áll fenn, h x 1 = x 2 =... = x k. 5. Legyen h R és n N. Ekkor (1 + h) n = 1 + nh + ( ) n h 2 + 2 ( ) n h 3 + + h n, 3 hol felhsználv, hogy k! := 1 2... k, z ( ) n n! = k k! (n k)!, k = 0,1,2,..., n (kiegészítésül 0! := 1). Ebből igzolhtó binomiális tétel: Legyen, b R, n N. Ekkor n ( ) n ( + b) n = k b n k. k k=0 2

3.2. Feldtok 21 6. Legyen A := { n n+1 n N}. Mutssuk meg, hogy A felülről korlátos. Mi sup A? n Megoldás: Mivel bármely n N esetén n < n + 1, ezért n+1 < 1, tehát K := 1 felső korlát. Megmuttjuk, hogy sup A = 1, ugynis 1 o Bármely n N esetén n n+1 < 1. 2 o Legyen ε R +. Keresünk olyn n N számot, melyre n n + 1 > 1 ε. n > (1 ε)(n + 1) = n εn + 1 ε εn > 1 ε n > 1 ε ε Mivel bármilyen számnál, így z 1 ε ε természetes szám, legyen ez n n N, ezért z n n +1 > 1 ε. Tehát sup A = 1. R számnál is vn ngyobb n +1 A olyn, hogy 7. * Legyen E := {( n+1 n )n n N}. Mutssuk meg, hogy E R felülről korlátos. Megoldás: Megmuttjuk, hogy bármely n N esetén ( ) n n + 1 4. n Legyen n N, és tekintsük z 1 4 ( n+1 n )n számot. A 4. példábn szereplő számtni (A k ) és mértni (G k ) közép közötti egyenlőtlenség szerint ( ) n 1 n + 1 = 1 4 n 2 1 2 n + 1 n + 1 n n n + 1 n ( 1 2 + 1 2 + n+1 n + n+1 n... n+1 )n+2 n = 1, n + 2 ezért ( n+1 n )n 4, tehát E felülről korlátos. A felső htár xiómáj szerint vn felső htár. Legyen e := sup E. Megjegyezzük, hogy ezt felső htárt soh senki nem tudt és tudj megsejteni (nem úgy, mint 6. példábn... ). Közelítőleg e 2,71. Euler nevéhez fűződik z e szám bevezetése. 8. Legyen P := {( 1 1 ) (1 12 ) 2 2 (1 12 ) ( 3 1 1 ) } 2 n n N.

22 3. Számhlmzok Létezik-e inf P? (H már belátt, hogy létezik z inf P, ne keseredjen el, h nem tudj megdni. Megoldtln problém.) 3.3. Komplex számok A 3.3.1. A komplex szám foglm, műveletek Úgy áltlánosítjuk vlós számokt, hogy műveletek tuljdonsági ne változznk. Legyen C := R R vlós számpárok hlmz. Vezessük be z összedást úgy, hogy z (, b), (c, d) C esetén szorzást pedig úgy, hogy (, b) + (c, d) := ( + c, b + d); (, b) (c, d) := (c bd, d + bc). Könnyen ellenőrizhető z összedás és szorzás néhány tuljdonság. 1. (, b), (c, d) C esetén (, b)+(c, d) = (c, d)+(, b) (kommuttivitás), 2. (, b), (c, d), (e, f) C esetén (, b)+((c, d)+(e, f)) = ((, b)+(c, d))+ + (e, f) (sszocitivitás), 3. (, b) C esetén (, b) + (0,0) = (, b), 4. (, b) C esetén (, b) C olyn lesz, hogy (, b) + (, b) = = (0,0), m1. (, b), (c, d) C esetén (, b) (c, d) = (c, d) (, b) (kommuttivitás), m2. (, b), (c, d), (e, f) C esetén (, b) ((c, d) (e, f)) = ((, b) (c, d)) (e, f) (sszocitivitás), m3. (, b) C esetén (, b) (1,0) = (, b), m4. (, b) C \ {(0,0)} esetén z ( 2 +b, 2 2 +b ) C olyn, hogy 2 d. (, b), (c, d), (e, f) C esetén (, b) ( 2 + b 2, b 2 + b 2 ) = (1,0), (, b) [(c, d) + (e, f)] = (, b) (c, d) + (, b) (e, f) ( szorzás disztributív z összedásr nézve). b

