Példa: Síkbeli rugalmasságtani feladat megoldása végeselemes módszerrel

Példa: Síkbeli rugalmasságtani feladat megoldása végeselemes módszerrel Készítette: Dr. Kossa Attila (kossa@mm.bme.hu) BME Műszaki Mechanikai Tanszék 213. november 17. Javítva: - Határozzuk meg az ábrán vázolt sík lemez deformált alakját és a lemezben ébredő feszültségeket végeselemes módszer alkalmazásával. A lemezt 2db 4 csomópontos lineáris izoparametrikus elemre osszuk fel. Az elemek merevségi mátrixainak számításakor 2 2-es Gauss-féle kvadratúrát alkalmazzunk. A lemez anyagának rugalmassági modulusza E, Poisson-tényezője ν, a lemez vastagsága t. A lemez a z-irányban terheletlen és szabadon deformálódhat. 1. ábra. A lemez geometriája, kényszerezése és terhelése Ennél a feladatnál ahol várhatóan eléggé inhomogén a feszültségeloszlás a megoldások keresése csupán két elem alkalmazásával pontatlan eredményt fog szolgáltatni. A kidolgozott feladatban a hangsúly a számítás menetének megértésén van, nem pedig a minél pontosabb megoldás előállításán. A feladat célja ismertetni a megoldási algoritmus főbb lépéseit. A számítási eljárás részleteinek ismeretében a többelemes megoldás keresése már nem igényel további lépéseket, csupán a megoldandó egyenletek és az ismeretlenek száma lesz nagyobb! 1

ELMÉLETI ÖSSZEFOGLALÓ A globális és lokális koordinátarendszerek értelmezését szemlélteti az alábbi ábra. 2. ábra. Négy csomópontos lineáris izoparaméteres sík elem lokális csomópontjainak számozása és koordinátái A globális és lokális koordináták közötti leképzések: x 4 N i x i, y i1 4 N i y i, (1) i1 ahol a formafüggvények alakjai: N 1 1 4 (1 ξ)(1 η), N 2 1 (1+ξ)(1 η), (2) 4 N 3 1 4 (1+ξ)(1+η), N 4 1 (1 ξ)(1+η). (3) 4 Izoparametrikus elemtípus esetén az elmozdulásmező interpolációjára is ugyanezen formafüggvényeket használjuk: u(ξ,η) u NU, [ u(ξ,η) v(ξ,η) ], u 4 N i u i, v i1 4 N i v i, (4) ahol az N transzformációs mátrix és az elem csomópontjainak elmozdulásait tartalmazó U vektor alakja: u 1 v 1 [ ] u 2 N1 N N 2 N 3 N 4, U v 2 N 1 N 2 N 3 N 4 u 3. (6) v 3 u 4 v 4 i1 (5) 2

A formafüggvények globális deriváltjainak felírása: [ ] [ ][ Ni / x ξ/ x η/ x Ni / ξ N i / y ξ/ y η/ y N i / η } {{ } J 1 ], i 1,2,3,4. (7) A J mátrix alakja: [ x/ ξ y/ ξ J x/ η y/ η ], (8) melynek elemei az alábbiak szerint számíthatóak: ( 4 ) x 4 N i N i x i ξ ξ ξ x i, i1 i1 ( 4 ) x 4 N i N i x i η η η x i, i1 i1 ( 4 ) y ξ N i y i ξ i1 ( 4 ) y η N i y i η A formafüggvények lokális koordináták szerinti deriváltjai egyszerűen számíthatóak: N 1 ξ N 1 η (η 1), 4 (ξ 1), 4 J mátrix determinánsának felírása: i1 N 2 ξ (1 η), 4 N 2 ( ξ 1), η 4 i1 N 3 ξ (1+η), 4 N 3 η (1+ξ), 4 4 i1 4 i1 N i ξ y i, (9) N i η y i. (1) N 4 ( η 1), (11) ξ 4 N 4 η (1 ξ). (12) 4 detj x y ξ η y x ξ η, (13) ( 4 )( 4 ) ( 4 )( 4 ) N i detj ξ x N i i η y N i i ξ y N i i η x i. (14) i1 Az alakváltozásokat tartalmazó vektor megadása: ε x ε ε y γ xy, ε BU, (15) ahol a formafüggvények globális deriváltjait tartalmazó B mátrix az alábbi alakú: B i1 N 1 N 2 N 3 N 4 x x x x N 1 N 2 N 3 N 4 y y y y N 1 N 1 N 2 N 2 N 3 N 3 N 4 N 4 y x y x y x y x i1. (16) A feszültségek számítása: σ x σ σ y, σ Dε DBU, (17) τ xy 3

ahol D mátrix tartalmazza az anyagjellemzőket. D alakja sík-feszültségi, illetve sík-alakváltozási esetekben: sík-feszültségi állapot: D E 1 ν ν 1, (18) 1 ν 2 1 ν sík-alakváltozási állapot: D E (1+ν)(1 2ν) 2 1 ν ν ν 1 ν 1 2ν 2. (19) A rugalmas alakváltozási energia felírása: U 1 σ T εdv 1 ε T D T εdv 1 ε T DεdV 1 U T B T DBUdV (2) 2 2 2 2 V 1 2 UT V V B T DBdV U 1 2 UT KU, (21) V ahol az elem merevségi mátrixa: V V K B T DBdV B T DBtdA, K Az integrálás közelítése Gauss-kvadratúrával: K K 1 1 1 1 1 1 1 1 A 1 1 1 1 B T DB (detj) tdξdη. (22) F (ξ,η)dξdη, ahol F (ξ,η) B T DB (detj) t. (23) F (ξ,η)dξdη m i1 j1 m w i w j F (ξ i,η i ), K m m w i w j F (ξ i,η i ), (24) i1j1 ahol m az alkalmazott Gauss-pontok száma, w i és w j az integrálási súlyok, ξ i és η i pedig a Gauss-pontok koordinátái. Egy, kettő, illetve három Gauss-pont alkalmazása esetén a Gausskoordinátákat és az integrálási súlyok értékeit az alábbi táblázat foglalja össze. Gauss-pontok Gauss-pontok Integrálási száma koordinátái súlyok 1 ξ 1 w 1 2 2 ξ 1 1/ 3 w 1 1 ξ 2 1/ 3 w 2 1 3 ξ 1 3/5 w 1 5/9 ξ 2 w 2 8/9 ξ 3 3/5 w 3 5/9 4

Egy Gauss-pont alkalmazása esetén: K e 1 1 w i w j F (ξ i,η i ) 2 2 F (,). (25) i1 j1 Kettő Gauss-pont alkalmazása esetén: K e 2 i1 j1 1 1 F 2 w i w j F (ξ i,η i ) (26) +1 1 F ( 1, 1 )+1 1 F 3 3 ( 1 3, 1 3 )+1 1 F ( 1 3, 1 ) 3 ( 1 3, (27) ) 1. (28) 3 5

