Dr Vincze Szilvi
24/25-ös tnév II féléves temtik Mátrix foglm, speciális mátrixok Műveletek mátrixokkl, mátrix inverze 2 A determináns foglm és tuljdonsági 3 Lineáris egyenletrendszerek és megoldási módszereik 4 Egyenletrendszerek megoldás Guss-eliminációvl, Crmer szbály 5 Vektorterek, lineáris kombináció, lineáris függetlenség, generátorrendszer, bázis, rng, komptibilitás foglm 6 Elemi bázistrnszformáció 7 A bázistrnszformáció és lklmzási: lineáris függőség, rng, komptibilitás meghtározás, lineáris egyenletrendszerek megoldás, mátrix invertálás 8 Lineáris leképzések Az n-dimenziós Euklideszi tér foglm Többváltozós függvények Szélsőérték, htárérték, folytonosság, prciális derivált foglm 9 Többváltozós függvények feltétel nélküli és feltételes szélsőértéke Bevezetés lineáris progrmozásb Kombintorik Permutáció, vriációk és kombinációk Binomiális tétel 2 Eseménylgebr Vlószínűség foglm, lptételei Klsszikus vlószínűségszámítás Geometrii vlószínűség 3 Feltételes vlószínűség, teljes vlószínűség tétele, Byes-tétel 4 Vlószínűségi változók és jellemzőik Várhtó érték és szórás, vlószínűségeloszlás, eloszlás- és sűrűségfüggvény Korreláció
Trtlomjegyzék ) A mátrix foglm 2) A mátrix trnszponáltj 3) Speciális mátrixok 4) Műveletek mátrixokkl Mátrixok összedás Mátrixok sklárrl vló szorzás Mátrixok lineáris kombinációj Mátrix szorzás mátrixszl 5) Mátrixok inverze
Miért fontosk mátrixok? A gykorltbn np mint np sok számdttl kell dolgoznunk Az áttekinthetőség kedvéért ezeket z dtokt célszerű tábláztb rendezni Tntárgyk 5 4 3 2 Mtemtik 2 2 3 5 Kémi 2 8 2 Élelmiszertech 5 5 3 Növénytn 4 3 2 3
Miért fontosk mátrixok? 2 5 2 2 5 4 3 8 3 3 5 2 2 3 Lényeges, hogy melyik szám melyik helyen áll!
Mátrix definíciój Helyezzünk el n x m elemet egy olyn tégllp lkú tábláztb, melynek n sor és m oszlop vn; z i-edik sor és j-edik oszlop közös elemét jelöljük ij -vel; táblázt elemeit szögletes vgy kerek zárójellel foglljuk egybe Az így szerkesztett tábláztot mátrixnk nevezzük: A 2 n 2 22 n2 m 2m nm ( ij )
Mátrix definíciój A 2 n 2 22 n2 ij m 2m nm ( ij ) Az ij elem esetén z i indexet (i=,,n) sorindexnek, j indexet (j=,,m) oszlopindexnek nevezzük 2 H zt is fel krjuk tűntetni, hogy mátrixnk n sor és m oszlop vn, zt így tesszük: A nxm = ( ij ) nxm 3 A mátrix elemei lehetnek vlós számok, függvények, vektorok, h mást nem mondunk továbbikbn olyn mátrixokról beszélünk, melynek z elemei vlós számok
Mátrix trnszponáltj H z nm n n m m A 2 2 22 2 2 mátrix sorit és oszlopit felcseréljük egymássl, z A mátrix trnszponáltját kpjuk mit A T -vel (vgy A * -gl) jelölünk: nm m m n n T A 2 2 22 2 2
Speciális mátrixok Kvdrtikus mátrix Kvdrtikus vgy négyzetes mátrix: hol sorok szám megegyezik z oszlopok számávl: A MELLÉKÁTLÓ 2 n 2 22 n2 n 2n nn FŐÁTLÓ
Speciális mátrixok - Digonálmátrix Digonálmátrix vgy átlósmátrix z olyn kvdrtikus mátrix, melynek csk főátlójábn vn -tól különböző elem A 22 nn
Speciális mátrixok - Egységmátrix Egységmátrix: z digonálmátrix, melynek főátlójábn minden eleme A
Speciális mátrixok Háromszög mátrixok Az olyn négyzetes mátrixot, melynek főátlój ltt vgy felett csup áll felső, ill lsó háromszögmátrixnk nevezzük C 2 22 3 23 33 4 24 34 44 D 2 3 22 32 33
Speciális mátrixok Nullmátrix Az olyn mátrixot, melynek minden eleme zérusmátrixnk, vgy nullmátrixnk nevezzzük m o n
Speciális mátrixok Oszlopmátrix Oszlopmátrix (oszlopvektor): z olyn mátrix, melynek egyetlen oszlop vn A nx 2 n
Speciális mátrixok Sormátrix Sormátrix (sorvektor): z olyn mátrix, melynek egyetlen sor vn B xm b b b b 2 m
Definíciók Két mátrix zonos típusú, h mindkettő n x m-es, vgyis mindkettőben ugynnnyi sor és ugynnnyi oszlop vn 2Két mátrix pontosn kkor egyenlő egymássl, h zonos típusúk és megfelelő helyeken álló elemek rendre megegyeznek
Mátrixok összedás Az összedás művelete csk zonos típusú mátrixok körében értelmezett Az A nxm =( ij ) és B nxm =(b ij ) mátrixok összegén zt C nxm =(c ij ) mátrixot értjük, melynek minden elemére: i =,, n; j =,, m c ij = ij + b ij ;