3.3. Komplex számok A 23 b (,b)=+ib i 1 3.1. ábr Az 1..4, m1. m.4 és d. tuljdonságok indokolják, hogy vlós számokkl végzett műveletek, számolások (melyek összedást, szorzást trtlmznk és legfeljebb egyenlőségekre vontkoznk) komplex számokkl ugynúgy végezhetők el. Azonosítsuk z R vlós számot és z (,0) C komplex számot. (Nyilvánvlón bijekció létezik z R és z R {0} C hlmz között.) Vezessük be z i := (0,1) C képzetes egységet. Ekkor bármely (, b) C komplex számr (, b) = (,0) + (0,1)(b,0) = + ib. (A második egyenlőség z zonosítás következménye!) Figyelembe véve, hogy i 2 = (0,1) (0,1) = 1, egyszerűvé válik z összedás és szorzás is + ib + c + id = + c + i(b + d), ( + ib) (c + id) = c bd + i(d + bc). A komplex számot helyvektorként szenléltethetjük (3.1. ábr). Az összedás vektorok összedásánk prlelogrmm szbályánk megfelelő (3.2. ábr). 3.3.2. Komplex számok trigonometrikus lkj Egy + ib C komplex számhoz hozzárendelhetjük z bszolút értékét és irányszögét (3.3. ábr).

24 3. Számhlmzok +c+i(b+d) c+id +ib 3.2. ábr b +ib r φ 3.3. ábr

3.3. Komplex számok A 25 rp p α+β β α r 3.4. ábr Az bszolút érték: r = 2 + b 2. Az irányszög síknegyedenként dhtó meg: φ = rctg b, h > 0 és b 0 π 2, h = 0 és b > 0 π rctg b, h < 0 és b 0 π + rctg b, h < 0 és b < 0 3π 2 h = 0 és b < 0 2π rctg b, h > 0 és b < 0 Láthtó, hogy z irányszögre φ [0,2π). Megjegyezzük, hogy = 0, b = 0 esetén r = 0, és z irányszög ekkor tetszőlegesen válszthtó. H egy + ib C komplex számnk r z bszolút értéke és φ z irányszöge, kkor = r cos φ, b = r sin φ, ezért +ib = r(cos φ+i sin φ). Ez komplex szám trigonometrikus lkj. A komplex számok trigonometrikus lkjánk felhsználásávl szemléletesebbé válik komplex számok szorzás is. Legyen r(cos α + i sin α), p(cos β + i sin β) C, ekkor r(cos α + i sin α) p(cos β + i sin β) = = rp(cos α cos β sin α sin β + i(sin α cos β + cos α sin β)) = = rp(cos(α + β) + i sin(α + β)).

26 3. Számhlmzok Tehát szorzásnál z bszolút értékek összeszorzódnk, z irányszögek pedig összedódnk (3.4. ábr). A htványozás komplex szám trigonometrikus lkjávl igen egyszerűen végezhető el. H z = + ib = r(cos φ + i sin φ) C és n N, kkor z n = ( + ib) n = [r(cos φ + i sin φ)] n = r n (cos nφ + i sin nφ), zz komplex szám n-edik htványánál z bszolút érték n-edik htvány és z irányszög n-szerese jelenik meg z n trigonometrikus lkjábn.