MEGOLDÁS A számítások során a távolságok [mm]-ben értendőek, a feszültségek pedig [MPa]-ban. A vizsgált tartomány két elemre történő felosztásának és számozásának egy lehetséges megoldását mutatja az alábbi ábra 1. 3. ábra. Az alkalmazott elemfelosztás (hálózás) Az egyes elemekhez tartozó csomópontokat, a saját lokális csomópontjainak sorrendjében az alábbi táblázat tartalmazza: lokális 1. csp. lokális 2. csp. lokális 3. csp. lokális 4. csp. 1. elem 1 2 3 4 2. elem 3 5 6 4 Az elemtranszformációkat az alábbi ábra szemlélteti. 4. ábra. Az elemek transzformációnak szemléltetése Az elemek lokális 1,2,3,4 csomópontjainak globális koordinátái: 1 Fontos kihangsúlyozni, hogy a megoldások függnek az elemfelosztástól! 6

lokális 1. csp. lokális 2. csp. lokális 3. csp. lokális 4. csp. x 1 y 1 x 2 y 2 x 3 y 3 x 4 y 4 1. elem 1 1 1 2 2. elem 1 1 3 1 3 2 2 A csomópontok koordinátáinak ismeretében számíthatjuk az egyes elemekhez tartozó J mátrixokat (8)-(12) felhasználásával: [ ] [ ] 5 25(1+η) 25(5+η) J (1), J (2). (29) 25(ξ 3) 25(ξ 1) 5 A J mátrixok determinánsai: detj (1) 125(3 ξ), detj (2) 125(5+η). (3) J mátrixok inverzeinek alakja: [ J 1 1/5 (1+η)/(15 5ξ) (1) 1/(75 25ξ) ] [, J 1 (2) 1/(125+25η) (1 ξ)/(25+5η) 1/5 ]. (31) Ezek ismeretében (7) felhasználásával felírható a formafüggvények globális deriváltjai, melyek szintén elemhez kötött mennyiségek: ( ) (1) N1 x ( ) (1) N2 x ( ) (1) N3 x ( ) (1) N4 x A 2-es elem esetén: ( ) (2) N1 x ( ) (2) N2 x ( ) (2) N3 x ( ) (2) N4 x η ξ +2 1(ξ 3), 2η +ξ 1 1(ξ 3), η 1 5(ξ 3), η +1 1(ξ 3), η 1 1(η+5), 1 η 1(η+5), η +1 1(η+5), η 1 1(η+5), ( ) (1) N1 1 ξ y 1(ξ 3), (32) ( ) (1) N2 ξ +1 y 1(ξ 3), (33) ( ) (1) N3 ξ 1 y 1(ξ 3), (34) ( ) (1) N4 ξ 1 y 1(ξ 3). (35) ( ) (2) N1 3(ξ 1) y 1(η+5), (36) ( ) (2) N2 η 3ξ 2 y 1(η+5), (37) ( ) (2) N3 η+2ξ +3 y 1(η+5), (38) ( ) (2) N4 1 ξ y 5(η+5). (39) A globális deriváltak ismeretében a B mátrixok kitölthetőek (16) alapján: B (1) η ξ+2 2η+ξ 1 η 1 η+1 1(ξ 3) 1(ξ 3) 5(ξ 3) 1(ξ 3) 1 ξ ξ+1 ξ 1 ξ 1 1(ξ 3) 1(ξ 3) 1(ξ 3) 1(ξ 3) 1 ξ η ξ+2 ξ+1 2η+ξ 1 ξ 1 η 1 ξ 1 η+1 1(ξ 3) 1(ξ 3) 1(ξ 3) 1(ξ 3) 1(ξ 3) 5(ξ 3) 1(ξ 3) 1(ξ 3), (4) 7

B (2) η 1 1 η η+1 η 1 1(η+5) 1(η+5) 1(η+5) 1(η+5) 3(ξ 1) η 3ξ 2 η+2ξ+3 1 ξ 1(η+5) 1(η+5) 1(η+5) 5(η+5) 3(ξ 1) 1(η+5) η 1 1(η+5) η 3ξ 2 1(η+5) 1 η 1(η+5) η+2ξ+3 1(η+5) η+1 1(η+5) 1 ξ 5(η+5) η 1 1(η+5). (41) Jelen feladatnál sík-feszültségi állapotot modellezünk, emiatt az anyagjellemzőket tartalmazó D mátrix alakja (18) szerinti. 2 2-es Gauss-kvadratúra alkalmazása esetén az elemek merevségi mátrixait a (28) összefüggés szerint számítjuk (közelítjük). A Gauss-pontok elhelyezkedését az alábbi ábra illusztrálja. 5. ábra. A Gauss-pontok szemléltetése 2 2-es kvadratúra esetén A Gauss-koordináták behelyettesítése és az összegzés után az alábbi eredményekre jutunk: K (1) 79877. 225. 421154. 25. 578846. 2. 21923. 5. 225. 44877. 5. 46153.8 2. 33846. 75. 9876.9 421154. 5. 51738. 75. 1737.7 1. 78846.2 125. 25. 46153.8 75. 41738. 75. 24238. 125. 128846. 578846. 2. 1737.7 75. 1.1731 1 6 25. 421154. 25. 2. 33846. 1. 24238. 25. 59238. 5. 46153.8 21923. 75. 78846.2 125. 421154. 5. 29877. 1. 5. 9876.9 125. 128846. 25. 46153.8 1. 27377., (42) K (2) 574324. 21811. 49324.3 681.8 38784. 184459. 216216. 34459.5 21811. 1.26824 1 6 3581.8 231757. 184459. 712838. 9459.46 787162. 49324.3 3581.8 399324. 114189. 216216. 9459.46 133784. 14541. 681.8 231757. 114189. 768243. 34459.5 787162. 14541. 212838. 38784. 184459. 216216. 34459.5 485811. 2227. 39189.2 5227. 184459. 712838. 9459.46 787162. 2227. 1.8311 1 6 2727. 416892. 216216. 9459.46 133784. 14541. 39189.2 2727. 31811. 122973. 34459.5 787162. 14541. 212838. 5227. 416892. 122973. 58318.. (43) Az elemekhez tartozó merevségi mátrixok ismeretében összeállítható a globális merevségi mátrix. Az elemek merevségi mátrixaiban a sorok és oszlopok az elem lokális sorszámozásának megfelelő sorrendben következnek és nem a globális számozás sorrendjében. Emiatt az összeállításnál ügyelnünk kell arra, hogy a megfelelő elemek a megfelelő helyekre kerüljenek. Az összeállítás folyamatát szemlélteti az alábbi ábra. 8