Mátrixok összedásánk tuljdonsági Minden A, B zonos típusú mátrix esetén A + B = B + A, zz kommuttív Minden A, B, C zonos típusú mátrix esetén: (A + B) + C = A + (B + C), zz sszocitív 3 Minden A mátrix esetén: A + O = A, hol O z A- vl megegyező típusú nullmátrix 4 Minden A mátrix esetén létezik (-A)-vl jelölt A- vl zonos típusú mátrix úgy, hogy A + (-A) = O
Mátrix szorzás sklárrl Legyen A nxm =( ij ) mátrix és R dott A A mátrixon zt B nxm = (b ij ) mátrixot értjük, melynek minden elemére: b ij = ij; i =,, n; j =,, m
Sklárrl vló szorzás tuljdonsági Minden A mátrix és R esetén: A = A 2Minden A mátrix és, R esetén ( ) A = ( A ) 3 Minden A, B mátrix és, R esetén: (+)A = A + A és (A+B) = A + B 4 Minden A mátrix esetén A = A 5 Minden A mátrix esetén A = O, hol O ugynolyn típusú nullmátrix, mint A
Mátrixok lineáris kombinációj H z A, A 2,, A n zonos típusú mátrixokt rendre megszorozzuk k, k 2,,k n vlós számokkl és szorztokt összedjuk, kkor z így kpott k A + k 2 A 2 + + k n A n = L mátrixot z dott mátrixok lineáris kombinációjánk nevezzük
Mátrix szorzás mátrixszl Az n x m típusú A = ( ij ) és z m x p típusú B = (b ij ) mátrixok A B szorztán zt z n x p típusú C mátrixot értjük, melynek minden c ij elemére: c ij i b b j i2 2 j im hol i =,2,, n és j =,2,, p b mj m k Megjegyzés: Az A = ( ij ) mátrixnk B = (b ij ) mátrixszl vló AB szorztát csk kkor értelmezzük, h z A mátrixnk ugynnnyi oszlop vn, mint hány sor B mátrixnk ik b kj
Péld: mátrix szorzás mátrixszl Végezzük el z lábbi mátrixok szorztát: 2 2 2 2 2 A és B 5 2
Mátrix-szorzás tuljdonsági Vn olyn A és B mátrix, hogy A B és B A is elvégezhető, de A B B A, vgyis nem kommuttív 2Minden A, B és C mátrix esetén, mikor műveletek elvégezhetők: (A + B) C = A C + B C és A (B + C) = A B + A C, zz disztributív 3Minden olyn A mátrixr és E egységmátrixr, hol szorzások elvégezhetőek: A E = E A = A 4 Minden olyn A mátrix és O nullmátrix esetén, hol szorzás elvégezhető, teljesül, hogy A O = O és O A = O
Mátrix inverze Az A (n x n)-es mátrix inverze z z A - -gyel jelölt (n x n)-es mátrix, melyre: A A - = A - A = E Nem minden kvdrtikus mátrixnk vn inverze!
Péld: mátrix inverze Htározzuk meg z lábbi mátrix inverzét: A 2 2
Kifejtési tétel Az n x n es mátrix determinánsát következő módon htározhtjuk meg: 2 2 22 n 2n n k ik A ik n i ik A ik n n2 nn
Determináns meghtározás kifejtési tétellel hol z első esetben kifejtés z i-edik sor szerint (i=,2,, n), másodikbn k-dik oszlop szerint (k=,2,, n) történt, és hol z A ik z i-edik sor k- dik eleméhez trtozó lgebri ldetermináns, minek z értékét úgy kpjuk, hogy z eredeti mátrix i-edik sorát és k-dik oszlopát elhgyjuk és kpott (n-)x(n-)-es mátrix determinánsánk értékét szorozzuk (-) i+k -vl Azz A ik = (-) i+k D ik, hol D ik tehát egy (n-)x(n-)-es mátrix determináns, mi z ik elemhez trtozó ldeterminánsnk mondunk
Péld: determináns meghtározás Adj meg z lábbi mátrix determinánsát! A 2 2
A determinánsfüggvény néhány tuljdonság A determináns értéke nem változik, h mátrixot trnszponáljuk, zz: A = A T 2A determináns értéke c-szeresére változik, h mátrix vlmelyik soránk, vgy oszlopánk minden elemét megszorozzuk c-vel (zz determinánsfüggvény homogén) 3H egy mátrix vlmelyik sorábn, vgy oszlopábn csk elem áll, kkor determináns értéke
A determinánsfüggvény néhány tuljdonság 4H egy mátrixbn felcserélünk két oszlopot (vgy két sort), kkor determináns értéke (-)- szeresére változik 5H egy mátrixbn két oszlop (vgy sor) megegyezik, kkor determináns értéke 6H egy mátrix vlmely oszlop (vgy sor) egy másik oszlop (vgy sor) sklárszoros, kkor determináns értéke
A determinánsfüggvény néhány tuljdonság 7H egy mátrix vlmely oszlopához (vgy sorához) egy másik oszlop (vgy sor) sklárszorosát djuk, kkor determináns értéke nem változik 8 Az egységmátrix determináns 9Minden felső-háromszögmátrix, ill minden lsóháromszögmátrix determináns megegyezik főátlóbn lévő elemek szorztávl
Determinánsr vontkozó megjegyzések H z A mátrixnk létezik z A - -gyel jelölt inverze, kkor A - = / A Kvdrtikus mátrixnk kkor és csk kkor vn inverze, h determináns nem null
Inverz mátrix Az A kvdrtikus mátrix inverze nn n n b b b b A hol A A b ji ij és A ij j-edik sor i-edik eleméhez trtozó lgebri ldetermináns
Péld: inverz mátrix meghtározás Adj meg z lábbi mátrix inverzét! A 2 2