4. fejezet Elemi függvények Ismertetjük vlós számok hlmzán értelmezett, vlós szám értékű függvények legfontosbb tuljdonságit. Definiáljuk gykrn hsznált vlós-vlós függvényeket, melyeket elemi függvényeknek neveznek. Az lábbi témköröket tárgyljuk: Műveletek vlós függvényekkel Korlátos, monoton, periodikus, páros, pártln függvény foglm Htványfüggvények Exponenciális és logritmus függvények Trigonometrikus függvények és inverzeik Hiperbolikus függvények és inverzeik Néhány különleges függvény 4.1. Vlós-vlós függvények lptuljdonsági A 4.1. Definíció. Legyen f : R R, λ R. Ekkor λf : D(f) R, (λf)(x) := λf(x). 4.2. Definíció. Legyen f, g : R R, D(f) D(g). Ekkor f + g : D(f) D(g) R, (f + g)(x) := f(x) + g(x) f g : D(f) D(g) R, (f g)(x) := f(x) g(x). 27

28 4. Elemi függvények 4.3. Definíció. Legyen g : R R, H := D(g)\{x D(g) g(x) = 0}. Ekkor 1/g : H R, (1/g)(x) := 1 g(x). 4.4. Definíció. Legyen f, g : R R f g := f 1/g 4.5. Definíció. Legyen f : R R. Azt mondjuk, hogy f felülről korlátos függvény, h R(f) R felülről korlátos hlmz. Azt mondjuk, hogy f lulról korlátos függvény, h R(f) R lulról korlátos hlmz. Azt mondjuk, hogy f korlátos függvény, h R(f) R lulról is és felülről is korlátos hlmz. 4.6. Definíció. Legyen f : R R. Azt mondjuk, hogy f monoton növő függvény, h bármely x 1, x 2 D(f), x 1 < x 2 esetén f(x 1 ) f(x 2 ). Az f szigorún monoton növő, h bármely x 1, x 2 D(f), x 1 < x 2 esetén f(x 1 ) < f(x 2 ). Azt mondjuk, hogy f monoton csökkenő függvény, h minden x 1, x 2 D(f), x 1 < x 2 esetén f(x 1 ) f(x 2 ). Az f szigorún monoton csökkenő, h bármely x 1, x 2 D(f), x 1 < x 2 esetén f(x 1 ) > f(x 2 ). 4.7. Definíció. Legyen f : R R. Azt mondjuk, hogy f páros függvény, h 1 o minden x D(f) esetén x D(f), 2 o minden x D(f) esetén f( x) = f(x). 4.8. Definíció. Legyen f : R R. Azt mondjuk, hogy f pártln függvény, h 1 o minden x D(f) esetén x D(f), 2 o minden x D(f) esetén f( x) = f(x). 4.9. Definíció. Legyen f : R R. Azt mondjuk, hogy f periodikus függvény, h létezik olyn p R, 0 < p szám, hogy 1 o minden x D(f) esetén x + p, x p D(f), 2 o minden x D(f) esetén f(x + p) = f(x p) = f(x). A p szám függvény egyik periódus.

4.2. Az elemi függvények A 29 id 4.1. ábr id 2 1 1 4.2. ábr 4.2. Az elemi függvények A 4.2.1. Htványfüggvények Legyen id : R R, id(x) := x. Az id szigorún monoton növő, pártln függvény (4.1. ábr). Legyen id 2 : R R, id 2 (x) := x 2. Az id 2 R szigorún monoton növő, z + id 2 szigorún monoton fogyó. Az id2 R páros (4.2. ábr). Legyen id 3 : R R, id 3 (x) := x 3. Az id 3 szigorún monoton növő, pártln függvény (4.3. ábr). H n N, kkor id n : R R, id n (x) := x n függvény páros n esetén z id 2, pártln n esetén z id 3 tuljdonságit örökli.