6. ábra. A globális merevségi mátrix összeállítása A globális merevségi mátrix szerkezete 2 : K 79877. 225. 421154. 25. 578846. 2. 225. 44877. 5. 46153.8 2. 33846. 421154. 5. 51738. 75. 1737.7 1. 25. 46153.8 75. 41738. 75. 24238. 578846. 2. 1737.7 75. 1.59163 1 6 46811. 2. 33846. 1. 24238. 46811. 1.8655 1 6 21923. 75. 78846.2 125. 63737. 59459.5 5. 9876.9 125. 128846. 59459.5 833316. 49324.3 3581.8 681.8 231757. 38784. 184459. 184459. 712838. 21923. 5. 75. 9876.9 78846.2 125. 125. 128846. 63737. 59459.5 49324.3 681.8 38784. 184459. 59459.5 833316. 3581.8 231757. 184459. 712838. 68888. 222973. 133784. 14541. 39189.2 2727. 222973. 856185. 14541. 212838. 5227. 416892. 133784. 14541. 399324. 114189. 216216. 9459.46 14541. 212838. 114189. 768243. 34459.5 787162. 39189.2 5227. 216216. 34459.5 485811. 2227. 2727. 416892. 9459.46 787162. 2227. 1.8311 1 6. (44) 2 A 6-12. oszlopok sortöréssel szerepelnek, hogy kiférjen a mátrix. 9

A felső élen a megoszló erőrendszerből származó erő a 4-es és 6-os csomópontokon adódik át. A felső lap területe (3a) t, emiatt az átadódó erő értéke p (3a) t/2. A globális tehervektor alakja: F F 1y F 2y p (3a) t/2 F 5x F 6x p (3a) t/2 F 1y F 2y 1875 F 5x F 6x 1875, (45) amely tartalmazza a kényszerek helyén fellépő reakcióerőket. A kondenzált merevségi egyenletet megkapjuk, ha a globális merevségi egyenletből törüljük a kényszereknek megfelelő sorokat és oszlopokat. Mivel jelen feladatnál az 1-es és 2-es csomópont y-irányú mozgása, valamint az 5-ös és 6-os csomópont x-irányú mozgása kötött, emiatt a 2,4,9,11 sorokat és oszlopokat kell törölnünk. A kondenzált merevségi egyenletre az alábbi alakot kapjuk: 79877. 421154. 578846. 2. 21923. 5. 421154. 51738. 1737.7 1. 78846.2 125. 578846. 1737.7 1.59163 1 6 46811. 63737. 59459.5 681.8 184459. 2. 1. 46811. 1.8655 1 6 59459.5 833316. 231757. 712838. 21923. 78846.2 63737. 59459.5 68888. 222973. 14541. 2727. 5. 125. 59459.5 833316. 222973. 856185. 212838. 416892. 681.8 231757. 14541. 212838. 768243. 787162. 184459. 712838. 2727. 416892. 787162. 1.8311 1 6 u 1 u 2 u 3 v 3 u 4 v 4 v 5 v 6 1875 1875. (46) A kondenzált merevségi egyenlet megoldása: u 1 1.13361 u 2 1.521 u 3.486426 v 3 u 4.789633.14538, (47) v 4.26977 v 5 2.2932 v 6 2.33478 1

melynek ismeretében a globális elmozdulásvektor alakja: u 1 1.13361 v 1 u 2 1.521 v 2 u 3.486426 U v 3 u 4.789633.14538. (48) v 4.26977 u 5 v 5 2.2932 u 6 v 6 2.33478 U ismeretében ábrázolható a deformált alak, melyet az alábbi ábrán láthatunk, az elmozdulások 5x-es felnagyításával. 7. ábra. A deformált alak szemléltetése a csomóponti elmozdulások 5x-es felnagyításával A globális elmozdulásvektor ismeretében az F ismeretlen elemei (a reakcióerők) számíthatóak: 4787.254 327192.746 F KU. (49) 187 5 23537.254 23537.254 187 5 Érdeksségképpen számíthatjuk a teljes alakváltozási energiát és a külső erők munkáját: U 1 2 UT KU 244176.944, (5) W U T F 488353.888. (51) 11

U ismeretében számíthatóak a másodlagos mennyiségek. Az egyes elemekhez tartozó elmozdulások: U (1) u 1 v 1 u 2 v 2 u 3 v 3 u 4 v 4 1.13361 1.521.486426.789633.14538.26977, U (2) u 3 v 3 u 5 v 5 u 6 v 6 u 4 v 4.486426.789633 2.2932 2.33478.14538.26977 (52) Az elemeken belüli elmozdulásmező (5) felhasználásával: [ ] [ u u (1) (1).18884ηξ +.448233η.124641ξ.621177 NU (1).129966ηξ.264851η.129966ξ.264851 v (1) [ ] u u (2) (2) NU (2) v (2) Ezen megoldásokat szemléltetik az alábbi ábrák: [.156741ηξ +.156741η+.86472ξ.86472.1446ηξ +.119525η.89211ξ 1.4218 ], (53) ]. (54) 8. ábra. Az x-irányú elmozdulások szemléltetése az elemek lokális koordinátarendszerében 12

9. ábra. Az y-irányú elmozdulások szemléltetése az elemek lokális koordinátarendszerében Az egyes elemekhez tartozó feszültségmegoldások: σ (1) x σ (1) DB (1) U (1) 1 ξ 3 σ (2) σ (1) y τ (1) xy σ (2) x σ (2) y τ (2) xy DB (2) U (2) 1 η +5 Ezen megoldásokat szemléltetik az alábbi ábrák: 568.712(.831965η + ξ +.59541) 1116.76(.12713η + ξ + 1.81743) 528.752(1.7336η + ξ.641) 1278.98(η.178334ξ.264591) 459.7(η 1.65388ξ + 2.1186) 393.136(η + 3.9879ξ + 3.25494), (55). (56) 1. ábra. Az σ x feszültségek szemléltetése az elemek lokális koordinátarendszerében 13

11. ábra. Az σ y feszültségek szemléltetése az elemek lokális koordinátarendszerében 12. ábra. Az τ xy feszültségek szemléltetése az elemek lokális koordinátarendszerében Érdekességképpen nézzük meg a HMH-féle egyenértékű feszültségre kapott megoldásokat is. Sík-feszültségi állapot (σ z τ xz τ yz ) esetén a HMH-féle egyenértékű feszültség képlete legyszerűsödik az alábbi alakra: σ HMH egy σ 2 x +σ2 y σ xσ y +3τ 2 xy. (57) Az egyes elemek esetén a behlyettesítések után az alábbi megoldásokat kapjuk: σ HMH(1) egy 2.69758 1 6 η 2 + η(3.15416 1 6 ξ 1.97313 1 6 ) + 1.77421 1 6 ξ 2 + 2.31236 1 6 ξ + 3.8966 1 6 (ξ 3) 2, (58) σ HMH(2) egy 1.72284 1 6 η 2 + η(2.66842 1 6 ξ + 1.95943 1 6 ) + 4.992 1 6 ξ 2 + 7.99637 1 6 ξ + 6.29691 1 6 (η + 5) 2. (59) 14