30 4. Elemi függvények id 3 1 1 4.3. ábr 1 id 1 1 4.4. ábr Legyen id 1 : R \ {0} R, id 1 (x) := 1/x. Az id 1 R és z id 1 R + szigorún monoton fogyó (de id 1 nem monoton!). Az id 1 pártln (4.4. ábr). Legyen id 2 : R \ {0} R, id 2 (x) := 1/x 2. Az id 2 szigorún monoton nő, z id 2 szigorún monoton fogy. Az id 2 páros (4.5. ábr). R R + Legyen n N. Az id n : R \ {0} R, id n (x) := 1/x n függvény páros n esetén z id 2, pártln n esetén z id 1 tuljdonságit örökli. Legyen id 1/2 : [0, ) R, id 1/2 (x) := x. Az id 1/2 szigorún monoton

4.2. Az elemi függvények A 31 1 id 2 1 4.5. ábr id 1/2 1 1 4.6. ábr növekedő függvény (4.6. ábr). Megemlítjük, hogy z id 2 [0, ) egyértelmű függvény inverzeként is értelmezhető id 1/2. kölcsönösen Legyen r Q. Az id r : R + R, id r (x) := x r. Néhány r esetén szemléltetjük z id r függvényeket (4.7. ábr). Végül legyen id 0 : R R, id 0 (x) := 1. Az id 0 monoton növekedő, monoton fogyó is, páros függvény. Bármilyen p > 0 szám szerint periodikus (4.7. ábr).

32 4. Elemi függvények id 1/2 id 3/2 id 2/3 1 id 0 1 4.7. ábr exp <1 exp >1 1 exp 1 4.8. ábr 4.2.2. Exponenciális és logritmus függvények Legyen R +. Az lpú exponenciális függvény exp : R R, exp (x) := x. exp szigorún monoton növő, h > 1, exp szigorún monoton fogyó, h < 1, exp = id 0, h = 1 (monoton növő és monoton fogyó is) (4.8. ábr).

4.2. Az elemi függvények A 33 exp e 1 4.9. ábr H > 0 és 1, kkor R(exp ) = R +, zz csk pozitív értéket vesz fel z exp (és minden pozitív számot fel is vesz). Bármely > 0 esetén minden x 1, x 2 R mellett exp (x 1 + x 2 ) = exp (x 1 ) exp (x 2 ). (Ez legfontosbb ismertetőjele z exponenciális függvényeknek.) Kitüntetett szerepe vn z exp e =: exp függvénynek (4.9. ábr) (e z előző fejezet 7.* példájábn szereplő Euler-féle szám). Legyen > 0, 1. Mivel exp szigorún monoton, ezért kölcsönösen egyértelmű is, tehát vn inverzfüggvénye. log := (exp ) 1 lesz z lpú logritmus függvény (4.10. ábr). Tehát log : R + R, log (x) = y, melyre exp (y) = x. H > 1, kkor log szigorún monoton növekedő, h < 1, kkor log szigorún monoton fogyó. Alpvető tuljdonság logritmus függvényeknek, hogy 1 o bármely > 0, 1 és minden x 1, x 2 R + esetén log (x 1 x 2 ) = log x 1 + log x 2, 2 o bármely > 0, 1 és minden x R + és k R esetén log x k = k log x,

34 4. Elemi függvények log >1 1 log <1 4.10. ábr 1 ln 1 e 4.11. ábr 3 o bármely, b > 0,, b 1 és minden x R + esetén log x = log b x log b. A 3 o tuljdonság szerint kár egyetlen logritmus függvény számszorosként z összes logritmus függvény előáll. Ezért is vn kitüntetett szerepe z e lpú logritmusnk: ln := log e természetes lpú logritmus (4.11. ábr).

4.2. Az elemi függvények A 35 (2) 1 P 1 sin x x (1) 4.12. ábr 1 sin π/2 π/2 π 2π 1 4.13. ábr 4.2.3. Trigonometrikus függvények és inverzeik Legyen sin : R R, sin x := Ne keressen egy formulát! Vegyen fel egy 1 sugrú kört. A középpontján át rjzoljon két egymásr merőleges egyenest. Az egyik z (1) tengely, másik (2) tengely. Ahol z (1) tengely (pozitív fele) metszi kört, bból pontból mérje fel z x R számnk megfelelő ívet kör kerületére. [Ez művelet ngy kézügyességet igényel!... ] Az ív P végpontjánk második koordinátáj legyen sin x (4.12. ábr). A sin függvény pártln, p = 2π szerint periodikus (4.13. ábr). R(sin) = [ 1,1]. Legyen cos : R R, cos x := sin(x + π 2 ). A cos függvény páros, p = 2π szerint periodikus (4.14. ábr). R(cos) = [ 1,1].