Ábrázolásuk az elemek lokális koordinátarendszerében: 13. ábra. A HMH-féle egyenértékű feszültségek szemléltetése az elemek lokális koordinátarendszerében Ha a globális rendszerben szeretnénk kirajzoltatni a megoldásokat akkor szükséges az inverz transzformáció számítása. A globális és lokális koordináták közötti transzformációkat az (1) felhasználásával kapjuk: x (1) 5ξ +5, y (1) 25ηξ +75η 25ξ +75, (61) x (2) 25ηξ 25η +125ξ +175, (62) y (2) 5η+15. Ezen leképzések inverzei: (6) (63) ξ (1) x 5 1, η (1) 2y x 2 1, ξ (2) 2x+y 5, y +1 η (2) 3+y/5. (64) (65) (66) (67) Az inverz leképzések ismeretében, a behelyettesítések után, felírhatóak az elemekhez tartozó megoldások a globális (x,y) koordinátarendszerben: u (1) u (2) [.75536xy 1.27415y x 2.519862xy +.26977y +. x 2 x 2 x 2 +.128397x 1.13361 [.626963xy + 1.11339x.313482y2 y+1 y+1.561623xy.941767x.28812y2 y+1 y+1 y+1 + 2.1241y y+1 y+1 +.933175y y+1 ], (68) 278.347 +.313482y.556694 y+1 235.442 +.23951y+ 1.7838 y+1 ], 15

σ (1) σ (2) 47314.8y + 568.712x 35172.7 (x 2.) 2 x 2. x 2. 14194.4y + 1116.76x + 38546.4 (x 2.) 2 x 2. x 2. 91664.6y + 528.752x 8919.3 (x 2.) 2 x 2. x 2. y(75353.5 1278.98y)+2288.6x+1.34826 1 7 + 1692.3 (y+1.) 2 y+1. y(6999.4 459.7y)+7628.7x 1.21117 1 7 48518.2 (y+1.) 2 y+1. 121825.x+y( 393.136y 41255.5)+3.63532 1 7 63981.8 (y+1.) 2 y+1. (69), (7), (71) σ HMH(1) egy 1.77421 1 6 x 4 9.29197 1 8 x 3 + x 2 (1.86717 1 11 3.15416 1 8 y) (x 2.) 4 (72) x(1.15695 1 11 y 1.99578 1 13 ) + y(2.69758 1 1 y 1.5224 1 13 ) + 1.11774 1 15 (x 2.) 4, (73) σ HMH(2) egy 4.992 1 1 x 2 + x(y(2.66842 1 8 y + 7.573 1 1 ) 2.45496 1 13 ) (y + 1.) 4 (74) y(y(y(1.72284 1 6 y + 5.9186 1 7 ) 6.78554 1 1 ) 1.51614 1 13 ) + 3.46735 1 15 (y + 1.) 4. (75) A fenti megoldásokat ha kirajzoltatjuk az elemek által definiált tartományokon akkor az alábbi eloszlásokat kapjuk: 14. ábra. Az x-irányú elmozdulások szemléltetése a globális koordinátarendszerben 16

15. ábra. Az y-irányú elmozdulások szemléltetése a globális koordinátarendszerben 16. ábra. A σ x feszültségek szemléltetése a globális koordinátarendszerben 17. ábra. A σ y feszültségek szemléltetése a globális koordinátarendszerben 17

18. ábra. A τ xy feszültségek szemléltetése a globális koordinátarendszerben 19. ábra. A HMH-féle egyenértékű feszültség szemléltetése a globális koordinátarendszerben Vegyük észre a megoldásokon az alábbi tulajdonságokat: A két elem találkozásának mentén az elmozdulásra kapott megoldások azonosak. Ezt az interpolációs függvény jellege biztosítja. A két elem találkozásának mentén a feszültségmegoldások nem azonosak. Mivel az interpolációs függvények (formafüggvények) az elemhatárokon lineáris interpolációt szolgáltatnak, emiatt az elmozdulásmező deriváltjai (melyekből az alakváltozásokat számoljuk majd aztán az alakváltozásokból a feszültségeket) az elemhatárokon nem folytonosak. Természetesen az elemméret sűrítésével fokozatosan közelednek egymáshoz a megoldások. A feszültségmegoldások általában a Gauss-pontok helyén a legpontosabbak, emiatt a végeselemes szoftverek sok esetben a Gauss-pontok helyén lévő feszültségmegoldásokból extrapolálják/interpolálják az elemek menti feszültségmegoldásokat amikor csomóponti feszültségmegoldásokat próbálunk kilistáztatni. A feladat megoldásához használt Wolfram Mathematica kódot az a következő oldalak tartalmazzák. 18

MF@x_D : MatrixForm@xD; a 1; t 5; p 25; ALLAPOT "SF"; RUG 182 ; Ν.3; TOPO K a a a ; 2a 3a a 3a 2a 1 2 3 4 O; CORD 3 5 6 4 PL Graphics@8EdgeForm@DashedD, Yellow, Polygon@Table@Table@ 8CORD@@TOPO@@e, idd, 1DD, CORD@@TOPO@@e, idd, 2DD, 8i, 1, 4D, 8e, 1, 2DDD H1 - ΞL H1 + ΗL; 4 4 4 4 SHAPE 8N1, N2, N3, N4; dxξ FullSimplify@ Table@Sum@D@SHAPE@@iDD, ΞD * CORD@@TOPO@@e, idd, 1DD, 8i, 1, 4D, 8e, 1, 2DD; dxη FullSimplify@Table@Sum@D@SHAPE@@iDD, ΗD * CORD@@TOPO@@e, idd, 1DD, 8i, 1, 4D, 8e, 1, 2DD; dyξ FullSimplify@Table@Sum@D@SHAPE@@iDD, ΞD * CORD@@TOPO@@e, idd, 2DD, 8i, 1, 4D, 8e, 1, 2DD; dyη FullSimplify@Table@Sum@D@SHAPE@@iDD, ΗD * CORD@@TOPO@@e, idd, 2DD, 8i, 1, 4D, 8e, 1, 2DD; J Table@88dxΞ@@eDD, dyξ@@edd, 8dxΗ@@eDD, dyη@@edd, 8e, 1, 2D; 1 N1 H1 - ΞL H1 - ΗL; N2 1 H1 + ΞL H1 - ΗL; N3 1 H1 + ΞL H1 + ΗL; N4 1 MF@dxΞD MF@dxΗD MF@dyΞD MF@dyΗD MF@J@@1DDD MF@J@@2DDD DETJ FullSimplify@Table@Det@J@@eDDD, 8e, 1, 2DD JI FullSimplify@Table@Inverse@J@@eDDD, 8e, 1, 2DD; LD Transpose@Table@8D@SHAPE@@iDD, ΞD, D@SHAPE@@iDD, ΗD, 8i, 1, 4DD; MF@DETJD MF@JI@@1DDD MF@JI@@2DDD MF@LDD GD Table@FullSimplify@JI@@eDD.LDD, 8e, 1, 2D; GD@@e, 1, 1DD GD@@e, 1, 2DD GD@@e, 1, 3DD GD@@e, 2, 1DD GD@@e, 2, 2DD GD@ B TableB GD@@e, 2, 1DD GD@@e, 1, 1DD GD@@e, 2, 2DD GD@@e, 1, 2DD GD@@e, 2, 3DD GD@ MF@GD@@1DDD MF@GD@@2DDD MF@B@@1DDD MF@B@@2DDD

2 peldasikelem.nb RUG DSA H1 + ΝL H1-2 ΝL 1-Ν Ν RUG Ν 1-Ν ; DSF 1-Ν*Ν H1-2 ΝL 2 DD Which@ALLAPOT "SA", DSA, ALLAPOT "SF", DSFD; 1 Ν Ν 1 ; H1 - ΝL 2 MF@DDD BTDB Simplify@Table@Transpose@B@@eDDD.DD.B@@eDD, 8e, 1, 2DD; GC :- 1. 3., 1. 3. >; KE Table@Sum@HBTDB@@eDD * t * DETJ@@eDDL. 8Ξ HGC@@iDDL, Η HGC@@jDDL, 8i, 1, 2, 8j, 1, 2D, 8e, 1, 2D; MF@KE@@1DDD MF@KE@@2DDD DOF Table@Flatten@Table@82 * TOPO@@e, idd - 1, 2 * TOPO@@e, idd, 8i, 1, 4DD, 8e, 1, 2D KGLOB Table@, 8i, 1, 12, 8j, 1, 12D; Do@ KGLOB@@DOF@@e, idd, DOF@@e, jdddd KGLOB@@DOF@@e, idd, DOF@@e, jdddd + KE@@e, i, jdd;, 8e, 1, 2, 8i, 1, 8, 8j, 1, 8D; MF@KGLOBD FGLOB Table@, 8i, 1, 12D; FN 3 a * t * p 2; LOAD 88, 12; FGLOB@@LOADDD - FN * 81, 1; BCs 82, 4, 9, 11; aktiv Complement@Table@i, 8i, 1, 12D, BCsD; KRED KGLOB@@aktiv, aktivdd; FRED FGLOB@@aktivDD; U Table@, 8i, 1, 12D; U@@aktivDD LinearSolve@KRED, FREDD; MF@UD FORCE Chop@KGLOB.UD; n 5; cord CORD + n * U@@1DD U@@2DD U@@3DD U@@4DD U@@5DD U@@6DD ; U@@7DD U@@8DD U@@9DD U@@1DD U@@11DD U@@12DD PLDEF Graphics@8Opacity@.7D, EdgeForm@ThickD, Green, Polygon@Table@Table@8cord@@TOPO@@e, idd, 1DD, cord@@topo@@e, idd, 2DD, 8i, 1, 4D, 8e, 1, 2DDD; Show@ 8PL, PLDEFD

peldasikelem.nb STRAINENERGY U.KGLOB.U 2 WORK U.FORCE Ue1 U@@DOF@@1DDDD; Ue2 U@@DOF@@2DDDD; N1 N2 N3 N4 NN K O; N1 N2 N3 N4 u1 Expand@NN.Ue1D; u2 Expand@NN.Ue2D; Ε1 FullSimplify@B@@1DD.Ue1D; Ε2 FullSimplify@B@@2DD.Ue2D; Σ1 FullSimplify@DD.B@@1DD.Ue1D; Σ2 FullSimplify@DD.B@@2DD.Ue2D; MF@u1D MF@u2D MF@Together@Ε1DD MF@Together@Ε2DD MF@Together@Σ1DD MF@Together@Σ2DD femcolor@ z_ D : Hue@.7 H1 - zld; u1min Table@NMinimize@8u1@@iDD, - 1 u2min Table@NMinimize@8u2@@iDD, - 1 u1max Table@NMaximize@8u1@@iDD, - 1 u2max Table@NMaximize@8u2@@iDD, - 1 umax Max@8u1max@@1DD, u2max@@1ddd; umin Min@8u1min@@1DD, u2min@@1ddd; vmax Max@8u1max@@2DD, u2max@@2ddd; vmin Min@8u1min@@2DD, u2min@@2ddd; Ξ Ξ Ξ Ξ 1 && - 1 1 && - 1 1 && - 1 1 && - 1 Η Η Η Η 1, 1, 1, 1, 8Ξ, 8Ξ, 8Ξ, 8Ξ, ΗD@@1DD, ΗD@@1DD, ΗD@@1DD, ΗD@@1DD, 8i, 8i, 8i, 8i, 1, 1, 1, 1, 2D; 2D; 2D; 2D; ContourPlot@Rescale@u1@@1DD, 8umin, umaxd, 8Ξ, - 1, 1, 8Η, - 1, 1, Frame False, AxesLabel 8"Ξ", "Η", Contours 1, Axes True, LabelStyle 8FontSize 16, BoldD ContourPlot@Rescale@u2@@1DD, 8umin, umaxd, 8Ξ, - 1, 1, 8Η, - 1, 1, Frame False, AxesLabel 8"Ξ", "Η", Contours 1, Axes True, LabelStyle 8FontSize 16, BoldD ð - umax BarLegendB: HueB-.7 F &, 8umin, umax>, umax - umin 1, LabelStyle 8FontSize 16, BoldF ContourPlot@Rescale@u1@@2DD, 8vmin, vmaxd, 8Ξ, - 1, 1, 8Η, - 1, 1, Frame False, AxesLabel 8"Ξ", "Η", Contours 1, Axes True, LabelStyle 8FontSize 16, BoldD ContourPlot@Rescale@u2@@2DD, 8vmin, vmaxd, 8Ξ, - 1, 1, 8Η, - 1, 1, Frame False, AxesLabel 8"Ξ", "Η", Contours 1, Axes True, LabelStyle 8FontSize 16, BoldD ð - vmax BarLegendB: HueB-.7 F &, 8vmin, vmax>, vmax - vmin 1, LabelStyle 8FontSize 16, BoldF 3