36 4. Elemi függvények 1 cos π/2 π/2 π 2π 1 4.14. ábr Alpvető összefüggések: 1 o Bármely x R esetén cos 2 x + sin 2 x = 1, 2 o Bármely x 1, x 2 R esetén sin(x 1 + x 2 ) = sin x 1 cos x 2 + cos x 1 sin x 2, cos(x 1 + x 2 ) = cos x 1 cos x 2 sin x 1 sin x 2. Legyen tg := sin cos és ctg := cos sin. Az értelmezésből következik, hogy { π } D(tg) = R \ 2 + kπ k Z, D(ctg) = R \ {kπ k Z}. A tg és ctg is pártln, p = π szerint periodikus (4.15. és 4.16. ábr). A trigonometrikus függvények periodikusságuk mitt nem kölcsönösen egyértelműek. Tekintsük sin [ π leszűkítést. Ez függvény szigorún monoton növekedő, ezért kölcsönösen egyértelmű, így vn inverz, π 2 2 ] függvénye: rcsin := (sin [ π 2, π 2 ]) 1. Az értelmezésből rcsin : [ 1,1] [ π 2, π 2 ], rcsin x = α, melyre sin α = x. Az rcsin szigorún monoton növekedő, pártln függvény (4.17. ábr). A cos függvény [0, π] intervllumr vló leszűkítése szigorún monoton fogyó, ezért vn inverzfüggvénye: rccos := (cos [0,π] ) 1.

4.2. Az elemi függvények A 37 tg π/2 π/2 π 4.15. ábr ctg π π/2 π/2 π 4.16. ábr

38 4. Elemi függvények π/2 rcsin 1 1 π/2 4.17. ábr π rccos 1 1 4.18. ábr Az értelmezésből következik, hogy rccos : [ 1,1] [0, π], rccos x = α, melyre cos α = x. Az rccos függvény szigorún monoton fogyó (4.18. ábr). A tg függvény ( π 2, π 2 ) intervllumr vló leszűkítése szigorún monoton növő, ezért vn inverzfüggvénye: rctg := (tg ( π 2, π 2 )) 1. Az értelmezésből következik, hogy rctg: R ( π 2, π 2 ), rctg x = α, melyre tg α = x. Az rctg szigorún monoton növekedő, pártln függvény (4.19. ábr).

4.2. Az elemi függvények A 39 π/2 rctg π/2 4.19. ábr π π/2 rcctg 4.20. ábr A ctg függvény (0, π) intervllumr vló leszűkítése szigorún monoton fogyó, ezért vn inverzfüggvénye: rcctg := (ctg (0,π) ) 1 Az értelmezésből következik, hogy rcctg : R (0, π), rcctg x = α, melyre ctg α = x. Az rcctg szigorún monoton fogyó függvény (4.20. ábr).

40 4. Elemi függvények sh 4.21. ábr ch 1 4.22. ábr 4.2.4. Hiperbolikus függvények és inverzeik Legyen sh : R R, shx := ex e x 2. Az sh szigorún monoton növő, pártln függvény (4.21. ábr). Legyen ch : R R, chx := ex +e x 2. A ch R szigorún monoton fogyó, ch R szigorún monoton növő. A ch páros függvény. R(ch) = [1, + ). Gykrn láncgörbének is nevezzük ezt függvényt (4.22. + ábr). Alpvető összefüggések: 1 o Bármely x R esetén ch 2 x sh 2 x = 1.