4 peldasikelem.nb Ε1min Ε2min Ε1max Ε2max Table@NMinimize@8Ε1@@iDD, Table@NMinimize@8Ε2@@iDD, Table@NMaximize@8Ε1@@iDD, Table@NMaximize@8Ε2@@iDD, -1-1 -1-1 Ξ Ξ Ξ Ξ 1 && - 1 1 && - 1 1 && - 1 1 && - 1 Η Η Η Η 1, 1, 1, 1, Εxmax Max@8Ε1max@@1DD, Ε2max@@1DDD; Εxmin Min@8Ε1min@@1DD, Ε2min@@1DDD; Εymax Max@8Ε1max@@2DD, Ε2max@@2DDD; Εymin Min@8Ε1min@@2DD, Ε2min@@2DDD; Γxymax Max@8Ε1max@@3DD, Ε2max@@3DDD; Γxymin Min@8Ε1min@@3DD, Ε2min@@3DDD; 8Ξ, 8Ξ, 8Ξ, 8Ξ, ΗD@@1DD, ΗD@@1DD, ΗD@@1DD, ΗD@@1DD, 8i, 8i, 8i, 8i, 1, 1, 1, 1, 3D; 3D; 3D; 3D; 1, 1, 1, 1, 3D; 3D; 3D; 3D; ContourPlot@Rescale@Ε1@@1DD, 8Εxmin, ΕxmaxD, 8Ξ, - 1, 1, 8Η, - 1, 1, Frame False, AxesLabel 8"Ξ", "Η", Contours 1, Axes True, LabelStyle 8FontSize 16, BoldD ContourPlot@Rescale@Ε2@@1DD, 8Εxmin, ΕxmaxD, 8Ξ, - 1, 1, 8Η, - 1, 1, Frame False, AxesLabel 8"Ξ", "Η", Contours 1, Axes True, LabelStyle 8FontSize 16, BoldD ð - Εxmax BarLegendB: HueB-.7 F &, 8Εxmin, Εxmax>, Εxmax - Εxmin 1, LabelStyle 8FontSize 16, BoldF ContourPlot@Rescale@Ε1@@2DD, 8Εymin, ΕymaxD, 8Ξ, - 1, 1, 8Η, - 1, 1, Frame False, AxesLabel 8"Ξ", "Η", Contours 1, Axes True, LabelStyle 8FontSize 16, BoldD ContourPlot@Rescale@Ε2@@2DD, 8Εymin, ΕymaxD, 8Ξ, - 1, 1, 8Η, - 1, 1, Frame False, AxesLabel 8"Ξ", "Η", Contours 1, Axes True, LabelStyle 8FontSize 16, BoldD ð - Εymax BarLegendB: HueB-.7 F &, 8Εymin, Εymax>, Εymax - Εymin 1, LabelStyle 8FontSize 16, BoldF ContourPlot@Rescale@Ε1@@3DD, 8Γxymin, ΓxymaxD, 8Ξ, - 1, 1, 8Η, - 1, 1, Frame False, AxesLabel 8"Ξ", "Η", Contours 1, Axes True, LabelStyle 8FontSize 16, BoldD ContourPlot@Rescale@Ε2@@3DD, 8Γxymin, ΓxymaxD, 8Ξ, - 1, 1, 8Η, - 1, 1, Frame False, AxesLabel 8"Ξ", "Η", Contours 1, Axes True, LabelStyle 8FontSize 16, BoldD ð - Γxymax BarLegendB: HueB-.7 F &, 8Γxymin, Γxymax>, Γxymax - Γxymin 1, LabelStyle 8FontSize 16, BoldF Σ1min Σ2min Σ1max Σ2max Table@NMinimize@8Σ1@@iDD, Table@NMinimize@8Σ2@@iDD, Table@NMaximize@8Σ1@@iDD, Table@NMaximize@8Σ2@@iDD, -1-1 -1-1 Ξ Ξ Ξ Ξ 1 && - 1 1 && - 1 1 && - 1 1 && - 1 Η Η Η Η 1, 1, 1, 1, 8Ξ, 8Ξ, 8Ξ, 8Ξ, ΗD@@1DD, ΗD@@1DD, ΗD@@1DD, ΗD@@1DD, 8i, 8i, 8i, 8i,

peldasikelem.nb Σxmax Max@8Σ1max@@1DD, Σ2max@@1DDD; Σxmin Min@8Σ1min@@1DD, Σ2min@@1DDD; Σymax Max@8Σ1max@@2DD, Σ2max@@2DDD; Σymin Min@8Σ1min@@2DD, Σ2min@@2DDD; Τxymax Max@8Σ1max@@3DD, Σ2max@@3DDD; Τxymin Min@8Σ1min@@3DD, Σ2min@@3DDD; ContourPlot@Rescale@Σ1@@1DD, 8Σxmin, ΣxmaxD, 8Ξ, - 1, 1, 8Η, - 1, 1, Frame False, AxesLabel 8"Ξ", "Η", Contours 1, Axes True, LabelStyle 8FontSize 16, BoldD ContourPlot@Rescale@Σ2@@1DD, 8Σxmin, ΣxmaxD, 8Ξ, - 1, 1, 8Η, - 1, 1, Frame False, AxesLabel 8"Ξ", "Η", Contours 1, Axes True, LabelStyle 8FontSize 16, BoldD ð - Σxmax BarLegendB: HueB-.7 F &, 8Σxmin, Σxmax>, Σxmax - Σxmin 1, LabelStyle 8FontSize 16, BoldF ContourPlot@Rescale@Σ1@@2DD, 8Σymin, ΣymaxD, 8Ξ, - 1, 1, 8Η, - 1, 1, Frame False, AxesLabel 8"Ξ", "Η", Contours 1, Axes True, LabelStyle 8FontSize 16, BoldD ContourPlot@Rescale@Σ2@@2DD, 8Σymin, ΣymaxD, 8Ξ, - 1, 1, 8Η, - 1, 1, Frame False, AxesLabel 8"Ξ", "Η", Contours 1, Axes True, LabelStyle 8FontSize 16, BoldD ð - Σymax BarLegendB: HueB-.7 F &, 8Σymin, Σymax>, Σymax - Σymin 1, LabelStyle 8FontSize 16, BoldF ContourPlot@Rescale@Σ1@@3DD, 8Τxymin, ΤxymaxD, 8Ξ, - 1, 1, 8Η, - 1, 1, Frame False, AxesLabel 8"Ξ", "Η", Contours 1, Axes True, LabelStyle 8FontSize 16, BoldD ContourPlot@Rescale@Σ2@@3DD, 8Τxymin, ΤxymaxD, 8Ξ, - 1, 1, 8Η, - 1, 1, Frame False, AxesLabel 8"Ξ", "Η", Contours 1, Axes True, LabelStyle 8FontSize 16, BoldD ð - Τxymax BarLegendB: HueB-.7 F &, 8Τxymin, Τxymax>, Τxymax - Τxymin 1, LabelStyle 8FontSize 16, BoldF Σ sx txy 1 txy sy ; s Σ - Tr@ΣD IdentityMatrix@3D; 3 3 VM FullSimplifyB 2 Tr@s.sD F 5

6 peldasikelem.nb Σ1HMH SimplifyA, IΣ1@@1DD2 - Σ1@@1DD * Σ1@@2DD + Σ1@@2DD2 + 3 * Σ1@@3DD2 ME Σ2HMH SimplifyA, IΣ2@@1DD2 - Σ2@@1DD * Σ2@@2DD + Σ2@@2DD2 + 3 * Σ2@@3DD2 ME ΣHMHmax Max@8NMaximize@8Σ1HMH, - 1 Ξ 1 && - 1 Η 1, 8Ξ, ΗD@@1DD, NMaximize@8Σ2HMH, - 1 Ξ 1 && - 1 Η 1, 8Ξ, ΗD@@1DDD; ΣHMHmin Min@8NMinimize@8Σ1HMH, - 1 Ξ 1 && - 1 Η 1, 8Ξ, ΗD@@1DD, NMinimize@8Σ2HMH, - 1 Ξ 1 && - 1 Η 1, 8Ξ, ΗD@@1DDD; ContourPlot@Rescale@Σ1HMH, 8ΣHMHmin, ΣHMHmaxD, 8Ξ, - 1, 1, 8Η, - 1, 1, Frame False, AxesLabel 8"Ξ", "Η", Contours 1, Axes True, LabelStyle 8FontSize 16, BoldD ContourPlot@Rescale@Σ2HMH, 8ΣHMHmin, ΣHMHmaxD, 8Ξ, - 1, 1, 8Η, - 1, 1, Frame False, AxesLabel 8"Ξ", "Η", Contours 1, Axes True, LabelStyle 8FontSize 16, BoldD ð - ΣHMHmax BarLegendB: HueB-.7 F &, 8ΣHMHmin, ΣHMHmax>, ΣHMHmax - ΣHMHmin 1, LabelStyle 8FontSize 16, BoldF xx1 Expand@N1 * CORD@@TOPO@@1, 1DD, 1DD + N2 * CORD@@TOPO@@1, 2DD, N3 * CORD@@TOPO@@1, 3DD, 1DD + N4 * CORD@@TOPO@@1, 4DD, 1DDD yy1 Expand@N1 * CORD@@TOPO@@1, 1DD, 2DD + N2 * CORD@@TOPO@@1, 2DD, N3 * CORD@@TOPO@@1, 3DD, 2DD + N4 * CORD@@TOPO@@1, 4DD, 2DDD xx2 Expand@N1 * CORD@@TOPO@@2, 1DD, 1DD + N2 * CORD@@TOPO@@2, 2DD, N3 * CORD@@TOPO@@2, 3DD, 1DD + N4 * CORD@@TOPO@@2, 4DD, 1DDD yy2 Expand@N1 * CORD@@TOPO@@2, 1DD, 2DD + N2 * CORD@@TOPO@@2, 2DD, N3 * CORD@@TOPO@@2, 3DD, 2DD + N4 * CORD@@TOPO@@2, 4DD, 2DDD 1DD + 2DD + 1DD + 2DD + inv1 FullSimplify@Solve@x xx1 && y yy1, 8Ξ, ΗD@@1DDD inv2 FullSimplify@Solve@x xx2 && y yy2, 8Ξ, ΗD@@1DDD ux1 uy1 ux2 uy2 Expand@u1@@1DD Expand@u1@@2DD Expand@u2@@1DD Expand@u2@@2DD.... inv1d inv1d inv2d inv2d Pux1 ContourPlot@Rescale@ux1, 8umin, umaxd, 8x,, 1, 8y,, 2, Frame False, AxesLabel 8"Ξ", "Η", Contours 5, LabelStyle 8FontSize 16, Bold, RegionFunction Function@8x, y, z, y 2 - xd, Pux2 ContourPlot@Rescale@ux2, 8umin, umaxd, 8x,, 3, 8y, 1, 2, Frame False, AxesLabel 8"Ξ", "Η", Contours 5, LabelStyle 8FontSize 16, Bold, RegionFunction Function@8x, y, z, 1 y 2 && x > 2 - yd, Show@8Pux1, Pux2, AspectRatio Automatic, PlotRange AllD ð - umax BarLegendB: HueB-.7 F &, 8umin, umax>, umax - umin 5, LabelStyle 8FontSize 16, BoldF

peldasikelem.nb Puy1 ContourPlot@Rescale@uy1, 8vmin, vmaxd, 8x,, 1, 8y,, 2, Frame False, AxesLabel 8"Ξ", "Η", Contours 5, LabelStyle 8FontSize 16, Bold, RegionFunction Function@8x, y, z, y 2 - xd, Puy2 ContourPlot@Rescale@uy2, 8vmin, vmaxd, 8x,, 3, 8y, 1, 2, Frame False, AxesLabel 8"Ξ", "Η", Contours 5, LabelStyle 8FontSize 16, Bold, RegionFunction Function@8x, y, z, 1 y 2 && x > 2 - yd, Show@8Puy1, Puy2, AspectRatio Automatic, PlotRange AllD ð - vmax BarLegendB: HueB-.7 F &, 8vmin, vmax>, vmax - vmin 5, LabelStyle 8FontSize 16, BoldF Εx1 Chop@FullSimplify@Ε1@@1DD. inv1dd Εy1 Chop@FullSimplify@Ε1@@2DD. inv1dd Γxy1 Chop@FullSimplify@Ε1@@3DD. inv1dd Εx2 Chop@FullSimplify@Ε2@@1DD. inv2dd Εy2 Chop@FullSimplify@Ε2@@2DD. inv2dd Γxy2 Chop@FullSimplify@Ε2@@3DD. inv2dd PΕx1 ContourPlot@Rescale@Εx1, 8Εxmin, ΕxmaxD, 8x,, 1, 8y,, 2, Frame False, AxesLabel 8"Ξ", "Η", Contours 5, LabelStyle 8FontSize 16, Bold, RegionFunction Function@8x, y, z, y 2 - xd, PΕx2 ContourPlot@Rescale@Εx2, 8Εxmin, ΕxmaxD, 8x,, 3, 8y, 1, 2, Frame False, AxesLabel 8"Ξ", "Η", Contours 5, LabelStyle 8FontSize 16, Bold, RegionFunction Function@8x, y, z, 1 y 2 && x > 2 - yd, Show@8PΕx1, PΕx2, AspectRatio Automatic, PlotRange AllD ð - Εxmax BarLegendB: HueB-.7 F &, 8Εxmin, Εxmax>, Εxmax - Εxmin 5, LabelStyle 8FontSize 16, BoldF 7

8 peldasikelem.nb PΕy1 ContourPlot@Rescale@Εy1, 8Εymin, ΕymaxD, 8x,, 1, 8y,, 2, Frame False, AxesLabel 8"Ξ", "Η", Contours 5, LabelStyle 8FontSize 16, Bold, RegionFunction Function@8x, y, z, y 2 - xd, PΕy2 ContourPlot@Rescale@Εy2, 8Εymin, ΕymaxD, 8x,, 3, 8y, 1, 2, Frame False, AxesLabel 8"Ξ", "Η", Contours 5, LabelStyle 8FontSize 16, Bold, RegionFunction Function@8x, y, z, 1 y 2 && x > 2 - yd, Show@8PΕy1, PΕy2, AspectRatio Automatic, PlotRange AllD ð - Εymax BarLegendB: HueB-.7 F &, 8Εymin, Εymax>, Εymax - Εymin 5, LabelStyle 8FontSize 16, BoldF PΓxy1 ContourPlot@Rescale@Γxy1, 8Γxymin, ΓxymaxD, 8x,, 1, 8y,, 2, Frame False, AxesLabel 8"Ξ", "Η", Contours 5, LabelStyle 8FontSize 16, Bold, RegionFunction Function@8x, y, z, y 2 - xd, PΓxy2 ContourPlot@Rescale@Γxy2, 8Γxymin, ΓxymaxD, 8x,, 3, 8y, 1, 2, Frame False, AxesLabel 8"Ξ", "Η", Contours 5, LabelStyle 8FontSize 16, Bold, RegionFunction Function@8x, y, z, 1 y 2 && x > 2 - yd, Show@8PΓxy1, PΓxy2, AspectRatio Automatic, PlotRange AllD ð - Γxymax BarLegendB: HueB-.7 F &, 8Γxymin, Γxymax>, Γxymax - Γxymin 5, LabelStyle 8FontSize 16, BoldF Σx1 Chop@FullSimplify@Σ1@@1DD. inv1dd Σy1 Chop@FullSimplify@Σ1@@2DD. inv1dd Τxy1 Chop@FullSimplify@Σ1@@3DD. inv1dd Σx2 Chop@FullSimplify@Σ2@@1DD. inv2dd Σy2 Chop@FullSimplify@Σ2@@2DD. inv2dd Τxy2 Chop@FullSimplify@Σ2@@3DD. inv2dd Σhmh1 Chop@FullSimplify@Σ1HMH. inv1dd Σhmh2 Chop@FullSimplify@Σ2HMH. inv2dd

peldasikelem.nb PΣx1 ContourPlot@Rescale@Σx1, 8Σxmin, ΣxmaxD, 8x,, 1, 8y,, 2, Frame False, AxesLabel 8"Ξ", "Η", Contours 5, LabelStyle 8FontSize 16, Bold, RegionFunction Function@8x, y, z, y 2 - xd, PΣx2 ContourPlot@Rescale@Σx2, 8Σxmin, ΣxmaxD, 8x,, 3, 8y, 1, 2, Frame False, AxesLabel 8"Ξ", "Η", Contours 5, LabelStyle 8FontSize 16, Bold, RegionFunction Function@8x, y, z, 1 y 2 && x > 2 - yd, Show@8PΣx1, PΣx2, AspectRatio Automatic, PlotRange AllD ð - Σxmax BarLegendB: HueB-.7 F &, 8Σxmin, Σxmax>, Σxmax - Σxmin 5, LabelStyle 8FontSize 16, BoldF PΣy1 ContourPlot@Rescale@Σy1, 8Σymin, ΣymaxD, 8x,, 1, 8y,, 2, Frame False, AxesLabel 8"Ξ", "Η", Contours 5, LabelStyle 8FontSize 16, Bold, RegionFunction Function@8x, y, z, y 2 - xd, PΣy2 ContourPlot@Rescale@Σy2, 8Σymin, ΣymaxD, 8x,, 3, 8y, 1, 5, Frame False, AxesLabel 8"Ξ", "Η", Contours 1, LabelStyle 8FontSize 16, Bold, RegionFunction Function@8x, y, z, 1 y 2 && x > 2 - yd, Show@8PΣy1, PΣy2, AspectRatio Automatic, PlotRange AllD ð - Σymax BarLegendB: HueB-.7 F &, 8Σymin, Σymax>, Σymax - Σymin 5, LabelStyle 8FontSize 16, BoldF PΤxy1 ContourPlot@Rescale@Τxy1, 8Τxymin, ΤxymaxD, 8x,, 1, 8y,, 2, Frame False, AxesLabel 8"Ξ", "Η", Contours 5, LabelStyle 8FontSize 16, Bold, RegionFunction Function@8x, y, z, y 2 - xd, PΤxy2 ContourPlot@Rescale@Τxy2, 8Τxymin, ΤxymaxD, 8x,, 3, 8y, 1, 2, Frame False, AxesLabel 8"Ξ", "Η", Contours 5, LabelStyle 8FontSize 16, Bold, RegionFunction Function@8x, y, z, 1 y 2 && x > 2 - yd, Show@8PΤxy1, PΤxy2, AspectRatio Automatic, PlotRange AllD ð - Τxymax BarLegendB: HueB-.7 F &, 8Τxymin, Τxymax>, Τxymax - Τxymin 5, LabelStyle 8FontSize 16, BoldF 9

1 peldasikelem.nb Phmh1 ContourPlot@Rescale@Σhmh1, 8ΣHMHmin, ΣHMHmaxD, 8x,, 1, 8y,, 2, Frame False, AxesLabel 8"Ξ", "Η", Contours 5, LabelStyle 8FontSize 16, Bold, RegionFunction Function@8x, y, z, y 2 - xd, Phmh2 ContourPlot@Rescale@Σhmh2, 8ΣHMHmin, ΣHMHmaxD, 8x,, 3, 8y, 1, 2, Frame False, AxesLabel 8"Ξ", "Η", Contours 5, LabelStyle 8FontSize 16, Bold, RegionFunction Function@8x, y, z, 1 y 2 && x > 2 - yd, Show@8Phmh1, Phmh2, AspectRatio Automatic, PlotRange AllD ð - ΣHMHmax BarLegendB: HueB-.7 F &, 8ΣHMHmin, ΣHMHmax>, ΣHMHmax - ΣHMHmin 5, LabelStyle 8FontSize 16, BoldF